Post on 19-Oct-2020
Institut für Plasmaphysik ,
K ERN F,O R S C H U N G SAN LAG E J 0 LI C H
des Landes Nordrhein-Westfalen - e. V.
ASSOZIATION EURATOM-KFA
Uber die Parametrisierung
der Lösungen der Vlasov-Gleichung
von P. Gräff
Jül - 203 - pp November 1964
Als Manuskript gedruckt
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B e ri c h ted e r K ern f 0 r 5 c h u n 9 5 a n lag e J ü I ich - N r. 203
Ins t i tut für' P las m a p h y 5 i k J ü I - 203 - PP
Dok.: VlASOW-EQUATION
DK: 536.758
Zu beziehen durch: ZENTRALBIBlIOTHEK der Kernforschungsanlage Jülich, Jülich, Bundesrepublik Deutschland
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Ober die Parametrisierung
der Lösungen der Vlasov-Gleichung
von P. Gräff
Inhaltsverzeichnis
Einleitung 1
I. GÜltigkeitsbereich der Vlasov-Gleichung 5
II. Die Vlasov-Gleichung als Gleichung eines gege-
benen Einzelsystems 12
1. Vlasov- und Maxwell-Gleichungen als selbst-
konsistente Zweifeldertheorie 12
2. Individualisierung, Teilchenaspekt und die
Vernachlässigung der Selbstenergien 14
III. Das Anfangswertproblem 18
1. Kompatibilitätsbedingungen und "zulässige"
Flächen 18
2. Das zeitliche Anfangswertproblem 19
3. Das räumliche Anfangswertproblem 20
4. Die Unlösbarkeit des räumlichen Anfangswert
problems und die Notwendigkeit einer Parame-
trisierung der Lösungen 23
IV. Die Parametrisierung der Vlasov-Gleichung ohne
Magnetfeld 25
1. Die Charakteristikenmethode 28
2. Momentenverfahren 1m Ortsraum 36
3. Momentenverfahren 1m Geschwindigkeitsraum 40
V. Das Problem der Positivität 44
1. Der Hauptsatz 44
2. Die Erhaltungssätze 47
3. Periodische Lösungen 50
4. Die Frage der Eindeutigkeit 52
5. Das Umkehrproblem
6. Der Entropiesatz
VI. Eine Verallgemeinerung der Parametrisierungs
definition
1. "Abbruchbedingungen". Die allgemeinen hydro
dynamischen Gleichungen und ihre Positivitäts
restriktionen
2. Eine methodische Bemerkung
3. Einige Beispiele
4. Keine generellen Dispersionsrelationen
5. Die Landaudämpfung
VII. Das Modell von Bathnager, Gross und Krook
1. Die Gültigkeit des Entropiesatzes
2. Gibt es stationäre periodische Lösungen?
Anhang
Die Vlasov-Gleichung im schwachen Sinn
Literaturverzeichnis
59
63
66
66
72
75
82
83
90
92
93
97
113
1
EINLEITUNG
Die stoßlose Boltzmann-Gleichung hat in den letzten Jahren
eine steigende Bedeutung gewonnen insbesondere bei Unter
suchungen des dynamischen Verhaltens von hochionisierten
Plasmen. Die wesentlichen Unterschiede gegenüber dem Ver
halten neutraler Gase liegen hierbei in der langreichwei
tigen Natur der Coulombkräfte begründet, mit denen sich die
Ionen und Elektronen eines Plasmas gegenseitig beeinflussen.
Man wird annehmen dürfen, daß sich die Wirkung des Stoßterms
der Boltzmann-Gleichung, der die nahen Stöße zweier Teil
chen erfaßt, auf die Dynamik eines Prozesses qualitativ in
erster Näherung als eine Art von Dämpfung auswirkt. Insbe
sondere sollte diese Vorstellung bei Prozessen erfüllt sein,
die sich in Zeiten abspielen, die klein gegenüber der Re
laxationszeit sind.
Berücksichtigt man daher in erster Linie nur den mittleren
Einfluß aller Teilchen auf das elektrische Feld an einer
Stelle, so erhält man in der stoßlosen Boltzmann- oder
Vlasov-Gleichung zusammen mit den Maxwell-Gleichungen ein
System von Gleichungen zur Beschreibung von Materie und
elektromagnetischem Feld. Dieses System ist physikalisch
in sich abgeschlossen und die Erhaltungssätze gelten. Es
könnte noch mathmatisch widerspruchsvoll sein. Das erste und
zweite Kapitel bringen die Diskussion einiger physikalisch
verschiedener Aspekte, die alle formal zur Vlasov-Gleichung
führen.
An die Stelle elner völligen Streichung des Stoßterms tritt
bei der Modellgleichung von Bhatnager, Gross und Krook eine
selbstkonsistente Näherung für den Einfluß der Stöße. Auf
dieses Verfahren ist im letzten Kapitel kurz eingegangen.
2
Im Gegensatz zum zeitlichen Anfangswertproblem, dessen For
mulierung bei der Vlasov-Gleichung keine grundsätzlichen
Schwierigkeiten bereitet, ist es unmöglich, das räumliche
Anfangswertproblem ebenso zu stellen. Die Untersuchung von
Kapitel 111 zeigt, daß es in diesem Zusammenhang wiinschens
wert wäre, diejenigen Lösungen der Vlasov-Gleichung, die mit
einem in Raum und Zeit vorgegebenen Feld verträglich sind,
zu bestimmen. In diesem Sinn ist das elektromagnetische Feld
der "wichtigste Parameter" einer speziellen Lösung der Vla
sov-Gleichung.
Es ist das Hauptziel der vorliegenden Untersuchung, die Mög
lichkeiten der Parametrisierung zu studieren. Die Aufgabe
wurde eingeengt durch Beschränkung auf die eindimensionale
Gleichung ohne Magnetfeld. Es zeigt sich, (Kapitel IV) daß
die erwähnte Fragestellung stets in irgendeiner Form auf
das allgemeine Momentenproblem führt. Bei diesem versucht
man, aus den Erwartungswerten gegebener Funktionen Rück
schlüsse auf die Verteilungsfunktion zu ziehen. Die wesent
liche Schwierigkeit liegt dabei in der Bedingung, daß die
Verteilungsfunktion pos i t i v seln muß.
Einfache Beziehungen ergeben sich für die Geschwindigkeits
momente. Wie die kinetische Gastheorie zeigt, sind diese
auch physikalisch interessant, weil die niedrigsten Momente
unmittelbar anschaulich verständlich sind. Die entsprechende
Theorie in Kapitel V führt zu einem verhältnismäßig allge
meinen Resultat, wonach es für eine sehr große Klasse von
elektrischen Feldern E(x,t) stets Lösungen der Vlasov-Glei
chung gibt, die mit diesem Feld verträglich sind. Der Wert
dieses Ergebnisses wird jedoch dadurch eingeschränkt, daß
die Momentengleichungen ihrerseits nur schwache Lösungen der
ursprünglichen Vlasov-Gleichung festlegent. Das heißt, daß
bei solchen Lösungen der "Stoßterm" nicht identisch verschwin
det, sondern nur sämtliche Geschwindigkeitsmomente desselben.
t VergI. den Anhang.
3
Hieraus ergeben sich für schwache Lösungen elnlge Konse
quenzen:
Die Lösungen sind nicht notwendig differentierbar. t
Die Lösungen sind nicht immer eindeutig festgelegt.
Immerhin lassen sich hinreichende Bedingungen angeben,
die die Eindeutigkeit erzwingen. tt Der Entropiesatz braucht nicht zu gelten.
Für schwache Lösungen existiert eln entsprechender Konver
genzbegriff. Dabei zeigt es sich, daß die in der Literatur
(z.H. Sornnerfeld Bd. V) diskutierten Approximationen der
Verteilungsfunktion durch Hermitesche Polynome nur gegen
eine schwache Lösung konvergieren.
Kapitel VI bringt elne Reihe von Beispielen schwacher Lö
sungen. Erwähnt seien folgende Fälle:
..
t
Aus den schwachen Lösungen kann man - beim Übergang zum
linearisierten Fall, der bei kleinen Feldern möglich
ist - nicht allgemein auf die Existenz von Dispersions
relationen für die Ausbreitung elektrostatischer Plas
mawellen schließen.
Hinsichtlich der Frage der Landaudämpfung kann man An
fangsverteilungen angeben, die nicht zu Landau-gedämpften
Lösungen im schwachen Sinn führen.
Im Zusammenhang mit der Diskussion der lvlomentengleichungen
sind "Abbruchbedingungen" üblich: Hird das k te Homent in
irgendeiner Form durch die niedrigeren Momente ausge
drückt, so kommt man zu einem in sich geschlossenen System
von Gleichungen. Die hydromagnetischen Grundgleichungen
Die Einführung nichtdifferentierbarer Lösungen ist auch durch eine maßtheoretische Verallgemeinerung der VlasovGleichung nahegelegt, wie in Kapitel IV gezeigt wird.
tt Auch nicht bei irreversiblen Gleichungen, wie die Di~;kussion des Krook-Modells zeigt.
4
fallen hierunter. Es zeigt sieh, daß Sle einer notwendigen
Ergänzung durch gewisse Positivitätsforderungen an die Mo
mente bedürfen. Ihre Lösungen definieren dann nicht ge
näherte Lösungen der Vlasov-Gleichung, sondern vielmehr Lö
sungen im schwachen Sinn. Dies gilt jedenfalls dann, wenn
das zugehörige elektrische Feld hinreichend glatt verläuft.
Im Sinn dieser Beispiele haben die schwachen Lösungen heu
ristischen Wert, da es plausibel ist, anzunehmen, daß viele
rhysikalisch interessante strenge Lösungen der Vlasov-Glei
chung zugleich schwache Lösungen sind. t Zeigt sich, daß elne
vermutete Lösung keine Lösung im schwachen Sinn ist, so
spricht dies unter Umständen gegen die Vermutung.
Schließlich sei noch erwähnt, daß es möglich ist, die Defini
tion der Parametrisierung im Sinne der erwähnten Abbruchbe
dingungen zu verallgemeinern. Dabei zeigt sich die grund
sätzliche Möglichkeit, die Parametrisierung so zu wählen,
daß man unmittelbar strenge und positive Lösungen der Vlasov
Gleichung erhält.
Im folgenden Text beziehen sich Namensnennungen stets auf das
Literaturverzeichnis am Ende.
t Das ist im wesentlichen immer dann erfüllt, wenn man an-nehmen darf, daß die Lösungen für große Geschwindigkeiten exponentiell abfallen, also etwa für alle "Maxwell-ähnlichen" Lösungen.
5
I. GÜLTIGKEITSBEREICH DER VLASOV-GLEICHUNG
In e1nem Gas hoher Temperatur findet eine starke Dissoziation
und Ionisation statt. Das Ausmaß dieser Ionisierung ist im
Fall des thermodynamischen Gleichgewichts durch die bekannte
Gleichung von Saha bestimmt. Da die Eigenschaften eines sol
chen Gases weitgehend durch die Existenz freier Ladungsträger
bestimmt sind, bezeichnet man es mit einern terminus technicus
als Plasma.
Zur Vereinfachung und Veranschaulichung der Vorstellungen se1
im folgenden an ein Wasserstoffplasma gedacht. In einern sol
chen sind 1m wesentlichen vier Komponenten zu erwarten: Freie
Ionen und ebenso viel freie Elektronen, ein gewisser Anteil
an atomarem Wasserstoff und eine (bei hohen Temperaturen sehr
kleine) Menge von molekularem Wasserstoff. Es liegt nahe, für
theoretische Modellbetrachtungen die idealisierende Vorstel
lung eines total ionisierten Plasmas heranzuziehen. Dabei
wird auf die Berücksichtigung der atomaren und molekularen
Komponente völlig verzichtet. Bei einer Temperatur von etwa
20 000 0 kann man annehmen, daß ein Wasserstoffgas zu 90% ioni
siert ist. Ein solches idealisiertes Plasma, das nur noch
Protonen und Elektronen enthält, kann nunmehr durch eine
klassische Gastheorie beschrieben werden. Denn auf den nur
quantentheoretisch verständlichen Effekt vorübergehender Bin
dungs zustände wurde explizit verzichtet. Man wird als Be
dingung ansehen dürfen, daß die mittlere kinetische Energie
groß ist gegenüber der potentiellen V:
~T » V
wo k die Boltzmannsche Konstante und T die Temperatur des
Plasmas beschreibt.
Da die Beschreibungsweise für die bei den Komponenten eines
solchen Plasmas prinzipiell dieselbe ist, so können wir uns
6
im folgenden auf ein reines "Elektronengas" beschränken. Ge
legentlich wird die Näherung gemacht, daß bei der vollstän
digen Beschreibung des Gesamtplasmas die Ionen als ruhend an
genommen werden. Dies erklärt sich daraus, daß bei gleicher
Temperatur von Ionen und Elektronen die Elektronen, ihrer
kleineren Masse wegen, sehr viel höhere mittlere Geschwin
digkeiten haben als die Ionen. Eine weitergehende Annahme,
die für die mathematische Behandlung gelegentlich sehr be
quem ist, behandelt die ruhenden Ionen als einen kontinuier
lich ausgeschmierten "positiven Untergrund".t
Zur klassischen Beschreibung des Elektronengases wird man
in erster Linie die Dichteverteilung f(~/~/~) im Orts
Geschwindigkeitsraum eines Elektrons heranziehen. Die Dynamik
des Gases ist im wesentlichen bestimmt, wenn es gelingt, für
f ein zeitliches Entwicklungsgesetz anzugeben.
Die zeitliche Veränderung von f erfolgt auf grund der Strömung
der einzelnen Elektronen. Dabei bewegt sich jedes Elektron
unter dem Einfluß des an ihm angreifenden lokalen elektromag
netischen Feldes, das seinerseits durch die Verteilung der
Ladungen und durch Randbedingungen festgelegt ist. Wenn wir
annehmen, daß die homogenen Lösungen der Maxwell-Gleichungen
keine Rolle spielen sollen, so bedeutet das ausdrücklich den
Verzicht auf alle Strahlungseffekte. Zur Vereinfachung sei
bei der folgenden Betrachtung außerdem auf die Berücksichti
gung der Magnetfelder verzichtet. Wir werden später ohnedies
nur die magnetfeldfreie Vlasov-Gleichung diskutieren.
Das auf ein einzelnes Teilchen wirkende Mikrofeld läßt sich
in zwei Anteile zerlegen:
Ein mittleres elektrisches Feld. Der Ursprung dieses Fel
des sind die Inhomogenitäten der Ladungsverteilung:
t VergI. die Fußnote am Ende der Nummer.
7
(Der subtrahierte Anteil berücksichtigt den Ionenhinter
grund.) Dieses mittlere Feld ist also durch die Dichte
verteilung f selbst vollständig bestimmt.
Diesem mittleren Feld ist ein statistisches Feld über
lagert. Die Statistik dieses Feldes ist durch f (,ct-J Al) I -t)
allein nicht mehr vollständig bestimmt. Man erkennt dies,
wenn man die Feldschwankung berechnet:
-2-= {~- t =
Hierzu ist es nötig, die Verteilungsfunktion zweler Teil
chen
{'l. (11\ I 11() ) tr' I ,,-,>' I t )
einzuführen. Mit dieser kommt:
~ (111_,.,.1) (fit' - 'lf"1I )
- l I '\f" - 4f 1 ii I\Q' - "" 11 ,
{ f 1. (~, toO' I 4f'~ ~ 11, t )
Man erkennt hieraus, daß die zeitliche Veränderung von f
durch f 2 mitbestimmt wird.
Während der Einfluß des mittleren Feldes streng klausal ist,
gibt das Schwankungsfeld Anlaß zu einem Diffusionsprozeß.
Die Bewegungsgleichung für f(~/~/~)gewinnt daher das Aus
sehen:
mit
8
worin e und m Ladung und Masse des Elektrons sind.
Unter welchen Bedingungen kann der Einfluß der rechten Sei
te dieser Bewegungsgleichung, also der Diffusionseffekt, ver
nachlässigt werden? Nimmt man an, daß anfänglich eine un
korrelierte Verteilung vorliegt:
so verschwindet auch das anfängliche statistische Mikrofeld
---i-o o
und damit die rechte Seite. Nun enthält jedoch die Bewegungs
gleichung für f (Bogoljubov) einen Term, der die direkte
Coulombwechselwirkung eines Teilchens am Ort ~ mit elnem
Teilchen am Ort At' beschreibt. Dieser baut im Laufe der Zeit
eine wachsende Korrelation auf, so daß der obige Produkt
ansatz für f 2 nicht für alle Zeiten gelten kann.
Es sei jedoch bemerkt, daß eine anfängliche Unkorreliertheit
zeitlich bestehen bleibt für ein Kontinuum, zu dem man durch
den Grenzübergang
e -> () ,.,.,., -> 0
mit
gelangt. Die Voraussetzungen, unter denen dieser GrenzÜber
gang möglich und eindeutig ist, lassen sich angeben. t
Um ohne die Kenntnis der Entwicklung von f 2 eine Abschätzung
des Einflusses der rechten Seite 4>111.,'(( (d ~ j f) auf die Be-
t Die Eindeutigkeit ist bei den von Bogoljubov betrachteten Grenzprozessen nicht gesichert.
9
wegungsgleichung für f zu erhalten, betrachten Wlr zunächst
die Zeit, bis zu der eln merklicher Energieübertrag infolge
des statistischen Feldes auf ein einzelnes Teilchen statt
findet. Eine rohe Abschätzung erhält man mit einem Stoß
modell: Ist der mittlere räumliche Abstand der Teilchen
L\ = -1h
(Y1.
so wird beim "Stoß Ii, wenn v die mittlere Geschwindigkeit ist,
der Impuls
und die Energie
übertragen. Der gesamte Energieübertrag bei )J Stößen ist
mit der mittleren kinetischen Energie vergleichbar, wenn 'l.
".,... '11" lJ = .t..'-ItJ.
ist. Der zeitliche Abstand zweler Stöße ist
Man wird daher elnen merklichen Einfluß von Diffusionspro
zessen infolge des Mikrofeldes erst nach der Zeit
=
erwarten. Für Zeiten, die klein hiergegen sind, ist also
di~ Änderung von f durch die homogene Gl~ichung (Vlasov):
bestimmt. Dies ist nur interessant, wenn innerhalb der Zeit
v~ wesentliche Veränderungen aufgrund der Vlasov-Gleichung
zu erwarten sind. Eine dieser Gleichung zugeordn~te charak
teristische Zeitskala läßt sich durch Dimensionsanalyse ge-
10
wlnnen, wird jedoch auch durch folgende anschauliche Be
trachtung geliefert: Wir fragen zunächst, welche makros
kopischen Dichteschwankungen unter dem Einfluß der Tempera~
turbewegung höchstens zu erwarten sind. Denkt man sich aus
einem Gebiet der linearen Ausdehnung ~~ sämtliche Elek
tronen entfernt und unmittelbar in der Nachbarschaft ver
schoben, so hat der verbleibende Ionenhintergrund mit diesen
Elektronen eine potenzielle Wechselwirkungsenergie
Setzt man diese gleich der kinetischen Energie der betref
fenden Elektronen
so resultiert für die charakteristische Länge
~~ heißt Debeyeradius. Die Dauer elner solchen Dichte
schwankung ergibt sieh, indem man durch die mittlere Ge
schwindigkeit eines Teilchens dividiert:
Das Reziproke dieser charakteristischen Zeit wird als Plas
mafrequenz ~p bezeichnet.
Die Vlasov-Gleichung bestimmt demnach die Dynamik des Ge
schehens, falls
ist. Diese Bedingung läßt sich umformen:
11
oder t
»
6 0 Ein Beispiel: Für ein Wasserstoffplasma von 10 Kund
einer Teilchendichte von 1012/ccm ist
~ D " 0 _ 'A::I /,0
A Nach der obigen Abschätzung ist die Vlasov-Gleichung dort
im Zeitbereich 10-8 sec sicher gültig.
Tatsächlich ist jedoch eine längere Gültigkeitsdauer an
zunehmen ( ~ 30 jUsec), da es bei der langen Reichweite der
Coulombkräfte nicht zulässig ist, mit unkorrelierten Stößen
zu rechnen.
Eine genauere Abschätzung liefert ungefähr elne Größenord
nung weniger als die Stoßzeit t für "starke Reflexionen". c 'l.
Ist deren Wirkungsquerschnitt CX = l1" AL' wo ~ L der Lan-
dauradius ist (Spitzer, Kap. V)
so ergibt sich für t : c
= ~T
Das Gültigkeitskriterium für die Vlasoveleichung geht damit
über in ~G //1 0 Aj) / 'V"' «
d.h. 2>
( :" J 3
?? -1D bzw. It{. It j) » ;f'D
t Da ~D die kleinste Wellenlänge der durch die VlasovGleichung beschreibbaren Effekte bedeutet, ist es verständlich, daß f ein Kontinuum beschreibt.
12
Dies besagt, daß im Debeyevolumen viele Teilchen sein
sollten. Im obigen Beispiel ergibt sich hierfür
Es sei noch auf Qle Ähnlichkeit mit der eingangs ge
stellten forderung hingewiesen:
hT - = V
die elnen so hohen Ionisationsgrad garantiert, daß eine
idealisierte klassische Behandlung des Plasmas ermöglicht
wird.
11. DIE VLASOV-GL~ICHUNG ALS GLEICHUNG EINES GEGEBENEN
EINZELSYSTEi"jS
11.1 Vlasov- und Maxwell-Gleichungen als selbstkonsisten
te Zweifeldertheorie
Das Verhalten elnes physikalischen Systems kann durch die
Bewegung eines einzigen repräsentierenden Punktes im Ge
samtphasenraum aller Teilchen des Systems gekennzeichnet
werden, d.h. durch eine Charakteristik der Liouville-Glei
chung.
Wir wollen demgegenliber den Zustand der Materie durch An
gabe ihrer Dichte in jedem Punkt des 6-dimensionalen Orts
Geschwindigkeitsraumes beschreiben, indem man sich bei
spielsweise die Materie als eine überlagerung von FIUssig
keiten verschiedenen Geschwindigkeiten vorstellt. f be
schreibe ihre Dichte. Der Erhaltungssatz der Materie for
dert eine Kontinuitätsgleichung, deren Charakteristiken ge
rade durch die Bewegungsgleichung dieser Flüssigkeit ge
kennzeichnet sind. Es gilt:
13
Hier ist H die Hamiltonfunktion, die die Strömung beschreibt. t
Wenn diese nach der Newton'schen Mechanik erfolgt, gilt ex
plizit die Vlasov-Gleichung, diesmal als Gleichung für das
tatsächlich vorliegende System:
i und cf sind die elektromagnetischen Feldgrößen, die den
Maxwell-Gleichungen:
'1"" t! =
1.. c
I ~"'- 4i1a - ~ +-
C ae C
genügen. Während die Vlasov-Gleichung den Einfluß des Fel
des auf die Materie schildert, steckt die Rückkoppelung der
Materie aufs Feld in den Quellen g und 1 . Diese müssen
durch f ausgejrückt werden, etwa durch die folgenden line
aren Funktionale:
Dann fordert die Kontinuitätsgleichung, die unmittelbar aus
den Maxwellgleichungen folgt:
+ S ~f ol"'J = 0
Bildet man andererseits das Integral der Vlasov-Gleichung
über den Geschwindigkeitsraum, so erhält man eine ähnlich
gebaute Gleichung. Sie enthält jedoch den zusätzlichen Term
t P und q sind die verallgemeinerten Koordinaten und Impulse. Bei mehrdimensionalen Problemen ist zu summieren.
14
(~+ ~x!) ~ I.., I-'>oe
Daß dessen Verschwinden aus der Existenz der linearen Funk
tionale für J und ~ folgt, wird im Anhang gezeigt für den
eindimensionalen Fall.
11.2 Individualisierung, Teilchenaspekt und die Vernach
lässigung der Selbstenergien
Die im letzten Abschnitt gegebene Interpretation zeigt die
Vlasov-Gleichung im Verein mit den Maxwell-Gleichungen als
ein selbstkonsistentes System von Gleichungen zur Beschrei
bung eines vorliegenden System. Worin besteht nun in diesem
Fall der Näherungscharakter?
Die Antwort lautet, zunächst etwas vage: In der Nichtberück
sichtigung der Selbstenergie. Bei geeigneter Subtraktion der
Selbstkräfte werden wir unter anderem die exakte Beschrei
bung erhalten, wie sie den Bahnen im Gesamtphasenraum aller
Teilchen entspricht. Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine
"Selbstenergie" zu definieren, und demgemäß verschiedene
Korrekturen zur Vlasov-Gleichung. Während wir die Materie
im letzten Abschnitt als eine Art klassischen Feldes behan
delt hatten, müssen wir hierzu in irgend einer Form "indivi
dualisieren".
Eine einfache Möglichkeit ist folgende: Sieht man von den
Lösungen der homogenen Maxwell-Gleichungen ab, so ist das
elektrische Feld gegeben durch:
15
Das Magnetfeld soll der Einfachheit wegen zunächst außer
Betracht bleiben. Wir betten jeden Punkt des Raumes in eine
offene Umgebung, die ihn enthält, ein. Diese Umgebungen
seien ein für allemal fest gewählt (u.U. aber orts- und zeit
abhängig).
Dann ist:
}
wo ~ der gesamte Ortsraum ist. Weglassen des zweiten Terms
bedeutet, daß man die Rückwirkung jeder Umgebung auf sich
selbst nicht berücksichti-gt. Diese Korrektur entspricht der
physikalischen Vorstellung insofern, als das elektromagne
tische Feld eingefilhrt wird, um die Wirkung verschiedener
Teile eines Systems aufeinander zu beschreiben. Als "Teile"
sind hier die verschiedenen Umgebungen anzusehen. Außerdem
werden gerade hierdurch gewisse Divergenzen vermieden, die
die Existenz der Lösungen der Vlasov-Gleichung unter hinrei
chend allgemeinen Bedingungen stören. Man kann zeigen, daß
bei der obigen Subtraktion der Selbstkräfte keine unendlich
hohen Felder auftreten und dann stets Lösungen existieren. t
Natürlich geht hierbei das gewählte Umgebungs system explizit
in die Lösung ein!
Eine andere ~1öglichkei t, zu "individualisieren", ist die fol
gende: Die Atome des Systems bestehen nicht in den Umgebungen
der Punkte des Ortsraumes, vielmehr werde für f der Ansatz
gemacht:
t Wegen der Verwendung von Steklov-Mitteln vgl. Batt.
16
Hier s~nd j~irgendwelche Parameter, die die einzelnen
"Atome" charakterisieren sollen. Alle Teile sind ansonst
gleich, beschrieben durch dieselbe Funktion 0.
Die Vlasov-Gleichung wird erfüllt, wenn man Sle für jeden
"Teil" fordert:
Hier werd~ wieder folgende Korrektur vorgenommen:
L ~ ( SI( I -'( I tJ01 i) .,{~ d"O Ic>l:;l.
d.h. die Rückwirkung jeden Teils auf sich wird gestrichen. t
Wir betrachten zur Illustration des Konzeptes zwel Sonder
fälle: Die Formfunktionen werden als starre Kugeln ange
nommen vom Radius R, die gleichmäßig mit Ladung erfüllt
sein mögen. ~ beschreibe den Schwerpunkt dieser Kugeln.
Definiert man
{ 0,/"...
==
so wird z.B. das elektrische Feld, das auf das erste Teil
chen wirkt,
-";>
Cf ( 1111 - 5 1\ I )
t Man könnte mit Vlasov (Monographie) daran denken, solcherart "ausgedehnte Teilchen" zu beschreiben. Eine Diskussion des Meßprozesses an solchen Objekten führt jedoch - wie man zeigen kann - auf beträchtliche Schwierigkeiten, wenn man nicht von der v. Neumannschen Gleichung für die Dichtematrix ausgeht.
17
Alle Punkte elnes starren Teilchens haben dann dieselbe Ge
schwindigkeit und die insgesamt angreifende Kraft ist
I -b ) s
Trttjt!v- (tP (.0)
Die Vlasov-Gleichung geht über in:
Im zweiten Falle wollen wir die Teilchen punktförmig an
nehmen:
Hier gibt der Parameter J~ Ort und Geschwindigkeit des
~-ten Teilchens an. Die Feldstärke am Ort des ersten Teil
chens wird
Dieser Ansatz führt offensichtlich folgendermaßen zur
Liouville~Gleichung des Gesamtsystems: Wir betrachten den
Raum aller Koordinaten.
Dann gelten die folgenden Bewegungsgleichungen
P( AC 1\ (t) e L (f").. (.f;) - tr K H') -=
_trl<.lt)l'l> .tA { tI1 I \C'). U;) ~.,. ~
Dies sind aber gerade die Charakteristikengleichungen der
18
entsprechenden Liouville-Gleichung. Sie beschreiben die
Bewegung eines bestimmten Punktes des Phasenraumes, in über
einstimmung mit der Auffassung, daß unsere Vlasov-Gleichung
in der obigen Interpretation ein gegebenes vorliegendes
System beschreiben sollte
111. DAS ANFANGSWERTPROBLEM
111.1 Kompatibilitätsbedingungen und "zulässige Flächen"
Wir wenden uns der Diskussion des Anfangswertproblems zu,
werden jedoch von der expliziten Betrachtung von Randbe
dingungen absehen. Ganz generell kann das Problem so ge
stellt werden, daß die "Anfangswerte" auf einen 6-dimensio
nalen Fläche ~ des 7-dimensionalen Raumes
t I X J Y I "2: I tJ;c I I) ~ J Vi.
vorgegeben werden. Die Gleichung sollte dann die Lösung 1m , Gesamtraum festlegen.
Man wird sofort vermuten, daß nicht zu beliebigen Anfangs
bedingungen Lösungen existieren. Es stellen sich damit die
folgenden drei Fragen zu jeder gegebenen Fläche ~ :
1. Welche Größen müssen auf l3" vorgegeben werden, um e1ne
Lösung (eindeutig) festzulegen.
2. Welchen zusätzlichen Bedingungen müssen diese speziellen
Anfangswerte genügen, um auch die Existenz der Lösung
zu garantieren?
3. Ist 0" selbst so beschaffen, daß solche Anfangswerte auf
ihr existi~ren? M.a.W. welche Bedingungen sind an ~
zu stellen, damit das Anfangswertproblem auf f)" überhaupt
formuliert werden kann?
19
2. und 3. bedeuten Kompatibilitätsbedingungen der Anfangs
daten. Wir wollen solche Flächen, für die 3. positiv be
antwortet werden kann, als "zulässig" bezeichnen. Wir be
trachten jetzt einige Lagen von C; •
III.2 Das zeitliche Anfangswertproblem
(5:
Welche Größen können vorgegeben werden? Zunächst denken
wir uns
gegeben. Hiermit sind zugleich
::
gegeben. ~ und ~ können daher nicht mehr frei auf ~ gewählt werden, sondern nur im Einklang mit den Gleichungen
• .1~ C
~! = 0
rM/--ti~4[1 Jedoch legen diese Gleichungen auch t und cf nicht eindeu
tig auf ~ fest. Um die Freiheit die bei der Wahl dieser
Felder noch besteht, zu formulieren, führen wir die Poten
tiale tll und Cf ein:
•
Bei Lorenzeichung gelten die folgenden Gleichungen:
21
Generell überlegt man: Wenn f durch die Charakteristiken
abbildung im ganzen Raum gegeben sein soll, wird man f
auf (; vorgeben wollen. Damit ist auch ~ und j festge
legt für x = O. Die zweiten und höheren Ableitungen der
Potentiale sind durch die folgenden Gleichungen und ihre
x-Ableitungen festgelegt:
- 4Tt f =
Wir denken uns daher noch folgende Potentiale und ihre er
sten Ableitungen nach x auf ~ gegeben:
a y ~.I! afk:/ aae- ')tp
d)( ;)x ;)x
Aus der Lorenzkonvention folgt dann:
da)< dOzy d Gt-r 11 'Jlf -::= C 'Pt: &X :>~ ~72
d.h. die Ableitung. von llx nach x. Um Olx selbst fest zu-
legen, differentieren wir diese Gleichung nach x und setzen
das so gewonnene d"~){ /,;);<2. in die Potentialgleichung für
t:1l J< ein. Es entsteht
+ I - c1,. = -
als Gleichung für (),." auf ($. Man wird danach etwa Oz. x
für t = 0 (und x = 0) sowie ?{!){/at vorgeben müssen. (An
stelle der Randbedingungen für cf im vorigen Fall.)
22
Hier tritt nun eine Schwierigkeit auf, die diesen Fall vom
zeitlichen Anfangswertproblem wesentlich unterscheidet,
und damit die geläufige Symmetrie raum-zeitlicher Frage
stellungen zerstört. Die Charakteristiken können die Fläche
unter Umständen mehrfach durchsetzen.
Die durch d2: Charakteristiken vermittelten Abbildungen des
Ar-AO - Raumes bilden eine Gruppe. Es liegt daher nahe, die
Punkte einer Charakteristik als äquivalent zueinander zu be
zeichnen. (Wegen der Berechtigung dieser Namensgebung vgl.
Weyl.) Durchstößt nun eine Charakteristik (;' mehrfach, so
gibt es auf 6 mehrere verschiedene äquivalente Punkte ln
denen f denselben Wert haben muß. Eine beliebige Vorgabe von
f auf 6 ist also nicht ohne weiteres möglich. Welche "Ver
träglichkeitsbedingungen" sind an f und die Potentiale auf
. 5 zu stellen? Wir denken uns für einen Augenblick die
äquivalenten Punkte auf ~ bereits bekannt und vorgegeben.
Dann wäre zu fordern
1. In äquivalenten Punkten hat f gleich~ Werte.
2. Da die Kenntnis der äquivalenten ~ -Punkte (ohne welche
Kenntnis aber die erste Forderung nicht erfüllt werden
kann) den Verlauf der Charakteristiken teilweise preju
diziert, so müssen die Werte von f und den Potentialen
außerdem so aufeinander abgestimmt werden, daß die re
sultierenden Charakteristiken wenigstens durch diese
äqui valenten Punkte auf r: passieren.
Praktisch bedeutet das natürlich die Kenntnis der gesamten
Charakteristiken. Oder, etwas grob gesagt: Man muß das
ganze Problem schon weitgehend gelöst haben, um die Kom
patibilitätsbedingungen explizit formulieren zu können.
In diesem Sinne ist also zwar diese b -Fläche zulässig,
das Anfangswertproblem aber nicht ohne weiteres formu
lierbar - wegen der Verzahnung der Kompatibilitätsbedingung
23
auf ~ mit der vollständigen Lösung selbst.
111.4 Die Unlösbarkeit des räumlichen Anfangswert
problems und die Notwendigkeit einer Parametri
sierung der Lösungen
Die angeführten Fälle lehren, daß das Anfangswertproblem
allenfalls bei "raumartiger Lage" der Fläche Lösungsaus
sichten hat. Denn die Formulierung der Kompatibilitätsbe
dingungen erfordert im allgemeinen Fall die Kenntnis der
Charakteristikenabbildung. Es erscheint daher eher sinnvoll,
diese Charakteristikenabbildung selbst zur Parametrisierung
heranzuziehen und das Problem in der folgenden Form zu
stellen:
Gegeben sel eine "fest angenommene Charakteristikenabbil=
dung", anschaulich also ein Strömungsbild im M"- s.o -Raum.
Oder, was für das folgende einfacher ist: Das elektromag
netische Feld für alle Zeiten t > O. Dieses legt die Charak
teristikenabbildung als Lösung von
= .4{) =
fest (und umgekehrt).
Gefragt ist, ob es zu elnem solchen Feld eine mögliche Lösung
der Vlasov-Gleichung gibt. Explizit bedeutet das: Mit ~
und f sind auch
f = dt.°.".. L:{ und
. c ~i! - -1 t 'J - 4-7f 47T
24
zu allen Zeiten vorgegeben. Beschreibt nun
die Charakteristikenabbildung, wie sie dem zeitlichen An
fangswertproblem entspricht,
und zu t und ~ gehört, und
ihre Inverse, so ist eine Lösung der Differentialgleichung
~ /l,() 0f ~ (~ + tl(J xl) & 0 + + --- c.
;)1- d~ I}n t!Ja.()
durch jede (differentierbare) Funktion rP C ---;::. ~) J/ gegeben mittels
(Wegen nichtdifferentierbarer Lösungen vgl. Batt.) Damit
die Quellgleichungen erfüllt sind muß gefordert werden
,
rtJtj- i t -Das Existenzproblem konzentriert sich dann auf die Frage:
Gibt es wenigstens eine Funktion yf , die gleichzeitige
Lösung der vier obigen Integralgleichungen ist?
Wir werden 1m folgenden eine Reihe von äquivalenten Formu
lierungen des Problems bringen, die die Lösung grundsätzlich
aufzeigen. Die Hauptschwierigkeit liegt im allgemeinen in
der zusätzlichen Forderung der Positivität für f, die immer
dann gestellt werden muß, wenn entweder f statistisch inter-
25
pretiert werden soll, oder positive Dichten der Materie
gefordert werden.
IV. DIE PARAMETRISIERUNG DER VLASOV-GLEICHUNG OHNE MAGNET
FELD
Wir hatten die Nützlichkeit diskutiert, das allgemeine Pro
blem in der Form zu stellen:
Gegeben: Das elektromagnetische Feld als Funktion von
x,y,z,t d.h. in Raum-Zeit.
Gesucht: Wenigstens eine Lösung der Vlasovgleichung, die
auf dieses Feld "paßt".
Wir zelgen jetzt die Äquivalenz zum mathematischen Momenten
problem.
Übersichtliche Lösungsmöglichkeiten ergeben sich i~ ein
dimensionalen Fall, auf den alle folgenden Betrachtungen
zugeschnitten sind. Da Magnetfelder eine räumliche Krüm-
mung der Charakteristiken erzwingen, sind sie einer eindimen
sionalen Behandlung in Strenge nicht zugänglich. Wir werden
daher von den Annahmen:
= =
und
= ()
ausgehen. Die Vlasov-Gleichung erhält damit das Aussehen:
~ = 0 (V) Jx
mit
26
Das Verschwinden des Magnetfeldes hat auf grund der Maxwell
Gleichungen zur Folge:
(M1)
_ 0 (M2)
(M3) :. 0
..!.
Hierin ist der Kopplungsparameter tVtp ::. ('f TT'rI e,,'I./f'M, ) ~ die
Plasmafrequenz mit n als mittlerer Ionendichte und mals
Elektronenmasse.
Schließlich nimmt die Poisson-Gleichung, wenn Wlr mit g(x)
einen ruhenden, ausgeschmierten Ionenhintergrund berück
sichtigen, die Gestalt an:
_ 0 (P)
In ~er Vlasov-Gleichung kann die explizite y-z-Abhangigkeit
durch den Ansatz gelöst werden:
f ==
Die Gleichungen (M2) und (M3) fordern dann
27
Dies ist z.B. erfüllt, wenn ~ nicht von y und z abhängt
und in v und v eine symmetrische Funktion ist (vgl. auch y z· -
das Beispiel von IV.2). Außerdem soll das gesamte Plasma
als neutral angesehen werden:
o
Für die folgende mathematische Diskussion unterdrücken Wlr
ohne wesentliche Einschränkung der Allgemeinheit die y-z
Ausdehnung ebenso wie die v v -Abhängigkeit. Ausgangspunkt y z ~
sind dann, wenn wir noch die Zeiteinheit U}p wählen, die
folgenden Gleichungen:
Vlasov: ~ + '\.l. E1 + E Y: - 0
dt 0)( dl/A.
;}E Sf ( X 7f. 'lA. ) 0{ 'IA.. } (X) - I I
(}-'< Poisson:
~E '=' 5 f (~) t 1.(. ) M.- t>! tU.. - I
d-t Maxwell:
Neutralität: s ~ (.0 tXx = -1
Positivität:
o
28
Hierbei ist noch die Normierbarkeit der Verteilungs funktion
vorausgesetzt.
Die Überführung in das Momentenproblem werde jetzt auf drei
verschiedenen Wegen vorgenommen:
1V.1 Die Charakteristikenmethode
Kruskal hat vor einigen Jahren elne Lösung des stationären
Problems gegeben. In der Tat führt in diesem Fall die in
Kapitel 111. gegebene Integralformel auf eine Abel'sche In
tegralgleichung für die Verteilung der sogenannten "trapped
particles".
Der Wunsch, die dortigen Betrachtungen, die im wesentlichen
auf der Charakteristikenmethode beruhen, auch auf den zeit
abhängigen Fall zu verallgemeinern, führt zu den hier fol
genden Überlegungen.
Mit E(x,t) ist auch die Charakteristikenabbildung durch
E Cx,-t)
gegeben. Sie führt einen Punkt x u nach der Zeit t über o 0
wofür wir symbolisch auch schreiben wollen
Dies ist eine maßtreue Abbildung des Phasenraumes. t Mit der
Anfangsverteilung
lautet dann die Lösung für alle Zeiten:
t Der Beweis verläuft analog dem bei der Liouville-Gleichung
29
wo (x u) die "rückwärts abgebildeten" Phasenpunkte von o 0
(x,u) sind
Zugleich mit E(x,t) ist auch die Elektronendichte gegeben:
'1 (X I -/;) = + } ()( J
= und damit die Gesamtladung bis zur Stelle x:
x r ., (Xl/i-) ~X '
_ CI()
x +~
= S J.x' 5 "'-tU' i (Xo (Xii fJA.1, i ) "'\A,, (x: 1.1.', t J) -Q() _ 0(1
Das Integral ist über die linke Halbebene ~x zu er
strecken, die wir mit H(x) bezeichnen wollen.
X'
C(X,')
30
Statt dessen kann man auch j = )(01 '1= 11." als Variable eln
führen. Dazu betrachten Wlr das Urbild von H(x) zur Zeit
Null. Es heiße H(x,t):
und liegt links der Kurve C(x,t), deren Punkte (x' ,u')
durch
X 4 (X , u' / t) '= X'
definiert sind.
Da die Abbildung U maßtreu war, 6i.go<lVl, -= eJ.x.'ol'U', so läßt
sich das Integral für Q(x,t) auch schreiben:
H (xJ~) Bezeichnet man nun die charakteristische Funktion der t1enge
H(x,t) mit X (X/tl §,4t) , definiert durch
{ o sonst
so kann man dieses Integral auch schreiben:
Q (11
-b )
Dies ist elne typische Momentengleichung von der Form:
Q (XI t)
Schließlich muß n6ch die Magnetfeldfreiheit gewahrleistet
\verden:
31
Unter Einführung des Potentials V(x,t) führt dies ebenfalls
auf eine Momentengleichung der Form:
Da mit E(x,t) auch die Schar der charakteristischen Funktionen
X (x I i ~ SI"'l ) festgelegt ist und umgekehrt, so lassen sich die
se Gleichungen folgendermaßen interpretieren:
Gegeben ist eine Schar von Funktionen ')t lx, i I ~/'i) und
X, U (X/t/j,~) sowie deren Momente Q(x,t), V(x,t) (x,t
spielen die Rolle der Scharparameter). Wann existiert elne
hierzu gehörige Verteilungsfunktion? (In unserem Fall
Schwierigkeiten ergeben sich bei der Beantwortung dieser
Frage nur dann, wenn y als positives Maß gefordert wird.
In diesem Zusammenhang sei kurz auf die entsprechenden
maßtheoretischen Vorstellungen eingegangen. Dabei werde
zur Vereinfachung nur die erste obige Momentengleichung,
die der Poisson-Gleichung entspricht, berücksichtigt.
Zunächst ist
d.h. die Mengen H(x,t) bilden bei festem t elne monoton
wachsende Mengenfolge (eine Somenskala in der Terminologie
von Caratheodory) und insbesondere ist deren Grenzwert
::: V H (X'j;t) X
32
die der Betrachtung zugrundeliegende Gesamtmenge, d.h. die
ganze x,u-Ebene.
\Vir zeigen jetzt, daß diese "Enthaltungsrelation" für ver
schiedene t niemals gilt. Es gibt keine x,y, so daß
Oder, anders gesagt: Es gibt stets Punkte, die in H(x,t)
aber nicht in H(y,t') liegen und umgekehrt. Und dies für
alle x,y.
Wir führen den Beweis nur unter der Annahme, daß E(x,t) be
schränkt ist:
=
Dann ist die Kurve C(x,t), die H(x,t) definiert durch U- 1
gegeben, und es gilt
/IlA.-4tD} '=
<: =-und ganz entsprechend:
I X-i 0 -- U 0 -I: 1
Daher ist für 1A. p ~ 01:3
t
~ E(x'{i'),i')A-l:'
'" I< 7t
K i '2.. 2.
_ 1 I - 0
)( - Yo _ ;t \ =- 0 'U o
33
Dies bedeutet, daß "weit draußen" die Gleichung für C
die Form hat
, X = x - Mo I i
Das ist elne Gerade mit der Steigung - 1/t. Demnach aber
unterscheiden sich die Kurven C für verschiedene t-~Jerte
sicher so, daß keine völlig links von der anderen ver
läuft. Für die entsprechenden Gebiete H(x,t) beweist dies
unseren Satz.
Zu jedem t gehört mithin elne Somenskala und durch Variation
von t entsteht eine ganze Schar von solchen Somenskalen, die
alle gegen die Grundmenge konvergieren. Von jedem Soma H(x,t)
ist nun das 11aß fU gegeben durch
Unserem Problem entsprechen fOlgende Fragen:
1. Die Mengen H(x,t) dieser Skalenschar definieren jeden
falls einen minimalen Borel'schen Mengenkörper ~. Läßt
sich das Maß, von den H's ausgehend, ausdehnen auf die
Mengen dieses Körpers?
Anmerkung: Caratheodory hat die Existenz elnes äußeren l1aßes
für die Mengen von ~ gezeigt. Das hier gesuchte
Maß ist sicher nicht eindeutig festgelegt. Diese
Vieldeutigkeit wird in den folgenden Fassungen
des Momentenproblems der Vlasov-Gleichung eben
falls auftreten.
2. Im Hinblick auf die vernachlässigte Gleichung für das
34
Magnetfeld wäre weiter zu fordern, daß das so bestimmte
Maß wenigstens ein erstes Moment besitzt und dieses durch
V bestimmt ist.
Nur wenn die so definierten Maße durch eine Dichte f dar
stellbar sind, die ihrerseits stetig differentierbar ist,
läßt sich die Vlasov-Gleichung in der ursprünglich eegebenen
Form erfüllen. Es ist aber sinnvoll, die Vlasov-Gleichune
selbst nur als die differentielle Formulierung eines allge
meineren Sachverhaltes aufzufassen, nämlich der "Invarianz
der Norm des Wahrscheinlichkeitsmaßes bei der Charakteristi
kenabbildung". Man könnte dies als "Vlasovforderung" be
zeichnen.
Gewisse Grenzprozesse, die man an zunächst differentierbaren
Lösungen ausführen kann, liefern unter Umständen allgemeinere
Lösungen. Die obige Formulierung ist gerade so allgemein ge
halten, daß sie mit der allgemeinsten von der Statistik her
zustellenden Forderung verträglich ist. t
Es soll hier nicht untersucht werden, bis zu welcher Allge
meinheit die Forderungen an die CharaK~eristikenabbildung
ebenfalls abgeschwächt werden können. Nur folgendes sei
erwähnt:
Offenbar ist
~ (x, -t) -
für jedes feste t als Differenz zweler monoton wachsender
Funktionen auf jedem endlichen Intervall von beschränkter
. t Tatsächlich können die Integralgleichungen diese Allgemeinheit wieder einschrtlnken. Vgl. auch Batt, wo ein Existenzsatz des zeitlichen Anfangswertproblems im wesentlichen für f 6 L4 gebracht wird.
35
Schwankung. Nach e1nem Satz von Lebesgue muß daher E dort
fast überall nach x differentierbar vorausgesetzt werden.
Die obigen Betrachtungen zeigen, daß es sich lohnt, für
diese verallgemeinerten Lösungen einen eigenen Begriff ein
zuführen.
Definition
Wir wollen - unter Ausklammerung einer Klärung der allge
meinsten zulässigen Charakteristikenabbildung - alle Lö
sungen der "verallgemeinerten Vlasovforderung" als starke
Lösungen bezeichnen.
Wir zeigen jetzt noch, daß für starke Lösungen die lokale
Vlasov-Gleichung noch gilt - und zwar als Distributions
gleichung - wenn man annimmt, daß die Charakteristikenab
bildung stetig differentierbar ist.
Wir betrachten hierzu den Raum J" der einmal stetig diffe
rentierbaren Funktion mit kompakten Träger und fassen f
als Element des Dualraums auf. Es sei für ~ ~ ~
J,~ .Lli -::;. 0
:::- tt~ < -f I q; ( ~ + 'U D t: I 'l-( -t E f) t J - cf' (Y/u) > bi~o ~t
Da fG ~~ , konvergiert
tf ( X + 1I.-t.6 -c I IU + E A -t ) - tf (x / u. J
Llt
36
gleichmäßig gegen Null und wegen der Stetigkeit der Maße f
bezüglich dieser Konvergenz kommt daher
-~-~ - ------ ---- ';)-~T(J-- -- - -~ !!f.-- -- - - -- - -- -~- -- - --- <'fJM.- + E > - Jx d'\.(,
Die Ableitung existiert daher und ist
<{ Itp) ==
Umgekehrt ist jede positive Lösung dieser Gleichung e1n Maß.
Durch Umkehrung der SchlOsse folgt, daß dieses durch die
Transformation U erzeugt wird aus einem Urmaß zur Zeit t = o.
IV.2 Momentenverfahren 1m Ortsraum
Wir betrachten wieder
und entwickeln q(x,t) bezüglich x nach e1nem Orthogonal
system X R (x). Für die Komponenten gilt dann:
~ ~ ~ (J( tJ (y) 'IA , i ) / 1{ 0 &} 'U, t }) x: Iq (l() 01. x p{ 11(. - 1 k l-tJ
oder, wegen der maßtreuen Abbildung
Wir können die Funktionen
10 Ie ( 5, "1 I -b ) ==- j( ~ (x (5 I !Vz / -c ))
als prinzipiell gegeben ansehen, da X (.3 J ~J-t) durch E (x, t)
eindeutig festgelegt ist. Die Gleichung besagt, daß die
Momente von l' tt gegeben sind:
37
10 ~ (j I 1J, I-/;) = (~[-6)
Die Frage lautet: Gibt es eine zugehörige Verteilungs-
funktion 't (~/~)?
Wir illustrieren das Verfahren lffi Fall der kräftefreien
Gleichung E = 0
= d' (X)
Die Lösungen haben das Aussehen
Die Nebenbedingung fUr die Ladungsdichte wird
Wir wählen als Orthogonalsystem die Fouriertransformation.
Es entsteht:
oder
=
Führt man die Fouriertransformierte von Y (t"J'1) bezüglich
beider Variabler ein:
rv y ( Je) 1) = A
4n1.
38
so kommt
Da dies für alle t gelten muß, kann man kt = L als neue
Variable einführen, falls k f 0 ist, und erhält folgende rv
Aussagen über i
==
=
/I
21f
beliebig ~ -t f..1e 11..) ist demnach in der k- L -Ebene überall festgelegt,
ausgenommen die t-Achse. Diese ist allenfalls (unter Aus
lassung des Nullpunktes) noch Träger einer willkürlichen
Distribution. Die einzigen Distributionen mit dem Träger
k = 0 sind die Diracmaße und ihre Ableitungen und es resul
tiert der Ansatz:
mit
..1-2."
1\1
f (fq,) -t
{11- (0) - 0
Fourierrücktransformation liefert:
=
und daher
=
39
mit
Bei posi ti vem ~ m folgt das Verschwinden von ~hJ. • Der
kräftefreie Fall ist also nur möglich, wenn die Ionenladung
an jeder Stelle durch eine gleichgroße Dichte ruhender Elek
tronen neutralisiert wird. Man sieht, daß das Magnetfeld
dann automatisch verschwindet.
Anmerkung: Im Fall konstanter Ionenladungsdichte 1 läßt sich
zwar nicht mehr über den Gesamtraum normieren. Jedoch kann
man versuchen, lokal zu neutralisieren:
Die obigen überlegungen lassen sich fast wörtlich übertragen
und liefern dann:
und daher
~ ( Vi) 1.) ::: J C ~) (/I + i (I. J) f- 2- J (14.) l te) ..e.~ (I.) 1\1. ... ,.,
Das ergibt für die Lösung:
= . I. 0: 0
40
w1e zu erwarten war. Magnetfeldfreiheit bedeutet dann:
o
Die eben durchgeführten Schlüsse lassen sich nicht ziehen,
wenn die feldfreie Gleichung erst asymptotisch far große
Zeiten gilt, denn es war wesentlich für die Einführung der
Variablen ~ , daß t beliebig variieren durfte. Im Fall
der Landaudämpfung etwa kann daher asymptotisch nur das
Bestehen einer Lösung der Form
ausgesagt werden.
IV.3 Momentenverfahren 1m Geschwindigkeitsraum
Wir entwickeln nach einern vollständigen System des Geschwin
digkeitsraumes.
Erwähnt sei zunächst der Fall der Fourierentwicklung.
Es entsteht
'" + 11 E (x, -l;) Jz f - 0
~ LX) + oE 'dx
41
Denkt man sich also wieder [(x,t) fest vorgegeben, so be
deutet dies eine lineare Gleichung für f, deren Anfangsbe
dingungen - mit E zugleich - fixiert sind, (Neunzert~ die
Hauptschwierigkeit liegt wieder in der - nichtanalytischen -
Bedingung der Positivität. Das Verfahren entspricht im
wesentlichen der Bestimmung der charakteristischen Funktion.
Als anderen Fall betrachten Wlr Potenzen. Multipliziert man
die Vlasov-Gleichung mit uk und integriert, so entsteht mit
offenbar nach partieller Integration im letzten Term
d f (tl.) -- -t dt
Diese Momentengleichungen sind im Prinzip aus der Theorie
der Boltzrnann'schen Stoßgleichung bekannt. Wir interpre
tieren sie jedoch hier als Rekursionsformeln für die ~'lo
mente wachsender Ordnung (Burgers):
Bei gegebenem E(x,t) ist der Start der Rekursion durch
JE. =- ~ (x) + dX
bestimmt. l'Jach den Rekursionsformeln sind damit auch sJmt
liehe Momente von f weitgehend festeelegt und zwar bis auf
irRendwelche additiven reinen Zeitfunktionen, die nicht
mehr vom Ort abh~ngen und die beim einzelnen Integrations
schritt hinzukommen. Da nun die Momente die Funktion f unter
sehr schwachen Voraussetzungen ihrerseits festlegen, (A~
hang), so bedeutet diese Willklir in den Momenten,daß f nicht
eindeutig durch E(x,t) bestimmt ist.
42
Die Vorgabe von f für x = 0, wie sie dem räumlichen An
fangswertproblem entspricht, legt ebenfalls den konstanten
Anteil der Momente fest. Die erwähnten Kompatibilitäts
bedingungen bestehen dann in den im nächsten Kapitel zu be
sprechenden PositivitätsforderunBen.
Wir betrachten jetzt die ersten Momente explizit:
=
Dies ist natürlich wieder die Kontinuitätsgleichung.
Es folgt
f (4) + Funktion (t)
Die "Integrationskcnstante" auf der rechten Seite muß) hier
Null gesetzt werden, um das Verschwinden des Magnetfeldes
zu garantieren. Diese Annahme wird z.B. hinfallig, wenn
man ein äußeres elektrisches Feld anlegt. Das soll daher
ausgeschlossen seln.
Für ddS zweite t10ment kommt:
d.L~} E f (") _ 'JL'
= d1; 'dX fl. "d'l. ~ + -(~()() -+ '0-1:.1. ) E ~)( 2.. =
oder
f (2) ~t-tS'1EO{X ~2V
+ C (j:-) - Jt 1.
mit
43
daher:
il
+ r'3 E MX -
Die (~leichune kann ~Vle üblich als elne GleidlP;eVJichtsbe
dingung zVJischen dem kinetischen Druck p und der elektro
statischen Energiedichte aufgefaßt VJerden. Tatsächlich er
scheint sie in unserem Zusammenhang aber als Definitions
gleichung für p. Entsprechendes gilt für die höheren Mo
mente. Durch die Momente sind auch die Erwartun~sVJerte aller
Polynome festgelegt. Daher lassen sich Erwartun~swerte all
der Funktionen approximieren, die durch Polynome gleich
mäßig angenähert VJerden können.
Die Wahrscheinlichkeit eines gewissen GeschVJindigkeits
intervalls (a,b) läßt sich aber nicht durch die Momente
unmittelbar bestimmen, denn hierfür braucht man den Erwdr
tungswert der zugehörigen charakteristischen Funktion
r dt-b (11.<.) :: { o Mo E (~J h)
$O'lllst
Diese läßt sich jedoch durch Polynome nicht gleichmäßig
approximieren. für infinitesimale Intervalle folgt hieraus;
daß man mit endlich vielen Momenten die VerteilunQsdichte
nicht lokal approximieren kann. Vp,l. auch in V.S die Be
trachtung über die Brunssche Reihe.
44
V. DAS pgOBLLM DER POSITIVITÄT
V.1 Der Hauptsatz
Um die Positivitat einer Funktion f(u) aus ihren Momenten
zu erschließen, ist zu fordern, daß im Definitionsbereich
von f die Erwartungswerte aller dort positiven Polynome
selbst positiv sind. Für kompakte Definitionsbereiche stellt
dies eine komplizierte Bedingung dar, da es schwierig ist,
sich liber alle Polynome, die innerhalb des Definitionsbe
reichs nur komplexe Nullstellen haben, einen Überblick zu
verschaffen. Für den unendlichen Definitionsbereich lassen
sich hingegen die liberall positiven Polynome einfacher
klassifizieren. Das dann vorliegende Momentenproblem ist
nach Hamburger benannt. Notwendige und hinreichende Be
dingungen sind (Widder):
=
{lOJ {l1 J
= > 0 f ( ... I f~)
f (0) f ilJ f {t.J
= f (-11
-f (1.) f(1 1 > tJ
f(:lJ f(~) f~)
Die HIs sind hierbei die Hankeldeterminanten. Diese Be
dingungen garantieren ganz allßemein die Existenz mindestens
einer monoton wachsenden t Funktion F(u), so daß die
i" Dies ist im Fall der Differentierbarkeit von F mit der Po-sivi tätsforderung äquivalent. \Jegen der hier betrachteten Verallgemeinerung von f vgl~ Batt sowie den Anhang.
Stieltjes-Momente
+-0
45
S Mie. olF(I\A) -...0
(k) gleich den gegebenen f werden.
Wenn Wlr diese Ungleichungen als elne Folge von Bedingun?en
für die sukzessiven Momente höherer Ordnung ansehen wollen,
folgt
f (oJ ::> 0
f (t) > ~ Ho
Ir' f{'O
- {tel J fl"}
rt" I f (~) f ('1) fW f31 fft.J r(SJ
">
1-1'1.
Nun sind die höheren Momente nur bis auf elDe additive Kon
stante (genauer, eine reine Zeitfunktion beim einzelnen
Rekursionsschritt - zur Vereinfachung sei aber von dieser
Zeitabh~ngigkeit abgesehen) festgelegt. Man kann daher
haffen, durch geeignete Wahl dieser Konstanten C die obigen n
Bedingungen stets zu erfüllen. Dies wird indessen nur dann
möglich seln, wenn die rechten Seiten der obigen Unglei
chungen beschränkt sind.
Da die Bedingungen für alle x und t des betrachteten Raurn
Zeit-Gebietes gelten müssen, stellt dies eine Einschränkung
an die "zulässigen E-Felder" dar.
Um zunächst zu verhindern, daß die Nenner der obigen 3c-
46
dingungen sukzessive kleiner werden und damit die erfor
derlichen Konstanten immer größer, kann man die obigen
Ungleichungen durch die folgenden (allerdings nurmehr hin
reichenden) Bedingungen ersetzen:
. . .
mit elnem beliebig kleinen aber festen positiven 0(. Dies
wiederum ist sicher erfüllt, wenn man für die Momente for-
dert: f (o) :> 0<
f (2) > f (/f) t + cX
0<.
f (0) f (-1) f (2.) I f (-1) f ('1..) lf/o<' +0( f (~) { f (3) I fl'J) "> t (1./ 1(1) f (t)
Die Beschränktheit der Zähler auf der rechten Seite ist
sicher dann gegeben, wenn die darin auftretenden Mo~ente
selbst beschr~nkt sind. Nun enth~lt das n te Moment neben
der Konstanten C Bestandteile, die durch folgende Opera-n
tionen aus E(x,t) und g(x) gebildet sind:
MUltiplikationen (insbesondere Potenzierung), x-Integrationen
und t-Differentiationen. Wenn wir fordern, daß diese Opera
tionen im betrachteten x-t-Gebiet nur auf beschränkte Funk
tionen führen, so sind die solcherart eingeschrJnkten L-Fel
der offenbar mit der Vlasov-Gleichung kom p a t i bel.
Dies ist etwa für hinreichend Blatten Zeitverlauf und be
schränkte x-Gebiete zu erwarten.
Es folgt daher der
47
Hauptsatz
Zu jedem elektrischen Feld E(x,t), XE: [OI-1J, das mit sämt
lichen - als existent angenommen - Zeitableitungen stetig
und in x beschränkt ist, existiert mindestens eine Lösung
f(x,u,t) der Vlasov-Cleichung.
Bemerkung: Dieser Satz ist nur richtig, wenn die Vlasov
Gleichung selbst als eine Distributionsgleichung aufge
faßt wird. Daß er dann jedoch stets richtig ist, wird im
Anhang gezeigt.
Wegen dieser Einschränkung sollen die oben definierten Lö
sungen schwache Lösungen heißen. Welche Schwierigkeiten
bei ihrer physikalischen Interpretation auftreten können,
zeigen die drei letzten Nummern dieses Kapitels.
V.2 Die Erhaltungssätze
Die vorstehenden Betrachtungen zelgen, daß die Positivität
die Mannigfaltigkeit der schwachen Lösungen "qualitativ"
wenig einschränkt.
Auf der Suche nach einigermaßen allgemeinen weiteren Restrik
tionen bieten sich die Erhaltungssätze an.
a) Der Ladungserhaltungssatz
Jackson et ale haben auf die Schwierigkeit hingewiesen,
Plasma mit Ladungsüberschuß auf zeitlich konstante "Ge
samtladung" zu normieren. Denn der Ladungsüberschuß ruft
einen Zustrom aus der Umgebung hervor, ohne deshalb dort
die Neutralität zu stören. Der Widerspruch wird dadurch
vermieden, daß das System für x--> ca nicht abgeschlossen
ist und daher von dort Ladung ausströmen kann.
Wir hatten daher in Kapitel IV vorsichtshalber die Neu
tralität des Gesamtplasmas gefordert. Wünschenswert ist
48
jedoch lediglich die Erhaltung der Gesamtladung, Aus der
Kontinuit~tsgleichung
= 0
folgt
dQ J (-1) (A)-t) f (1J ( 0) -t ) = 0 + -~-t
wo /I
Q = 5 (f (0) (X,·I;) - ~ LX.) Jot><
0
Die fragliche Bedingung lautet also:
iiiernach sind endliche Gesamtladungen des Systems möglich.
Der am Rand auftretende elektrische Druck muß dann aber
durch das Gefalle des kinetischen Drucks aufgefangen wer
den, Die Bedingung ist bei Jackson et ale verletzt.
b) Der Impulssatz ( '()("J = /1 )
d f {.f} ~ ( { (2J _ E2
-t V ) - 0 -+ 2-
'd-t ;;>X
Die Bedingung lautet offenbar
f (2.) C 1'/ J t ) E'J. V (...,) t) - - (.tf J -1:.) + 2.
S (~) (0, -4;) - E2. (0 1;) + V(OJ-t.) ::: 2. '
mit dem Ausdruck fUr f(2)
49
d'l. V _ (O,-b) ;) t 'I.
c) Der J:.:nergiesatz
A 'C)~)
-l-.;t ~}J
= E JE -2 dt 2 d)( ut
oder
'd { {(~) -t f 1.- ) /I
c'JL) 0
- ~ -dt -- "2. ())(
2-
fordert
f ('!,) (-1,?t) -
f ('1) ( 0, + J
mit
JE) ~ E1 ~) -- dt. ;JX
'dX
? 'J E 'L dV +
C)'bv
- 2... dt -+ - d t'b dt
ist )( x
(3.) 'J S E 2 o<x 9 f f (x)i)
'b + VPlx - - 2-
-dt ~t
0 ~
\ldx
50
Daher ist zu fordern
/I 1/ A
~ S E:2.o{X- S VdX S o'\. Lr ~x Co"'" c;f .
1- -t -1- r;>t
D 0 0
Man kann die Lösung außerhalb des Intervalls (0,1) perlo
disch fortsetzen oder nicht. FGr periodische Lösungen qel
ten sicher die ErhaltungssJtze. hinzu kommen weitere 3e
dingungen an die "Oberwellen" (vgl. VI.3b) durch die For
derung:
=
fGr k ~ 4. 1:s scheint daher, als ob bei periodischen
Lösungen die zul~ssigen Felder E(x,t) eingeschrJnkt
seien. Wie dann zu verfahren ist, bringt die nachste
i',ummer.
V.3 Periodische Lösungen
Es ist zu beachten, daß die bisherigen Betrachtunren nicht
in voller Allgemeinheit durchgeführt wurden. Denn die beim
einzelnen Rekursionsschritt auftretenden willkUrlichen
"Konstanten" C können allgemein irgendwelche Funktionen n
der Zeit sein.
Wir hatten zur Vereinfachung der Betrachtung bislang auf
diese Freiheit verzichtet. !'1an erkennt aber-leicht, daL für
beliebig oft nach der Zeit differenzierbare Funktionen C (t), n
die in s~~tlichen Ableitungen beschrankt sind, aie Lxistenz
der Lösungen ebenso gezeigt werden kann wie in V.l.
Interessant sind in diesem ZusaT!1menhang periodische L:)~.3urren,
da diese zu einer eindeutigen Festlegunz der Zeitabh~n0iFkeit
fOhren. Dies folgt aus der GOltiekeit der ErhaltunpssJtze.
51
Der Ladungs- und Impulssatz führen zu keinen neuen Aussapen
über C1 ' Wle es sein sollte. Der EnerGiesatz lautet: A
~ (f C~) + E 2. ) ()()( = 0
o
Dies liefert jetzt:
11
J ~ ol)( ( .$ EL + C'Z. CfJ) - 0 - I di (J
oder
C1. (i:.) =
Man erkennt in der Tat: o
Für beschrJnkte L-Felder IJßt sich die Konstante C2 so
wählen, daß die Positivitätsforderung erfüllt werden kann.
Dies ist z.~. für gedämpfte Lösungen der Fall.
Analoge detrachtungen pelten fUr die höheren Momente. Durch
partielle Integration und vJiederhol te Anwendung der l<ekur
s ionsf onne I
beweist man, falls noch V(O,t) = 0 Gesetzt wir'd, eine Farnei,
die nur fUr die geraden Momente notiert sei:
v f (2. (k- 1))
(2. k - -1 ) ('l. W - ~) V ~ -f (?. ( Je - 2.») _ ....
3! )(
+ ) { (2 k - ~ Je 2 k - 3) ... /I
" tel
V "f (2J.-3)
:lh.-17 cl
/l! :Jt } ~X
52
Das hier auftretende Integral muI;) , über elne volle Periode
erstreckt, verschwinden. Diese ForderunE laßt sich bei in
stationaren Problemen durch geeignete Wahl der "Inteprations-(2k-1) .
konstanten" C2k _1 (t) von f offenbar stets erfüllen.
Eine entsprechende Überlegung gilt auch für die ungeraden
Momente. Der zeitunabh~ngige Anteil der C's muß so gew~hlt
werden, daß der PositivitatsforderunE senügt wird.
Eine Einschrjnkung an die zul~ssigen Felder erGibt sich je
doch für den stationären fall. Die Periodizit~tsforderung
lautet, wenn man beachtet, daß f(O)' = -V'" ist,
11
~ ~X V Ie. VIII -- o o
Diese Jedingung ist sicher erfüllt, wenn Vi eine Funktion
von V allein ist:
, V =
Denn dann ist V" und V'" ebenfalls als Funktion von V
ausdrückbar, und das unbestimmte Integral über VkV'"
führt auf eine Funktion von V~ die daher in x periodisch
ist.
Die obige Forderung stimmt überein mit der aus der Charak
teristikenmethode nach bernstein, Green und Kruskal folgen-
den Darste-l-lung-Für-V~.- -S-ie-st-e-ll-t~ cl-i-e-ei-nz-i-p,e-wesent-I-iche- - -- - -
EinschrJnkung un die periodischen Felder dar.
V.4 Die Frage der Eindeutigkeit
Die Betrachtungen der letzten Nummern zeigen, Wle man zu
Lösungen der Mornentengleichungen kommt, die einern normier
ten Maß entsprechen. Es erheben sich folgende FraRen:
53
Sind die Lösungen bei gegebenen Momenten eindeutig fest
gelegt?
Sind die Lösungen der Momentengleichungen auch Lösungen der
ursprünglich gegebenen Vlasov-Gleichung?
In welcher Weise lassen sich aus den Momenten N~herungslö
sungen konstruieren und in welchem Sinn konvergieren diese
gegen die Lösung?
a) Im Anhang wird gezeigt, daß die Lösungen der Momenten
gleichungen stets Lösungen der Vlasov-Gleichung im schwa
chen Sinn definieren. Unter solchen werden allgemein Lö
sungen verstanden, für die die linke Seite der Gleichung
orthogonal stehen möge auf einer fest gegebenen Menge ~
von Funktionen. In diesem Fall bedeutet die Null der
rechten Seite eine Funktion Cf (>', fl.1 I t), so daß
_ 0
für alle '+ G '01r gil t.
In Anlehnung an Vorstellungen der projektiven Geometrie
kann man auch sagen, die Gleichung gelte als Gleichung
im Dualraum m I von ~. Wählt man ~ gleich der l"lenge
der Schwarzsehen "Testfunktionen", die auf einem kompak
ten Träger beliebig oft differentierbar sind, so sind die
positiven Lösungen gerade wieder die Maße. In unserem Fall
kommt als Testfunktionsmenge offenbar die Menge aller Po
tenzen von u in Frage:
(Wegen elner Verschärfung dieser Annahme siehe den Anhang.)
Dann ist ~ eine Funktion, deren sämtliche Momente ver
schwinden. Ein Beispiel ist
54
In Kapitel IV.1 wurden starke Lösungen eingeführt. Zur
Illustration des Unterschiedes von starken und schwachen
Lösungen betrachten wir zwei Beispiele, die sich auf die
kräftefreie Gleichung beziehen:
4 + AA.. 21 = 0 Jt ~X
Eine Lösung im starken, jedoch nicht 1m schwachen Sinn
ist
[11 c~st , 1/ 1
= At 11 f (x- IA.t)'Z. .1-fM
während
" - J '" (/11 _ t l-
i/q
fl ':: e.- f 11 ~ e M/n I A-t. I r 4g
e1ne Lösung 1m schwachen aber nicht 1m starken Sinn ist.
In der Tat löst f 1 zwar die Vlasov-Gleichung, jedoch
existieren keine Momente höherer als 3. Ordnung gleich
mäßig in x und t; es kann daher nicht als Element von
~~ gelten. Und umgekehrt löst f 2 die gegebene Glei
chung nur im schwachen Sinn, denn für die rechte Seite
kommt statt der Null
t 1.4
I M. I 11'l
Dieser Ausdruck ist jedoch auf sämtlichen Polynomen 1n u
orthogonal.
Diese Beispiele legen es nahe, aus physikalischen Gründen
Lösungen zuzulassen, die sowohl starke als auch schwache
Lösungen sind. Diese erfüllen die Forderung, daß fein
Wahrscheinlichkeitsmaß beschreibt und garantieren die
55
Möglichkeit, Momentengleichungen beliebig hoher Ordnung
abzuleiten. Der physikalischen Interpretation zugänglich
sind in Verallgemeinerung noch Lösungen, für die min
destens die ersten drei Momente existieren. Hinsichtlich
einer Einschränkung, die der Entropiesatz bringt, ver
gleiche man V.5.
b) Das obige Beispiel zeigt, daß aus den Momenten nicht not
wendig auf die Eindeutigkeit der Lösungsfunktion geschlossen
werden kann: In der Tat lassen die Momente
(4k + 3)!/3!
o k gerade
k ungerade
offensichtlich die beiden Lösungen
und
;1
41 e
1.u.1"/q.
zu. wir fragen jetzt na~h hinreichenden Bedingungen für
die Eindeutigkeit.
Wir behaupten, daß die Eindeutigkeit gewährleistet ist,
falls es eine Funktion 'i\ (X.J -t) > 0 gibt, so daß
~!
~ür alle geraden Momente gilt.
Zum Beweis betrachten wir die Fouriertransformierte der
Verteilungsfunktion:
56
::
Entwicklung der Exponentialfunktion liefert:
00
< L Da f positiv ist können selne Absolutstriche weggelassen
werden. Dann gilt
k gerade
< =
k ungerade
Unter Berücksichtigung der Voraussetzung folgt
< ~ (1'1 -+ .2 ~ ) t ~ /2Jq + f (tI) e I ~ I {~I 'it =
Diese Reihe konvergiert bei festem x,t im Kreis um den
Nullpunkt der komplexen z-Ebene mit dem Radi us ~ (xJ t)
Setzt man r =' J + r:~ so ist
Dieses Integral existiert nach dem vorigen, falls
I\. ( )() -I: )
Die Fouriertransformation existiert daher im ganzen
Streifen
57
um die ~ -Achse und ist 1m Kreis um die Null mit dem
Radius It analytisch.
Wir zeigen jetzt, daß sie 1m ganzen Streifen analytisch ooJ
ist. Für die Ableitung von j kommt:
=
wo
/c.t/ > R Es is t, mi t : =" !....j.'; IIJ. :
Nun ist
I tU I e,
\du
)
1.6 ~ I f.t - { L1 ~.f. 1.(.
< J,(,(,I (e, ...j. e. )
58
für sehr große u (d.h. R hinreichend groß) gilt
1u I (lA ~ , t 6 ) u
< A
mi t einem geeigneten kleinen €,
Dies eingesetzt, ergibt:
Ja I < /""/:> R
Falls 'Yl. 1m Streifen liegt, so liegt auch
~ ± ( I ~~ ( + €)
für hinreichend kleine I A ~ I und € 1n diesem Streifen,
d.h. das Integral existiert. Da f für große u Werte stär
ker als jede Potenz abnimmt, so wird für hinreichend große
Werte von R das Integral beliebig klein.
,v
Hieraus folgt, daß die Ableitung von J nach 2 im ganzen
Streifen existiert.
Durch analytische Fortsetzung ,.... wicklung von 1 im Nullpunkt
Streifen definiert ist. Da !
folgt aus der Reihenent-
eine Funktion, die im ganzen
im ganzen Streifen analy
tisch ist, so ist diese Fortsetzung genau J im Streifen.
I'J
f ist mithin auf der reellen Achse durch die Entwicklungs-
koeffizienten 1m Nullpunkt eindeutig bestimmt. Wegen der
Eindeutigkeit der Rücktransformation ist auch f selbst
hierdurch eindeutig festgelegt. Die Entwicklungskoeffizien
ten sind aber durch die Momente gegeben.
59
V.5 Das Umkehrproblem
Wir gehen kurz auf die Frage ein, 1n welchem Sinne die Ge
schwindigkeitsmomente die Lösungen der Vlasov-Gleichung re
präsentieren.
a) ZUhächst ist zu bemerken, daß die Gleichungen für die
Momente die Vlasov-Gleichung selbst nur im Sinne der
Distributionstheorie darstellen. Dies wird im Anhang
gezeigt.
Mit den dort entwickelten Vorstellungen ist der Begriff
der schwachen Konvergenz verknüpft: Sind f(~w)~JTest
funktionen aus .J >< f2 (wegen der Definition muß auf den
Anhang verwiesen werden), so ist die Konvergenz
1m schwachen Sinn durch
für alle festen <f' E ,9 x P erklärt.
b) Um zur Konstruktion e1ner Funktionenfolge zu kommen,
die im schwachen Sinn gegen die Lösung konvergiert,
betrachten wir eine Gewichtsfunktion w(u), die auf irgend
welche Orthogonalpolynome führen möge
-t-=-
) J>"" Cu.) ~I)'ra (u) W (1.-\) ~1A. :::: ~1J'l;rn
Mit den Momenten sind zugleich auch die Erwartungswerte
dieser Polynome gegeben:
< f I 3Jm (I\() >
60
Man erkennt dann unmittelbar, daß
.....
= L 4.= 0
gegen die Lösung konvergiert 1m schwachen Sinn.
c) Speziell ergeben sich mit
für :P (u.) die Hermi te 'schen Polynome (Engelmann et al.). ~
Die resultierende "Bruns'sche Reihe" konverBiert daher
ebenfalls im allgemeinen nur schwach.
Wenn man jedoch annehmen darf, daß die Verteilungsfunktion
sich für große u so verhält, daß
f ()t) -f.A..J -t.)
für ein festes k ~ 1 ist, so konvergiert die Folge sogar
punktweise in u (Frank - Mises Kap. IX).
d) Schließlich besprechen W1r noch die Approximation im
Mittel. Es wird sich zeigen, daß die Momentenmethode
keine Berechnungsgrundlage liefert.
Wir beschränken uns auf
W(M.) ~ e
Die Orthogonalfunktionen
61
sind dann Linearkombinationen von
. I
Für die Momente
resultiert:
(~ + 01. E ) F (Ie +4 )
JX
Beachtet man noch, daß
k E F (It-·f) _
F (/tz-r2J
so entsteht folgende Rekursionsformel:
Es ist zu fordern
1. Positivität
\ F (0) I > 0 I F etJ
> 0
2. Schreibt man die approximativen Lösungen
so garantiert die Forderung
• I •
;) F (je)
dt:
. . .
62
L a~ (!lI -t-) endlich
die Existenz eines Grenzelements f(x,t,u, o(), das
quadratischintegrabel ist.
3. Eine entsprechende Forderung ist an die Koeffizienten
zu stellen, die die Integrierbarkeit von f und J~/.f
garantiert.
Um die Iteration zu starten, ist die Kenntnis von
F(o)(x,t, cO und E(x,t) nötig. Es ist zu fordern:
A)
B) r: 1-1) (f i 0) ::: ) I
Dabei ist F(l) durch die Rekursion durch F(o) weitgehend
festgelegt. Wenn man F(o) in übereinstimmung mit A) vor
gibt, führt daher B) zu Bedingungen an E(x,t); ein Bei
spiel möge dies verdeutlichen: Wir wählen
-t- (0) r (X)-i:Jcx)
für alle ~ • Man rechnet leicht nach, daß es nur für
solche E-Felder Lösungen geben kann, für die
E + = o
gilt.
63
Man könnte jetzt die Poisson- und Maxwell-Gleichungen
genähert erfüllen für kleine ot. wenn
~~ o(.....:;J0
S t (x) 7t I IU J ot.) olllA. = f (0) ( XI ;t )
~ S f CX) i) 1A. J 0( ) U ol1A. = [("") (x, -t )
0(. -> 0
Hier wird die Voraussetzung 3. wesentlich.
Diese Bemerkungen sollten auf die Schwierigkeiten des
Verfahrens hinweisen.
V.6 Der Entropiesatz
Die Vlasov-Gleichung ist reversibel. Definiert man die lo
kale Entropiedichte durch
H = - S4 -&t f t;{ Il.(..
und den Entropiefluf~ durch
S = - J f ~ f M.ol'l-t.
so gilt
~H ..,. ";;)5 () - '=-
Je ax
Voraussetzung ist dabei, daß H existiert und eindeutig de
finiert werden kann. LS sei auf einige Schwierigkeiten hin
gewlesen.
Betrachtet man die schwachen Lösungen der kräftefreien Glei-
64
chun~ zu den Momenten
k gerade, sonst Null
so war
eine Lösung. Der Entropiesatz gilt. Für die 1m schwachen
Sinn äquivalente Lösung
lA..(.I /1/,+ }
lautet dagegen der Entropiesatz:
;)H -Jt
r1i t
kommt:
-+ dS 'dX
=
= e
= . ... 1.. I 1/q 1;,
oI7t -~ f -MI . I I 'f ,z4 e.. t ~ Ai •
t.
{ IM. (q -t .t.. (A+ ote-t~ I« i"q ) 1 d1-<
Man überzeugt sich leicht, daß die rechte Seite nicht ver
schwindet und sogar von ~ abhängt. Durch Variation dieses
Parameters ließe sich also die Entropieerzeugung ändern.
Dieses paradoxe Resultat erklärt sich daraus, daß zu den ge
gebenen Momenten die Verteilungsfunktion und damit die En
tropie nicht eindeutig gegeben ist. Es ist daher nicht
65
sinnvoll, elne Entropiedichte zu definieren. Das Beispiel
zeigt, daß der übergang zu den Momentengleichungen mit
"Informationsverlust" verbunden sein kann.
Die Entropiedefinition stößt auch dann auf Schwierigkeiten,
wenn f singulär ist. Dieser Fall liegt vor, wenn fein
Strecken- und ein Punktspektrum hat, also J -SingularitJten.
Nach einem Satz von Gelfand, Kolmogoroff und Jaglom diver
giert in diesem Fall die Entropie. Aus den Momenten allein
kann diese Eigenschaft der Verteilungs funktion nicht ohne
weiteres erschlossen werden.
In der Arbeit von Bernstein, Green und Kruskal wird gezeigt,
daß die strengen stationären Lösungen im Fall schwacher
Felder, der eine Linearisierung erlaubt, zwar nicht unmittel
bar in die Landau- van Kampenschen-Lösungen einmünden, je
doch diesen im schwachen Sinn äquivalent sind. Während für
die Bernstein-Green-Kruskal-Lösungen bei endlichen Feldern
elne Entropie definiert werden kann, divergiert diese je
doch beim Übergang zu den van Kampenschen Lösungen.
Wir betrachten schließlich noch den Fall solcher schwachen
Lösungen, die eindeutig festgelegt sind. Wenn diese keine
Singularitäten aufweisen, ist die zugehörige Entropie eln
deutig definierbar. Trotzdem braucht der Entropiesatz
n l c h t notwendig zu gelten. Er kann verletzt sein, wenn
diese Lösungen n~cht zugleich starke Lösungen der Vlasov-
1 . . d t G elchung Sln •
Diese Betrachtungen lassen sich verallgemeinern. Sei t11 die Menge der einmal stetig differentierbaren Funktionen
und F E M1 • Ist feine s t a r k e stetig differentierbare
Lösung der Vlasov-Gleichung, so ist FCf) eine starke Lösung
t Der Nachweis, daß dies u.U. nicht der Fall ist, ist jedenfalls offen.
66
der Gleichung
(F) + = b
für alle F ~ M1 , wenn man sich E wieder durch f gegeben
denkt. Insbesondere ist mit E > 0
eine überall stetige differentierbare Funktion und daher
€ Mi' und
der Ausdruck für die Boltzmannsche Entropie. Bei starken
stetig differentierbaren Lösungen ist daher die GÜltig
keit des Entropiesatzes zu erwarten. Das obige Beispiel
zeigt, daß dies für schwache Lösungen nicht mehr notwen
dig zutrifft.
Allgemein ist zu erwarten, daß die Forderung, mit einer
schwachen Lösung f solle auch F(f) eine schwache Lösung
der obigen Gleichung (F) sein, die zulässigen Funktionen
F stark einschränkt.
VI. EINE VERALLGEMEINERUNG DES PARAMETRISIERUNGSGEDANKENS
VI.i "Abbruchsbedingungen". Die allgemeinen hydrody
namischen Gleichungen und ihre Positivitäts
restriktionen
Das Verfahren der Geschwindigkeitsmomente hat den Vorzug
unmittelbarer physikalischer Interpretierbarkeit. Man wird
f(o)
f(l)
f(2)
f(3)
usw.
67
als Dichte,
als Strom bzw. Impulsdichte,
als Energiedichte, d.h. als Temperatur bzw. Druck,
als vJärmestromdichte
interpretieren. Diese Relationen sind geläufig aus der Theo
rie der Transportprozesse.
Sieht man die ersten n Momente als hinreichend zur Beschrei
bung des Zustandes eines Systems an, so liegt der Wunsch
nahe, Gleichungen allein für diese aufzustellen. Dabei hat
man z.B. folgendes Anfangswertproblem im Auge:
Zur Zeit t = 0 mögen die ersten n Momente gegeben sein:
f (o) (x, 0 )
während über die höheren Momente nichts bekannt sel. Welche
zeitliche vJei terentwicklung ist zu ervlarten?
Das Problem wäre gelöst, wenn ~an etwa E(x,t) kennen würde.
Wir zelgen, daß die Vorgabe der ersten n Momente äquivalent
ist der Vorgabe der ersten n Zeitableitungen von E zur Zeit
Null. Es ist:
= f (KJ) ( - ~ x)
und hiernach ist E bis auf elne Konstante festgelegt. Weiter
kommt
~E (jt
f (2.>
d _ _ ~ (X ) E - ~X dX v
E't 2.
68
usw. Über die höheren Ableitungen ( > n) von E kann noch
beliebig verfügt werden.
Dem entspricht die Tatsache, daß die Abbildung der möglichen
Funktionen f auf end 1 ich viele Momente niemals um
kehrbar eindeutig ist:
f -~ , . ,
und daher die Momente die Funktion f nicht eindeutig fest
legen.
Folgende Möglichkeiten ergeben sich:
1. Man legt die höheren Ableitungen von E irgendwie fest
zur Zeit t = O. Dann waren die Momentengleichungen nur
eine andere Form der ersten n Ableitungen von E selbst.
Das Ganze entspricht unserer Parametrisierung, abgesehen
von der Annahme, daß E analytisch sein muß.
2. Man legt die höheren Momente von f zur Zeit t = 0 fest,
irgendwie, jedoch mit der Positivität verträglich. Da
mit ist auch f(x,v,ü) im wesentlichen gegeben. Dies ent
spricht dem früher erwähnten Anfangswertproblem.
3. Wir schreiben das (n + 1)te Moment in irgendeiner will
kürlichen Weise zu all e n Zeiten vor.
Etwa:
{ (/)!J°H)
oder, etwas allgemeiner
Schreibt man dann das System der Momentengleichungen in
der Form:
69
~E = f (O) - ~ (x)
()x
dE ::: f (-t J
-dt ~I)) f (O)
ti-(2.J
E -- 'J)( ~t
~-L:'J J (~_A) Q. ~ (-{(o: . ... :I(k) ) - M.E (}X
f)1..
f (Ik;-I/) =
tP (J (o) . ... J (lkJ )
d t (",,+1.\ .f ('IIlJ ~ f (:r(O), . .. { ('JA) )
~~Al E -=: cJt dX'
djltk..d) ( f (tI) j ("") ) d -f (~~L)
== (M -f 2.) E ~ ) . . . - ;}t
'dx
So erkennt man, daß dies eine "Abbruchbedingung" bedeutet:
Das System der ersten Gleichungen ist in diesem Sinne ab
geschlossen. Die höheren Momente sind automatisch mitbe
stimmt durch die folgenden Gleichungen. Damit sind samt
liche Momente fixiert und damit auch die Lösung. Man kann
auch sagen: Diese Lösungen sind Urbilder von
sofern sie nur positiv sind.
Diese Bedingungen für die Positivität lauten:
70
Für gerade n: Für ungerade n:
f (,) :> 0 f (o) ::;>()
{(()} {(1) fM {(-tl > 0 >0 f (11 {m
{ (-t) {Cl) ,
('~J f{OI " (YJ (tf)) f . "~ .. f ' , .
';> 0 >-
(('~) f ('14) {l~f) eP
Es ist zu beachten, daß diese Ungleichungen ergänzend zu
den ersten Momentengleichungen hinzutreten.
()
Man erkennt, daß die Nebenbedingung 0 an die Stelle elner
vollständigen Kenntnis bzw. Vorgabe der Anfangsdaten ge-. t treten lst.
Einige nahegelegte Bedingungen sind die folgenden:
a) Die Adiabasiebedingung
f (0 1 r
b) Die Druckhomogenität: (KaIman)
c) Die Annahme, daß der Druck der Dichte proportional sein
soll:
tAufgrund des Hauptsatzes V.1 wird man wünschen, daß E(x,t) den dortigen Bedingungen genügt, um die Positivität für die nicht mehr explizit behandelten Momente > n garantieren zu können.
71
Führt man wie lm Anhang die Erwartungswerte von Polynomen
P(u) ein durch
so kann man dies auch schreiben
( J H~ (~ J > - 0
wo ~ eln geeigneter Proportionalitäts faktor ist und H2 das zweite Hermite'sche Polynom (Engelmann et al.).
d) Der Wärmestrom ist der makroskopischen Strömung propor
tional
f (')} rv
Mit Engelmann et ale kann hierfür wieder geschrieben wer
den
(:fl H>(~J> 0
4. Man kann eine ähnliche Relation für die Ableitungen von
E vorschreiben, etwa
9E , "'if;)
11
~ E ) . j CJ i ...
Wegen der Umrechnungsmöglichkeit auf die entsprechenden
Geschwindigkeitsmomente ist dies mit dem diskutierten
Fall 3 identisch.
5. Schließlich kann man die fehlende Kenntnis der Start
bedingungen durch statistische Annahmen ersetzen.
72
VI.2 Methodische Bemerkung
Die Betrachtungen des letzten Paragraphen legen es nahe,
den Begriff der Parametrisierung zu verallgemeinern. Man
wird vermuten, daß dies die Vorgabe einer oder mehrerer
Funktionalabbildungen leistet:
o
Wir betrachten elnlge Spezialfälle, die sich auf diese Ge
stalt bringen lassen:
A) Das Anfangswertproblem
Hierbei ist f o die angenommene Anfangsverteilung.
B) Die Parametrisierung mittels des elektrischen Feldes:
- A- (l/, -1:-)
+
Hier ist E(x,t) das angenommene elektrische Feld.
C) Die Polytropengleichung
j(()) (XjO)
[ {4tJ :r (x/O) f (At)
o (X)
= { (~.,"')
(x,t.) -
73
Hier sind die Anfangsmomente f(o) ••• f(n) und die "Poly-o 0
tropengleichung" angenommen.
D) Auf einen anderen Typ möglicher Parametrisierung führt
folgender Ansatz für die Verteilungsfunktion: t
f f L b,=O
.=
Mit f ist auch jede stetig differentierbare Funktion von
f eine Lösung der Vlasov-Gleichung.
Die Gleichung für ln(f) liefert daher:
Dies sind bei gegebenem E(x,t) ebenfalls Rekursionsfor
meln, die durch o
c:l/J
gestartet werden können. Poisson- und Maxwell-Gleichung
können daher als Bedingungen zwischen E(x,t) und f(x,t,O)
aufgefaßt werden.
Geschlossene Gleichungen für diese Kompatibilitätsforde-. tt
rungen ergeben sicp etwa bei folgenden Abbruchsbedingungen:
a~ _ 0 oder
oder I ==0 ""'" -::0
t Die Positivität ist hier trivial erfüllt.
tt Die Normierbarkeit von f fordert, daß der höchste nichtverschwindende Koeffizient a k ° sein muß und k gerade.
74
Wir betrachten zur Illustration den Fall, daß
41J _ 0 4tf _ 0
Dies entspricht der Frage nach Maxwellschen Lösungen der
Vlasov-Gleichung.
Aus dem Verschwinden von 4.1f und .::1.3 folgt:
842- 0 Cl(1. = - jb (~) -tJx
Ba", , 02 (7t) d~'Z.. 0 4..t j:>{-/;) x -+ +- = -
iVt- (i) X
Für k = 1 und 0 liefern die Rekursionsformeln:
.L!- ( Ci Ci. "I ,&qo ) Cl(. '2. e>t -+ --= JE CJX
" Ja.,
ti/J = i= ~I:;
Mit den obigen Ausdrücken folgt
T
Für E liefern die Poisson- und Maxwell-Gleichungen 2..
(QIJ + tl., /4~ ) =
C)X
75
oder mit den obigen AusdrUcken , 1-
~o + 0-><+01.)
6)E 11 + ~ fl "f :-
oX f
~E ~ tio -+
0~~)1.. f-)l.-+~ e, ~(l
-= ~t ).f f
Die Gleichungen I und 11 stellen Gleichungen für die un
bekannten Funktionen a (x,t) und E(x,t) dar. Die Funk-o
tionen ~ (t) und j3(t) stellen zunächst noch willkür-
liche Funktionen dar, die so gewählt werden müssen, daß
die Gleichungen sich nicht widersprechen. Das dies mög
lich ist, zeigt die Lösung
p{t-) =
o«t) - ()
= k ruln"1 E == 0 . I
VI.3 Einige Beispiele.
Wir illustrieren die Theorie an einigen Beispielen, wobei
Wlr konstante Ionendichte voraussetzen wollen. Es sind fol
gende Bezeichnungen Ublich:
== f ('1.)_
Wir diskutieren einige Annahmen über die sukzessiven ersten
Momente.
76
a) Das nullte Moment sei vorgeschrieben für alle Zeiten.
Aus ~E
dX
gegeben.
folgt damit (unter Hinzunahme der Randbedingungen) das
elektrische Feld E(x,t) und damit die gesamte Lösung.
b) Das erste Moment möge zu allen Zeiten verschwinden.
o
Es ist dann bei geeigneten Randbedingungen
f (-tJ + tkf- (i) o
und es liegt im wesentlichen eln stationäres Problem
vor. Die Lösung läßt sich nach Bernstein et ale auf die
jenige einer Abel'schen Integralgleichung zurückführen.
Wir wollen nur den einfachen Fall betrachten, der einer
ebenen Welle entspricht, setzen daher für das Potential
v Es ist L = - i K V und die Rekursionsgleichungen für
die Momente lauten einfach:
.J f (Je.,.,,) . GI\ = k E j (k--")
oder, Vlenn man V a·ls Variable einführen kann:
ci f (n.+1)
:: k f (k-,fJ
77
Mit 1-
1 + t<.2. V
lassen sich diese Gleichungen sofort integrieren:
Es kommt:
t> f (l) V - k't V L + t{'!. = =. T
f (If) ~ Vl..+ K 't V l - ct1. V ..j. ~~ - 2'
f ((,) f V.l 5" L V't + ~2. V l.. - ~lf V -I- 4 fI - k. :: 2 It 1.
, wir entnehmen hieraus:
1. In den höheren Momenten treten immer Oberwellen auf,
ähnlich wie bei den Leistungen ln der Elektrotechnik.
2. Die Positivität von f(o) fordert, daß
/l
Bei gegebener Wellenlänge sind nicht Wellen beliebig
hoher Amplitude möglich.
3. Die Positivität von f(2) fordert:
k'Z. V?. + V 2.
Ein Mindestdruck muß vorhanden sein (die a's sind
formalIntegrationskonstante), der gegen die elek
trostatischen Kräfte agieren muß.
78
4. Denken Wlr uns eine kleine Translationsbewegung über
lagert, so ist zwar v nicht mehr Null, jedoch ver
schwindet df(l)/dx nach wie vor. Bei kleinen Gesamt
strömen kann man immer noch das magnetische Feld ver
nachlässigen. Das Modell entspricht dann einer lau
fenden Welle. Man erkennt: Es gibt keine Dispersions
relation (vgl. van Kampen für den linearisierten Fall,
sowie allgemein VI.4).
c) Das zweite Moment sei vorgeschrieben für alle Zeiten.
Wir können die fraglichen Gleichurigen hydrodynamisch
schreiben:
';;)t f-/1 = d X
U- = ~ ;;, t 'dX
dV- d'V- E /1 ~ + 'V" - -- f ;)X Jt @t<
Wir betrachten zunächst den Fall homogener Druckver-
hältnisse:
&~ 0 -CJ!
Die resultierenden Gleichungen sind genau die des
Nulltemperaturplasmas. Sie sind nach KaIman voll
ständig lösbar in Form einer Parameterdarstellung.
Ein Teil der dortigen Umformungen ergibt sich hier
fast zwangsläufig.
Dazu beachte mall, daß mit )(
j p (x', k) a{}l'
79
sofort aus der Divergenzgleichung folgt:
E(x,-h)
g(t) ist die übliche Integrationskonstante.t
Die
Kontinuitätsgleichung wird mit
--
= + .h. (-(;) - ~ (f)
erfüllt. Wir wollen mit KaIman h
Impulsbilanz wird:
• = g annehmen. Die
Q _ X + ~ (1:)
Führt man jetzt Q statt x als unabhängige Variable
eln - übergang zu Lagrangekoordinaten - so ist
und daher durch Vergleich beider Seiten
sowie
t Nur für konstante g(t) ist die Magnetfeldfreiheit gewährleistet. In allen anderen Fällen gelten die Kalman'schen Lösungen nur unter Vernachlässigung der Magnetfelder.
80
Beachtet man, daß
=f
so folgt:
A ( dX) = V-~t a. f
Für irgend elne Funktion f(x,t) gilt daher:
- (~) (~) - d)( -t Jt IX.
Demnach lautet unsere Impulsbilanz
& - X T 'j (.Jt)
Die Lösungen sind ersichtlich harmonische Schwingungen
mit der Plasmafrequenz:
x ( Q I -b) = A ( a ) ~ ;t 1- 13 ( a) w, t + a (;t)
wobei G(t) Lösung der Gleichung
•• tff (t) ist. Ga, +
Hinsichtlich der Diskussion dieser Parameterdar
stellung sei auf KaIman verwiesen. Die dortigen Re
sultate gelten wieder n ich t nur für Nulltempera
turplasma, sondern liefern, wie betont, eine schwache
Lösung der Vlasov-Gleichung auch bei endlichen Tem
peraturen, wenn E in allen Zeitableitungen beschränkt
ist. Zur Erläuterung berechnen wir noch das dritte
Moment.
'= -
81
Es folgt dann durch Integration der folgenden Glei
chung, wenn man darin den obig,en Ausdruck für x (Q, t)
einsetzt, f 3 :
Hieraus folgt die Parameterdarstellung durch Inte
gration nach Q; entsprechendes gilt für die höheren
Momente.
Schließlich sei noch angemerkt: Das Nulltemperatur
plasma ist Gegenstand einer Reihe von Untersuchungen
insbesondere numerischer Art (Auer et al.). In allen
derartigen Fällen ist ein erweiterter Gültigkeitsbe
reich der Gleichungen im schwachen Sinn anzunehmen.
Wir betrachten noch den Fall, daß p durch elne Poly
tropengleichung gegeben ist:
Eine vollständige Linearisierung der Gleichung ist mir
nicht gelungen. Bezüglich E sind die geeigneten Koor
dinaten die Lagrangekoordinaten, (Q,t) wie oben ge-
zeigt. Bezüglich des Druckterms sind es die Riemann'schen,
( f ,v) vgl. Sommerfeld II.
Ich gebe nur das Resultat der Umschreibung auf Q,t
falls p = a ~ 7f' ist:
+ = Q-x+t-
Hier ist r die adiabatische Konstante.
82
VI.4 Keine generellen Dispersionsrelationen
In Verallgemeinerung des Beispiels VI.2b betrachten Wlr
jetzt generell laufende Wellen, etwa der Form:
v =
Die h. mögen dabei Funktionen sein, die außerhalb eines J
Intervalls I. verschwinden: J
Die entsprechenden Ströme seien so klein, daß Magnetfel
der vernachlässigt werden können.
Außerdem betrachten Wlr nur endliche Zeiten
() < t .:::. T =
dann bleiben die Wellenpakete innerhalb elnes geeigneten
hinreichend großen Intervalls der x-Achse, etwa innerhalb
(- a, +a). Der Ionenhintergrund sei zur Vereinfachung Wle-
der konstant angenommen, etwa = 1 gesetzt. Es folgt:
f (o) .., IJ - 2. --t.. ~ J
i (oi) //
== L ~j Vj'
I ,e I q 2.) + 4. 2 f ('J.) A 2,{i I(: + 2. (1./ - "i VJ --.
::. 2
Die Bedingung an a 2 lautet daher:
= etc.
83
Man erkennt:
a) Heliebige Differentierbarkeit und Beschränktheit der
Funktionen h j ermöglicht stets schwache Lösungen, falls
nur
L ~. J
< 11
b) Eine Minimaltemperatur darf nicht unterschritten werden.
c) Es gibt Lösungen, bei denen die Wellen sich überlagern
lassen: Die obigen Wellenpakete durchdringen sich unge
stört. Das Superpositionsprinzip gilt.
d) Für kleine Feldstärken läßt sich die Vlasov-Gleichung
linearisieren. In einer linearen Theorie ist es denkbar,
daß ein Zusammenhang zwischen der Ausbreitungsgeschwin
digkeit einer Welle und ihrer Wellenlänge besteht. Für
schwache Lösungen gibt es solche Dispersionsrelationen
offenbar nicht, allgemein. Dies ist in Übereinstimmung
mit dem Resultat von van Kampen für starke Lösungen.
VI.5 Die Landaudämpfung
Wir wenden uns dem Problem der Landaudämpfung zu. Die bis
herige Diskussion zeigt, daß es möglich ist, gedämpfte Lö
sungen im schwachen Sinn zu konstruieren. Wir betrachten
elne zwischen 0 und 1 erklärte Lösung. Speziell ergibt sich
für
VI) ~ (x) diffbar und beschränkt
elne Dämpfung der von Landau betrachteten Art. Es ist un
mittelbar ersichtlich, daß E beliebig oft zeitlich differen
zierbar ist und sämtliche Momente beschränkt sind, daß also
eine Lösung im sc~.vJachen Sinn existiert.
Explizit folgt:
84
_ ~t ;f + o/(J I ( X) ~
(A) _ ~t" /\ ot (x ) ~
(2) _At (A + ).. 2. ) 0<: (i) e- + ~ f ('2.) (j J t)
Hierbei ist
( 0)
CX ::
(1 )
cA dl - )
d><
(!U
0( =-. , , ,
die Konstanten C sind so zu wählen, daß der Positivität
Rechnung getragen wird.
Die hierdurch definierte Lösung ist ln der Tat gerade Landau
gedämpft • Für t -?> c:c folgt:
r (0)
1 -i;> .IJ f (-t)
-i> o ) )
Es ergibt sich eine örtlich konstante Geschwindigkeits
verteilung.
}
Es ist zu beachten, daß dieser Schluß nur für die schwachen
Lösungen gezogen werden kann. Betrachtet man starke Lösungen
im Limes t -'";:r 00 , so kann für diese zunächst nur das I3e
stehen einer Lösung der Form:
ausgesagt werden. Da die Überlegungen von Kapitel IV.2 jetzt
nicht mehr durchführbar sind, so ist zu vermuten, daß die
85
starken Lösungen im Gegensatz zu den schwachen auch für
große Zeiten noch eine echte Ortsabhängigkeit zeigen.
Dies läßt sich im Fall der linearisierten Vlasov-Gleichung
verifizieren, bei der man das elektrische Feld als eine
kleine Störung behandelt und Lösungen der Gleichung
+'2..-<. + ~
ln der Nähe einer stationären Maxwellverteilung gegebener
Temperatur betrachtet. So enthalten die von Landau ange
gebenen Formeln für die Verteilungsfunktion für große
Zeiten in der Tat die oben angegebene Ortsabhängigkeit und
die Momente verschwinden exponentiell im Laufe der Zeit~
Das Beispiel zeigt, daß asymptotisch für starke Lösungen
eine Ortsabhängigkeit resultiert im Gegensatz zu den schwa
chen Lösungen.
Es ist nun wesentlich, daß durch ~(l)(x) die Lösung weit
gehend charakterisiert ist. Insbesondere ergeben sich für
die Anfangsverteilung (t = 0) folgende Momente:
(.0 )
A -+ 0<. (X)
-f (2) lX,' 0 )
2. '2. (2 I C _ f 0<(1) (X) +0 -t-J..) 0( (Je) + L-
Formal gelangt man von hier aus durch Fourier-Rücktrans
formation zur Anfangsverteilung
86
Man erkennt, daß man auf diese Weise e1ne Charakterisierung
aller derartigen l\nfangsverteilungen erhält, die Landau
gedämpft sind. Sie sind wesentlich durch Vorgabe von ~(o)(x) und die Wahl dar Ck's bestimmt nach den obigen Formeln.
Dies sind nun keineswegs alle möglichen Anfangsverteilunßen,
so daß die Landaudämpfung nicht für beliebige (erst recht
nicht im Fall der linearisierten Gleichung) Anfangsvertei
lungen gilt.
Zur Illustration betrachten W1r etwa den Fall Gauß'scher
Dämpfung (im linearisierten Fall bei Hayes diskutiert):
Es ergibt sich:
f ~) (i I t) f{1,) (XI tJ
~) - ;t--12. F (y, t) := f ( Jt) e
\.
( .. _~-t A + /' 0) Cx} ~
(7.) -~ ~1. L ~ f (x) t.- ( A -r -,r l )
-I- (1.
Die Dämpfung gegen e1ne örtlich konstante Verteilung 1m
schwachen Sinn ist klar. Die Anfangsbedingungen werden:
87
f(OJ (A', 0 J 'C Ai- /' (oJ (YJ
f(1) (t, 0) = 0
f(L) (JI,D) t ;1 (AJt (j) + t (L) (t) (4-1"')
=
Da die Momente nicht gleichm~ßig beschr~nkt sind, so ist
mit einern raschen Wachstum der konstanten Ck und damit der
Momente selbst zu rechnen. Es ist daher nicht von vornher
ein sicher, daß die so definierten schw~chen Lösungen auch .. . d· . d d h ß(o) d elndeutlg festgelegt Sln • Dle Momente Sln urc un
die C's charakterisiert. Die Klasse all dieser Anfangsver
teilungen zeigt also einen Gauß'schen Zeitabfall, sicher
keinen Landau'schen. Man sieht: Ein solcher kann für
f(1
)Cx,O) = ° niemals eintreten. Außerdem erkennt man, daß
die Lösung für negative Zeiten ebenfalls sinnvoll ist und
ein Anwachsen beschreibt (vgl. auch Bohm).
Natürlich kann man dies alles verallgemeinern auf beliebige
andere D~mpfungsannahmen, wie
E _'i/~
,k:=3Jf ... I ~ rv e
Zum Beschluß denken Wlr uns noch die ersten n Momente der
Anfangsverteilung gegeben,
beschr~nkt
und zelgen, wann es dann stets elnen Landau-gedämpften Ver
lauf geben kann. Wir machen den Ansatz:
r (o) T ('i,i) 1 +-
88
mit mehreren noch offenen Zerfallskonstanten. Wir betrach
ten zur Vereinfachung lediglich den Fall n = 3. Für t = 0
kommt:
.f Co, =
=
=
Definiert
F (o) =
t=(-1) =
F (), I ::'
_, ((u (tJ 2. 0(" + 0<1. -+-
co ) '2.. 0(3.
+ C'J.
man:
)( X'
5 ~ >' I ~ tJ{ J( 1/
( f (.) (x 1'1 0 J - -1 )
x f (-t) J tA x' ( X " 0)
~ r (t7) "1-
f {'tl ( {t.. - 1 (- ) KlO) - 'Z... olx
So entsteht mit
a{", -+ 0(,. + «,. = F (10)
)..1 ~'" ..,. At ((t -t ~~ Cf. ~ - F {-()
2. A'1. A 1-~-1ri,., -+ 'J.o{z. -+ ~ ~~ - ~ (2)
- f (o)
89
rührt man die Determinanten ein:
t= Cf )(x) /f
j) lo} D (11) ( .]:(21 (x) A \ A1 Al A:!I X) = ... = 2.
At A,1. Al- t:" (;) (X) A,1... A~ " ~ ~ t.
so ergeben sich folgende 6 Lösbarkeitsbedingungen
0)
1) Damit überhaupt eine Lösung existiert:
J) (oJ + 0
2) Damit f(o) stets positiv ist:
J) (0) D (A) 1/ + ..D (1,) 11
-I-J) ('JJ) I'
? 0 +
3) Damit
f (I) f (1) ~
f (-r) '1. )
elnc weitere komplizierte Bedingung, die aper wegen der
Willkür, die über C2
noch in r(2) steckt, für beschränkte
f's stets erfüllt werden kann.
Diese Ungleichungen sind also als Bedingungen an die A's aufzufassen. Wenn sie nicht erfüllbar sind, so beschreiben
die obigen Anfangsmomente keinen in der angegebenen Weise
zerfallenden Zustand. Die höheren Momente sind durch die
bekannten Rekursionsformeln ebenfalls mitbestimmt.
90
Für hinreichend große Zeiten kommt nur mehr die "reine
Landaudämpfung" des kleinsten ~/.s lns Spiel.
VII. DAS MODELL VON BHATNAGER, GROSS UND KROOK
Die geschilderte Methode der Momente ist prinzipiell auf
das Modell von Bhatnager, Gross und Krook anwendbar. Bei
diesem wird der Stoßterm der Boltzmann-Gleichung so appro
ximiert, daß der Massen-Impuls- und Energiesatz erfüllt
sind. Die fragliche Gleichung lautet, wenn ~ > 0 eine
Konstante bedeutet:
(f - 4» E = + U
Hierin ist 0 elne lokale Maxwellverteilung, deren drei Para
meter durch die erwähnten Erhaltungssdtze festgelegt sind.
Im einzelnen ergeben sich daher f9lgende Konsistenzgleichungen:
f H) = =
:::: = + C (:t.)
Hierin ist C(t) elne noch offene Zeitfunktion. Aus Gründen der
Positivität von f ist es notwendig, zu fordern, daß E(x,t) und
C(t) noch folgenden Ungleichungen genügen:
( 11"t ?! ) ( C (i) - V + 'OX
91
> 0
E~ ) 1..
/" 0
Die obigen Gleichungen stellen eln ähnliches selbstkonsisten
tes Gleichungssystem fUr E,f und C dar, wie dies bei der
Vlasov-Gleichung fUr E und f allein der Fall war. Da die
rechte Seite bei Vorgabe von E(x,t) und C(t) vollständig
bestimmt ist
ex r { - J
so ist die Momentenmethode möglich. Die Rekursionsformeln
werden:
f fol ( (~) - j 'I
~ (1&) )
Bei der Wahl der Integrationskonstanten in den einzelnen
Integrationsschritten ist wieder allf die Positivitätsbe
dingungen zu achten. Indessen bringt die gegenüber der
Vlasov-Gleichung kompliziertere Struktur der obigen Momen
tengleichungen unter Umständen gewisse Bindungen der Inte
grationskonstanten untereinander, die im Widerspruch zu
den Positivitätsforderungen stehen. Es ist daher nicht
mehr ohne weiteres möglich, für schwache Lösungen des
Krook-Modells einen Satz von ähnlicher Allgemeinheit zu
formulieren, wie dies in Kapitel V.i für die Lösungen der
Vlasov-Gleichung möglich war.
92
Die Nummer VII.2 zeigt an elnem Beispiel, welcherart die
erw~hnten Schwierigkeiten der Momentenmethode jetzt sind.
VII.l Die Gültigkeit des Entropiesatzes
Wir zeigen, daß der Entropiesatz gilt. Mit
= f ~ f folgt für
H = s =
die Gleichung
+ :::
Unter Benutzung der Erhaltungssätze folgt:
f (0) S - ~ r Man überzeugt sich leicht, daß die rechte Seite stets
positiv ist:
Q (x)-t) o
Der Entropiesatz gilt daher. Das Gleichheitszeichen kann
nur eintreten für:
Asymptotisch stellt sich daher lmmer elne Maxwellverteilung
ein.
Der eben gegebene Beweis gilt offenbar mit Sicherheit nur
für starke Lösungen des Krook-Modells. Darunter mögen -
93
unter Verzicht auf Allgemeinheit - hier einfach solche
verstanden werden, die mindestens einmal stetig differen
tierbar sind und die Gleichung punktweise erfüllen.
Betrachtet man dagegen schwache Lösungen im Sinne der Mo
mentenmethode, so kann für diese nur das Bestehen einer
Gleichung (im starken Sinn) der Form:
t E =
ausgesagt werden. Der hinzugekommene ~ -Term der rechten
Seite ist wieder so, daß seine sämtlichen Momente verschwin
den. Hierdurch wird (unter Umständen) aber die "entropische
Eigenschaft", die die Gleichung für starke Lösungen be
sitzt, zerstört, ähnlich wie dies in Kapitel V.6 erörtert
wurde. Hiermit entfällt für schwache Lösungen einer der
wesentlichsten physikalischen Gesichtspunkte, die dem
Krook-Modell zugrunde liegen.
Diese Bemerkung ist nicht auf das Krook-Modell eing~schränkt,
sondern gilt ebenso für jede derartige irreversible Glei
chung, wie etwa die Gleichungen von Fokker und Planck oder
die Boltzmannsche Stoßgleichung. Insbesondere ist daher bei
der Approximation durch endlich viele Momente, wie sie dem
Übergang zu den hydrodynamischen Grundgleichungen entspricht,
die Irreversibilität nicht 'la priori" klar. (Genauer: Hierzu
ist eine Diskussion der sogenannten "Normallösungen" erfor
derlich, vgl. Truesdell.)
Qualitativ wird man allerdings, Wle die Betrachtungen über
die Bruns' sche Reihe zeigen (V. 5. c) "in der Nähe des 1'1ax
wellgesetzes" punktweise Konvergenz gegen eine starke Lö
sung - und damit die Gültigkeit des Entropiesatzes - erwar-
ten.
94
VII.2 Gibt es stationäre periodische Lösungen?
Wir versuchen, die unterschiedliche Betrachtungsweise
zwischen starken und schwachen Lösungen des Krook-Modells
an einem Beispiel zu erörtern. Es liefert für starke Lö
sungen als einfache Folge des:'" dann gÜltigen - Entropie
satzes:
Stationäre periodische Lösungen im starken Sinn sind un
möglich. Für schwache Lösungen kann diese Folgerung nicht
gezogen werden. Wir wollen zeigen, inwieweit ein analoges
Resultat bei der Momentenmethode durch ganz andere Be
trachtungen nahegelegt wird.
Die fraglichen Gleichungen lauten:
d. 1 (~1-,f) ~ E f (~--1) -
{(D) ( f (k) _ cf Oe) ) .:: rr
~l(
f (0) A + oiE - a4x
j (AJ = 0
f ('l J _ v -+ c
wobei C so gewählt wird, daß f(2) positiv wird. Die Max
wellverteilung ist also um Null zentriert und alle unge
raden Momente 0(k) verschwinden.
Wir berechnen jetzt einige der höheren Momente: Für f(3)
folgt sofort aus der Rekursionsformel
f (,,) C ,3
mit
r (2) 3 F ] -
95
kommt daher durch Integration tiber eine Periode, deren
Länge 1 sein möge: ,.,
(3 - ~".. j E'!,~x 1-
0
Aus {C2.)1..
d fl~J { l~) f;J (f (4l _ 3 ) 4 E - f (oJ =
dx
folgt ebenso
o Hierdurch ist die in f(4) enthaltene Integrationskonstante
C4 festgelegt. Entsprechendes gilt für die höheren Momente,
so daß die Integrationskonstanten jetzt nicht ohne weiteres
den Positivitätsforderungen angepaßt werden können. Die Po
sitivitätsforderung lautet für f(4):
Es kann E-Felder geben, die dieser Bedingung für geeignete
Wahl von C genügen. Dies ist jedoch bei kleinen Störungen
von E, die physikalisch nicht von "entscheidendem" Einfluß
sein sollten, nicht mehr der Fall. Dazu denke man sich E
so abgeändert, daß in einem beliebig kleinen Intervall:
ist. Hiervon wird die (integrale) Bestimmungsgleichung für
C4 praktisch nicht berührt. Dann wird die linke Seite der
letzten Ungleichung jedenfalls kleiner als die rechte und
man erhält einen Widerspruch zur Positivität. Man könnte
sagen: "Die Positivität ist keine stabile Eigenschaft der
96
Lösung". Man möchte daher vermuten, daß auch für schwache
Lösungen stationär periodische Fälle auszuschließen sind.
Ein allgemeiner Beweis unter Heranziehung sämtlicher Mo
mente ist mir aber nicht gelungen.
Dieses Beispiel illustriert zugleich, daß und weshalb die
Momentenmethode - zumindest hier - ineffektiv wird, wenn
man versucht, sämtliche Momente zu berücksichtigen.
97
ANHANG
Die Vlasov-Gleichung 1m schwachen Sinn
a) Die Ableitung des Hauptsatzes von Ziffer V.l gibt Krite
rien für die Lösungen des Momentengleichungssystems an
die Hand.
Es erhebt sich die Frage, ob und in welchem Sinn solche
Lösungen auch noch Lösungen der ursprünglich gegebenen
Vlasov-Gleichung sind.
Gelegentlich der Ableitung der Momentengleichungen wur
den folgende Voraussetzungen gemacht:
1. u-Integration und Differentiation nach x und t sind
vertauschbar. , 2. Das bei der partiellen Integration auftretende Glied
verschwindet.
Es ist aber nicht apriori sicher, daß jede positive
Lösung der Momentengleichungen diese Prozesse gestattet
(die - notabene - sämtlichen Ableitungen der Momenten
gleichungen zugrunde liegen). Vielmehr könnte der Fall
eintreten, daß es gewisse Lösungen des Momentenproblems
gibt, die - in die Vlasov-Gleichung eingesetzt - nicht
mehr das System der Momentengleichung reproduzieren •
•• Es war gezeigt worden (V.4), daß die Momentengleichungen
u.U. auf eine Lösung der Vlasov-Gleichung fUhren, deren
rechte Seite nur orthogonal ist auf den Polynomen in u.
Es erhebt sich daher die Frage, ob dieser Raum der Polynome
stets ausreichend ist. Andernfalls gäbe es noch schwäche
re Nullfunktionen fUr die rechte Seite.
98
Im folgenden soll gezeigt werden, daß aus den Momenten
gleichungen die Vlasov-Gleichung fast überall in x als
Orthogonalitätsbedingung auf dem Raum der Polynome ln
u folgt, und daß dann die Umformungen 1 und 2 immer
m~glich sind. Zugleich ergibt sich die allgemeinste
Form, die die Nullfunktionen der rechten Seite höchstens
annehmen können.
b) Wir betrachten solche Felder E(x,t), SOWle Konstanten
Al' A2 , ••• , daß
ist für alle t und die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
1) {(O) =
2) { (1<.+")
=
3) f(k) endlich und stetig differenzierbar.
f (0) f (-1) f (14)
f (-tl f (2.) .... , f (110+/1)
> 0 4)
f (No # tJ f (21-.)
99
Dann gibt es (mindestens) ein Maß ;U auf u, dessen
Momente
die obigen f(k) sind. Ein solches Maß ru(x,u,t) möge
"Lösung" heißen.
c) Aus der Menge all dieser Maße sondern wir diejenigen
ab, die in einem "naiven Sinn" als Lösungen der ur
sprünglichen Vlasov-Gleichung angesehen werden können.
Definition:
Ein Maß ;U(x,u,t) auf u heiße "Normallösung", wenn es
I. Lösung ist, d.h. 1) und 4) genügt.
11. Durch eine Dichte darstellbar ist: 'l.L
= S f (X'J '1-1/ i) ~'tA..
111. f(x,u,t) stetig differentierbar ist nach x,u,t.
IV. Das Integral
J existiert für jedes x,t und k.
V. Die Integrale existieren:
s und g 1 e 1 c h m ä ß 1 g konvergieren für R ~oo
Wir werden zeigen: Jede Normallösung f ist Lösung der
100
Gleichung
wo P(u) eln beliebiges endliches Polynom ist ln u:
und das "Skalarprodukt" durch
+-S «P 'P 0-< ~ - --
definiert ist.
Bezeichnet '1< den Raum, aller obigen Polynome, so kann
man daher auch kürzer sagen: Es wird gezeigt, daß Normal
lösungen die Vlasov-Gleichung im Sinne einer Gleichung
~' ,d. h. dem Dualraum von 'P erfüllen.
Bemerkung
Die Abbildung integrierbarer Funktionen auf Elemente in
72' ist homomorph: Von Null verschiedene Funktionen
können in das Nullelement übergehen, wie das in V.4
erwähnte Beispiel zeigt. Bezeichnet man daher mit 1 ein Nullelement in f.' :
< Cf I P > o so folgt für Normallösungen lediglich das Bestehen einer
Gleichung der Form:
+ Cf (x, lLt J -t)
Das heißt, Normallösungen erfüllen die Vlasov-Gleichung
als Gleichung in ~ I • Dies wird jetzt gezeigt.
101
Zunächst ist
+ f\ 4~
f-f k
S ~ Jq Ij ~O-<M" ;<A. 0{ M. :;:::.
())< JX -R -fl.
Nach Voraussetzung V. konvergieren die Integrale der
linken Seite gleichmäßig, daher darf zur Grenze überge
gangen werden:
J =
Dasselbe gilt für die Zeitableitungen.
Weiter folgt aus der Existenz von (Voraussetzung IV.)
s daß
o
existiert, und durch partielle Integration die Existenz
von
Da der zweite Term der rechten Seite existiert, so muß
daher der Grenzwert von
=
ebenfalls existieren, und zwar für alle ~. Hieraus folgt,
daß f(x,t,R) für große R stärker abnehmen muß als jede
102
Potenz, und hieraus wiederum, daß der fragliche Limes
verschwindet.
Es folgt also:
..f-oe:> "j ~
5 .2. M 0{ M"
t}lM--00
f (k- C }
::= - 11
Hieraus ist der Nachweis erbracht, daß für Normallösungen
aus den Momentengleichungen
~ t (leI
- + 'dt
die Vlasov-Gleichung als Gleichung ln ~' folgt:
+
d) Da für die Formulierbarkeit der Vlasov-Gleichung ln ~'
offenbar nur die Existenz der Integrale
erforderlich ist, so erhebt sich die Frage, ob auch
solche Lösungen, die I. bis IV. genügen und V. in der
schwächeren Form:
V' • existiert
noch auf die Vlasov-Gleichung ln ~' führen.
In diesem Fall kann man nicht mehr ohne weiteres auf die
Zulässigkeit der Vertauschbarkeit von Differentiationen
nach x bzw. t und u-Integration schließen, und dies ist
daher nicht zu erwarten.
103
Wir werden indessen zeigen:
Faßt man die Vlasov-Gleichung als Distributionsgleichung
auf, so läßt sich diese Vertauschung rechtfertigen. Und
zwar werden wir dabei nicht einmal die Voraussetzung V'.
selbst benötigen.
Im Hinblick auf das Folgende definieren Wlr daher als
schwache Normallösungen solche Maße, die 1) bis 4) sowie
I. bis IV. genügen, für die als kurz gesagt
existiert.
Wir führen den Raum der "Testfunktionen" eln durch die
Defini tion: ~ sei der Raum der beliebig oft nach x und t
differentierbarer Funktionen mit kompakten Träger. (Da
das betrachtete x-Intervall selbst kompakt ist, denke man
sich das Problem periodisch fortgesetzt ln x und in x
periodische Testfunktionen.)
Unser Ziel ist es, die Vlasov-Gleichung als Gleichung in
~/x12' aufzufassen. Hierzu ist es nötig, das uneigent
liche Integral (die Zeit werde wieder nicht mehr explizit
geschrieben) :
S F ( i, 'l..t ) 01. 'l..<.,
_ 00
zu definieren. Es möge Stern-Integral heißen.
Definition
* S i=(x,ltt) ~ existiert
falls iM.
<, J + (X, 1\..1- ) d tU I Cf (x:) >
104
konvergiert für alle n -> oe und für jedes feste cf t: ~ und wir setzen
+M.
< (I=" (lI,'IA-) ,.1.",,- i l' (XI> - ~ < ~ f (XI"') tK-u. I Cf (x:) > -A1..
In der Tat ist das so definierte Integral e1n Element () ] , aus ~ d.h. eine Schwartz'sche Distribution. Daß
diese Definition des Sternintegrals eine sinnvolle Ver
allgemeinerung des normalen Integralbegriffs ist, geht t hervor aus folgendem:
Satz 1
Falls das Integral
+00
5 ~ (K, 1lA) ~/IA.-
gleichmäßig konvergent über jedem Kompaktum 1n x ist,
dann konvergiert es 1m Sinne der Distributionstheorie
und es ist:
J Beweis:
+M-J F (.~I 1-t) du ( Cf (X) > I
+00 + VI.-
~ S /lf (X) I ~ X • SM.-f S l=" ( X I 'lA) olll-t - S F (x, 1-\ ) d.u I X G 1:t::3 e 'f ('f)
t Zur Vereinfachung wird im folgenden t h~ufig bei der Formulierung der Scitze weggelassen. x steht dann stellver-
105
Wir sind jetzt in der Lage, die Vertauschbarkeit der
x-Differentiation mit der Sternintegration zu zeigen.
Satz 2
Sei F(x,u) stetig differentierbar und existiere das
Integral im Sinne der Distributionstheorie:
und sel nach x stetig differentierbar, dann existiert
auch
und dieses ist gleich
Beweis:
-+'Yl +1'1.
< ~ 5 r: ()t) 1Vt-) d tU
oX I q (X) > :; - < S F (XI '1A) d,v. I Lf' (x»
--11.
(LI Die rechte Seite ist ein Element aus V und der Grenz-
wert n -> 00 existiert nach Voraussetzung für alle tf 6 ~ Andererseits ist die linke Seite, deren Grenzwert daher
auch existiert
+/111.
< r;) 5 F (XI ~) o-lM. } Cf (x» i"x
106
Geht man hierin zum Limes n ~oo über, so folgt die Be
hauptung.
Wir bemerken noch, daß, falls die Integrale
5 'd F - 0{ flA.. ~x J
gleichmäßig konvergieren über jedem Kompaktum, gilt
= J
dies folgt sofort aus Satz 1 und 2.
Folgerung.
Da die Integrale
-00
existieren und gleichmäßig konvergieren (Nachtrag) auf
jedem Kompaktum in (x,t), so existiert das entsprechen
de Sternintegral nach Satz 1 und es ist
Nach Satz 2 existiert daher
und ist gleich
J JX
Entsprechendes gilt für die t-Differentiation.
107
Man erkennt, daß also die Existenz der Integrale über
und
lm Sinne der Distributionstheorie stets gesichert ist. t
Weiterhin folgt sofort, daß alle schwachen Normallösungen
f Lösungen der Vlasov-Gleichung in der Form:
für jedes feste f aus ~ und alle k's sind. Dies ist
im wesentlichen die Form der Vlasov-Gleichung in Jt/x ~I Zur Verdeutlichung betrachten wir ein Element 'f' 6 ,SJ >C ~ Ein solches hat das Aussehen:
N
f= L. }e,::,Q
Das Skalarprodukt sei erklärt durch:
<<P I fIJ> {I/ .,(
L < S cF Cr, -CI U)ttA. ~ A { erle (Je, -1:) I k::.o
Dann folgt aus der obigen Formel die Gültigkeit der
Vlasov-Gleichung in der Gestalt:
E ~ I rLJ> 81'Vt. l
o
() f'1/1 .. Q/ "1/1' für alle festen Cf C Jt./'",>< ~ , also als Glelchung ln V X r
e) Der Fall derjenigen Lösungen, die nicht differentierbar
sind (im normalen Sinne. Im Sinne der Distributions-
t V'. ist überflüssig.
108
theorie wurde die Differentierbarkeit ja oben gezeigt)
oder für die
nicht existiert, kann jetzt definitorisch behandelt
werden. Es genügt, die Definitionen ln je' zu geben.
<~ J P(Ik) olGf ~ < f ( f> LU» =
oX ;)X
<:1 I 'P(ILt» def d ( f ( 'P (IK) > :::
clt C)t
<~ I r(IZIl)/ def (f I 'P I ( IU) > -utU.
Für solche Lösungen gilt die Vlasov-Gleichung daher
defini tionsgemäß sogar in 'J2-1 , also sicher auf S x. ~ Wir wollen sie "schwache Lösungen" nennen.
f) Resultat
Mit dem - mit Hilfe der Sternintegration definierten -
Skalarprodukt wird die Vlasov-Gleichung stets von den
Lösungen der Momentengleichungen erfüllt, wenn man Sle
als Gleichung in J' X Je' interpretiert:
für alle r G t9)C 'je.
109
g) Anmerkung
Man hätte die schwachen Normallösungen auch im Sinne der
Distributionstheorie definieren können: Durch die Exis
tenz der Ableitungen nach u
111 I. existiert
und diejenigen des Integrals:
IV I. existiert.
Dann hätte sich ergeben, daß
~ f (x) -t \ R ) 'R.. I L{ (XI -t J 'R ) '> -~ 0
für R --/ ~. Dies genügt ebenfalls, um unser obiges
Resultat zu erhalten.
h) Nachtrag
Wir zelgen, daß aus der Existenz der Momente ihre gleich
mäßige Konvergenz folgt.
Wir beweisen zunächst folgenden
Satz (v. Waldenfels)
Sei F(x,u) stetigt in x und u und positiv
o Sei außerdem
stetig
110
so konvergieren die Integrale
t'R ~ :;: (X'J ~ ) a( tU
-tp.
für R _"":> 00 gleichmäßig in jedem Kompaktum ln x.
Beweis
Sei Kein Kompakturn in x und
S.M-r )( E /(
~ =F(x,tU)CJ1fIA..
I'U I ~ 'l'L
Offenbar ist
, , ~ ~ ,..
Wir behaupten:
Widerspruchsannahme:
für alle n.
Dann gibt es zu jedem n ein x n' so daß
S -+ (x tU-) du "> cf %J
L /11{ I ~ m
Da alle x ~ K, gibt es elne gegen diesen Häufungspunkt , n
etwa x, konvergente Teilfolge x ~ x und es ist für nk
IU ) d % ~ ~ F (X'klll
,tU) ci ll4..
I tzl./ ~ IVZ "t
111
Für k ~ cX) folgt für das linke Integral:
5
+~ 1'»1.
= ~ ) F ( )("' /U )d Il<- - S:F ( X .... /2-< )"{",, }
-- ce
Wegen der vorausgesetzten Stetigkeit ist der erste Term
gleich
Im zweiten darf ohnedies durchgezogen werden. Es resul
tiert daher:
s +" ( X I 'tl) 0<. t'L(. ~
/IU.I ~ rm
für alle IIl. Widerspruch!
1f.lir wenden diesen Satz an auf
F = f ly,ij'lA)
Es folgt: Die Integrale
+(.2. r {(x,-t)IU)
-'P--
d -2.
2.1e A.-t.
konvergieren gleichmäßig auf jeden Kompaktum ln (x,t)
gegen
112
Dasselbe gilt auch für die ungeraden Momente, denn es
ist
Daher konvergieren alle Momente gleichmäßig auf jedem
Kompaktum in (x,t).
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(dort: Kapitel 111)
The Laplace transform.
Princeton, 1946
(vgl. auch Ahiezer und Krein, SOWle
Bellman und Beckenbach)
Mein besonderer Dank gilt Herrn Professor G. Leibfried für
viele Diskussionen über diese Arbeit und die Anregung zu
manchen KlarsteIlungen.
Herrn Professor Dr. W. Fucks sel herzlich gedankt für seln
verständnisvolles Entgegenkommen und die Ermöglichung die
ser Untersuchungen.
Herrn Dr. H.L. Jordan, der mich auf den hier behandelten
Problemkreis aufmerksam machte, bin ich für viele fördernde
Gespräche und An~egungen sehr verbunden.
Herr Dr. R. LUst und rlerr Dr. D. PIirsch in MUnchen waren
so freundlich, die Arbeit einer Durchsicht zu unterziehen.
Sie haben mich auf elnlge wesentliche Schwierigkeiten auf
merksam gemacht. Ihnen sei hierfür sehr herzlich gedankt.
Nicht vergessen möchte ich melnen Freund Dr. W. v. Waldenfels,
der oftmals mein "besseres mathematisches Gewissen" war.