Transcript of Beispiele und Aufgaben zur Laplace-Transformation
mit 167 Beispielen und 37 Aufgaben
Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig / Wiesbaden
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Löhr, Hans loser: Beispiele und Aufgaben zur Laplace-Transforma
tion: mit 167 Beispielen u. 37 Aufgaben/Hans Josef Löhr. -
Braunschweig, Wiesbaden: Vieweg, 1979.
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Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig, 1979
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Satz: Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig
ISBN 978-3-663-00111-9 ISBN 978-3-663-00110-2 (eBook) DOI
10.1007/978-3-663-00110-2
Vorwort
Die Anwendung der Laplace-Transformation in den Naturwissenschaften
und der Technik gewinnt ständig an Bedeutung. Dies führt
zwangsläufig dazu, daß diese Methode in die Stoffpläne für
Mathematik der meisten Fachrichtungen an Technischen Hochschulen
und Fachhochschulen aufgenommen werden wird. Im Hinblick auf ihre
Verwendung in anderen Fächern, erscheint es sinnvoll, mit dem
Studium möglichst früh zu beginnen, spätestens jedoch im dritten
Semester. Dies wiederum bedingt, daß nur Kenntnisse vorausgesetzt
werden können, die im ersten und zweiten Semester vermittelt
wurden. Unter diesem Gesichtspunkt ist dieses Arbeits- und
übungsbuch entstanden. Es soll dem Studenten vom dritten Semester
aufwärts ermöglichen, so weit in die Theorie und Praxis der
Laplace-Transformation vorzudringen, daß er gewöhnliche
Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und
Differentialgleichungssysteme, wie sie bei der Behandlung von
Schwingungsproblemen auftreten, selbständig lösen kann.
Darüberhinaus soll der Stu dent in die Lage versetzt werden, mit
fortschreitender Kenntnis in der Mathematik, weiter führende Werke
über die Theorie der Laplace-Transformation zu lesen. Das Buch ist
folgendermaßen aufgebaut:
Im ersten Kapitel werden in zahlreichen Beispielen Funktionen in
den Bildraum transfor miert, um den Leser mit dem Umgang mit
Laplace -Transformierten vertraut zu machen.
Im zweiten Kapitel werden die Eigenschaften der
Laplace-Transformation untersucht.
Im dritten Kapitel wird die Laplace-Transformation zur Lösung von
Differentialgleichun gen benutzt.
Im vierten Kapitel steht die Anwendung auf technische Probleme im
Vordergrund.
Alle Beispiele im Text sind ausflihrlich durchgerechnet. Am Schluß
jeden Kapitels sind Aufgaben gestellt, deren Lösungen im Anhang
angegeben werden, so daß der Leser über prüfen kann, ob er den
Inhalt des Kapitels verstanden hat. Für die Bezeichnung der Formeln
wurde folgender Weg gewählt: Teilergebnisse und Ergeb nisse werden
pro Beispiel mit fortlaufenden kleinen lateinischen Buchstaben
bezeichnet, wenn auf sie nur in der gleichen Aufgabe Bezug genommen
wird. Wichtige Formeln und Sätze, auf die immer wieder
zurückgegriffen wird, werden kapitelweise durchnummeriert, wobei
die erste Ziffer auf das Kapitel hinweist, die zweite Ziffer die
Ordnungszahl pro Kapitel anzeigt. So bedeutet zum Beispiel 2.6 die
sechste wichtige Formel in Kapitel 2. Zur besseren Übersicht wurden
bei den Beispielen folgende Symbole verwendet: T Anfang des
Beispiels, - Ende des Beispiels. Folgt der Lösung ein Zusatz, ist
das Lösungsende (Ergebnis) mit einem Punkt. gekennzeichnet.
An dieser Stelle möchte ich Herrn Professor Dr. G. Lorenzen meinen
herzlichsten Dank aussprechen. Er hat mir viele wertvolle
Anregungen gegeben und war mir bei der Durch rechnung der
Beispiele behilflich.
Pu/heim, im Frühjahr 1979 Hans loset Löhr
III
Inhaltsverzeichnis
1.1 Definition der Laplace-Transformierten ...................... .
1.2 Methode der partiellen Integration . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Die Laplace-Transformierte einiger
Funktionen .................. 4 1.4 Die Laplace-Transformierte
periodischer Funktionen. . . . . . . . . . . . . .. 13 1.5 Die
Treppenfunktion, die Einheitssprungfunktion und die Stoßfunktion ..
20
1.5.1 Die Treppenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .. 20 1.5.2 Die Einheitssprungfunktion
........................... 22 1.5.3 Die Stoßfunktion . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27
1.6 Die Klasse der transformierbaren Funktionen. . . . . . . . . .
. . . . . . . . .. 31 1.7 Tabelle der Laplace-Transformierten
......................... 33 1.8 Aufgaben zu Kapitell. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34
2 Eigenschaften der Laplace-Transformation
......................... 35
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11
Satz über Linearkombinationen ............................ .
Ähnlichkeitssatz ...................................... . Erster
Verschiebungssatz ................................ . Zweiter
Verschiebungssatz ............................... . Dämpfungssatz
....................................... . Differentiationssatz
.................................... . Integrationssatz
...................................... . Faltungssatz
........................................ . Asymptotisches Verhalten
der Originalfunktion ................. . Zusammenfassung der Sätze
dieses Kapitels .................... . Aufgaben zu Kapitel 2
.................................. .
35 36 39 43 49 50 57 60 77 81 82
3 Gewöhnliche Differentialgleichungen .. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .. 84
3.2 Partialbruchzerlegung ................................... 90
3.2.1 Partialbruchzerlegung: Einfache Wurzeln. . . . . . . . . . .
. . . . . . .. 92 3.2.2 Partialbruchzerlegung: Mehrfache Wurzeln
................. 104
IV
3.4 Integro-Differentialgleichungen.............................
124 3.5 Aufgaben zu Kapitel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .. 127
4 Einige Anwendungen der Laplace-Transformation . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .. 129
4.1 Elektrische Kreise und Beispiele aus der Mechanik
................ 129 4.1.1 Aufstellen der Differentialgleichungen
.................... 129 4.1.2 Einige typische Beispiele
............................. 130 4.1.3 Beispiele aus der Mechanik:
Durchbiegung von Balken. . . . . . . . .. 140
4.2 Systeme von gekoppelten Differentialgleichungen. . . . . . . .
. . . . . . . .. 145 4.2.1 Aufstellen von
Differentialgleichungssystemen . . . . . . . . . . . . . .. 145
4.2.2 Numerische Beispiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .. 153 4.2.3 Elektrische Vierpole . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 160
4.3 Aufgaben zu Kapitel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .. 176
Lösungen der Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .. 180
Übersicht
Es wird die Definition der Laplace-Transformierten einer Funktion
gegeben, ohne auf die genau eren Voraussetzungen einzugehen.
Besser wäre zu sagen: Es wird eine Arbeitsvorschrift gegeben, wie
die Laplace-Transformierte einer gegebenen Funktion gebildet wird.
Dann werden die übli chen Bezeichnungen für die
Laplace-Transformierte aufgelistet. Die eigentliche Arbeit beginnt
mit den Beispielen. Hier werden eine ganze Reihe bekannter Funk
tionen transformiert. Der Leser möge alle Beispiele sorgfältig
durchrechnen, um ein gewisses Ver trauen und die nötige Sicherheit
zu gewinnen, die bei den Anwendungen unerläßlich ist. Zum Schluß
des Kapitels werden einige dem Anfänger weniger bekannte Funktionen
eingeftihrt, die aber ftir die Theorie und Anwendung von großem
Nutzen sind. Am Schluß des Kapitels sind die in diesem Buch
benutzten Laplace-Transformierten in einer Tabelle zusammengestellt
und durch Tl, T2 , T3, usw. gekennzeichnet.
1.1 Definition der Laplace-Transformierten
Gegeben sei eine Funktion
Unter dieser Voraussetzung soll
o
die Laplace-Transformierte der Funktion f(t) heißen. 1)
(1.1)
f(t) nennt man die Original[unktion oder Ober funktion. Die Menge
der Funktionen (f(tn nennt man den Originalraum oder Oberbereich. F
(s) nennt man die Bildfunktion oder die Laplace-Transformierte von
f(t). Die Menge der Funktionen {F (sn nennt man den Bildraum oder
Unterbereich. Wir werden die Originalfunktionen immer mit kleinen
Buchstaben bezeichnen: f(t), x (t) usw., während wir für die
Bildfunktionen ausschließlich große Buchstaben verwenden wer den:
F (s), X (s) usw.
1) Auf die Bedingungen, unter denen eine Funktion f(t)
transformierbar ist, kommen wir am Ende dieses Kapitels (Abschnitt
1.6) zurück.
Wenn wir beim Übergang in den Bildraum noch die Originalfunktion im
Auge behalten wollen, schreiben wir für F(s): 1:, {f(t)}. Die
Rücktransformierte f(t) bezeichnen wir ent sprechend mit 1:,-1 {F
(s)} 2).
1.2 Methode der partiellen Integration 00
Weil bei der Berechnung von Integralen der Form: S f(t) e- st dt
häufig die Methode der
o partiellen Integration benutzt wird, soll hier das Wesen der
Methode in Erinnerung gerufen werden. Wir gehen aus von der
Produktregel der Differentialrechnung:
d(u(t) v(t)) du(t) dv(t) dt = ~v(t) +u(t)~.
Durch einfaches Umstellen erhalten wir:
du(t) d dv(t) ---cttv(t) = dt (u(t) v(t))-u(t)~.
D· I t t· d GI· h I·!" t ·tdU(t)_·(t) und dv(t)_.(). le n egra Ion
er elc ung leier ml (it = u (It = v t .
SÜ(t)V(t)dt= S:t(U(t)v(t))dt-SU(t)V(t)dt. (a)
Nach der Definition des unbestimmten Integrals bedeutet ff(t) dt =
cf> (t), daß $ = f(t) ist. Im ersten Term der Gleichung (a) ist
der Integrand ~ (u (t) v (t)) gerade die Ableitung von (u(t) v
(t)). Also ist:
S :t (u (t) v (t)) dt = u (t) v(t).
Damit erhalten wir aus Gleichung (a) die Formel der partiellen
Integration:
S ü ( t) v ( t) d t = u ( t) v ( t) - S u ( t)V ( t) d t. (b)
Wesentlich ist bei der Anwendung dieser Formel, ü (t) und v(t) so
zu wählen, daß das Integral auf der rechten Seite von Gleichung (b)
eine einfachere Form annimmt als das ursprüngliche Integral; sei
es, daß es ein Grundintegral ist; sei es, daß es durch weitere Be
handlung in ein Grundintegral überfUhrt werden kann.
2) In der Literatur sind für den Übergang von der Originalfunktion
zur Bildfunktion folgende Bezeich nungen üblich:
f (t) 0_ F (s) oder f (t) 0= ° F (s).
Für den umgekehrten Übergang schreibt man entsprechend:
F (s) 0-. f (t) oder F (s). = ° f (t) °
2
I. Wir suchen die Funktion
f(t) = ft sin(t) dt,
d.h. wir suchen die Funktion f(t), deren Ableitung f(t) = t sin(t)
ist. Wir setzen sin(t) = ü und t = v. Dann ist u = - cos(t) und v =
1. Setzen wir diese Ausdrücke in Gleichung (b) ein, erhalten
wir:
Jt sin(t) dt = - cos(t) t -.1- cos(t) I dt
oder: ft sin (t) dt = - t cos(t) +J cos (t) dt.
Das Integral auf der rechten Seite ist ein Grundintegral. Damit
erhalten wir das Ergebnis:
Jt sin(t) dt = - t cos(t) + sin(t) + C.
Hätten wir sin(t) = v und t = ü gesetzt, so wäre mit v = cos(t) und
u = t das Ergebnis der partiellen Integration:
I, t2 rt2 l sin(t) dt = "2 sin(t) -.1 2" cos(t) dt.
Das Integral auf der rechten Seite ist komplizierter als das
ursprüngliche Integral. Die Rech nung ist zwar richtig, aber
sinnlos!
2. Wir suchen die Lösung des Integrals: ft 2 sin (t) dt. Wir
setzen: v = t2 und ü = sin(t). Dann wird: v = 2t und u = - cos(t).
Mit Gleichung (b) erhalten wir:
Se sin (t) dt = e (- cos (t)) - S 2t (- I) cos (t) dt
= - t2 cos (t) + 2 J t cos (t) dt.
Das Integral auf der rechten Seite ist zwar noch kein
Grundintegral, aber es hat eine einfa chere Gestalt als das
ursprüngliche. Wir berechnen dieses Integral mit Gleichung (b). Wir
setzen: v = t und ü = cos (t). Dann wird: v = I und u = sin(t).
Damit erhalten wir mit Gleichung (b):
2 Jt cos(t) dt = 2t sin(t) - 2Jsin(t) dt = 2t sin(t) + 2 cos(t) +
C.
3
Mit diesem Ergebnis können wir nun unser ursprüngliches Integral
lösen:
je sin(t)dt = - t2 cos(t) + 2t sin(t) + 2 cos(t) + C.
1.3 Die Laplace-Transformierte einiger Funktionen
Beispiele
~ 1-1 Es sei: f(t) = { ~ ftir t ~ 0 ftir t < O.
Berechnen Sie F (s).
F(s) = ff(t)e-stdt= fle-stdt=-ie-st I =-i(e-OO-eO)I)
000
~ 1-2 Es sei f(t) = t. Berechnen Sie f, {t} .
Lösung 00
o
00 00
o 0
Der ausintegrierte Teil verschwindet wegen lim t e- st = O. Für das
verbliebene Integral er- t .... 00
gibt sich nach Beispiel 1-1 der Wert ~.
I) Wir benutzen das Zeichen 00 als Abkürzung für den Grenzwert !im.
So bedeutet stets: A t-+ oo
f f(t)e-stdt= !im ff(t)e-stdt und e-oo=!im e- st . A-+~ t-+~
o 0
2) Wie die Berechnung des Integrals zeigt, scheint es überflüssig
zu sein, den Verlauf der Funktion für t < 0 zu kennen. Später
jedoch wird sich zeigen, daß es zweckmäßig ist, die Funktionen, die
trans formiert werden sollen, für t < 0 gleich Null zu
setzen.
4
Wir erhalten:
T 1-3 f(t) = e sei die überfunktion. Berechnen Sie die
Unterfunktion F (s).
Lösung 00
o
00 00
F (s) = -} e e- st I + ~ S t e- st dt.
o 0
00
•
• T 1-4 Stellen Sie eine Rekursionsformel für die
Laplace-Transformierte L (in} auf (n EIN)
und berechnen Sie durch wiederholte Anwendung der gewonnenen Formel
L {tn}.
Lösung 00 00 00
L {tn} = J tn e- st dt = -} tn e- st I + ~ S tn - I e- st dt.
000
Der ausintegrierte Teil verschwindet an der oberen Grenze wegen lim
tn e- st = O. Ebenso t ---> 00
ist dieser Ausdruck an der unteren Grenze für n = 1, 2, 3, ....
Null. (Man kann dies bei spielsweise mit Hilfe der l'Hospitalschen
Regel beweisen.) Das Integral ist aber nach Defini tion(l.1): LUn
- I }.
Wir erhalten also die Rekursionsformel:
Nochmaliges Anwenden der Rekursionsformel auf L {tn - I}
ergibt:
n [(n - 1) ] n (n - 1) L{tn}=s -s-L{tn - 2 } = 2 L{tn - 2 }.
s
5
Durch n-maliges Anwenden der Rekursionsformel erhalten wir
schließlich:
n(n-1)(n-2) ......... (n-n+1) 0 n' n' .t{tn} = .t{t}=~.t{l}=-·
.•
sn sn sn + 1
Lösung 00 00
F (s) = Set e- st dt = S e-(s - 1) t dt = - _1_ e-(s - 1) t
s-1
o ·0
00
o
Der Grenzwert existiert nur ftir s> 1 und ist dann Null 1 ).
Unter dieser Einschränkung erhalten wir:
1 F(s) =.t {et } =
s - 1 (s> 1).
~ 1-6 Es sei f(t) = e3t und Re (s) > a. Berechnen Sie .t
{e3t}.
Lösung 00 00
Lösung
00 00
o o
00 00
o o
00
o
00
o
I) Im allgemeinen ist s eine komplexe Zahl: s = ß + jw. Der
Grenzwert existiert dann für ß = Re (s) > 1 und ist Null.
6
00 00
o 0
Der erste Term konvergiert nur für Re (s) > w, der zweite Term
nur fur Re (s) > - w. Die Laplace-Transformierte1:. {sinh (wt)}
existiert also nur fur Re (s) > Iwl. Unter dieser Einschränkung
erhalten wir:
1:. {sinh(wt)} = 2(S~W) 2(S~W) (s+w)-(s-w)
2(s-w)(s+w)
00 00 00
F(s) = JSinh(wt)e-stdtP"l-I)~COSh(wt)e-st I_(~S) J cosh(wt) e- st
dt
o o o 00 00 00
p:!. ~ cosh(wt) e- st I + ~2 sinh(wt) e- st I + ~2 J sinh(wt) e- st
dt.
000
Das Integral auf der rechten Seite ist F (s). Indem wir die Grenzen
einsetzen und beachten, daß die ausintegrierten Teile nur fur Re(s)
> Iwl konvergieren, erhalten wir:
1 S2 F(s) = - w +2 F(s).
w
s -w
s 1:. {cosh(wt)} = -2--2; Re(s) > Iwl.
s -w
Lösung 00 00
00
1:. {sin(t)}= J sin(t) e- st dtP"l--cos(t) e- st -s J cos(t) e- st
dt =
o o o
I) Die Buchstaben p.l. über dem Gleichheitszeichen bedeuten, daß
die Methode der partiellen Integra tion angewendet wird.
7
000
.c {sin (t)} = 1 - S2 .c {sin (t)}.
Daraus erhalten wir:
.c {sin(t)} = +. s + 1 •
T 1-9 Berechnen Sie F (s) = .c {sin (wt)} mit Hilfe der Eulerschen
Formel.
Lösung eiwt - e-jwt . C1
Wir wenden die Eulersche Formel an: sin (wt) = 2' ; j = y - 1 , D '
J ann Ist:
00 00
F (s) = f sin(wt) e- st dt = ~ f (e jwt - e- jwt ) e- st dt
o o
00 00
o 0
00 00
- 2j(s - jw) + 2j(s + jw) o
I 1 1 = 2j(s -jw) - 2j(s + jw)"
o
Durch ganz analoge Rechnung erhält man (s, Aufgabe 1.b»:
s .c {cos(wt)} = -2--2'
Lösung 00 00
o o
•
•
Dieses Integral hat die gleiche Form wie f {sin (wt)} , wenn wir s
durch (s + a) ersetzen. Benutzen wir das Ergebnis von Beispiel 1-9,
so finden wir ohne weitere Rechnung:
f{e-atSin(wt)}=( f 2' s + a + w •
Wir kommen auf diesen wichtigen Zusammenhang zwischen den
Ergebnissen der Beispiele 1-9 und 1-10 im zweiten Kapitel zuriick
und werden diesen Sachverhalt in einem allge meinen Satz
formulieren (Satz 2.5). Durch ähnliche Überlegungen erhalten wir
unter Benutzung von
_ s . -at _ S + a f {cos(wt)} - -2--2' f {e cos(wt)} - ( )2
2'
S +w s+a +w • .1-11 Berechnen Sie mit Hilfe des Ergebnisses des
Beispiels 1-2 die Laplace-Transformierte
von f(t) = te-at.
00 00
f {te-at} = S te-at e- st dt = S te-(s + a)t dt.
o
o
o
erhalten wir durch die gleichen Überlegungen wie in Beispiel
1-10:
(> {t -at} _ 1 J.., e -(-)2' s+a •
Zusatz: Wir wollen hier noch ein anderes Verfahren anwenden, das
schon wegen seiner Eleganz verdient, erwähnt zu werden. Wir
betrachten in e- at auch a als Variable. Differenzieren wir e- at
nach a, so erhalten wir:
aaa e- at = - te-at 1).
Wir erhalten damit: 00 00
o o
1) Bei der Differentiation einer Funktion mit mehreren Variabeln
(hier a und t) nach einer Veränder· lichen, schreibt man a statt d,
um anzudeuten, daß die übrigen Variablen (hier t) wie Konstanten
behandelt werden.
9
00
.c {t e -at} = - ~ S e - at e - st d t = - ~ .c {e - at} . aa aa
o
Wegen.c fe-at} = s! a und ~ (_1_) = --=-L wird· oa s + a (s + a)2
.
(> { -at} __ 1_ J..- te - ( )2. s+a •
~ 1-12 Berechnen Sie wie in Beispiel (I -1 1) F (s) = .c {tn eat }
nach dem zweiten angege benen Verfahren.
Lösung
Mit diesem Ausdruck erhalten wir:
~ 1-13 Berechnen Sie ähnlich wie in den Beispielen 1-11 und 1-12.c
{t sin(t)} unter
Benutzung von .c {sin(t)} = -21 . s + 1
Lösung 00 00 00
.c{tsin(t)}= S tSin(t)e-stdt=.f sin(t)(te-st)dt= .f sin(t)(-I)(;se-
st ) dt.
o o o
00
.c {t sin(t)} = - :s .f sin(t) e- st dt = - :s C2 ~ 1)· o
Hier durften wir wieder d statt a verwenden, weil das Integral eine
Funktion nur von s ist. Damit erhalten wir
.c {t sin ( t)} = ( 2 2s . ) 2 .
S + 1 •
10
In dem folgenden Beispiel soll versucht werden, das Ergebnis zu
verallgemeinern.
~ 1-14 Es sei f(t) eine beliebige Funktion, deren Bildfunktion F(s)
bekannt ist. Berechnen Sie.f {t f(t)}.
Lösung 00 00
.f {tf(t)} = S t f(t) e- st dt = S f(t) (te- st ) dt
o o 00 00
d d .f {t f(t)} = - ds.f {f(t)} = - ds F(s). •
Eine weitere Verallgemeinerung wollen wir in Beispiel 1-15
formulieren und beweisen.
~ 1-15 Es sei f(t) eine beliebige Funktion, deren Bildfunktion F
(s) ist. Beweisen Sie:
(n EIN). (a)
Beweis 00 00
Lösung
Wir wenden Gleichung (a) in Beispiel 1-15 an und erhalten mit .f
{sinh(t)} = _1_: s2 - 1
.f {t2 sinh(t)} = (- 1)2 d2 2 (-2-1_).
ds s - 1
11
und
(3s2 + 1) .f{esinh(t)}=2(2 )3' s -1
T 1-17 Berechnen Sie direkt aus Definition (1.1) die
Laplace-Transforrnierte von f(t) = sin2 (wt).
Lösung ~ ~ ~
•
S sin2 (wt) e-st I S F(s)= sin2(wt)e- st dt P=l-- s +~
2sin(wt)cos(wt)e-stdt.
o 0 0
Wegen 2 sin(wt) cos(wt) = sin(2wt) ist
F (s) = ~ S sin(2wt) e- st dt pJ.- ~ sin(2wt) e- st I + 2~2 S
cos(2wt) e- st dt
000
~ ~
p.1. 2w 2 (2 ) st I 4w3 S ( ) st d = - 7 cos wt e- -7 sin 2wt e-
t
o 0
~
2w2 4w2 W S 2w 2 4w2 = -- - - sin(2wt) e- st dt = --- F(s).
S3 S2 S S3 S2
o
2w 2 4w 2
F(s) = 7-7 F(s).
Daraus erhalten wir:
• T 1-18 Berechnen Sie .f {cos2 (wt)} unter Benutzung des
Ergebnisses des Beispiels 1-17.
Lösung
F (s) = S cos2 (wt) e- st dt = S {l - sin2 (wt)) e- st dt =
o o
00 00
o o
Unter Benutzung der Ergebnisse der Beispiele 1-1 und 1-17 erhalten
wir:
s2+4w2-2w2
S(S2 + 4w2 )
S2 + 2w2
s(s2+4w2)'
Lösung 00 00 00
00 00
e- st e-(s+ a)t a -- + s + a = ----= --- s s s+a s(s+a)'
0 0
In den nächsten Beispielen behandeln wir eine sehr wichtige Gruppe
von Funktionen, die periodischen Funktionen. Diese Funktionen sind
durch folgende Eigenschaft charakterisiert:
f(t) = f(t +T).
Das bedeutet: Wird das Argument t um einen bestimmten Betrag T
(genannt Periode) ver größert, so ist der Funktionswert der
gleiche. Es ist sofort einzusehen, daß dann auch gilt: f(t+nT)=f(t)
(nEIN)'). Die bekanntesten periodischen Funktionen sind sin (2:; t)
und cos (2:; t ) . Ihre Periode ist T. Setzt man nämlich t, = t +
nT, so erhält man:
sin (~ t,) = sin (~1T (t + nT)) = sin (~1T t + 21Tn) = sin (~ t )
bzw.
( 21T) (21T ) (21T ) (21T ) cos Tt, =cos\T(t+nT) =cos Tt+21Tn =cos
Tt .
') In der Theorie der Laplace-Transformation muß eine Einschränkung
gemacht werden, die den strengen Begriff der eben definierten
periodischen Funktionen zerstört! Aus der Definition einer
periodischen Funktion folgt, daß sie von - 00 bis + 00 periodisch
ist. Wir hingegen halten an der Forderung fest, daß alle
betrachteten Funktionen ftir t < 0 gleich Null sind. Wir können
also nur in diesem eingeschränkten Sinn von periodischen Funktionen
sprechen.
13
o T
Beispiele
~ 1-20 Entwickeln Sie eine Formel rur die Laplace-Transformierte
einer beliebigen periodi schen Funktion f(t) = f(t + nT). Hinweis:
Integrieren Sie stückweise über je eine Periode und substituieren
Sie t = T + vT.
Lösung 00
o
Um die Eigenschaft der Periodizität ausnützen zu können,
integrieren wir stückweise über die Perioden und summieren:
T 2T 3T
F (s) = J f(t) e- st dt + S f(t) e- st dt + S f(t) e- st dt +
...
o T 2T
Für die Grenzen erhalten wir:
t = (v + 1) T ~ T = t - vT = (v + 1) T - vT = T
t = vT ~ T = t - vT = vT - vT = 0
Eingesetzt in Gleichung (a) ergibt das:
00 T
v= 0 0
(a)
Wegen der Periodizität gilt aber: f(r + vT) = f(r) und wir
erhalten:
00 T 00 T
F (s) = L \ f(r) e-S(T + vT) dr = L e- vsT \ f(r) e- ST dr.
v=oo v=O 0 Das Integral ist nun frei vom Summationsindex v, so daß
wir es vor das Summationszeichen ziehen können:
T 00
F (s) = S f(r) e- ST dr L e- vsT . o v = 0
(b)
Wir betrachten jetzt noch die Summe: Mit e- vsT = [e~sTt = qV; (q =
e- sT) erhalten wir:
00 00
L (e-sT)V = L qV = 1 + q + q2 + ..... v=O v=O
Die Summe ist eine unendliche geometrische Reihe, die fiir Iql <
1 bzw. Re (sT) > 0 den 1 1 Grenzwert -1 - = ---T hat. -q l-e-
S
Setzen wir dies in Gleichung (b) ein, so erhalten wir:
T
F(s)=o T 1 - e- s • (1.2)
"1-21 Berechnen Sie mit Hilfe von Gleichung (1.2) die
Laplace-Transformierte L {sin (t)} und vergleichen Sie das Ergebnis
mit dem Ergebnis des Beispiels 1-8.
Lösung sin(t) hat die Periode T = 21T. Setzen wir also in Gleichung
(1.2) T = 21T und f(r) = sin(r), so erhalten wir:
21T
F(s)=O 2 1 - e- 7TS
Wir berechnen das Integral durch partielle Integration:
21T 21T 21T
1= J sin(r) e-sTdrP""L-isin(r) e- ST I +i S cos(r)e-STdr=
000
(a)
15
211' 211'
pJ. _1 cos(r) e- ST I _1 S sin(r) e- ST dr = _1 (e- 2 11'S -1) _lI.
~ ~ ~ ~
o 0
1 - e- 2 11's 1=---:-
S2
S2 + 1 .
1 F (s) = S2 + 1
in Übereinstimmung mit dem Ergebnis von Beispiel 1-8.
T 1-22 Berechnen Sie .f {f(t)} fur:
1 0 tUr t<o
f(t) = A tUr O~t<a o tUr a~t<2a usw.
AI----,
40
•
Bild 1.2
Wegen 1 - e- 2as = 1 - (e- as)2 = (1- e- aS) (1 + e- aS) erhalten
wir:
F(s) - A s (1 + e- aS) •
16
b) Berechnen Sie t {f(t)}.
Lösung
a) Die Funktion sin (2:; t) ist positiv fiir 0< t < t, T <
t < l T usw.
Die Funktion sin (2:; t) ist negativ ftir t< t < T, l T <
t < 2T usw.
Daraus folgt:
ftir ~ < t < T usw.
Bild 1.3
o
T/2 T/2 T/2
I = S sin (:; t) e- st dt Pol- - i sin (2; t) e- st + i: J cos (:;
t)
o o o
T/2 T/2
e- st I -(i:Y S sin C; t) e- st dt
o 0
17
I = ~ (1 + e-(T/2) S) _ (21T)2 I. Ts2 Ts
Wir erhalten:
T S2 + U;y . I in Gleichung (a) eingesetzt ergibt:
211" T 1 + e-(T/2) S
! {f(t)} = --=-(-2 -)2 1 -Ts . S2.+'; - e
Wegen 1 - e-Ts = 1 - (e-(T/2) S)2 = (1 + e- (T/2) S) (l - e-(T/2)
S) erhalten wir:
! {f(t)} = ()2 S2 + 211"
1 - e-(T/2) S • •
T 1-24 a) Berechnen Sie direkt aus der allgemeinen
Periodizitätsbedingung f (t + T) = f (t) die Periode von f(t) =
Isin(wt)1. b) Berechnen Sie mit Hilfe von Gleichung (1.2) die
Laplace-Transformierte der Funktion f(t) = Isin(wt)1.
Lösung
a) Wegen f(t +T) = f(t) muß gelten: Isin{w(t+T)}1 = Isin(wt)1. Wir
wenden auf der linken Seite das 1. Additionstheorem an und
erhalten:
Isin(wt)· cos(wT) + cos(wt)· sin(wT)1 = Isin (wt)l. (a)
Wenn diese Gleichung für alle Werte von t erfüllt sein soll, müssen
die Koeffizienten von sin(wt) und cos(wt) auf beiden Seiten
übereinstimmen. Auf der rechten Seite fehlt cos (wt), der
Koeffizient ist also Null. Daraus ergibt sich:
sin(wT) = O.
Daraus folgt sofort:
sind erfüllt für wT = n1T (n = 0, 1,2, ... )
18
oder T = n1l" w'
Da T > 0 sein muß (sonst wäre die Funktion konstant), ergibt
sich der kleinste Wert von T für n = I.
Daraus folgt:
o
(a)
Das Absolutzeichen unter dem Integral konnte weggelassen werden,
weil sin (wt) im Inte grationsbereich nicht negativ wird. Wir
können uns die Berechnung des Integrals in Gleichung (a) ersparen,
wenn wir es mit dem Integral (a) des Beispiels 1-23
vergleichen:
T/2 f sin {(2;) t} e- st dt.
o
T/2 rr/w
J sin { C;) t } e- st dt = J sin (wt) e- st dt.
o 0
Wir können also das Ergebnis dem Beispiel 1-23 entnehmen, indem wir
dort ~ durch w ersetzen.
1 + e-(rr/w) s I =w------,---
S2 + w 2
Setzen wir diesen Ausdruck in Gleichung (a) ein, so erhalten
wir:
. w l+e-(rr/w)s E [/sm(wt)/} = -2--2 (I ) . s + W 1 - e- rr w
s
Man kann dem Ergebnis noch eine andere Form geben, indem man den
letzten Bruch mit e(rrs/2w) erweitert. Wir erhalten dann:
. w e(rrs/2w) +e-(rrs/2w) w ('Ir) L [/sm(wt)l} = -2--2 ( /2) _( /2
) = -2--2 coth -2 s , s + w e rrs w - e rrs w S + W W
wegen
19
T 1-25 Die periodische Funktion f(t) habe nach Bild 1.4 den
Graph:
Berechnen Sie .f {f(t)}.
Lösung Die Periode T der Funktion ist a. Die analytische Form der
ersten Periode ist: f(t) = ~t. Damit erhalten wir nach Gleichung
(1.2):
a
o
Bild 1.4
I = S t e- st dt = - :s S e- st dt = - :s ( - e: st I ) = :s (e- a
: - 1 )
o 0 0
Eingesetzt in Gleichung (a) ergibt das:
Erweitern wir Zähler und Nenner noch mit eas , so erhalten
wir:
b eas - 1 -as F(s)=i s2(eaS _l)' •
Die Zahl der Beispiele ließe sich beliebig vermehren, doch würde
dies nur auf eine Integra· tionsaufgabe herauslaufen. Es bleibe dem
Leser überlassen, sich weitere periodische Funk- tionen
auszudenken, die er in den Bildraum transformieren möge. _
1.5 Die Treppenfunktion, die Einheitssprungfunktion und die
Stoßfunktion
1.5.1 Die Treppenfunktion [t]
Die Treppenfunktion ist folgendermaßen definiert:
[tl = 1 ! fur t~1 fur l<t~2 fur 2 < t ~ 3 usw.
20
Beispiel
~ 1-26 a) Zeichnen Sie den Graph der Funktion [t]. b) Berechnen Sie
.t {[ t)}.
Lösung a)
123
b) .t{[t)} = J Oe-stdt+ S 1 e-stdt+ S 2e- st dt+ ...
o 2
123
Bild 1.5
= i (_e- 2S +e- s -2e- 3s +2e- 2s -3e- 4s +3e- 3s + ... )
00
Der Ausdruck in der eckigen Klammer ist eine unendliche
geometrische Reihe I qV mit q=e- s . v=l
00
Die Reihe konvergiert für Iql < 1 oder Re (s) > O. Der
Grenzwert ist: I qV = 1 ~ q = ~s v=l
1 - e- S
Wir erweitern Zähler und Nenner noch mit eS und erhalten:
.t {[ t]} = s (eS - 1) •
21
1.5.2 Die Einheitssprungfunktion u (t)
Wir kennen diese Funktion bereits, denn wir haben sie schon in
Beispiel 1-1 behandelt:
f(t) = { ~ tUr
Bild 1.6
u (tl
2 3
Wegen der Bedeutung der Funktion wollen wir ihr einen eigenen Namen
Einheitssprung funktion und ein eigenes Funktionszeichen u(t)
geben (u für englisch: unit = Einheit).
In der Technik kann man durch u (t) das plötzliche Einschalten
einer Batterie oder das plötzliche Einsetzen einer konstanten Kraft
beschreiben. Die tUr uns hier wichtigste Verwendung von u (t)
besteht darin, daß eine beliebige Funk tion f1 (t) durch
Multiplikation mit u(t) die Eigenschaft erhält, tUr alle t < 0
den Wert Null anzunehmen:
{ f1 (t) f(t) = f1 (t) u(t) = 0
tUr
tUr
t~O
t <0.
Der Leser möge z.B. die Funktion f1 (t) = et und die Funktion f(t)
= u(t) et zeichnen, um sich den Sachverhalt klarzumachen.
Eine sinngemäße Erweiterung der Einheitssprungfunktion ist die
verschobene Einheits sprungfunktion u (t -a) mit a> O. Sie ist
eine Sprungfunktion wie u (t) mit dem Unter schied, daß der Sprung
nicht bei t = 0, sondern rechts davon bei t = a erfolgt. Man macht
sich das am besten klar, wenn man t - a = r setzt. Es ist dann: u
(t - a) = u (r). u (r) hat den Sprung an der Stelle r = O. Für r =
0 ist aber t = a. Es ist also:
u(t-a) = { ~ tUr t < a
tUr t ~ a.
Wir wollen den Graph von u (t - a) aufzeichnen, um uns das Bild
einzuprägen:
u (t - Cl)
22
Wir werden von nun an, wo es notwendig erscheint, den Nullbereich
der Funktion durch die Faktoren u (t) bzw. u (t - a) deutlich
kennzeichnen. Wo dagegen Verwirrung ausge schlossen ist, werden
wir die Schreibweise wie bisher beibehalten: Schreiben wir zum Bei
spiel f(t) = sin(t), so bedeutet das f(t) = u(t) sin(t). Die
Laplace-Transformierte von u (t) kennen wir bereits. Wir haben sie
in Beispiel 1-1 be rechnet:
1 ! {u(t)} = s.
Lösung
a ~ ~
! {u (t - a)} = S 0 e- st dt + S 1 e- st dt = - i e- st I = e: sa
.
o a a
•
~ 1-28 a) Stellen Sie die Treppenfunktion [tl (s. Abschnitt 1.5.1)
mit Hilfe von u(t - a) dar.
b) Berechnen Sie mit Hilfe dieser Darstellung unter Benutzung des
Ergebnisses von Beispiel 1-27 die Laplace-Transformierte von
[t].
Lösung
(e-VS) (e-S)V b) Wegen! {u(t - v)} = -s- = -s-' ist
! {[tl} = !{( i: u(t - v) )} = f ! {u(t - V)}I) = i ~ ee-S)V v=l
v=l v=l
Das Ergebnis stimmt mit dem Ergebnis von Beispiel 1-26
überein.
I) Wir benutzen hier die allgemeine Eigenschaft der
Laplace-Transformation:
t {a f(t) +b g(t)} = at {f(t)} + b t{g(t)}
a, b beliebige Konstanten
•
f(t) = I ~ für für für
a<b
b) Stellen Sie f(t) mit Hilfe der verschobenen
Einheitssprungfunktion dar. c) Berechnen Sie t {f(t)}.
Lösung a)
c) Wir wählen zwei Wege.
1. Weg: direkt aus der Definition (1.1)
a b 00 b
t {f(t)} = So e- st dt + S h e- st dt + S 0 e- st dt = he-I) e: st
I o a b a
e- as _ e- bs = h· s
2. Weg: Wir verwenden das Ergebnis des Beispiels 1-27.
t {f(t)} = t {h(u(t-a)-u(t-b))}
•
24
T 1-30 Gegeben sei eine Funktion f l (t) = U (t) f(t). a) Wie
lautet die Gleichung der Funktion f2 (t), die aus f l (t) entsteht,
wenn diese um die Zahl a> 0 nach rechts verschoben wird? b) Man
mache sich den Unterschied zwischen f l (t) und f2 (t) zeichnerisch
klar.
Lösung
a) f2 (t) = f l (t - a) = u (t - a) f (t - a).
b)
a)f(t)=t2; b)fl (t)=u(t)t2; c)f2(t)=u(t)(t-1)2;
d) f3 (t) = u(t- 1)(t- 1)2; e) f4 (t) = u(t-l) t2; f) fs(t) =
u(t-l)(t- 1)2 -u(t-3)(t-l)2
= (u(t -1) - u(t - 3))(t _1)2.
•
f) •
26
1.5.3 Die Stoß funktion 0 (t)
In der Technik spielt die Stoßfunktion oder Impulsfunktion oder
Diracsche Deltafunktion o (t) eine bedeutende Rolle. Wir werden
gleich sehen, daß 0 (t) keine Funktion im übli chen Sinne ist. Man
nennt sie deshalb eine Pseudofunktion. o (t) ist folgendermaßen
definiert:
o(t) = lim 1. {u(t)-u(t-e)} e-->oe
= { ~ für alle t '* 0
für t=O.
Bild (1.11) zeigt die Funktion ~ {u (t) - u (t - e)} fur e = ~
.
4 I
o ~4 Bild 1.11
(a)
Aus der Definition erkennt man, daß 0 (t) in der Tat keine Funktion
ist: In der Analysis schließt man alle Stellen, an denen der
Funktionswert alle Grenzen übersteigt, aus dem Definitionsbereich
aus, während bei 0 (t) gerade die Stelle t = 0, an der der
Funktionswert unendlich ist, die entscheidende Rolle spielt.
Praktisch bedeutet 0 (t) eine kurze, starke Erregung zur Zeit t =
0, z.B. einen Hammer schlag auf ein mechanisches System oder einen
Blitzschlag in ein elektrisches System. Wir werden, wie es in den
Ingenieurwissenschaften üblich ist, mit der Stoßfunktion rechnen,
als wäre sie eine Funktion. Wir müssen aber das Ergebnis dieser
Rechnung jeweils kritisch überprüfen und dürfen uns nicht wundem,
wenn das Ergebnis ungewöhnliche Eigenschaften aufweist. Eine
weitere für manche Zwecke nützliche Definition ist folgende:
d o (t) = dt u(t). (b)
27
Beispiele
~ 1-32 Man zeige anband des Graphen von u(t), daß die Definition
(b) mit der Definition (a)
übereinstimmt.
Lösung
u(l)
o
• . u(t+~t)-u(t) . 1-1 u(t) = hm = hm - = O.
At -+ 0 ~t At -+ 0 ~t
Entsprechend gilt flir t< 0
• . u(t+~t)-u(t) . 0-0 u(t) = hm = hm -- = O.
At .... 0 ~t At-+O ~t
B . t O' t Au 1 - 0 1 d .. l' Au el = IS At = ~ = At; amlt 1st 1m
At = 00 At -+ 0
Es ist also:
<5 (t) = { 00
T 1-33 Beweisen Sie mit Hilfe der Definition (a):
00
- 00
Lösung
00 €
f 1 1 f E E (u(t)-U(t-E)) dt = E dt = E = 1.
-00 o
Bild 1.12
•
•
28
~ 1-34 Berechnen Sie .f {ö (t)} mit Hilfe der Definition (a), indem
Sie zuerst
.f {~( u (t) - u (t - e»} berechnen und dann zum Grenzwert e -+ 0
übergehen.
Lösung
.f{~(u(t)-u(t-e»} E E
= .1 f 1 e- st dt = .1 (-1) .1 e- st I = .1 1 - e- SE
e e s Se' o 0
Für e = 0 ist der Ausdruck 1 _;-0 = ~ unbestimmt. Wir wenden die
l'Hospitalsche Regel an und erhalten:
1 - -SE ..Q.. Cl - e- SE ) -SE
I· e I' dE I' sei 1m -S-e- = 1m d = 1m -s - = . E-+O E-+O s-E
E-+O
dE
Es ist also .f {ö (t)} = 1. • Die Anomalie der Stoß funktion zeigt
sich auch an ihrer Bildfunktion. Betrachten wir die bisher
berechneten Bildfunktionen, so haben sie alle ein übereinstimmendes
Merkmal: Für Re (s) -+ 00 gehen die Bildfunktionen gegen Null.!)
Dagegen ist .f {ö (t)} = 1 ftir alle Werte von s. • Eine sinngemäße
Erweiterung der Stoßfunktion ist die verschobene Stoßfunktion: Der
Stoß soll nicht zur Zeit t = 0, sondern zu einer späteren Zeit t =
a erfolgen. Wir definieren dem gemäß:
ö(t-a)=!im ~(u(t-a)-u(t-a-e» (a') E -+ 0
oder:
d ö(t-a) = dt u(t-a). (b')
~ 1-35 Berechnen Sie die Laplace-Transformierte von ö (t - a).
Hinweis: Gehen Sie von der Definition (1.1) aus und substituieren
Sie t - a = 7.
Lösung 00
a
Wir substituieren t - a = 7 und erhalten mit den neuen Grenzen 0
und 00
00 00
.f {ö (t - a)} = S ö (7) e-S(T + a) d7 = e- as J Ö (7) e- ST
d7
o o
• !) Wir werden in Abschnitt 1.6 beweisen, daß diese Eigenschaft
der Bildfunktionen unter sehr allge
meinen Voraussetzungen gilt.
-00
00
-00
Lösung 00 00
a) • du(t) f J f(t) ---cIt dt = f(t) du (t).
-00 -00
Nun ist:
für t * 0
für t = 0
00 00
-00 -00
du(t-a) = { ~ für
u(t
• Eine räumlich ausgedehnte physikalische Größe <I> wie z.B.
die Masse m eines Körpers, die elektrische Ladung Q oder die Kraft
F auf einen Körper, wird mathematisch durch das
Volumintegral<l> = jf(x, y, z) dV beschrieben. f(x, y, z)
wird die Dichtefunktion der physikalischen Größe genannt. Im Falle
einer eindimensionalen Ausdehnung gilt entspre chend:
<I> = Sf(X) dx.
Für die mathematische Behandlung vieler Probleme ist es
wünschenswert, eine physikali sche Größe, die nur in einem Punkt
von Null verschieden ist (Massenpunkt, Punktladung, Kraft, die nur
auf einen Punkt des Körpers wirkt), mit Hilfe einer Dichtefunktion
f(x) als Integral darzustellen.
30
Im nächsten Beispiel soll diese Darstellung mit Hilfe der Stoß
funktion gewonnen werden.
{ 1Jo für ~ 1-37 a) Stellen Sie die Funktion 1J (x) = 0 für
mit Hilfe der Stoßfunktion 0 (x - a) dar und geben Sie die
zugehörige Dichtefunk tion fex) an. Hinweis: Benutzen Sie das
Ergebnis des Beispiels 1-36 b.
b) Transformieren sie die Dichtefunktion fex) in den
Bildraum.
Lösung
a) Wie aus dem Beispiel 1-36 b) sofort ersichtlich ist, läßt sich
1J (x) mit Hilfe der Stoß funktion folgendennaßen
darstellen:
00 00
-00 -00
Die Dichtefunktion ist damit:
fex) = 1Joo (x - a).
b) Wegen 1: {o (x - a)} = e- as (s. Beispiel 1-35) ist 1: (fex)} =
1Jo e- as . •
1.6 Die Klasse der transformierbaren Funktionen
Wir wollen am Schluß dieses Kapitels an die Definition (1.1) der
Laplace-Transfonnierten anknüpfen und die Bedingungen angeben,
unter denen das Integral
00
1: (f( t)} = f f( t) e- st dt existiert.
o
Die Bedingungen sind:
1. f( t) ist stückweise stetig, d. h. sie darf in jedem Intervall a
~ t ~ b nur endlich viele Un stetigkeiten (Sprünge) aufweisen.
1)
2. If(t)1 ~ M· eat , wobei Mund a endliche Konstanten sind.
1) Hätten wir die Stetigkeit von f(t) gefordert, so wären sehr
wichtige Funktionen, z.B. die Rechteck funktionen, nicht in die
Klasse der transformierbaren Funktionen gefallen. Die Bedingung 1.
garan tiert, daß die Funktionen über einen endlichen Bereich
integrabel sind.
31
Beispiele
.1-38 Zeigen Sie, daß wegen der Bedingungen 1. und 2. das
Integral
00
o
Lösung
S f(t) e- st dt ~ S If(t)1 e- st dt.
o o
Ersetzen wir If(t)1 durch M eat , so besteht die Ungleichung um so
mehr:
A A A A
S f( t) e- st dt ~ S M eat e- st dt = M J e-(s - a) t dt = :_Ma
e-(s - a) t I o 0 0 0
= ~ (1 - - (s - a) A) S - a e .
Die Ungleichung gilt für jedes A> o. Gehen wir zur Grenze A -+
00 über, so erhalten wir:
00
o
(a)
• T 1-39 Zeigen Sie, daß die Bildfunktion F (s) einer Funktion
f(t), die den Bedingungen 1.
und 2. gehorcht, fiir Re(s) -+ 00 gegen Null strebt.
Lösung
Wir greifen auf das Ergebnis des Beispiels 1-38 zurück und haben zu
zeigen, daß fiir jedes €>O gilt:
I s ~ al < €, wenn Re (s) nur groß genug gewählt wird. Da aber
Mund a feste Zahlen sind,
so kann ein solches s immer gefunden werden. Dann haben wir aber
mit der Ungleichung (a) des Beispiels 1-38: F (s) = .e {f(t)} <
€ fiir genügend großes Re (s) und damit: lim F (s) = O. •
Re(s) --+ 00
u (t -- a) e- as
Re (5) > 0 Tl ---s
6 (t) 1 T3
u (t) t n n! sn + 1
Re (5) > 0 T5
u (t) sin (wl) w
T7 s2 + w 2
s2 + w 1
u (t) 5inh (wl) w Re (5) > Iwl T9 s2- w 2
u (t) cash (wt) 5 Re (5) > Iwl TlO 52 - w 2
u (t) tn eat n' (5 - a)n + 1
Re (5) > a Tll
u (I) sin (wt) e-at w Re (5) > - a Tl2 (5 + a)2 + w 2
u (I) cos (wl) c- at 5 + a Re (5) > - a Tl3 (s+a)2+ w 2
u (I) sin 2 (wt) 2w 2 Tl4
S (52 + 4w 2 )
Tl5 5 (52 + 4w 2)
U (I) (1 - c- at ) a Re (s) > 0 Tl6 S (5 + a)
u (I) [11 I Re (5) > 0 Tl7
s(eS -1)
h (u (I - a) - u (I - b» ~ (e-as _ c- bs) Tl8
u (I) Isin (wl)l 52 ~ w2 coth (2: s) Tl9
u (I) ! 11 sin ( ~ I) 1 + sin ( t" I ) l ~ I TlO 2 + (~r
l-e-(T/2)s
5 T
A TlI 0 rur a';I~2a llSW.
5 (I + e- as)
~I a Tl2 rur O~I<a usw. s2(cas -l)
u (I) (I f (I» _E- F(s) ds
Tl3
dsn
33
1 Berechnen Sie mit Hilfe der Definition (1.1) die
Laplace-Transformierten folgender Funktionen:
a) f(t) = cosh(wt)
b) f(t) = cos(wt)
d) f(t) = 4t
e) f(t) = sin(wt +4» t) f(t) = sin(wt + nI2).
2 Berechnen Sie mit Hilfe von Gleichung (a) in Beispiel 1-15 die
Bildfunktionen:
a) L {e sin(wt)}
b) .f {t2 cos(wt)}
d) .f {t(2 sin(3t) - 2 cos(3t»}.
3 Berechnen Sie .f {cos2 (t)} mit Hilfe der Gleichung (1.2) in
Beispiel 1-20.
4 a) Stellen Sie die Funktion f(t) = 2" für v ~ t < v + 1, v =
0, 1,2, ... mit Hilfe
5
{ sin (nt) Es sei f(t) = 0
Berechnen Sie .f {f (t)} .
für O~t~1
6 a) Berechnen Sie die Bildfunktion F (s) der Funktion:
34
00
f(t) = L r"u(t-av) rEIR\{O} und a>O. ,,= 0
b) Skizzieren Sie die Funktion f(t) für r = - I und berechnen Sie
mit der Lösung von a) ihre Bildfunktion. Vergleichen Sie das
Ergebnis mit Beispiel 1-22.
2 Eigenschaften der Laplace-Transformation
Übersicht
In diesem Kapitel werden die wichtigsten Eigenschaften der
Laplace-Transformation in Sätze ge faßt. Es wird dabei versucht,
die Beweise so zu zergliedern, daß sie ganz oder teilweise in
Beispiele gefaßt werden können. In Fällen, in denen das nicht
möglich war, wird der Beweis im Text ange deutet. Zu jedem Satz
werden Beispiele gerechnet, in denen die Anwendung der Sätze geübt
wird. Dabei werden wir sehen, daß wir teilweise schon Spezialfälle
der Sätze im ersten Kapitel kennengelernt haben. Am Schluß des
Kapitels werden die Sätze noch einmal übersichtlich zusammengefaßt,
damit man sie sich besser einprägen kann. Der Leser möge nicht
ungeduldig werden, daß er auch noch nicht in diesem Kapitel die
praktische Bedeutung der Laplace-Transformation erkennen kann. Die
Früchte seiner Mühen wird er im dritten und vierten Kapitel
ernten.
2.1 Satz über Linearkombinationen
Es seien f(t) und g(t) zwei Funktionen, dann nennt man h(t) = a
f(t) + b g(t) eine Linearkombination der Funktionen f(t) und g(t).
a und b sind beliebige Konstanten.
Wir fragen: Kann man .t {h(t)} berechnen, wenn .t {f(t)} und .t
{g(t)} bekannt sind, und welche Form hat dann.t {h(t)}? Wir haben
die Beantwortung der Frage schon in Kapitel 1 vorweggenommen (s.
Beispiel 1-28), Anmerkung). Hier wollen wir diese Eigenschaft wegen
ihrer Wichtigkeit noch ein mal als Satz formulieren und den
einfachen Beweis dem Leser überlassen.
Satz
Ist F(s) =.t {f(t)} und C(s) =.t {g(t)} und ist h(t) = a f(t) + b
g(t), wobei a und b beliebige Konstanten sind, so ist
H(s) =.t {h(t)} = a.t {f(t)} + b.t {g(t)}.
Man nennt eine Transformation mit dieser Eigenschaft eine lineare
Trans formation.
(2.1 )
35
Beispiele
~ 2-1 Beweisen Sie mit Hilfe der Definition (1.1) den Satz
(2.1).
Lösung Wir wenden den bekannten Satz der Differentialrechnung an,
daß
J{a fex) + b g(x)} dx = a Jf(X) dx + b J g(x) dx ist.
Dann ergibt sich aus Definition (1.1): 00
! {h(t)} =! {a f(t) + b g(t)} = f {a f(t) + b g(t)} e- st dt
o
00 00
= a J f(t) e- st dt + b J g(t) e- st dt = a! {f(t)} + b!
{g(t)}
o 0
= aF(s)+bG(s)1). _
T 2-2 Berechnen Sie mit Hilfe von Satz (2.1) sowie T7 und T8 ! {a
sin(wt) + b cos(wt)}.
Lösung Nach Satz (2.1) ist:
! {a sin (wt) + b cos (wt)} = a! {sin (wt)} + b ! {cos(wt)}.
Nun ist nach T7 bzw. T8:
! {sin(wt)} = ~ und s + w
S +w
. aw bs aw + bs ! {a sm (wt) + b cos(wt)} = -2--2 + -2--2 =
-2--2·
s+w s+w s+w
2.2 Ähnlichkeitssatz
- Wir stellen uns die Frage: Wie ändert sich die
Laplace·Transformierte einer Funktion f(t), wenn die Veränderliche
t durch at mit a> 0 ersetzt wird? Oder anders ausgedrückt: Kann
man! {[(at)} berechnen, wenn! {f(t)} bekannt ist und wie sieht
dann! {[(at)} aus? Wie man am Ergebnis des Beispiels 2-3 erkennt,
wird die Funktion selbst flir a> 1 ge· staucht, flir a< 1
gedehnt. Man nennt eine solche Transformation
;fhnlichkeitstrans[ormation.
1) Wir haben diesen wichtigen Statz schon im ersten Kapitel benutzt
und werden ihn auch im folgen den sehr oft anwenden, ohne jedoch
ausdrücklich auf ihn zu verweisen. Der Leser möge darauf achten,
wie häufig er Satz (2.1) benutzt.
36
Beispiele
a) f(t)= u(t)sin(t);
b) f1 (2t) = u (t) sin (2t)I);
c) f 2 (4 t ) = u (t) sin (4 t ) 1 ) .
Lösung
37
Wir formulieren den Ähnlichkeitssatz. Den Beweis können wir wieder,
da er keine Schwie· rigkeit bietet, als Beispiel dem Leser
überlassen.
A"hn!ichkeitssa(Z
Es sei F (s) = .f {f( t)} die Bildfunktion von f( t); dann ist die
Bildfunktion der ähnlichen Funktion f(at) mit a> 0 gleich
.f {f(at)} = ~F (i) . (2.2)
Beispiel
~ 2-4 Beweisen Sie Satz (2.2), indem Sie 7 = at substituieren.
Hinweis: Gehen Sie von der Definition (1.1) aus.
Lösung
o
Wir setzen 7 = at. Bei dieser Substitution ändern sich die Grenzen
des Integrals in Glei
chung (a) nicht. Dagegen wird wegen d7 = a dt dt = ~ dr.
Eingesetzt in Gleichung (a) erhalten wir:
00
(a)
Die folgenden Beispiele sind Anwendungen des Ähnlichkeitssatzes,
deren Ergebnisse wir schon aus Kapitel 1 kennen. Sie dienen
lediglich der Veranschaulichung des Ähnlichkeits satzes
(2.2).
Beispiele
~ 2-5 Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes (2.2) .f {sin(wt)},
wenn
.f {sin(t)} = + ist. s + 1
Lösung
Dieses Ergebnis kennen wir schon aus Beispiel 1-9. • 38
~ 2-6 Berechnen Sie mit Hilfe von Satz (2.2) i {cos (wt)},
wenn
s F(s) = i {cos(t)} = S2 + 1 ist.
Lösung
1 (. s ) 1 s/w s i {cos(wt)} = w F W = w (/)2 = -2--2' sw +1 s
+w
~ 2-7 Berechnen Sie mit Hilfe von Satz (2.2) i {eat }, wenn
1 F(s)=i{et}=s_1 ist.
Lösung
~ 2-8 Berechnen Sie mit Hilfe von Satz (2.2)
i {~(lsin(21T/T)tl-Sin(21T/T)t)}, wenn
i {-21 (lsin(t)l-sin(tn) _1_ 1 ist. S2 + 1 (I - e- 1TS )
Lösung W· 21T d 1 T Ir setzen a = T 0 er a 2rr .
Dann ist:
(21T/T) S2 + (21T/T)2 l_e-(T/2)s'
2.3 Erster Verschiebungssatz
•
•
•
Ersetzt man in einer Funktion f(t) die Variable t durch t - a (a
> 0), so verschiebt sich die zugehörige Kurve um den Betrag a
nach rechts, wie wir uns schon in Abschnitt 1.5.2 überlegt haben.
Wir fragen: Wie läßt sich i {f(t - a)} darstellen, wenn i {f(t)}
bekannt ist? Ehe wir den Verschiebungssatz formulieren und
beweisen, wiederholen wir noch einmal, daß wir statt f( t) besser u
(t) f( t) schreiben, um zu betonen, daß die zu
transformierende
39
Funktion Null ftir t < 0 ist. Diese Bedingung kommt hier nun zum
Tragen. Verschieben wir nämlich u(t) f(t) um den Betrag a nach
rechts, so erhalten wir u(t - a) f(t - a) (s. Bei spiel 1-30.
Diese ist Null ftir t < a. Nach diesen Überlegungen können wir
die oben gestellte Frage beantworten und den ersten
Verschiebungssatz formulieren. Den Beweis überlassen wir wieder dem
Leser als Beispiel.
Erster Verschiebungssotz
Es sei u(t - a) f(t - a) die aus u(t) f(t) durch Verschiebung um
den Betrag a entstandene Funktion. Dann gilt:
.e{f(t-a)}=e-aSF(s) mit F(s)=.e{f(t)}.
Beispiele
~ 2-9 Beweisen Sie den ersten Verschiebungssatz durch die
Substitution t - a = r.
Lösung
00
o
(2.3)
(a)
Substituieren wir r = t - a, so werden die neuen Grenzen fur t = 0
r = - a und ftir t = 00
r = 00. Außerdem ist dt = dr. Setzen wir das in Gleichung (a) ein,
so erhalten wir:
00
.e [f(t - a)} = f u(r) f(r) e-S (T + a) dr
-a
o 00
= e- sa f u (r) f(r) e- ST dr + e- sa f u (r) f(r) e- ST dr.
-a o
Wegen u (r) = 0 ftir r< 0 ist das erste Teilintegral Null. Mit u
(r) = 1 ftir r ~ 0 erhalten wir dann:
00
.e [f(t - a)} = e- as f f(r) e- ST dT = e- as F (s).
o • ~ 2-10 Berechnen Sie die Laplace-Transfonnierte von f(t - a) =
u(t - a) (t - a)2
a) mit Hilfe von Satz (2.3); b) direkt aus der Definition
(l.l).
Hinweis: Denken Sie daran, daß u (t - a) (t - a)2 = 0 ftir t < a
ist.
40
Lösung
a) Nach T5 ist .f {t2} = ~. Nach Satz (2.3) ist dann:
b) Nach Definition (1.1) ist die Bildfunktion F (s) von u (t - a)
f(t - a) gleich:
00
o
Beachten wir, daß u (t - a) = 0 ftir t < a, so wird:
00 00
a a
00 00
00
a
00
pJ. 2 (t ) - st I + 2 S -st dt _ 2 -st I _ 2 e- as --- -ae - e ---e
--- S2 S2 S3 S3 .
a a a • T 2-11 Berechnen Sie die Laplace-Transfonnierte F(s) der
Funktion f(t) = u(t) (t - a)2.
Lösung
00 00
o o
Mit Hilfe unserer Tabelle finden wir:
F ( ) - 2 2 1 2 1 _ =..2 _---=2:.::a"-:;s ,....+.cc.a 2-,S_2 S ---
a-+a --- S3 S2 S S3
2. Weg: Wir gehen wieder von der Definition (1.1) aus, doch jetzt
unterteilen wir das Inte gral in folgender Weise:
00 a 00
F (s) = S (t - a)2 e- st dt = S (t - a)2 e- st dt + S (t - a)2 e-
st dt = 11 + 12,
o o a
2 e- as 12 = -3-·
S
a a a
11 = S (t - a)2 e- st dt P='o - {(t - a)2 e- st I + ~ S (t - a) e-
st dt
o o o
a a a
p.J. a2 2 ( ) -st I 2 S -st dt _ a2 2a 2 -st I - --- t-a e +- e
------e s S2 S2 S S2 S3
o 0 0
s S2 S3 S3 S3 S3
Wir addieren 11 und 12 und erhalten:
F ( ) - I I _ a2 S2 - 2as + 2 S-1+2- 3 .
S
T 2-12 Berechnen Sie die Bildfunktion F (s) der Funktion, die aus
der Funktion
• f(t) = u (t) sin (t) durch Verschieben um die Zahl1T nach rechts
hervorgegangen ist.
Lösung
f(t-1T) = u(t-1T)sin(t-1T).
Wenden wir auf diese Funktion den Satz (2.3) an, so erhalten
wir:
.c {f(t-1T)} = e- 1TS .c {sin(t)}.
Nach T7 ist .c {sin(t)} = -21 . s + 1
Eingesetzt in Gleichung (a) ergibt dies:
e- 1TS
(a)
T 2-13 Berechnen Sie mit Hilfe von Satz (2.3) die Bildfunktion der
Treppenfunktion [tl.
42
Hinweis: Benutzen Sie die Darstellung der Treppenfunktion, die Sie
in Beispiel 1-28a gewonnen haben.
Lösung
[tl = L u(t-v) und v = 1
Nun ist nach Satz (2.3)
L {u (t - v)} = e - vs L {u (t)} = e - vs i . Eingesetzt in
Gleichung (a) ergibt dies:
00 00
L {[t]} = i L e- vs = i L (e-sy. v=l v=l
Die Summe ist eine unendliche geometrische Reihe mit dem Grenzwert
~ . 1 - e- S
Das Ergebnis lautet also:
L {[t]} = s(1- e- S) s(es-1)
in übereinstimmung mit dem Ergebnis der Beispiele 1-26 bund 1-28 b.
•
T 2-14 Berechnen Sie mit Hilfe von Satz (2.3)
L{f(t)} = L{h(u(t-a)-u(t-b))} (a<b).
Lösung
L {f(t)} = h( e- as L {u (t)} - e- bs L {u (t)})
= h L {u(t)} (e- aS - e- bs).
Wegen L {u (t)} = t (Tl) erhalten wir:
L {f(t)} = % (e- aS - e- bs).
Vergleichen Sie das Ergebnis mit Beispiel 1-29.
2.4 Zweiter Verschiebungssatz
(a)
Im zweiten Verschiebungssatz liegen die umgekehrten Verhältnisse
vor wie im ersten Ver schiebungssatz. Wurde dort die Kurve der
Funktion nach rechts verschoben, so verschieben wir die Kurve nun
nach links:
u(t)f(t)-+u(t)f(t+a) mit a>ü.
43
./
0 Q -Q 0
Bild 2.16 a Bild 2.16 b
Die Aufgabe, die wir uns stellen, ist die gleiche wie bei den
vorhergehenden Sätzen: ! {f(t)} sei als bekannt vorausgesetzt. Wir
fragen: Ist es möglich, ! {u (t) f(t + a)} aus ! {f(t)} zu
berechnen und wie sieht dann die Transformierte aus?
Zweiter Verschiebungssatz
Es sei! {f(t)} die Laplace-Transformierte von u (t) f(t). Dann ist
die Laplace-Transformierte von u(t) f(t + a):
Beispiele
a
o
y 2-15 Beweisen Sie Satz 2.4, indem Sie von Definition (1.1)
ausgehen.
00 00 a
Hinweis: Substituieren Sie: 7 = t + a und beachten Sie: S = S
-S·
Lösung
! {u (t) f(t + a)} = S f(t + a) e- st dt.
o
a 0 0
Dann ist: dt = d7 und die untere Grenze 7 = a, die obere Grenze 7 =
00.
44
(2.4)
Wir erhalten damit: 00 00
! {u (t) f(t + a)} = S f(r) e- s (T - a) dr = esa S f(r) e- ST
dr
a a
00 a
= eas ( S f(r) e- ST dT - S f(r) e- ST dT)
o o
a 1)
• o
~ 2-16 Berechnen Sie mit Hilfe von Satz (2.4) und der
Tabelle:
Lösung
Wir kennen die Lösung bereits, denn sin ( t + I) = cos (t). Nach T8
ist:
! { sin ( t + ~) } = ! {cos (t)} = S 2 : 1"
Trotzdem ist es lehrreich, das Beispiel mit Hilfe von Satz (2.4) zu
berechnen, weil wir sehen werden, daß es wesentlich ist, die
Funktion f( t + a) flir t < 0 gleich Null zu setzen. Nach Satz
(2.4) ist:
tr/2
! { sin (t + ~)} = e(tr/2) S (! {sin(t)} - S sin(t) e- st dt)
.
o
tr/2
S + 1 o
Setzen wir das Ergebnis in Gleichung (a) ein, so erhalten
wir:
{ } [ 1 1 - (tr/2) S ] ! sin (t + ~) = e(tr/2) S __ _ - s e = _s_.
2 S2 + 1 S2 + 1 S2 + 1
(a)
•
1) Wir haben in der letzten Zeile die Integrationsvariable wieder
mit t bezeichnet. Wir erinnern daran, daß dies erlaubt ist, weil
das bestimmte Integral nur von seinen Grenzen abhängt.
45
T 2-17 Berechnen Sie mit Hilfe von Satz (2.4) die
Laplace-Transformierte der verschobenen Einheitssprungfunktion u(t
+ a) für a > O. Diskutieren Sie das Ergebnis.
Lösung
a a
.l:{u(t+a)} =eas (.l:{u(t)}- Su(t) e- st dt) =eas (~-
Se-stdt)
o o
a
= eas (1. + 1. e - st I ) = eas (1. + 1. e -as _1.) = eas e -as =
1. s s s s s s s'
o
Es ist also .l: {u (t) + a)} = .l: {u (t)}. • Dieses Ergebnis ist
nicht überraschend, wenn wir uns anhand einer Skizze klarmachen,
daß u(t + a) u(t) = u(t) ist:
,---11--------- I u(t + Q)·u(t) I I I I Bild 2.17
-Q o t
T 2-18 Berechnen Sie mit Hilfe von Satz (2.4) und Tl7
.l:{1+[t]}.
Lösung
•
Die Funktion ist die um die Zahl a = 1 nach links verschobene
Treppenfunktion [tl (Ver gleichen Sie Beispiel 1-26). Es ist also
1 + [t] = [t + 1].
Wenden wir Satz (2.4) an und beachten, daß nach Tl7 .l: {[t]} =
_-1-1- ist, so erhalten . s (eS - )
WIr: 1
.l:{I+[t])}=.l:{[t+l]}=es ( 1 -SOe-stdt) sees -1)
o
Erweitern wir Zähler und Nenner mit e- s, so erhalten wir:
.l:{1+[t]}= 1 s(l-e- S) •
46
T 2-19 a) Bestimmen Sie F (s) = .L (f(t)} , wenn f(t) der
Differenzengleichung genügt:
f(t+1)=f(t)+1 ftir t>I, I f( t) = 0 ftir 0< t ~ 1.
b) Bestimmen Sie r 1 {F (s)} = f(t) mit Hilfe der Tabelle.
Lösung a) Wir transformieren die Differenzengleichung in den
Bildraum und erhalten:
.L {f(t + I)} =.L {f(t)} +.L {I}.
Auf die linke Seite wenden wir Satz (2.4) an, wobei wir beachten,
daß f( t) aufgrund der Definition von f(t) ftir t< 1 gleich Null
ist, so daß der Integralteil in Satz (2.4) verschwin det. Wir
erhalten dann:
eS.L {f(t)} = .L {f(t)} + +. Aus dieser Bestimmungsgleichung fur .L
{f(t)} berechnen wir:
F (s) = .L (f(t)} = 1 s (eS - 1)
b) Schauen wir nun in der Tabelle unter Tl7 nach, so sehen wir, daß
zu F (s) = __ 1_ s(eS-1)
die Originalfunktion r 1 {F (s)} = f(t) = [tl gehört. Wie wir uns
leicht anhand einer Skizze überzeugen können, erftillt die
Treppenfunktion [t] die gegebene Differenzenglei-
chung. -
In dem folgenden Beispiel kommen wir noch einmal auf den ersten
Verschiebungssatz (2.3) zurück, um mit seiner Hilfe eine ähnliche
Differenzengleichung wie in Beispiel 2-19 zu lösen. Wir wollen an
diesem Beispiellemen, daß blindes Anwenden einer Regel zu falschen
Ergebnissen fUhren kann. Die meisten Fehler, die gemacht werden,
beruhen darauf, daß die Originalfunktionen in der Theorie der
Laplace-Transformation für t < 0 gleich Null sind, was bei
verschobenen Funktionen leicht übersehen wird.
T 2-20 Bestimmen Sie mit Hilfe von Satz (2.3) die Funktion f(t),
die die Differenzenglei chung f(t) = f(t - 1) + 1 erftillt. Es
soll außerdem gelten: f(t) = 0 ftir 0< t ~ 1.
Lösung
Wie schon angedeutet, wollen wir einen falschen Weg einschlagen, um
aus dem Fehler zu lernen. Wir transformieren formal die
Differenzengleichung in den Bildraum und erhalten:
.L {f(t)} = .L {f(t - l)} +.L {l}.
Wir wenden auf .L {f( t - 1)} Satz (2.3) an und erhalten mit .L {I}
= + : .L {f(t)} = e- s .L {f(t)} + +.
47
L {f(t)} - 1 s(1-e- S)
Die zugehörige Originalfunktion ist:
f(t) = [tl + 1,
wie man Beispiel 2-18 entnehmen kann. Dieses Ergebnis ist falsch,
weil es nicht die Forderung erfiillt, daß fur 0< t ~ 1 f(t) = 0
ist; denn f(t) = [tl + 1 = 0 + 1 = 1 fiir 0< t ~ 1. Worin liegt
nun der Fehler, den wir gemacht haben? Entsprechend unserer
Forderung und der Eigenschaft der Originalfunktion ist f(t) = 0 und
f( t - 1) = 0 fur t ~ 1, d.h. f( t) = f( t - 1) (= 0) fiir t ~ 1,
so daß die Differenzengleichung f(t) = f(t -1) + 1 für t ~ 1 nicht
erfiillbar ist. Wir sind aufgrund dieser überlegungen gezwungen,
die ursprüngliche Differenzengleichung in folgender Weise
umzuschreiben:
f(t) = f(t -1) fiir t ~ 1 }
f(t) = f(t-1) + 1 fiir t> 1 .
Mit Hilfe der verschobenen Sprungfunktion können wir beide
Gleichungen zusammen fassen:
u (t - 1) f( t) = u (t - 1) f(t - 1) + u (t - 1).
Transformieren wir nun diese der Theorie der Laplace-Transformation
angepaßte Glei chung in den Bildraum, so erhalten wir:
-S
oder:
L{f(t)} = 1 sees -1)
Die Rücktransformation gelingt nach T 17. Es ist:
f(t) = [tl.
2.5 Dämpfungssatz
In der Praxis kommt es häufig vor, daß eine Funktion f(t) mit einem
Faktor e- at multi pliziert ist. Man nennt eine solche Funktion
gedämpft und den Faktor e- at Dämpfungs faktori). Wir fragen: Wie
läßt sich.f fe-at f(t)} berechnen, wenn .f {f(t)} bekannt ist? Die
Antwort auf diese Frage gibt der
Dämpfungssotz
Es sei F(s) =.f {f(t)} die Laplace-Transformierte einer Funktion
f(t). Dann ist die Laplace-Transformierte der Funktion f l (t) = e-
at f(t) gleich
.f {fl (t)} =.f fe-at f(t)} = F (s + a).
Beispiele
Lösung
Es ist
00 00
.f fe-at f(t)} = Se-at f(t) e- st dt = S f(t) e-(s + alt dt.
o o
Schreiben wir fur einen Augenblick s + a = 0, so ist:
00 00
S f(t) e- (s + a) t dt = f f(t) e- at dt = F (0).
o o
Schreiben wir nun wieder s + a statt 0, so erhalten wir:
.f fe-at f(t)} = F(s + a). • .. 2-22 Berechnen Sie mit Hilfe von
Satz (2.5) und T5 die Laplace-Transformierte von
f(t) = te-at.
(2.5)
(a)
I) Es wird nicht vorausgesetzt, daß a > 0 ist, obgleich nur in
diesem Fall das Wort Dämpfung gerecht fertigt ist. Für a < 0
wäre das Wort Verstärkung angebracht.
49
Nach Satz (2.5) schreiben wir in Gleichung (a) s + a statt s und
erhalten das Ergebnis:
.r. {t -at} _ 1 e - (s + a)2·
Vergleichen Sie Beispiel (1-11). • • 2-23 Berechnen Sie mit Hilfe
von Satz (2.5) und T8 .r. {e- at cos (wt)}.
Lösung
Nach T8 ist.r. {cos(wt)} = -2 S 2. (a) s + w
Nach Satz (2.5) haben wir in Gleichung (a) s + a statt a zu
schreiben. Wir erhalten dann:
-at _ s+a .r. {e cos(wt)} - ( )2 2·
S + a + w
• 2-24 Berechnen Sie .r. {e-2t sin (3t)} mit Hilfe von Satz (2.5)
und der Tabelle.
Lösung
Ersetzen wir wieder s durch s + a, so erhalten wir:
.r. {e- 2t sin(3t)} = 3 (S+2)2+9
• 2-25 Berechnen Sie .r. {e2t cos(3t)}.
Lösung
3
2.6 Differentiationssatz
•
•
•
Der nun folgende Satz ist für den Anwender der wichtigste, weil er
bei der Lösung von Differentialgleichungen mit Hilfe der
Laplace-Transformation die entscheidende Rolle spielt, wie wir in
den folgenden Kapiteln sehen werden. Wir stellen uns die Frage: In
welchem Zusammenhang steht die Bildfunktion F (s) = .r. {f(t)}
einer Funktion f( t) mit der Bildfunktion ihrer nten Ableitung f(n)
(t)? Die Antwort darauf gibt der Differentiiltionssatz, den wir nun
formulieren wollen:
50
Die Funktion f( t) besitze eine nte Ableitung ftir jedes t > 0,
und es existiere die Bild funktion .f (f(n) (t)} dieser nten
Ableitung. Dann hat diese die folgendeForm:
.f {f(n) (t)} = sn F (s) - sn - 1 f(O) - Sn - 2 [(0) - ... - sf(n -
2) (0) - f(n - 1) (0). (2.6)
Den Beweis dieses Satzes fUhrt man ohne Schwierigkeiten mit Hilfe
der vollständigen In duktion. Wir wollen hier, da es in der Praxis
auf die Bildfunktionen der ersten drei Ableitungen an kommt, diese
einzeln berechnen. Das Bildungsgesetz ftir die höheren Ableitungen
läßt sich dann leicht erkennen.
Beispiele
b) .f (f(t)} = s2.f (f(t)} - sf(O) - [(0);
c) .f (f(t)} = S3 .f (f(t)} - s2f(0) - s[(O) - [(0).
Lösung
00 00 00
.f ([(t)} = S [(t) e- st dt pJ. f(t) e- st I + s S f(t) e- st
dt.
o o o
Der ausintegrierte Teil ist ftir die obere Grenze Null, ftir die
untere Grenze f(O) e- so = f(O).
Damit erhalten wir das Ergebnis:
.f (f(t)} = - f(O) + s.f (f(t)} = sF (s) - f(O).
b) Der Beweis entspricht der Lösung a):
00 00 00
.f ([(t)} = S [(t) e- st dt pJ. [(t) e- st I + s S [(t) e- st
dt.
o o o
Der ausintegrierte Teil ist an der oberen Grenze Null, ftir die
untere Grenze gilt: [(0) e- so = [(0). Damit erhalten wir:
.f ([(t)} = - [(0) + s.f {f(t)}.
Setzen wir ftir .f {[(t)} das Ergebnis von a) ein, so erhalten
wir:
.f ({(t)} = - [(0) + s(sF (s) - f(O)) = S2 F (s) - sf(O) -
[(0).
51
Mit dem Ergebnis von b) erhalten wir:
f, (f( t)} = - ["(0) + S (S2 F (s) - sf(O) - [(0»
= S3 F (s) - S2 f(O) - st(O) - ["(0). • Die entscheidend wichtige
Eigenschaft der Bildfunktion einer Ableitung liegt darin, daß der
Differentiation im Originalraum, im Bildraum eine Multiplikation
einer Potenz von s mit dem Bild F (s) der Originalfunktion f(t)
e.ntspricht. Daß noch ein Polynom in s hinzu kommt, wird sich als
weiterer großer Vorteil bei der Lösung von Differentialgleichungen
erweisen. -
~ 2-27 a) Transformieren Sie folgende Gleichung
(Differentialgleichung) in den Bildraum:
["(t) + f(t) = 0
und lösen Sie die entstehende algebraische Gleichung nach F (s) =
f, [f( t)} auf. b) Suchen Sie mit Hilfe der Tabelle die Original
funktion f(t).
Lösung
f, O:(t)} + f, [f(t)} = O.
Nach Satz (2.6) ist:
f, [["(t)} = S2 F (s) - sf(O) - t(O).
Setzen wir diesen Ausdruck in Gleichung (a) ein, so erhalten
wir:
S2 F (s) - sf(O) - t(O) + F (s) = O.
Aus dieser Bestimmungsgleichung für F (s) erhalten wir:
sf(O) + t(O) s· 1 F(s) = = f(O)-+f(O)-.
S2 + 1 S2 + 1 S2 + 1
b) Die Rücktransformation von Gleichung (b) ergibt:
r 1 [F (s)} = f(t) = f(O) r 1 { ~ } + t(O) r 1 { -2-1- }. s+1
s+1
Nach T8 bzw. T7 ist:
52
r 1 {~} = sin(t). s + 1
(a)
(b)
Damit erhalten wir die Originalfunktion:
f(t) = f(O) cos(t) + t(O) sin(t).
Man überzeugt sich leicht, daß f(t) die Gleichung [(t) + f(t) = 0
erfullt. Es ist:
t(t) = - f(O) sin(t) + t(O) cos(t);
[(t) = - f(O) cos(t) - t(O) sin(t) = - f(t).
•
Setzen wir [(t) = - f(t) in die Gleichung [(t) + f(t) = 0 ein, so
erhalten wir die Identität:
- f(t) + f(t) = O. • T 2-28 Berechnen Sie mit Hilfe von Satz (2.6)
die Laplace-Transformierte von f(t) = t
unter der Annahme, daß .f {I} = } als bekannt vorausgesetzt
wird.
Hinweis: Benutzen Sie t(t) = l.
Lösung
Nach Satz (2.6) ist:
.f {f(t)} = .f {I} = i = si {f(t)} - f(O) = s.f {tl - f(O).
Wegen f(O) = 0 folgt sofort:
1 s.f{t}=s
oder: .f {tl = ~. • T 2-29 Berechnen Sie mit Hilfe von Satz (2.6)
die Bildfunktion F (s) der Funktion f(t) = tn
(n E IN), wenn .f {1} = } ist.
Lösung
t(t)=ntn - 1
. .
f(n - 1) (t) = n (n - 1) (n - 2) ... 2· 1 e f(n) (t) = n(n -1) (n -
2) ...... 2·1 tO
Wir wenden Satz (2.6) auf f(n) (t) an und erhalten:
.f {f(n) (t)} = .f {n!} = n! .f {I} = ~!
t(O) = 0
r(O) = 0
f(n) (0) = n!
= sn .f {f(t)} - sn - 1 f(O) - Sn - 2 t(O) - ... - f(n - 1)
(0).
53
und daraus:
f' { n} _ n! .L t - ----:;-1' Sn •
T 2-30 Ein Student sollte mit Hilfe von Satz (2.6) die Bildfunktion
der Funktion f(t - a) = t - a berechnen. Er schlug folgenden
Lösungsweg ein:
.f {t(t - a)} = s.f {f(t - a)} - f(O).
Durch Umstellen der Gleichung erhielt er:
.f {f(t - a)} + f(O) .f{f(t-a)}= s .
. d Er berechnete f(t-a) = (ti(t-a) = 1
und mitTl .f {t(t - a)} = .f {l} = +. Für f(O) erhielt er:
f(O) = 0 - a = - a.
(1/s) - a 1 - as .f{t-a}= =--s S2
Das Ergebnis ist falsch. Korrigieren Sie die Fehler.
Lösung
(a)
Wir machen uns eine Skizze der Funktion f(t - a) = t - a unter
Beachtung, daß f(t - a) = 0 für t < a ist (s. Bild 2.18)
Bild 2.18 o Q t
54
Wir verfolgen den Lösungsweg des Studenten. Bis Gleichung (a) ist
alles richtig, denn Glei chung (a) ist nur eine Umstellung des
Differentiationssatzes (2.6). Er macht den ersten Fehler bei der
Berechnung von t(t - a): Wie aus der Skizze ersicht lich, ist die
Ableitung
. { 1 f(t - a) = 0 für für
t> a } = u (t - a). t<a
Deren Bildfunktion ist nach T2:
e- as .f {u(t-a)} = -s-.
Den zweiten Fehler macht er bei der Berechnung von f(O). f(O)
bedeutet: f(t - a) an der Stelle t = a. Daraus folgt, daß f(O) = 0
ist. Setzen wir diese Ergebnisse in Gleichung (a) ein, so erhalten
wir:
e- as -s--O e- as
.f{t-a}=-S-=-2· s •
T 2-31 Leiten Sie den Differentiationssatz für eine verschobene
Original funktion t (t - a) ab, indem Sie
a) von der Definition (1.1) ausgehen; b) den ersten
Verschiebungssatz (2.3) und dann den Differentiationssatz (2.6) an
wenden.
Lösung
a) Weil t(t - a) = 0 für t < a ist, ist die untere Grenze des
Integrals a. Mit Definition (1.1) erhalten wir:
00
a
00 00
.f {t(t - a)} = S t(r) e- (T + a) s dr = e- as S t(r) e- ST
dr
o 0
00 00
po}· e- as [f(r) e- ST I + s S f(r) e- ST drJ
o 0
55
b) Wir wenden Satz (2.3) an und erhalten:
.f {f(t - an = e- 3S .f {f(t)} = e- 3S (s.f {f(t)} - f(O)) .
.f {f(t - a)} = s e- as .f {f(t)} - e- as f(O). • 'f 2-32 Berechnen
Sie die Laplace-Transforrnierte von f( t) = e3t mit Hilfe von Satz
(2.6).
Lösung
Es ist f(t) = a e3t und f(O) = 1. Wenden wir Satz (2.6) an, so
erhalten wir:
.f, {f(t)} = a.f {e3t } = s.f {e3t}-1.
Diese Bestimmungsgleichung für .f {e3t } lösen wir nach .f {e3t }
auf und erhalten:
• 'f 2-33 Berechnen Sie die Bildfunktion F (s) von f(t) = sinh(wt)
mit Hilfe des Satzes (2.6).
Hinweis: Beachten Sie, daß d2 2 (sinh(t)) = sinh(t) ist.
dt
Lösung
Es ist f(t) = w 2 f(t). Gehen wir zur Laplace-Transformierten
dieser Differentialgleichung über und wenden Satz (2.6) an, so
erhalten wir:
s2.f {f(t)} - s f(O) - f(O) = w2.f {f(t)}
oder
S -w
Wegen sinh(O) = 0 = f(O) und w cosh(O) = w = f(O) erhalten
wir:
w .f {f(tn = -2--2.
s -w • 'f 2-34 Berechnen Sie die Bildfunktion F (s) von f(t) = sin
(wt) mit Hilfe von Satz (2.6).
Lösung Wir gehen den gleichen Weg wie in den Beispielen 2-32 und
2-33. Es ist [(t) = - w 2 f(t). Die Anfangsbedingungen sind: f(O) =
0 und r(O) = w. Wenden wir Satz (2.6) an, so erhalten wir:
s2.f {f(tn - w = - w2 .f {f(t)} oder
w .f {f(t)} = -2--2.
56
{ t flir O~t~l " 2-35 Es sei f(t) = 0 flir t> I
a) Berechnen Sie 1: {f(t)}; b) Berechnen Sie 1: {f(t)}; c) Ist Satz
(2.6) anwendbar? Erklären Sie!
Lösung
1 1 1
o o o
1
= _ e- S _1 e- st I = _ e- S _ e- S + 1
s S2 S S2 S2'
1: {f(t)} = 1 - s e- S - e- S
S2
o
.' {I rur 0 < t < 1 b) Es 1st: f(t) = 0 rur t> I
Anwendung von Definition (I.I) ergibt:
1 1
1: {f(t)} = S I e- st dt = _{e- st 1= I-se- S •
o o
c) Satz (2.6) ist nicht anwendbar, weil f(t) an der Stelle t = I
nicht existiert. Wir überzeugen uns davon, indem wir die Ergebnisse
von a) und b) in Satz (2.6) einsetzen. Wir erhalten:
. I-e- s I-se-s-e-s 1: {f(t)} = -s - = s 1: {f(t)} = S 2
S
oder:
Daraus folgt: 0 = - s e- s. Dieses Ergebnis ist offensichtlich
falsch. •
2.7 Integrationssatz
Wir kommen nun zu einer Eigenschaft der Laplace-Transformation, die
eng mit dem Du ferationssatz (2.6) zusammenhängt.
57
t
Wir fragen: Wie läßt sich l { S f ( r) d r } darstellen, wenn l (f
( t)} bekannt ist.
_00
IntegrotionSSllI'Z t
Es existi~re l (f(t)} , dann existiert auch l { S f(r) dr } und es
gilt: _00
t 0
l {S f(r)dr} =i(l(f(t)}+c{>(O» mit c{>(O) = f f(t)dt. (2.7)
_00 _00
Wir wollen den Satz unter etwas abgeschwächten Bedingungen in
Beispiel 2-36 beweisen.
Beispiele t
.. 2-36 Es sei cp(t) = u(t) S f(r)dr, wobei wir f(t) als stetig
voraussetzen.
-00
Beweisen Sie
t 0
l (cp(t)} = l { S f(r) dr } = i (l (f(t)) + cp(O» mit cp(O) = S
f(t) dt.
-00 -00
Lösung
Während wir den Satz (2.7) unter der Voraussetzung formuliert
haben, daß l (f(t)} existiert, woraus nicht folgt, daß f(t) stetig
sein muß, fordern wir hier, daß f(t) stetig ist. Dann wissen wir
nämlich nach einem bekannten Satz aus der Integralrechnung, daß
cp(t) differenzierbar ist: ~ (t) = f(t). Nun ist nach Satz
(2.6):
l (~(t)} = s l (cp(t)} - cp(O)
oder:
t
-00
58
o
In der Praxis ist sehr oft <p (0) = S f( t) dt = 0, da in vielen
technischen Anwendungen
f(t) = 0 rur t<O ist. _00
Dann nimmt Satz (2.7) die Form an:
t
o
" 2-37 Berechnen Sie die Laplace-Transformierte der Funktion:
t
<p (t) = S cos (r) dr mit Hilfe von Satz (2.7a) und T8.
o Lösung
•
.c {<p(t)} =.c{ J COS(r)dr} = 1.c {cos(t)} = 1 S2: 1 = S2 ~ 1" •
o t t
Das Ergebnis war zu erwarten, denn S cos(r) dr = sin(r) I = sin
(t). Nach T7 ist:
.c {sin (t)} = -2 1 . 0 0 s + 1 •
" 2-38 a) Berechnen Sie mit Hilfe von Satz (2.7a) und T7: t
.c { S Sin(r)dr}.
o
b) Berechnen Sie zuerst das Integral und bilden Sie anschließend
mit Hilfe der Tabelle die Laplace-Transformierte.
Lösung t
a) .c { r sin ( r) dr} = 1..c {sin ( t)} = 1. -2 1 . .J s s s + 1
o
t t
o 0
1 s .c {I - cos ( t)} = .c {l} -.c {cos ( t)} = - - -2- S S +
1
S2 + 1 - S2 S(S2+1) ="8 s2+1·
Beide Ergebnisse stimmen überein. • 59
t
T 2-39 Berechnen Sie mit Hilfe von Satz (2.7) und T6: f, { SeT dr
}.
-00
Lösung
II+s-1 s s-l s-l· t •
T 2-40 Berechnen Sie mit Hilfe von Satz (2.7) und TS: f, { S e2T dr
} . Bestätigen Sie das Ergebnis wie in Beispiel 2-38. -1
Lösung
t t 0
f, { S e2T dr} = Hf, {e2t} + S e2T dr ) = { C ~ 2 + ~ e2T I ) -1 -
1 -1
= ~ (2 + s- 2 - e- 2(s- 2))= s - e- 2(s- 2) 2s s-2 2s(s-2) .
t
Wir bestätigen das Ergebnis, indem wir zuerst das Integral S e2T dr
ausrechnen und dann die Bildfunktion bilden. _ 1
t
S e2T dr = ~e2t -~e-2. -1
f, { -21 (e2t - e- 2)} =.!. f, {e2t } _.!. e- 2 f, {l} = .!. _1 __
.!. e- 2 .!. 2 2 2s-2 2 s
s-e- 2(s-2)
•
Im ersten Abschnitt dieses Kapitels haben wir die Frage gestellt:
"Wie sieht die Laplace Transformierte der Summe zweier Funktionen
aus, wenn die Bildfunktionen der einzelnen Funktionen bekannt
sind?" Die Beantwortung dieser Frage erwies sich als sehr einfach
und führte zum Satz (2.1).
60
Es liegt nun die Frage nahe, wie die Laplace-Transformierte eines
Produkts zweier Funk tionen f1 (t) f2 (t) zu bilden sei, wenn die
Bildfunktionen I {fl (t)} und I {f2 (t)} bekannt sind. Die Antwort
auf diese Frage ist möglich. Doch benötigt man dazu das Hilfsmittel
Funktio nentheorie. Wir müssen deshalb auf die Formulierung und
den Beweis des sogenannten komplexen Faltungssatzes verzichten.
Glücklicherweise sind wir im Rahmen dieses Buches nicht auf ihn
angewiesen. Dagegen wird sehr häufig folgende Situation eintreten:
Beim Übergang vom Originalraum zum Bildraum entsteht eine
Bildfunktion F (s), die das Produkt zweier Bildfunktionen F 1 (s)
und F 2 (s) ist. Es sei also F (s) = F 1 (s) F 2 (s). Es stellt
sich dann die Frage: Kann man f(t) = I-I {F (s)} bilden, wenn f1
(t) = I-I {F 1 (s)} und f2 (t) = r 1 {F2 (s)} bekannt sind? Die
Antwort auf diese Frage gibt der Faltungssatz:
Faltungssatz
Es sei F (s) das Produkt zweier Bildfunktionen F 1 (s) und F2
(s):
F (s) = F 1 (s) F2 (s).
Die F 1 (s) bzw. F2 (s) entsprechenden Original funktionen seien f1
(t) bzw. f2 (t). Dann ist:
t
f(t) = r l {F I (s) F 2 (s)} == S fl (r) fdt - r) dr.
o
(2.8)
Das Integral in Satz (2.8) hat wegen seiner Bedeutung in vielen
Gebieten der Technik und Naturwissenschaften einen eigenen Namen
erhalten. Man nennt
t
f(t) == S fl (r) f2 (t - r) dr das Faltungsintegral oder das
Faltungsprodukt der Funktionen
o f l (t) und f2 (t) und bezeichnet es symbolisch mit fl (t) * f2
(t) (sprich: f1 (t) Stern f2 (t))I).
Mit dieser symbolischen Schreibweise können wir den Faltungssatz
folgendermaßen aus drücken:
f(t) == r l {F 1 (s) F2 (s)} == f l (t) * f2 (t)
oder:
61
Bevor wir eine geometrische Deutung des Faltungsintegrals (kurz
Faltung genannt) geben und den Faltungssatz beweisen, wollen wir
uns mit der Anwendung von Satz (2.8) vertraut machen.
Beispiele
~ 2-41 Es seien F 1 (s) = } und F 2 (s) = } zwei Bildfunktionen.
Berechnen Sie mit Hilfe
von Tl und Satz (2.8) die Originalfunktion f( t) des Produktes F
(s) = F 1 (s) F 2 (s).
Lösung
Nach Tl ist f1 (t) = f2 (t) = 1 Wenden wir Satz (2.8) an, so
erhalten wir wegen f1 (t) = 1 und f2 (t -7) = 1
t
f(t)=I*I= SI.ld7=t.
o - ~ 2-42 Bestimmen Sie mit Hilfe von Satz (2.8) die
Originalfunktion f(t) = r 1 {F (s)} von
1 1 F(s) = s-a s-b·
Lösung
Wir schreiben F 1 (s) = s!a und F2 (s) = S!b·
Nach T6 ist dann:
und damit ist:
t t t
S f1 (7) f2 (t - 7) d7 = J ear eb (t - r) d7 = ebt J e(a - b) r
d7
o 0 0
a-b a-b a-b o
Das Ergebnis lautet also:
f(t)=r1 {-b-._1 }=f.-1 {_I} *f.-1 {_I }=eat_ebt s a s-b s-a s-b a-b
_
62
T 2-43 Berechnen Sie mit Hilfe des Faltungssatzes (2.8) die
Original funktion
f(t) = r l {2 ; 2} . s (s + w )
Lösung
EsseiF 1 (s)=-2w 2 und F2(s)=~. s + w s
Die zugehörigen Originalfunktionen sind f l (t) = sin(wt) und f2
(t) = t. Damit erhalten wir: t
f(t) = S sin (wr) (t - r) dr.
o
t t t
o o o t
= ~- -.L sin(wr) I = ~_ sin(wt). w w2 w w2
o • Wir wollen nun die angekündigte geometrische Deutung des
Faltungsintegrals geben. Wir betrachten dazu den zweiten Faktor des
Integranden f2 (t - r): Es sei f2 (r) eine Funktion, die als
Original funktion rur r< 0 verschwindet (s. Bild 2.19a). Dann
ist f2 (r - t) bei konstantem t die um diese Zahl t nach rechts
verschobene Funktion f2 (r) (s. Bild 2.l9b). Die Vorzeichenänderung
des Arguments (r - t -+ - (r - t) = t - r) bedeutet die Spiegelung
der Funktion an der in t errichteten Senkrechten auf der r-Achse
(s. Bild 2.l9c).
f)T -tl
Bild 2.19 a Bild 2.19b Bild 2.19c
Multipliziert man die Funktion f2 (t - r) mit f l (r), so ist
dieses Produkt f l (r) f2 (t - r) nur im Intervall 0 ~ r ~ t von
Null verschieden (Es sei daran erinnert, daß f l (r) als Ori
ginalfunktion rur r< 0 verschwindet). Diese Eigenschaft ist rur
den Beweis des Faltungs satzes wichtig.
63
Die Bezeichnung Faltung findet ihre Deutung so: Falten wir die
7-Achse in der Mitte zwischen 0 und t, so liegt der Punkt t -71 auf
71 (s. Bild 2.20).
.. Bild 2.20 o t -Tj t T
Nach dieser Vorbereitung kommen wir zum Beweis des Faltungssatzes:
Es sei:
t
o
00 t
t=Or=O
00 00
= ,C {f1 (t)} ,C {f2 (t)} = S f1 (7) e- sr d7 S f2 (t) e- st dt = F
1 (s) F2 (s).
o o
Zu diesem Zweck formen wir das Doppelintegral um: Wie wir bei der
geometrischen Deutung der Faltung gesehen haben, ist der Integrand
f1 (7) f2 (t - 7) = 0 rur 7> t. Wir können deshalb die obere
Grenze des inneren Integrals bis unendlich erstrecken. Dann
wird:
00 00
,C {f(t)} = S S f1 (7) f2 (t -7) dre- st dt.
t=Or=O
Wir vertauschen nun die beiden Integrale, ohne zu untersuchen,
unter welchen Bedingungen dies erlaubt ist:
00 00
,C {f(t)} = S f1 (7) S f2 (t -7) e- st dtdT. (a)
r=O t=o
64
00
Auf das innere Integral S f2 (t - r) e- st dt = X {f2 (t - r)}
wenden wir den ersten Verschie
t = 0
00
X {f2 (t - r)} = e- ST S f2 (t) e- st dt.
t = 0
00 00
X U(t)} = S. f, (r) e- ST S f2 (t) e- st dt dr.
T=O t=o
Das innere Integral ist von r unabhängig und kann deshalb aus dem
äußeren Integral her ausgezogen werden.
Damit e.rhalten wir:
t
X { S f, (r) f2 (t - r) dr = X U, (t) * f2 (t)} = F, (s) F2
(s),
o
d.h. Zur Funktion F, (s) F 2 (s) im Bildraum gehört f, (t) * f2 (t)
im Originalraum oder kürzer:
Um die für die Anwendung des Faltungssatzes notwendige Sicherheit
zu erlangen, wollen wir noch einige Übungsbeispiele.rechnen, ehe
wir die wichtigsten Eigenschaften der Faltung aufzeigen.
Beispiel
• 2-44 Berechnen Sie mit Hilfe von Satz (2.8) und T7
f(t) = X-I {(S2 ~~2)2}.
65
Lösung
Wir setzen F 1 (s) == F2 (s) == -2w 2' S +w
Dann ist nach T7 f1 (r) == sin (wr) und f2 (t - r) = sin (w (t -
r)). Setzen wir diese Funktionen in den Faltungsatz (2.8) ein, so
erhalten wir:
t
o
(a)
Zur Berechnung des Integrals formen wir den Integranden mittels des
Additionstheorems sin (a - ß) = sin (a) cos (ß) - sin (ß) cos (a)
um und erhalten:
t
o
t t
= sin(wt) S sin (wr) cos(wr) dr - cos(wt) S sin2 (wr) dr.
o o
sin(wr) cos(wr) == ~sin(2wr) und sin2 (wr) == ~(1-cos(2wr)),
so erhalten wir zwei Integrale, die wir sofort lösen können:
t t
sin(wt) S cos(wt) S f(t) == -2- sin (2wr) dr - 2 (1 - cos(2wr))
dr
o o
t t
(W2wr) ) I == -2- (- 1) 2w - 2
o o
sin(wt) sin(wt) cos(2wt) cos(wt) sin(2wt) t cos(wt) --'--- - + -
---
4w 4w 4w 2
66
und schließlich:
sin (wt) - wt cos(wt) f(t) = 2w •
Da Integranden wie in Gleichung (a), die Produkte von sin(a),
cos(a), sin(ß), cos(ß) sind, recht häufig vorkommen werden und in
der Mathematik überhaupt eine große Rolle spielen, wollen wir an
dieser Stelle noch einen anderen Weg einschlagen, Integrale dieser
Art zu lösen. Wir wandeln dazu die Produkte der trigonometrischen
Funktionen mittels der Additions theoreme in Summen um, die sich
sofort integrieren lassen. Wir schreiben die Additionstheoreme
auf:
sin(a + ß) = sin(a) cos(ß) + sin(ß) cos(a)
sin(a-ß) = sin(a) cos(ß)-sin(ß) cos(a)
cos(a-ß) = cos(a) cos(ß)+sin(a) sin(ß).
Addition bzw. Subtraktion von Gleichungen (b) und (c) ergibt:
sin (a) cos (ß) = ~ (sin (a + ß) + sin (a - ß», bzw.
cos(a) sin(ß) =~(sin(a+ß)-sin(a-ß».
bzw.
1 cos (a) cos (ß) = '2 (cos (a + ß) + cos (a - ß»,
sin(a) sin(ß) = ~(cos(a-ß)-cos(a +ß».
T 2-45 Berechnen Sie das Integral des Beispiels 2-44. t
f(t) = J sin(wT) sin(wt - WT) dT mit Hilfe von Formel IV.
o
Lösung
Dann ist:
(b)
(c)
(d)
(e)
II
III
IV
67
sin (WT) sin (wt - WT) = ~ (COS(2WT - wt) - cos(wt)).
Setzen wir diesen Ausdruck in das Integral ein und bedenken, daß
nur über T integriert wird, so erhalten wir:
t t
o 0
t t
= .! . ---L sin (2WT - wt) I-.! cos (wt) T 1 2 2w 2
o 0
= 4~(sin(wt)-sin(-wt))-~tcos(wt).
W 2w
f(t) =.cI { ws } (S2 + ( 2)2 .
Lösung
w s F 1 (s) = -2--2 und F2 (s) = -2--2'
S +w S +w
Mit Hilfe der Tabelle finden wir:
f i (t) = .cl {F I (s)} = sin(wt) und f2 (t) = .c- I {F2 (sn =
cos(wt).
Mit Hilfe von Satz (2.8) erhalten wir:
t
sin (a) cos (ß) = ~ (sin (a + ß) + sin (a - ß»).
68
•
Wir setzen: Q = W7 und ß = wt - W7 und erhalten wegen Q + ß = wt
und Q - ß =
2W7 - wt:
sin (W7) COS (wt - W7) = 4 (sin (wt) + sin (2W7 - wt)).
Dann ist: t t
o 0
t t
= 4 t sin(wt) - 4~ (cos(wt) - cos(- wt)).
Wegen cos(- wt) = cos(wt) verschwindet der zweite Term und wir
erhalten:
f(t) = 4 t sin(wt).
•
• 2-47 Berechnen Sie das Integral S sinh(w7) cosh(w(t -7)) d7 mit
Hilfe des Faltungs- satzes (2.8), wenn 0
.E i 4 t Sinh(wt)} (S2 ~~2)2 ist.
Lösung Wir setzen:
F(S)=(2 WS 2)2= F1(s) F2(s) mit FI(s)=~ und F2(S)=~. s -w S -w s
-w
Die Originalfunktionen von F 1 (s) bzw. F2 (s) finden wir in
unserer Tabelle unter T9 und TIO:
f l (t) = sinh(wt) und f2 (t) = cosh(wt).
Nun ist einerseits nach Satz (2.8) die Originalfunktion von F (s)
gleich
t
f(t) = f l (t) * f2 (t) = S sinh(w7) cosh(w(t -7)) d7;
o
andererseits ist f(t) = r l {F (s)} = t t sinh (wt) wegen
.E{f(t)} =.E {4tsinh(wt)} (S2~:2)2 = F(s).
69
o
Lösung t
Nach der Definition der Faltung ist f(t) * 0 (t) = S f(r) 0 (t - r)
M.
o
•
Wegen 0 (t - r) = 0 für alle r * t können wir das Integral von - 00
bis + 00 erstrecken. Mit dem Ergebnis des Beispiels 1-36b erhalten
wir:
f1 (t) = f(t) * 0 (t) = f(t).
T 2-49 Beweisen Sie mit Hilfe des Faltungssatzes (2.8) den
Integrationssatz (2.7 a). t
Hinweis: Aus der Definition des Faltungsintegrals folgt S f(r) dr =
f(t) * 1.
Lösung Es ist:
o
t
•
• Auch im nächsten Beispiel werden wir sehen, daß man mit Hilfe des
Faltungssatzes wich tige Eigenschaften von Funktionen erkennen
kann, ohne die Funktionen explizit angeben zu müssen.
T 2-50 Bringen Sie mit Hilfe von Satz (2.8) und TS eine beliebige
Funktion f l (t) in die
Form eines Doppelintegrals, wenn die Bildfunktion ! [f1 (t)} = F
(s) ~ ist.
Lösung
Nach Voraussetzung ist f1 (t) = r l I F (s)~) .
70
fl(t)=rl{F(s)}*r l {~}.
Schreiben wir noch r l {F (s)} = f(t), so erhalten wir:
t
o
Wir integrieren partiell, indem wir f(r) = ü (r) und t - r = v(r)
setzen: T
Dann erhalten wir wegen u (r) = S f(A) dA und v (r) = - 1:
o
T t T
fl(t) = (t-r) S f(A) dA I - S (-1) S f(A)dA dr.
o T=O T=O "A=O
Der ausintegrierte Teil ist Null; denn an der oberen Grenze r = t
erhalten wir:
t t
o 0
o
o
Also ist: T
fl(t)= S Sf(A)dAdr.
T=O"A=O
'f 2-51 Berechnen Sie mit dem Ergebnis des Beispiels 2-50 und der
Tabelle:
f l (t) = r l { w 1 } S2 + w2 ~ . Lösung
NachT7ist: f(t)=r l L2~w2l =sin(wt).
In die Gleichung (a) des Beispiels 2-50 eingesetzt erhalten
wir:
t T
o 0
T T f sin(wA) dA = -w1 cos(wA) I = ~ (1- cos(wr».
o 0
Setzen wir das Ergebnis in Gleichung (a) ein und integrieren, so
erhalten wir:
oder
t
. t 1 f1 (t) = W - 2 sin(wt).
w
(r - ~ sin (wr») I = ~ o
• Wegen der Bedeutung des Faltprodukts oder Faltungsintegrals oder
einfach der Faltung wollen wir das bisher Erarbeitete noch einmal
in übersichtlicher Form zusammenstellen.
1. Das Faltprodukt f( t) ist eine Integraloperation zwischen zwei
Funktionen f l (t) und f2 (t):
t
f(t) = S f l (r) f 2 (t - r) dr.
o
2. Bei der Transformation in den Bildraum erweist sich das Bild des
Faltprodukts als ech tes Produkt der beiden Bildfunktionen von fl
(t) und f2 (t);
F (s) == t {f(t)} = t {fl (t)} t {f2 (t)} == F 1 (s) F 2 (s).
Um diese Eigenschaft hervorzuheben, bezeichnen wir symbolisch die
Faltung als Pro dukt höherer Ordnung l ) und schreiben:
f(t) = f1 (t) * f2 (t). • Bei der uns geläufigen Zahlenalgebra
gehorcht die Multiplikation den zwei Grundgesetzen:
a) dem Kommutativgesetz: b) dem Assoziativgesetz :
ab = b a; a(bc)=(ab)c=abc.
Wir wollen im folgenden nachweisen, daß diese Gesetze auch flir das
Faltprodukt gelten.
I) Ganz so neu ist uns die Bildung von Produkten höherer Ordnung
nicht: Denken wir in der Vektor algebra an das Skalarprodukt oder
an das Vektorprodukt und in der Matrizenrechnung an das
Matrizenprodukt.
72
a) Kommutativgesetz
Daß das Faltprodukt dem Kommutativgesetz gehorcht, ist
selbstverständlich; denn wir haben beim Beweis des Faltungssatzes
keine speziellen Voraussetzungen für f1 (t) bzw. f2 (t) gemacht.
Trotzdem wollen wir in dem folgenden Beispiel direkt zeigen, daß
das Kommutativgesetz gilt.
Beispiele
~ 2-52 Beweisen Sie mittels der Substitution t - T = u, daß für das
Faltprodukt das Kom mutativgesetz gilt:
Beweis t
Nach Definition ist f1 (t) * f2 (t) = J f1 (T) f2 (t - T) dT.
o Wir substituieren t - T = u. Dann ist dT = - du. Die neuen
Grenzen sind: T = t -+ u = 0 und T = 0 -+ u = t. Wir erhalten
damit:
o t
f1 (t) * f2 (t) = - J f1 (t - u) f2 (u) du = J