8.4 Elektronische Struktur von Festkörpern 331

8.5: Die Berechnung der Madelung-Konstante für eine dreidimensionale Kristallstruktu . . t . • alJgemeinen recht chwierig. Für eine eindimensionale unendliche lange Kette VOn Io~~s ~m Abstand d. die abwechselnd die Ladung +e beziehungsweise -e haben, kann die elektrostati:c: Gesamtenergie jedoch leicht berechnet werden. Zeigen Sie, daß dies auf (8.2) mit Q == 21n 2 führt.

Hinweis: s gilt die Reihenentwicklung In(l + x) = x - x 2 /2 + x 3 /3 - x4/4 + .. '.

8.4 Elektro· ehe Struktur von Festkörpern

8.4.1 Metalle, Halbleiter, Isolatoren

Um die elektronischen Eigenschaften von Festkörpern zu verstehen und damit etwa auch die Ursache für die Existenz von leitenden und isolierenden Materialen aufzuklären, hat sich das Bändermodell als äußerst fruchtbar erwiesen. Dan.ach lassen sich die erlaubten Energieniveaus der Elektronen in einzelne quasi kontinuierliche Energiebereiche zusammenfassen, die sicb ge­genseitig überlappen können oder die voneinander durch energetisch nicht erlaubte Bereiche getrennt ein können.

E /' -----, /' -----,

./' -----,

/' -----,

Atom

~--- }f~lQdI~~~ ~ Bandüberlappung

~}--

-}-~

Molekül (2atomig)

Festkörper

~ verbotene Zone

~ verbotene Zone

Bild 8.6 Entstehung von Energiebändem beim Zusammenschluß von Atomen zu einem Festkörper

Wie man sich die Entstehung solcher Energieblinder und Energielücken vorstellen kann, veranschaulicht Bild 8.6. ähern sich zwei Atome und bilden ein Molekül, so kommt es infol­ge ihrer gegen eitigen Wechselwirkung zu einer Aufspaltung jedes atomaren Niveaus in zwei benachbarte Molekülniveaus. Verbinden sich N Atome. so resultieren entsprechend AufspaI­rungen in N benachbarte Niveaus. Da sich zu einem Festkörper eine Zahl ~on AtOI~e~ in. der Größenordnung von 1023 vereinigen, kann man sich die Aufspaltung als eme kontInUIerliche Verteilung von iveau vorstellen. Au jedem atomaren Niveau entsteht ein Energieband, wobei

332 e tkörperphysik

sich verschiedene i veaus durchaus in ein m and v nni h n der Elektronenstruktur deT beteiligten Atome und d r atur r verschiedene Bänder nun eben durch En rgielü k n (m n pri ht u h on erbotenen Zonen) voneinander getrennt sein; weiterhin kann zu Bandüberl ppun n komm n. Die in ge amt für jeden Festkörper charakteristische Lage der Bän er bild tein r i b tru tar.

Allgemein läßt sich feststeHen daß die eoerg ti h tie i n n "' nd r ehr chmal sind, da die atomaren Rumpfniveaus von den ben hbart n t men nur w ni g tört werden und dadurch nur wenig aufspalten. Höher liegende Bänd r unterJieg n d ge en taT: den EinHü sen der chemischen Bindung und sind daher deutlich breiter.

Wie werden die Energiebändernun von den EIe teonen be tzt? Im t m rfolgt die Be etzung der Niveaus unter Beachtung des Pauli-Prinzip . Beginn nd mit d m energeti eh am tiefsten liegenden Zustand werden die einzelnen iveau oa heinander mit I kuonen aufgefüllt und dabei so besetzt. daß sich aUe Elektronen minde teD in einer Quant nzahl unter cheiden. Jeder Zustand kann dabei zwei Elektronen (Spin auf. pin ab) aufnehm n. Di Verhalten ist nun für Elektronen allgemeingültig. Wlf haben am Ende on Ab ehnitt 7.2.4.3 b r i darauf hingewiesen, daß Elektronen und aUe anderen Elementarteilchen mi halbzahtigem pin ermionen sind, die sich auf die energetisch möglichen Zu tände eine y tern nach einer be onderen Statistik verteilen. Diese Fermi-Dirac-Statistik ist durch die folgende erteilung funktion charakterisiert:

(8.3)

Man nennt f (E) die Fermi-Verteilung und E F das Fermi- iveau. it Hil e von f (E) berech­net sich die Wahrscheinlichkeit dafür, ein Elektron mit einer Energie zwi ehen E und E + dE zu finden, gemäß W(E) dE = feE) dEo Dies ist völlig analog zum Fall der aus der Ther­modynamik bekannten Boltzmann-Verteilung (3.14), in die übri gens die ermi-Verteilung für E - EF » kBT übergebt. Man kann unter dieser Vorau etzung nämlich die Eins gegen den Exponentialterm vernachlässigen.

feE)

1 ~---111:::""-----.

1

- T=OK

- T>OK Bild 8.7 Fermi-VeneilungfUrkBT = OeVundkBT= o leV

Bild 8.7 zeigt die Fermi-Verteilung im Grenzfall T = 0 und für eine endliche Temperatur. Wie man sieht. werden im ersten Fall alle Zustände unterhalb von EF be etzt, während alle Zustände oberhalb von EF leer sind. Das Fermi-Niveau EF, welches auch als chemisches Potential bezeichnet wird, ist die Energie, bei der die Zu tände mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 besetzt

8.4 Elektronische Struktur von Festkörpern 333

sind (vgl.. die fol~enden Übung~~). Für endliche Temperaturen weicht die Fermi-VeneiJung um EF auf emer BreIte von der Großenordnung kBT auf. Wie wir am Beispiel des Halbleiters im nächsten Abschnitt sehen werden, erfolgt die Festlegung des Fenni-Niveaus aus der Forderung nach Ladungsneutralität im Festkörper.

Die Bandstruktur und die Besetzung der einzelnen Bänder mit Elektronen entscheidet nun ob ein bestimmter Festkörper ein Metan, ein Halbleiter oder ein Isolator ist. Bild 8.8 zeigt lin die Situation in einem Metall, wie etwa Al oder Cu. Dargestellt sind die heiden obersten noch mit Elektronen besetzten Bänder. Ein Metall ist nun dadurch charakterisiert, daß das ober te die er Bände nur teilweise besetzt ist. Legt man nämlich an einen Festkörper eine elektrische pannung an, so können Elektronen der WIrkung des elektrischen Feldes nur folgen und sich von Zu tand zu Zustand durch ein Energieband bewegen, wenn für den Stromtransport in dem entsprechenden Band noch freie Zustände zur Verfügung stehen. Alle voll besetzten Bänder liefern daher keinen Beitrag zum Strom tran sport. Ist nun das oberste Band nur teilweise besetzt, so ind die dort ,enthaltenden Leitungsbandelektronen leicht beweglich - der entsprechende Festkörper i t ein Metall.

Metall

••••••••••

•••••••••• ••••••••••

Halbleiter

• ••••••••• • •••••••••

Isolator

1 E

g "" 10 1

••••••••• • • • •••••••••••• Bild 8.8 Vergleich der EJektronenstrokturen von Metallen, Halbleitern und Isolatoren

Für Ha1bleiter und Isolatoren hingegen ist im Grenzfall T = 0 die folgend Situation char -teristisch: Das oberste besetzte Band - das VaJenzband - ist voll tändig mit -lektronen gefüllt. Das energetisch nächsthöhere Band - das Leitungsband - ist leer und durch eine Energie ticke Ea (engl. energy gap) vom Va1enzband getrennt. Während in Halbleitern, z. B. in Si, G oder GaAs, diese Lücke allerdings in der Größenordnung von 1 eV ist, be itzen olatoren wie i02, wesentlich größere LOcken. Dieser quantitative Unterschied führt dazu, daß bei endlichen Tem­peraturen in Halbleitern Elektronen wenigstens mit einer geringen Wahr cheinlichkeit thennisch ins Leitungsband angeregt werden! in Isolatoren jst die WahrscheinHchkeit dafür aber prakti ch

Null. Aus der Zahl der Valenzelektronen seiner Atome kann man mit einer gewis eo Wahrschein­

lichkeit die elektronischen Eigenschaften eines Festkörpers vorher agen: Fe tkörper mit nur einem freien Elektron pro Element.a:rzelle sind stets Metalle. wie die AI alimetalle Li, oder

a.. die aUe ein halbbesetztes obefes Band haben. Auch Festkörper mit einer ungeraden nzabl von freien Elektronen, wie Al oder Oa mit 3 Elektronen sind meistens Metalle; infolg von Bandüberlappungen können aber auch sogenannte Halbmetalle entstehen wie ,Bi oder Sb mit 5 Elektronen. Bei einer geraden Anzahl von Elektronen pro lementanelle ind infol e von Bandüberlappungen viele Varianten möglich.

334

Wir wollen unsere bisherigen Erkenntni se über die 1 ktron n truktur v n sammenfassen.:

tkörpern zu-

In (idealen) Festkörpern bilden die erlaubten E"ergienivea14s EnergiebtJndem. die entsprechend der Fermi-Verteilung mit Elektronen be etzt sind. Bei Metallen ist das energetisch höchste Band, welches noch Elektronen enthlilt, "ur teilweise be­setzt; bei Halbleitern und Isolatoren ist dieses Balld voll Uindig besetzt uild durch eine Energielücke vom ersten leeren Band getrennt. Die besetzten Bilnder werden als Valenzbänder bezeichnet und die teilw,eise besetztet' so~ ie die unbesetzten als Leitungsbänder.

Das Bändermodell: Will man ein tieferes Verständni der Eie tronen truktur von Festkörpern erreichen, so ist eine Präzisierung des Begriff ,,Bandstruktur unb dingt e orderlich. Es ist z. B. von außerordentlichem Interesse zu wissen, wie die erlaubten Zustände innerhalb eines Bandes verteilt sind.

Für die quantenmechanische Berechnung von solchen Bandstru ruren hat sich als sehr erfolg­reich erwiesen, das tatsächlich vorliegende Vielektronenproblem durch das Modell ,,Elektron in einem gitterperiodischen Potential" zu ersetzen. F. Bloch (1928) folgend löst man dazu die stationäre Schrödinger-G]eichung (vgl. auch (7.38) und (7.42»

n? - 2m Jl.1j;(T) + V(rj1j;(T) = E1j;(T) , (8.4)

wobei das Potential gemäß

V(r) = Ver + R) die Periodizität des Kristallgitters besitzt.

I -4

E/eV -6 -

-8

-10

-12

r LI XK l: rA l Ausbreitungsvektor

Bild 8.9 Berechnete Bandstruktur von i (M. T. Yin, M. L. Cohen, Phys. Rev. B26, 5668. 1982)

Es 2jeigt sich nun, daß die Existenz von Energiebändern in Festkörpern eine unmittelbare Folge der Gitterperiodizität der atomar-geometrischen Struktur ist. Die Lösungen dieser Gleichung

~ ~

7/Jn(k) und die entsprechenden Eigenwerte En(k) lassen sich nämlich durch die Quantenzahlen

kund n charakterisieren. Mit k wird der Wellenvektor bezeichnet. Er ist uns schon von der de Broglieschen Materiewelle und der quantenmechanischen Beschreibung freier Elektronen bekannt. Sein Betrag bestimmt gemäß (7.35) die Energie eines freien Elektrons zu

8.4 Elektronische Struktur von Festkörpern 335

(8.5)

Die diskrete Zahl n heißt Bandindex und numeriert die einzelnen Bänder. Innerhalb eine Bandes hängt die Energie dann noch. vo~ Wellenvektor k ab. Aufgrund der Gitterperiodizität genügt e dabei den Wellen vektor nur 10 emem beschränkten Bereich (Brillouin-Zone) variieren zu las en. Grafisch veran chaulicht ~ sich solche Bandstrukturen, indem man En(k) für au gewählte

Symmetrierichtungen über k darstellt (Bild 8.9). An der Bandstruktur von i er ennt man, daß sich in dieser Substanz die Größe der Energielücke als Differenz zwischen den Energiewerten am Minimum des unteren Leitungsband in }er Nähe des Symmetriepunktes X und am aximum des oberen Valenzbandesin dem mitr (k = Ö) bezeichnetenSymmetriepunktergibt. Man prichl von einem indirekten Halbleiter. Für GaAs liegt auch das Minimum des Leitungsbande bei , d. h. direkt über dem Valenzbandmaximum. In diesem Fall haben wir einen direkten Halbleiter vor uns.

An solchen Symmetriepunkten besitzt die Funktion En (k) lokale Extremwerte und ann daher durch eine Reihenentwicklung beschrieben werden. In der Umgebung von r läßt ich oft in guter Näherung eine Darstellung der Form

(8.6)

verwenden. Ein Vergleich mit (8.5) zeigt daher: Die Elektronen verhalten ich in d r Umgebung der Bandkanten wie freie Elektronen, jedoch mit einer gegenüber mo veränderten fli ti en Masse.

Übung: 8.6: Zeigen Sie, daß sich die Fermi-Verteilung für T = 0 wie folgt angeben läßt: J(E) = 1, wenn E > EF; feE) = 0,5, wenn E = EF, und feE) = 0. wenn E < E

8.4.2 EJektronenstruktur von Halbleitern

Unter den Festkörpern haben die Halbleiter in den letzten Jahrzehnten eine überragend edeu­tuog erlangt. Zu ihnen gehören die Elementhalbleiter C, Si, Ge und Sn der 4. Spalte d Perioden­systems, aber auch Verbindungshalbleiter, wie GaA GaP oder auch ZnSe. En pr h nd der Stellung der beteiligten Komponenten einer solchen Verbindung im Perioden y lern, pricht man in den ersten beiden Fällen von 3-5-Verbindungen und im letzten ' all von einer 2-6-Verbindung. Neben diesen binären Verbindungen untersucht die modeme Halbleiterphysik auch ternäre und sogar quaternäre Verbindungen, wie AlGaAs oder GaInA P. Die außergewöhnlich n rfolg der Halbleitertechnologie beruhen dabei auf den be onderen elektronischen Eigen chaften von Halbleitern und insbesondere auf der Möglichkeit, diese gezielt zu beeinflussen. Ir wollen die Eigenschaften nun eingehender diskutieren.

Betrachten wir zuerst einen reinen Halbleiter, so ist - wie wir oben ge ehen haben - bei T = 0 K sein Valenzband vollbesetzt und sein Leitungsband leer. Es bedarf vergleich wei e hober Temperaturen, um eine merkliche EigeoJeitung eines solchen Halbleiter hervorzurufen. Bei Zimmertemperatur liegen die Werte für die elelctri che Leitfarugkeit etwa im Bereich 10- 2

-

109 n-1 cm-I . Die Eigenleitung wird dadurch hervorgerufen daß Elektronen thenni ch au dem Valenzband ins Leitungsband angeregt werden. Die e Elektronen können i h nun frej durch das Leitungsband bewegen. Die angeregten Elektronen chaffen gleichzeitig fr ie hitz im Valenzband, so daß nun auch die Valenzelektronen der Wirkung eines eIe tri eh n Felde

336

folgen können. Bei ihrer Bewegung füllen die lektr nen Cr i n in B wegun srichtung und verscrueben dabei die Lücken in die Gegenrichtung. • al b die Lücken po itiv geladen wären. Das Verhalten der Gesamtheit der Elektron n ine f t gefüllten hlenzbande kann man sich daher ersetzt denken durch das Verhalten von weni eh po iti en 1i ileh n die man in der HaJbleiterphysik Defektelektronen oder urz LOCher nennt. 3 . Ir t n n ~ t:

In Halbleitern erfolgt der Ladungstransport im Leitun sband durch . lekJronen und. im Valenzband durch Defektelektronen (Löcher).

Entscheidend für die praktische Anwendung von Halbleitern i t nun die Ta ache, daß man ihre elektronischen Eigenschaften in weiten Grenzen gezielt eränderi rann. Die gelingt dadurch, daß sich in die Halbleiterstruktur kontrolHert Fremdatom einbring n I n. Man nennt olche Fremdatorne auch Störstellen und den Prozeß dontrollierten Einb u von Fremdatomen Dotierung.

E

j j j lE:L

• 0 • 0 • 0 • Ev • • • • • • • • • •

• ® . · W· .• ® . • • • • • •

• @) . o(@ •. • ® . • I· • • •• • • ® •• ® •• @ . • • •

••••••• • • • • • • • • • • . ® •• ® •• ® . • • • • • •

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-e- -e- ..... -tE ••••• 0 • t A

• •••••• • • •

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Bild 8.10 Zur Entstehung von Elektronen und Löchern in reinen und dotierten Halbleitern und ihre Auswirkung auf die Energiebandstruktur

Nehmen wir den Elementbalbleiter Silicium, de en ko a1ente Bindung durch die Elektronen­paare zwischen einem Si-Atom und seinen vier nächsten achbarn charakteri iert ist. Im linken Teil von Bild 8.10 ist die Erzeugung von Elektronen und Defektelektronen für reines Silicium veranschaulkht Man erkennt, daß· der Übergang von lektronen vom VaJenzband ins leitungs­band gerade dem Prozeß des Autbrechens von chemischen Bindungen entspricht. Elektronen und Defektelektronen treten dadurch im idealen Halbleiter te paarwei e auf.

Bringt man nun an die Stelle eines Siliciumatom ejn Atom au der 5. Spalte des Peri­odensystems, wie etwa ein Phosphoratom, so werden vier einer fünf Valenzelektronen für die chemische B.indung verbraucht, während das überzäh1ige Elektron nur noch schwach an das Phosphoratom gebunden ist und sehr leicht freigesetzt werden kann. ies liegt daran, daß die Coulomb-Anziehung zwischen Phosphorkem und die em Elektron durch die Anwe enheit der anderen Elektronen im . estkörper stark reduziert wird. Aus der Elektro tatik wissen wir, daß

J Im Sinne dieser Interpretation wird klar, daß Löcher ,,Dur" ein zweckmäßiges Hilf: mittel ind, um die Eigenschaften fast mit Elektronen gefüllter Valenzbändel' darzusreUen.

8.4 Elektronische Struktur von Festkörpern 37

sich in einem Medium ~~e C~ulomb-Kr~ um den Faktor Cr verringert. Die Bindung energie des betrachteten Atoms läßt sIch andererseIts gemäß (7.30) abschätzen wenn man dort c durch c~cr ersetzt. In Silicium hat man e~e Dielektrizitätskonstante von Er ~ 12 und dami~ ergibt sIcb unter Beachtung von Z = 1 (die Ladung von 4 Protonen wird durcb die 4 Jektronen der Bindung nach außen kompensiert!)

Im Bändermodell rnüs en sich die Energienivau eines oIehen Störstellenelektron dah r d'cht unterhalb der Leitungsbandes befinden (Bild 8.10, Mitte), Um das Elektron in Leitung band anzuheben ist nur die im Vergleich zur Energie der verbotenen Zone kleine loni ierung en rgie Ev nötig. Sie steht bei Zimmertemperatur und darübe~.fast immer als thermi che Energie zur Verfügung. Atome der 5. Spahe srellen also im Silicium UberschußeIektronen zur Verfügung und werden Donatoren genannt (lat. donare - geben). Dadurch erhöbt ich di Zahl der EI ktronen. sie ist dann größer als die Zahl der Löcher und das Material wird n-Ieitend.

Analog läBt sich der Einbau eines Atoms aus der 3. Spalte de Perioden y tern ver t en (Bild 8.10, rechts). Ersetzt z. B. ein Boratom ein SiIiciumatom. dann fehlt ein lektr n in der chemischen Bindung. Atome der 3. Spalte stellen damit dem Siliciumatom Defekt lektron n zu Verfügung. Sie befinden sich in Niveaus dicht oberhalb des Valenzbande ,n hmen damit licht von dort Elektronen auf und werden Akzeptoren genannt (lal accipere - aufnehmen). In inem in dieser Weise dotierten Material überwiegt der Ladungstran port durch Löcher, e wird pel i nd.

Wrr wollen die Besetzungsstatistik der Bänder in den oeben di kutieTte Fällen unte uchen: In einem reinen Halbleiter erwartet man das Fenni-Niveau irgend wo zwi ch n aIenz- und Leitungsband. Elektronen im Leitungsband haben damit Energien die so eil om Fermi- j u entfernt sind, daß man wegen IE - EFI 2> kBT die Fermi-Verteilung durch di B Itzmann­Verteilung ersetzen kann. Durch Entwicldung in eine Taylor-Reihe erhält man

[ (E - EF)]-l (E - EF ) f(E) == 1 + exp kBT ~ exp - kBT .

Die Ladungsträgerkonzentration n für Elektronen im Leitung band (E ~ Ed muß dann pr tional zu F(EL ) ein und läßt sicb damit schreiben aJ

r-

( .7)

N L ist dabei eine materialspezifische Größe, die die effektive Dichte der Zu tände an der Unt {­kante des Leitungsbande beschreibt

Die Statistik der Defektelektronen wird durch die Verteilungsfunktion (1 - f( )) b timmt, denn überall, wo im Valenzband (oder in einem AkzeplOmiveau) ein Elektron fehlt, da i tein Loch. Da für ihre Energien im Valenzband (EF - E) 2> kBT i t, kann man chreib n

[ ( E-EF)]-l (E-E ) 1- f(E) = 1 +exp kBT ~ exp kaT .

Die Wahrscheinlichkeit dafür, ein Loch im Abstand EF - E unterhalb on Ep zu finden i l

gleich der Wahr cheinlichkeit dafür, ein Elektron im Ab tand E -: E ~ oberha~b von E F zu fi nden . Für die Ladungsträgerkon~entration p der Defektelektronen ergibt Ich darrul

338 e. tkörperphysik

( EF-EV)

p=Nv exp - kBT . ' (8.8)

Nv beschreibt dabei nun die effektive Dichte der Zu tände an der Ob rk nte de VaJenzbandes. Für die wichtigen Halbleitermaterialien Si, Ge und GaA ind di Werte für L und Nv sowie einige andere Daten in Tabelle 8.1 angegeben.

Tabelle 8.1 Einige Daten für die Halbleiter Si, Ge und Ga. 5

Halbleiter

Kri stallstruktur Gitterkonstante a in nm Dichte {] in kg m-3

Energielücke EG in eV Ejgenleitungsdichte 1'l.i in cm-3

Leitungsbanddichte N L in em-3

Valenzbanddichte Nv in cm-3

Elektronenbeweglichkeit j.J.n in cm2 V- I 5-1

Löcherbeweglichkeit J.Lp in cm2 V-I 8-1

rel. Dielektrizitätskonstante s,.

1

Diamant 0,543095

2328 l,ll

1,14. 1010

3 22.1019 , I, 3.1019

1350 480 118

G

Diamant 0.564613

326,7 0,66

2,24 . 1013

1 04.1019

6 03.1018

3900 1900 16

GaAs

Zinkblende 0,56533

5320 1,43

2,00 '106

4,55. 1017

8,86· 1018

8500 435 12,9

Da in einem reinen Halbleiter die Zahl der ins Leitungsband angeregten Elektronen gleich der Zahl der Löcher im Valenzband sein muß (Ladungsneutralität!) d. b. n ~ p = ni, folgt durch Gleichsetzen von (8.7) und (8.8) und anschließendes Logarithmieren für das Fenni-Niveau

EF=EL;E!' +k~Tln(~~). (8.9)

Wie (8.9) zeigt, liegt EF im GrenzfaU T = 0 K genau in der Mitte der verbotenen Zone und verschiebt sich für endliche Temperaturen nur unwesentlich (vgI. Übungen).

a) Eigenhalbleiter b) n- Halbleiter c) p- Halbleiter

E 1\ E E

EL EL • J EL B- ED ~ ---.... T e-+ -&-&. lE Ev Ev Ev - - i A •••• • ••• • . 0 •• 0 •••• • ••• • • •• • l

0.5 1.0 f(E) 0.5 1.0 f(E ) 0.5 1.0 f(E)

Bild 8.11 Zur Lage des Fermi-Niveaus in reinen und dotierten Halbleitern

Da das Fermi-Niveau bei T = 0 K die besetzten von den unbesetzten Zuständen trennt. muß es in einem n-dotierten Halbleiter bei tiefen Temperaturen irgendwo zwischen Donatorniveau E D und Leitungsbandkante E L liegen. Für p-dotierte Halbleiter liegt es bei tiefen Temperaturen

8.4 Elektronische Struktur von Festkörpern 339

entsprechend zwischen Akzeptorniveau EA und VaLenzbandkante Ev. Mit zunehme d .,.. _ 11 . h d' S .. 11 . n er lern

peratu~ en . eeren SIC le torste e~veau~ und das Fermi-Niveau verschiebt ich in Richtung der Mitte der verbote~en Zone. Dabei passiert das Fermi-Niveau das Störstellenniveau, bleibt aber, solange elektrorusche Anregungen aus dem Valenzband unwesentlich sind in de äh' d

d B dk D · 'd' , r e er entsprechen en an ante. lVI Jert man (8.7) und (8.8) durcheinander, so erhält man

Ep = EL ;Ev + (k~T) In (~~) + C~T) In (;) .

Die ersten beiden Summanden bestimmen das Fermi-Niveau Ep. im Fall eines reinen Halbleite da in diesem Fall der letzte Term wegen n = p verschwindet Damit gilt I

Ep = Ep; + (k~T) In (;) . (8 .10)

Bild 8.11 veranschaulicht die Besetzungsstatistik der Energieniveaus für reine und dotierte Halb­leiter für den Fall tiefer Temperaturen.

Um die EigenJeitungsdichte ni zu berechnen, multipliziert man die Ladung trägerkonzentra­tionen n und p und findet wegen EL - Ev = Ea die wichtige Beziehung

2 . (Ba) np = ni = NL' Nv ' exp - kBT . (8.11 )

Die Eigenleiwngsdichte eines Halbleiters hängt also nur von der Größe der Energielücke und der Temperatur ab, während die Lage des Fenni-Niveaus keinen Einfluß hat. Die Gültig eit von (8.1l) ist deshalb nicht auf den Fall der Eigenleitung beschränkt, sondern gilt auch für dotiert Halbleiter. Während im reinen Halbleiter damit nun

n = p = J N L . Nv exp (_ Ea ) 2kBT

(8.12)

gilt, sind im dotierten Halbleiter allerdings n und p voneinander ver chieden. 0 lehrt ( .11) z. B., daß eine Erhöhung von n infolge Dotierung eine Abnahme von p nach ich ziehen muß. Eine Erklärung dieses auf den ersten Blick verblüffenden Resultats werden wir er t im folgenden Abschnitt kennenIemen.

Unsere Überlegungen gestatten es nun auch, die in Abschnitt 4.2.1 bereits erwähnt unter­schiedliche Temperaturabhängigkeitdes elektrischen Wider tandes für Metalle und Halbleiter zu erklären: Prinzipiell führt eine Temperaturerhöhung zu einer Zunahme der thermi chen Energie des Festkörpers, was sich in einer Verstärkung der Gitterschwingungen äußert. Damit nimmt aber die Zahl der Stöße zwischen Ladungsträgern und diesen Gitterschwingungen zu, wa d n Widerstand erhöht. Während nun in Metallen dieser Effekt dominiert, ihr Widerstand daher mit zunehmender Temperatur steigt, spielen in dotierten Halbleitern die thenni eh bedingten Änderungen der Ladungsträgerkonzentrationen eine weit größere Rolle. Wir wollen von einer hinreichend tiefen Temperatur ausgehen, bei der noch die meisten Stör tellenniveaus be etzt sind. Eine Erhöhung der Temperatur gestattet eine zunehmende Ionisierung der Störstellenni­v·eaus und läßt gemäß (8.7) oder (8..8) die Ladungsträgerkonzentration anwachsen. Dabei nimmt der Widerstand ab. In diesem Temperaturbereich liegt Störstellenleitung vor. Schließlich ind al­le Störstellenniveaus ionisiert, und eine weitere Temperaturerhöhung kann vorerst eine weiteren Ladungsträger erzeugen. In diesem Bereich der Störstellenerschöpfong hängt R nur cbwach von T ab. Bei noch höheren Temperaturen gelingt es mehr und mehr Elektronen die Energie der

340

T/K

300 50 30 15

Störstellen­erschöpfung

1010 Störstellen-

10 0,00 0,02 0,04 0 06 0 0

1/TK-1

e tkörperphysilc

Bild8.U dung trägerkonzentration in mit Pbo .

phor d (ienem n- ilicium in Abhängigkeit von er Temperatur (Donatorkonzentra­li on D = 1015 cm -3 Bindungsenergie ED = 0,0 e)

verbotenen Zone zu überwinden und ins Leitungsband zu gelangen. Wegen (8.11) wächst dabei die Zahl der Elektron-Loch-Paare exponentiell, und der Widerstand nimmt weiter ab. Im Halb­leiter dominiert nun die Eigenleitung. Die Temperaturabhängig eit des Ider tandes ist also im wesentlichen durch die Temperarurabhängigkeit der Ladungsträgerkonzentration gegeben. Der Verlauf von n(T) ist in B.ild 8 .12 d~gestel1t.

Übungen: • 8.7: Bestimmen Sie die Elektronenkonzentration in reinem Silicium bei T = 300 K. Vergleichen

Sie das Ergebnis mit der Abschätzung aus der vorigen Übung. • 8.8: Berechnen Sie die Lage des Fermi-Niveaus bei Zimmertemperatur in Si und GaAs. • 8.9: Das ÜberschußeIektron eines Donators ist nur cbwach an das Störstellenatom gebunden. Be­

rechnen Sie den sicb nach dem Bohrschen Atommodell ergebenden Babnradius diese Elektrons. Hinweis: Die relative Dielektrizitätskonstante von Silicium sei er = 12.

• 8.10: Silicium sei mit 1014 Phosphoratomen pro cm3 dotiert. Bestimmen ie die Ladungsträger­konzentrationen n und p für T = 0 K, T = 300 Kund 800 K.

8.5 Generations-, Rekombinations .. und Transportprozesse in Halbleitern

Bisher haben wir die Ladungsträgerkonzentration in Halbleitern im thermischen Gleichgewicht beschrieben. Die Größen n und p ergeben sich dabei aus der Gleichgewichtsverteilungsfunk­tion J(E) (8.3), und es gilt (8.11). Für die angewandte Halbleiterphysik sind allerdings meist Nichtgleicbgewichtssituationen charakteristisch, denn erst Abweichungen vom Gleichgewichts­zustand ennöglichen Ladungstransport_ Solche Situationen können durch Einwirkung einer äuße­ren Störung hervorgerufen werden, wie etwa durch ein angelegtes elektrisches Feld, durch Ein­strahlung von Licht oder durch einen künstlich erzeugten Temperaturgradienten. In allen Fällen wird der Nichtgleicbgewichtszustand dadurch charakterisiert. daß nun im Gegensatz zu (8.11)

--I- 2' np T ni 1St.

8.5 Generations-, Rekombinations~ und Transportprozesse in Halbleitern 341

8.5.1 Mechanismen der Generation und Rekombination

Die im thenni~ch~~ Glei~hgewjcht vorh~denen Ladungsträger kann man als thermisch generiert betrachten. PrinzJplell gIbt es nun verschiedene Varianten, die entsprecbenden Gleicbgewichts­kOßZ'entrationen zu ~erändem. ~ine der Möglichkeiten, eine Nicbtgleichgewichtsverteilung zu erzeugen, besteht dann, durch Emstrahlung Von Licht oder allgemein elektromagnetischer Strah­lung mit Energien hf > Ea Elektronen ins Leitungsband anzuheben und dadurch zusätzliche Elektron-Locb-Paare zu erzeugen (Bild 8.13). Die Ladungsträger sind in diesem Fall optisch generiert.

a) • • b) • •

~) ~) EL

~l ~ Ec,

ET

~ Ev Ev • • o • • 0 • • • 0 • • 0 • Bild 8.13 Zur Generation und Rekombination von Ladungsträgern: a) opti ehe Generation und b) Rekom~ binationsprozesse

Um wieder in den Zustand des thermodynamischen Gleichgewichts zu gelangen. muß der Halbleiter die überschüssigen Elektron-Loch-Paare abbauen. Dieser Abbau erfolgt durch Rc~ kombination. Man fast unter diesem Begriff die verschiedensten mikroskopi chen Mechani rnen zusammen, die ein Elektron aus dem Leitungsband wieder zurück ins Valenzband überführen (Bild 8.13). Eine Möglichkeit ist ein unmittelbarer Band-Band-Übergang, bei dem Strahlung mindestens der Energie hf = Ec emittiert wird. Diese strahlende Band-Band-Rekombination wird in Leuchtdioden praktisch genutzt (vgl. Abschnitt 8.6).

Neben den gezielt eingebrachten Donatoren oder Akzeptoren enthält das Halbleitermaterial technologiebedingt stets noch weitere, oft sogar unbekannte Fremdatome. Sie können sehr lokal begrenzte Störungen im Halbleiter hervorrufen. Durch diese lokalen Störungen werden nun ähnlich wie bei den Donatoren und Akzeptoren zLlsätzliche elektronische Ni veau erzeugt die in einigen Fällen energetisch weit entfernt von den Bandkanten irgendwo in der Mitte der verbotenen Zone liegen. Solche tiefen Zentren können als sogenannte Elektronenfalle (engl. trap) wirken und dienen sehr oft als Zwischenstufe für eine strahlungslosen Band-Band-Rekombination.

Für die im vorigen Abschnitt festgestellte Abnahme der Löcherkonzentration bei n-D tierung oder entsprechend die Abnahme der Elektronenkonzenrr-ation bei p-Dotierung im themti ehen Gleichgewicht ist ebenfalls die Rekombination verantwortlich. Durch die Erhöhung der Konzen­tration eines der beiden Ladungsträgersorten (Majoritätsladungsträger) wäch t die Wahr hein­lichkeit, für die mit geringerer Konzentration vorhandene Ladungsträgersorte (Minoritätsladung -träger) einen Rekombinationspartner zu finden.

Die beschriebenen Prozesse lassen sich quantitativ durch dje Generatio rate G und dje Rekombinationsrate R erfassen. Sie werden durch die Zahl der Ladung träger be timmt, die pro Zeiteinheit und pro Volumeneinheit generiert werden oder rekombinieren. Die übliche Maßeinheit ist cm-3 8-1 •

Eine weitere Mögüchkeit der Trägererzeugung bietet das Anlegen einer elektrischen Spannung, wodurch Überschußladungsträger von außen In den Halbleiter gebracht werden können. in solcher Vorgang wird als Injektion von Ladungsträger bezeichnet. Man kann ich die Situation

342

Feldrichtung •

x=O •

x

+

• Ev

tkörperphy iII

Bild .14 Mod 11 der gekippten Bänder in einem homogener elekLri hen Feld

für einen Halbleiter im elektrischen Feld gut im Modell der gekippten Bänder veranschaulichen (Bild 8.14). Legt man an einen Halbleiter ein äußere Spannung an 0 faUt diese über dem Halbleiter ab und es entsteht im Halbleiter ein homogen elektri he eid. Die Elektrollen treten vom Minuspol kommend bei x = 0 in den Halbleiter ein erlieren beim Durchqueren des Halbleiters ihre potentielle Energie und verlassen diesen wieder auf der anderen Seite. Dabei wirkt auf sie gemäß Q = -e und (4.3) die Kraft F = -eE zu der nach (4.13 das Potential-eEx gehört. Legt man den ullpunkt des Potentials auf die Stelle x = 0 und betrachtet dazu noch ,eine zweite beliebige Stelle x innerhalb des Halbleiters, so verlangt der Energieerhaltungssatzfür ein Elektron im Leitungsband EL (O) + 0 = EL(X) + eEx. Das bedeutet, daß sicb die Lage der Leitungsbandkante in Abhängigkeit von x verändert. Für Löcher im Valenzband gelten analoge Betrachtungen. Ganz allgemein kann man sich die Bänder in einem homogenen elektrischen Feld also gemäß En(x) = En(O} - eEx als gekippt vorstellen (Bild 8.14).

In Halbleiterbauelementen treten stets innere, allerdings im allgemeinen inhomogene elektri­sche Felder auf, die entsprechende Bandverbiegungen hervorrufen. Bei der Untersuchung der elektronischen Eigenschaften solcher Bauelemente werden gekippte Bänder oder allgemeiner Bandverbiegungen. eine wesentliche Rolle spielen (vgl. Ab chnitt 8.6). Dazu kann es hilfreich sein, sich die folgende Regel einzuprägen:

Treten infolge VOll elekmsehen Feldern im Bändermodell Bandverbiegungen auf, so folgen Elektronen diesen Feldern stets in Richtung kLeinerer Energien (nach unten), während Löcher sich in Richtung größerer Energien (nach oben) verschieben.

8.5.2 Drift und Diffusion

Elektronen, die sich bei endlichen Temperaturen im Leitung band ej ne Halbleiters befinden, führen ungeordnete thermische Bewegungen aus. Legt man ein elektri ches eId an, dann überla­gert sich dieser Bewegung eine geordnete Bewegung entgegen der eldrichtung, die man als Drift bezeichnet. Mikroskopisch betrachtet, nehmen die Elektronen einer eits au dem Feld Energie auf und werden dadurch beschleunigt; andererseits werden sie aber an Gitter chwingungen oder Fremdatomen gestreut und geben dabei Energie ab. Dadurch stellt ich im zeitlichen Mittel eine konstante. zur elektrischen Feldstärke proportionale Driftgeschwindigkceit vn ein, die allerdjngs nur sehr klein im Vergleich zur thermischen Geschwindigkeit i t (vgl. Übungen). Da ie der Feldstärke entgegengerichtet ist, gilt also

(8.13)

8.5 Generations-, Rekombinations- und Transportprozesse in Halbleitern 343

wobei ~an fL"f}; di~ Beweglichk~it ~er ~Ie~onen nennt. Beachtet ~an noch, daß nach (4.34) die StromdIchte J nut der <?eschwmdlgkelt V n der Elektronen durch j = -env

n verknüpft ist, so

läßt sich für die durch dle Elektronen hervorgerufene Stromdichte In schreiben: ... -jn = enJ.LnE . (8.14)

Analog läßt sich die Beweglichkeit J.Lp für Defektelektronen gemäß vp = J.LpE definieren und ihr entsprechender Beitrag zur Stromdichte h = epVp bestimmen. Man findet

(8.15)

Ein zweiter möglicher Beitrag zur Stromdichte in einem Halbleiter resultiert au eventuellen Unterschieden in der örtlichen Verteilung der Ladungsträger, wie sie etwa durch eine räumlich unterschiedliche Dotierung erzeugt werden können. Die Ladung träger folgen dann den vorhan­denen Konzentrationsgradienten. und es resultiert ein Ladungstran port durch Diffusion. Gemäß (3.72) lassen sich die entsprechenden Beiträge zum Ladungstran port durch die Diffu ion kon­stanten für Elektronen D n und Defektelektronen Dp ausdrücken. Zu ammen mit ( .14) und (8.15) ergibt sich für die Gesamtstromdichten von Elektronen und Defektelektronen.

... ... jn = enJ.LnE + eDngradn ... ... jp = epJ.LpE - eDp gradp .

Zusammenfassend kann festgestellt werden:

In dotierten Halbleitern erfolgt der Ladungstranspon sowohl durch Drift der Elek­tronen und Defektelektronen im elektrischen Feld als auch durch Diffusion der Ladungsträger, bedingt durch vorhandene Konzentrationsgradiente1l.

( .16)

Im folgenden wollen wir uns auf den eindimensionalen Fall be chränken und den Ladung _ transport in x-Richtung genauer untersuchen. Dazu berechnen wir die Änderung der trOmdichten für Elektronen und Löcher im Intervall X, X + dx. Eine olche Änderung kann nur durch Gene­ration oder Rekombination von Ladungsträgern verursacht sein. Da Elektronen und Löcher in diesen Prozessen stets als Paar beteiligt sind, muß gelten jn(x + dx) - jn(x) = - (0 - R )dx für Elektronen sowie jp(x + dx) - jp(x) = e(G - R)dx für Löcher. ach Divi ion durch dx ergibt sich

djn(x) = -e(O(x) - R(x)) und dx

djp(x) = e(G(x) - R(x)) dx

mit in und jp gemäß der eindimensionalen Version von (8.16) al

. dn(x) Jn = enJ.LnE(x) + eDn dx

. dp(x) ]p = epJ.LpE(x) - eDp~ .

( .17)

(8.1 )

Um aus diesen Transportgleichungen die Größen n(x) und p(x) und damit die G amtstromdichte im Halbleiter bestimmen zu können. benötigt man noch den Zusammenhang zwischen E(x) und den Ladungsdichten. Enthält der Halbleiter ionisierte Donatoren der Konzentration D und ionisierte Akzeptoren der Konzentration NA, dann ist die Gesamtladung dichte p = - ( + NA - P - ND) und die Maxwellsche Gleichung divD = [[og (vgl. Ab chnitt 4.4.9) liefert für die Feldstärke in einem (eindimensionalen) Halbleiter

4Man beachte, daß wir in die em Kapitel als auch schon im Kapilel,,EJektrizitä[ und Magneti mu • mit i . in od . . jp die elektrische Stromdichten bezeichnet haben, während wir in (3.71) und (3.72) mit]", die Teilchendichte c e 1er1

haben. Stromdichten ergeben sich au Teilcbendichten einfach durch Multiplikation mit der Ladung

344 8 Fe tkörperphysik

dE(x) €€o dx = -e[n(x) + NA(X) - p(x) - ND( X)] . (8.19)

Die Gleichungen (8.17) und (8.19) bildet zusammen mit (8.18) die eindimensionale Version der Grundgleichung der inneren Elektronik. Die im allgemeinen numerisch bestimmten Lösun­gen dieses Systems oder seiner zwei- und dreidimensionalen Verallgemeinerungen gestatten die Bestimmung des Ladungstransportes und der Verteilung des elektrischen Feldes in Halb­leiterstrukturen. Sie dienen in der Praxis zur mathematischen Modellierung der Eigenschaften elektronischer Bauelemente und geben wertvolle Hinweise zur Optimierung technologischer Prozesse.

Übung: • 8.11: Berechnen Sie das Verhältnis aus thermischer Geschwindigkeit und Driftgeschwindigkeit

für Elektronen in Silicium bei einer elektrischen Feldstärke von E = 103 V/ern bei Zimmertem­peratur.

8.6 Elektronische und optoelektronische Bauelemente

8.6.1 Der pn-Übergang

Die Funktion elektronischer und optoelektronischer Bauelemente beruht auf den besonderen Transporteigenschaften von räumlich inhomogen dotierten Halbleitern. Der einfachste Fall ei­ner solchen Halbleiterstruktur ist der pn-Übergang. Er wird nicht nur selbst in verschiedenen Versionen als Bauelement genutzt, sondern die Kenntnis seiner Eigenschaften ist auch eine not­wendige Voraussetzung für ein Verständnis komplizierterer Bauelemente, wie Bipolartransistor oder Thyristor. WIr werden ihn im folgenden ausführlicher besprechen.

~ C C

rJD Diode

B G~;s B

~ E E n-Kanal MOS-FET

Z-Diode npn-Transistor pnp-Transistor (Anreicherungstyp)

Bild 8.15 Schaltzeichen einiger Halbleiterbauelemente

Wie der Name schon verrät, entsteht ein pn-Übergang dadurch, daß man in einem Halbleiter \ auf einem schmalen Übergangsbereich « 1 J-Lm) den Charakter der Dotierung ändert. Dadurch erfolgt ein Wechsel entweder von einem n-dotierten Bereich auf einen p-dotierten Bereich oder umgekehrt. Technologisch können solche Übergänge z. B. durch Diffusion hergestellt werden. Geht man etwa von n-Silicium aus, so werden in einer Diffusionskammer bei Temperaturen von T > 1000 K Dotanten vom p-Typ (Akzeptoren) in das Ausgangsmaterial eindiffundiert.

8.6 Elektronische und optoelektronische Bauelemente 345

Weitere Herstellungsverfahren beruhen auf dem Legieren von n-Sill'c' . . d Akze . . " . lUm mJt en . ptoren oder Nutzen dIe Techniken der Epitaxie und der Ionenimplantation B . d E . . . ]äß' . . . . . , . , . . . el er pltaxIe t man neue dotIerte SlliclUmschichten, Wle etwa p-SiliClUID, auf einem Substr t f h . . h d' S'l" d d' D a au wac en, wobeI

SIC le ) IClUmatome un le otanten aus einer Gasatmosphäre ab h'd d' b· d S·Cl. SiH d PR sc el en, Je au den

Ver In ungen 1 .l4. 4 un 3 bestehen könnte. Bei der Ionenim I tat' d' S .. 11' . h h E " . p an Ion wer en dIe

torste emonen mIt 0 er nergle 10 das Kristallgitter geschossen.

a) p-Gebiet n-Gebiet , , - -0 0 0 0 10 @! ~ @ ,

1 , - -o 0 :0 @i ~ @ o 0: 0 1 1 , 1 _ I .

0 0 0 0 0 @i@ • @ b) Grenzschicht

n-Gebiet 1 I • 0 0 10 0 @ Si S

I , I • o 10 0 @ e. @ I 0: 0 ,

1 1

0 0 0 0 @ -(d, -+' @ 1 ,

c) Grenzschicht

p-Gebiet n-Gebiet

00

000

0-@ -~ -S

+ o 0 0 -@ -S • S o 0 0

o 0 0 -@ -S -@ 000

I

I +

I

E Ecl-__ _

••• ---------------------------

Evl----000

E

Ev 0 0

E

••

eUD

x

e(UD + U)

x

Ec

1 ___ --.

~ •••• 1 e(UD - U)

Ev 0000

Bild 8.16 Der pn-Übergang und sein entsprechendes Bändermodell im Gleicbgewicht (a), in Sperrichtung (b) und in Flußrichtung (c)

Betrachten wir zuerst die Gleichgewichtssituation an einem solchen pn-Übergang. Infolge von Diffusion werden Elektronen aus dem n-Gebiet in das p-Gebiet übergehen, und ebenso werden Löcher aus dem p-Gebiet in das n-Gebiet wechseln. Dabei treffen sie jeweils auf die in Überzahl vorhandenen Ladungsträger mit entgegengesetztem Vorzeichen, mit denen ie rekornbinieren. Dabei verschwinden in einer Grenzschicht die freien Ladungsträger und es bleiben don nur die unbeweglichen ionisierten Störstellenatome zurück (Bild 8,16a), Diese wiederum verur achen eine elektri che Doppelscrucht und damit ein elektrisches Feld welches einer eits eine Diffu ion von weiteren Majoritätsladungsträgem verhindert, andererseits aber einen Drift der 'inoritäten auf die andere Seite des Übergangs ermöglicht. Insgesamt bildet ich chließlich ein dynami her Gleichgewichtszustand heraus, in dem sich Diffusions- und Driftanteil der tromdichte ow hl für Elektronen als auch für Löcher gegenseitig kompensieren.

346 8 Festkörperphysik

Verbindet man nun den pn-Übergang mit einer Spannungsquelle, so daß der Pluspol an die n­Seite und der Minuspol an die p-Seite angeschlossen ist, so werden die beweglichen Ladungsträger von den Kontakten angezogen. Dadurch verbreitert sich die Grenzschicht. und gegen das nun verstärkte innere elektrische Feld ist keine Diffusion der Ladungsträger mehr möglich. Bei dieser Polung kann abgesehen von wenigen Minoritätsladungsträgem kein Ladungstransport durch den Übergang erfolgen - er sperrt den Stromfluß (Bild 8.16b). Bei umgekehrter Polung werden die Ladungsträger von beiden Seiten in die Grenzschicht gedrückt und schwemmen diese zu. Das nun schwächere innere elektrische Feld gestattet stärkere Diffusion der Ladungsträger, diese erreichen als Minoritätsladungsträger die jeweils andere Seite des Übergang, wo sie einer verstärkten Ladungsträgerrekombination unterliegen. Elektron-Loch-Paare verschwinden dabei, aber neue Ladungsträger werden von der Spannungsquelle nachgeliefert und können wieder durch den Übergang diffundieren - es fließt ein elektrischer Strom (Bild 8.16c).

Es ist interessant, das Verhalten eines pn-Überganges auch vom Standpunkt des Bändermodells zu betrachten. Den Verlauf der Bandkanten für die Gleichgewichtssituation sowie für Sperrichtung und Durchlaßrichtung zeigt die rechte Seite von Bild 8.16. Durch das elektrische Feld in der Grenzschicht sind die Bandkanten bereits ohne eine äußere Spannung, also im GJeichgewicht, verbogen. Über der Grenzschicht fällt die Diffusionsspannung UD ab, wodurch die n-Seite um die Energie -eU D abgesenkt wird. Das Fermi-Niveau Ep ist im Gleichgewicht durch den ganzen Übergang hindurch konstant. Wäre dies nämlich nicht so, dann könnten die Ladungsträger durch Umverteilung das System in einen energetisch günstigeren Zustand überführen, was im Widerspruch zum angenommenen Gleichgewichtszustand wäre.

Das Anlegen einer Spannung U auf der n-Seite erteilt den Elektronen dort gemäß (4.14) eine zusätzliche Energie - eU, was zu einer entsprechend stärkeren Absenkung der Bandkanten führt und die Diffusionsbarriere verstärkt. In entsprechender Weise führt eine Spannung -U zu einer Anhebung der Bänder um (-e)( -U) = eU, wodurch die Diffusionsbarriere reduziert wird.

Einen noch detaillierteren Einblick in die Physik des pn-Übergangs erhält man durch die Lösung der entsprechenden Transportgleichungen. Der interessierte Leser sei diesbezüglich auf das Ende dieses Abschnitts verwiesen, wo wir eine solche Lösung für den ideal abrupten pn-Übergang herleiten und diskutieren werden.

UBr

-100 ! -50

Sperrichtung

IjmA 40

20

-10

-20 I j f-tA

Durchlaßrichtung

.25 .5 UjV

Bild 8.17 Kennlinie einer Silicium-Halbleiter-Diode (qualitativ)

Fassen wir unsere Erkenntnisse hinsichtlich des Stromflusses durch einen pn-Übergang zu­sammen, so ergibt sich qualitativ eine Kennlinie, wie sie für einen idealen abrupten pn-Übergang im Silicium in Bild 8.17 dargestellten ist. Für einen solchen Übergang läßt sich die Kennlinie durch

8.6 Elektronische und optoelektronische Bauelemente 347

(8.20)

beschreiben. Während der Strom für u.. > 0 exponentiell wächst, nähert er sich für U < 0 einem konstanten Sättigungsstro~ I s· Ub~rste~gt die Spannung dabei allerdings die sogenannte Durchbruchsspa~~ung UBr, so konnen Minontätsladungsträgerin dem dann sehr starken elek­trischen Feld des Ubergangs so viel Energie aufnehmen, daß sie durch Stoßionisation weitere Ladungsträger erzeugen können. Darüber hlnaus besteht die Möglichkeit, daß Elektronen bei diesen hohen Feldstärken die verbotene Zone durchtunneln. Dieser Mechanismus heißt Zener­Effekt und wurde durch C. M. Zener a~fgrund .quantenmechanischer Rechnungen vorhergesagt. Insgesamt kommt es dadurch zur AusbIldung emer Ladungsträgerlawine und damit zum Durch­bruch, wobei der Sperrstrom drastisch ansteigt.

Ein Vergleich mit der Kennlinie einer Vakuumdiode (vgl. Bild 4.27) zeigt, daß beide in einer Richtu~g den Stro~ sp~rren und.i~ der ande~en durchlassen. Mittels eines pn-Übergang läßt sich daher eme Halble.terdlOde realISIeren. Genngere Herstellungskosten, eine größere Zuverläs ig­keit sowie ein geringer Platzbedarf und die dadurch resultierenden kürzeren Schaltzeiten haben dazu geführt, daß die Halbleiterdiode in elektronischen Schaltungen die Vakuumdiode weitge­hend verdrängt hat.

+

Bild 8.18 Z-Diode als Spannungsstabilisator R

Auch die größere Vielseitigkeit hat dabei eine entscheidende Rolle gespielt. Solche Halbleiter­dioden werden nämlich in unterschiedlichsten Varianten hergestellt und technisch genutzt. ine der bekanntesten Anwendungen ist die Gleichrichtung von Wechselströmen. Bei der Kapazitä • diode nutzt man die Möglichkeit der Beeinflussung der Sperrschichtkapazität (in Abhängigkeit von der Spannung wird im Übergangsgebiet Ladung gespeichert! ) über die Sperr pannung zur Frequenzabstimmungen in Schwingkreisen. Die Z-Diode5 arbeitet für Sperrspannungen im Be­reich der Durchbruchspannung und kann zur Spannungsstabilisierung oder zur Amplitudenbe­grenzung eingesetzt werden (vgl. Übungen). Das Prinzip einer entsprechenden Schaltung zeigt Bild 8.18

Weitere Anwendungen des pn-Übergangs erfolgen in der Solarzelle und der Lumineszenzdi­ode. Eine Solarzelle dient der Umwandlung von Energie des Sonnenlichtes in elektrische Energie durch den photovoltaisehen Effekt. Er besteht darin, daß in die Grenzschicht eines po-Übergang eindringende Photonen dort Elektron-Loch-Paare generieren, diese im starken elektri chen Feld dieser Grenzschicht getrennt werden und durch die damit verbundene Anreicherung der n-Seite

5Sie wurde früher als Zener-Diode bezeichnet, da man den Durchbruch al Folge d Zener-Effektes aufgefaßt hat. Heute geht man davon aus, daß u. a. Lawinenbildung durch Stoßionisation eine entscheidendere Rolle spielt.

348 8 Festkörperphysik

p-Gebiet

~ n-Gebiet

Ev Bild 8.19 Zur Wirkungsweise einer SoLarzelle

mit Elektronen und der p-Seite mit Löchern eine Photospannung erzeugt wird (Bild 8.19). Dabei wird ein Teil der Diffusionsspannung abgebaut. Verbindet man die Enden der Solarzelle mit einem sehr hochohmigen Widerstand, so kann man dann die Leerlaufspannung Uleer abgreifen. Schließt man andererseits die beiden Enden kurz, so fließt durch den äußeren Stromkreis der Kurzschlußstrom I kurz.

I

u DunkelkennLinie

-l/(RL + R.)

Kennlinie bei Bestrahlung Bild 8.20

Kennlinienfeld einer Solarzelle

Legt man an eine Solarzelle eine veränderliche äußere Spannung an, so läßt sich für un­terschiedliche Beleuchtungsstärken die Kennlinie aufnehmen. Da in der Solarzelle durch das einfallende Licht ein Strom in Sperrichtung erzeugt wird, verschiebt sich die Kennlinie mit zu­nehmender Beleuchtungsstärke in Richtung des größeren Sperrstroms (Bild 8.20). Sie läßt sich daher in Verallgemeinerung von (8.20) durch

1 = ls (exp (k~T ) - 1) -Iph (8.21 )

beschreiben, wobei I ph als Photostrom bezeichnet wird und nahezu mit dem Kurzschlußstrom übereinstimmt. Er wächst proportional zur Bestrahlungsstärke bei gleichbleibender spektraler Verteilung. Das Kennlinienfeld kann man nutzen, um für eine Solarzelle eine Leistungsanpas­sung vorzunehmen. Darunter versteht man die Auswahl eines geeigneten Lastwiderstandes, der mit der Solarzelle betrieben eine maximale Leistungsaufnahme realisiert. Um die So]arzeJle als Stromgenerator zu nutzen, betreibt man sie im 4. Quadranten der Kennlinie, wo ein negativer Strom fließt. Hat die SolarzeUe einen lnnenwiderstand ~, und fließt der Strom über den Lastwi­derstand RL, dann gilt nach dem Ohmschen Gesetz I = -U /(~ + RL), und der Arbeitspunkt

8.6 Elektronische und optoelektronische Bauelemente 349

A der Solarzelle liegt im Kennlinienfeld beim Schnittpunkt dieser Geraden mit der Kennlinje. Das Produkt aus U A und JA b~stimm~ die vom Lastwiderstand aufgenommene Leistung. Sie ist grafisch durch die Fläche des emgezelchneten Rechtecks gegeben. Man erkennt, daß sie von der Lage des Arbeitspunktes und damit von R[; abhängt.

Photovoltaik und Solarzellen: Mit etwa 15,6 . 1017 kWhja ist die Sonne mit Abstand die bedeutendste natürliche Energiequelle. Eine effektive Ausnutzung dieser Ressourcen kann einen entscheidenden Beitrag zur Minderung der heute existierenden globalen Umweltprobleme liefern, die ja bekanntlich maßgeblich durch die verschiedenen Fonnen konventioneller Energieerzeu­gung hervorgerufen werden. Neben der Sonnenstrahlung selbst stehen dabei auch Windenergie, Wasserkraft oder Biomasse als mittelbare Konsequenzen der Sonnenenergie zur Verfügung.

Die Solarzelle gestattet eine unmittelbare Umwandlung der Strahlungsenergie der Sonne in elektrische Energie. Sie ist das entscheidende Bauelement der Photovoltaik, wie man den ent­sprechenden Zweig der Energietechnik nennt. Die Nutzung der Sonnenenergie in dieser Wei e und damit ein verstärkter Einsatz photovoltaiseher Systeme in der Zukunft wird icher we entlieh von einer Senkung der Herstellungskosten und einer Erhöhung des Wrrkungsgrades von Solarzel­len abhängen. Mit sehr aufwendiger Technologie und damit teuer kann man heute schon auf der Basis von 3-5-Verbindungen Solarzellen mit Wirkungsgraden bis etwa 30% her te11en. Billigere Solarzellen, die aus polykristallinem oder amorphem Silicium hergestellt werden, erreichen aber nur etwas mehr als den halben Wirkungsgrad.

• • • ,-Jf hf

~.L EL

p-Gebiet I ~ n-Gebiet +

~ o 0'-0-0-- Ev Bild 8.21 Zur Wirkungsweise einer Lumineszenzdiode

Die entgegengesetzte Zielstellung wird durch die Lumineszenzdiode (engt light emitting diode, LED) realisiert (Bild 8.21). Betreibt man eine Diode in Flußrichtung, 0 werden von der n-Seite Elektronen und von der p-Seite Löcher in die Grenz chicht injiziert. Diese können miteinanderrekombinieren und die dabei frei werdende Energie durch Emis ion von Photonen der Energie hf = Ea abgeben. Elektrische Energie wird somit in Lichtenergie verwandelt WObei

die Farbe des Lichtes vom jeweiligen Halbleitermaterial abhängt. Es muß eine verbotene Zone im sichtbaren Bereich besitzen und wird im allgemeinen auf der Basis von 3-5-Verbindungen hergestellt.

Der ideale abrupte pn-Übergang in Depletion-Näherung: Es soll angenommen werden, daß der Übergang von der Akzeptorkonzentration NA zur Donatorkonzentration ND abrupt bei x = 0 erfolgt. Wrr behandeln die Gleichgewichtssituation und nehmen dazu weiterhin an daß man in diesem Fall im Bereich der Grenzschicht -dp ~ x ~ dn die Konzentration der beweglichen Ladungsträger bei der Berechnung von Feldstärke und Potential vernachlässigen kann d. h. in diesem Bereich gelte n( x) = p( x) = 0 (Depletion-Näherung).

Wrr wollen zuerst die über der Grenzschicht existierende Diffusion spannung UD be timmen:

350 8 Festkörperphysik

Da im Gleichgewicht weder ein Elektronenstrom noch ein Löcherstrom exi tien, folgt aus (8.18) z. B. für die Elektronen

dn enJ1nE + eDn dx = 0 .

Die Diffusionsspannung kann nun wegen (4.13) durch Integration der Feldstärke über die Grenz­schicht erhalten werde. Es folgt

UD - _j. d .. E(x)dx = Dn jdn. dn = Dn In ( n(dn ) ) .

-dp J1.n -cL" n /Ln n( -dp )

Sind alle Donatoren ionisiert, so gilt in guter Näherung n( dn ) = ND und p( -dp ) = NA. Letzteres führt wegen np = n; auf n{ -dp ) = nt / NA. Schließlich ergibt sich für die Diffusionsspannung6

UD = Dn In (ND~A) = kBT In (. ND~A) . /Ln n, e n i

(8.22)

Hat der pn-Übergang den Querschnitt A, so verlangt die Ladungsneutralität für die gesamte Grenzschicht die Gültigkeit der Gleichung eN DdnA = eN AdpA bzw.

(8.23)

Im Rahmen unseres Modells läßt sich auch der Verlauf des elektrischen Feldes in der Grenz­schicht leicht berechnen: Aus (8.19) folgt

dE(x) €rEO d x

dE(x) €rEO dx

- eN A, wenn - dp ~ x < 0

+eN D) wenn 0 < x < dn 1

was nach Integration und Berücksichtigung der Randbedlngungen E(dp ) = E(dn ) = 0 (ein elektrisches Feld entsteht nur in der Grenzschicht!) auf

E(x) eNA

-dp<x<O --(x+dp) ) wenn €r6 0

E(x) eND o <x< dn (8.24) +--(x -d,J, wenn 61'6 0

führt. Die maximale Feldstärke tritt an der Stelle x = 0 auf und ist durch

(8.25)

gegeben. Da nach (4.13) die Feldstärke die negative Ableitung des Potentials q; ist, liefert eine weitere

Integration

6 War nutzen hier die aus der Theorie der Diffusion bekannte Einstein·Relation

D =l.I.kBT

, e

die Diffusionskonstante und Beweglichkeit miteinander verknüpft.

8.6 Elektronische und optoelektronische Bauelemente 351

<jJ(x) eNA x 2

+-(- + d"x) , wenn -dp~x~O ~r€O 2

<jJ(x) eND x 2

--(--dnx) , €reO 2

wenn O~x<dn . (8.26)

Die Integrationskonstanten sind dabei so bestimmt worden, daß der Nullpunkt des Potentials bei x = 0 liegt. Insgesamt hat man über der Grenzschicht eine der Diffusionsspannung entsprechende Potentialdifferenz von

e UD = <jJ(dn) - 4>( -dp) = -2 -(NDd~ + NAd;) .

€r€O

Zusammen mit (8.23) ergibt dies für die Breite der Grenzschicht

Coro:UD ND(N:A+ NDl) 1/2

(2€r~OUD ND )1/2

e NA(NA +ND ) (8.27)

a) b) c) d) E

linear quadTatisch ~" -- n p

UD

-d"

Bild 8.22 Dotierungsprofil (a), Feldstärkeverlauf (b) und Potentialverlauf (e) und Ladungsträgerdichten (d) an einem abrupten pn-Übergang

Bild 8.22 verdeutlicht die gewonnenen Ergebnisse qualitativ. Eine quantitative Auswertung un· serer Rechnungen soll am Beispiel eines Übergangs im Silicium durchgeführt werden. wobei wir etwa Zimmertemperatur (T = 300 K, dies entspricht kT / e = 0,026 V). eine Akzeptorkonzen­tration von NA = 1017 cm -3 im p-Gebiet und eine Donatorkonzentration von ND = 101S cm-3

annehmen wollen. Die benötigten Materialgrößen werden aus Tabelle 8.1 entnommen. Im einzel­nen findet man aus (8.23) bis (8.27) eine Diffusionsspannung von UD = 0 71 V, für die Breite der Verarmungszone dn = 0, 95 fJID und dp :::; 9,5 nm sowie eine maximale Feld tärke von Emax = 1,47.104 V cm-1 .

Übungen: 8.12: Im Gleichgewicht kompensieren sich Diffusions- und Driftstrom. Nutzen Sie die gerade für den pn-Übergang gewonnenen Ergebnisse, um die Größenordnung dieser heiden Ströme au dem Diffusionsstrom abzuschätzen. 8.13: Leiten Sie aus der Forderung nach dem Verschwinden des Löcherstroms, einen Au druck • für UD her und vergleichen Sie das Resultat mit (8.22). 8.14: Schätzen Sie aus der Kennlinie (8.20) den Widerstand einer Silicium-Diode für eine kleine Spannung in Sperrichtung und für eine Spannung von 0, 5 V in Flußrichtung ab. Der Sättigung -

strom sei I s = 1 run.