Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Diskrete Mathematik II...

Institut für Kartographie und GeoinformationProf. Dr. Lutz Plümer

Diskrete Mathematik IIVorlesung 8

08.06.00

Voronoi-Diagramme

Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.00Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 8 - 08.06.00

Konstruktion des Voronoi-Diagramms

„Divide and Conquer“

1. Input: Gegeben ist eine Menge P von mindestens 2 Punkten

2. Divide: Zerlege P in zwei etwa gleich große Teilmengen P1 und P2

3. Rekursiv: Berechne Voronoi-Diagramme von P1 und P2

4. Merge: Verknüpfe die beiden in Schritt 3 gebildeten Diagramme

5. Halt: Der Abschluß ist erreicht, wenn das Voronoi-Diagramm eines Punktes zu bilden ist; dies ist die ganze Ebene

Wie oft ist dieser Zyklus zu durchlaufen?

log n mal

O(n * log n)wenn „Divide“ and „Merge“ nicht mehr als n Schritte benötigen,

Aufteilung der Menge P in P1 und P2

Voronoi-Diagramm von P1

Voronoi-Diagramm von P2

Was ist das schwierigste Teilproblem? - Merge

Konstruktion des trennenden Kantenzuges

Was wissen wir über den trennenden Kantenzug?• monoton in Nord-Süd-Richtung• jede Kante ist Grenze (Mittelsenkrechte)

zwischen einer roten und einer grünen Region• Problem: sukzessive Identifikation der

benachbarten roten und grünen Punkte• die nördlichsten und südlichsten Teilstücke sind

unbeschränkt, also Halbgeraden • die benachbarten roten und grünen Punkte bilden

dort unbeschränkte Voronoi-Regionen• sie liegen also jeweils auf der roten bzw. grünen

konvexen Hülle• beginnen wir also mit den beiden Tangenten

Tangente

Tangente – konvexe Hülle

Konvexe Hülle

Eine Tangente T an die Punktmenge P

• geht durch zwei Punkte von P• teilt die Ebene in zwei Halbebenen so, daß alle

Punkte in der gleichen Halbebene liegen• die Tangenten bestimmen die Lage der Kanten für

die neue konvexe Hülle beider Punktmengen• Konstruktion der Tangenten im Detail:

– später

Vereinigung

Mittelsenkrechte bilden

Vereinigung

Aktive Voronoi-Regionen

Schnittpunkte mit Seg-menten suchen

Vereinigung

Neue aktive VR (Voronoi-Region)

Vereinigung

Neue aktive VR

Mittelsenkrechte zuwischenden aktiven VR

Vereinigung

Schnittpunkte suchen

Vereinigung

Neue aktive VR suchen

Vereinigung

Mittelsenkrechte deraktiven VR

Vereinigung

Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen

Vereinigung

Verknüpfung mit der Mittel-senkrechten vom Anfang

Vereinigung

Löschen der überflüssigen Segmente

Ergebnis: Voronoi-Diagramm von P

Datenstruktur für Voronoi-Diagramm

• Doppelt verkettete Kantenliste• Durchlaufen des Kantenumrings in linearer Zeit• Direkter Zugriff auf die benachbarten Maschen

Kosten

• wie lange dauert die Konstruktion des trennenden Kantenzuges?

• Zahl der Teilkanten / Knoten des Kantenzuges• Zahl Berechnungen von Schnittpunkten mit den

benachbarten Voronoi-Regionen

Länge des Kantenzuges im Worst Case

Größenordnung des Kanten-Umrings im worst case

O(n) * O(n) = O(n2) ?

Voronoi-Regionen sind konvex

Kantenzug ist monoton

war jetzt alles umsonst?

O(n) * O(n) = O(n2) ?

Voronoi-Regionen sind konvex

Kantenzug ist monoton

Keine Kante öfter als zwei mal anfassen!

„Investitionen müssen sich amortisieren“

• Ziel: keine Kante mehr als zwei mal „anfassen“• Es gibt insgesamt höchstens 3* n – 6 Kanten O(n)• Konvexität der Voronoi-Regionen höchstens

zwei Schnittpunkte mit der aktiven Halbgeraden• Es genügt, die linken (grünen) Kantenumringe im

Uhrzeigersinn und die rechten (roten) Kantenumringe gegen den Uhrzeigersinn zu durchlaufen und den zuletzt gefundenen und verworfenen Schnittpunkt als Haltepunkt zu merken!

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