Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege...
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Fairness bei Spielen
HU-BerlinStochastik und ihre Didaktik
Dr Elke WarmuthReferrenten Joern Dege und Robert Kramp
08012007
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fair
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires Spiel
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinntP(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf ein
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machenP(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair
Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
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- Weiterer Stundenverlauf
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- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
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Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fair
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires Spiel
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinntP(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf ein
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machenP(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair
Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
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Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires Spiel
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinntP(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf ein
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machenP(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair
Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
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- Motivation
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- Weiterer Stundenverlauf
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- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
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-
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires Spiel
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinntP(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf ein
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machenP(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair
Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
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- Motivation
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- Weiterer Stundenverlauf
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- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
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- Slide 51
-
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinntP(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf ein
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machenP(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair
Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
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- Motivation
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- Weiterer Stundenverlauf
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- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
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- Slide 51
-
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf ein
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machenP(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair
Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
- Slide 2
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- Motivation
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- Weiterer Stundenverlauf
- Slide 41
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- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
-
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf ein
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machenP(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair
Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
- Slide 2
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- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Motivation
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Weiterer Stundenverlauf
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
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- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
-
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf ein
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machenP(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair
Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
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Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf ein
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machenP(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair
Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
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- Motivation
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- Weiterer Stundenverlauf
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- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
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-
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf ein
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machenP(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair
Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
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- Slide 32
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- Motivation
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- Slide 38
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- Weiterer Stundenverlauf
- Slide 41
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- Slide 46
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- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
-
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machenP(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair
Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
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- Motivation
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- Weiterer Stundenverlauf
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- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
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- Slide 51
-
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair
Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
- Slide 2
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- Motivation
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- Weiterer Stundenverlauf
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- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
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- Slide 51
-
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair
Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
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- Weiterer Stundenverlauf
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- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
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-
Fairness bei Spielen
Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1
A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair
Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair
Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
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- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
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- Slide 28
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- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Motivation
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Weiterer Stundenverlauf
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
-
Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
- Slide 2
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- Motivation
- Slide 37
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- Weiterer Stundenverlauf
- Slide 41
- Slide 42
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- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
- Slide 49
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-
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
- Slide 2
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- Motivation
- Slide 37
- Slide 38
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- Weiterer Stundenverlauf
- Slide 41
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- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
-
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
- Slide 2
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- Slide 4
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- Slide 7
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- Motivation
- Slide 37
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- Weiterer Stundenverlauf
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
-
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
- Slide 2
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- Motivation
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- Weiterer Stundenverlauf
- Slide 41
- Slide 42
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- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
- Slide 49
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-
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
- Slide 2
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- Slide 31
- Slide 32
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- Motivation
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Weiterer Stundenverlauf
- Slide 41
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- Slide 44
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- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
-
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
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- Motivation
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- Weiterer Stundenverlauf
- Slide 41
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- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
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-
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
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- Motivation
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- Weiterer Stundenverlauf
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- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
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-
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
- Slide 2
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- Slide 4
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- Slide 7
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- Slide 30
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- Slide 32
- Slide 33
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- Motivation
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Weiterer Stundenverlauf
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
-
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
- Slide 2
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- Motivation
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- Weiterer Stundenverlauf
- Slide 41
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- Slide 46
- Slide 47
- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
-
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
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- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Motivation
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Weiterer Stundenverlauf
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
-
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
- Slide 2
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- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
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Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Motivation
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Weiterer Stundenverlauf
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
-
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
1+2+3+4+5+6
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
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- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Motivation
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Weiterer Stundenverlauf
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
-
Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =
WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6
N -220 -120 -020 080 180 280
B 1 2 3 4 5 6
P 16 16 16 16 16 16
Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn
-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180
(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180
Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben
(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0
rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6
harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)
350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen
1+2+3+4+5+6
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
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- Slide 15
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- Slide 17
- Slide 18
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- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Motivation
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Weiterer Stundenverlauf
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
-
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
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Aufgaben bearbeitet werden
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
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Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
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- Slide 31
- Slide 32
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- Slide 35
- Motivation
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Weiterer Stundenverlauf
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
-
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
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- Motivation
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Weiterer Stundenverlauf
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
-
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
- Slide 12
- Slide 13
- Slide 14
- Slide 15
- Slide 16
- Slide 17
- Slide 18
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- Slide 20
- Slide 21
- Slide 22
- Slide 23
- Slide 24
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Motivation
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Weiterer Stundenverlauf
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
-
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
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- Slide 7
- Slide 8
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- Slide 20
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- Slide 22
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- Slide 26
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- Slide 30
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- Slide 32
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- Motivation
- Slide 37
- Slide 38
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- Weiterer Stundenverlauf
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
-
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt)
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
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- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Motivation
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Weiterer Stundenverlauf
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
-
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
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- Slide 20
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- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
- Slide 34
- Slide 35
- Motivation
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Weiterer Stundenverlauf
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
-
Fairness bei Spielen
Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange
Sichtldquo aufheben
Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c
(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0
Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)
Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
- Slide 2
- Slide 3
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- Slide 5
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- Slide 22
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- Slide 32
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- Slide 34
- Slide 35
- Motivation
- Slide 37
- Slide 38
- Slide 39
- Weiterer Stundenverlauf
- Slide 41
- Slide 42
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- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
-
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
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- Slide 31
- Slide 32
- Slide 33
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- Slide 35
- Motivation
- Slide 37
- Slide 38
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- Weiterer Stundenverlauf
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
- Slide 47
- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
-
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
- Slide 2
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- Slide 31
- Slide 32
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- Slide 34
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- Motivation
- Slide 37
- Slide 38
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- Weiterer Stundenverlauf
- Slide 41
- Slide 42
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- Slide 46
- Slide 47
- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
- Slide 49
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Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
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Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
- Slide 2
- Slide 3
- Slide 4
- Slide 5
- Slide 6
- Slide 7
- Slide 8
- Slide 9
- Slide 10
- Slide 11
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- Slide 28
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- Slide 30
- Slide 31
- Slide 32
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- Motivation
- Slide 37
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- Weiterer Stundenverlauf
- Slide 41
- Slide 42
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- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
- Slide 49
- Slide 50
- Slide 51
-
Motivation
1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)
2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)
3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht
4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
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Wkt 1937 1837
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
- Slide 2
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- Slide 32
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- Motivation
- Slide 37
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- Weiterer Stundenverlauf
- Slide 41
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- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
- Slide 49
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-
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Aufgaben bearbeitet werden
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
- Slide 2
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- Slide 32
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- Motivation
- Slide 37
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- Weiterer Stundenverlauf
- Slide 41
- Slide 42
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- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
- Slide 49
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
Bruttogewinn B
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Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
- Slide 2
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellip
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Weiterer Stundenverlauf
Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
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- Motivation
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- Weiterer Stundenverlauf
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)
Bruttogewinn B
0 2c
Wkt 1937 1837
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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei
Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
Bruttogewinn B
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair
Bruttogewinn B
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Bruttogewinn B
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
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Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
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-
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2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
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A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
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A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
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2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
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2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
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Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
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A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
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2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
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Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
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- Fairness bei Spielen
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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair
a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo
E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair
2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein
- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann
Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein
Bruttogewinn B
0 2c
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Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
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A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
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S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
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A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
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A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
- Fairness bei Spielen
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- Motivation
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- Weiterer Stundenverlauf
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- Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
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Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A
S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist
Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum
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