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Universität für Bodenkultur WienDepartment für Bautechnik und Naturgefahren

Baustatik und Festigkeitslehre - WS 04/05 - Institut für Konstruktiven Ingenieurbau

Baustatik & FestigkeitslehreVorlesung & Übung

Vortragender:O.Univ.Prof. DI Dr. Dr. Konrad Bergmeister

Ziel der Vorlesung

Vermittlung von Rechenverfahren

§ für Kraft- und Verschiebungsgrößen

§ Tragverhalten von Tragwerken

Organisation

B & F - LehreWS

VorlesungTheoretische Grundlagen der Baustatik und Modellierung von Systemen

ÜbungRechenbeispiele begleitend zur Vorlesung

PrüfungenWS

Hauptprüfung (schriftl.)

3 Übungstests

Literaturvom Institut

Vorlesungs- und Übungsskript

Lehrbuchsammlung BOKU Bibliothek

Mang, Hofstetter: FestigkeitslehreParkus: Mechanik der festen KörperPopov: Engineering Mechanics

1. Aufgaben und Ziele

Mechanik

KinetikStatik

DynamikKinematik

Begriffsdefinition

Aufgaben der Statik

EntwurfBauerkstypQuerschnittsformMaterial (Stahl / Beton)

Statikstatisches System=> INNERE KRÄFTE

BemessungQuerschnittswerteAnschlüsse, ect.

AusführungBauvorgang, MontageBaustelleneinrichtungMaterialtransport, ect.

MODELLBILDUNG

Statik ein Teil der gesamten Ingenieuraufgabe

AnwendungsbeispieleBrückenbau (Tiefbau)

Wohnhäuser, Hochhäuser(Hochbau)

Anwendungsbeispiele

Industriebau, Hallen, Bürogebäude

Anwendungsbeispiele

Konstruktiver Wasserbau

Anwendungsbeispiele

Siedlungswasserbau Wasserversorgung

Anwendungsbeispiele

Siedlungswasserbau AbwasserentsorgungAnwendungsbeispiele

Statik - Computerstatik

Computergläubigkeitgenauere Modellierung möglich

Hang zum unnötigen Aufwand und unzweckmäßigen Einsatzgrößere Systeme berechenbar

Datenüberfluss(„Zahlenfriedhof“)Schnelligkeit

Schwierige BeurteilungBlack-Box-Prinzip häufig einfacher

NachteileVorteile

Einheiten

N/mm² ( = MN/m² oder MPa)Spannungen & Festigkeiten

cm² [1m² = 104 cm²]Bewehrung

mLänge

kNmMomente

kN/m³Wichte

kg/m³Dichte

kN, kN/m, kN/m² Kräfte und Lasten

Eurocodes (EC)

EUROCODE ÖNORM

EC1 Grundlagen der Tragwerksplanung und Einwirkungen auf Tragwerke ÖNORM ENV 1991

EC2 Planung von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken ÖNORM ENV 1992

EC3 Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten ÖNORM ENV 1993

EC4 Bemessung und Konstruktion von Verbundtragwerken aus Stahl und Beton ÖNORM ENV 1994

EC5 Bemessung und Konstruktion von Holzbauten ÖNORM ENV 1995

EC6 Bemessung und Konstruktion von Mauerwerksbauten ÖNORM ENV 1996

EC7 Entwurf, Berechnung und Bemessung in der Geotechnik ÖNORM ENV 1997

EC8 Auslegung von Bauwerken gegen Erdbeben ÖNORM ENV 1998

EC9 Bemessung und Konstruktion von Aluminiumbauten ÖNORM ENV 1999

Empfohlenes Schrifttum

Statik der StabtragwerkeSpringer- Verlag, Berlin, 1978Pflüger, A.:

Technische Mechanik, Band 1 & 2Bibliographisches Institut, Zürich

Pestel, E.:

Lehrbuch der Statik, Band 1A & 1BSpringer- Verlag, Berlin

Sattler, K.:

Die Statik der Bauwerke W.Ernst & Sohn 4. AuflageKirchhoff, R.:

Baustatik; Teil 1 und 2Springer- Verlag, Berlin, 1969Hirschfeld, K.:

Klassische Statik - Literatur

2. Idealisierung der statischen Aufgabe

SystemidealisierungPlattenbalkenträger

Hohlkörperdecke

Gabellagerung

Fundamentplatte

Systemidealisierung

Zur Systemidealisierung gehört die Festlegung

1. des statischen Systems

2. der äußeren Lasten und Lastfälle

3. der Materialkennwerte

Gliederung nach geometrischen und statischen Gesichtspunkten (1D – 3D Tragelemente)

Tragwerke

F lächentragwerke

gekrüm m t eben

MembranSchale

ScheibePlatte

Fa ltwerk

Raumtragwerke

"dicke" Körper

FundamentDamm

dicke Behälter

Stabtragwerke

gekrüm m t gerade

R ingBogen

ZugstabDruckstab

Fachwerk

Balkenrahmen

Trägerrost

,x yh l l<<

, xb h l<<

Prinzip von de St. Venant

Störbereiche

Gliederung nach der Beanspruchungsart

Dehnung

StabFachwerk

SeilBogen als Stützlinie

Stabtragwek

Rahmen

Biegung(+Schub)

ebernerBalken

räumlich

TorsionDrillung

räumlicher BalkenTrägerrost

Flächentragwerke

MembranScheibe Platte

FaltwerkeSchale

Komponenten eines Stabtragwerkes

Elemente

ArchitektonischeAnforderung

Systemidealisierungder Bodenplatte

WandscheibeSystemidealisierungVariante 1

SystemidealisierungVariante 1

Vorgangsweise bei der Idealisierung

Idealisierung des Tragwerkes und seiner Konstruktionsdetails

Idealisierung der Belastung

Beschreibung der Idealisierung und Angabe der für die Berechnung maßgebenden Größen(Systemmaße, Laststellung, Werkstoffe, etc.)

Idealisierung von KonstruktionsdetailsRollenlager

Linienkipplager

Elastomerlager

Idealisierung von Tragwerken

STAB FLÄCHENTRAGWERK

Idealisierung von Lasten

Verteilung der Last

KRANRAD

R p s ds= ∫

R1s 2s

( )p s

Einzellast

Resultierende

STATIKGleichgewichtsbedingungen und statische Randbedingungen. Sie werden bei Stab-

und Flächentragwerken bereits in Schnittgrößen definiert.

WERKSTOFF

Beziehungen zwischen Schnittgrößen (allg. Spannungen) und Dehnungen bzw.

Krümmungen der Achsen (allg. Verzerrungen). für den elastischen

Fall auch als Elastizitätsgesetz bezeichnet (oder konstitutive Beziehungen).

GEOMETRIE

Beziehungen zwischen den Dehnungen bzw. Krümmungen und Verschiebungen sowie geometrische Randbedingungen.Auch als Verträglichkeitsbeziehungen

oder kinematische Gleichungen bezeichnet.

§ Dehnung:Normalkraftanteil, Dehnung ε§ Biegung: Biegemomentenanteil, Krümmung κy, κz

§ Schub: Querkraftanteile, Schubverzerrungen γxy, γyz

§ Torsion: Torsionsmomentenanteile, Verdrillung Γ; für St. Venant Torsion (Wölbkrafttorsion nicht enthalten).

Idealisierung von Lasten

. yz TTyT zT

TT bzwh b

αακ κ⋅∆⋅∆= =

Reichsbrücke- Wien 1976

Grundgleichungen: räumlicher Fall x-Richtung

Dehnung Torsion

y-Richtung Biegung Schub

z-Richtung Biegung Schub

Statik

dx= −

−= yV−

dx= −

dM−= zV+

Werkstoff

Τ+ΕΑΝ

= Ταε

( ) bE

zYyyzz

∆Τ+

Ι−ΙΙ

Ι+Ι=

GαΥ =

( ) hE

zyzyzy

∆Τ+

Ι−ΙΙ

Ι+Ι=

Υ =Α

Geometrie

ε−=dxdu

Γ=dxdϑ

ϕ= xyΥ+

ϕ= xzΥ+

Grundgleichungen: ebener Fall (Indizes y und z weggelassen)

x-Richtung Dehnung

z-Richtung Biegung Schub

Statik

dM−=

V+ Werkstoff

Τ+ΕΑΝ

= Ταε

T ∆Τ+

Υ =Α

Geometrie

ε=dxdu

ϕ−=dxdw

Stat. Größen (Kraftgrößen)

Geom. Größen (Weggrößen)

innere

Größen

0 00 0

VGαΕΑ

Α ΕΙ

κγε

äußere Größen

Differentialgleichungen für wichtige Sonderfälle (Elimination der Schnittgrößen und Verzerrungen)

Dehnung (ohne T)

Statik Werkstoff Geometrie

( ) nu −=′′⋅ΕΙ

Gerade Biegung (ohne ),γ∆Τ

M v mM

′′ = − − = ΕΙ

′′ = −

( )w v m″′′ ′ΕΙ ⋅ = +

Torsion

Γ=′

−=′

( ) TT mG −=′′⋅Ι ϑ

Rechengenauigkeit

Ursachen für das Abweichen der Ergebnisse von der Wirklichkeit

Vereinfachende Annahmen (Einspannungen, Steifigkeiten, Systemachsen,

Größe von Ausmitten, etc.)Ansätze von Einwirkungen

fehlerhaft od. unvollständigVoraussetzungen für Berechnungstheorien

verletztAngenommenen Werkstoffkennwerte

teilweise Übereinstimmung mit tatsächlichem BaustoffBelastungskombinationen

zu wenig Lastfälle überlagertStatische Berechnung ungenau oder falsch

SystembildungStütze - Platte (zb.:Bodenplatte)

Mittellinie

Rechengenauigkeit

Wirkliches Verhalten

Mittendurchbiegung

Stahlbetonbalken

Stahlträger16

*...P Gebrauchslastbereich

...lineaisiertes Tragverhalten− − −

Horizontalverschiebung Punkt i

Punkt i

Meist ein stark nichtlineares Verhalten gegeben

Tragwerksantwort ist geprägt vom Einfluss :

Des Werkstoffverhaltens materielle Nichtlinearität

Der Verformungsgeometrie geometrische Nichtlinearität

Möglicher Systemänderung Systeme veränderlicher Gliederung

Werkstoffverhalten –in der Regel hochgradig nichtlinear

SSpannung σ

[ ]/SDehnung ε

CεCσ

35B25B

kaltverformtwarmverformt

Werkstoffverhalten –in der Regel idealisiert

Eσ ε= i

ε(a) linear elastisch (b) nichtlinear elastisch

εplε elεplε elε

(c) linear elastisch ideal plastisch

(d) nicht linear elastisch m it linearer Verfestigung

Werkstoffverhalten –in der Regel idealisiert

Verformungstheorie –Forderung des Gleichgewichts am verformten System

npλi pλi pλiu

Verformungstheorie –Mögliche Verfahren

beliebig groß

endlich, klein

infinitesimal klein

III. Ordnung

II. Ordnung

I. Ordnung

Verformungen Stabtheorie

Systeme veränderlicher Gliederung –Systemänderungen

l/2 l/2

Systeme veränderlicher Gliederung –Systemänderungen

l ll l

xl 2l 3l 4l

Definitionen

Flexibilität = Verschiebung/EinheitskraftSteifigkeit = Kraft/Einheitsverschiebung

DefinitionenDer Begriff Robustheit definiert die Gesamtstabilität eines Tragwerkes hinsichtlich eines plötzlichen Versagens.

Dehnsteifigkeit E • A

Biegesteifigkeit E • I

Schubsteifigkeit G • αQ •AαQ Schubreduktionsfaktor

Torsionssteifigkeit (St. Venant) G • IT

Einheitskraft-zustände

1 1,M ϕ2 2,M ϕ

1 1M = 11f 21f

1 11 12 1

2 21 22 2

f f Mf f M

2 1M =

12f 22f

Elementsteifigkeitsmatrix

1 11 12 1

2 21 22 2

M k kM k k

Einheitsverschiebungs-zustände

1 1ϕ =

2 1ϕ =

12k22k

Definitionen

1 11 12 1

2 21 22 2

r F F Pr F F P

1 1P =

Systemflexibilitätsmatrix

geometrischeBeziehung

11F 21F 12F 22F

2 1P =

Definitionen

1 11 12 1

2 21 22 2

P K K rP K K r

1 1r =

Systemsteifigkeitsmatrixstatische

Beziehung

11K21K

12K22K

2 1r =

Definitionen

Element

Kraftgrößen

v = f . SWERKSTOFF

S = k . vS v

Verschiebungsgrößen

GEOMETRIESTATIK

System(Knoten) P

r = F . PP = K . r

Definitionen

Theorie 1. Ordnung

Geometrie

1. •Das Tragwerk besteht aus einzelnen Stäben, deren Länge groß gegenüber den Querschnittabmessungen ist.

2. •Die Querschnitte bleiben bei der Verformung eben und stehen senkrecht zur Stabachse. Die Profilquerschnitte behalten während der Verformung ihre ursprüngliche Form bei.

3. •Die Verformung ist so klein, dass das Gleichgewicht am unverformten System angesetzt werden kann.

Theorie 1. Ordnung

Material

1. •Die Spannungen sind proportional zu den Dehnungen. Das Hook´sche Gesetz ist unbeschränkt gültig.

2. •Es wird isotropes, homogenes und vollelastisches Material vorausgesetzt.

Theorie 1. Ordnung

Belastung

1. • Alle Belastungen werden statisch wirkend angenommen, das heißt, die Belastung ist vorwiegend ruhend. Dynamische Einflüsse werden durch einen Schwingbeiwert zur statischen Belastung berücksichtigt.

Theorie 1. OrdnungSuperposition

M(P1)+M(P2)==M(P1+P2)

Arten statischer SystemeStatisch unterbestimmtes System

Arten statischer SystemeStatisch bestimmtes System

Arten statischer SystemeStatisch unbestimmtes System

ZusätzlichesAuflager

Zweck des Tragwerkes

AUFLAGERKRÄFTE

Das Tragwerk hat die Aufgabe, die einwirkenden Lasten in den Unterbau bzw. den Boden zu übertragen. à STÜZUNG

Arten von Auflagern

Arten von Auflagern –Systembildung

Vertikalbolzen

=≠≠

Mörtelbett

Lager Gelenk

Symbol Symbola N Q M z

0 0 0 0

0 Null; x verschieden von Null

Arten von Auflagern –Symbolische Darstellung von Lagern & Gelenken

Generelle Anforderungen an Modellabbildungen

Beanspruchungen sind von Angriffsstellen durch das Bauwerk in die Gründung zu verfolgen

Für alle Teilbereiche sind die Lasteinflüsse in ungünstigst denkbarer Kombination zu ermitteln

Einstellenden Verformungen müssen für mechanisches Konzept und bauphysikalische Funktionalität vertretbar sein

Klassifizierung von Modellabbildungen

Klasse I Klasse II Klasse III Klasse IV Klasse V

Ca. 50% des Bauwerkes müssen als große Bau- teilbereiche, als komplexe Gesamtheiten bearbeitet werden.

Ein alle Bereiche zusam- menfas- endes und verkop- pelndes Modell.

Klassifizierung von Modellabbildungen

100% Das Bau- werk wird in viele Einzelteile zerlegt, für die nur losgelöste Einzel- betrach- tungen erforderlich sind.

Ca. 50% des Bauwerkes lassen sich als losgelöste Einzelbau- werke bear- beiten.

Beispiele für die Grundstruktur von Modellabbildungen

Verschiebung,z.B. Fahrbahnübergang

erf. Freiraum

Schwerachse

Lagerverschiebung

Verschiebung aus Trägerverdrehungen am

Endauflager

=∞ statt

Modellabbildung für die Verbindungen von Bauteilen mit

großer Bauhöhe

Systemlinieq

1l 1l2l

H a u p tträ g e r

Q u e rträ g e r

D u rch lauf t räger

Trägerrost aus torsionsweichen Trägern

Trägerrost aus torsionssteifen

Trägern

Ebene des Systems der Rechnung

Plattenstreifen als Querträger

beidseitig eingespanntes Bauteil

Zweiseitig eingespannterPlattenstreifen

Behälter –Fugen

>= 5mm>= 1

Wassersperre

Druckminderungskammer

Windschutz

Behälter Schnitt

Draufsicht

Setzungsmulde aus innerer Flüssigkeitsfüllungfür membrandünne Sohle

Setzungsmulde aus äußerer Bodenaufschüttungfür membrandünne Sohle

Kreiszylindrische Behälter

P hn P r Kesselformel

γ= ⋅= ⋅

Behälter

Brücken

•Überbau•Unterbau•Widerlager•Zwischenpfeiler•Lager

Boden BodenBoden

Hallenbauten•kinematisch standsicher•Bemessung mit geringen Aufwand•Redundantes – robustes System

1, zF2, zF 3, zF

BODENϕ

absolute Setzungrelative Setzung

absolute Setzung

1, 1, 0, 4z zF F l g= ⋅ ⋅∼2, 1, 2zF l g⋅ ⋅∼

Übliches statisch unbestimmtes System der Ortbeton- Ausführung mit guter Redundanz

Statisches System mit geringer Redundanz

1,zF2,zF 3,zF

Hallenbauten•kinematisch standsicher•Bemessung mit geringen Aufwand•Redundantes – robustes System

der RealitätgerechtwerdendeModellabbildung

BODENs∆

BODENϕ∆

unzureichendeModellabbildung

reales Verhaltene

simulieren desrealen Verhaltens

, , uE A l

ϕBODENs∆

13Boden u Boden u

E A E Iϕ∆ = ∆ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅l l

Hallenbauten

Rechenmodell einer Stütze mit elastischer Fundamentverdrehung

Fundament unter ausmittiger Belastung

3[ / ]bc MN m

Bodenpressung

Bodenpressung beiklaffender Sohlfuge

21 2 bb b cN

ϕ ⋅ ⋅ ⋅

Hallenbauten

Momenten-Verdrehung- Beziehung für ein Fundament2P

0,1 0,2 0,3 0,41/6 1/3

Sohlfuge klafft zur Hälfte

Sohlfuge beginnt zu klaffen

21 2 bb b cN

ϕ ⋅ ⋅ ⋅

1 / 2b eN

Hallenbauten

Hallenbauten –Dacharten

lcol 1 lcol 2

lcol i

F1 F2F

s us o

s 1s 2

0,65s0,

Gurtstab

Füllstab

Dachkonstruktionen für Wohngebäude –Sparrendach mit und ohne Kehlbalken

2 diagonale Windrispen

Firstholz

großeHorizontalkraft

Dachkonstruktionen für Wohngebäude –Bewegungsmöglichkeiten in der Dachkonstruktion für Sparren

Situation im Stützpunkt der Pfette

Situation zwischen den Stützpunkten der Pfette

Pfette

PFETTEPFETTE zf u=

FIRSTzu

Pfette

2 FIRSTxu⋅

PFETTExu

Drehpoleinzig m

ögliche Bewegung

Dachkonstruktionen für Wohngebäude –Mittelpfette

Dachkonstruktionen für Wohngebäude –Sparren im kombinierten Sparren- Pfettendach

wie Sparrendach

U-Profil

Stahlstütze Stahlbetonstütze

0?yϕ =0?zu = 0?yϕ =

0?zu =

Ausschluss der Beweglichkeit von Strukturen und Systemen

Die Scheibe

D = Druckrand; F = äußerer Lastangriff; S = Stützwirkung der vertikalen Scheiben

Kraftfluss in einer Scheibe- druckweiches und zugfestes Material;drucksteife Randausbildung

Zugdiagonale

Druckstrebe

DruckstrebeDru

Kinematische Untersuchung von Scheiben als Element der Bauwerksstruktur

Z Z ZZ

F FDruckdiagonale

Zugstrebe

ZugstrebeZug

Z Z ZZ

FDruckdiagonale

Zugdiagonale

Aussteifung eines Geschosses- Verschiebungen ux, uy, und phi zeiner Geschossebene

Geschossdecke= Platte

Platte :Belastungnormal zurEbene

Aussteifung eines Geschosses- Verschiebungen ux, uy, und phi zeiner Geschossebene

Scheibe Scheibe :Belastungin Ebene

Auflager

Aussteifung eines Geschosses- Kippen von Trägern-Querträger- Gabellagerung in der Lagerlinie

1. Stufe - vernachlässigbare Trägerhöhe

Deckenscheibe

Wandscheibe

2. Stufe - Berücksichtigung der Höhe der Deckenträger

Deckenscheibe

oder QuerträgerGbellagerung

Lagerlinie

3. Stufe - Maßnahmen gegen Biegedrillknicken der Deckenträger

biegesteifer Querträger im Feld

Aussteifung eines Geschosses in drei Stufen

Der Fluss der Kräfte durch Strukturen und deren VerformungenAnschluss der Querkraft eines Kehlbalkens an einen „biegesteifen“ Sparren

vertikaler Schnitt

/z kM V e

Z M z= ⋅

horizontaler Schnittse

z sM V e Z z D z= ⋅ = ⋅ = ⋅

Der Fluss der Kräfte durch Strukturen und deren VerformungenAnschluss der Querkraft eines Kehlbalkens an einen „biegesteifen“ Sparren

Klaffende Fuge in nur druckfestem Material zwischen Wandfuß und Fundament

yFI = ∞

I ∞∼FundamentI z

Der Fluss der Kräfte durch Strukturen und deren Verformungen

Konstruktive Erfordernisse beim Plattenbalken

Symetrische Belastung

Bewehrung bei exzentrischerBelastung

Fertigteil - Konstruktion

1. Rechenansatz

Bemessung der Bauteileund Verknüpfungen

Kontrolle erfüllt ?oder Korrektur mit

2. Durchgang erforderlich ?

Analyse des tatsächlichen Systemsder Baukonstruktion aus der Bemessung

Exzentrizitäten in einem Stabwerksknoten

Wurzelver-ästelungen,Haarwurzeln

Haupt-wurzeln

Komplexe Bauwerke

Anwendungsorientiertes Bündelnvon ganzheitlich bleibenden Anteilender komplexen Gesamtbasis zuAstabzweigungen, zur Bearbeitungvon komplexen Bauwerken

Verschmelzendes Koppeln aller Grund-wissensanteile zu einem Gesamtkönnen

Grundwissen und -können in denfachlich relevantenWissensgebieten

Vielschichtigkeit und Breite desWissens in den einzelnenFachgebieten

Bildungsstand, Geisteshaltung,Motivation, Weiterbildung

Vielfältige Variantenund innovativeTragsysteme

Äußere Kräfte

Äußere Kräfte –Nach der Art der Einwirkung

Belastung

statisch dynamisch

Baudynamik

beweglich

Beschleuni-gungen g

ständig zeitlichveränderlich

Eigengewicht g,Erddruck e,Nutzlasten

Verkehrslast p,Wind w,Schnee s

Verkehrslasten Erdbeben,Wind,Stoß,

Maschinen-erregung

Beispiele

Äußere Kräfte –Nach der Ursache der Einwirkung

Belastung

Kraftlastfall Verformungslastfall

eingeprägteKräfte

eingeprägteMomente

äußereKraftgrößen

Temperatur

Schwinden

Kriechen

EingeprägteLagerver-schiebung

EingeprägteDiskontinuitäten(z.B. bei Montage)

Vorspannung

als Kraftlastfall als Verformungslastfall

Tm m M

.ungleichm T∆

.gleichm T

0 0T T T→ +

Äußere Kräfte –Nach dem Ort der Einwirkung

Belastung

indirektdirekt

Arten von Einwirkungen

a) Eigengewicht

b) Ständige Auflast

c) Verkehrsbelastung

d) Schneebelastung

e) Windbelastung

f)Bremskräfte, Anfahrwiderstände

g) Seitenstöße

h) Fliehkräfte

i) Wasserdruck

j) Erdbebenkräfte

k) Anprall von Fahrzeugen

l) Silodruck

m) Erddruck

n) Zwangskräfte

o) Kräfte in Folge dynamischer Ursachen

Schnittgrößen

Spannungen τσ Verzerrungen

außerhalb der Stabachse

Integration überQuerschnittsfläche A

z zε ε κ= + i

statische Größen(Kraftgrößen)

geometrische Größen(Weggrößen)

innereGrößen

äußereGrößen

Schnittgrößen (Resultierende) Verzerrungen (Resultierende)

äußere Lasten Verschiebungsgrößen

εγκ

Schnittgrößen

Koordinaten VerschiebungsgrößenSchnittgrößenrä

X;y zM M V V≡ ≡

M Vyϕ ϕ≡

Kraftgrößen Verschiebungsgrößen

Element (innere Größen)

System (äußere Größen)

3 3,S v

2 2,S v

1 1,S v

x6 6,S v

4 4,S v5 5,S v

1 1,P r2 2,P r3 3,P r

Vorzeichenkonventionen

gestrichelte Faserz

Zug außen

Zug innen

M-Verlauf

Innere Kräfte

Kennfaser

1F2F 1nF − nF

N...Normalkraft: Zugkraft positiv

V...Querkraft: positiv, wenn sie am rechten Schnittufer nach

unten geht

M...Biegemoment: positiv, wenn die Kennfaser gezogen wird

Vorzeichenkonventionen –Auflager

Vorzeichenkonventionen –Kraftangriff

Vorzeichenkonventionen –Übertragungsgleichungen

1 0 00 1 00 1

N N qII LV V q LM L M L

⋅∆ = • − ⊥ ⋅∆

∆ ∆ ⊥ ⋅

Vorzeichenkonventionen –Übertragungsgleichungen

li rei

i re i li

i re i li a

N N FV V FM M M

V V+dV

M+dMq(x)

ZUSAMMENHANG:

BELASTUNG - QUERKRAFT – BIEGEMOMENT

ZUSAMMENHANG: BELASTUNG - QUERKRAFT – BIEGEMOMENT

0 :V =∑ 0V q dx V dV− ∗ − − =

Gleichgewicht an dem Balkenelement:

1 0 :M =∑ 21 02M M dM V dy q dx m dx − − + ∗ − ∗ ∗ + ∗ =

vernachlässigbar!

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