Capitulo I Drude
-
Upload
anonymous-aeve3bjny -
Category
Documents
-
view
20 -
download
2
description
Transcript of Capitulo I Drude
-
Teoria dos Slidos:
Captulo I: Modelo de Drude
Mrio Ernesto Giroldo Valerio [email protected]
-
Apresentao
Modelo de Drude (1900): Drude, Paul (1900). "Zur
Elektronentheorie der metalle". Annalen der Physik 306 (3): 566. Bibcode:1900AnP...306..566D. doi:10.1002/andp.19003060312.
Drude, Paul (1900). "Zur Elektronentheorie der Metalle; II. Teil. Galvanomagnetische und thermomagnetische Effecte". Annalen der Physik 308 (11): 369. Bibcode:1900AnP...308..369D. doi:10.1002/andp.19003081102.
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-2
Paul Karl Ludwig Drude
Nacionalidade Alemo
Nascimento 12 de julho de 1863
Local Braunschweig
Morte 5 de julho de 1906 (42 anos)
Local Berlim
Descoberta do eltron em
1897 por JJ Thomson
Cap I - Drude
-
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2
I.1- Prembulo
Modelo de Drude foi proposto para explicar algumas propriedades importantes dos metais tais como a conduo eltrica e trmica.
As Hipteses bsicas do modelo consideram os eltrons como um gs e aplica a teoria cintica dos gases.
Drude adaptou a teoria cintica fazendo hipteses adicionais.
Eltrons so esferas rgidas que se movem em linha reta at sofrer uma coliso.
O tempo envolvido na coliso propriamente dita desprezvel
As nicas foras existentes so as que aparecem devido as colises.
Num gs ideal s existe um tipo de partcula. No metal, por outro lado devem existir pelo menos dois tipos:
os eltrons, que compes o gs, que so partculas com carga negativa,
as cargas positivas, que Drude considerou serem imveis por estarem ligadas a partculas muito mais pesadas, os ncleos dos tomos.
3 Cap I - Drude
-
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-4
: =
=
= 6,022 1023 /
Cap I - Drude
-
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-5
:
=
=1
=4
3
3
=3
4
3
0 =2
2
Raio da esfera que define o
volume mdio por eltron
~ 2 3 0
Cap I - Drude
-
I.2 Hipteses do modelo de Drude
1. A interao dos eltrons com outros eltrons e como
os caroos de carga (Z-Zc) so desconsideradas no intervalo de tempo entre as colises.
Na ausncia de campo eltrico externo aplicado, os eltrons movem-se em linha reta.
Na presena de campos externos, a trajetria dos eltrons entre colises dada pela leis de Newton, de
acordo com a fora produzida devido ao campo externo.
Desconsiderar a interao eltron-eltron entre colises : aproximao de eltrons independentes.
Desconsiderar a interao eltron ncleos entre colises: aproximao de eltrons livres.
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-6 Cap I - Drude
-
I.2 Hipteses do modelo de Drude
2. Coliso no modelo de Drude tem o mesmo significado da coliso na teoria cintica dos gases, um evento abrupto que
muda a velocidade do eltron.
Drude considerou as colises dos es com os caroos dos ons, diferentemente do que considerado no modelo cintico
dos gases, no qual as colises acontecem entre as partculas
do gs.
A coliso e-e at hoje uma das interaes menos importantes nas propriedades dos metais e dos slidos em
geral, em condies normais.
A aproximao de Drude, no entanto, dos ons funcionarem somente como centros espalhadores dos es livres e do
espalhamento dos es acontecerem somente pelos ions, est
longe de ser uma boa aproximao.
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-7 Cap I - Drude
-
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-8 Cap I - Drude
-
I.2 Hipteses do modelo de Drude
3. A probabilidade por unidade de tempo de
que um eltron sofra uma coliso 1/.
A 1 implicao desta hiptese que a
probabilidade de que um eltron sofra uma
coliso num intervalo de tempo infinitesimal
/.
tempo de relaxao, ou tempo mdio livre
ou tempo de coliso.
No modelo de Drude, considerado
independente do tempo e da posio do eltron.
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-9 Cap I - Drude
-
I.2 Hipteses do modelo de Drude
4. O equilbrio trmico com o meio mantido
atravs das colises.
Aps a coliso, a velocidade do eltron no
diretamente ligada a velocidade que ele tinha antes
da coliso mas ter direo e sentidos aleatrio e
mdulo que depende da temperatura local onde a
coliso ocorre.
Usando a equipartio de energia:
2
2=
3
2 (I.1)
Qto mais quente for o local onde ocorre a coliso,
maior a velocidade do eltron aps a coliso.
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-10 Cap I - Drude
-
I.3- Condutividade DC de metais
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-11
A
Densidade de corrente: =
" "
=
Carga total que atravessar a rea A no intervalo :
Densidade de corrente: = (I.2)
Cap I - Drude
-
I.3- Condutividade DC de metais
Qdo no tem campo aplicado, os eltrons tem velocidade em direes e sentidos aleatrios de forma que a velocidade mdia dos eltrons 0 deve ser zero.
Qdo um campo eltrico externo aplicado, cada eltrons ter no instante t aps uma coliso uma velocidade 0 mais um termo que vem da interao com o campo eltrico, ou seja:
= 0 + = 0
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-12 Cap I - Drude
-
I.3- Condutividade DC de metais
= 0 + = 0
Tomando as mdias:
= 0 + = 0
(I.3)
Usando (I.3) na equao (I.2) da dens de corrente vem:
= = 2
Reescrevendo: =
2
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-13 Cap I - Drude
-
I.3- Condutividade DC de metais
=
2
Lei de Ohm, com resistividade 0 =
2 (I.4)
Forma alternativa: = 0, com 0 =2
(I.5)
0 =1
0 condutncia DC do metal
Modelo de Drude reproduz a lei de Ohm de uma forma surpreendentemente boa e ainda permite expressar a resistividade ou condutividade dos metais em funo de caractersticas prprias de cada metal.
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-14 Cap I - Drude
-
I.3- Condutividade DC de metais
Na expresso (I.4) da resistividade a nica varivel desconhecida o tempo de relaxao .
Podemos ento estimar usando =
2.
Como no depende de T, ento a resistividade de um metal seria independente da temperatura.
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-15 Cap I - Drude
-
I.3- Condutividade DC de metais
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-16 Cap I - Drude
-
I.3- Condutividade DC de metais
A tabela indica que os valores de ~1015 10141 em T=300K. Estes valores so razoveis?
Livre caminho mdio (distncia mdia percorrida por um eltron entre colises): = 0
Equipartio da energia: 1
20
2 =3
2
0~107
~1 10
Comparvel com as distncias interatmicas nos slidos e portanto coerente com a hiptese de Drude sobre as colises dos eltrons com os ons do metal.
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-17 Cap I - Drude
-
I.3- Condutividade DC de metais
Dois problemas:
0 pelo menos 1 ordem de magnitude menor do que o valor real a T ambiente.
Em T=77K o valor de 0 pelo menos 1 ordem de magnitude maior do que o valor observado.
O modelo de Drude prev ento que 0 deve depender de T e sabe-se hoje que 0 independente de T.
Com este valor de 0 previsto por Drude, ~103 , ou seja,
~1000 vezes maior do que as distncias interatmicas e isso seria
difcil de acomodar no modelo j que a coliso dos es com os
ions do metal.
Como a interpretao do significado de no ento coerente, para poder usar o modelo importante deduzir
varveis e propriedades que sejam independentes de .
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-18 Cap I - Drude
-
I.4- O momento do eltron
() = () e () =()
Qual o momento que o eltron teria no instante ( + ) se ele no colidir, ou seja, se ele se mover s sob ao do
campo de foras externo?
Expandindo em srie:
( + ) () +()
+
2()
2 2
( + ) () + () + 2
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-19 Cap I - Drude
-
I.4-Variao do momento do eltron
Qual a probabilidade de um eltron no sofrer coliso no intervalo (, + ) ? Probabilidade dele SOFRER (/) Probabilidade dele NO SOFRER (1 /)
Qual o momento mdio destes eltrons que no sofreram coliso no intervalo (, + )? Momento dos eltrons x frao dos eltrons que no
sofreram coliso.
( + )
1
+ + 2
( + )
+ + 2
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-20 Cap I - Drude
-
I.4-Variao do momento do eltron
Qual o momento mdio dos eltrons que SOFRERAM coliso no intervalo (, + ) ? Momento mdio que os eltrons adquirem na
coliso + momento adquirido pelos eltrons aps
a coliso x frao dos eltrons que sofreram
coliso.
( + ) 0 +
+ 2
( + ) 0 + 2
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-21 Cap I - Drude
-
I.4-Variao do momento do eltron
Juntando tudo...
( + ) ( + )+ ( + )
( + )
+ + 2 (I.6)
A contribuio dos eltrons que sofreram coliso
somente no termo das correes 2.
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-22 Cap I - Drude
-
I.4-Variao do momento do eltron
Note que: ( + ) = ( + ), ento:
( + ) =
+
lim0
(+)
=
()
=
+ (I.7)
O efeito ento de existir coliso dado pelo
primeiro termo que representa uma fora
proporcional ao momento, ou seja, proporcional a
velocidade, e em sentido contrrio.
ATRITO VISCOSO!
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-23 Cap I - Drude
-
I.5 Efeito Hall
Edwin Herbert Hall (1855-
1938)
Born November 7, 1855
Gorham, Maine, USA
Died
November 20, 1938
(aged 83)
Cambridge,
Massachusetts, USA
Fields Physicist
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-24
Relatado em 1879 por Edwin H Hall
Edwin Hall (1879). "On a New Action of the Magnet on Electric Currents".
American Journal of Mathematics 2
(3): 28792. doi:10.2307/2369245. JSTOR 2369245.
Aparecimento de um campo eltrico em um condutor com
direo perpendicular a corrente
que circula no condutor e ao
campo magntico aplicado.
Cap I - Drude
-
I.5- Efeito Hall
Fora de Lorentz sobre os eltrons:
=
Se a densidade de corrente for mantida constante pelo gerador externo, a fora de Lorentz ser constante, gerando uma
componente de corrente que produzir um campo eltrico .
A medida que cresce, a fora devido ao campo e tambm
cresce at que esta fora compense a fora de Lorentz, cessando
, e o campo passa a ser constante.
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 25
Cap I - Drude
-
I.5- Efeito Hall
Caso o eltron tivesse carga positiva, o campo eltrico
apareceria com sentido oposto e a ddp teria sinal oposto.
O efeito Hall portanto um fenmeno importante pois a partir do sinal do campo eltrico transversal produzido possvel determinar
qual o sinal do portador de carga majoritrio em um slido qquer.
Os experimentos de Hall teve uma grande relevncia pois o sinal da carga predominante nos metais foi o mesmo do resultado obtido por
Thomson para os raios catdicos.
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 26
Cap I - Drude
-
I.5- Efeito Hall
No efeito Hall existem duas grandezas importantes:
Magnetoristncia Hall: =
Hall encontrou que na verdade era independente de H.
Coeficiente Hall: =
Este coeficiente de proporcionalidade vem do fato de que o campo eltrico transversal deve compensar a fora de
Lorentz, cujo mdulo depende tanto da corrente externa
aplicada qto da intensidade do campo magntico aplicado.
Outra forma de ver que o efeito Hall determina o sinal da carga dos portadores olhar o sinal de . < 0
> 0
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-27 Cap I - Drude
-
I.6 Modelo de Drude e efeito Hall
Vamos usar a equao (I.7) para o momento do eltron no modelo de Drude:
()
=
+
Vamos escrever a fora sobre cada eltron em termos dos campos eltricos e do campo magntico externo H.
= +1
= +
Combinando as duas:
=
+
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 28 Cap I - Drude
-
I.6 Modelo de Drude e efeito Hall
=
+
Sabemos que s tem componente nas direes e e no estado de equilbrio a corrente (que depende do do eltron) constante.
: 0 =
: 0 = +
,
com =
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 29 Cap I - Drude
-
I.6 Modelo de Drude e efeito Hall
0 =
0 = +
, com =
Usando o fato de que o momento pode ser escrito em funo da corrente:
= =
Multiplicando as duas eqs por
:
0 = + 0 = +
(I.8),
com 0 =2
- condutividade DC de Drude
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 30 Cap I - Drude
-
I.6 Modelo de Drude e efeito Hall
No equilbrio no deve haver corrente na direo , fazendo = 0 na 2 eq:
0 = =
0
=
=
1
O modelo de Drude fornece um resultado surpreendente de que o coeficiente Hall s depende
da densidade de portadores.
Como no incio foi feita a hiptese de que os eltrons de valncia que contribuem para a densidade de
portadores, a medida do coeficiente Hall permite
testar esta hiptese.
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 31
=
Cap I - Drude
-
I.6 Modelo de Drude e efeito Hall
= 1
O modelo de Drude prev que o coef Hall
no depende de H.
O que se observa ao tentar obter de , que existe uma
dependncia com T, H
e com o cuidado com o
qual a amostra
preparada.
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 32 Cap I - Drude
-
I.6 Modelo de Drude e efeito Hall
= 1
O modelo de Drude prev que o coef Hall
no depende de H.
O que se observa ao tentar obter de , que existe uma
dependncia com T, H
e com o cuidado com o
qual a amostra
preparada.
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 33 Cap I - Drude
-
I.6 Modelo de Drude e efeito Hall
No equilbrio 0 = e o modelo de
Drude prev que no existe dependncia
da condutividade com o campo magntico
aplicado, como observado por Hall.
Adicionalmente, a condutividade a
mesma obtida na ausncia de campo
magntico.
Novamente, medidas bem mais precisas
mostram que isso no verdade.
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 34 Cap I - Drude
-
I.6 Modelo de Drude e efeito Hall
Uma consequncia interessante do modelo de Drude para o efeito Hall vem do produto que adimensional.
Qdo 1, as eqs (I.8)
0 = + 0 = +
fornecem , como se o campo magntico estivesse ausente.
De uma maneira geral formar um ngulo com , com tan = .
chamado de frequncia de cclotron e corresponde a velocidade angular de um eltron na presena de um campo magntico.
Ento, qdo pequeno, rbita dos eltrons perturbada bem pouco no intervalo de tempo entre colises.
Por outro lado, qdo grande, os eltrons podem executar vrias revolues antes de sofre uma coliso o que muda bastante a direo inicial
do momento e da corrente.
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 35 Cap I - Drude
-
I.7 Condutividade AC dos metais
Consideremos um campo eltrico aplicado AC da forma:
=
A eq de movimento para os eltrons fica:
=
.
A soluo do estado estacionrio : =
Substituindo na eq de movimento tanto qto e considerando que esta eq deve ser satisfeita tanto para a
parte real qto para a parte imaginria de qquer soluo,
obteremos:
=
Como = obteremos:
=2
1
= , =2
1
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-36 Cap I - Drude
-
I.7 Condutividade AC dos metais
= , =2
1
Usando o valor da condutividade DC de Drude
0 =2
:
=0
1
Note que qdo 0, 0 , como era de se esperar.
A aplicao mais importante deste resultado na propagao de ondas eletromagnticas nos
metais.
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-37 Cap I - Drude
-
I.7 Condutividade AC dos metais
0 =2
, =
01
, 0, 0.
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-38
0,01 0,1 1 10 100
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
Re()/
Im()/
R = 01
1 + 22
I = 0
1 + 22
Cap I - Drude
-
I.8 Propagao de ondas eletromagnticas nos metais
Para tratar da propagao de onda
eletromagntica, precisamos considerar dois
termos adicionais:
1. Numa onda eletromagntica, existe sempre o
campo magntico presente.
O que significa que temos que considerar na fora um
termo adicional
=
.
Como a velocidade dos eltrons baixa, da ordem de
0,1cm/s mesmo em densidades de correntes altas ~
1A/mm2, este termo pode ser desconsiderado nos
clculos.
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-39 Cap I - Drude
-
I.8 Propagao de Ondas eletromagnticas nos metais
Para fazer isso, no entanto, precisamos considerar dois termos adicionais:
2. Os campos numa onda eletromagntica variam com
tempo e a posio.
Apesar das eqs at agora no considerarem isso, note que o efeito do campo na posio s depende do efeito do campo eltrico atuando desde a ltima coliso, que em mdia, est a
poucas unidades de livre caminho mdio de distncia.
Ento, se o campo eltrico variar mais suavemente do que o livre caminho mdio dos eltrons no metal, podemos
considerar como uma boa aproximao simplesmente
substituir por , nas equaes anteriores, obtendo:
, = ,
que vlido s se o comprimento de onda da radiao .
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-40 Cap I - Drude
-
I.8 Propagao de ondas eletromagnticas nos metais
Escrevendo agora as eqs de Maxwell para o problema:
= 0, = 0,
= 1
, =
4
+
1
Substituindo nas ltimas duas eqs = , =
e = , obteremos:
=
=4
=
4
= 2 = 2 ( = 0)
2 =2
21 +
4
(I.9)
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-41 Cap I - Drude
-
I.8 Propagao de Ondas eletromagnticas nos metais
2 =2
21 +
4
(I.9)
Esta equao tem a forma usual de uma equao de
onda 2 =2
2 , com:
= 1 +4
, =
0
1 e 0 =
2
= 1 +4
0
1= 1 +
4
2
1
Definindo: 2 =
42
Obtemos: = 1 +
2
1 (I.10)
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-42 Cap I - Drude
-
I.8 Propagao de Ondas eletromagnticas nos metais
Obtemos: = 1 +
2
1 (I.10)
Para o caso 1 teremos:
= 1 2
2 (I.11)
o Escrevendo explicitamente a dependncia com a
posio: = , e substituindo em
2 =2
2 , obteremos, no caso 1:
2 = 2
2 (I.12)
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-43 Cap I - Drude
-
I.8 Propagao de Ondas eletromagnticas nos metais
1,
= 1 2
2 (i.11)
2 = 2
2 (I.12)
Qdo < , < 0, 2 < 0, o que significa que o
vetor de onda imaginrio e isso implica que
e o campo eltrico cai exponencialmente, no havendo propagao de onda.
Qdo > , > 0, 2 > 0, e o vetor de onda
agora real. Haver propagao de onda.
O caso limite acontece qdo = .
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-44 Cap I - Drude
-
I.8 Propagao de Ondas eletromagnticas nos metais
Qdo = =42
:
Usando 1
=
4
3
3 e ~ 2 0 (Slide 5)
= 2,5 1016
Como ~10151 (Slide 16)
~25 1
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-45 Cap I - Drude
-
I.8 Propagao de Ondas eletromagnticas nos metais
Qdo = =42
:
=2
= 0,26
0
32 103
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-46 Cap I - Drude
-
I.8 Propagao de Ondas eletromagnticas nos metais
Qdo = =42
:
chamada de frequncia de plasma.
O nome vem porque qdo = todos os
eltrons no gs de eltrons se encontram em
um movimento oscilatrio coletivo.
A densidade eletrnica apresenta um
flutuao peridica dada que
chamada de oscilao do plasma ou plasmon.
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-47 Cap I - Drude
-
I.8 Propagao de Ondas eletromagnticas nos metais
O plasmon pode ser entendido atravs de um
modelo simples.
O gs de eltrons desloca-se coletivamente de uma
distncia em relao ao fundo positivo formado pelos ons do metal.
Um campo eltrico instantaneamente gerado
devido a densidade de
cargas nas extremidade do
fio.
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-48 Cap I - Drude
-
I.8 Propagao de Ondas eletromagnticas nos metais
A equao de movimento ento para o gs de
eltrons dada por:
= 4
= 42
+42
= 0
Eq de um oscilador harmnico com freq
angular =42
.
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-49 Cap I - Drude
-
I.9 Condutividade Trmica
Lei de Wiedemann e Franz (1853):
Franz, R.; Wiedemann, G. (1853). "Ueber die Wrme-Leitungsfhigkeit
der Metalle". Annalen der Physik (in
German) 165 (8): 497531. Bibcode:1853AnP...165..497F.
doi:10.1002/andp.18531650802.
Razo entre a condutividade trmica e a condutividade eltrica
proporcional a temperatura com
a mesma constante de
proporcionalidade para muitos
metais.
0= = 2,44 108
2
- Constante de Lorenz
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-50 Cap I - Drude
-
I.9 Condutividade Trmica
No modelo de Drude, os eltrons so responsveis por fazer o transporte de calor.
Esta hiptese vem da observao de que os metais so melhores condutores de calor do que os isolantes.
Condutividade trmica devido aos ons desprezada.
Para aplicar o modelo de Drude vamos considerar uma barra metlica na qual exista um gradiente de temperatura que varie
pouco com a posio.
variar pouco neste caso significa que a temperatura praticamente no varia dentro de um livre caminho mdio .
Vamos supor ainda que o gradiente de temperatura mantido constante no tempo de forma que o fluxo de calor constante,
produzindo um estado estacionrio.
Isto conseguido mantendo uma fonte de calor fornecendo calor a extremidade quente na mesma taxa que o calor retirado desta extremidade em direo a extremidade fria.
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-51 Cap I - Drude
-
I.9 Condutividade Trmica
A primeira teoria sobre o fluxo de calor foi formulada por Fourier em 1822.
JEAN BAPTISTE JOSEPH FOURIER. Fourier. J. (1955) The Analytical Theory of Heat, Dover Publications, New York.
Seguindo o modelo de Fourier, a densidade de corrente trmica paralela ao gradiente de temperatura s que em sentido contrrio.
= A densidade de corrente trmica paralela ao fluxo de calor e com
magnitude que representa a quantidade de energia trmica por unidade
de tempo que atravessa uma rea unitria perpendicular ao fluxo de
calor.
O sinal negativo na expresso do fluxo de calor esta relacionado com o fato de que a energia trmica flui da regio mais quente para a mais
fria, portanto, contrrio ao gradiente de temperatura.
- condutividade trmica, constante estritamente positiva.
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-52 Cap I - Drude
-
I.9 Condutividade Trmica
Vamos considerar inicialmente o caso estritamente unidimensional.
Os eltrons movem-se somente na direo , ou seja, em um determinado ponto , em mdia metade dos eltrons vem do lado quente e metade do lado frio.
Se representa a energia trmica por eltron em um metal em equilbrio trmico a temperatura , ento um eltron que sofreu a ltima coliso na posio , em mdia, ter energia trmica .
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-53 Cap I - Drude
-
I.9 Condutividade Trmica
Os eltrons que chegam em do lado quente, em mdia, sofreu sua ltima coliso em e tero ento energia trmica .
Consideramos aqui que o lado quente o lado que est na direo de x
A contribuio destes eltrons para a densidade de corrente trmica ser ento o (nmero destes eltrons) x
(a velocidade destes eltrons) x (energia por eltron):
2
Similarmente, a contribuio dos eltrons que vem do lado frio ser:
2 +
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-54 Cap I - Drude
-
I.9 Condutividade Trmica
A densidade de corrente trmica ento:
=
2 +
Considerando que o gradiente de
temperatura pequeno, em comparao
com = , podemos expandir em srie
em torno do ponto e preservar apenas a
contribuio at 1 ordem, obtendo:
= 2
(I.13)
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-55 Cap I - Drude
-
I.9 Condutividade Trmica
Para generalizar agora para o caso 3D, precisamos fazer duas substituies:
Trocar a velocidade mdia unidimensional para a mdia
3D, lembrando que 2 =
2 = 2 =
1
32,
=
=
1
= , onde a energia interna do
gs de eltrons e o calor especfico eletrnico.
Substituindo teremos:
=1
32 (I.14)
Portanto:
=1
32 (I.15)
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-56
=
Cap I - Drude
-
I.9 Condutividade Trmica
Podemos agora usar a previso do
modelo de Drude para checar a Lei de
Widemann Franz e calcular a razo
condutividade trmica pela condutividade
eltrica DC.
=1
32 e 0 =
2
0=
1
32
2=
1
3
2
2
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-57 Cap I - Drude
-
I.9 Condutividade Trmica
0=
1
3
2
2,
No modelo de Drude natural que usemos o
calor especfico de um gs ideal que
=3
2.
Usando a equipartio de energia,
obteremos ento:
0=
1
33
2
2
2
0=
3
2
2
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-58 Cap I - Drude
-
I.9 Condutividade Trmica
Ento o modelo de Drude prev para a
constante de Lorenz:
=
0=
3
2
2
Substituindo os valores das constantes
teremos:
=
0=
3
2
2= 1,11 108
2
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-59 Cap I - Drude
-
I.9 Condutividade Trmica
=
0=
3
2
2
= 1,11 108
2
Este valor metade do valor de na Lei de Widemann Franz.
Drude inicialmente achou para a condutividade DC
metade do valor correto,
produzindo ento um valor
de = 2,22 108
2,
muito prximo ao valor de
Widemann-Franz.
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-60 Cap I - Drude
-
I.9 Condutividade Trmica
Apesar do erro de Drude, o que impressiona o fato
de uma teoria to simplista conseguir reproduzir
valores experimentais com um erro de apenas um
fator 2.
O modelo se baseia em uma considerao bem
estranha que a de que o calor especfico do gs de
eltrons igual a de um gs ideal, =3
2.
Em temperatura ambiente, nunca foi observado para
o calor especfico de qquer metal uma contribuio
desta ordem de grandeza devida aos eltrons.
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-61 Cap I - Drude
-
I.9 Condutividade Trmica
Hoje sabe-se que este resultado na verdade
fortuito e est associado com a combinao de
2 erros no modelo de um fator 100 que se
compensam:
Em T ambiente, a contribuio dos eltrons para
pelo menos 100 vezes menor do que o previsto
pela teoria clssica,
A velocidade quadrtica mdia eletrnica, por outro
lado, 100 vezes maior do que a prevista pela
teoria clssica
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-62 Cap I - Drude
-
I.9 Condutividade Trmica
Precisamos agora corrigir um erro devido o tratamento grosseiro
feito at o momento e que mascara um efeito fsico importante.
Todo o clculo foi baseado no fato de que o gradiente de
temperatura apenas influencia o fluxo de calor via a energia
carregada pelos eltrons no local da sua coliso e a relao
disso com a temperatura.
No entanto, se os eltrons saem de uma coliso com energia
maior qdo a T maior, isso significa que a sua velocidade
tambm deve ser maior.
Deveramos considerar que a velocidade dos eltrons e,
portanto, a contribuio para a energia trmica depende do local
a ltima coliso.
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-63 Cap I - Drude
-
I.9 Condutividade Trmica
Qdo aplicamos um gradiente de temperatura em uma barra de metal, haver um fluxo de eltrons em direo a
extremidade fria associada a densidade de corrente
trmica.
Como os eltrons tem carga, o fato dos eltrons terem agora um velocidade mdia no nula implicar no
aparecimento de uma corrente eltrica na barra.
No entanto, medidas de condutividade trmica so feitas em circuito aberto e o fato de haver uma corrente eltrica
numa direo preferencial da barra, que no drenada
por um circuito externo, criar um campo eltrico na
barra que passar a se opor ao movimento dos eltrons.
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-64 Cap I - Drude
-
I.9 Condutividade Trmica
Com o passar do tempo a corrente eltrica
cessar e a velocidade mdia dos
eltrons, na situao estacionria voltar a
ser zero.
Isso concorda com a nossa considerao
feita at agora.
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-65 Cap I - Drude
-
I.9 Condutividade Trmica
Esta discusso, no entanto, revela um
aspecto interessante: em uma barra
metlica longa e fina, deve aparecer um
campo eltrico oposto ao gradiente de
temperatura.
Efeito termoeltrico ou efeito Seebeck !
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-66 Cap I - Drude
-
I.10 Efeito Seebeck
Seebeck, T. J. (1825) "Magnetische Polarisation der Metalle und Erze durch Temperatur-Differenz" (Magnetic polarization of metals and minerals by temperature differences), Abhandlungen der Kniglichen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (Treatises of the Royal Academy of Sciences in Berlin), pp. 265-373.
Seebeck (1826) "Ueber die Magnetische Polarisation der Metalle und Erze durch Temperatur-Differenz," (On the magnetic polarization of metals and minerals by temperature differences), Annalen der Physik und Chemie, 6 : 1-20, 133-160, 253-286.
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-67
Thomas Johann Seebeck
Born 9 April 1770
Reval
Died 10 December 1831
Berlin[1]
Fields Physics
Known for Discovering the
thermoelectric effect
Cap I - Drude
-
I.10 Efeito Seebeck
O campo eltrico gerado escrito como:
= , - coeficiente Seebeck
Vamos fazer 1 o tratamento unidimensional:
A velocidade eletrnica mdia num ponto devido ao
efeito Seebeck =1
2 + =
=
2
2=
2
2
Em 3D, fazemos a substituio 2 1
32:
=
6
2
(I.16)
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-68 Cap I - Drude
-
I.10 Efeito Seebeck
A velocidade mdia devido ao campo eltrico gerado :
=
(I.17)
No equilbrio + = 0:
6
2
= 0
Usando = :
6
2
+
= 0
=
6
2
=
6
2
=
1
3
2
2=
3 (I.18)
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-69 Cap I - Drude
-
I.10 Efeito Seebeck
= 3
(I.18)
Drude usou novamente (erradamente!) o do gs ideal obtendo:
= 2= 43
(I.18)
MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-70
"Absolute Seebeck coefficients of various metals up
to high temperatures" by Nanite - Own work.
Licensed under Creative Commons Zero, Public
Domain Dedication via Wikimedia Commons -
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Absolute_S
eebeck_coefficients_of_various_metals_up_to_hig
h_temperatures.svg#mediaviewer/File:Absolute_Se
ebeck_coefficients_of_various_metals_up_to_high
_temperatures.svg
Cap I - Drude