Post on 07-Jul-2020
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Baustatik I (WS 2017/2018)
2. Statisch bestimmte und statisch unbestimmte Systeme
2.1 Grad der statischen Unbestimmtheit2.2 Gegenüberstellungen von statisch bestimmten und
statisch unbestimmten Systemen2.3 Berechnungsverfahren
1
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Baustatik I (WS 2017/2018)
2. Statisch bestimmte und statisch unbestimmte Systeme
2.1 Grad der statischen Unbestimmtheit
2
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Statisch bestimmte & statisch unbestimmte Systeme
3
Ein Tragwerk muss die folgenden Bedingungen bzw. Gleichungen erfüllen:1. Gleichgewichtsbedingungen;2. Werkstoffgesetz;3. Kinematische Beziehungen;4. Randbedingungen RB (statische oder kinematische RB).Dabei spielen die Gleichgewichtsbedingungen und die statischen Randbedin-gungen eine zentrale Rolle. Gleichgewicht muss erfüllt sein, und es muss auch stabil sein!
Definition: Ein System heißt statisch bestimmt, wenn die Auflagerreaktionenund die Schnittgrößen allein aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmbarsind.
Definition: Ein System heißt statisch unbestimmt, falls die Auflagerreaktionenund die Schnittgrößen nicht aus den Gleichgewichtsbedingungen alleinbestimmt werden können.
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
2.1 Grad der statischen Unbestimmtheit
4
Zur Feststellung der statischen Unbestimmtheit können die folgenden Abzähl-formeln verwendet werden.
Allgemeine Stabtragwerke (2- und 3-dimensional):
Allgemeine ideale Fachwerke (2- und 3-dimensional):
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Grad der statischen Unbestimmtheit
5
Man unterscheidet folgende drei Fälle:
>0, statisch überbestimmt bzw. unbestimmt =0, statisch bestimmt
<0, statisch unterbestimmta
Kriterium zur Beurteilung eines Tragwerks:
zulässig!
nicht zulässig!
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Äußerliche und innerliche statische Unbestimmtheit
6
Beispiel: Zweihüftiger Rahmen
Das System ist 1-fach statisch unbestimmt.
Beispiel: Rahmen
Das System ist 2-fach statisch unbestimmt.
2, 5, 2 5 2 3 2 1n r v a
1, 5, 0 5 0 3 1 2n r v a
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Äußerliche und innerliche statische Unbestimmtheit
7
Äußerliche und innerliche statische Unbestimmtheit:• Ein System ist äußerlich statisch bestimmt, falls alle Auflagerreaktionen aus
den Gleichgewichtsbedingungen allein bestimmbar sind. • Ein System ist innerlich statisch bestimmt, falls alle Schnittgrößen aus den
Gleichgewichtsbedingungen allein bestimmbar sind.
Abzählformeln:
( ) 6
6
6( 1)
a
i a
a i
a r v n
a r
a a a v n
a a a
( ) 3
3
3( 1)
a
i a
a i
a r v n
a r
a a a v n
a a a
2-D: 3-D:
: Grad der äußerlichen statischen Unbestimmtheit
: Grad der innerlichen statischen Unbestimmtheit
a
i
a
a
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Äußerliche und innerliche statische Unbestimmtheit
8
Beispiel: Zweihüftiger Rahmen
1, 8 5, 0 8 3 5
3(1 1) 0
a
i
n r v a
a
Das System ist äußerlich 5-fach statisch unbestimmt und innerlich statisch bestimmt.
Beispiel: Geschlossener Träger
3v 3v X X
1, 3 5, 6 3 3 0
6 3(1 1) 6
a
i
n r v a
a
Das System ist äußerlich statisch bestimmt, innerlich 6-fach statisch unbestimmt.
UNIVERSITÄT SIEGEN Lehrstuhl für Baustatik
Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. Ch. Zhang Grad der statischen Unbestimmtheit
Baustatik I Arbeitsblatt
Bestimmung des Grades der statischen Unbestimmtheit Allgemeine Stabtragwerke (2- und 3-dimensional):
2 D: 3a r v n 3 D: 6a r v n
a r v n
Grad der statischen Unbestimmtheit Anzahl der Auflagerkräfte Anzahl der Zwischenreaktionen Anzahl der Scheiben
• Äußerliche und innerliche statische Unbestimmtheit:
2 D : 3
3 ( 1)a
i
a i
a r
a v n
a a a
3 D : 6
6 ( 1)a
i
a i
a r
a v n
a a a
Allgemeine ideale Fachwerke (2- und 3-dimensional):
2 D: 2a r p k 3 D: 3a r p k
a r p
k
Grad der statischen Unbestimmtheit Anzahl der Auflagerkräfte Anzahl der Stäbe zwischen den Knoten Anzahl der Knoten einschließlich Auflagerknoten
Man unterscheidet folgende drei Fälle: 0a Das System ist statisch bestimmt (alle Unbekannten können aus den verfügbaren Gleichungen, den Gleichgewichts- und Nebenbedingungen, ermittelt werden). 0a Das System ist a fach statisch unbestimmt. 0a Das System ist beweglich oder in sich verschieblich (kinematisch).
UNIVERSITÄT SIEGEN LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Univ.- Prof. Dr.- Ing. habil. Ch. Zhang
GRAD DER STATISCHEN UNBESTIMMTHEIT
BAUSTATIK I Arbeitsblatt
(WS 2017/2018)
HINWEISE ZUR STATISCHEN UNBESTIMMTHEIT
Feste (unelastische) Auflagerreaktionen
Für ebene Systeme (2-D) Für räumliche Systeme (3-D)
r = 3
r = 6
r = 2 r = 3
r = 2 r = 2
r = 1 r = 1
Für Trägerroste (2-D)
r = 3
r = 2
r = 1
Elastische Auflagerreaktionen Für ebene Systeme (2-D)
Fc
r = 1
Fc
r = 2
Mc
r = 1
McFc
r = 2
UNIVERSITÄT SIEGEN LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Univ.- Prof. Dr.- Ing. habil. Ch. Zhang
GRAD DER STATISCHEN UNBESTIMMTHEIT
BAUSTATIK I Arbeitsblatt
(WS 2017/2018)
Mc
r = 3
Zwischenreaktionen System Zwischenreaktionen Anzahl Zwischenreaktionen 2-D ; ; NM Q v = 3
Trägerrost ; ; y z TM Q M v = 3
3-D ; ; ; ; ; y z z y TM Q M Q M N v = 6 M-Gelenk:
Für ebene Systeme (2-D)
Allgemein v s 1 2 s = Anzahl der angeschlossenen Stäbe
s 2 v 2 1 2 2
s 2 v 2 1 2 2
s 3 v 3 1 2 4
Q-Gelenk: Für ebene Systeme (2-D)
v = 2
v = 2
N-Gelenk: Für ebene Systeme (2-D)
v = 2
UNIVERSITÄT SIEGEN LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Univ.- Prof. Dr.- Ing. habil. Ch. Zhang
GRAD DER STATISCHEN UNBESTIMMTHEIT
BAUSTATIK I Arbeitsblatt
(WS 2017/2018)
v = 2
Verschiedene Gelenke: M-Gelenk:
Für Trägerroste (2-D) Für räumliche Systeme (3-D)
0y TM M
v = 1 0y z TM M M
v = 3
0yM
v = 2 0yM
v = 5
0TM v = 2 0zM
v = 5
0zQ v = 2 0TM
v = 5
Geschlossene Zellen müssen „geschlitzt“ werden:
Für ebene Systeme (2-D) Für räumliche Systeme (3-D)
v = 3
v = 6