Die relativen Atom-, Molekül- und Ionenmassen atomare Masseneinheit u:

12

11

12CfatomKohlenstofvonMasse

u =

kg1066055,11 27−⋅=u

relative Atommasse rA :

ueitMasseneinhatomare

AtomseinesMasseAr

1=

relative Molekülmasse rM :

Summe der relativen Atommassen der das Molekül aufbauenden Atome. Beispiele:

Wasserstoff: umH 1,007825kg106735,1 27 =⋅= −

007825,1)(1 =HAr

0153,18)(

00000,12)(

2

12

=

=

OHM

CA

r

r

Die Stoffmenge Unter der Stoffmenge υ (oder Teilchenmenge) versteht man eine aus gleichartigen Teilchen bestehende Substanzmenge, die durch die Anzahl der in ihr enthaltenen Teilchen charakterisiert wird. Basiseinheit: 1 mol 1mol ist die Stoffmenge eines Systems, das aus ebenso vielen Einzelteilchen besteht, wie Atome in 12/1000 kg

des Kohlenstoffnuklids C12

enthalten sind. Die Einzelteilchen können Atome, Moleküle, Ionen, Elektronen sowie andere Teilchen oder Gruppen von beliebigen Teilchen sein. Die Stoffmenge 1 mol enthält unabhängig von äußeren

Bedingungen immer die gleiche Anzahl AN von

Teilchen.

Avogadro – Konstante: mol

1100221,6 23⋅=AN

Vergleich zur Veranschaulichung der Größenordnung: Wenn die Gasteilchen, die unter normalen Bedingungen in ein Wasserglas passen, so groß wie Erbsen wären, dann könnte man Europa etwa 100 m hoch damit bedecken.

Zusammenhang zwischen der Masse m und der Stoffmenge υ :

molare Masse: TeilchenAmolar mNm

M ==υ

Einheit: kg/mol Es gilt: Der Zahlenwert der in g/mol gemessenen molaren Masse einer homogenen Substanz stimmt mit der relativen Atom- oder Molekülmasse dieser Substanz überein.

mol

grmolar AM = , bzw.

mol

grmolar MM =

ideales Gas:

molares Volumen: υ

VVmolar = , Einheit: m3/mol

l/mol414,22=molarV unter Normalbedingungen

( C°= 0ϑ und 1013=p mbar)

Beispiele: 1. Berechnung der Masse eines Wasserstoffatoms ausgehend von der relativen Atommasse:

007825,1)( =HAr Gasförmiger Wasserstoff: H2 – Molekül

01565,2)( 2 =HM r

⇒ molare Masse mol

gMmolar 01565,2=

Masse eines einzelnen H2 – Moleküls:

gm

gmol

molg

N

Mm

H

A

molarH

24

24

123

1

2

106735,1

10347,31000221,6

01565,2

−

−

−

−

⋅=⇒

⋅=⋅

==

2. Größe von Silberatomen abschätzen:

870,107)( =AgAr daraus folgt s.o. gmAg2410179 −⋅=

Dichte von Silber: 33105,10 −⋅= mkgAgρ

Gesamtmasse der in einem Würfel mit der Kantenlänge von 1 m enthaltenen Silberatome:

kgVm3105,10 ⋅== ρ

⇒ Anzahl der im Würfel enthaltenen Atome:

28

27

3

1087,510179

105,10⋅=

⋅

⋅==

−kg

kg

m

mN

Ag

Volumen das ein Atom einnimmt:

330

28

3

100,171087,5

1m

mVAg

−⋅=⋅

=

Dies entspricht einem Würfel mit der Kantenlänge:

mma103 330 106,2100,17 −− ⋅=⋅=

und der Raumdiagonale:

1010 105,4106,233 −− ⋅=⋅⋅== mad

Der Durchmesser liegt zwischen der ein- und umschriebenen Kugel und beträgt etwa:

mdAg10105,3 −⋅=

Die allgemeine Gasgleichung

°+= ϑϑ

CVV

15,273

110 , .constp = und

°+= ϑϑ

Cpp

15,273

110 , .constV =

mit KC

KT 15,2731 +

°= ϑ bzw. )15,273(1 KT

K

C−

°=ϑ

folgt K

TVVT

15,2730= (bei konstantem Druck)

und K

TppT

15,2730= (bei konstantem Volumen)

Betrachtet man eine abgeschlossene Gasmenge folgt:

2

1

2

1

T

T

V

V= ( .)constp =

2

1

2

1

T

T

p

p= ( .)constV =

Es gilt also: .constT

pV= bzw.: CTpV =

0p

0

0

V

T

abgeschlossene Gasmenge:

0

0

0

VV

TT

pp

=

=

=

Druck wird bei konstanter Temperatur erhöht:

'1

0

1

VV

TT

pp

=

=

=

1

00'1

'1100

p

VpV

VpVp

=

=

Temperatur wird bei konstantem Druck erhöht:

1

1

1

VV

TT

pp

=

=

=

0

00

1

11

0

1'

1

1

T

Vp

T

Vp

T

T

V

V

=

⇒=

01 pp >

'1

0

V

T

1

1

V

T

1p

allgemeine Gasgleichung oder Zustandsgleichung der Gase (ideale Gase)

Die Konstante C: abgeschlossene Gasmenge unter Normalbedingungen:

mbarp

KCT

normal

normal

1013

15,2730

=

=°=

Die Gasmenge nimmt dann ihr Normalvolumen normalV

ein:

Es gilt: normal

normalnormal

T

VpC = bzw.: normalVC ~

Bezugsvolumen:

molares Volumen mit 1322414 −= molcmVmolar

RC → , die allgemeine Gaskonstante mit

1113

3143,815,273

10132522414 −−−

=⋅

= molJKK

PamolcmR

Will man die allgemeine Gasgleichung auf ein beliebiges

Volumen beziehen gilt mit υ/VVmolar = :

RTpV υ=

universelle Gasgleichung

Mit ANN υ= folgt:

RTN

NpV

A

= ⇒ NkTTN

RNpV

A

==

Boltzmann Konstante 123103806,1 −−⋅= JKk

Zusammenhang zwischen drei wichtigen universellen Naturkonstanten:

AkNR =

Sonderfälle:

1. .constT = Isothermen

.constpV =⇒

Boyle-Mariotte Gesetz

321 TTT <<

Isothermen

V

p

T1

T2

p

T

1V

2V

3V

V

T

1p

2p

3p

2. .constp =

Isobaren

22

11

RTpV

RTpV

υ

υ

=

=

2

1

2

1

T

T

V

V=⇒

Gay-Lussac Gesetz

321 ppp >>

3. .constV = Isochoren

22

11

RTVp

RTVp

υ

υ

=

=

2

1

2

1

T

T

p

p=⇒

Gay-Lussac Gesetz

321 VVV >>

Die absolute Temperatur und die Molekülbewegung

Boyle-Mariotte Gesetz: ><= kinENpV3

2

mit ANN υ= folgt: ><= kinA ENpV υ3

2

universelle Gasgleichung: RTpV υ=

⇒ mittlere kinetische Energie eines Teilchens:

⇒ ><= kinA ENRT υυ3

2 ⇒ T

N

RE

Akin

2

3>=<

⇒ kTEkin2

3>=<

Die absolute Temperatur eines idealen Gases ist der mittleren kinetischen Translationsenergie seiner Teilchen proportional. Die Temperatur ergibt sich als statistischer Mittelwert über eine große Anzahl von Teilchen. Gerichtete Bewegung des Gases als Ganzes spielt keine Rolle, nur die ungeordnete Teilchenbewegung.

Für 0=T ist auch 0>=< kinE

„physikalischer Sinn des absoluten Nullpunktes“

Gesamtbetrag der kinetischen Translationsenergie eines idealen Gases:

RTTN

RNENE

Akingeskin υ

2

3

2

3, =>=<=

Beispiel: Kinetische Translationsenergie von 1 mol eines idealen Gases bei T = 273,15 K.

J3400

K15,273molJK3143,8mol12

3

2

3

,

11

,

=

⋅⋅⋅== −−

geskin

geskin

E

RTE υ

Formen der kinetischen Energie: Ideales Gas: Translationsenergie reale Gasteilchen:

• Translationsenergie

• Rotationsenergie

• Schwingungsenergie

vr

ωr

Freiheitsgrade: Translation: Beispiele: Eisenbahn auf Schienen: 1 Freiheitsgrad der Translation Schiff auf dem Meer: 2 Freiheitsgrade der Translation Flugzeug in der Luft: 3 Freiheitsgrade der Translation � Die Teilchen eines einatomigen Gases haben 3 Freiheitsgrade der Translation!

kTEkin2

3>=< : Auf jeden einzelnen Freiheitsgrad

entfällt eine mittlere Energie von kT2/1 pro Teilchen oder RT2/1 pro Mol. Rotation:

Zweiatomige Moleküle haben 2 Freiheitsgrade der Rotation, dreiatomige Moleküle haben 3 Freiheitsgrade der Rotation. � Ein zweiatomiges Molekül enthält also die mittlere

Energie von kTEkin2

5>=< .

1ωr

2ωr

3ωr

J

LJErot

22

1 22 == ω

Schwingung:

Schwingungen werden unterhalb von 500°C nicht angeregt. Für den Energieinhalt eines Gases mit f Freiheits-

graden gilt dann:

RTf

TN

RN

fkTNfE

A

Ageskin υυ222

1, =⋅⋅=⋅⋅=

Übungen: Um welchen Faktor muss die absolute Temperatur eines Gases erhöht werden, um die quadratisch gemittelte

Geschwindigkeit rmsvv =>< 2 (rms: root mean square) seiner Moleküle zu verdoppeln?

• Faktor 2 • Faktor 4 • Faktor ½ • Faktor ¼

Wovon hängt die mittlere kinetische Energie der Moleküle eines idealen Gases ab?

• von der Stoffmenge und der Temperatur • vom Druck • von Druck und der Temperatur • von der Temperatur • vom Volumen und der Temperatur

Eine bestimmte Gasmenge wird auf gleich bleibendem Druck gehalten. Um welchen Faktor ändert sich ihr Volumen, wenn die Temperatur von 50 °C auf 100 °C erhöht wird.

• um den Faktor 0,5 • um den Faktor 1,15 • um den Faktor 2

Warum steigt der Druck auf die Wände eines Behälters an, wenn eine Gasmenge bei gleich bleibendem Volumen erwärmt wird?

• Das Eigenvolumen der Gasteilchen erhöht sich und somit die Dichte des Gases.

• Die mittlere Geschwindigkeit der Teilchen steigt an und somit der mittlere Impuls.

• Die mittlere freie Weglänge nimmt zu und die Teilchen erreichen öfters die Wände.