Einführung in die Fouriertransformation

Einführung in die Fouriertransformation

Einführung in die Fouriertransformation

Fouriertrans-

formation

Einführung in die Fouriertransformation

Fouriertrans-

formation

Einführung in die Fouriertransformation

Fouriertrans-

formation

Einführung in die Fouriertransformation

Fouriertrans-

formation

Einführung in die Fouriertransformation

Fouriertrans-

formation

Fouriertrans-

formation

inverse

Einführung in die Fouriertransformation

Fouriertrans-

formation

Fouriertrans-

formation

inverse

Fourier-Entwicklung

Fourier-EntwicklungElementare Funktionen:

Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1

Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx)

Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx), sin(kx)

Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx), sin(kx) für k = 1, 2, 3, . . .

Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx), sin(kx) für k = 1, 2, 3, . . .

02π

1

−1

Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx), sin(kx) für k = 1, 2, 3, . . .

02π

1

−1

cos(x)

Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx), sin(kx) für k = 1, 2, 3, . . .

02π

1

−1

cos(x)

2π

sin(x)

Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx), sin(kx) für k = 1, 2, 3, . . .

02π

1

−1

cos(x)

2π

sin(x)

02π

1

−1cos(2x)

2π

sin(2x)

Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx), sin(kx) für k = 1, 2, 3, . . .

02π

1

−1

cos(x)

2π

sin(x)

02π

1

−1cos(3x)

2π

sin(3x)

Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx), sin(kx) für k = 1, 2, 3, . . .

02π

1

−1

cos(x)

2π

sin(x)

02π

1

−1cos(4x)

2π

sin(4x)

Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx), sin(kx) für k = 1, 2, 3, . . .

02π

1

−1

cos(x)

2π

sin(x)

02π

1

−1cos(5x)

2π

sin(5x)

Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx), sin(kx) für k = 1, 2, 3, . . .

02π

1

−1

cos(x)

2π

sin(x)

02π

1

−1cos(5x)

2π

sin(5x)

u.s.w.

Fourier-Entwicklung

Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)

Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x)

Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)

Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)

Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)

Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)f4(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)

Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)f4(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x) + 0.3 · cos(20x)

Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)f4(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x) + 0.3 · cos(20x)

02π

1

−1

Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)f4(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x) + 0.3 · cos(20x)

02π

1

−1

Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)f4(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x) + 0.3 · cos(20x)

02π

1

−1

Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)f4(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x) + 0.3 · cos(20x)

02π

1

−1

Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)f4(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x) + 0.3 · cos(20x)

02π

1

−12π

Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)f4(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x) + 0.3 · cos(20x)

02π

1

−12π

Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)f4(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x) + 0.3 · cos(20x)

02π

1

−12π

Fourier-Koeffizienten

Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)f4(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x) + 0.3 · cos(20x)

02π

1

−12π

Fourier-Koeffizientenf4(x) = 0.9 ·cos(x)+ 0.5 ·sin(3x)+ 0.4 ·sin(6x)+ 0.3 ·cos(20x)

Fourier-Entwicklung

Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R

Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch

Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)

Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)

3ππ−π−3π

x

f (x)

Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)

3ππ−π−3π

x

f (x)

Fourier-Reihe

Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)

3ππ−π−3π

x

f (x)

Fourier-Reihe

a0

2+

∞∑k=1

(ak cos(kx) + bk sin(kx))

Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)

3ππ−π−3π

x

f (x)

Fourier-Reihe

a0

2+

∞∑k=1

(ak cos(kx) + bk sin(kx)) = f (x)

Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)

3ππ−π−3π

x

f (x)

Fourier-Reihe

a0

2+

∞∑k=1

(ak cos(kx) + bk sin(kx)) = f (x)

falls man ak , bk geschickt wählt, nämlich

Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)

3ππ−π−3π

x

f (x)

Fourier-Reihe

a0

2+

∞∑k=1

(ak cos(kx) + bk sin(kx)) = f (x)

falls man ak , bk geschickt wählt, nämlich

ak :=1π

π∫

−π

f (t) cos(kt) dt

Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)

3ππ−π−3π

x

f (x)

Fourier-Reihe

a0

2+

∞∑k=1

(ak cos(kx) + bk sin(kx)) = f (x)

falls man ak , bk geschickt wählt, nämlich

ak :=1π

π∫

−π

f (t) cos(kt) dt , bk :=1π

π∫

−π

f (t) sin(kt) dt

Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)

3ππ−π−3π

x

f (x)

Fourier-Reihe

a0

2+

∞∑k=1

(ak cos(kx) + bk sin(kx)) = f (x)

Fourier-Koeffizienten

ak :=1π

π∫

−π

f (t) cos(kt) dt , bk :=1π

π∫

−π

f (t) sin(kt) dt

Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)

3ππ−π−3π

x

f (x)

Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)

3ππ−π−3π

x

f (x)

Fourier-Reihe (andere Schreibweise)

Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)

3ππ−π−3π

x

f (x)

Fourier-Reihe (andere Schreibweise)

f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx

Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)

3ππ−π−3π

x

f (x)

Fourier-Reihe (andere Schreibweise)

f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx

Fourier-Koeffizienten

ck :=1

2π

∫π

−π

f (t)e−ikt dt

Fourier-Entwicklung Fouriertransformation

f 2π-periodisch

3ππ−π−3π

Fourier-Reihe

f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx

Fourier-Koeffizienten

ck :=1

2π

∫π

−π

f (t)e−ikt dt

Fourier-Entwicklung Fouriertransformation

f 2π-periodisch

3ππ−π−3π

Fourier-Reihe

f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx

Fourier-Koeffizienten

ck :=1

2π

∫π

−π

f (t)e−ikt dt

Frage:

Fourier-Entwicklung Fouriertransformation

f 2π-periodisch

3ππ−π−3π

Fourier-Reihe

f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx

Fourier-Koeffizienten

ck :=1

2π

∫π

−π

f (t)e−ikt dt

Frage:

Läßt sich die Fourier-Ent-wicklung auf nichtperiodischeFunktionen übertragen?

Fourier-Entwicklung Fouriertransformation

f 2π-periodisch

3ππ−π−3π

Fourier-Reihe

f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx

Fourier-Koeffizienten

ck :=1

2π

∫π

−π

f (t)e−ikt dt

Frage:

Läßt sich die Fourier-Ent-wicklung auf nichtperiodischeFunktionen übertragen?

Antwort:

Fourier-Entwicklung Fouriertransformation

f 2π-periodisch

3ππ−π−3π

Fourier-Reihe

f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx

Fourier-Koeffizienten

ck :=1

2π

∫π

−π

f (t)e−ikt dt

Frage:

Läßt sich die Fourier-Ent-wicklung auf nichtperiodischeFunktionen übertragen?

Antwort: Ja.

Fourier-Entwicklung Fouriertransformation

f 2π-periodisch

3ππ−π−3π

Fourier-Reihe

f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx

Fourier-Koeffizienten

ck :=1

2π

∫π

−π

f (t)e−ikt dt

Frage:

Läßt sich die Fourier-Ent-wicklung auf nichtperiodischeFunktionen übertragen?

Antwort: Ja. Durch die

Fourier-Entwicklung Fouriertransformation

f 2π-periodisch

3ππ−π−3π

Fourier-Reihe

f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx

Fourier-Koeffizienten

ck :=1

2π

∫π

−π

f (t)e−ikt dt

Frage:

Läßt sich die Fourier-Ent-wicklung auf nichtperiodischeFunktionen übertragen?

Antwort: Ja. Durch die

Fourier-Transformierte

Fourier-Entwicklung Fouriertransformation

f 2π-periodisch

3ππ−π−3π

Fourier-Reihe

f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx

Fourier-Koeffizienten

ck :=1

2π

∫π

−π

f (t)e−ikt dt

Frage:

Läßt sich die Fourier-Ent-wicklung auf nichtperiodischeFunktionen übertragen?

Antwort: Ja. Durch die

Fourier-Transformierte

f∧(u) :=1

2π

∫∞

−∞

f (t)e−iut dt

Fourier-Entwicklung Fouriertransformation

f 2π-periodisch

3ππ−π−3π

Fourier-Reihe

f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx

Fourier-Koeffizienten

ck :=1

2π

∫π

−π

f (t)e−ikt dt

f : R → R nichtperiodisch

Fourier-Transformierte

f∧(u) :=1

2π

∫∞

−∞

f (t)e−iut dt

Fourier-Entwicklung Fouriertransformation

f 2π-periodisch

3ππ−π−3π

Fourier-Reihe

f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx

Fourier-Koeffizienten

ck :=1

2π

∫π

−π

f (t)e−ikt dt

f : R → R nichtperiodisch

Fourier-Rücktransformation

f (x) =

∫∞

−∞

f∧(u)eiux du

Fourier-Transformierte

f∧(u) :=1

2π

∫∞

−∞

f (t)e−iut dt

Fourier-Entwicklung Diskrete Fouriertransform.

f 2π-periodisch

3ππ−π−3π

Fourier-Reihe

f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx

Fourier-Koeffizienten

ck :=1

2π

∫π

−π

f (t)e−ikt dt

f0, . . . , fN−1 diskrete Daten

Fourier-Entwicklung Diskrete Fouriertransform.

f 2π-periodisch

3ππ−π−3π

Fourier-Reihe

f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx

Fourier-Koeffizienten

ck :=1

2π

∫π

−π

f (t)e−ikt dt

f0, . . . , fN−1 diskrete Daten

diskrete Fourier-Transformierte

Fn :=1N

N−1∑k=0

fke−ikn 2π

N

n = 0, . . . , N − 1

Fourier-Entwicklung Diskrete Fouriertransform.

f 2π-periodisch

3ππ−π−3π

Fourier-Reihe

f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx

Fourier-Koeffizienten

ck :=1

2π

∫π

−π

f (t)e−ikt dt

f0, . . . , fN−1 diskrete Daten

diskrete Rücktransformierte

fn =N−1∑k=0

Fkeikn 2π

N

diskrete Fourier-Transformierte

Fn :=1N

N−1∑k=0

fke−ikn 2π

N

n = 0, . . . , N − 1

Fourier-Entwicklung Diskrete 2D-Fouriertransform.

f 2π-periodisch

3ππ−π−3π

Fourier-Reihe

f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx

Fourier-Koeffizienten

ck :=1

2π

∫π

−π

f (t)e−ikt dt

2D-Daten fk ,l1 N-1

01

N-1

...

0 · · ·

fk,l∈ {0, . . . , 255}

Fourier-Entwicklung Diskrete 2D-Fouriertransform.

f 2π-periodisch

3ππ−π−3π

Fourier-Reihe

f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx

Fourier-Koeffizienten

ck :=1

2π

∫π

−π

f (t)e−ikt dt

2D-Daten fk ,l1 N-1

01

N-1

...

0 · · ·

fk,l∈ {0, . . . , 255}

diskrete Fourier-Transformierte

Fn,m :=1

N2

N−1∑k ,l=0

fk ,le−i(kn+lm) 2π

N

n, m = 0, . . . , N − 1

Fourier-Entwicklung Diskrete 2D-Fouriertransform.

f 2π-periodisch

3ππ−π−3π

Fourier-Reihe

f (x) =

∞∑k=−∞

ckeikx

Fourier-Koeffizienten

ck :=1

2π

∫π

−π

f (t)e−ikt dt

2D-Daten fk ,l1 N-1

01

N-1

...

0 · · ·

fk,l∈ {0, . . . , 255}

diskrete Rücktransformierte

fn,m =N−1∑k ,l=0

Fk ,lei(kn+lm) 2π

N

diskrete Fourier-Transformierte

Fn,m :=1

N2

N−1∑k ,l=0

fk ,le−i(kn+lm) 2π

N

n, m = 0, . . . , N − 1