Post on 05-Apr-2015
Fairness bei Spielen
HU-BerlinStochastik und ihre Didaktik
Dr Elke WarmuthReferrenten Joern Dege und Robert Kramp
08012007
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fair
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires Spiel
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinntP(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf ein
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machenP(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair
Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fair
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires Spiel
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinntP(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
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Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf ein
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machenP(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair
Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires Spiel
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinntP(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf ein
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machenP(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair
Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires Spiel
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinntP(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf ein
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machenP(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair
Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinntP(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf ein
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machenP(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair
Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf ein
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machenP(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair
Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf ein
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machenP(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair
Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf ein
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machenP(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair
Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf ein
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machenP(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair
Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf ein
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machenP(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair
Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machenP(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair
Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair
Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair
Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair
Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
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1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
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Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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Aufgaben bearbeitet werden
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
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Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
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Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
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Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
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Bruttogewinn B
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2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
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2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
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2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
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Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
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A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
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2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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E(B)= hellip
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
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2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
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0 2c
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
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0 2c
Wkt 1937 1837
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
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E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
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E(B)= hellip
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0 2c
Wkt 1937 1837
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
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Bruttogewinn B
0 2c
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
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2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
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E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
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- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
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Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
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Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
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E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
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Bruttogewinn B
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
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Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
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Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
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A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
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Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
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Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
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Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
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Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
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S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
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S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
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