Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege...

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Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege und Robert Kramp 08.01.2007

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Fairness bei Spielen

HU-BerlinStochastik und ihre Didaktik

Dr Elke WarmuthReferrenten Joern Dege und Robert Kramp

08012007

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fair

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires Spiel

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinntP(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf ein

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machenP(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair

Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N

B

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen

1+2+3+4+5+6

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

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Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fair

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires Spiel

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinntP(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf ein

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machenP(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair

Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N

B

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen

1+2+3+4+5+6

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

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Page 3: Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege und Robert Kramp 08.01.2007.

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires Spiel

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinntP(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf ein

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machenP(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair

Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N

B

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen

1+2+3+4+5+6

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

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Page 4: Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege und Robert Kramp 08.01.2007.

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires Spiel

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinntP(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf ein

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machenP(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair

Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N

B

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen

1+2+3+4+5+6

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

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  • Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
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Page 5: Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege und Robert Kramp 08.01.2007.

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinntP(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf ein

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machenP(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair

Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N

B

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen

1+2+3+4+5+6

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

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  • Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
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Page 6: Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege und Robert Kramp 08.01.2007.

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf ein

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machenP(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair

Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N

B

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen

1+2+3+4+5+6

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

  • Fairness bei Spielen
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  • Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
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Page 7: Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege und Robert Kramp 08.01.2007.

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf ein

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machenP(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair

Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N

B

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen

1+2+3+4+5+6

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

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Aufgaben bearbeitet werden

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

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  • Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
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Page 8: Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege und Robert Kramp 08.01.2007.

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf ein

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machenP(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair

Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N

B

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen

1+2+3+4+5+6

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

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Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf ein

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machenP(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair

Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N

B

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen

1+2+3+4+5+6

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

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Page 10: Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege und Robert Kramp 08.01.2007.

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf ein

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machenP(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair

Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N

B

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen

1+2+3+4+5+6

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

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  • Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
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Page 11: Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege und Robert Kramp 08.01.2007.

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machenP(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair

Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N

B

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen

1+2+3+4+5+6

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden

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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

  • Fairness bei Spielen
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Page 12: Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege und Robert Kramp 08.01.2007.

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair

Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N

B

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen

1+2+3+4+5+6

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

Weiterer Stundenverlauf

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Aufgaben bearbeitet werden

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

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Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

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Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair

Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N

B

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen

1+2+3+4+5+6

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

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  • Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
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Page 14: Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege und Robert Kramp 08.01.2007.

Fairness bei Spielen

Wann ist ein Spiel fairBeispiel 1

A darf dreimal wuumlrfeln und gewinnt wenn mindestens einmal die sbquo6lsquo erscheint andernfalls gewinnt B Ein faires SpielP(A) = Wahrscheinlichkeit dass A gewinnt = 1 ndash 125216 asymp 0421 P(B) = Wahrscheinlichkeit dass B gewinnt = 125216 asymp 0578Also P(A) lt P(B) rarr Chancenungleichheit Spiel nicht fair

Beispiel 2 Jemand gibt Ihnen 320euro und fordert Sie auf zu wuumlrfeln Sie muumlssen die gewuumlrfelte Augenzahl in Euro zuruumlckzahlen Lassen Sie sich darauf einP(A) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Gewinn machen = 05P(B) = Wahrscheinlichkeit dass Sie Verlust machen = 05Also P(A) = P(B) rarr Chancengleichheit aber Spiel fair

Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N

B

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen

1+2+3+4+5+6

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

  • Fairness bei Spielen
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Page 15: Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege und Robert Kramp 08.01.2007.

Fairness bei SpielenAus Sicht des Spielanbieters

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N

B

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen

1+2+3+4+5+6

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

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Page 16: Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege und Robert Kramp 08.01.2007.

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N

B

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen

1+2+3+4+5+6

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

  • Fairness bei Spielen
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  • Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
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Page 17: Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege und Robert Kramp 08.01.2007.

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen

1+2+3+4+5+6

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

  • Fairness bei Spielen
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  • Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
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Page 18: Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege und Robert Kramp 08.01.2007.

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen

1+2+3+4+5+6

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

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Page 19: Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege und Robert Kramp 08.01.2007.

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen

1+2+3+4+5+6

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

  • Fairness bei Spielen
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  • Motivation
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  • Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
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Page 20: Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege und Robert Kramp 08.01.2007.

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen

1+2+3+4+5+6

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

  • Fairness bei Spielen
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  • Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
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Page 21: Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege und Robert Kramp 08.01.2007.

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen

1+2+3+4+5+6

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

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  • Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
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Page 22: Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege und Robert Kramp 08.01.2007.

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen

1+2+3+4+5+6

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

  • Fairness bei Spielen
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  • Weiterer Stundenverlauf
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  • Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
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Page 23: Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege und Robert Kramp 08.01.2007.

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen

1+2+3+4+5+6

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

  • Fairness bei Spielen
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  • Motivation
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  • Weiterer Stundenverlauf
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  • Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
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Page 24: Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege und Robert Kramp 08.01.2007.

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen

1+2+3+4+5+6

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

  • Fairness bei Spielen
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  • Motivation
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  • Weiterer Stundenverlauf
  • Slide 41
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  • Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
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Page 25: Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege und Robert Kramp 08.01.2007.

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen

1+2+3+4+5+6

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

  • Fairness bei Spielen
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  • Weiterer Stundenverlauf
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  • Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
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Page 26: Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege und Robert Kramp 08.01.2007.

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen

1+2+3+4+5+6

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

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Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

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Page 27: Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege und Robert Kramp 08.01.2007.

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

1+2+3+4+5+6

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen

1+2+3+4+5+6

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

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Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

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Bruttogewinn B

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

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2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

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Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

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A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

  • Fairness bei Spielen
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  • Motivation
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  • Weiterer Stundenverlauf
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  • Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
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Page 28: Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege und Robert Kramp 08.01.2007.

Fairness bei SpielenAus Sicht des SpielanbietersA = Augensumme N = Nettogewinn B = Bruttogewinn P =

WahrscheinlichkeitA 1 2 3 4 5 6

N -220 -120 -020 080 180 280

B 1 2 3 4 5 6

P 16 16 16 16 16 16

Beobachtung Gewinn und Verlust heben sich nicht auf denn

-220 -120 -020 +080 +180 +280 = +180

(-320+1)+(-320+2)+(-320+3)+(-320+4)+(-320+5)+(-320+6) = +180

Waumlhlen Einsatz c so dass Gewinn und Verlust sich aufheben

(-c+1)+(-c+2)+(-c+3)+(-c+4)+(-c+5)+(-c+6) = 0

rarr c ist Mittelwert der Zahlen 1 bis 6 also c = 6

harr c = 161 + 162 + 163 + 164 + 165 +166 = 350 = E(B)

350euro waumlren also ein fairer Einsatz gewesen

1+2+3+4+5+6

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

  • Fairness bei Spielen
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Page 29: Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege und Robert Kramp 08.01.2007.

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

  • Fairness bei Spielen
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  • Motivation
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  • Weiterer Stundenverlauf
  • Slide 41
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  • Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
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Page 30: Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege und Robert Kramp 08.01.2007.

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufhebenDefinition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

  • Fairness bei Spielen
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  • Weiterer Stundenverlauf
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  • Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)
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Page 31: Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege und Robert Kramp 08.01.2007.

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

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Aufgaben bearbeitet werden

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

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Bruttogewinn B

0 2c

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

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Bruttogewinn B

0 2c

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

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2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

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Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

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A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

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Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

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2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

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E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

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Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

  • Fairness bei Spielen
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Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt)

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

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E(B)= hellip

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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

  • Fairness bei Spielen
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Page 34: Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege und Robert Kramp 08.01.2007.

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

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Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

  • Fairness bei Spielen
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Page 35: Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege und Robert Kramp 08.01.2007.

Fairness bei Spielen

Ein solches Spiel ist also dann fair wenn sich Gewinn und Verlust bdquoauf lange

Sichtldquo aufheben

Alternative da Nettogewinn N = Bruttogewinn B ndash Einsatz c gilt auch E(N) = E(B ndash c) = E(B) ndash c

(wegen Linearitaumlt) daraus folgt E(N) = 0

Definition IEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der Einsatz c dem zu erwartenden Bruttogewinn E(B) entspricht c = E(B)

Definition IIEin Zwei-Personen-Spiel ist dann fair wenn der zu erwartende Nettogewinn E(N) gleich Null ist E(N) = 0

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

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Page 36: Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege und Robert Kramp 08.01.2007.

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden

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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

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Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

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A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

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A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

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A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

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Page 37: Fairness bei Spielen HU-Berlin Stochastik und ihre Didaktik Dr. Elke Warmuth Referrenten: Joern Dege und Robert Kramp 08.01.2007.

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

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Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

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2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

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2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

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2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

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Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

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A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

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A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

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S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

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Motivation

1 Die Loumlsung der Beispiele ist fuumlr die Schuumller von Interesse- es geht um Geld- Gefahr betrogen zu werden (vor allem bei houmlheren Betraumlgen)

2 Die Intuition ist ohne geeignete Hilfsmittel irrefuumlhrend oder unpraumlzise- bdquohellipaber 3-mal 16 ist doch 05ldquo (Beispiel 1)- bdquohellipaber es herrscht doch Chancengleichheitldquo (Beispiel 2)

3 Der Erwartungswert wird hergeleitet und dadurch veranschaulicht

4 Die Loumlsung ist durch den Erwartungswert schnell und einfach

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2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

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Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

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A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

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A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

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A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

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A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

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A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellip

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fair

Bruttogewinn B

0 2c

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Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

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2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

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Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

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Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

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2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

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A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

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A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

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a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

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A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

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A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

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Weiterer Stundenverlauf

Nach dem Lehrervortrag und den Definitionen sollen anschlieszligend zwei

Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Bruttogewinn B

0 2c

Wkt 1937 1837

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Aufgaben bearbeitet werden1 (als Unterrichtsgespraumlch) Ist Roulette fair

a) setzen Einsatz c auf sbquoROTlsquo

E(B)= hellipb) setzen Einsatz c auf sbquo17lsquo (analog)c) Warum ist Roulette bei jedem Einsatz unfair

2 (als Partnerarbeit) Ist Lotto fairgegeben - Kosten fuumlr einen Tippschein

- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

Bruttogewinn B

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Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

Hausaufgabe (aus UE Stochastik bei Gerlach)

A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

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Welche Strategie wuumlrden Sie waumlhlen Warum

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- Erfahrungswerte was man bei 3 bis 6 sbquoRichtigenlsquo (wahlweise noch jeweils mit Zusatzzahl) gewinnen kann

Loumlsung Fuumlr ein faires Spiel muumlsste der Tippschein halb so teuer sein

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A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

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A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

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A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen

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A und B vereinbaren folgendes Spiel A darf eine faire Muumlnze werfen sooft er will jedoch houmlchstens vier Mal Jedes Mal wenn bdquoZahlldquo faumlllt erhaumllt A einen Euro Faumlllt bdquoWappenldquo muss A an B einen Euro bezahlen Berechnen Sie fuumlr folgende Strategien den Erwartungswert des Nettogewinns fuumlr A

S1 Aufhoumlren sobald das erste Mal bdquoZahlldquo gefallen istS2 Aufhoumlren sobald das zweite Mal bdquoZahlldquo gefallen ist

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