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302 5 Elektrizitätslehre

Vorgangs "verformt" wird. Daher ist dem Einnuß dieses Glieds - wie auch demanderer RC-Kopplungsglieder- bei der Untersuchung schneller Vorgänge besondereAufmerksamkeit zu widmen.

5.6.2 Elektrische Schwingungen

5.6.2.0 Grundlagen Die im rechten Teil der Fig.5.76 (Masche bdefc) skizzierteHintereinanderSChaltung eines Kondensators Cl einer Spule L und eines Wirkwiderstands R bezeichnet man als elektrischen Schwingkreis. Wenn der Schalter S inFig.5.76 die Kontakte a und c verbindet, wird der Kondensator C über den

Q b f-'CU,

~sd

U, u.-Liu, =C L .. Fig. 5.76--UK, Netzwerk zum Studium elektrischer

R Schwingungene 1, 2, 3 Anschlüsse für den Kathodenstrahl-R, -UR"Rf

'3Oszillographen. Der Widerstand RL der

2 Spule L soll in R mit enthalten sein

strombegrenzenden Widerstand Re auf Uc = U. =: Uo aufgeladen (vgl. Fig. 5.72und GI. (5.I72a)). Wird der Schalter S zur Zeit 1 = 0 umgelegt, so daß die Kontakte bund c verbunden sind, dann wird der Kondensator C über die Spute L und denWiderstand R durch den Strom 1= - C Ue entladen. Dabei - zunächst sei R = 0angenommen - wird elektrische Feldenergie (E~I = C UN2) in magnetische Feldenergie (E,.,. = L /'/2) umgewandelt. Daher kann nach Entladung des Kondensators,wenn also Uc = 0 geworden ist- der Strom habe zu diesem Zeitpunkt den Wert / = /0- der Strom 1weiterfließen und den Kondensator auf umgekehrte Polarität, also aufVc = - Vo, aufladen. wobei die magnetische Feldenergie L 1~/2 wieder in elektrischeFeldenergie C UY2 umgewandelt wird, so daß nach t = To/2 ein Vorgang mitumgekehrter Stromrichtung einsetzt. Man erhält auf diese Weise eine Wechselspannung Udl) der Amplitude Uo und einen Wechselstrom 1(1) der Amplitude 10 oderanders bezeichnet - eine elektrische Schwingung der Periode To• bei der ständig elektrische und magnetische Feldenergie ineinander umgewandelt werden; die Summeder Momentanwerte von E~l und Elmll also die Gesamtenergie Eges = 41 + Email

bleibt dabei konstant. Ist der Widerstand R von Null verschieden, so wird inihm bei der Stromstärke 1die Leistung P = R 12 in Wärme umgesetzt. Da diese abernur aus der Gesamtenergie Ep des Schwingkreises gedeckt werden kann, muß EfP mitder Zeit abnehmen, d.h. dE.../dl=-RI' sein. Die Schwingung ist demnachgedämpft; die Amplituden gehen mit der Zeit gegen Null.

Für den zeitlichen Verlauf von Ve findet man mit Hilfe des zweiten KirchhofTschenGesetzes (vgl. Abschn. 5.0.2.2) für die Schleife c, f, e, d, b, c in Fig. 5.76 die Gleichung

UC-UR-UL=O oder Uc-Rf-LI=O (5.I77a,b)


Vorgangs "verformt" wird. Daher ist dem Einfluß dieses Glieds - wie auch dem anderer RC-Kopplungsglieder - bei der Untersuchung schneller Vorgänge besondere Aufmerksamkeit zu widmen.

5.6.2 Elektrische Schwingungen

5.6.2.0 Grundlagen Die im rechten Teil der Fig. 5.76 (Masche bderc) skizzierte Hintereinanderschaltung eines Kondensators C. einer Spule L und eines Wirkwider~ stands R bezeichnet man als elektrischen Schwingkreis. Wenn der Schalter S in fig.5.76 die Kontakte a und c verbindet, wird der Kondensator C über den

Fig. 5.76 Netzwerk zum Studium elektrischer Schwingungen I, 2, 3 Anschlüsse für deo Kathodenstrahl· Oszillographen. Der Widerstand RL der Spule L soU in R mit enthalten sein

strombegrenzenden Widerstand Re aur Ue = UK = : U. aurgeladen (vgl. Fig. 5.72 und GI. (5.J 72a)). Wird der Schalter S zur Zeit I = 0 umgelegt. so daß die Kontakte b und c verbunden sind, dann wird der Kondensator C über die Spule L und den Widerstand R durch den Strom 1= - C Oe entladen. Dabei - zunächst sei R = 0 angenommen - wird elektrische Feldenergie (E" = C UN2) in magnetische Feldenergie (E".,. = L 1'/2) umgewandelt . Daher kann nach Entladung des Kondensators, wenn also Uc = 0 geworden iSl- der Strom habe zu diesem Zeitpunkt den Wert J = / 0 - der Strom I weiterfließen und den Kondensator aufumgekehrtc Polarität, also auf Uc = - Vo• aufladen, wobei die magnetische Feldenergie L 1M2 wieder in elektrische Feldenergie C U't,/2 umgewandelt wird, so daß nach 1= T. /2 ein Vorgang mit umgekehrter Stromrichtung einsetzt. Man erhält aur diese Weise eine Wechselspannung Udl) der Amplitude U. und einen Wechselstrom 1(1) der Amplitude I. oder anders bezeichnet - eine elektrische Schwingung der Periode T., bei der ständig elektrische und magnetische Feldenergie ineinander umgewandelt werden ; die Summe der Momentanwerte von Ecl u.nd Erfüll also die Gesamtenergie Etp = Eel + Em. •. bleibt dabei konstant. 1st der Widerstand R von Null verschieden, so wird in ihm bei der Stromstärke I die Leistung P= R I ' in Wänne umgesetzt. Da diese aber nur aus der Gesamtcncrgie Etel des Schwingkreises gedeckt werden kann, muß EFS mit der Zeit abnehmen, d. h. dE.,./dl = - R I' sein. Die Schwingung ist demnach gedämprt; die Amplituden gehen mit der Zeit gegen Null .

Für den zeitlichen Verlauf von Ue findet man mit Hilfe des zweiten Kirchhoffschen Gesetzes (vgl. Abschn. 5.0.2.2) mr die Schleire c, r, e, d, b, c in Fig. 5.76 die Gleichung

Ue - UR - UL=O oder Uc- RI -L I =O (5. 1773, b)

5.6 Aperiodische und periodische Vorgänge 303

und unter Benutzung der Verknüpfung 1= - C Oe (vgl. GI. (5.168a) und (5.169a)- beachte aber die entgegengesetzte Zählung (Richtung der BezugspfeiJe) von I inFig. 5.72a und 5.76) - die Differentialgleichun8

Ue+RCUe+LCOe=O nder Üe +2JUe+%Ue =0 (5.178a, b)

mit J = R/2L und % = I/C L. Nach GI. (7.5) ist dies die Differentialgleichung einergedämpften SChwingung, mit der bei Kontaktschluß b-c zur Zeit 1=0 und flir w2

= % - J2 > 0 geltenden Lösung (7.15b), die sich mit Hilfe des Additionstheorems fürtrigonometrische Funktionen in der Form

Ud!) = Wo UK e- 61 (~COSWI+ ~sinWI)W Wo Wo

= Üoe-" sin(wt + '1') (5.179)

mit tanq> = w{J und Üo = (wo{w) U. schreiben läßt.

Dementsprechend ist der zeitliche Verlauf der Stromstärke

f(t)=-CUe=CU. %e-"sinwt=loe-"sinwt (5.180)w

nUt 10 = C u.<al,Iw).

Das Amplitudenverhältnis Do/io = L/C ist unabhängig von R, die Phasenverschiebung cp zwischen Ud/) und 1(/) dagegen hängt von R ab und verschwindet imGrenzfall w = O. Im Grenzfall ist Wo = 0, also R= 2JL/C =: RIJCn1., und entsprechend GI. (7.20)

Ue{t) = U. (1 + Jt)e-" und fit) = .jfU. Jte-". (5.181 a, b)

Der Strom Jwächst also nach GI. (5.181 b) zunächst linear mit der Zeit an, erreicht beit ~ l{J = I/wo das Maximum I~ = JCfL U./e und geht dann exponentiell gegenNull. Der Vorgang ist aperiodisch. Mißt man den Strom fdurch den Spannungsabfall

U an einem Widerstand Ru = L{C = ~2, dann bleibt stets Uc > U, und fürgroße I gehen heide Spannungen in gleicher Weise gegen Null. (Dies kann bei derRealisierung des Grenzfalls ausgenutzt werden.)Für (02 < 0 ist der Vorgang ebenfalls aperiodisch. Alle drei Fälle findet man in Fig. 7.1dargestellt.

5.6.2.1 Freie elektrische Schwingungen

5.6.2.1.0 Methode Verwendet man als Schalter S in Fig. 5.76 einen perindischenSchalter (vgl. Fig. 5.75), dann lassen sich die elektrischen Schwingungen mit einemElektronenstrahl-Oszillographen, der an den Punkten 1, 2 und 3 angeschlossen wird,beobachten (vgl. Abschn. 5.1.6). Klingt während des Kontaktschlusses b-<: dieSchwingung nicht vollständig ab, dann ist darauf zu achten, daß der mit derStromunterbrechung verbundene Induktionsspannungsstoß der Spule L nicht die

5.6 Aperiodische und period.isc::he Vorgänge 303

und unter Benutzung der Verknüpfung 1 = - C Oe (vgl. GI. (5.168a) und (5.169a) - beachte aber die en.gegengesetzte Zählung (Rich.ung der Bezugspfeile) von 1 in Fig.5.72a und 5.76) - die Differentialgleichung

Ue+RCVe+LCÜe=O oder Oe+2~Ve+.r,Ue=0 (5.178a,b)

mit ~ = RI2L und .r, = I/C L. Nach GI. (7.5) ist dies die Differentialgleichung einer gedämpften Schwingung, mit der bei Kontak.schluß lH: zur Zeit 1 = 0 und rur w' =.r, - ~, > 0 geltenden Lösung (7.15 b), die sich mit Hilfe des Additionstheorems für trigonometrische Funktionen in der Form

U () Wo _&(w ~ . ) er =- UKe - cos(Ot+ - smwt w Wo Wo

= Üoe- 6t sin(wt+fP)

mit tanljl = w/~ und Üo = (wolw) UK schreiben läßI. Dementsprechend ist der zeitliche Verlauf der Stromstärke

, I(r)= - C Uc = C Ur:. WO e -6t sinmt= 10 e-· sinwr

w mit 10 = C UK (%lw).

(5.179)

(5.180)

Das Amplitudenverhältnis Ü" 10 = j LIC ist unabhängig von R. die Phasenverschiebung IjI zwischen Ud') und 1(1) dagegen häng. von R ab und verschwindet im

Grenzfall w=O. Im Grenzfall ist wo=~' also R=2 j LIC=: R,.... und entsprechend GI. (7.20)

Udl) = U.( I + bl)e-" und 1(1) = Jf UK ~ , e-". (5.181 a, b)

Der Strom I wächst also nach Gi. (5.181 b) zunächst linear mit der Zeit an, erreicht bei 1 = I /b = I /wo das Maximum I""" = jG/L U. /e und geht dann exponentiell gegen Null . Der Vorgang ist aperiodisch. Miß. man den Strom Idureh den SpannungsabfaU

U an einem Widerstand Ru = j LIC = R"..J2, dann bleibt stets Ue > U, und rur groBe, gehen beide Spannungen in gleicher Weise gegen Null . (Dies kann bei der Realisierung des Grenzfalls ausgenutzt werden.) Für w' < 0 ist der Vorgang ebenfalls aperiodisch. Alle drei Fälle findet man in Fig. 7.1 dargestellI.

5.6,2.1 Freie elektrische Schwingungen

5,6,2.1.0 Methode Verwendet man als Schal.er S in Fig. 5.76 einen periodischen Schalter (vgJ. Fig. 5.75), dann lassen sich die elektrischen Schwingungen mit einem Elektronenstrah l-Oszillographen, der an den Punk.en 1, 2 und 3 angeschlossen wird, beobachten (vgl. Absehn. 5.1.6). Klingt während des Kon.aktschlusses lH: die Schwingung nicht vollständig ab, dann ist darauf zu achten, daß der mit der Stromunterbrechung verbundene Induktionsspannungsstoß der Spule L nicht die


zulässige Schaltspannung des Schalters S überschreitet. Man vermeidet dies durchdie Schaltung nach Fig. 5.77a, die zudem den Voneil hat, daß man mit ihr größereSchwingungsamplituden als mit der Schaltung nach Fig. 5.76 erreichen kann.Verbindet nämlich der Schalter S in Fig. 5.77a die Kontakte a und c, dann liegtzwischen den Punkten d 1 und fl bzw. dz und f2 die Spannung UK . Es liegen also dieVerhältnisse der Fig.5.72a und b gleichzeitig vor. Die Kondensatorspannung Ue

QC d, d,J;s Fig. 5.778

UKt K,Re L Schaltung zur Beobachtung elektrischer Schwin-

3 gungen insbesondere bei großer Induktivität LK, 1 I, 2, 3 Anschlüsse ruf deo Kathodenstrahl-, C R Oszillographen. Als Schalter S wird hier nur eiD

1 Ausschalter benötigtf, f,

nähert sich exponentiell dem Wert Uct:O = UK gemäß der Zeitkonstante TC = CRc(vgl. GI. (5.171 a)), der Strom 1nähen sich exponentiell dem Wen I~ = UK/RL gemäßder Zeitkonstanten 'L = L/RL (vgl. GI. (5.171 b)). Beim Öffnen des Schalters seien dieWerte Ue = U." Uc~ und 1= I. < I~ erreicht, die damit die Anfangswerte für dieeinsetzende Schwingung sind. Da während der Aunadung (Kontaktsehluß a-c) demSchwingkreis neben der elektrischen Energie Ed = C U;/2 auch die magnetischeEnergie E.... = L 1;/2 zugemhrt wurde, ist die aus der Gesamtenergie E... = C U;/2+ L 1;/2 = C U~u./2 errechenbare Spannungsamplitude Umu größer als Ua' Den

Fig. 5.77bVerlauf der KondeDsatorspannung Uc(ausgezogen) und desSpulenslroms I gestrichelt} für die Schaltung von Fig. 5.77a

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Verlauf UO<I) und 1(1) mrein spezielles Beispiel gibt Fig. 5. 77b. Liegt der WiderstandRe in Fig. 5.77a zwischen f, und K, und damit wie in Fig. 5.76 außerhalb desSchwingkreises, dann wird der Aufladungsprozeß etwas komplizierter; obigeArgumentation ändert sich aber nur unwesentlich.

5.6.2.1.1 Anmerkung Technisch sehr einfach lassen sich Schwingungen periodischmit Hilfe des Sägezahngeneratorsdes Elektronenstrahl-Oszillographen anregen. Man


zulässige Schaltspannung des Schalters S überschreitet. Man vermeidet dies durch die Schaltung nach Fig. 5.77a, die zudem den Vorteil hat, daß man mit ihr größere Schwingungsamplituden als mit der Schaltung nach Fig. 5.76 erreichen kann. Verbindet nämlich der Schalter S in Fig. 5.77a die Kontakte a und c, dann liegt zwischen den Punkten d I und f l bzw. d2 und f l die Spannung UR' Es liegen also die Verhältnisse der Fig.5.72a und b gleichzeitig vor. Die Kondensatorspannung Ue

• c d, d, J:!s Fig. 5.77a

u,+ ~ :' Re 1 Schaltung zur Beobachtung elektrischer Schwin·

3 gungen insbesondere bei großer Induktivität L , I, 2, 3 Anschlüsse für den Kathodeostrah1· , C R Oszillographen. Als Schalter S wird hier nur ein

2 Ausschaltet benötigt

" t,

nähert sich exponentiell dem Wert UCco = UK gemäß der Zeitkonstante TC = CRc (vgl. 0 1. (5.171 all, der Strom I nähert sich exponentiell dem Wert I ", = U.JRLgemäll der Zeitkonstanten TL = L/RL (vgl. 01.(5.171 b». Beim Öffnen des Schalters seien die Werte Ue= U." Ue", und / = I." I", erreicht, die damit die Anfangswerte für die einsetzende Schwingung sind. Da während der Aufladung (Kontaktscbluß a-<:) dem Schwingkreis neben der elektrischen Energie Ed = C U;/2 auch die magnetische Energie ~,= L 1;12 zugeführt wurde, ist die aus der Gesamlenergie Ep:s = C U!/2 + L 1;/2 = C U;"'/2 errechenbare SpannuDgsamplitude Umu größer als U •. Den

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Fig. 5.77b Verlaur der Konden· satorspannung Uc (ausgezogen) und des SpuJenstroms I ge.strichelt) rur die Scha)· tUDg VOD Fig. 5.77a

Verlauf Uc(I) und 1(1) Für ein spezielles Beispiel gibt Fig. 5.77b. Liegt der Widerstand Re in Fig. 5.77a zwischen f, und K, und damit wie in Fig. 5.76 außerhalb des Schwingkreises, dann wird der Außadungsprozeß elwas komplizierter; obige Argumentation ä ndert sich aber nur unwesentlich.

5.6.2.1.1 Anmerkung Technisch sehr einfacb lassen sich Schwingungen periodisch mit Hilre des Sägezahngeneratorsdes Elektronenstrahl-Oszillographen anregen. Man

5.6 Aperiodische und periodische Vorgänge 305

schließt dazu den Ausgang des Generators (vgl. Fig. 5.27) über einen Kondensator C'an den Punkt d, in Fig.5.77a an. Die Schwingungsanregung erfnlgt durch denSteilabfall der Sägezahnspannung (vgl. Fig. 5.27). Doch ist bier zu beachten, daß beiden Schwingungen auch C' umgeladen wird und damit Schwingungsdauer undDämpfung beeinflußt werden. Wie überhaupt in jedem Fall zu überprüfen ist, daßEingangskapazität CE und Eingangswiderstand RE des Elektronenstrahl-Oszillographen (vgl. Fig. 5.27) die Messung nicht vermischen. Z. B. bei Benutzung derAnschlüsse 1 und 2 in Fig. 5.76 muß gelten, daß LIR «RE C ist. Man überlege sichdazu, wie sich beim Anschluß des Elektronenstrahl-Oszillographen GI. (5.1 77a) und(5.177b) ändern, weil nicht mehr durch alle Schaltelemente des Schwingkreises dergleiche Strom 1 fließt.

5.6.2.1.2 Gang des Versuchs und Auswertung I) Man baue die Schaltung desSchwingkreises auf und beachte dabei, daß durch richtige Wahl der Schaltelementeund der Art der Schaltung die Grenzdaten des Schaltrelais nicht überschritten werden.- 2) Man bestimme bei möglichst kleiner Dämpfung unter Benutzung verschiedenerSpulen und Kondensatoren und deren Kombinationen die Schwingungsdauer T, diesich nach GI. (7.19a) nur unwesentlich von Ta = 21t/wo = 21t jCL unterscheidet,und vergleiche gemessene T-Werte mit berechneten Ta-Werten. - 3) Man bestimmebei optimal gewähltem Wo für verschiedene R-Werte das logarithmische Dämpfungsdekrement. A =;; T und das Amplitudenverhältnis Da/la und vergleiche mitberechneten Werten JLfC. - 4) Man realisiere den Grenzfall w = 0, bestimme den

Grenzwiderstand R =~ = 2JLfC und diskutiere den Verlauf von Ud/) und 1(/)für den Grenzfall. Man gewinne aus der Diskussion Daten für die verwendetenSchaltelernente. - 5) Man nehme den zeitlichen Verlauf Uc(t) und 1(1) für einpassend gewähltes (02 < 0 auf und diskutiere den Verlauf.

(5.182a, b)i = 1,2.

5.6.2.2 Erzwungene elektrische Scbwingungen

5.6.2.2.0 Metbode Schwingungsmhige Gebilde führen bei periodischer Anregungmit der Frequenz CtJa erzwungene Schwingungen der gleichen Frequenz w. aus (vgl.Abschn. 7.3). Im (Schwing-)Kreis SK 1 in Fig. 5.78 fließt infolge der vom Generator Gerzeugten Wechselspannung Va = ~cosro.l ein Wechselstrom der Frequenz w•. AufGrund der Gegeninduktivität M der Spulen S. und 52 mit den Induktivitäten LI undL, wird im Schwingkreis SK2 die Spannung UL , = er;::,= - M I, (vgl. Abschn.5.4.2) induziert. Da die Gegeninduktivität M eine wechselSeitige Beziehung zwischenSI und 52 ist - man kann daher M = k LI L2 setzen wobei O:S k ~ 1 ist -. wirdumgekehrt durch den Strom 12 in SI die Spannung U~l = - M 12 induziert, so daß inSK 1 insgesamt die Spannung Ua,1 = ~COSWa( - M12 wirkt. Aus dem zweitenKirchhoffschen Gesetz (vgl. Abschn. 5.0.2.2) folgen für die beiden Kreise (Maschendes gekoppelten Netzwerks) SK I, SK 2 die Gleichungen (mit i = I, 2)

ULi + UR.1 + Ue,1 = U.. f

oder L; i.. + Rj 1; + Ue.t = U..1;

5.6 Aperiodiscbe und periodische Vorgänge 305

schließt dazu den Ausgang des Generators (vgl. Fig. 5.27) über einen Kondensator C' an den Punkt d, in Fig.5.77a an. Die Schwingungsanregung erfolgt durcb den Steilabfall der Sägezabnspannung (vgl. Fig. 5.27). Doch ist hier zu bencblen, daß bei den Schwingungen auch C' umgeladen wird und damit Schwingungsdauer und Dämpfung beeinnußt werden. Wie überhaupt in jedem Fall zu überprüfen ist. daß Eingangskapazilät CE und Eingangswiderstand RE des Elektronenstranl-Oszillogntphen (vgl. Fig. 5.27) die Messung nicht ve rfälschen. Z. B. bei Benutzung der Anschlüsse I und 2 in Fig. 5.76 muß gelten, daß LI R <a! R. C ist. Man überlege sich dazu, wie sich beim Anschluß des Elektronenstrahl-OszilIog .... phen GI. (5.177a) und (5.1 77b) ändern, weil nicht mehr durcb alle ScbaltcJemente des Schwingkreises der gleiche Strom I fließt.

5.6.2.1.2 Gang des Versuchs und Auswertung I) Man baue die Schaltung des Schwingkreises auf und beachte dabei , daß durch ricbtige Wahl der Scbaltelemente und der An der Schaltung die Grenzdaten des Schaltrelais nicht überschritten werden. - 2) Man bestimme bei möglichst kleiner Dämpfung unter Benutzung verschiedener Spulen und Kondensatoren und deren Kombinationen die Schwingungsdauer T, die sich nach GI. (7.19a) nur unwesentlich von To = 2n/wo = 2rc JCL unterscheidet, und vergleiche gemessene T-Werte mit berechneten To-Werten. - 3) Man bestimme bei optimal gewähltem W o für verschiedene R-Werte das logarithmische Dämpfungsdekrement. 11 = ~ T und das Amplitudenverbältnis 0.11. und vergleicbe mit

berechneten Werten J LIC. - 4) Man realisiere den Grenzfall w = 0, bestimme den

Grenzwiderstand R = ~ = 2 J L/C und diskutiere den Verlaufvon Ud' ) und I (t) für den Grenzfall . Man gewinne aus der Diskussion Daten für die verwendeten Scbaltelemente. - 5) Man nehme den zeitlichen Verlauf Uc(') und 1(') für ein passend gewähltes {J)2 < 0 auf und diskutiere den Verlauf.

5.6.2.2 Erzwungene elektrische Schwingungen

5.6.2.2.0 Methode Schwingungsfähige Gebilde rubren bei periodischer Anregung mit der Frequenz (0. erzwungene Schwingungen der gleichen Frequem w. aus (vgl. Abschn. 7.3). 1m (Schwing-)Kreis SK 1 in Fig. 5.78 fließt in folge der vom Generator G erzeugten Wechselspannung Va = ~cosru. l ein Wechselstrom der Frequenz w •. Auf Grund der Gegeninduktivität M der Spulen SI und S2 mit den Induktivitäten LI und L, wird im Schwingkreis SK2 die Spannung U" = V":' , = - M I , (vgl . Abschn. 5.4.2) induzien. Da die Gegeninduktivilät M eine wechselSeitige Beziehung zwischen S. und Sl ist - man kann daher M = k JL:L;. selZen wobei O.:S k < 1 ist -. wird umgekehrt durch den Strom '2 in S, die Spannung V~1 = - M il induziert, so daß in SK 1 insgesamt die Spannung Ua.1 = ~coswa t - M i1 wirkt. Aus ~em zweiten Kirchhoffschen Gesetz (vgl. Abschn. 5.0.2.2) folgen für die beiden KreISe (Maschen des gekoppelten Netzwerks) SK I, SK2 die Gleicbungen (mit i = I, 2)

oder

UL i + U R" + Ue,l = U .. ,

4 i i + Ri I/ + UC.l = U,/ : i == 1,2, (5. 182 a, b)

7 Elementare Behandlung von Schwingungsgleichungen .)

7.1 Die ungedämpfte, freie, harmonische Schwingung

Ungedämpfte. freie, harmonische Schwingungen werden durch die Differentialgleichung (vgl. GI. (2.99), (2.109»

(7.1)

beschrieben. Die Konstante a ist bestimmt durch Eigenschaften des schwingendenSystems. GI. (7.1) besitzt zwei linearunabhängige, partikuläre Lösungen:

XI (I) = sina I und x,(I) = cosa I. (7.2)

Die aJlgemei oe Lösung x{t} von GI. (7.1) ist eine Linearkombina lion von x I (I)und x,(r):

X(I) = Asina 1+ Bcosa I. (7.3)

A und B sind zunächst willk.ürliche Konstanten. Zu ihrer Bestimmung in einemkonkreten FaJl ist die Angabe von zwei Anfangsbedingungen notwendig.Die Scbwingungsdauer Tläßt sich aus der aHgemeinen Lösung (GI. (7.3» errechnen.Es gilt nämlich für alle reellen a mit ganzzahligen n

( 2n) ')'( 2n)X(I)=X I+n-;;- und X(I =X I+n-;;- , (7.4)

d. h. in Abständen von T = 2x/a fmdet man die gleichen Schwingungszustand wiedervor. Die Zeit Theißt daher Schwiogungsdauer. Ihr Kehrwert!= I/Theißt Frequenz,ClJ = 2nfWinkeifrequenz oder Kreisfrequenz. In unserem Falle wird (.l) = a. Manschreibt daher GI. (7.1) meist von vornherein in der Form

x+%x=O. (7.la)

Der Index 0 an co soll andeuten, daß es sich um die Kreisfrequenz der ungedämpftenSchwingung handelt; sie wird Kennfrequenz genannt. Die ungedämpfte Schwingungist eine periodische Bewegung, weil jeder Schwingungszustand periodisch wieder~

kehrt.

7.2 Die gedämpfte Schwingung

Ungedärnpfte freie Schwingungen sind in der Natur nur näherungsweiserealisiert. Im allgemeinen sind freie Schwingungen gedämpft wegen derständigen Energieabgabe an die Umgebung. Zur Beschreibung ~ämpfter

.) Bearbeitet von Richard Sturm.

7 Elementare Behandlung von Schwingungsgleichungen .)

7. J Die ungedimpfte, freie, harmooische Schwingung

Ungedämpfle, freie, harmonische Schwingungen werden durch die DifTerentialgJei. chung (vgl. 01. (2 .99). (2.109»

(7.1)

beschrieben. Die Konstante Q ist bestimmt durch Eigenschaften des schwingenden Systems. 01. (7 .1) besit2t zwei Iinearunabhängige. partikuläre Lösungen:

(7.2)

Die allgemei oe Lösung X(/) von GI. (7.1) ist eine Linearkom bina tion von x I (I) und xz(t) :

X(I) = Asina 1+ Bcosa t . (7.3)

A und B sind zunächst willkürliche Konstanten. Zu ihrer Bestimmung in einem konkreten Fall ist die Angabe von zwei AnfangsbecUngungen notwendig. Die Schwingungsdauer TIAßt sich aus der allgemeinen Lösung (01. (7.3» errechnen. Es gilt nämlich für alle reellen a mit ganzzahligen n

( 2K) ..( 2K) x(t) = x 1+"-;;- und x(t) = x 1+"-;;- . (7.4)

d . h. in Abständen von T = 21(/0 fmdet man die gleichen Schwingungszustand wieder vor. Die Zeit Theißt daher Scbwingungsdauer. Ihr Kehrwert/= I / Theißt Frequenz, CI) "'" 21tfWinkelfrequenz oder Kreisfrequenz. In unserem Falle wird CI) = Q. Man schreibt daher 01.(7.1) meist von vornherein in der Fonn

(7. Ja)

Der Index 0 an CI) soll andeuten, daß es sich um die Kreisrrequenz der ungedämpften Schwingung handelt; sie wird Kennfrequenz genannt. Die ungcdämpfte Schwingung ist eine periodiSChe Bewegung, weil jeder Schwingungszwtand periodisch wiederkehrt.

7.2 Die gedämpfte Schwingung

Ungedimpfre freie Schwingungen sind in der Natur nur niherungsweise realisiert. Im allgemeinen sind freie Schwingungen gedAmpft wegen der ständigen Energieabgabe an die Umgebung. Zur Beschreibung g~ämpfter

.) Bearbeitet von Richard Sturm.

342 7 Elementare Behandlung von SchwingungsgieichungeD

Schwingungen muß GI. <?1) um ein Dämpfungsglied erweitert werden. d~s in ~ielen

Fällen die Fonn const . x hat; setzt man const = 2<5, so geht GI. (7.1 a) uber Jß

x+2<5x+w;x=O. (7.5)

Eine spezielle Lösung von GI. (7.5) findet man durch den Ansatz

x(1) = Ce" (7.6)

Durch Einsetzen von Gi. (7.6) in GI. (7.5) erhält man für). die Bestimmungsgleichung

).'+ 2H+CU;=0 (7.7)

mit den Wurzeln ).J und )'1:

).,., = -0 ± .jb' - CU; = -,5± iJcif, - 0'. (7.8)

GI. (7.5) ist eine lineare Differen tialgleich ung zweiter Ordn ung. Sie hat daherzwei linear unabbängige Lösungen. deren lineare Überlagerung die allgemeineLösung von GI. (7.5) darstellt. Setzt man A. und )'1 in GI. (7.6) ein. dann erhält mangerade zwei linear unabhängige Lösungen, aus denen sich die angemeine Lösung

x(t) = CJ

eA" + Cl e~11 (7.9)

aufbauen läßt. Die Diskussion von GI. (7.9) soH an einem konkreten Falldurchgefdbrt werden. der alle wesentlichen Merkmale enthält. jedoch formaleinfacher ist als die allgemeine Lösung. Wir suchen dazu die Lösung mit denAnfangsbediogungen

x(O) = X o und X(O) = (dX) = o. (7.10) (7.11)dl '-0

Das würde z. B. bei einer mechanischen Schwingung bedeuten. daß wir den Ausschlagx o erzeugen und den Zeitnullpunkt so wählen, daß er mit dem Zeitpunkt desLoslassens übereinstimmt.Aus GI. (7.9) gewinnt man durch Differentiation Dach der Zeit die Gleichung

dx = X(I) = C, 1, e2" + C,I, e2,'. (7.12)dl

Setzt man (7.10) in (7.9) und (7.11) in (7.12) ein, dann erhält man zwei Bestim·mungsgleichungen für CI und Cl; wegen eO= 1 wird

I,Cl = X oA _ A .

1 ,

X O =C t +C2 ;

Daraus folgen

I,C, = -xo , -1 und

A, ,

Somit lautet unsere spezielle Lösung

(7.13) (7.14)

(7.15)

342 7 Elementare BehandJung von Schwingungsgleichungen

Schwingungen muß GI. (? .1) um ein Dämpfungsglied erweitert werden, d~s in ~ielen Fällen die Form const . x hat; setzt man const = 2b, so geht GI. (7.1 a) uber Jß

x+ 2<1 x + w;x=O. (7.5)

Eine spezielle Lösung von GI. (7 .S) findet man durch den Ansatz

x(1) = Ce" (7.6)

Durch Einsetzen von GI. (7.6) in GI. (7.5) erhält man für). die Bestimmungsgleichung

).'+2<lJ.+W,=0 (7.7)

mit den Wurzeln )' J und )'2:

)'1.2 = -0 ± .jo' -Wo = - H iJcif, - 0'. (7.8)

GI. (7.5) ist eine 11 neare Differen ti al gleich ung zweiter Ordn ung . Sie hat daher zwei linear unabhängige Lösungen, deren lineare Überlagerung die allgemeine Lösung von GI. (7.5) darstellt. Setzt man )., und )., in GI. (7.6) ein. dann erhält man gerade zwei linear unabhängige Lösungen, aus denen sich die allgemeine Lösung

x(r) = C, e'" + C, e'·' (7.9)

aufbauen läßt. Die Diskussion von GI. (7.9) soll an einem konkreten Fall durchgefUhrt werden, der alle wesentlichen Merkma1e enthält, jedoch fonna1 einfacher ist als die allgemeine Lösung. Wir suchen dazu die Lösung mit den Anfangsbedingungen

x(O) = xo und X(O)=(dX) =0. dl ' - 0

(7.10) (7 .11)

Das würde z. B. bei einer mechanischen Schwingung bedeuten, daß wir den Ausschlag x o erzeugen und den Zeitnullpunkt so wählen, daß er mit dem Zeitpunkt des Loslassens übereinstimmt. Aus GI. (7.9) gewinnt man durch Differentiation nach der Zeit die Gleichung

dx = X(/) = Cl A., eol,t + C,A.l e ol• f•

dr (7.12)

Setzt man (7.10) in (7.9) und (7.11) in (7.12) ein, dann erhält man zwei Bestimmungsgleichungen für CI und Cl; wegen eO = 1 wird

X o = Cl + C 2 ;

Daraus folgen

.I, C, = - x0.t -.t , , und

.I, C, = x o , -.I . A, ,

Somit lautet unsere spezielle Lösung

x x,p(r)=.t '::.1 (.1,0"'-.1,0"') . , ,

(7.13) (7.14)

(7.15)

(7.15a)

7.2 Die gedimprte Schwingung 343

Bei der weiteren Diskussion wollen wir voraussetzen, daß die •.Abklingkonstante- aund die ..Kennfreque~ Wo reelle positive Größen sind. Wir teilen sodann dieGesamtheit aller Fälle in zwei Bereiche:

I. %-6' <0 und 2. %-6'>0.

Im ersten Bereich wird J6' - %reell, und es gilt 6 > J6' - %. Daraus rnlgt, daß"und 12 reell und negativ sind. Man erhält dann in GI. (7.15) zwei mit zunehmendem tmonoton abfallende Anteile cA,l und eA1'. so daß xsp(t) insgesamt eine monotonabfallende Funktion von ( darstellt. Dieser Kriechfall (Fig. 7.1, Kurve a) istrealisiert bei starker Dämpfung (z.B. Schwerependel in zäher Flüssigkeit). DasSchwingungssystem nähert sich asymptotisch seiner Ruhelage. Je größer dieDämpfung, desto langsamer bewegt sich das System auf die Gleichgewichtslage zu.

U1~=--_

-11Fig.1.1 Weg-Zeit-Kurve eines gedämpften Pendels

a) Kriechrall, ~ T, - 98,3. 1, ~ -0.2/T,b) Scbwingfall, c5To = 0,5:::: A; die gestrichelte Kurve ist die ..Amplitudenkurvc"

:0 -e:cp (-c5t) =exp ( -c5To ;0)T und To unterscheiden sich nach GI. (7.t9a) nur um JOkoKurve b stellt eine nicht periodische Schwingung darc) Aperiodischer Grenzfall, c5To _ 211: - 6,28, A = «).

Alle Kurven beginnen bei xlxo = I mit horizontaler Tangente. Die "gedämpfteSinuskurve" schneidet die Amplitudenkurve ebenfalls mit horizontaler Tangente

Im zweiten Bereich (~ - ()2 > 0) wird 11.2 komplex. Man formt zweckmißigerweiseGI. (7.15) zur Diskussion etwas um, indem man GI. (7.8) in GI. (7.15)einseut. Mit der

Abkürzung w = J%- 6' wird dann:

(~W'+ e-'w, 6 ~W, _ .-'.')

X.(l) = Xoe-II + - . .2 w 2,

Beachtet man die Identitäten

,tOll + e-iotlCOSCLH = ----::--

2und

dann erhält man

Xtp(/)=xoe-61(coswl+ ~Sln(l)t). (7.l5b)

7.2 Die gedämpfte Scbwi",un& 343

Bei der weiteren Diskussion wollen wir voraussetzen. daß die • .Abklingkonstante- 6 und die "Kennfrequenz"" Wo reelle positive Größen sind. Wir teilen sodann die Gesamtheit aller Fälle in zwei Bereiche:

I. % _ 6' < 0 und 2. wl-6'>0 .

Im ersten Bereich wird } 6' - wl reell, und es gilt 6 > J6' - wl. Daraus folgt, daß 1, und Al reell und negativ sind. Man erhält dann in GI. (7 .15) zwei mit zunehmendem I monoton abfallende Anteile d,' und eA1'. so daß Xsp(t) insgesamt eine monoton abfallende Funktion von ( darstellt. Dieser Kriechfall (Fig, 7. t , Kurve a) ist realisiert bei starker Dämpfung (z.B. Sc::bwerependel in zäher Flüssigk.eit). Das Schwingungssystem nähert sich asymptotiscb seiner Ruhelage. Je größer die Dämpfung. desto langsamer bewegt sich das System auf die Gleichgewichlslage zu,

-u Fig.7.1 Weg-Zeit- Kurve eines gedampften Pendels

a) KriccbfaU, 6 T, - 98,3. 1, - -O,2/T, h) Scbwingfall. 6To = 0,5 ~ A ; die gestrichelte Kurve ist die .. Arnplitudenkurve"

~ - e:cp C-(St) = e:cp ( - eSTo :0) T und To unterscheiden sich nach GI. (7.19a) nur um 30ko Kurve b stellt eine nicht periodische Schwingung dar c) Aperiodischer Grenzfall. tSTo _ 2K - 6.28. A "'" 00 .

Alle Kurven beginnen bei x/xo = 1 mit horizontaler Tangente. Die .. gedämpfte Sinuskurve" schneidet die Ampliludenkurve ebenralls mit horizontaler Tangente

1m zweiten Bereich (~ - {)2 > 0) wird 11.2 komplex. Man formt zweckmäßigerweise GI. (7.15) zur Diskussionelwas um, indem man GI. (7.8) in GI. (7.15) einseUl. Mitder

Abkümlng w = J% - 6' wird dann:

(ci.' + e- i . , 6 ... , - e- i . ')

X'f)(l) = Xo e- I , + - . . 2 w 2.

Beachtet man die Identitäten

fl ou + e- iotf COSCl) I = c:.....---:

2;'--

dann erhält man

und

X.p(t)=xoe- 61( COswl+ !SinWl) .

(7.15a)

(7.15b)

346 7 Elementare Behandlung von Schwingungsgleichungen

Wir beschränken uns also auf Kräne, die periodisch mit der Erregerfrequenz w,und mit gleichbleibender Amplitude auf das System einwirken. Diese führen auf dieDifferentialgleichung der erzwungenen linearen Schwingung (vgl. dazu auch

Abschn.2.7.4.1.0)

i+ 2c5x+ %X = 0ocosw. I. (7.21 b)

Die allgemeine Lösung von GI. (7.21 b) besteht aus der allgemeinen Lösung deshomogenen AnteilS von GI. (7.21 b) (dieser iSl identisch mit GI. (7.5», zu dem einespezielle Lösung von GI. (7.21 b) zu addieren ist. Die allgemeine Lösung von GI.(7.5) ist bereits bekanDt (GI. (7.9». Wir haben also noch eine spezielle Lösung von GI.(7.21 b) zu suchen. Dazu sind einige physikalische Vorüberlegungen nötig: Wenn aufdas System die periodische Kraft F(I) = Focosw. t wirkt, wird man vennuten, daßdas System nach einer Einschwingzeit mit der Frequenz w = w. schwingt und daß dieerzwungene SChwingung eine Phasenverschie bung cp gegenüber der äußeren Krafthat. Diese Überlegungen legen den Ansatz

X(I) = X. cos(w.l- cp) (7.22)

nahe. Setzt man GI. (7.22) in 01. (7.21 b) ein, dann erhält man die Gleichung

(7.23)

die man durch Anwendung der Additionstheoreme für trigonometrische Funktionenin der Fonn

(~-w:> (cosw.l coscp + sinw.r sincp)-

_ 2 b w. (sinw.l cosfP - COSW.' sinfP> = °0 cosw.lx.

schreiben und schließlich in die Beziehung

(7.24)

[(or, - w;) sin", - 2b w. cos'" 1tanw. t = - (or, - W;)cos", - 2b w. sin", + a. (7.25)x.

umwandeln kann. Auf der linken Seite von GI. (7.25) steht eine zeitabhängigeFunktion, auf der rechten hingegen eine Konstante. Dies ist ein Widerspruch,wenn nicht

(or, - w:) sin", - 26 w. cosq> = 0

gilt, woraus2bCO.

lan", = , . .2Wo - ur,:

folgt. Die rechte Seite von GI. (7.25) ergibt dann

x, = (or, - W;) cos'" + 26 w. sin", .

(7.26)

(7.27)

(7.28)


Wir beschränken uns also auf.Kräfie, die periodisch mit der Erregerfrequenz cu. und mit gleichbleibender Amphtude auf das System einwirken. Diese führen auf die Differentialgleichung der erzwungenen linearen Schwingung (vgl. dazu auch

Abschn.2.7.4 .1.0)

(7.21 b)

Die allgemeine Lösung von 01. (7.21 b) besteht aus der allgemeinen Lösung des homogenen An teils von GI. (7.21 b)(dieser ist identisch mit GI. (7.5», zu dem eine spezielle Lösung von GI. (7 .21 b) zu addieren ist. Die aJlgemeine Lösung von GI. (7.5) ist bereits bekannt (GI. (7.9». Wir haben also noch eine spezielle Lösung von GI. (7.21 b) zu suchen. Dazu sind einige physikalische Vorüberlegungen nötig: Wenn auf das System die periodische Kraft F(e) = Fo COSCU.I wirkt, wird man vennuten. daß das System nach einer Einschwingzeit mit der Frequenz 00 = 00. schwingt und daß die erzwungene Schwingung eine Phasenverschiebung cp gegenüber der äußeren Kraft hat. Diese Überlegungen legen den Ansatz

X(/) = X. cos(W.1 - qJ) (7.22)

nahe. Setzt man GI. (7.22) in 01. (7.21 b) ein, dann erhält man die Gleichung

X. (% - co;) cos (00.' - cp) - 2«5w. sin«(.I).1 - cp)] = 00 cosCJJ. t • (7.23)

die man durch Anwendung der Additioostheoreme für trigonometrische Funktionen in der Form

(~-W;) (cosw.1 cosfP + siow.1 sinqJ) -

_ 2 b (J). (sin(O.1 cosrp - cosw., sinfP) = °0 cosw.1 x.

schreiben und schließlich in die Beziehung

(7.24)

(or, - w;)sintp - 20"'. costp J tanw. r = - (or, - W;)costp - 20w. sintp + 0. (7.25) x.

umwandeln kann. Auf der linken Seite von GI. (7.25) steht eine zeitabhängige Funktion, auf der rechten hingegen eine Konstante . Dies ist ein Widerspruch , wenn nicht

(or, - W;) sintp - 20 w. costp = 0

gilt, woraus 2bCO.

tantp = , . .2 Wo - ur.

folgt . Die rechte Seite von GI. (7.25) ergibt dann

x. = (or, - W;) costp + 2.5 w. sintp .

(7.26)

(7.27)

(7.28)

7.3 Die enwungene Schwingung 347

Unter AusnutzUng der Beziehungen

lan",sincp = und costp = ";7""---:-,,,m

(I + tan'",)'" (I + lan'",)'"

erhält man schließlich für die Amplitude der erzwungenen Schwingung

••x. = ~«;-w!'.---oi"."')';-+,-"-(2;:-b"''''---:.)'')'''''''

x. 1

oder -x. - ---r'i'J{ I==;-(;===<::)~T+=T(2"'7"~.==<':J

(7.29)

(7.290)

wenn man X o = aol~ sctzt; X o ist die Amplitude der erzwungenen Schwingung bei (1).

= 0 (statische Auslenkung des Pendels unter der Einwirkung der zeitlich konstantenKraft F.).Damit ist eine spezielle Lösung von GI. (7.21 b) bekannt. Für die praktischeAnwendung im Rahmen dieses Buches genügt eine Diskussion von GI. (7.22), da dieallgemeine LOsung des homogenen Anteils bei nichtverschwindender Dämpfungimmer zeitlich abklingende Vorgänge beschreibt, die wir bei Messungen anerzwungenen Schwingungen dadurch ausschließen waUen, daß wir mit jederBeobachtung walten, bis die Einschwingvorgänge abgeklungen sind. 0<:0 sicheinstellenden stationären Fall beschreibt dann GI. (7.22).

"L·o.osw.

;0

I""'-'.

~

Q"107

tO0

o.s Ul \1

7.3 Oie en;wunaene SchwlDguna 347

Unter AusnutzUng der Beziehungen

. tantp SlO~ = ( , )1 12 und I + tan tp

1 coSM - .".--:...,=

T - (I + lan'tp)'"

erhAlt man schließlich für die Amplitude der erzwungenen Schwingung

~~--~~.~.~~~~ x -7 ,- «% -ol,)' + (26",,)')'"

x, 1 oder - = c;="7==C~=Ö====7

x. J{I-(::)'Y +« :J (7.29)

(7.290)

wenn man X o = aofW: setzt; X o ist die Amplitude der erzwungenen Schwingung bei (1).

= 0 (statische Auslenkung des Pendels unter der Einwirkung der zeitlich konstanten Kraft F.). Damit ist eine spezielle Lösung von GI. (7.21 b) bekannt. Für die praktische Anwendung im Rahmen dieses Buches genügt eine Diskussion von GI. (7.22), da die allgemeine Lösung des homogenen Anteils bei nicbtvcrschwindender Dämpfung immer zeitlich abklingende Vorgänge beschreibt, die wir bei Messungen an erzwungenen Schwingungen dadurch ausschließen wollen, daß wir mit jeder Beobachtung warten, bis die Einschwingvorgänge abgeklullgen sind. Den sicb einstellenden stationären Fall beschreibt dann GI. (7.22).

I .!!. "

iI

.!~D.D5 ~.

\D

!O

"L------~~----~U~----~~~----

..... -"" Fi,. 7.3 Resonanzkurven für verschiedenen Dämpfungsgrad 9 - d/Cßo . Für 3 - 0 1St die Resonanzfrequenz 01 •• ," gleich der Kennfrequenz Wo . Bei endlicher OimpfuDg liq;t das Maximum der Resonanzkurve nicht bei "'. - wo. die zum Muimwn (Gipfel) gehörige Erregc:rfrequcll2. wird Resonanzfrequenz (auch Glpfclfrequenz) "' .. Hf

genannt (vgl. Tab. 7.1). d _ 26 heißt Verlustr.ktor. Q _ l id Gutc(-raktor) dc5 Sc.bwinacrs.


Tab. 7.1 Koordinaten der Maxima (Gipfel) der Resonanzkurven fürverschiedene Dämpfungsgrade 9 ,. ~/wo

60,05 0,125 0,25 0,50 0.707 bis 1,0

w,

G:L 10,01 4,04 2,068 1,155 1,0

(::L 0,997 0,983 0,936 0,707 °

(7.29b)

In Fig. 1.3 ist x./xo nach GI. (7.29a) als Funktion von w./wo aufgetragen. Im Fall6 = 0 erhält man an der Stelle w. = Wo ein unendlich hohes Rcsonanzmaximum, beiendlichem 6 ergibt sich die Maximalamplitude der erzwungenen Schwingung

(;:L =~~FclJWo Wo

nicht an der Stelle w. = wo' sondern, solange (6/wO)2 < 1/2, an der Stelle

(w.) = )1 _2(~)1 (7.29c)Wo mAll Wo

Fig.7.4Phasedererzwungencn Schwingung bei ver·schieden« Dimpfung. Die angC$ChriebenenParameter sind die Werte des Dämpfungsgrades 9 - 6/w,J

2,0

, 2w'_

"'"

2

~l-----:>.I"'::""'_-----1

und, wenn 1/.)2 < b/wo < I, an der Sielle

w. =0.Wo

In Tab. 7.1 sind die Koordinaten der Maxirna der Resonanzkurven für verschiedeneWerte ~/(JJo aufgeschrieben.

0,0016 (1,016

~ r--1;:~~::::==E'======;0,",

348 7 Elementare Behandlung von Scbwingu.npgleicbungen

Tab. 7.1 Koordinaten der Maxima (Giprel) der Resonanzkurven für verschiedene Dämpfungsgrade 9 - 6/ClJo

6 0,05 0,125 0,25 0,50 0,707 bis 1,0

w.

G:L 10,01 4,04 2,068 1,155 1,0

C::L 0,997 0,983 0,936 0,707 0

In Fig. 7.3 ist x.lxo nach GI. (7.29a) als Funktion von .,,1"'0 aufgetragen. Im Fall 6 = 0 erhält man an der Stelle CLI, = Wo ein unendlich hohes Resonaozmaximum, bei endlichem 6 ergibt sich die Maximalamplitude der erzwungenen Schwingung

(;:L =;~ Fcrr Wo Wo

(7.29b)

nicht an der StelJe w, = wo- sondern, solange (lJ/WO)l < 1/2, an der Stelle

(w.) =JI-2(!...)' (7.29c) Wo max (00

und, wenn 1/.)2 < 6/wo < I, an der Stelle

w. =0. "'0

In Tab. 7.1 sind die Koordinaten der Maxima der Resonanzkurven für verschiedene Werte lJ/wo aufgeschrieben.

j '"

~0016 ~01'

~r---1?~~~~~ '," 2

~~~~~'~~--~2--~--3~-J

""'"'"

Fig. 7.4 Phase der erzwungenen Schwingung bei ver· schiedener Dlntprung.. Die anJe$ChriebeDen Parameter sind die Wene des Oimpfungs""des 9 - 6/",.

(7.36)

(7.37)

7.4 Gekoppelte Schwingungen 349

Für die Phase qJ ergibt sich aus GI. (7.27) im Fall 15 = 0 eine Sprungfunktion, beiendlichen 15-Werten ein allmählicher übergang von cp = 0 zu cp = 7[. In jedem Fall istcp = 0 rur ro. = 0, cp = nl2 rur ro. = Wo und tp = 1t rur w. -+ 00; Fig. 7.4 stellt den Verlaufder Phase cp in Abhängigkeit VOn w.lwo für verschiedene Werte d/(J)o dar.

7.4 Gekoppelte Schwingungen

Stellt man zwischen zwei schwingungsfähigen Gebilden eine Verbindung her derart,daß Schwingungsenergie von einem System aufdas andere übertragen werden kann,dann schwingen die heiden Gebilde nicht mehr unabhängig voneinander, sondernder SChwingungszustand des einen bestimmt den Schwingungszustand des anderenund umgekehrt. Der einfache Fall zweier gleicher ungedärnpfter Schwerependel, dieüber eine Feder geknppelt sind (vgl. Abs<:hn. 2.7.5), soll hier behandelt werden. Erführt auf ein lineares Differentialgleichungssystem der Art

Ji,+W;x,=-U'(x, -x,); Ji,+%x,=-ll'(x,-x,). (7.30)(7.31)

Bei der Lösung dieses Systems kann man in diesem einfachen und übersichtlichen Fallso vorgehen:

1. Man subtrahiert GI. (7.31) VOn GI. (7.30) und erhält

d'dt' (x, - x,)+ %(x, - x,) = -2Q'(x, - x,). (7.32)

2. Man addiert GI. (7.30) und GI. (7.31) und erhält

d'dt,(xl+x,)+w~(x,+x,)=O. (7.33)

In (7.32) und (7.33) hat man zwei Differentialgleichungen gewonnen, die jeweils nureine der beiden Hilfsgrößen YI = XI - x2 und Y2 = XI + x2 enthalten und somit in YI

und Y2 entkoppelt sind.

Ums<:hreiben von GI. (7.32) und GI. (7.33) ergibt:

ß,+w;y,=O mitw;=(w~+2U') (7.34)

Y2+roiY2=O mit(O~=(JJ~. (7.35)

Entsprechend der allgemeinen Lösung von GI. (7.1) erhält man als allgemeine Lösungvon GI. (7.34) und (7.35)

Yl = a l cosw l t+ b 1 sinw i t Y2 = Q2cosw2t+ b 2 sinw2t.

Der übergang zu den ursprünglichen Größen Xl und x2 liefert

() y, + y, 1( . b')Xl I = 2 ='2 Q2COSWzl+Q,COSWI1+b2smW21+ I Slß(J)1 I

() y, - y, 1 b' b')X 2 1 = 2 =2"(azCOSCOzl-aICOSWI1+ z SIDW2 1 - ISIDWI1.


Für die Phase <p ergibt sich aus GI. (7.27) im Fall 15 = 0 eine Sprungfunktion, bei endlichen 15-Werten ein allmählicher übergang von cp = 0 zu <p = 1t. In jedem Fall ist <p = 0 rur w. = 0, <p = 1t/2 rur w. = Wo und tp = 1t rur W. -+ 00; Fig. 7.4 stellt den Verlauf der Phase qJ in Abhängigkeit vOn w.lwo für verschiedene Werte d/CJ)o dar.

7.4 Gekoppelte Schwingungen

Stellt man zwischen zwei schwingungsfähigen Gebilden eine Verbindung her derart, daß Schwingungsenergie von einem System auf das andere übertragen werden kann, dann schwingen die heiden Gebilde nicht mehr unabhängig voneinander, sondern der Schwingungszustand des einen bestimmt den Schwingungszustand des anderen und umgekehrt. Der einfache Falt zweier gleicher ungedämpfter Schwerependel, die über eine Feder gekoppelt sind (vgl. Abschn. 2.7.5), soll hier behandelt werden. Er führt auf ein lineares Differeotialgleichungssystem der Art

x,+of,x,=-Cl'(x, -x,); x,+o},x,=-U'(x,-x,) . (7.30)(7.31)

Bei der Lösung dieses Systems kann man in diesem einfachen und übersichtJichen Fall so vorgehen :

I. Man subtrahiert GI. (7.31) VOn GI. (7.30) und erhält

d' dl ' (x, - x,)+ o},(x, - x,) = -21l'(x, - x,).

2. Man addiert GI. (7.30) und GI. (7.31) und erhält

d ' dtl (Xl + X l )+ W~(Xl + X 2)=O.

(7.32)

(7.33)

In (7.32) und (7.33) hat man zwei Differentialgleichungen gewonnen, die jeweils nur eine der heiden HilfsgrÖßen 11 = XI - x2 und 12;;::: XI + Xl enthahen und somit in 11 und y, entkoppelt sind.

Umschreiben von GI. (7.32) und GI. (7.33) ergibt:

(7.34)

jl+W~Yl=O mitw~=OJ~ . (7.35)

Entsprechend der allgemeinen Lösung von GI. (7.1) erhält man als allgemeine Lösung von GI. (7.34) und (7.35)

y. = 01 COSWll + bl sinw , t Yl ;;::: Q2 coswl t + bl sinw1 t .

Der übergang zu den ursprünglichen Größen Xl und Xl liefert

() y, + y, 1 ( b ' + b ' ) XI t = 2 ='2 olCOSWZI+ 0 1 cosw1 1+ 2smwl1 I smw., (7.36)

() y, - y, 1 b . b ' ) Xl t = 2 ='2(alCOSCOzt-oIOOSwlt+ lSlnwlt- ISJDW.' . (7.37)


Die Lösungen (7.36) und (7.37) sollen an drei charakteristischendiskutiert werden. Wir wählen dazu folgende Anfangsbedingungen :

(dX I ) (dx,)- - - -0'dl ,-0 - dl ,-0 - ,

(dx l ) (dx,)x,(O)=-x,(O)=xo; - = - -0'dl ,-0 dl '-0 - .

Sonderfällen

(7.38a, b)

(7.39a, b)

(7.4Oa,b)X,(O)=Xo ; X,(O) =0; (dxd

') =(dxd,) =0.

t '-0 t ,-0

Um die allen drei Fällen gemeinsame Anfang'bedingung (7.38b), (7.39b), (7.40b)anwenden zu können, differenziert man (7.36) und (7.37) nach der Zeit und setzt(7.38b), (7.39b) (7.4Ob) ein; man erbält dann

0= -CL.l zbz - w, b. 0= -wz bz + (1)1 bl .

Dieses System hat nur die Lösungen b, = bz = O.Zur Bestimmung der Konstanten a 1 und Qz müssen die drei Fälle gesondert betrachtetwerden.

Fall I. Gleichsinnige Schwingung. Wendet man (7.38a)auf(7.36) und (7.37) an,so erhält man:

IXI (0) = Xo = 2(a, + al );

und damit

(7.41)

Man erkennt, daß die beiden Pendel mit gleicher Phase, gleicher Amplitude undgleicher Frequenz schwingen. Heide Pendel verhalten sich so, als ob die Kopplungnicht vorhanden wäre.

Fall 2. Gegensinnige Schwingung. Wendet man (7.39a) auf(7.36) und (7.37) an,dann erhält man:

IXI (0) = Xo=2(a, + a,);

und damit

x, (I) =XOco,wl 1 (7.42)

x,(t) = - xocosw, t =xocos(w, 1- n). (7.43)

Wieder schwingen die heiden Pendel mit gleicher Amplitude und gleicher Frequenz,

jedoch mit einer Phasendifferenz Tt. Die Kreisfrequenz co 1 =~ + 2Dz ist starkabhängig VOn der Stärke der Kopplung.

Fall 3. Anwendung von (7.4Oa) auf (7.36) und (7.37) ergibt

I IX,(0)=xo=2(a,+al ); x,(0)=0=2(a, -al)

350 1 Elementare Behandlung von Schwingungsgleiehungen

Die Lösungen (7.36) und (7 .37) sollen an drei charakteristischen diskutiert werden. Wir wählen dazu folgende Anfangsbedingungen :

( <lxI) (<Ix,) - - - -0 ' dt , - 0 - de ,-0 - ,

(<lxI) (dX,) XI(O)~-X,(O)=xo; - = - -0 ' de , . 0 dl '-0 - .

Sonderfällen

(7.38a, b)

(7.39a, b)

(7.4üa,b)

Um die aUen drei Fällen gemeinsame Anfang,bedingung (7.38b), (7.39b), (7.4üb) anwenden zu können, differenziert man (7.36) und (7 .31) nach der Zeit und setzt (7.38b), (7.39b) (7.40b) ein; man erhält dann

0= - Ctl l bl - w1 bt 0= -wl bl + (1)1 bt •

Dieses System hat nur die Lösungen b, = b2 = O.

Zur Bestimmung der Konstanten QI und Q2 müssen die drei FäUe gesondert betrachtet werden.

Fall I. Gleichsinnige Schwingung. Wendet man (7.38a)auf(7.36) und (7.37) an, so erhält man:

I XI (0) = Xo = 2(a, + al );

und damit

XI (I) = xl(l) = Xocoswl I =xoCOSWo' · (7.41)

Man erkennt, daß die beiden Pendel mit gleicher Phase, gleicher Amplitude und gleicher Frequenz schwingen. Seide Pendel verhalten sich so, als ob die Kopplung nicht vorhanden wäre.

Fall 2. Gegen,innige Schwingung . Wendet man (7.39a) auf(7.36) und (7.37) an, dann erhält man:

I XI (0) = Xo =2(a, + al);

und damit

XI(')=XOCO'WI' (7.42)

Xl (I) = - Xo cosw 1 t = Xo cOS(WII - 1t) . (7.43)

Wieder scbwingen die heiden Pendel mit gleicher Amplitude und gleicher Frequenz,

jedoch mit einer Phasendifferenz 1t. Die Kreisfrequenz w 1 = J~ + 201 ist stark abhängig VOn der Stärke der Kopplung.

Fall 3. Anwendung von (7.4üa) auf (7.36) und (7.37) ergibt


und damit1

XI (I) = 2"Xo (COSW1 t + coswl/)

1X1(/) = 2"xo(COSW1I- coswl/).

Für die Summe bzw. Differenz der Cosinus gilt.+ ß .-ß

cosa+ cosß = 2cos-2-cos-

2-

ß 2··+ß .• -ßcosa - cos = - sm-2-sm-

2-,

so daß man aus GI. (7.44), (7.45) schließlich erhält

(J)-W w+wx (t) = x cos.1: I I cos 1 I t

1 0 2 2

. Wl-W 1 . Wl+W 1Xl(/) = -xosm 2 I sm 2 I.

~W ,, ,,

Fig.7.5Schwebung gekoppelter PendelMan beachte den Phasensprungbeim Nulldurchgang der Schwebung

,

(7.44)

(7.45)

(7.46)

(7.47)

(7.48)

(7.49)

II

I

, t

\

Die Funktionen Xl (I) und Xl (I) sind in Fig. 7.5 aufgetragen. Man sieht, daß im Fallew-w w-C.t>

kleiner Kopplung die Faktoren cos l2 1 1 bzw. sin l2 I t als langsam

w +wveränderlich mit der Zeit betrachtet werden können. Hingegen sind cos 1 2 I I und

sin w1 ; w1I schnell veränderliche Funktionen, deren AmplilUde zeitlich mit

w -w W -00cos 1 2 11 bzw. sin 1 2 I I moduliert wird.

Den durch GI. (7.48) und (7.49) beschriebenen Zustand nennt man Schwebung.Awder relativen zeitlichen Lage von Xl (I) und Xl (l) erkennt man, daß die Schwingungs·energie periodisch von einem Pendel auf das andere Pendel übertragen wird. Man


und damit I

XI (I) = '2XO(COSW21 + cosw i I)

I x z(1) =2"XO (COSW 2'- cosool/)·

Für die Summe bzw. Differenz der Cosinus gilt a+p a- ß

cosa + cosß = 2cos-2-cos-

2-

P 2· a+P . a- p

cosa. - cos = - stn--sm--22'

so daß man aus GI. (7.44), (7.45) schließlich erhält

(0 -00 w +co x (t) = x cos 1: I t cos 2 I t

1 0 2 2

Fig.7.5 Schwebung gekoppelter Pendel Man beachte den Phasensprung beim Nulldurchgang der Schwebung

t, PendeIl

(7.44)

(7.45)

(7 .46)

(7.47)

(7.48)

(7.49)

Die Funktionen x I (I) und x 2(l) sind in Fig. 7.5 aufgetragen. Man sieht, daß im Falle w-oo co-co

kleiner Kopplung die Faktoren cos 1: 2 1 , bzw. sin 22

I, als langsam

veränderlich mit der Zeit betrachtet werden können. Hingegen sind cos w2 ~ co, I und

sin 001:; W 11 schnell veränderliche Funktionen, deren Amplitude zeitlich mit

w 2 - co, b . w1: - 00 1 od I· . d cos 2 I zw. sm 2 tm U lerl wir .

Den durch GI. (7.48) und (7.49) beschriebenen Zustand nennt man Schwebung. Aus der relativen zeitlichen Lage von Xl (I) und x2 (I) erkennt man, daß die Scbwingungsenergie periodisch von einem Pendel auf das andere Pendel übertragen wird. Man


beachte, daß in den Nulldurchgängen der Ampliludenfunktion die Schwingung desbetreffenden Pendels einen Phasensprung von 'Jt macht. Im Zeitraum 0 .. . 11 (Fig.1.5) pumpt das Pendel 1 Energie in das Pendel 2 hinein, Pendel 2 absorbiert Energie.1m Zeitraum '

1••• ' 2 pumpt Pendel J Energie aus dem Pendel 2 heraus, Pendel 2 führt

eine erzwungene Emission aus; dazu muß die Phase des Pendels t geradeentgegengesetzt wie bei der Absorption sein.

7.5 Aufgaben

J) Man zeichne die Funktion xsp{t) für den KriechfaJI, wenn.dT= 50.2) Anstelle von e- 61 kann man auch schreiben e-'/'; die Zeit t = l/lJ ist die sogenanntee.Werts-Zeit (Abklingzeit). Wie groß muß l" im Verhältnis zur Schwingungsdauer Tsein, damit KriechfalJ, aperiodischer Grenzfall oder Schwingfall auftreten?3) Um wieviel sind im Beispiel der Fig. 1.2 die Schwingungsdauer T der gedämpftenSchwingung und diejenige To der ungedämpften Schwingung verschieden?4) Man zeichne die Weg-Zeit-Kurve der durch die Funktion

x - vOe-llsinwI'P - (J)

dargestellten Schwingung, insbesondere untersuche man die Lagen der Maxima undder Nulldurchgänge. Wie liegt die ,,Amplitudenkurve" zur Weg-Zeit-Kurve?

352 7 Elementare Behaadlung von Schwingungsgleichungcn

beachte, daß in den NuUdurcbgängen der Amplitudenfunktion die Schwingung des betreffenden Pendels einen Phasenspru ng von Jt macht. 1m Zeitraum O .. . 'I (Fig. 7.5) pumpt das Pendelt Energie in das Pendel 2 hinein, Pendel 2 absorbiert Energie. ImZeitraum'1 .. , ':1 pwnpt Pendel J Energie aus dem Pendel 2 heraus, Pendel 2 führt eine erzwungene Emission aus ; dazu muß die Phase des Pendels I gerade entgegengesetzt wie bei der Absorption sein.

7.5 Aufgaben

I) Man zeichne die Funktion x",(I) für den Kriechfall. wenn.o T= 50. 2) Anstelle von e- 61 kann man auch schreiben e- I/'; die Zeit T = 1/6 ist die sogenannte c-Werts-Zeit (Abklingzeit). Wie groß muß T im Verhältnis zur Schwingungsdauer T sein, damit Kriechfall. aperiodischer Grenzfall oder Schwingfall auftreten '! 3) Um wieviel sind im Beispiel der Fig. 7.2 die Schwingungsdauer T der gedämpften Schwingung und diejenige To der ungedämpfien Schwingung verschieden '! 4) Man zeichne die Weg-Zeit-Kurve der durch die Funktion

x., = vOe - 6lsinwl w

dargestellten Schwingung, insbesondere untersuche man die Lagen der Maxima und der Nulldurchgäoge. Wie liegt die .,Amplitudenkurve" zur Weg-Zeit-Kurve?

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