Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-1

28.03.18

2. Mehrteilige ebene Tragwerke

● Mehrteilige ebene Tragwerke bestehen aus mehreren gelenkig miteinander verbundenen Teiltragwerken.

● Zusätzlich zu den Lagerreaktionen müssen die Kräfte in den Gelenken bestimmt werden.

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-2

28.03.18

2. Mehrteilige ebene Tragwerke

● Beispiel:

– Gegeben:● Kraft F = 10 kN● Abmessungen a = 2 m,

b = 3 m, c = 5 m, h = 1 m

– Gesucht:● Reaktionskräfte in den

Lagern A und B● Kräfte im Gelenk C

aF

b

c

A

B

h

C

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-3

28.03.18

2. Mehrteilige ebene Tragwerke

– Freischneiden:● 4 unbekannte Lagerkräfte● 3 Gleichgewichtsbedingun-

gen● zusätzliche Bedingung:

Gelenk überträgt kein Mo-ment

aF

b

c

A

B h

C

x

y

Ax

✄

Ay

BxB

y

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-4

28.03.18

2. Mehrteilige ebene Tragwerke

– Freischneiden der einzelnen Bauteile:

A C

x

y

Cy

Cx

Träger AC: ✄a

F

b

Ax

Ay

c - b

B h

C

x

y

✄

BxB

y

Cx

Cy

Träger BC:

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-5

28.03.18

2. Mehrteilige ebene Tragwerke

– Beim Freischneiden ist das Wechselwirkungsgesetz zu be-achten:

● Die Kräfte, die zwei Körper aufeinander ausüben, sind gleich groß, entgegengesetzt gerichtet und haben die gleiche Wir-kungslinie.

– Für das betrachtete Beispiel verlangt das Wechselwirkungs- gesetz:

● Die Kräfte, die der Träger AC auf den Träger BC ausübt, sind gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet, wie die Kräfte, die der Träger BC auf den Träger AC ausübt.

● Werden die Träger wieder zum Gesamttragwerk zusammen-gebaut, so heben sich die Kräfte im Gelenk C auf.

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-6

28.03.18

2. Mehrteilige ebene Tragwerke

– Mit den Gelenkkräften Cx und Cy treten 2 weitere unbekann-te Kräfte auf. Diese Kräfte werden als Zwischenreaktionen bezeichnet.

– Damit sind insgesamt 6 unbekannte Kräfte zu bestimmen

– Für jeden der beiden Träger müssen 3 Gleichgewichtsbe-dingungen erfüllt sein.

– Damit stehen 6 Gleichungen zur Verfügung.

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-7

28.03.18

2. Mehrteilige ebene Tragwerke

– Gleichgewichtsbedingun-gen für Träger BC:

c - b

B h

C

x

y

✄

BxB

y

Cx

Cy∑ F x=0 : C x−B x=0

→ C x=B x

∑ F y=0 : −C y+By=0→ C y=B y

∑ M C=0 : (c−b ) By−h B x=0

→B y

B x=

hc−b=tan (ϕ)

c - b

h

Bx

By

Bx

ByB

B

ϕ

ϕ

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-8

28.03.18

2. Mehrteilige ebene Tragwerke

– Gleichgewichtsbedingungen für Träger AC:

∑ F x=0 : Ax−B x=0 → Ax=B x

∑ F y=0 : Ay+By−F=0 → Ay=F−By=(1−ab )F

∑ M A=0 : −a F +b By=0

→ B y=ab F

By

B x=

hc−b

→ B x=c−b

h B y=c−b

hab F

A C

x

y By

Bxa

F

b

Ax

Ay

✄

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-9

28.03.18

2. Mehrteilige ebene Tragwerke

– Zahlenwerte:

B y=2 m3 m

⋅10 kN=6,67 kN

B x=5 m−3 m

1 m2 m3 m

⋅10 kN=13,33 kN

C y=6,67 kN

C x=13,33 kN

Ax=13,33 kN

Ay=3 m−2 m

3 m⋅10 kN=3,33 kN

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-10

28.03.18

2. Mehrteilige ebene Tragwerke

● Pendelstütze:

– Ein Träger ist eine Pendelstütze, wenn gilt:● Er ist in genau zwei Punkten gelenkig angeschlossen.● Eingeprägte Kräfte greifen nur in den Gelenken an.

– Bei einer Pendelstütze verläuft die Wirkungslinie der Gelenkkräfte durch die beiden Gelenke.

F

FF

F

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-11

28.03.18

2. Mehrteilige ebene Tragwerke

● Äußere und innere Lasten:

– Eingeprägte Lasten und Reaktionslasten sind äußere Las-ten. Sie wirken von außen auf das Tragwerk ein.

– Zwischenreaktionen gehören zu den inneren Lasten. Innere Lasten treten zwischen Teilen eines Tragwerks auf.

– Reaktionslasten werden im Freischnitt sichtbar, wenn das Gesamttragwerk freigeschnitten wird.

– Zwischenreaktionen werden im Freischnitt sichtbar, wenn aus dem Gesamttragwerk einzelne Teiltragwerke herausge-schnitten werden.

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-12

28.03.18

2. Mehrteilige ebene Tragwerke

● Statisch bestimmte Tragwerke:

– Ein aus starren Körpern zusammengesetztes Tragwerk heißt statisch bestimmt, wenn sich alle Lagerreaktionen und Zwischenreaktionen aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmen lassen.

– Regel:● Ein ebenes Tragwerk aus N starren Körpern mit L Lagerreak-

tionen und Z Zwischenreaktionen ist statisch bestimmt, wenn gilt:

L + Z = 3NL + Z = 3N

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-13

28.03.18

2. Mehrteilige ebene Tragwerke

● Beispiel: Hebebühne

a

a

a a 2a

a

2a

A

B

C

D E

H

F

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-14

28.03.18

2. Mehrteilige ebene Tragwerke

– Überprüfung auf statische Bestimmtheit:● Die Lager in den Punkten A und H sind Festlager.● Die Lagerung besteht aus zwei 2-wertigen Lagern. Damit tre-

ten 4 unbekannte Lagerreaktionen auf: L = 4● In den 4 Gelenken B, C, D und E treten je 2 unbekannte Zwi-

schenreaktionen auf: Z = 4 · 2 = 8● Das Tragwerk besteht aus 4 starren Körpern: N = 4● Die Beziehung L + Z = 3N ist erfüllt. Das Tragwerk ist statisch

bestimmt.

– Identifikation von Pendelstützen:● Die Träger CD und EH sind Pendelstützen.

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-15

28.03.18

2. Mehrteilige ebene Tragwerke

– Gleichgewicht am Gesamtsystem:● Es wird ausgenutzt, dass der Träger EH eine Pendelstütze ist.

a

a

a a 2a

a

2a

A

B

C

D E

H

F

x

y

Ay

Ax

H

45°

✄

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-16

28.03.18

2. Mehrteilige ebene Tragwerke

∑ M A=0 : −a F+4 a √2

2H=0 → H=

F2 √2

=√24

F

∑ F x=0 : Ax−√22

H =0 → Ax=√22

H=14

F

∑ F y=0 : Ay+√22

H−F=0 → Ay=F−√22

H =34

F

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-17

28.03.18

4a

2a

B D E

F

x

y

3a

HD

By

Bx

H

H

E

H

✄

2. Mehrteilige ebene Tragwerke

– Gleichgewicht am Träger BE:● Es wird ausgenutzt, dass der Träger CD eine Pendelstütze

ist.

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-18

28.03.18

2. Mehrteilige ebene Tragwerke

∑ M B=0 :

2 a √22

D−3 a F +4 a √22

H=0

→ D=3√2

F−2 H

=(3 √22

−√22 )F=√2 F

∑ F x=0 : B x+√22

D−√22

H=0

→ B x=√22

( H−D )=−√22

⋅3 √24

F=−34

F

∑ F y=0 :By+

√22

D−F +√22

H=0

→ B y=F−√22

(H +D )

=F−√22 ( √2

4+√2)F

=(1− 14−1)F=−

F4

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-19

28.03.18

2. Mehrteilige ebene Tragwerke

– Probe am Träger AB:

a

a

a a

A

B

C

x

y

Ay

Ax

C

D

D

D

By

Bx

✄ ∑ F x=−B x+Ax−√22

D

=(34+

14−1)F=0

∑ F y=−B y−√22

D+Ay

=(14−1+

34 )F=0

∑ M C=a ( B x+B y+Ax+Ay )=a (−3

4−

14+

14+

34 )F=0 ✔

✔

✔

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-20

28.03.18

2. Mehrteilige ebene Tragwerke

● Beispiel: Tragwerk mit Streckenlast

– Gegeben:● q0 , a

– Gesucht:● Kräfte in den

Gelenken Bbis E

a

a a a

q0

A

B

C D

E

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-21

28.03.18

2. Mehrteilige ebene Tragwerke

– Träger DE:

● Die Streckenlast wird durch die im Kräftemittelpunkt angrei-fende Resultierende ersetzt.

a/3

a

q0 /3

D E Ey

Dy

Dx

a

D E Ey

Dy

Dx

q0 a/6

x

y

✄

∑ F x=0 : D x=0

∑ M D=0 : a E y−

a3

16

q0 a=0 → E y=1

18q0 a

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-22

28.03.18

2. Mehrteilige ebene Tragwerke

– Träger BD:● Träger AC ist eine Pendelstütze.● Die Streckenlast wird durch zwei in den Kräftemittelpunkten

angreifende Resultierende ersetzt.

∑ F y=0 : Dy−16

q0 a+E y=0 → Dy=( 16−

118 )q0 a=

19

q0 a

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-23

28.03.18

2. Mehrteilige ebene Tragwerke

2a/3

a a

q0

B C DCB

y

Bx D

y

a a

B C DCB

y

Bx D

y

q0 /3

2q0 a/3

2q0 a/3

x

y✄

45°

∑ M B=0 : −2 a Dy−(1+

23 )a⋅2

3q0 a+a √2

2C=0

→√22

C=2 D y+109

q0 a=( 29+

109 )q0 a=

43

q0 a

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-24

28.03.18

2. Mehrteilige ebene Tragwerke

∑ F x=0 : −B x+√22

C=0 → B x=√22

C=43

q0 a

∑ F y=0 : B y+√22

C−2⋅23

q0 a−Dy=0

→ By=( 43+

19−

43 )q0 a=

19

q0 a

– Ergebnis:

B x=43

q0 a , By=19

q0 a , C x=C y=43

q0 a

D x=0 , Dy=19

q0 a , E y=1

18q0 a

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-25

28.03.18

2. Mehrteilige ebene Tragwerke

– Probe am Gesamttragwerk:

2a

a

a

A

B E

Cy

Cx

By

Bx

Ey

x

y

3q0 a/2✄

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-26

28.03.18

2. Mehrteilige ebene Tragwerke

● Regel:

– Eine Streckenlast darf erst nach dem Freischneiden durch eine Einzelkraft ersetzt werden.

∑ F y=B y+C y+E y−32

q0 a=(19+

43+

118

−32 )q0 a=0

∑ F x=−B x+C x=(− 43+

43 )q0 a=0

∑ M B=a C x−a⋅3

2q0 a+3 a E y=a( 4

3−

32+

318 )q0 a=0

✔

✔

✔

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-27

28.03.18

2. Mehrteilige ebene Tragwerke

● Beispiel: Tragwerk mit Rolle

– Die Masse m hängt an einem Seil, das über eine im Punkt C reibungsfrei gelenkig gelagerte Rolle läuft.

– Gegeben: ● m, b, h, α

– Gesucht: ● Kräfte in den Lagern A und B

und im Gelenk C

α

m

A

B

C

D

h

b

g

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-28

28.03.18

2. Mehrteilige ebene Tragwerke

– Die Seilkraft kann auf das Gelenk C übertragen werden.

– Die im Gelenk C angreifenden Kräfte können entweder im Frei-schnitt des Trägers AC oder des Trägers BC berücksichtigt wer-den.

– Beide Träger sind Pendelstützen.

A

B

C

h

b

α

S

S

S

S

S

S

C

S = mg

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-29

28.03.18

2. Mehrteilige ebene Tragwerke

– Träger BC:

B

C

h

b

α

S

S

C

By

Bx

x

y

✄∑ M B=0 :

h (C−S cos(α))−b S (1−sin (α))=0

→ C=S (cos(α)+bh (1−sin (α)))

∑ F x=0 : −B x+C−S cos(α)=0

→ B x=C−S cos(α)=S bh (1−sin (α))

∑ F y=0 : B y−S (1−sin (α))=0 → B y=S (1−sin (α))

Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM 1 3.2-30

28.03.18

2. Mehrteilige ebene Tragwerke

● Regel:

– Die Seilkräfte an einer reibungsfrei gelenkig gelagerten Rolle dürfen auf das Gelenk übertragen werden, in dem die Rolle gelagert ist.