- 399 -

ANHÄNGE

Anhang 1: Ableitung der Gleichungen 16l und 18l in Kapitel

.IY

Durch Einsetzen der Werte von a und [3 aus den Gleichungen

(4) und (5) in Gleichung (1) Ct (ISt - [3e-d ' erhält man:

cued'-cved'-cuef'ev+cvef'eu

(eu-ev)ef'ed '

ed'-f'-ev ed'-f'-eu [( )cu - ( )cv ) e-d '.

eU-ev eU-ev

Definiert man den Term (ed'-f'-ev)/(eU-eV ) := w, so gilt:

- 400 -

Anhang 2: Ableitung der Gleichung (37) in Kapitel IV

In Gleichung (34) wird das folgende Glied umgeformt:

= (Term A) j (Term B)n-j,

mit Term A = wef'-d'eu und Term B (I-w)ef'-d'ev .

Es gilt dann:

1 - Term A = 1 - wef'-d'eu

mit w := (ed'-f'-ev)/(eU-eV )

[(-ed'-f'+eU)/(eU-eV )] ef'-d'ev (I-w)ef'-d'ev = Term B,

wobei I-w

wird.

(-ed'-f'+eU)/(eU-eV ), wie in Anhang 1 gezeigt

Definiert man nun Term A wef'-d'+u .- w', so gilt:

1 - Term A I-w' = Term B.

Für das erste Glied in Gleichung (34) ergibt sich schließ­

lich:

(Term A)j . (Term B)n-j

w' j (l-w' ) n - j .

- 401 -

- 402 -

Anhang 3: Ableitung der Gleichungen (56) und (58) in Kapitel

Durch Einsetzen der Werte von a und ß aus den Gleichungen

(54) und (55) in Gleichung (51) Pt = ße-d ' - aSt erhält man:

Pt

pvef'eu_puef'ev_pved'+pued'

(eu-ev)ed'ef '

ef'eu-ed ' ef'ev-ed ' [ " )Pv - [ )pu (eu-ev)ed e f (eu-ev)ed'e f '

eU-ed'-f' eV-ed'-f' [ ( ) Pv - ( ) Pu) e-d '.

eU-ev eU-ev

Definiert man den Term (eU-ed'-f')/(eU-eV) := w, so gilt:

- 403 -

Anhang 4: Ableitung der Relation (61) in Kapitel IV

Gilt u > d'-f' > V, so erhält man durch Anwendung der Expo­

nentialfunktion:

e U > ed'-f' > e V .

Subtrahiert man e V , so ergibt sich:

Da e U, e V und infolgedessen eU-ev positiv sind, erhält man

nach Dividieren durch eU-ev :

1 > (ed'-f'-ev}/(eU-eV ) > O.

Subtrahiert man 1, so gilt:

o > -(eu-ed'-f'}/(eu-eV ) > -1.

Multipliziert man mit -1, so ergibt sich:

o < (eu-ed'-f'}/(eu-eV ) < 1.

- 404 -

Anhang 5: Ableitung der Gleichung (86) in Kapitel IV

In Gleichung (83) wird das folgende Glied umgeformt:

[wef'-d'ev]i . [(I-w)ef'-d'eu]n-i

(Term A)i . (Term B)n-i.

Es gilt dann:

1 - Term A = 1 - wef'-d'ev

= 1 - [(eu-ed'-f')/(eu-eV )] ef'-d'ev ,

mit w := (eu-ed'-f')/(eu-eV )

= [(-ev+ed'-f')/(eu-eV )] ef'-d'eu (I-w)ef'-d'eu = Term B,

wobei I-w

wird.

(-ev+ed'-f')/(eu-eV ), wie in Anhang 3 gezeigt

Definiert man nun Term A wef'-d'+v .- w', so gilt:

1 - Term A I-w' = Term B.

Für das erste Glied in Gleichung (83) ergibt sich schließ­

lich:

- 405 -

(Term A)i . (Term B)n-i

- 406 -

Anhang 6: Ableitung der Gleichung (116) in Kapitel IV

Gleichung (106) ist die Formel der Lognormalverteilung des

Kassakurses der Basiswährung für ein kurzes Zeitintervall &1):

In(St+~t/St) = möt + ~(~t)z.

Durch Anwendung der Exponentialfunktion folgt nach der Um­

formung:

Aus der Exponentialentwicklung erhält man2 ) :

~ [möt+~(~t)zJk 1: -------

k=O k!

Ist ~t sehr klein bzw. mAt+~(~t)z « 1, so lassen sich die

Glieder von möt+~(~t)z mit Ordnungen größer als zwei ver­

nachlässigen:

Für den Erwartungswert von St+~t gilt nun wegen konstantem

St:

1) In Anlehnung an R.A. Jarrow und A. Rudd, a.a.O., S. 88-90.

2) Aus der Exponentialreihe von e X ergibt sich:

eX = ~ xkjk! = 1 + x + x 2 j2! + x 3 j3! + ..... k=O

- 407 -

Daraus entsteht durch Ausmultiplizieren und Umformungen:

+ maAtV (llt) z] .

Vernachlässigt man die Glieder mit höheren Ordnungen von At,

so ergibt sich wegen E[l] = 1, E[z] = 0, Var[z] = 1 und

E [z2] = 1 3):

Für (m+a2 /2)At « 1 gilt 4 ):

Daraus folgt:

Da der Ausdruck auf der rechten Seite unabhängig von der Zu­

fallsvariable z ist, erhält man:

Hier tritt noch einmal die risikoneutrale Modellwelt zutage,

da bei allen Finanztiteln für ein Zeitintervall der risiko­

lose Heimwährungszinssatz d' verlangt wird5 ). Ist der Fi­

nanztitel die Basiswährung einer Option, so ergibt sich:

3) Var[z] = E[ (z-E[z]) 2] = E[z2_2zE[z]+E2 [z]] = E[z2] - 2E[z]E[z] + E2[z] = ·E[z2] - 2E2[z] + E2[z] = E[z2] - E2[z] = E[z2] = 1, wobei E[z] = Mittelwert = 0 (Standardnorma1verteilung) gilt. Bei den Formelableitungen gilt folgendes: E[a+bz+cz 2 ] = E[a] + E[bz] + E[cz 2 ] = a + E[b]E[z] + E[c]E[z2] a + bE[z] + cE[z2], mit a, b, c = konstant.

4) Für lxi « 1 gilt e X = 1+x. Siehe hierzu Fußnote 2) .

5) Siehe risikoneutrale Welt auf S. 182 und S. 214 in Kapitel IV.

- 408 -

Daraus folgt angenähert:

Gemäß Gleichung (100) gilt mit d

rungszinssatz:

(100) d' = d~/n dAt.

Man erhält dann:

Schließlich ergibt sich:

Nach der Umformung gilt:

(116) m = d-a2 /2.

kontinuierlicher Heimwäh-

- 409 -

Anhang 7: Computerprograrrqne fÜr die Binomialmodelle zur Be­

rechnung der Werte yon Deyisenoptionen

Die Computerprogramme werden mit der Sprache Fortran77 ge­

schrieben. Um die Berechnungen zu ermöglichen bzw. zu er­

leichtern, werden in den Programmen gewisse analytische Aus­

drÜcke der Modelle durch ihre IdentitAtsgleichungen ersetzt:

Der Ausdruck xk(l-x)n-k, wobei x = w,w' und k die Form ek.ln(x)+(n-k)ln(l-x) gebracht 6 ).

n

i,j, wird in

FÜr den Ausdruck (k)' wobei k i,j, wird die folgende Iden-

titAt benutzt7 ) :

n n-l n-2 n-k+2 n-k+l (-) (-) (-) .... (--) (--). k k-l k-2 2 1

Das Symbol df wird in den Programmen weder als das Differen­

tial von f noch als d·f, sondern wie folgt definiert:

df .- (d-f)t/n d' -f' .

6) Setzt man A = xk(l-x)n-k, so erhält man: ln(A) = ln[xk(l-x)n-k]

= ln(xk)+ln[(l-x)n-k] = k·ln(x)+(n-k)ln(l-x).

Gemäß der Definition des Logarithmus gilt: A = eln(A). Daraus folgt: xk(l_x)n-k = ek.ln(x)+(n-k)ln(l-x).

n!

(n-k) !k! n(n-l) (n-2)···· (n-k+2) (n-k+l). (n-k) (n-k-l) (n-k-2)··· ·3·2·1

[(n-k) (n-k-1) (n-k-2)··· ·3.2.1]· [k(k-1) (k-2)··. ·3·2·1] n(n-1) (n-2)···· (n-k+2) (n-k+1)

k(k-1) (k-2)··· ·3.2·1 Von k bis 1 sind k Glieder vorhanden. Von n bis n-k+l sind ebenfalls n­(n-k+1)+1 = k Glieder vorhanden. Daraus ergibt sich: n n n-1 n-2 n-k+2 n-k+l

(k) (k) (k-l) (k-2)···· (-2-) (-1-)'

- 410 -

Zur Berechnung der Werte yon europäischen und amerikanischen

Deyisencalls

DVSCAL PROGRAMS IN FORTRAN 77 C

01900 02000

C====67=PARAMETERS VIA COMMON BLOCK================================02100 C 02200

COMMON 1 PARM1 1 S, 0, F, SIGMA, TAU, X 02300 COMMON 1 PARM2 ION, DF, U, V, W 02400 COMMON 1 ZTINT 1 NZTINT 02500

C 02600 C====67=DEFINITIONS================================================02700 C 02800

NZTINT 200 02900 C 03000

ON REAL (NZTINT) 03100 0 9.0/100.0 03200 F 9.0/100.0 03300 SIGMA 10.0/100.0 03400 TAU 270.0/360.0 03500 S 0.5 03600 X 0.5 03700

C 03800 C====67=DERlVED PARAMETERS=========================================03900 C

DF U V W

C

(D-F)*TAU/DN (D-SIGMA**2/2.0) * (TAU/DN) + SIGMA*SQRT(TAU/DN) (D-SIGMA**2/2.0) * (TAU/DN) - SIGMA*SQRT(TAU/DN) ( EXP(DF) - EXP(V) )/( EXP(U) - EXP(V) )

04000 04100 04200 04300 04400 04500

C====67=MAIN=======================================================04600 C 04700

C

CALL FILL( U,V ) CALL AMCALL( AMC CALL EUCALL( EUC

04800 04900 05000 05100

C====67=OUTPUT=====================================================05200 C 05300

WRITE(*,200) AMC, EUC 05400 C 05500 C====67=FORMAT=====================================================05600 C 05700

200 FORMAT ( lH , 5X, 'AMC = " 1F8.4, 5X, 'EUC = " 1F8.4 ) 05800 C 05900 C====67=STOP/END===================================================06000 C 06100

STOP END

06200 06300

C 06400 C====67============================================================06500 C 06600 C BERECHNUNG DES WERTS EINES EUROPAEISCHEN DEVISENCALL 06700 C 06800 C====67============================================================06900

C

- 411 -

SUBROUTINE EUCALL( RESULT ) COMMON / PARMI / S, D, F, SIGMA, TAU, X COMMON / PARM2 / DN, DF, U, V, W

WSTR W*EXP(-DF+U) JA INT( ( LOG(X/S) - DN*V )/(U-V) ) + 1 RESULT S*EXP(-F*TAU)*CUMBIN(JA,INT(DN),WSTR)

& - X*EXP(-D*TAU)*CUMBIN(JA,INT(DN),W) RETURN END

07000 07100 07200 07300 07400 07500 07600 07700 07800 07900

C 08000 C====67============================================================08100 C 08200

10

FUNCTION CUMBIN( J, N, WK CUMBIN = 0.0 DO 10 INDEX = J, N, 1

CUMBIN = CUMBIN + PASCAL(INDEX,N)*WTERM(INDEX,N,WK) CONTINUE

RETURN

08300 08400 08500 08600 08700 08800

END 08900 C 09000 C====67============================================================09100 C

FUNCTION WTERM( J, N, WK ) WTERM = EXP( REAL(J)*LOG(WK) + REAL(N-J)*LOG(I.0-WK) )

RETURN END

09200 09300 09400 09500 09600

C 09700 C====67============================================================09800 C

10

FUNCTION PASCAL ( J, N IF( J .EQ. N ) THEN

PASCAL = 1.0 ELSE

IF( J .EQ. 0 ) THEN PASCAL 1.0

ELSE PASCAL 1.0 DO 10 INDEX = 0, J-l, 1

PASCAL = PASCAL*REAL(N-INDEX)/REAL(J-INDEX) CONTINUE

ENDIF ENDIF

RETURN END

09900 10000 10100 10200 10300 10400 10500 10600 10700 10800 10900 11000 11100 11200 11300 11400

C 11500 C====67============================================================11600 C 11700 C BERECHNUNG DES WERTS EINES AMERIKANISCHEN DEVISENCALL 11800 C 11900 C====67============================================================12000 C 12100

SUBROUTINE AMCALL( RESULT 12200 PARAMETER ( MAXI = 500 ) 12300 COMMON / ZTINT / NZTINT 12400 COMMON / PARMI / S, D, F, SIGMA, TAU, X 12500 COMMON / PARM2 / DN, DF, U, V, W 12600

20 10

- 412 -

COMMON / MATRI / G( l:MAXI, l:MAXI ) DSTR = D*TAU/REAL(NZTINT) NZTPKT = NZTINT+1 DO 10 JNDEX = NZTPKT, 2, -1

DO 20 INDEX = 0, JNDEX-2, 1 NX1 NY1 NX2 NY2

1 + INDEX JNDEX - INDEX NX1 + 1 NYl - 1

UP G( l+INDEX, JNDEX-INDEX ) DOWN G( 1+ (INDEX+1), JNDEX-(INDEX+1) ALIVE (W*UP + (l-W)*DOWN )*EXP(-DSTR) DEAD G( NX1, NY2 ) IF( ALIVE .GE. DEAD ) THEN

G( NX1, NY2) ALIVE ELSE

G( NX1, NY2 ENDIF

DEAD

CONTINUE CONTINUE RESULT = G(l,l)

RETURN END

12700 12800 12900 13000 13100 13200 13300 13400 13500 13600 13700 13800 13900 14000 14100 14200 14300 14400 14500 14600 14700 14800 14900

C 15000 C====67============================================================15100 C 15200 C BESETZUNG DER MATRIX G MIT DEN AUSUEBUNGSWERTEN 15300 C 15400

C====67============================================================15500 C

SUBROUTINE FILL( U, V ) PARAMETER ( MAXI = 500 ) COMMON / ZTINT / NZTINT COMMON / PARM1 / S, D, F, SIGMA, TAU, X COMMON / MATRI / G( l:MAXI, l:MAXI

NZTPKT = NZTINT+1 DO 10 INDEX = I, NZTPKT, 1

DO 20 JNDEX = I, NZTPKT-(INDEX-1), DI REAL ( INDEX-1 ) DJ = REAL ( JNDEX-1 ) AUBWT = S*EXP( DJ*U + DI*V ) - X IF( AUBWT .LE. 0.0 ) THEN

G( INDEX, JNDEX) 0.0 ELSE

G( INDEX, JNDEX ENDIF

AUBWT

20 CONTINUE 10 CONTINUE

RETURN END

15600 15700 15800 15900 16000 16100 16200 16300

1 16400 16500 16600 16700 16800 16900 17000 17100 17200 17300 17400 17500 17600

- 413 -

Zur Berechnung der Werte yon europäischen und amerikanischen

Deyisenputs

DVSPUT PROGRAMS IN FORTRAN 77 C

01900 02000

C====67=PARAMETERS VIA COMMON BLOCK================================02100 C 02200

C

COMMON / PARM1 / S, D, F, SIGMA, TAU, X COMMON / PARM2 / DN, DF, U, V, W COMMON / ZTINT / NZTINT

02300 02400 02500 02600

C====67=DEFINITIONS================================================02700 C 02800

C

C

NZTINT

DN D F SIGMA TAU S X

200 02900 03000

REAL (NZTINT) 03100 9.0/100.0 03200 9.0/100.0 03300

10.0/100.0 03400 270.0/360.0 03500

0.5 03600 0.5 03700

03800 C====67=DERIVED PARAMETERS=========================================03900 C 04000

C

DF U V W

(D-F) *TAU/DN (D-SIGMA**2/2.0}*(TAU/DN) + SIGMA*SQRT(TAU/DN} (D-SIGMA**2/2.0)* (TAU/DN) - SIGMA*SQRT(TAU/DN} ( EXP(U) - EXP(DF} )/( EXP(U} - EXP(V} }

04100 04200 04300 04400 04500

C====67=MAIN PROGRAM===============================================04600 C 04700

C

CALL FILL( U,V } CALL AMPUT( AMP } CALL EUPUT( EUP }

04800 04900 05000 05100

C====67=OUTPUT=====================================================05200 C 05300

WRITE(*,200} AMP, EUP 05400 C 05500 C====67=FORMAT=====================================================05600 C 05700

200 FORMAT ( 1H , 5X, 'AMP = " 1F8.4, 5X, 'EUP = " 1F8.4 } 05800 C 05900 C====67=STOP/END===================================================06000 C 06100

STOP 06200 END 06300

C 06400 C====67============================================================06500 C C BERECHNUNG DES WERTS EINES EUROPAEISCHEN DEVISENPUT

06600 06700

C 06800 C====67============================================================06900

C

- 414 -

SUBROUTINE EUPUT( RESULT ) COMMON / PARMI / S, D, F, SIGMA, TAU, X COMMON / PARM2 / DN, DF, U, V, W

WSTR IA RESULT

&

RETURN END

W*EXP(-DF+V) INT( ( -LOG(X/S) + DN*U )/(U-V) ) + 1 -S*EXP(-F*TAU)*CUMBIN(IA,INT(DN),WSTR) + X*EXP(-D*TAU)*CUMBIN(IA,INT(DN),W)

07000 07100 07200 07300 07400 07500 07600 07700 07800 07900

C 08000 C====67============================================================08100 C 08200

10

FUNCTION CUMBIN( I, N, WK CUMBIN = 0.0 DO 10 INDEX = I, N, 1

CUMBIN = CUMBIN + PASCAL (INOEX,N) *WTERM(INOEX,N,WK) CONTINUE

RETURN END

08300 08400 08500 08600 08700 08800 08900

C 09000 C====67============================================================09100 C

FUNCTION WTERM( I, N, WK ) WTERM = EXP( REAL(I)*LOG(WK) + REAL(N-I)*LOG(I.0-WK) )

RETURN END

09200 09300 09400 09500 09600

C 09700 C====67============================================================09800 C

10

FUNCTION PASCAL ( I, N IF( I .EQ. N ) THEN

PASCAL = 1.0 ELSE

IF( I .EQ. 0 PASCAL

ELSE 1.0

PASCAL 1.0

THEN

DO 10 INDEX = 0, I-I, 1 PASCAL = PASCAL*REAL(N-INDEX)/REAL(I-INOEX)

CONTINUE ENDIF

ENDIF

09900 10000 10100 10200 10300 10400 10500 10600 10700 10800 10900 11000 11100 11200

RETURN 113 0 0 END 11400

C 11500 C====67============================================================11600 C 11700 C BERECHNUNG DES WERTS EINES AMERIKANISCHEN DEVISENPUT 11800 C 11900 C====67============================================================12000 C

SUBROUTINE AMPUT( RESULT PARAMETER ( MAXI = 500 ) COMMON / ZTINT / NZTINT COMMON COMMON

PARMI / S, D, F, SIGMA, TAU, X PARM2 / ON, DF, U, V, W

12100 12200 12300 12400 12500 12600

20 10

- 415 -

COMMON / MATRI / G( 1:MAXI, l:MAXI ) DSTR = D*TAU/REAL(NZTINT) NZTPKT = NZTINT+1 DO 10 JNDEX = NZTPKT, 2, -1

DO 20 INDEX = 0, JNDEX-2, 1 NX1 NY1 NX2 NY2

1 + INDEX JNDEX - INDEX NX1 + 1 NYl - 1

UP G( l+INDEX, JNDEX-INDEX ) DOWN G( 1+ (INDEX+1), JNDEX-(INDEX+1) ALIVE (W*DOWN + (1-W)*UP )*EXP(-DSTR) DEAD G( NX1, NY2 ) IF( ALIVE .GE. DEAD ) THEN

G( NX1, NY2) ALIVE ELSE

G( NX1, NY2 ENDIF

DEAD

CONTINUE CONTINUE RESULT = G(1,l)

RETURN END

12700 12800 12900 13000 13100 13200 13300 13400 13500 13600 13700 13800 13900 14000 14100 14200 14300 14400 14500 14600 14700 14800 14900

C 15000 C====67============================================================15100 C 15200 C BESETZUNG DER MATRIX G MIT DEN AUSUEBUNGSWERTEN 15300 C 15400 c====67============================================================15500 C

20 10

SUBROUTINE FILL( U, V ) PARAMETER ( MAXI = 500 ) COMMON / ZTINT / NZTINT COMMON / PARM1 / S, D, F, SIGMA, TAU, X COMMON / MATRI / G( l:MAXI, l:MAXI

NZTPKT = NZTINT+1 DO 10 INDEX = I, NZTPKT, 1

DO 20 JNDEX = 1, NZTPKT-(INDEX-1), 1 DI REAL ( INDEX-1 ) DJ = REAL( JNDEX-1 ) AUBWT = -S*EXP( DJ*U + DI*V ) + X IF( AUBWT .LE. 0.0 ) THEN

G( INDEX, JNDEX) 0.0 ELSE

G( INDEX, JNDEX AUBWT ENDIF

CONTINUE CONTINUE

RETURN END

15600 15700 15800 15900 16000 16100 16200 16300 16400 16500 16600 16700 16800 16900 17000 17100 17200 17300 17400 17500 17600

- 416 -

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