Proportionalität

Robert Piasek

Mathias Ünzelmann

Gliederung

1. Rahmenplananalyse Proportionalität

2. Kompetenzerwerbsschema mit

Beispielaufgaben

3. Modellierungsaufgaben

Rahmenlehrplananalyse

„In allen Jahrgangsstufen erhalten die Schülerinnen und Schüler beim

Arbeiten mit Zahlen und beim Rechnen ausreichend Gelegenheit,

Muster, Strukturen und Zuordnungen zu entdecken und diese in

unterschiedlicher Weise darzustellen. Hierauf wird bei der Behandlung

der Proportionalität aufgebaut.“ (Berliner Rahmenlehrplan Grundschule)

Zuordnungen und Proportionalität

in der Primarstufe

3/4 Themenfeld Zahl und Operation:

- Zuordnungen in Sachsituationen erkennen und diese sprachlich sowie in

Tabellen darstellen

- einfache Sachsituationen zu proportionalen Zuordnungen untersuchen

5/6 Themenfeld Zahl und Operation

- Zuordnungen in Tabellen erkennen und beschreiben

- Zuordnungen grafisch darstellen

- aus Darstellungen Eigenschaften der Zuordnung ablesen und

Rückschlüsse auf die Sachsituation ziehen

- Sachaufgaben zur Proportionalität inhaltlich lösen

Abschlussstandards Klasse 6:

- erkennen Zuordnungen, beschreiben sie sprachlich und in Tabellen

- lösen Sachaufgaben zur Proportionalität

Fazit zur Primarstufe

• keine Herausarbeitung der Eigenschaften (Quotientengleichheit, Additivität, etc.)

• keine Betrachtung von antiproportionalen Zuordnungen (sinnvoll?!)

• Aber Zuordnung von Größen als wichtige Voraussetzung integriert

Sekundarstufe I

Themenfeld P2 Klasse 7/8: Verhältnisse mit

Proportionalität erfassen

- Vertiefung durch graphische und tabellarische

Darstellung

- Nutzen Verhältnisgleichungen und Tabellen zur

Berechnung von Proportionen und prozentualen

Anteile

Inhalte: Maßstab, realitätsnahe Probleme, Prozent- und

Zinsrechnung, Dreisatz; Quotientengleichheit;

„Das Vergleichen von Anteilen als zentrale Idee der Prozentrechnung wird über die proportionale Zuordnung eingeführt. Für die Berechnung des Prozentwertes, des Grundwertes und auch des Prozentsatzes wird sowohl anschaulich mit Diagrammen gearbeitet als auch in der Tabelle. Dabei wird der Dreisatz als eine Möglichkeit zur Berechnung proportionaler Verhältnisse erarbeitet. Die Schülerinnen und Schüler wählen ihren Lösungsweg bewusst aus und begründen ihn.“

Antiproportionale Zusammenhänge werden nicht erwähnt!!!

Sekundarstufe I

Themenfeld P7 Klasse 7/8: proportionale und antiproportionale Modelle

- Besonderheiten gegenüber anderen Zuordnungsmöglichkeiten

herausstellen

- Vertiefung durch Vergleich mit antiproportionalen Zuordnungen

- Interpretieren und Validieren von Ergebnissen bei Modellierung

Inhalte: Quotienten- und Produktgleichheit; Zuordnungsvorschriften mit

Termen darstellen;

„Schülerinnen und Schüler vertiefen ihr Wissen, indem sie eigene Beispielaufgaben zu den unterschiedlichen Zuordnungen finden oder entwickeln, an denen sie sich die wichtigen Eigenschaften (diskrete und kontinuierliche Beispiele) verdeutlichen.“

Fazit Sekundarstufe I

• kaum inhaltliche Unterschiede in den beiden Themenfeldern

• zentrale Kompetenzen: funktionaler Zusammenhang, Zahl und Modellieren

• Verwendung unterschiedlicher Darstellungsformen

• wichtig für Prozentrechnung und andere Verhältnisgleichungen

• Aber wo bleibt der Bezug zum Funktionsbegriff???

1. THESE

Die „zeitliche“ Trennung von proportionalen

Zusammenhängen (Modul P2) zum Funktions-

begriff (Modul P4) und vor allem zur Antipro-

portionalität (Modul P7) in der Doppeljahr-

gangsstufe 7/8 ist nicht sinnvoll.

Die SuS beschreiben,

interpretieren und

berechnen proportionale

und antiproportionale

Zusammenhänge in

Alltagssituationen und

verwenden für sie

unterschiedliche

Darstellungsformen

Proportionales und

antiproportionales

Modellieren

Lösen von Problem mit

Verhältnisgleichungen

Mehrfaches Anwenden

von proportionalen

Zuordnungen in

Sachsituationen

Lernerfolgskontrolle

Die SuS können mit den

Eigenschaften von

proportionalen und

antiproportionalen

Zuordnungen Probleme

aus Sachsituationen

modellieren.

Proportionale und

antiproportionale

Eigenschaften

Proportionalitätsfaktor

Verhältnisgleichheit,

Quotientengleichheit,

Produktgleichheit

Additivität

Die SuS leiten die Eigenschaften

von proportionalen und

antiproportionalen

Zuordnungen her und

können mit ihnen

Proportionalität

begründen.

Proportionale und

antiproportionale

Zuordnungen

Erkennen und Beschreiben

von (anti)proportionalen

Zuordnungen

Rechnen mit

(anti)proportion-

alen

Zusammenhängen

Darstellen von

(anti)proportinalen

Zuordnungen in

Tabellen und

Diagrammen

Die SuS können proportionale

und antiproportionale

Zusammenhänge

beschreiben mit ihnen

Lösungsschemata

anwenden und sie in

geeigneten Formen

darstellen.

Können

Wissen

Kompetenzerwerbsschema

Mathematik 7. Gesamtschule. Westermann. 1993.

Mathematik 7. Gesamtschule. Westermann. 1993.

Die SuS beschreiben,

interpretieren und

berechnen proportionale

und antiproportionale

Zusammenhänge in

Alltagssituationen und

verwenden für sie

unterschiedliche

Darstellungsformen

Proportionales und

antiproportionales

Modellieren

Lösen von Problem mit

Verhältnisgleichungen

Mehrfaches Anwenden

von proportionalen

Zuordnungen in

Sachsituationen

Lernerfolgskontrolle

Die SuS können mit den

Eigenschaften von

proportionalen und

antiproportionalen

Zuordnungen Probleme

aus Sachsituationen

modellieren.

Proportionale und

antiproportionale

Eigenschaften

Proportionalitätsfaktor

Verhältnisgleichheit,

Quotientengleichheit,

Produktgleichheit

Additivität

Die SuS leiten die Eigenschaften

von proportionalen und

antiproportionalen

Zuordnungen her und

können mit ihnen

Proportionalität

begründen.

Proportionale und

antiproportionale

Zuordnungen

Erkennen und Beschreiben

von (anti)proportionalen

Zuordnungen

Rechnen mit

(anti)proportion-

alen

Zusammenhängen

Darstellen von

(anti)proportinalen

Zuordnungen in

Tabellen und

Diagrammen

Die SuS können proportionale

und antiproportionale

Zusammenhänge

beschreiben mit ihnen

Lösungsschemata

anwenden und sie in

geeigneten Formen

darstellen.

Können

Wissen

Kompetenzerwerbsschema

Arbeitsauftrag I

Begutachtet mit Eurem Partner die

Einstiegsseiten eines Schulbuches.

Skizziert das Vorgehen und bewertet es.

Faktor 8 – Mathematik. Schroedel. 2007.

Mathematik 7. Mecklenburg-Vorpommern. 2003.

Einführung in die Mathematik. 7. Schuljahr. 1974.

Lambacher Schweizer. Klasse 7. 2007.

Die SuS beschreiben,

interpretieren und

berechnen proportionale

und antiproportionale

Zusammenhänge in

Alltagssituationen und

verwenden für sie

unterschiedliche

Darstellungsformen

Proportionales und

antiproportionales

Modellieren

Lösen von Problem mit

Verhältnisgleichungen

Mehrfaches Anwenden

von proportionalen

Zuordnungen in

Sachsituationen

Lernerfolgskontrolle

Die SuS können mit den

Eigenschaften von

proportionalen und

antiproportionalen

Zuordnungen Probleme

aus Sachsituationen

modellieren.

Proportionale und

antiproportionale

Eigenschaften

Proportionalitätsfaktor

Verhältnisgleichheit,

Quotientengleichheit,

Produktgleichheit

Additivität

Die SuS leiten die Eigenschaften

von proportionalen und

antiproportionalen

Zuordnungen her und

können mit ihnen

Proportionalität

begründen.

Proportionale und

antiproportionale

Zuordnungen

Erkennen und Beschreiben

von (anti)proportionalen

Zuordnungen

Rechnen mit

(anti)proportion-

alen

Zusammenhängen

Darstellen von

(anti)proportinalen

Zuordnungen in

Tabellen und

Diagrammen

Die SuS können proportionale

und antiproportionale

Zusammenhänge

beschreiben mit ihnen

Lösungsschemata

anwenden und sie in

geeigneten Formen

darstellen.

Können

Wissen

Kompetenzerwerbsschema

VOLLRATH, WEIGAND (2007), S. 167.

Die SuS beschreiben,

interpretieren und

berechnen proportionale

und antiproportionale

Zusammenhänge in

Alltagssituationen und

verwenden für sie

unterschiedliche

Darstellungsformen

Proportionales und

antiproportionales

Modellieren

Lösen von Problem mit

Verhältnisgleichungen

Mehrfaches Anwenden

von proportionalen

Zuordnungen in

Sachsituationen

Lernerfolgskontrolle

Die SuS können mit den

Eigenschaften von

proportionalen und

antiproportionalen

Zuordnungen Probleme

aus Sachsituationen

modellieren.

Proportionale und

antiproportionale

Eigenschaften

Proportionalitätsfaktor

Verhältnisgleichheit,

Quotientengleichheit,

Produktgleichheit

Additivität

Die SuS leiten die Eigenschaften

von proportionalen und

antiproportionalen

Zuordnungen her und

können mit ihnen

Proportionalität

begründen.

Proportionale und

antiproportionale

Zuordnungen

Erkennen und Beschreiben

von (anti)proportionalen

Zuordnungen

Rechnen mit

(anti)proportion-

alen

Zusammenhängen

Darstellen von

(anti)proportinalen

Zuordnungen in

Tabellen und

Diagrammen

Die SuS können proportionale

und antiproportionale

Zusammenhänge

beschreiben mit ihnen

Lösungsschemata

anwenden und sie in

geeigneten Formen

darstellen.

Können

Wissen

Kompetenzerwerbsschema

VOLLRATH, WEIGAND (2007), S. 167ff.

VOLLRATH, WEIGAND (2007), S. 167ff.

VOLLRATH, WEIGAND (2007), S. 167ff.

Zusammenhang zwischen

Proportionalität und Monotonie

2. THESE

Der Monotoniebegriff wird zu Recht erst in der

Sekundarstufe II thematisiert, da sonst falsche

Rückschlüsse zu (anti)proportionalen

Zusammenhängen entstehen können.

Elemente der Mathematik 7. 2006.

1. Möglichkeit 2. Möglichkeit

Elemente der Mathematik 7. 2006.

Die SuS beschreiben,

interpretieren und

berechnen proportionale

und antiproportionale

Zusammenhänge in

Alltagssituationen und

verwenden für sie

unterschiedliche

Darstellungsformen

Proportionales und

antiproportionales

Modellieren

Lösen von Problem mit

Verhältnisgleichungen

Mehrfaches Anwenden

von proportionalen

Zuordnungen in

Sachsituationen

Lernerfolgskontrolle

Die SuS können mit den

Eigenschaften von

proportionalen und

antiproportionalen

Zuordnungen Probleme

aus Sachsituationen

modellieren.

Proportionale und

antiproportionale

Eigenschaften

Proportionalitätsfaktor

Verhältnisgleichheit,

Quotientengleichheit,

Produktgleichheit

Additivität

Die SuS leiten die Eigenschaften

von proportionalen und

antiproportionalen

Zuordnungen her und

können mit ihnen

Proportionalität

begründen.

Proportionale und

antiproportionale

Zuordnungen

Erkennen und Beschreiben

von (anti)proportionalen

Zuordnungen

Rechnen mit

(anti)proportion-

alen

Zusammenhängen

Darstellen von

(anti)proportinalen

Zuordnungen in

Tabellen und

Diagrammen

Die SuS können proportionale

und antiproportionale

Zusammenhänge

beschreiben mit ihnen

Lösungsschemata

anwenden und sie in

geeigneten Formen

darstellen.

Können

Wissen

Kompetenzerwerbsschema

Wie groß müsste wohl ein

entsprechendes Denkmal sein, wenn

es Adenauer „von Kopf bis Fuß“ in

demselben Maßstab darstellen soll?

Das Adenauer-Denkmal (Bonn)

vom Künstler Hubertus von Pilgrim

10 cm

12 cm

Größe des Mädchens ca. 1,30m.

Proportionalitätsfaktor:

130cm : 10cm = 13

Größe des Kopfes:

12cm * 13 = 156cm

Wie ist das Verhältnis zwischen

Kopf-Größe und Körper-Größe?

Robert: 169cm : 24cm = 7,04

Mathias: 186cm : 26cm = 7,15

156cm * 7 = 1092cm = 10,92m

1,2 cm

10 cm Verhältnis Kinderkopf zu

Erwachsenenkopf:

Erwachsenenkopf um 1,1

größer

Proportionalitätsfaktor:

10cm : (1,1 * 1,2cm) = 7,6

Körpergröße eines männlichen

Erwachsenen:

185cm * 7,6 = 14,06m

Wie schwer ist dieses Bison-Baby?

Noch etwas schwach auf den Beinen ist das kleine Bisonkalb Astor, das im Stralsunder Tierpark

Mitte August zur Welt kam. Der Zoo der Hansestadt ist der einzige im Land, in dem die bis zu einer

Tonne schweren Wildrinder aus Nordamerika heimisch sind. Foto: dpa

Muttertier ca. 900kg schwer

Höhenverhältnis:

6,6cm : 3,8cm = 1,74

Längenverhältnis:

8,8cm : 4,6 cm = 1,91

Breitenverhältnis zwischen

1,74 und 1,9, also ca. 1,8

3,8cm

6,6cm

8,8cm

4,6cm

Volumenverhältnis der Mutter zum Kalb:

1,74 * 1,91 * 1,8 = 5,98

Gewicht des Kalbes:

900kg : 5,98 = 150,5kg

3. THESE

Die Thematik der (Anti)-Proportionalität ist

nicht ausreichend für Modellierungsaufgaben

geeignet, da hiermit nur einfache Probleme

gelöst werden können und komplexere

Betrachtungen nicht möglich sind.