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Prof. Dr. Wandinger 5. Schwingungen TM 3 5.3-1

17.12.20

3. Erzwungene Schwingungen

● Bei erzwungenen Schwingungen greift am schwingenden System eine zeitlich veränderliche äußere Anregung an.

● Kraftanregung:

– Am schwingenden System greift eine zeitlich veränderliche äußere Kraft an.

● Weganregung:

– An einigen Punkten des schwingenden Systems ist eine zeitlich veränderliche Bewegung vorgeschrieben.


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3. Erzwungene Schwingungen

3.1 Kraftanregung

3.2 Weganregung

3.3 Unwuchtanregung


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3.1 Kraftanregung

● Aufgabenstellung:

– An der Masse greift eine zeitlich veränderliche Kraft F(t) an.

– Die Bewegungsgleichung lautet:

– Division durch die Masse m ergibt:

c

d

mx

Feder Masse

Dämpfer

F(t)

F(t)cx

dv

m x+d x+c x=F (t )

x+2 δ x+ω2 x=

F (t )m


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3.1 Kraftanregung

● Harmonische Anregung:

– Ein wichtiger Spezialfall ist die Anregung durch eine harmo-nische Kraft:

– Dabei ist Ω die Erregerkreisfrequenz und Fa (Ω) die Amplitu-de der Kraft, die im Allgemeinen von der Erregerkreisfre-quenz abhängen kann.

– Jede periodische Kraft kann als Überlagerung von harmoni-schen Kräften dargestellt werden.

– Die Antwort des Systems auf eine periodische Kraft ist die Überlagerung der Antworten auf die harmonischen Kräfte.

F (t )=F a (Ω)cos(Ω t )


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3.1 Kraftanregung

● Schwingungsgleichung:

– Mit m = c/ω2 und der statischen Lösung

lautet die Schwingungsgleichung:

– Ihre allgemeine Lösung setzt sich zusammen aus einer par-tikulären Lösung xp (t) der inhomogenen Gleichung und der allgemeinen Lösung xh (t) der homogenen Gleichung.

x S (Ω)=F a(Ω)

c

x+2 δ x+ω2 x=ω

2 x S cos(Ω t )


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3.1 Kraftanregung

● Lösung der homogenen Gleichung:

– Die homogene Gleichung lautet:

– Ihre Lösung beschreibt eine freie gedämpfte Schwingung.

– Sie hängt von den Anfangsbedingungen ab und klingt ex-ponentiell mit der Zeit ab.

– Nach Beendigung des so genannten Einschwingvorgangs kann die Lösung der homogenen Gleichung gegenüber der partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung vernach-lässigt werden.

– Die partikuläre Lösung beschreibt den eingeschwungenen Zustand.

x+2 δ x+ω2 x=0


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3.1 Kraftanregung

● Partikuläre Lösung:

– Einsetzen des Lösungsansatzes

in die Schwingungsgleichung ergibt:

x p(t )=As sin (Ω t )+Ac cos(Ω t )x p(t )=Ω ( As cos(Ω t )−Ac sin (Ω t ))

x p(t )=−Ω2

( As sin (Ω t )+Ac cos(Ω t ))

−Ω2

( As sin (Ω t )+Ac cos(Ω t ))+2δΩ ( As cos(Ω t )−Ac sin (Ω t ))

+ω2

( As sin(Ω t )+Ac cos(Ω t ))=ω2 x S cos(Ω t )

→ (−Ω2 Ac+2δΩAs+ω

2 Ac−ω2 x S ) cos(Ω t )

=(Ω2 As+2δΩAc−ω

2 As ) sin(Ω t )


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3.1 Kraftanregung

– Damit diese Gleichung für jeden Zeitpunkt t erfüllt ist, müs-sen die Terme in den Klammern null sein:

– Mit dem Frequenzverhältnis η = Ω/ω und dem Lehrschen Dämpfungsmaß D = δ/ω folgt nach Division durch ω2 :

– Das Gleichungssystem hat die Lösung:

(ω2−Ω

2 ) Ac + 2δΩ A s = ω2 x S

−2δΩ Ac + (ω2−Ω

2 ) A s = 0

(1−η2 ) Ac + 2 D η As = x S

−2 D η Ac + (1−η2 ) As = 0

Ac=1−η

2

(1−η2 )

2+4 D2

η2

x S , As=2 D η

(1−η2 )

2+4 D2

η2

x S


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3.1 Kraftanregung

– Die partikuläre Lösung beschreibt eine harmonische Schwingung

mit der Amplitude

und dem Phasenwinkel

x p(t )=As sin (Ω t )+Ac cos(Ω t )=x a cos(Ω t+ϕ)

x a=√Ac2+As

2=

√ (1−η2 )

2+4 D2

η2

(1−η2 )

2+4 D2

η2

x S=x S

√ (1−η2 )

2+4 D2

η2

tan (ϕ)=−As

Ac=−

2 D η

1−η2 .


17.12.20

3.1 Kraftanregung

– Mit dem dynamischen Überhöhungsfaktor

gilt:

– Die Amplitude der Lösung im eingeschwungenen Zustand ergibt sich durch Multiplikation der statischen Lösung mit dem dynamischen Überhöhungsfaktor.

V F (η)=1

√ (1−η2 )

2+4 D2

η2

x a(η)=V F (η) x S


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3.1 Kraftanregung

– Dynamischer Überhöhungsfaktor:


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3.1 Kraftanregung

– Phasenwinkel:


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3.1 Kraftanregung

● Diskussion der Lösung:

– Bereich 1: η < 0,8: unter-kritisch

● Bei schwacher Dämp-fung (D < 10 %) hat die Dämpfung praktisch kei-nen Einfluss.

● Die Antwort ist in Phase mit der Anregung.

● Es gilt in guter Nähe-rung:

● Für η < 1/3 folgt:

● Für η < 0,3 können Dämpfungs- und Träg-heitskräfte gegenüber der Federkraft vernach-lässigt werden: Die Ant-wort ist quasistatisch.

V F≈1

1−η2

V F <1

1−(1 /3)2 =

98=1,125


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3.1 Kraftanregung

– Bereich 2: 0,8 < η < 1,2: kritisch● Dieser Bereich wird wesentlich von der Dämpfung beeinflusst.● Die Antwort hat eine Phasenverschiebung von 90° gegenüber

der Anregung.● Die Geschwindigkeit ist in Phase mit der Anregung.● Der Zustand bei η = 1 wird als Resonanz bezeichnet.● Bei Resonanz ist die Trägheitskraft im Gleichgewicht mit der

Federkraft. Die Anregung ist im Gleichgewicht mit der Dämp-fungskraft.

● Für den dynamischen Überhöhungsfaktor gilt:

V F (1)=1

2 D


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3.1 Kraftanregung

– Bereich 3: η > 1,2: überkri-tisch

● Bei schwacher Dämp-fung (D < 10 %) hat die Dämpfung praktisch kei-nen Einfluss.

● Die Antwort hat eine Phasenverschiebung von 180° gegenüber der Anregung.

● Die Beschleunigung ist in Phase mit der Anre-gung.

● Es gilt in guter Nähe-rung:

● Für η > 3 gilt:

● Für η > 3 ist die Träg-heitskraft groß gegen-über der Federkraft und der Dämpferkraft.

V F≈1

η2−1

V F <1

9−1=

18=0,125


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3.1 Kraftanregung

– Vernachlässigung der Dämpfung:● Außerhalb des kritischen Bereichs kann bei sehr schwacher

Dämpfung (D < 5 %) die Dämpfung in der Regel vernachläs-sigt werden.

● Für den Überhöhungsfaktor gilt die Näherung:

● Für den Phasenwinkel gilt die Näherung:

V F (η)=1

|1−η2|

ϕ(η)={ 0 ° für η<0,8−180 ° für η>1,2


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3.1 Kraftanregung

● Beispiel: Motorlagerung

– Gegeben:● Masse m = 1000 kg● Lehrsches Dämpfungs-

maß D = 2 %● statische Einfederung

unter EigengewichtxG = 10 mm

● Drehzahlen: n1 = 150 1/min, n2 = 1000 1/min

m

c d

x

F(t) = Fa cos(Ωt)

Motorträger


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3.1 Kraftanregung

● Lastamplituden: Fa (n1 ) = 500 N, Fa (n2 ) = 5000 N

– Für den eingeschwungenen Zustand sollen bestimmt wer-den:

● Amplitude der Motorverschiebung● Amplitude der Motorbeschleunigung● Amplitude der Kraft auf den Motorträger


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3.1 Kraftanregung

– Systemparameter:● Statische Einfederung

unter Eigengewicht:

● Eigenkreisfrequenz:

– Lastparameter:● Statische Verschiebung:

● Erregerkreisfrequenz:

c xG=m g

ω=√ cm =√

gxG

=√9810 mm10 mm s2

=31,32 1s

x S=F a

c =F a

ω2 m

Ω=2π n

60 s/min


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3.1 Kraftanregung

– Dynamische Überhöhungsfaktoren:

● exakt:

● bei Vernachlässigung der Dämpfung:

– Amplitude der Motorverschiebung:

– Amplitude der Motorbeschleunigung:

V F (η)=1

√ (1−η2 )

2+4⋅0,022

⋅η2

V F (η)≈1

|1−η2|

x a(η)=x S (η)V F (η)

aa (η)=Ω2 x a(η)


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3.1 Kraftanregung

– Zahlenwerte:

n1 = 150 1/min n

2 = 1000 1/min

xS 0,5097 mm 5,097 mm

Ω 15,71 1/s 104,7 1/s

η = Ω/ω 0,5016 3,343

VF exakt 1,336 0,09827

VF genähert 1,336 0,09827

xa 0,6810 mm 0,5009 mm

aa 0,1681 m/s2 5,491 m/s2


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3.1 Kraftanregung

– Kraft auf Motorträger: ● Auf den Motorträger wirkt die Federkraft und die Dämpferkraft:

● Für die einzelnen Amplitu-den gilt:

m

F(t)

Motorträger

FF

FF

FD

FD

F T ( t , η)=F F ( t , η)+F D ( t , η)

=c x S V F (η)cos (Ω t+ϕ)

−d xS V F (η)Ω sin(Ω t+ϕ)

c xS=F a

d xS=2 mδF a

c=

2 δ F a

ω2

=2 Dω F a


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3.1 Kraftanregung

● Damit gilt:

● Daraus folgt für die Amplitude der Kraft:

● Zahlenwerte:

F T ( t , η)=F a V F (η) ( cos(Ω t +ϕ)−2 D ηsin(Ω t+ϕ))

F Ta=F a V F (η)√1+4 D2η

2

F Ta(η1)=500 N⋅1,336⋅√1+4⋅0,022⋅0,50162

=668,1 N

F Ta(η2)=5000 N⋅0,09827⋅√1+4⋅0,022⋅3,3432

=495,7 N


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3.2 Weganregung

● Anregung:

– Das Fundament führt eine vorgeschriebene harmonische Bewegung durch:

– Beispiele:● Rütteltisch● fahrbahnerregte Fahr-

zeugschwingungen

m

c d

x

Fundamentx

F (t)

x F (t )=x Fa cos(Ω t )


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3.2 Weganregung


– Feder- und Dämpferkraft hängen von der Bewegung der Masse relativ zum Fundament ab:

– Der Schwerpunktsatz lautet:

– Mit folgt:

x r=x−xF → x=x F+ x r : F F=c x r , F D=d x r

mx

FF

FD

m x=−F D−F F

=−d x r−c xr

x= x F+ x r

m xr+d x r+c x r=−m xF

=m xFa Ω2 cos(Ω t )


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3.2 Weganregung

– Division durch m führt auf die Schwingungsgleichung

● Lösung:

– Für die rechte Seite der Schwingungsgleichung gilt:

– Die Lösung entspricht also der Lösung der Schwingungs-gleichung bei Kraftanregung, wenn

eingesetzt wird.

x r+2 δ x r+ω2 x r=Ω

2 x Fa cos(Ω t )

Ω2 xFa cos(Ω t )=ω

2η

2 xFa cos(Ω t )

x S=η2 x Fa


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3.2 Weganregung

– Damit gilt für die Relativverschiebung:

– Dynamischer Überhöhungsfaktor und Phasenwinkel sind gegeben durch

– Für die Amplitude der Relativverschiebung gilt:

x r (t , η)=V F (η)η2 xFa cos(Ω t+ϕ)=V B (η) xFa cos(Ω t+ϕ)

V B (η)=η2 V F (η)=

η2

√ (1−η2 )

2+4 D2

η2

, tan (ϕ)=−2 D η

1−η2

x ra(η)=V B(η) x Fa


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3.2 Weganregung



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3.2 Weganregung

– Für die Absolutverschiebung folgt:

– Ihre Amplitude berechnet sich zu

x (t ,η)=x F (t ,η)+ x r (t , η)

=x Fa cos(Ω t )+ x Fa V B (η)cos(Ω t+ϕ)

=x Fa [cos(Ω t )+V B (η) (cos(Ω t )cos(ϕ)−sin (Ω t )sin (ϕ)) ]=x Fa [ (1+V B (η)cos(ϕ) ) cos(Ω t )−V B (η)sin(ϕ)sin (Ω t ) ]

x a(η)=xFa √ (1+V B(η)cos(ϕ))2+V B

2(η)sin2

(ϕ)

=xFa √1+V B2(η)+2 V B(η)cos(ϕ)


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3.2 Weganregung

● Diskussion der Lösung:

– Unterkritischer Bereich: η < 0,8● Bei schwacher Dämpfung (D < 10 %) hat die Dämpfung prak-

tisch keinen Einfluss.● Es gilt in guter Näherung:

– Tiefer unterkritischer Bereich: η < 0,3

● Die Relativverschiebung ist vernachlässigbar klein.● Die Masse folgt der Bewegung des Fundaments.

V B(η)≈η

2

1−η2

V B(η)<0,32

1−0,32 <0,1


17.12.20

3.2 Weganregung

– Kritischer Bereich: 0,8 < η < 1,2● Dieser Bereich wird wesentlich von der Dämpfung bestimmt.

● An der Resonanzstelle η = 1 gilt:

– Überkritischer Bereich: η > 1,2● Bei schwacher Dämpfung (D < 10 %) hat die Dämpfung prak-

tisch keinen Einfluss.● Es gilt in guter Näherung:

● Für große Werte von η strebt VB gegen eins.

V B(1)=1

2 D

V B(η)≈η

2

η2−1


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3.2 Weganregung

– Hoher überkritischer Bereich: η > 4

● Der Überhöhungsfaktor ist nahezu eins.● Der Phasenwinkel ist nahezu -180°.● Die Relativverschiebung ist entgegengesetzt gleich groß wie

die Verschiebung des Fundaments.● Die Absolutverschiebung der Masse geht gegen null. Die

Masse steht nahezu still.

V B(η)<42

42−1

=1615

<1,1


17.12.20

3.2 Weganregung

– Vernachlässigung der Dämpfung:● Außerhalb des kritischen Bereichs kann bei sehr schwach

gedämpften Systemen (D < 5 %) die Dämpfung vernachlässigt werden.

● Für den Überhöhungsfaktor gilt die Näherung:

● Für den Phasenwinkel gilt die Näherung:

● Für die Absolutverschiebung gilt die Näherung:

V B(η)=η

2

|1−η2|

ϕ(η)={ 0 ° für η<0,8−180 ° für η>1,2

x ( t , η)={xFa (1+V B (η)) cos(Ω t ) für η<0,8

xFa (1−V B(η)) cos(Ω t ) für η>1,2


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3.2 Weganregung

● Beispiel:

– Ein Fahrzeug der Masse m fährt mit der konstanten Geschwindigkeit v.

– Die Unebenheit der Fahr-bahn wird beschrieben durch

– Reale Unebenheiten werden durch Uneben-heitsspektren beschrie-ben.

– Daten finden sich in der Norm ISO 8608 und im VDI-Bericht 877.

x

z

m

L

zF (x)

v

zF (x )=zFa cos (2 πxλ )


17.12.20

3.2 Weganregung

– Gegeben:● Masse: m = 1500 kg, Federsteifigkeit: c = 1,5·105 N/m● Lehrsches Dämpfungsmaß: D = 20 %● Geschwindigkeit: v = 30 m/s● Wellenlänge: λ = 60 m, Amplitude: zFa = 0,1 m

● Radabstand: L = 2,5 m

– Gesucht:● Relative Verschiebungsamplitude der Hubschwingung● Absolute Beschleunigungsamplitude der Hubschwingung


17.12.20

3.2 Weganregung

– Berechnungsmodell:● Der Radabstand ist klein im

Vergleich zur Wellenlänge. Daher kann angenommen werden, dass die Vertikal-verschiebung an beiden Rä-dern ungefähr gleich groß ist.

● Das Fahrzeug wird als ein-faches Feder-Masse-Dämp-fer-System modelliert.

m

c d

z

zF

(t)


17.12.20

3.2 Weganregung

– Anregung:

– Frequenzverhältnis:


x (t )=v t → zF (t )=zFa cos(2 πv tλ )=zFa cos(Ω t ) mit Ω=2 π

vλ

Ω=2 π30 m /s60 m

=3,1421s

, ω=√ 1,5⋅105 N /m1500 kg

=101s

→ η=0,3142

V B (0,3142)=0,31422

√ (1−0,31422 )2+4⋅0,22

⋅0,31422=0,1085


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3.2 Weganregung

– Amplitude der Relativverschiebung:

– Amplitude der Absolutbeschleunigung:

zra=zFa V B(0,3142)=0,1 m⋅0,1085=0,01085 m

tan (ϕ)=−2⋅0,2⋅0,31421−0,31422 =−0,1394

cos(ϕ)=1

√1+ tan2(ϕ)

=1

√1+0,13942=0,9904

za=0,1 m⋅√1+0,10852+2⋅0,1085⋅0,9904=0,1108 m

aa=Ω2 za=3,1422 s−2

⋅0,1108 m=1,094 m /s2


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3.3 Unwuchtanregung

● Rotierende Unwucht:

– Die Masse m0 wird durch die Zentrifugalkraft der ro-tierenden Masse mu zu Schwingungen angeregt.

– Beispiele:● Motor● Rad● Rüttler

m0

mu

Ωt

c d

x

r


17.12.20

m0

mu

x

FF

FD

Sx

Sx

3.3 Unwuchtanregung


– Kinematik:

– Unwuchtmasse:

– Schwinger:

– Kraftgesetze:

x u=x−r cos(Ω t )x u= x+r Ω

2 cos(Ω t )

∑ F x=mu xu : mu xu=S x

∑ F x=m0 x : m0 x=−F F−F D−S x

F F=c x , F D=d x


17.12.20

3.3 Unwuchtanregung

– Einsetzen der Kräfte in die Gleichung für den Schwinger er-gibt:

– Mit der Gesamtmasse m = m0 + mu folgt:

– Division durch die Gesamtmasse führt auf die Schwin-gungsgleichung:

m0 x=−c x−d x−mu ( x+r Ω2 cos(Ω t ))

→ ( m0+mu ) x+d x+c x=−mu r Ω2 cos(Ω t )

m x+d x+c x=−mu r Ω2 cos(Ω t )

x+2 δ x+ω2 x=−Ω

2 r m cos(Ω t ) mit r m=mu

m r


17.12.20

3.3 Unwuchtanregung

● Lösung:

– Die Schwingungsgleichung bei Unwuchtanregung ist vom gleichen Typ wie die Schwingungsgleichung bei Weganre-gung.

– Sie hat die Lösung:

– Für die Amplitude gilt:

x (t ,η)=−r mV B (η)cos(Ω t+ϕ)

x a(η)=V B (η)rm

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