Einfuhrungskurs Mathematik - uni-due.dehn213me/mt/w11/Introduction/... · 2012. 2. 2. · d.4Erg...

Einfuhrungskurs Mathematik

2-stundige Vorlesung fur die Bachelor-Studiengange

Vorlaufige Version, Stand WS 2011/12

Hans-Bernd Knoop

bearbeitet von Frank Muller

i

Inhalt

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

§1 Historische Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

a) Altbabylonische Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

b) Altagyptische Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

c) Griechische Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

d) Romische Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

e) Anfange des Bildungssystems im christlichen Abendland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

f) Die Entwicklung zum mathematischen Institut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

§2 Analysis I - III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

a) Der Funktionsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

b) Der Konvergenzbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

c) Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

d) Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

e) Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

f) Integrierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

g) Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

§3 Lineare Algebra I und II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

a) Gleichungssysteme und Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

b) Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

c) Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

§4 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

a) Auflosbarkeit von Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

b) Konstruktionen mit Zirkel und Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

c) Zahlprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

§5 Numerische Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

a) Numerische Lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

b) Nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

c) Interpolation und Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

ii

§6 Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

a) Lineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

b) Weitere Fragestellungen aus der Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

§7 Wahrscheinlichkeitstheorie bzw. Stochastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

a) Wahrscheinlichkeitstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

b) Deskriptive Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

c) Beurteilende Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

§8 Funktionalanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

a) Variationsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

b) Integralgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Anhang

Zeittafel fur Alte Reiche im Zweistromland und Agypten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Lebensdaten von ”Mathematikern” aus der Antike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Italien und das Romische Weltreich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Inhalt der 13 Bucher des Euklid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Pythagoreesche Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Die Axiome der Euklidischen Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Alphabetisches Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Literaturverzeichnis nach Teilgebieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93

Allgemeine Literatur zur Geschichte der Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93

Ausgewahlte Themen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Einzelne Epochen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Zur Geschichte der Schule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Lexikographische Werke und Sammlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Biographien und Ahnliches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Fur die Schule und aus der Schule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Heiteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Zeitschriftenartikel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99

Allgemeine Literatur (zur Geschichte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99

1

Einleitung

Bevor ich auf die eigentlichen Themen zu dieser Einfuhrungsvorlesung eingehe, mochte ich einpaar Formalien zu den Studiengangen unserer Fakultat erlautern. Die Fakultat fur Mathematikan der Universitat Duisburg-Essen ist die einzige Fakultat, die an beiden Campi existiert. UnsereStudiengange sind so konzipiert, dass Studierende alle Veranstaltungen des von ihnen gewahltenStudiengangs an einem Campus besuchen konnen. Es gibt aber auch die Moglichkeit, jeweilsVeranstaltungen vom anderen Campus zu besuchen. Die dabei erzielten Leistungsnachweisesind in der ganzen Fakultat gultig. Dabei sind einige Randbedingungen zu beachten, die ichweiter unten erlautern werde.

Die Fakultat fur Mathematik bietet 3 Bachelor-Studiengange und 3 Master-Studiengange an:

1. Bachelor-Studiengang Mathematik mit insgesamt 9 Anwendungsfachern

2. Bachelor-Studiengang Technomathematik mit 3 Anwendungsfachern

3. Bachelor-Studiengang Wirtschaftsmathematik

4. Master-Studiengang Mathematik ohne Anwendungsfach und mit 9 Anwendungsfachern

5. Master-Studiengang Technomathematik mit 3 Anwendungsfachern

6. Master-Studiengang Wirtschaftsmathematik

Die Anwendungsfacher in dem Bachelor- bzw. Master-Studiengang Mathematik sind (inalphabetischer Reihenfolge):

1.1 Angewandte Informatik (am Campus Duisburg)

1.2 Betriebswirtschaftslehre (am Campus Essen)

1.3 Chemie (am Campus Essen)

1.4 Elektrotechnik (am Campus Duisburg)

1.5 Informatik (am Campus Essen)

1.6 Maschinenbau (am Campus Duisburg)

1.7 Modellbildung und Simulation in den Ingenieurwissenschaften (am Campus Essen)

1.8 Physik (an beiden Campi)

1.9 Volkswirtschaftslehre (am Campus Essen)

Die Anwendungsfacher in dem Bachelor- bzw. Master-Studiengang Techno-Mathematiksind (in alphabetischer Reihenfolge):

2.1 Angewandte Informatik (am Campus Duisburg)

2.2 Elektrotechnik (am Campus Duisburg)

2

2.3 Maschinenbau (am Campus Duisburg)

Außerdem gibt es am Campus Duisburg noch den Bachelor- bzw. Master-Studiengang Wirt-schaftsmathematik. Dabei sind die wirtschaftswissenschaftlichen Veranstaltungen in der Fa-kultat fur Betriebwirtschaftslehre am Campus Duisburg (Mercator School of Management) zubesuchen.

Im Nachfolgenden gehe ich auf die Studiengange am Campus Duisburg naher ein, wobei die Aus-sagen zu den Mathematik-Studiengangen im Wesentlichen auch auf die Kombinationsmoglich-keiten am Campus Essen zutreffen.

Der Bachelor-Studiengang Mathematik (mit einem der 4 Anwendungsfacher am CampusDuisburg) setzt sich zusammen aus den folgenden Bereichen:

a) Mathematische Grundlagen mit 72 Cr

b) Anwendungsfach mit mindestens 26 Cr

c) Mathematisches Schwerpunktfach mit 45 Cr

d) Mathematischer Zusatzbereich mit mindestens 8 Cr

e) Erganzungsbereich E1 bis E3 mit 24 - 28 Cr

Wenn man die Creditpunkte (72+26+45+8+(24 bis 28)) addiert, ergeben sich 175 bis 179 Cr.Also mussen noch 1 bis 5 Cr aus den Bereichen b) und d) zur Gesamtsumme von 180 Crhinzukommen. Dafur betrachten wir spater Beispiele.

Wir spezifizieren nun die Bereiche a) bis e). Es ergeben sich folgende Verpflichtungen:

Die Mathematischen Grundlagen setzen sich zusammen aus folgenden Modulen:

a.1 Grundbegriffe der Analysis mit 18 Cr, bestehend aus den Teilmodulen

a.11 Analysis I

a.12 Analysis II

a.2 Grundbegriffe der Linearen Algebra mit 18 Cr, bestehend aus den Teilmodulen

a.21 Lineare Algebra I

a.22 Lineare Algebra II

a.3 Analysis III mit 9 Cr

a.4 Numerische Mathematik I mit 9 Cr

a.5 Eines der Module ”Algebra I” (am Campus Essen) oder ”Algebra und Diskrete Mathe-matik I” (am Campus Duisburg) mit 9 Cr

a.6 Eines der Module ”Wahrscheinlichkeitstheorie I” (am Campus Essen), ”Stochastik I” oder”Optimierung I” (am Campus Duisburg) mit 9 Cr.

3

Wenn ein Anwendungsfach am Campus Duisburg gewahlt wird, so konnen 3 Cr in einemder anwendungsorientierten Praktika zur ”Numerischen Mathematik”, zur ”Statistik” oder zur”Optimierung” erworben werden.

Das Mathematische Schwerpunktfach umfasst die folgenden Module:

c.1 2 Mathematische Wahlpflichtmodule mit jeweils 9 Cr

c.2 1 Weiterfuhrendes Wahlpflichtmodul mit 9 Cr

c.3 Das Abschlussmodul, bestehend aus

c.31 dem Bachelor-Seminar mit 6 Cr und

c.32 der Bachelor-Arbeit mit 12 Cr

Zum Mathematischen Zusatzbereich gehoren:

d.1 Erganzungen zur Analysis I mit 2 Cr

d.2 Erganzungen zur Analysis II mit 2 Cr

d.3 Erganzungen zur Linearen Algebra I mit 2 Cr

d.4 Erganzungen zur Linearen Algebra II mit 2 Cr

d.5 Ein Mathematisches Wahlpflichtmodul mit 6 oder 9 Cr

d.6 Ein weiteres Bachelor-Seminar mit 6 Cr

Der Erganzungsbereich setzt sich zusammen aus

- dem Bereich E1 (Schlusselqualifikationen) mit mindestens 6 Cr und hochstens 15 Cr,bestehend aus

- Proseminar (obligatorisch) mit 3 Cr

- Prasentation in Ubungen des Bereichs ”Mathematische Grundlagen” mit 1 Cr proVeranstaltung

- Einfuhrung in das wissenschaftliche Arbeiten mit 3 Cr

- dem Bereich E2 (Allgemeinbildende Grundlagen) mit mindestens 6 Cr und hochstens12 Cr, bestehend aus

- Programmierkurs (obligatorisch) mit 3 Cr (am Campus Essen) oder 6 Cr (am Cam-pus Duisburg)

- Einfuhrungskurs Mathematik mit 3 Cr (am Campus Duisburg)

- Ubersichtskurs Mathematik mit 3 Cr (am Campus Duisburg)

- Mathematische Miniaturen I mit 3 Cr (am Campus Essen)

- Mathematische Miniaturen II mit 3 Cr (am Campus Essen)

- dem Bereich E3 (Studium liberale) mit mindestens 6 Cr und hochstens 15 Cr.

4

Wir betrachten genauer den

Bachelor-Studiengang Mathematik (Duisburger Variante mit Anwendungsfach”Angewandte Informatik”, Studienbeginn im Wintersemester)

Sem. a b c d e∑

WiSe

B 1

Analysis I(V4+U2)

LineareAlgebra I(V4+U2)

E2: Einfuhrungs-kurs (V2)(siehe Bem. 1)

3 Cr

E3: Studiumliberale

3 Cr

E1: Ubungen(siehe Bem. 2)Erg. An. I u.Erg. LA I(siehe Bem. 3)2 Cr + 4 Cr

SoSe

B 2

Analysis II(V4+U2)

18 Cr

LineareAlgebra II(V4+U2)

18 Cr

E2: Program-mierkurs Java(V2+ U2)

6 Cr

E1: UbungenErg. An. II &Erg. LA II

1 Cr + 4 Cr 59

WiSe

B 3

Analysis III(V4+U2)

9 Cr

Numerik I(V4+U2)

9 Cr

E1: Proseminar(S2)(siehe Bem. 4)

3 Cr

Digitaltechn.Grundlagen undMikrocomputer(V3+U1)6 Cr

E3: Studiumliberale

3 Cr 30

SoSe

B 4

Algebraische u.diskr. Strukt. I(V4+U2)

9 Cr

Optim. I oderStochastik I(V4+U2)

9 Cr

Automaten undformale Sprachen(V2+U2)

5 Cr

Datenstrukt.u. Algorithmen(V4+U2)

9 Cr 32

WiSe

B 5

WP Math. 1

(V4+U2)

9 Cr

WP Math. 2(V4+U2)

9 Cr

PraktikumOpt. oder Stat.(siehe Bem. 5)(P2)3 Cr

Berechenbarkeitu. Komplexitat(V2+U2)

5 Cr

E3: Studiumliberale

3 Cr 29

SoSe

B 6

Bachelor-Seminar(S2)

6 Cr

WP Math. 3(V4+U2)

9 Cr

E2: Ubersichts-kurs (V2)(siehe Bem. 1)

3 Cr

NumerischesPraktikum(siehe Bem. 5)(P2)(3 Cr)

Bachelor-Arbeit

12 Cr 30

180

Bemerkungen:1) Im Einfuhrungskurs sollen Problemstellungen aus verschiedenen Teilgebieten der Mathematik be-handelt werden; dabei sollen naturlich insbesondere die im Fachbereich vorhandenen Fachrichtungenvorgestellt werden. Der Ubersichtskurs soll insbesondere auf die im Masterstudiengang angebotenenVertiefungsrichtungen eingehen.2) Die insgesamt 6 Bewertungspunkte im Erganzungsbereich E1 “Schlusselqualifikationen”werden er-worben im Proseminar (3 Cr) und in den Ubungen zu den Pflichtveranstaltungen “Analysis I, AnalysisII, Lineare Algebra I und Lineare Algebra II“ auf Grund mundlicher Mitarbeit (je 1 Cr pro Veran-staltung).3) In den Erganzungveranstaltungen zu den Pflichtvorlesungen “Analysis I, Analysis II, Lineare Al-gebra I und Lineare Algebra II“ konnen jeweils 2 Cr erworben werden.

5

4) Im 3. Semester ist ein Proseminar zu einem oder mehreren Mathematikmodulen der ersten 2Semester zu wahlen. Da es in diesem Proseminar im Wesentlichen darum geht, Vortragstechniken aneinfachen mathematischen Sachverhalten zu uben, wird diese Veranstaltung mit 3 Cr im Bereich E1bewertet.5) In Abhangigkeit von der Schwerpunktsetzung in der Mathematik soll ein Praktikum absolviert wer-den; also entweder ein Praktikum zur Numerischen Mathematik, zur Optimierung oder zur Statistik.Dementsprechend liegt das Praktikum im 5. oder 6. Semster.

Fur die Studierenden, die im Sommersemester das Studium aufnehmen, sind im folgendenPlan die Erganzungen zu den Vorlesungen des ersten Studienjahres nicht aufgefuhrt. Fur denBachelor-Studiengang Wirtschaftsmathematik gibt es weiter hinten einen ”Sommersemester-Plan” unter Einbeziehung der Erganzungsveranstaltungen.

Studiengang Mathematik (Duisburger Variante mit Anwendungsfach ”Angewand-te Informatik”, Studienbeginn im Sommersemester und Belegung von zwei Kursenin Essen)

Sem. a b c d e∑

SoSe

B 1

Analysis I(V4+U2)

Lineare Algebra I(in Essen)(V4+U2)

E2: Programmier-kurs(V2+U2)

6 Cr

E3: Studiumliberale

6 Cr

E1: Ubungen(siehe Bem. 2)

2 CrWiSe

B 2

Analysis II(V4+U2)

18 Cr

Lineare Algebra II(in Essen)(V4+U2)

18 Cr


3 Cr

Digitaltechn.Grundlagen undMikrocomputer(V3+U1)6 Cr

E1: Ubungen(siehe Bem. 2)Erg. An.II(siehe Bem. 3)1 Cr + 2 Cr 62

SoSe

B 3

Stochastik I(V4+U2)

9 Cr

Algebraische unddiskr. Strukt. I(V4+U2)

9 Cr

Datenstrukt.u. Algorithmen(V4+U2)

9 Cr

E3: Studiumliberale

3 Cr 30

WiSe

B 4

Analysis III(V4+U2)

9 Cr

PraktikumStatistik

3 Cr

Numerik I(V4+U2)

9 Cr


3 Cr

Berechenbarkeitu. Komplexitat(V2+U2)

5 Cr 29

SoSe

B 5

WP Math. 1(V4+U2)

9 Cr

WP Math. 2(V4+U2)

9 Cr

Automaten undformale Sprachen(V2+U2)

5 Cr

E2: Ubersichtskurs(siehe Bem. 1)(V2)

3 Cr

WP Math. 3(V2+U2)

6 Cr 32

WiSe

B 6


6 Cr

WP Math. 4(V4+U2)

9 Cr

Bachelor-Arbeit

12 Cr 27

180

6

Bemerkungen

1.) Im Einfuhrungskurs sollen Problemstellungen aus verschiedenen Teilgebieten der Mathematik be-handelt werden; dabei sollen naturlich insbesondere die im Fachbereich vorhandenen Fachrichtungenvorgestellt werden. Der Ubersichtskurs soll insbesondere auf die im Masterstudiengang angebotenenVertiefungsrichtungen eingehen. Statt des Ubersichtskurses und einer Wahlpflichtveranstaltung mit 6Cr kann naturlich eine Wahlpflichtveranstaltung mit 9 Cr besucht werden.

2.) Die insgesamt 6 Bewertungspunkte im Erganzungsbereich E1 “Schlusselqualifikationen” werdenerworben im Proseminar (3 Cr) und in den Ubungen zu den Pflichtveranstaltungen “Analysis I, Ana-lysis II, Lineare Algebra I und Lineare Algebra II“ auf Grund mundlicher Mitarbeit (je 1 Cr proVeranstaltung).

3.) In den Erganzungveranstaltungen zu den Pflichtvorlesungen “Analysis I, Analysis II, LineareAlgebra I und Lineare Algebra II“ konnen jeweils 2 Cr erworben werden.

4.) Im 4. Semester ist ein Proseminar zu einem oder mehreren Mathematikmodulen der ersten 2Semester zu wahlen. Da es in diesem Proseminar im Wesentlichen darum geht, Vortragstechniken aneinfachen mathematischen Sachverhalten zu uben, wird diese Veranstaltung mit 3 Cr im Bereich E1bewertet.

Wir wenden uns nun den Bachelor-Studiengangen Techno- und Wirtschafts-Mathematikzu. Wenn im Folgenden vom Anwendungsfach die Rede ist, so sind bei der Wirtschaftsmathe-matik die BWL-Veranstaltungen der Mercator School of Management am Campus Duisburggemeint. Auch diese beiden Studiengange bestehen aus den oben genannten Bereichen, namlich

a) Mathematische Grundlagen mit 72 Cr

b) Anwendungsfach mit mindestens 39 Cr

c) Berufspraktische Tatigkeiten mit 6 Cr

d) Mathematisches Schwerpunktfach mit 27 Cr

e) Mathematischer Zusatzbereich mit mindestens 8 Cr

f) Erganzungsbereich E1 bis E3 mit 24 - 28 Cr

Es ergeben sich folgende Verpflichtungen:

Die Mathematischen Grundlagen setzen sich zusammen aus folgenden Modulen:

1. a.1 – a.4 wie oben mit insgesamt 54 Cr.

a.5 Stochastik I mit 9 Cr.

a.6 Optimierung I mit 9 Cr

Das Mathematische Schwerpunktfach umfasst die folgenden Module:

d.1 Ein Mathematisches Wahlpflichtmodul mit 9 Cr

d.2 Abschlussmodul, bestehend aus

d.2.1 dem Bachelor-Seminar mit 6 Cr und

7

d.2.2 der Bachelor-Arbeit mit 12 Cr

Bezuglich des mathematischen Zusatzbereichs und bezuglich der Erganzungen gelten die obengenannten Bestimmungen.

Im Folgenden ist exemplarisch der Studiengang Technomathematik mit dem AnwendungsfachAngewandte Informatik und Studienbeginn im Wintersemester aufgefuhrt.

Studiengang Technomathematik mit dem Anwendungsfach ”Angewandte Informa-tik”, Studienbeginn im Wintersemester

Sem. a b c d e∑

WiSe

B 1

Analysis I(V4+U2)

Lineare Algebra I(V4+U2)

E2: Einfuh-rungskurs (V2)(siehe Bem. 1)

3 Cr

E3: Studiumliberale

3 Cr

E1: Ubungen(siehe Bem. 2)Erg. An. I &Erg. LA I(siehe Bem. 3)2 Cr + 4 Cr

SoSe

B 2

Analysis II(V4+U2)

18 Cr

Lineare Algebra II(V4+U2)

18 Cr


6 Cr


2 Cr + 4 Cr 60

WiSe

B 3

Analysis III(V4+U2)

9 Cr

Numerik I(V4+U2)

9 Cr


3 Cr

Digitaltechn.Grundlagen u.Mikrocomputer(V3+U1)6 Cr

E3: Studiumliberale

3 Cr 30

SoSe

B 4

Optim. I(V4+U2)

9 Cr

Stochastik I(V4+U2)

9 Cr

Datenstrukturenu. Algorithmen(V4+U2)

9 Cr

E3: Studiumliberale

3 Cr 30

WiSe

B 5

WP Angew.Math. (H)(V4+U2)

9 Cr

Praktikum

6 Cr

RechnernetzeKommunikations-systeme(V2+U1)

4 Cr

Datenbanken(V2+U1+P1)Berechenbarkeitu. Komplexitat(V2+U2)6 Cr + 5 Cr 30

SoSe

B 6


6 Cr

Bachelor-Arbeit

12 Cr

Ubersichtskurs(siehe Bem. 1)(V2)

3 Cr

Automatenu. formaleSprachen(V4+U2)5 Cr

Sicherheit inKommunikations-netzen(V2 +U1)4 Cr 30

180

Bemerkungen1) Im Einfuhrungskurs sollen Problemstellungen aus verschiedenen Teilgebieten der Mathematik be-handelt werden; dabei sollen naturlich insbesondere die im Fachbereich vorhandenen Fachrichtungen

8

vorgestellt werden. Der Ubersichtskurs soll insbesondere auf die im Masterstudiengang angebotenenVertiefungsrichtungen eingehen.2) Die insgesamt 6 Bewertungspunkte im Erganzungsbereich E1 ”Schlusselqualifikationen”werden er-worben im Proseminar (3 Cr) und in den Ubungen zu den Pflichtveranstaltungen “Analysis I, AnalysisII, Lineare Algebra I und Lineare Algebra II“ auf Grund mundlicher Mitarbeit (je 1 Cr pro Veran-staltung).4) Im 3. Semester ist ein Proseminar zu einem oder mehreren Mathematikmodulen der ersten 2Semester zu wahlen. Da es in diesem Proseminar im Wesentlichen darum geht, Vortragstechniken aneinfachen mathematischen Sachverhalten zu uben, wird diese Veranstaltung mit 3 Cr im Bereich E1bewertet.

Studiengang Technomathematik (mit Anwendungsfach ”Angewandte Informatik”,Studienbeginn im Sommersemester und Belegung von zwei Kursen in Essen)

Sem. a b c d e∑

SoSe

B 1

Analysis I(V4+U2)

Lin. Algebra Iin Essen(V4+U2)


6 Cr

E3: Studiumliberale

6 Cr

E1: Ubungen(siehe Bem. 2)

2 CrWiSe

B 2

Analysis II(V4+U2)

18 Cr

Lineare Algebra IIin Essen(V4+U2)

18 Cr


3 Cr

Digitaltechn.Grundlagenu. Mikrocomputer

6 Cr

E1: Ubungen

1 Cr 60

SoSe

B 3

Optim. I(V4+U2)

9 Cr


3 Cr

Automatenu. formaleSprachen

5 Cr

Datenstrukt.und Algorithm.

9 Cr

E3: Studiumliberale

3 Cr 29

WiSe

B 4

Analysis III(V4+U2)

9 Cr

Numerik I(V4+U2)

9 Cr

Datenbanken

6 Cr

Rechnernetzeund Kommuni-kationssysteme

4 Cr 28

SoSe

B 5

WP Math. 1(V4+U2)

9 Cr

Stochastik I(V4+U2)

9 Cr

Praktikum

6 Cr

Ubersichts-kurs (V2)(siehe Bem. 1)

3 Cr

Sicherheitin Kommunika-tionssystemen

4 Cr 31

WiSe

B 6

Seminar (H)(S2)

6 Cr

Bachelor-Arbeit

12 Cr

WP Math. 2(V4+U2)

9 Cr

Berechenbar-keit undKomplexitat

5 Cr 32

Σ 180

9

Fur die beiden folgenden Plane fur den Studiengang Wirtschaftsmathematik (Beginn Winter-semester bzw. Beginn Sommersemester) werden am Ende des zweiten Plans die wirtschaftswis-senschaftlichen Veranstaltungen aufgefuhrt.

Studiengang Wirtschaftsmathematik, Studienbeginn im Wintersemester

Sem. a b c d e∑

WiSe

B 1

Analysis I(V4+U2)

Lineare Algebra I(V4+U2)


3 Cr

E3: Studiumliberale

3 Cr

E1: Ubungen(siehe Bem. 2)Erg. An. I u.Erg. LA I(siehe Bem. 3)2 Cr + 4 Cr

SoSe

B 2

Analysis II(V4+U2)

18 Cr

Lineare Algebra II(V4+U2)

18 Cr

E2: Program-mierkurs(V2+ U2)

6 Cr


2 Cr + 4 Cr 60

WiSe

B 3

Analysis III(V4+U2)

9 Cr

Numerik I(V4+U2)

9 Cr

E1: Prosem.(S2)(siehe Bem. 4)

3 Cr

2 Vorlesungenmit jeweils4 Cr ausListe 18 Cr

Buchhaltung(V2)

3 Cr 32

SoSe

B 4

Optimierung I(V4+U2)

9 Cr

Stochastik I(V4+U2)

9 Cr


E3: Studiumliberale

3 Cr 29

WiSe

B 5

WP Math.(V4+U2)

9 Cr

Praktikum

6 Cr

4 Vorlesungenmit jeweils4 Cr ausListe 116 Cr 31

SoSe

B 6

Bachelor-Seminar

(S2)

6 Cr

Bachelor-Arbeit

12 Cr

E2: Ubersichts-kurs (V2)(siehe Bem. 1

3 Cr

1 Vorlesungaus Liste 2(V2)

4 Cr

E3: Studiumliberale

3 Cr 28

180

10

Studiengang Wirtschaftsmathematik (Studienbeginn im Sommersemester und Be-legung von zwei Kursen in Essen)

Sem. a b c d e f∑

SoSe

B 1

Analysis I(V4+U2)

LineareAlgebra I(V4+U2)(in Essen)

E2: Program-mierkurs

6 Cr

E1: Ubungen(siehe Bem. 2)Erg. An. I(siehe Bem. 3)2 + 2 Cr

WiSe

B 2

Analysis II(V4+U2)

18 Cr

LineareAlgebra II(V4+U2)(in Essen)

18 Cr

E2: Einfuh-rungskurs(V2)(siehe Bem. 1)

3 Cr

Buchhaltung(V2)

3 Cr

1 Vorlesungmit 4 Cr ausListe 1

4 Cr

E1: Ubungen(siehe Bem. 2)Erg. An. II/LA I(siehe Bem. 3)2 + 4 Cr 62

SoSe

B 3

Stochastik I(V4+U2)

9 Cr


E3: Studiumliberale

6 Cr

Erg. LA II(siehe Bem. 3)

2 Cr 29

WiSe

B 4

Analysis III

(V4+U2)

9 Cr

NumerischeMathematik I(V4+U2)

9 Cr


3 Cr


SoSe

B 5

WP AM

(V4+U2)

9 Cr

Optimie-rung I(V4+U2)

9 Cr

Praktikum

6 Cr

E2: Ubersichts-kurs (V2)(siehe Bem. 1)

3 Cr

E3: Studiumliberale

3 Cr 30

WiSe

B 6


6 Cr

Bachelor-Arbeit

12 Cr


180

Liste 1:

- Einfuhrung in die Betriebswirtschaftslehre

- Grundlagen des Marketing

- Einfuhrung in die betriebswirtschaftliche Steuerlehre

- Beschaffung und Produktion

- Planung und Organisation

- Kosten- und Leistungsrechnung

11

Liste 2:

- Grundlagen des Personalmanagements

- Investition und Finanzierung

- Grundlagen des Jahresabschlusses

Die Veranstaltungen aus der Liste 1 werden in der Regel im Wintersemester angeboten, die ausder Liste 2 in der Regel im Sommersemester. Daraus ergeben sich die obigen unterschiedlichenStudienplane fur die Wirtschaftsmathematik.

Einige der aufgefuhrten Veranstaltungen werden als 4-stundige Blockveranstaltungen angebo-ten, z.B. sind das im Wintersemester 2011/12: ”Buchhaltung”, ”Einfuhrung in die betriebs-wirtschaftliche Steuerlehre”, ”Grundlagen des Jahresabschlusses” und ”Grundlagen des Mar-keting”. Nach der ersten Halfte des Semesters gibt es dann eine ca. 14-tagige Klausurphase, inder naturlich die Veranstaltungen der anderen Fakultaten normal weiterlaufen.

Die Vorlesung ”Buchhaltung” (im Wintersemester) sollte vor der Vorlesung ”Grundlagen desJahresabschlusses” (im Sommersemester) gehort werden. Wenn es aus stundenplantechnischenGrunden nicht moglich ist, die Buchhaltungs-Vorlesung im 2. bzw. 3. Studiensemester zu be-suchen, so kann dies auch im 4. bzw. 5. Semester nachgeholt werden. Die Reihenfolge desBesuchs der anderen Veranstaltungen aus Liste 1 und Liste 2 kann an den mathematischenVeranstaltungen orientiert werden.

12

§1 Historische Bemerkungen

Nach dem Fremdworter-Lexikon ist Mathematik die Wissenschaft von den Raum- und Zah-lengroßen. Schaut man bei Wikipedia nach, so steht dort, dass es keine allgemein anerkannteDefinition gibt. Haufig wird Mathematik als eine Wissenschaft beschrieben, die selbst geschaf-fene Strukturen auf ihre Eigenschaften und Muster untersucht. Mathematik ist keine Einheit,sondern besteht aus vielen Teilgebieten, die teilweise aufeinander aufbauen, teilweise aber auchvollig unabhangig voneinander sind.Bevor wir auf einige ”Hauptgebiete” der Mathematik eingehen, will ich ein paar historischeBemerkungen machen:Mathematik begann mit dem Zeitpunkt, als die Zahlzeichen eingefuhrt und mit ihnen die erstenRechnungen durchgefuhrt wurden. Unser Kulturkreis wird beeinflusst durch die Erfindung derZahlzeichen durch die Sumerer ca. 3000 v. Chr. (Sexagesimalsystem).Die Piktogramme der ersten Tontafelchen, die auf 3300 v.Chr. datiert werden und von denenzwischen 500 und 600 bei Uruk, einer Stadt in Sudmesopotamien gefunden wurden, stellenverschiedene Waren dar, z.B. Fische, Milchkannen, Schweine, Kuhe, Schafe oder Ziegen. Aus-serdem gibt es Vertiefungen unterschiedlicher Form und Große; sie bezeichnen die jeweiligenMengen der Waren; man konnte also die Tontafelchen als Warenbegleitbrief betrachten.

(entnommen aus [TiL5]). Man geht davon aus, dass die ”Schriftzeichen” mit einem spitzen Ge-genstand ziemlich tief in den feuchten Ton der Tafelchen eingeritzt wurden. Die anderen Zei-chen, die sich als Zahlzeichen herausstellten, wurden mit einem Schreibrohr – einem Schilfrohroder einem Stabchen aus Knochen oder Elfenbein – hergestellt, das an einem Ende abgerundetund am anderen Ende spitz zugeschnitten war. Diese Griffel, von denen einer einen Durchmes-ser von ca. 4 mm und ein anderer einen Durchmesser von ca. 1 cm hatte, wurden unter einem

13

bestimmten Winkel (senkrecht oder schrag) in den Ton gedruckt. Dadurch entstanden kleineund große runde Abdrucke bzw. kleine oder große ”Kerben”.

a) Altbabylonische Mathematik (3000 - 1500 v. Chr.)

Nach 1500 v. Chr. gibt es fast keine mathematischen Texte mehr; Fortschritte der Mathematikscheint es erst wieder in spatbabylonischer und persischer Zeit im Rahmen der Astronomie zugeben.

(i) Rechentechnik

Neben den ublichen Operationen wird mit Potenzen, Wurzeln, zwei (und gelegentlichauch mehr) Gleichungen mit entsprechend vielen Unbekannten, quadratischen Gleichun-gen und konkreten Gleichungen hoheren Grades gerechnet. Es gibt Rechenvorschriftenmit konkreten Zahlen; sie sind allerdings so allgemein gehalten, dass man auch beliebigeZahlen einsetzen kann.

(ii) Geometrie

Die Geometrie ist weitgehend an der Praxis orientiert. Die Babylonier beherrschen diegrundlegenden Maßbeziehungen beim Dreieck, Viereck, Kreis und einigen regelmaßigenPolygonen (mit welchem Faktor muss z.B. die Seitenlange eines gleichseitigen Dreiecksmultipliziert werden um die Hohe zu erhalten). Außerdem gibt es Aufgaben, in denen dasVolumen von Graben, Dammen und anderen Bauwerken berechnet wird.

b) Altagyptische Mathematik

Als nachstes sind die Zahlzeichen der Agypter (10er-System mit Individualzeichen fur 1 (Strich),10 (Fessel), 100 (Strick), 1000 (Lotuspflanze), 10 000 (Finger), 100 000 (Kaulquappe) und 1000 000 (Heh, Gott der Unendlichkeit)) zu erwahnen.

fur 10 (Fessel)

fur 100 (Strick)

fur 1000 (Lotuspflanze)

fur 10000 (Finger)

fur 100000 (Kaulquappe)

fur 1000000 (Heh)

Hohepunkt der altagyptischen Mathematik war der Zeitraum 1844 - 1797 v. Chr. (AmenemhetIII); Kenntnisse stammen aus dem Papyrus Moskau (P.M.) und dem Papyrus Rhind (P.Rh.),von denen jungere Abschriften gefunden wurden.

(i) Rechentechnik

Die Multiplikation und Division wird auf das Verdoppeln und Halbieren zuruckgefuhrt.Wegen der Vorliebe zu Stammbruchen wird eine Tabelle fur die Darstellung von Bruchender Form 2

nfur ungerades n als Summe von Stammbruchen aufgestellt.

14

(ii) Geometrie

Berechnung des Inhalts von zylindrischen und kubischen Getreidespeichern. Dazu sindFlachenberechnungen notwendig. Wir finden im P.Rh. die Anweisung fur die Berechnungder Kreisflache

K =

(d− d

9

)2

=

(8

9d

)2

=64

81d2,

wobei d der Durchmesser des Kreises ist. Wir wissen

K = π

(d

2

)2

=π

4d2.

Also folgt daraus als Naherung fur π

π ≈ 256

81= 3, 16 . . . .

Der Flacheninhalt eines Trapezes wird mit

T =a+ b

2h

angegeben. Außerdem wird bei den Pyramidenaufgaben die Beziehung zwischen der Langeder Seite, der Hohe und dem ”Rucksprung” behandelt. Im P.M. wird fur das Volumeneines Pyramidenstumpfs die Formel

V = (a2 + b2 + ab)h

3

angegeben. Dabei ist a die Seitenlange des ”Bodens” der quadratischen Grundflache, b dieSeitenlange des quadratischen ”Deckels” und h die Hohe des Pyramidenstumpfs. DieseFormel ist richtig.

Heutzutage berechnet man das Volumen des Pyramidenstumpfs als Differenz der Volumi-na von zwei Pyramiden (mit dem Strahlensatz ergibt sich als Gesamthohe der Pyramide

h′ =a

a− b· h

und damit

Vgroß =a3

a− b· h

3

sowie

Vklein =b3

a− b· h

3;

hieraus folgt durch Differenzbildung unter Verwendung der Beziehung

a3 − b3

a− b= a2 + ab+ b2

die obige Formel); aber man ist sich sehr sicher, dass die Altagypter eine solche Formelnicht kannten. Deshalb ist unklar, wie sie auf eine Formel fur den Pyramidenstumpfgekommen sind; es gibt unterschiedliche Erklarungen.

15

c) Griechische Mathematik

Originale der Werke griechischer Mathematiker sind nicht erhalten, mit Ausnahme einiger Pa-pyri aus der Zeit um 200 n.Chr., also etwa zur Zeit oder kurz vor Diophant. Die altestenEuklid-Handschriften (Euklid; * ca. 360 v. Chr., †ca. 280 v. Chr.) stammen aus dem 9. Jh.n. Chr.. Da die Elemente von Euklid im 4. Jh. n. Chr. von Theon von Alexandria bearbeitetwurden, ist manchmal unklar, was von Euklid und was von Theon stammt.Man sagt, dass die griechische Mathematik mit Thales (* ca. 624 v. Chr., †ca. 546 v. Chr.)beginnt, der einige Satze fur Dreiecke aufstellt. Hat Thales Satze nicht nur ”erkannt und aus-gesprochen”, sondern auch bewiesen?Die sichersten Angaben uber die mathematischen Leistungen von Thales enthalt der Kommen-tar des Proklos (* 18.2.412 in Byzanz, dem heutigen Istanbul, †17.4.485 in Athen) zum 1.Buch von Euklids Elementen:

1) Thales hat ”erkannt und ausgesprochen”, dass die Basiswinkel im gleichschenkligen Drei-eck gleich sind.

2) Thales habe gefunden, dass die Scheitelwinkel gleich sind, einen Beweis habe aber erstEuklid fur erforderlich gehalten. (Wenn zwei Dreiecke zwei Winkel und eine Seite gleichhaben, dann sind auch die ubrigen Seiten und der ubrige Winkel einander gleich.)

3) Thales habe zuerst ”bewiesen”, dass der Kreis durch den Durchmesser halbiert wird.

Inhaltlich befassen sich die Aussagen des Thales zumeist mit dem Umfeld des Winkelbegriffs.Ob Thales eine genaue Defininiton des Winkels (als Neigung zweier Linien zueinander) gegebenhat, ist unbekannt. Ebenso unbekannt ist, ob oder wie Thales Winkel gemessen hat. Sinnvollware gewesen, einen Winkel durch den zugehorigen Kreisbogen zu messen.

Wir beziehen uns bei Euklids Elementen auf das 13 Bucher umfassende Gesamtwerk:

Buch I: Vom Punkt bis zum pythagoreischen LehrsatzBuch II: Geometrische AlgebraBuch III: KreislehreBuch IV: Ein- und umbeschriebene VieleckeBuch V: Ausdehnung der Großenlehre auf IrrationalitatenBuch VI: Proportionen und Anwendungen auf PlanimetrieBuch VII: Teilbarkeitslehre, PrimzahlenBuch VIII: Quadrat- und Kubikzahlen, geometrische ReihenBuch IX: Lehre von Gerade und UngeradeBuch X: Klassifikation quadratischer Irrationalitaten,

Methoden der Flachenanlegung zur geometrischenLosung aller Typen quadratischer Gleichungen

Buch XI: Elementare StereometrieBuch XII: Pyramide, Kegel, KugelBuch XIII: Regulare Polyeder

Am Ende von Buch IX steht eine Reihe von Satzen, die mit den vorangegangenen keinen Zu-sammenhang haben. Deshalb geht man davon aus, dass es sich um altpythagoreische Ergebnissehandelt.

16

(i) Pythagoreische Zahlentheorie

Die Pythagoreer brachten Ordnung in die Menge der (ganzen) Zahlen, indem sie sie nachbestimmten Gesichtspunkten in Arten einteilten, z.B. in gerade und ungerade, in Prim-zahlen und in zusammengesetzte Zahlen. Wir finden die Grundlagen zu den Ergebnissenvon Buch IX in Buch VII von Euklid:

Definitionen

1. Einheit ist das, wonach jedes Ding eines genannt wird.

2. Zahl ist die aus Einheiten zusammengesetzte Menge. (1 ist also keine Zahl, sonderneine Einheit, aus der die Zahlen 2,3,4, . . . zusammengesetzt sind.)

3. Teil einer Zahl ist eine Zahl, die kleinere von der großeren, wenn sie die großeregenau misst. (Wir sagen heute: ’b teilt a’ oder ’b ist ein Teiler von a’, wenn eine(ganze) Zahl c > 1 existiert mit bc = a.)

5. Vielfaches ist die großere Zahl von der kleineren, wenn sie von der kleineren genaugemessen wird.

6. Gerade ist die Zahl, die sich halbieren lasst,

7. und ungerade die, die sich nicht halbieren lasst, oder die sich um die Einheit voneiner geraden Zahl unterscheidet.

11. Primzahl ist eine Zahl, die sich nur durch die Einheit messen lasst. (Da 1 keineZahl ist, kann 1 auch keine Primzahl sein.)

13. Zusammengesetzt ist eine Zahl, die sich durch irgendeine (andere) Zahl messenlasst.

22. Eine vollkommene Zahl ist eine solche, die ihren Teilen zusammen gleich ist. (EineZahl ist also vollkommen, wenn sie die Summe ihrer echten Teiler ist, wobei dieEinheit 1 mitgezahlt wird, aber nicht die Zahl selbst. 6 ist z.B. vollkommen, weil6 = 1 + 2 + 3 ist.)

Anschließend werden einige Satze bewiesen, d.h. Aussagen auf die Definitionen und Po-stulate zuruckgefuhrt. Wichtig sind die folgenden Ergebnisse:

§31 Jede zusammengesetzte Zahl wird von irgendeiner Primzahl gemessen.

§32 Jede Zahl ist entweder eine Primzahl oder wird von irgendeiner Primzahl gemesen.(Heute zeigen wir, dass sich jede naturliche Zahl ≥ 2 als Produkt von Primzahlpo-tenzen darstellen lasst.)

Wir finden dann in Buch IX von Euklid:

§20 Die Primzahlen sind mehr als jede vorgegebene Menge von Primzahlen.

Der Beweis von Euklid ist bekanntlich konstruktiv:

Sind q1 . . . , qn endlich viele Primzahlen, dann wird die Zahl

a := q1 · q2 · . . . · qn + 1

17

betrachtet. (Im Original wird gesagt: Man bilde die kleinste von q1, . . . , qn und umdie Einheit vergroßerte Zahl.) Ist dann a eine Primzahl, so ist diese großer als allebisher gefundenen, also eine weitere Primzahl im Widerspruch zu der Annahme,dass es nur n Primzahlen gibt. Ist a keine Primzahl, so muss a von irgendeinerPrimzahl p gemessen werden. Da es nur endlich viele Primzahlen gibt, muss p miteiner der Primzahlen q1, . . . , qn ubereinstimmen, etwa mit q1. Also gilt a = q1 · r unda− 1 = q1 · . . . · qn und somit

1 = a− (a− 1) = q1 · (r − q2 · . . . · qn).

q1 misst also die Einheit, was Unsinn ist. Damit muss p eine Primzahl sein, die vonallen q1, · · · , qn verschieden ist. Insbesondere kann also die Menge der Primzahlennicht endlich sein.

Wie findet man Primzahlen? Eine ganz alte Methode geht auf Eratosthenes (* ca. 275v. Chr., †ca. 194 v. Chr.) zuruck und ist nach ihm benannt, das sog. Sieb des Eratosthe-nes. Man schreibt alle naturlichen Zahlen von 2 bis zu einer Zahl n auf, nach Moglichkeitin einem rechteckigen Schema. Dann verfahre man folgendermaßen:

(1) Markiere die Zahl 2 und streiche dann jede zweite Zahl.

(2) Ist k die erste nicht-gestrichene und nicht-markierte Zahl, so markiere k und streichedann jede k-te Zahl.

(3) Fuhre den Schritt (2) fur alle k, die kleiner oder gleich der Quadratwurzel von nsind, durch; ist k großer als n, so stoppe das Verfahren.

(4) Alle nicht gestrichenen Zahlen sind Primzahlen, und zwar sind dies alle Primzahlenkleiner oder gleich n.

Bemerkungen

Die Primzahlen sind sehr unregelmaßig verteilt; so gibt es z.B. zwischen 9.999.901 und9.999.999 genau 9 Primzahlen und zwischen 10.000.001 und 10.000.100 nur 2 Primzahlen.

Sind zwei Zahlen p und p + 2 Primzahlen, so sprechen wir von dem Primzahlzwilling(p, p+2). Eine bislang unbewiesene Vermutung lautet: ”Es gibt unendlich viele Prim-zahlzwillinge.”

Wir nennen das Tripel (p0, p1, p2) mit Primzahlen p0 < p1 < p2 einen Primzahldrilling,wenn die Differenz p2 − p0 kleinstmoglich ist. Es gibt zwei verschiedene Arten von Prim-zahldrillingen mit p2 − p0 = 6. Die eine Sorte besteht aus den Primzahlen p, p + 2, p + 6(wie z.B. bei dem Drilling (11, 13, 17)); die andere Sorte besteht aus den Primzahlenp, p+ 4, p+ 6 (wie z.B. bei dem Drilling (7, 11, 13) oder (613, 617, 619)). Der einzige Dril-ling der Form (p, p+ 2, p+ 4) ergibt sich fur p = 3.

Definition

Ist s ∈ N, so heißt Ms := 2s−1 eine Mersennesche Zahl; ist Ms eine Primzahl, so heißt Ms

eine Mersennesche Primzahl (nach dem franzosischen Franziskanermonch Marin Mersenne(1588 - 1648)).

18

Satz

Ist Ms eine Mersennesche Primzahl, so ist s eine Primzahl.

Beweis: Wir nehmen an, dass s zerlegbar ist mit s = uv und naturlichen Zahlen u, v > 1.Dann gilt wegen

an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b+ . . .+ abn−2 + bn−1)

folgende Beziehung

2s − 1 = (2u)v − 1v = (2u − 1)((2u)v−1 + . . .+ 2u + 1) .

Wegen u, v > 1 sind beide Faktoren auf der rechten Seite großer als 1. Also istMs zerlegbarim Widerspruch zur Voraussetzung, dass Ms eine Primzahl ist.

Der folgende Satz stellt einen Zusammenhang zwischen Mersenneschen Primzahlen undgeraden vollkommenen Zahlen her. Wir verwenden folgende Beziehung:

Ist a0 = a, a1 = aq, . . . , an = aqn und s = a0 + . . .+ an, so gilt:

s = aqn+1 − 1

q − 1.

Speziell fur a = 1 und q = 2 erhalten wir

1 + 2 + 4 + . . .+ 2n = 2n+1 − 1 .

Diese Tatsache war wahrscheinlich schon den Babyloniern bekannt.

Satz

Ist v = 2np mit n ≥ 1 und ungeradem p ≥ 1, so sind folgende Aussagen aquivalent:

(i) p ist eine Primzahl, und es gilt p = 2n+1 − 1.

(ii) v ist vollkommen.

Beweis: (i)⇒ (ii) (Euklid, Buch IX, § 36): Die Teiler d von v mit d 6= v sind

1, 2, . . . , 2n , ihre Summe ist p

und

p, 2p, . . . , 2n−1p, ihre Summe ist p(2n − 1).

Aus den Satzen in den Buchern des Euklid folgt, dass keine weiteren Teiler existieren.

Die Summe aller Teiler d von v mit d 6= v ist also

p+ p(2n − 1) = p · 2n = v.

(ii)⇒ (i) (L. Euler): Wir bezeichnen mit

σ(v) =∑

d|v,d∈Nd

19

die Summe aller Teiler von υ; ist v vollkommen, so gilt

σ(v) = 2v

Da p ungerade ist, kommen in der Primfaktorzerlegung

p = pm11 · . . . · pmrr

von p nur Primzahlen pρ 6= 2 vor. Wegen

σ(qn11 · · · qnss ) =

s∏σ=1

σ(qnσσ )

und

σ(qnσσ ) =qnσ+1σ − 1

qσ − 1

fur paarweise verschiedene Primzahlen q1, . . . , qs folgt:

2n+1p = 2v = σ(v) = σ(2np) = σ(2n)σ(p) = (2n+1 − 1) σ(p)

= (2n+1 − 1)(σ(p)− p) + (2n+1 − 1)p

alsop = (2n+1 − 1)(σ(p)− p) .

Somit ist σ(p)−p echter Teiler von p. Da aber andererseits σ(p)−p die Summe aller echtenTeiler von p ist, ist dies auch der einzige echte Teiler von p. Folglich gilt σ(p)− p = 1 undp = 2n+1 − 1 ≥ 3 ist Primzahl.

Bemerkungen

Wir erhalten folgende Tabelle

n = 1 : p = 22 − 1 = 3 ∈ P, v = 21 · 3 = 6 vollkommenn = 2 : p = 23 − 1 = 7 ∈ P, v = 22 · 7 = 28 vollkommenn = 3 : p = 24 − 1 = 15 /∈ P, v = 23 · 15 = 120 unvollkommenn = 4 : p = 25 − 1 = 31 ∈ P, v = 24 · 31 = 496 vollkommenn = 5 : p = 26 − 1 = 63 /∈ P, v = 25 · 63 = 2016 unvollkommenn = 6 : p = 27 − 1 = 127 ∈ P, v = 26 · 127 = 8128 vollkommen

Die ersten vier (geraden) vollkommenen Zahlen waren schon den Griechen vertraut. Die5. und 6. vollkommene Zahl wird in Manuskripten, die um das Jahr 1460 geschriebenwurden, erwahnt. Weitere Informationen uber die Vermutungen und Ergebnisse im Zu-sammenhang mit vollkommenen Zahlen findet man in [ReUl].

Gottfried Wilhelm Leibniz glaubte, dass jede Primzahl s eine Mersennesche Primzahlliefert. Das ist falsch. Mersennesche Primzahlen erhalt man z.B. fur

s = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127 ;

20

aber nicht furs = 11 wegen 211 − 1 = 23 · 89 .

Damit ergeben sich nach den 4 bekannten die folgenden vollkommenen Zahlen:

212(213 − 1) = 33550336

216(217 − 1) = 8589869056

218(219 − 1) = 137438691328

230(231 − 1) = 2305843008139952128

(ii) Euklidische Geometrie

In den Buchern des Euklid wird zum ersten Mal ”axiomatisch” festgelegt, was unterden Objekten der Geometrie zu verstehen ist. Beginnen wir mit einer Auswahl der 23Definitionen im I. Buch des Euklid:

1. Ein Punkt ist, was keine Teile hat.

2. Eine Linie (ist) breitenlose Lange.

4. Eine gerade Linie (Begrenzt: Strecke) ist eine solche, die zu den Punkten auf ihrgleichmaßig liegt.

5. Eine Flache ist, was nur Lange und Breite hat.

15. Ein Kreis ist eine ebene, von einer einzigen Linie [die Umfang (Bogen) heißt] um-fasste Figur mit der Eigenschaft, dass alle von einem innerhalb der Figur gelegenenPunkte bis zur Linie [zum Umfang des Kreises] laufenden Strecken einander gleichsind.

16. Und Mittelpunkt des Kreises heißt dieser Punkt.

20. Von den dreiseitigen Figuren ist

ein gleichseitiges Dreieck jede mit drei gleichen Seiten,

ein gleichschenkliges jede mit nur zwei gleichen Seiten,

ein schiefes jede mit drei ungleichen Seiten.

Dann kommen die 5 Postulate, die wir heute als Grundlage der sog. ”EuklidischenGeometrie” wahlen. Gefordert soll sein u.a.:

1. Dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen,

2. Dass man eine begrenzte gerade Linie zusammenhangend gerade verlangern kann,

3. Dass man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis zeichnen kann,

4. Dass alle rechten Winkel einander gleich sind,

5. Und dass, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien bewirkt,dass innen auf derselben Seite entstehende Winkel zusammen kleiner als zwei Rechtewerden, dann die zwei geraden Linien bei Verlangerung ins Unendliche sich treffenauf der Seite, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind.(heutiges Parallelenpostulat)

21

In Buch XIII werden Satze uber regulare Polyeder zusammengestellt. Unter anderem wirdgezeigt:Es gibt genau funf Platonische Korper, namlich das Tetraeder, das Hexaeder (Wurfel), dasOktaeder, das Dodekaeder und das Ikosaeder (benannt nach den griechischen Namen fur dieAnzahl der Seitenflachen):

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Tetraeder: 4 gleich-seitige Dreiecke

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Hexaeder: 6 Quadrate

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Oktaeder: 8 gleich-seitige Dreiecke

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Dodekaeder: 12 regel-maßige Funfecke

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Ikosaeder: 20 gleich-seitige Dreiecke

d) Romische Mathematik

Die Romer haben (nach der ”Welteroberung”) viele Teile der griechischen Mathematik uber-nommen. Hauptsachlich - aber nicht ausschließlich - haben sie sich der Anwendungen wegen mitMathematik beschaftigt. Es bestand auch ein großes Interesse an der griechischen Philosophieund Naturwissenschaft. Der gebildete Romer hat sicherlich bemerkt, dass Mathematik in dergriechischen Kultur eine bedeutende Rolle gespielt hat, und so wird er gemeint haben, dass erdavon ein bisschen wissen musste - naturlich nicht zuviel.

Cicero (*106, †43 v.Chr.) schreibt in ”De oratore” (herausgegeben 54 v.Chr.):”die Mathematiker bearbeiten dunkle Gegenstande, eine entlegene, vielseitige und tiefe Wissen-schaft.” Der gebildete Romer war allerdings der Rhetor. Rhetorik brauchte man zur Bewerbungum Staatsamter und zur Durchsetzung von Beschlussen im Senat und vor Gericht.

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Quintilian (*35, †95 n.Chr.) hat einen Lehrplan fur die Ausbildung des Redners entworfen.Zur Ausbildung gehort auch Unterricht in Grammatik, Musik und Geometrie (griechisch: Erd-vermessung); dabei ist Logik und Arithmetik mitgemeint. (Figuren mit gleichem Umfang sindnicht flachengleich.)

Apuleius (*ca. 125-171 n.Chr.) besuchte Rhetorenschulen in Madaura (heutiges Tunesien)sowie Karthago und studierte in Athen. Er hat griechisches Gedankengut in lateinischer Sprachezuganglich gemacht, darunter auch etwas Mathematik.

Augustinus (*345, †430) hat nach seiner Taufe im Jahre 387 durch Ambrosius Schriften ver-fasst, in denen gelegentlich ”mathematische” Gedanken vorkommen. Mathematik wurde alsHilfsmittel zum Verstandnis theologischer Fragen benutzt. Augustinus sagt: ”Gott hatte dieWelt auch in weniger als 6 Tagen erschaffen konnen, aber er wollte auf diese Weise die Voll-kommenheit der Zahl 6 sichtbar machen.” Weiter versucht Augustinus zu begrunden, warumMoses, Elias und der Herr selbst gerade 40 Tage lang gefastet haben. 40 = 4 · 10 und 4 tretenbei der Aufteilung des Tages und des Jahres auf:Morgen-, Mittag-, Abend- und NachtstundenFruhlings-, Sommer-, Herbst- und Wintermonate.Wichtige Bedeutung hat Augustinus allerdings fur Philosophie und Theologie.

Martianus Capella (um 400) schreibt vor der Eroberung von Karthago durch die Vandalen(im Jahre 439) ”Uber die Hochzeit der Philologie und des Merkur”:Philologie ist außer Philosophie und Berufwissenschaften die weiseste aller Jungfrauen, in derenGefolge sieben Jungfrauen allegorisch die Disziplinen Grammatik, Dialektik, Rhetorik,Geometrie, Arithmetik, Astronomie und Harmonie vertreten. Die Siebenzahl der artesliberales wird hier festgeschrieben und ist so das ganze Mittelalter hindurch geblieben.Die Geometrie erklart als ihre Aufgabe, die Gestalt und Große der Erde, ihre Teile undLandschaften zu beschreiben.Die Arithmetik beschreibt die Eigenarten von Zahlen. (Keine Beweise, viel weniger Kenntnisseals in den Elementen von Euklid steht.)In der Harmonielehre sollte die Musiktheorie der Pythagoreer vermittelt werden.Aber beachte: Das sind die mathematischen Kenntnisse eines Rechtsanwalts aus der ”Provinz”,wobei andere Disziplinen wie Grammatik, Dialektik und Rhetorik viel wichtiger sind.Von Boet(h)ius (*475 in Rom (?), †524 in Pavia) ist einiges uber das romische Bildungswesenbekannt. Die Schulausbildung gliedert sich in drei Stufen: Grundschule, Grammatikschule undRhetorikschule.Im 7. Lebensjahr beginnt der Elementarunterricht; bis zum 14. Lebensjahr bringt man denKindern das Lesen, Schreiben und Rechnen (mit Hilfe des Abakus) bei. Der Schulmeister (lit-terarius oder ludi magister) unterrichtet in privat betriebenen Grundschulen - meistens imFreien, in den Saulenhallen und Loggien der Mietshauser oder in offentlichen Anlagen. DieseGemeinschaftsschule besuchen die Kinder aus bescheidenen Verhaltnissen; die Reichen lassenihre Sprosslinge zu Hause unterrichten. Aus der Zeit des Kaisers Diokletian (284 - 305) ist uber-liefert, dass durch das Preisedikt des Kaisers die Eltern pro Schuler ein monatliches Entgeltvon 50 Denar zu entrichten hatten, was ungefahr dem Tagelohn eines einfachen Handwerkers(50 bis 60 Denar) entspricht. Die Unterrichtsmethoden gehen uber gedankenloses Nachplappernund Auswendiglernen kaum hinaus.In der 2. Ausbildungsstufe lehrt ein grammaticus an Hand lateinischer und griechischer Klas-siker, die auswendig gelernt werden, Diktion und Grammatik. Die Lekturen erstrecken sich auch

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auf zeitgenossische Dichter.In der Redekunst unterweist der rhetor die jungen Leute, die in dieser dritten SchulstufeSprachlehre und Textstudien betreiben und auch eigene Aufsatze schreiben und vortragen. DerUbungsstoff entstammt ausschliesslich der Mythologie und Geschichte; das zeitgenossische Le-ben ist aus der Schule verbannt. Der im diokletianischen Preisedikt festgelegte Lohn fur dieGrammatik- und die Rhetorikschulen betragt 200 bis 250 Denar pro Schuler. Doch auf diesesEinkommen ist kein Verlass, denn viele Zoglinge verschwinden, wenn am Ende des Schuljahresdie Zahlung fallig wird. Es gibt weder Prufungen noch Zeugnisse, und die Dauer des Schulbe-suches ist nicht vorgeschrieben.

Wenn man anschließend universitatsahnliche Fachhochschulen fur Jurisprudenz oder Philoso-phie besuchen wollte, musste man Kenntnisse in den vier mathematischen Wissenschaften,namlich Arithmetik, Musik, Geometrie und Astronomie nachweisen.Seit Boetius ist die Bezeichnung ”Trivium” fur die drei Facher ”Grammatik, Logik (bzw.Dialektik) und Rhetorik” ublich. (Trivial ist also das, was am Anfang kommt.) Die vier ma-thematischen Facher werden zum ”Quadrivium” zusammengefasst. Die Facher des Triviumsund des Quadriviums bilden die ”sieben freien Kunste”. Die Fakultat, an der spater an denUniversitaten diese sieben Facher gelehrt werden, heißt ”Artistenfakultat”.

e) Anfange des Bildungssystems im christlichen Abendland

Karl der Große (*742, †814) hat sich sehr um die allgemeine Volksbildung bemuht, obwohler selbst trotz aller Anstrengungen nie wirklich Schreiben und Lesen erlernen konnte. Er sprachzwar Lateinisch und verstand auch das Griechische, aber die Buchstaben des Alphabets wolltennie so richtig in seinen Kopf. Im Jahre 789 ordnete er an, dass kunftig jedes Kloster eineSchule unterhalten musste, an der die jungen Manner Lesen, Schreiben und Rechnen lernensollten. Außerdem sollten neben religiosen Schriften auch die Klassiker studiert werden. Sowohldie Monche als auch die Nonnen an diesen Schulen entstammten der Oberschicht, waren inder Regel aber die zweiten Sohne oder die nachgeborenen Kinder beiderlei Geschlechts auskinderreichen Familien, die weder auf eine nennenswerte Erbschaft noch auf eine Mitgift hoffenkonnten. Im Dienst der Kirche konnten sie es jedoch zu Ansehen bringen.Karl der Große bemuhte sich auch im Interesse der Starkung seines Staates um ein hoheresBildungsniveau der Geistlichkeit und der ”hoheren Beamten” des Staates. Auch an den Bi-schofssitzen wurden Schulen errichtet, von denen die in Tours, Fulda, auf der Reichenau, in St.Gallen und in Corvey beruhmt wurden.

Gegen Ende des 11.Jh. gab es verschiedene Grunde, sich mit den wissenschaftlichen Arbeitender Griechen und der Araber auseinanderzusetzen:

1) Wahrend es bislang immer nur gelungen war, einzelne Werke der Griechen bzw. derAraber nach ”Europa” zu bringen, fielen den Christen bei der Wiedereroberung Spa-niens große arabische Bibliotheken in die Hande, besonders in Toledo. Dadurch warensie im Besitz fast der gesamten arabischen wissenschaftlichen Literatur, einschließlich derUbersetzungen und Kommentare griechischer Werke.

2) Die Christianisierung Europas war im wesentlichen abgeschlossen, die Kirche konnte sichanderen Aufgaben zuwenden; dazu gehorte die wissenschaftliche Bildung des Klerus.

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3) Die sog. ”Volkerwanderung” war beendet. Der Handel begann sich zu entwickeln, zunachstim Mittelmeergebiet, wo Venedig, Genua und Pisa fuhrend waren, dann auch im ubrigenEuropa. Die Zahl der deutschen Stadte wuchs z.B. zwischen 900 und 1200 von 40 auf 250an. Dort entwickelten sich Bevolkerungsschichten aus Kaufleuten, Handwerkern, Arzten,Richtern und Verwaltungsbeamten, die Fachwissen brauchten, aber auch fur allgemeineBildung aufgeschlossen waren.

Wo konnte das gesteigerte Bildungsbedurfnis befriedigt werden? Anfangs sicherlich an den Dom-schulen bzw. Klosterschulen. Die Schulen dienen der christlich-frommen Erziehung der Priesterund Monche: die ”Bildung” dient dem Verstandnis des Heils, geht in Gebet und Andacht uber.Lesen und Lernen ist Gottesdienst und Sorge fur die Seele. Spater werden die Schulen auch furdie Laien goffnet; der Unterrichtsstoff ist der gleiche. Der Unterricht erfolgt in 3 Stufen.

a) Der Elementarunterricht, der etwa 3 Jahre dauert, umfasst die Einfuhrung in das Lesen(am Psalmenbuch), das Lesen im Psalmenbuch sowie das Lernen von Psalmen, Schreiben(Schonschreiben), Rechnen, Gesang, lateinische Konversation und grundlegende Gram-matik.

b) Es folgt mit einer Dauer von etwa 8 Jahren der Unterricht in den sieben freien Kunsten.

c) Den Abschluss und die Krone bilden die theologischen Studien, die Wissenschaft von dengottlichen Offenbarungen, die Auslegung der Heiligen Schrift, in der ”die Heimat, diewahre Weisheit aufleuchtet”, und die Dogmatik.

Aber allmahlich entwickeln sich daraus oder auf andere Art und Weise Ausbildungsstatten, diewir aus heutiger Sicht als Vorstufe der Universitaten bezeichnen konnen. Es gibt im Wesentli-chen drei verschiedene Moglichkeiten fur eine Universitatsgrundung; sie entsteht

a) aus einer Klosterschule oder einer ahnlichen von Geistlichen geleiteten Anstalt,

b) durch Grunder wie den Papst, eine stadtische Gemeinschaft oder einen Furst,

c) durch Berufslehrer, die sich irgendwo niederließen und Schuler um sich scharten.

Um 1200 wird durch Zusammenschluss der Schulen in Paris unter der Leitung des Kanzlersder Kathedrale sozusagen die Universitat gegrundet, an der sich viele andere Universitatenorientiert haben. (Im Laufe des 13.Jh. wurde die Universitat selbststandig. 1257 stiftete Robertde Sorbon ein ”Haus des Lernens”, ein Heim fur arme Studenten und Magister der Theologie;nach ihm hat die Universitat ihren Namen. Die Universitat Paris hatte 4 Fakultaten. DerStudent trat in die Fakultat der artes (Artisten- bzw. Philosophische Fakultat) ein und lerntedort die artes liberales; nach erfolgreichem Abschluss erhielt er die Berechtigung in einer der”hoheren” Fakultaten Theologie, Rechtswissenschaft oder Medizin zu studieren.)

Die erste ”deutschsprachige” Universitat, d.h. Universitat des deutschen Reiches, wird 1348 inPrag durch Kaiser Karl IV. (* 1316 in Prag, †1378 in Prag) gegrundet, dessen Name sie auchheute noch tragt.

Wir listen ein paar ausgewahlte Grundungen deutschsprachiger Universitaten auf; nach Pragsind insbesondere zu erwahnen:

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1365 Wien

Albert von Sachsen (* 1316 in Helmstedt) studierte in Paris, wurde dort 1351 Magisterartium, war 1353 Rektor, trat 1362 in den Dienst von Papst Urban V. und erwirkte vonihm das Privileg zur Grundung der Universitat Wien, deren erster Rektor er 1365 wurde.Da es mit dem Aufbau der Universitat nur langsam voranging, ubernahm Albert 1366das Bistum Halberstadt. Er starb 1390.

1386 Heidelberg

Gegrundet durch Kurfurst Ruprecht I. von der Pfalz ist sie die alteste Universitat Deutsch-lands. 1803 fiel Heidelberg an Baden. Die Universitat wurde reorganisiert und erlebte einenNeuanfang. Sie fugte den Namen des ersten badischen Großherzogs Karl Friedrich ihreroffiziellen Bezeichnung hinzu und nennt sich seither Ruprecht-Karls-Universitat.

1388 Koln

Am 21. Mai 1388 wurde auf Wunsch des Rates der Stadt Koln die Grundungsurkundedurch Papst Urban VI. unterzeichnet. 1798 fiel die Universitat der franzosischen Unter-richtsreform zum Opfer und wurde aufgelost. Neugrundung 1919 durch den damaligenOberburgermeister und spateren Bundeskanzler Konrad Adenauer.

1392 Erfurt

Erfurt war nach bescheidenen Anfangen um 1470 die großte der deutschen Universitaten,an der sich fast ein Drittel aller deutschen Studenten immatrikulierten. Am 12. November1816 wurde die Universitat geschlossen. Neugrundung zum 1. Januar 1994.

1409 Leipzig

Nach dem Umbruch des Jahres 1989 hat sich die Universitat von dem ihr auferlegtenNamen ”Karl-Marx-Universitat” getrennt und heißt jetzt wieder ”Universitat Leipzig”.

1419 Rostock

Erst ab dem Jahre 1432 vervollstandigte die Theologische Fakultat den Lehrbetrieb ander Universitat und machte so ein Studium generale in allen vier Fakultaten moglich.

1456 Greifswald

Die Alma mater Gryphiswaldensis wurde als Pommersche Landesuniversitat mit den vierklassischen Fakultaten gegrundet. Nach dem Ende des 2. Weltkrieges wurde die Univer-sitat auf Befehl der sowjetischen Militarregierung geschlossen und 1946 wiedereroffnet,allerdings ohne die Rechtswissenschaftliche Fakultat. 1991 wurde die Rechts- und Staats-wissenschaftliche Fakultat wiedereroffnet. Sie heißt jetzt Ernst-Moritz-Arndt-Universitat.

1457 Freiburg

Gegrundet durch Erzherzog Albrecht VI. von Osterreich. Großherzog Ludwig sicherteAnfang des 19. Jahrhunderts den Fortbestand der Freiburger Hochschule in schwerenZeiten; sie fuhrte fortan den Namen des Grunders und des Gonners: Albert-Ludwigs-Universitat.

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1472 Ingolstadt

Erste Universitat Bayerns, gegrundet von Herzog Ludwig dem Reichen. Ab 1800 Ver-legung nach Landshut, ab 1826 Verlegung nach Munchen an den Sitz der 1759 vonKurfurst Maximilian III. Joseph gegrundeten Akademie der Wissenschaften. Heute heißtsie Ludwig-Maximilians-Universitat Munchen.

1477 Tubingen

Gegrundet durch Graf Eberhard im Bart von Wurttemberg(-Urach). ”Attempto!” ”Ichwag’s”, so lautete das Losungswort des Grafen, als er die Universitat grundete. Einst als”kleinste Universitat Deutschlands” belachelt, ist aus ihr eine ehrwurdige Alma matergeworden.

1655 Duisburg

Genehmigung durch Kurfurst Friedrich Wilhelm; Grundungstag ist der 14. Oktober 1655.Einen Tag spater wird Johannes Clauberg erster Rektor der Universitat und nimmt dieInsignien – Kette, Zepter und Siegel – in Empfang. Auflosung 1818; im Februar 1819landen die Insignien der Duisburger Universitat in Bonn. Neugrundung als Universitat– Gesamthochschule am 7. August 1972. Anlaßlich des 400. Todestages von GerhardMercator (eigentlich Gerhard Kremer, * 5.3.1512 in Rupelmonde (Flandern), †2.12.1594in Duisburg) erhalt die Universitat 1994 den Namen ”Gerhard-Mercator-Universitat”.Am 1.1.2003 wird die Universitat mit der Universitat Essen, die ebenfalls 1972 als Uni-versitat – Gesamthochschule gegrundet wurde, als fusionierte Universitat Duisburg-Essenneugegrundet.

In der Artistenfakultat konnte man die Vorbildung fur die drei berufsqualifizierenden hoherenFakultaten erwerben. Zu dieser allgemeinen Bildung trug auch die Mathematik im Rahmen desQuadriviums bei. Deshalb gibt es schon sehr fruh Dozenten fur die Mathematik, die allerdingsauch noch andere Lehrgebiete aus ihrer Fakultat mit ubernehmen mussten. Es ist uberliefert,dass sehr lange 80% der Zeit fur das Trivium und nur 20% fur das Quadrivium verwandt wurde.

Nach etwa 112− 2 Jahren findet in der Artistenfakultat die erste Prufung, das sog. Baccalariat,

statt: sie umfasst das Studium der vorgeschriebenen logischen Schriften und die Bucher derPhysik. Wer sich zur Prufung meldet, muss nachweisen, dass er die Bucher gehort und diezugehorigen Ubungen, Resumptionen und Disputationen (s.u.) mitgemacht hat.Nach weiteren 11

2− 2 Jahren werden in der zweiten Prufung der Artistenfakultat - dem Magi-

sterium - die restlichen Disziplinen uberpruft.Nur etwa 1/4 der Immatrikulierten ereichen das Baccalariat und von diesen wieder nur etwa1/4 das Magisterium. Angesichts dieser Prozentsatze sind folgende Daten aus einer Tabelleder Immatrikulationszahlen im 16. Jahrhundert interessant. Wir betrachten die UniversitatenLeipzig und Tubingen:

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Jahr Leipzig Tubingen Baccalarii in Leipzig Magistri in Leipzig

1500 344 83 117 141505 351 101 179 171510 382 160 156 161515 572 109 156 171520 417 80 77 101525 102 52 16 81530 100 46 19 61535 141 95 26 111540 204 113 23 5

Im Laufe des 16. Jahrhunderts gibt es Bemuhungen, die unterste Fakultat mit den drei hoherenFakultaten gleichzustellen. Als erster Erfolg kann die Umbenennung von ”Artisten-” in ”Phi-losophische” Fakultat gesehen werden, die ab Ende des 16. Jahrhunderts beginnt.

An der Philosophischen Fakultat der alten Universitat Duisburg gibt es in der Zeit von 1655 bis1818 insgesamt 27 Professoren, davon 8 fur Mathematik und Philosophie, wobei Johann JakobSchilling alleine 51 Jahre diese Facher vertritt (1728-1779).

Entsprechend der Lage der wissenschaftlichen Kultur im Mittelalter handelt es sich beim Un-terricht um das Lernen und Aneignen und nicht um die Hervorbringung von Wissenschaft. DieForm der Lehrtatigkeit besteht aus zwei Teilen, der lectio und der disputatio. Dabei bedeutetlegere, den Text nach Inhalt und Form zu erlautern. Der Besitz des Textes wird vorausgesetzt,ja sogar haufig ausdrucklich gefordert: mindestens je drei Zuhorer sollen einen Text zusam-men haben. In den Disputationen, fur welche ein Tag in der Woche angesetzt wird, tritt dieFakultat als Korperschaft auf. Die Gesamtheit der Lehrer und Schuler versammelt sich im gros-sen Horsaal. Die Disputationen gelten fur beschwerliche, aber uberaus wichtige Ubungen; dieStatuten enthalten regelmaßig sehr genaue Vorschriften daruber und Strafandrohungen gegenSaumige.Die angestellten und besoldeten Professoren sind verpflichtet, regelmaßig ihr Fach in offentli-chen Vorlesungen und offentlichen Lektorien zu lehren, meist vier Stunden wochentlich. DieseVorlesungen sind allen Studierenden ohne weiteres zuganglich; es findet weder eine Honorar-zahlung noch eine Inskription statt. Immer wieder gibt es Beschwerden der Aufsichtsbehordeund teilweise auch der Studierenden, dass die Professoren so geneigt seien, die offentlichen Vor-lesungen so haufig ausfallen zu lassen. Vor allem uber die Mediziner und auch uber die Juristenwird viel geklagt.Sechsmal im Jahr gibt es eine großere Unterbrechung der Vorlesungen: etwa 2 1/2 Wochen zuWeihnachten, 1 zu Fastnacht, 2 zu Ostern, 1 1/2 zu Pfingsten, 5 zu den Hundstagen und 4 bis5 fur Michaelis.Im 16. Jahrhundert verwischt die Grenze zwischen ”Schule” und ”Universitat”. Bis dahin ist derUnterschied klar: die Schule lehrt die gelehrte Sprache, die Universitat lehrt die Wissenschaften,in der facultas artium die allgemeinen, in den oberen Fakultaten die Fachwissenschaften.An den prostetantischen Schulen um 1580 gehoren zum Unterricht an den Schulen drei Gebiete:Glaubenslehre, Sprache (klassisches Latein, Griechisch und Hebraisch an den grossen Schulen)und Wissenschaften (propadeutischer Unterricht in der Dialektik, dann auch in der Physik undKosmologie oder mathematischen Geographie und schliesslich in der Mathematik). Dadurch

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wird die Universitat allmahlich von dem elemtarwissenschaftlichen Untericht entlastet, die phi-losophische Fakultat hort auf, Obergymnasium zu sein; die alte artistische Fakultat verschmilztmit der Lateinschule zum Gymnasium. Dieser Vorgang, der gegen Ende des 16. Jahrhundertsbeginnt, kommt erst im 19. Jahrhundert zum Abschluss. Der heute ubliche Name Gymna-sium ist erst im 19. Jahrhundert zur offiziellen und ausschließlichen Bezeichnung fur die aufdas Universitatsstudium vorbereitende Schule geworden. Im 16. Jahrhundert wird der Name”Gymnasium” neben ”Academia” oder ”Lyceum” auch von Universitaten gebraucht.Zu Beginn des 18. Jahrhunderts ist neben der alten Gelehrtenbildung eine neue, die hofisch-franzosische Bildung, aufgekommen. Diese schließt die Naturwissenschaft und Mathematik,Naturrecht (im Sinne von Rousseau) und Staatswissenschaften, Geschichte und Geographie ein(vgl. z.B. [Blan] oder [Russ]). Andererseits ist auch die alte lateinische Gelehrtenbildung nochda und gilt auf Schulen und Universitaten als unentbehrlich. Latein ist noch die Sprache derGelehrsamkeit und der Universitaten; die Vorlesungen und vor allem die Disputationen wer-den in lateinischer Sprache gehalten. Auch die Universitatsliteratur ist noch ganz uberwiegendlateinisch.Interessant ist die Zahl der Studierenden an den vier preussischen Universitaten zu Beginn des18. Jahrhunderts: Halle hat 1202, Konigsberg hat 400, Frankfurt hat 190 und Duisburg hat 163Immatrikulierte.

f) Die Entwicklung zum mathematischen Institut

Im Jahre 1734 wird eine neue Universitat in Gottingen gegrundet (und 1737 eingeweiht). Sieentwickelt sich in der zweiten Halfte des 18. Jahrhunderts neben Halle und Leipzig zu den wich-tigsten Universitaten Deutschlands. Dies sind die Universitaten der drei großen protestantischenLander Preussen, Sachsen und Hannover. Die wichtigste Fakultat ist nicht die theologische, son-dern die juristische. Auch auf die historischen Facher und die Naturwissenschaften wird großerWert gelegt, was sich in der Zahl der entsprechenden Professorenstellen ausdruckt. In der phi-losophischen Fakultat gibt es etwa um 1765 12 ordentliche und 6 ausserordentliche Professorensowie 5 Privatdozenten, im Vergleich zu 3 ordentlichen und 1 ausserordentlichem Professor inder theologischen Fakultat sowie 5 ordentlichen, 2 ausserordentlichen Professoren und 1 Privat-dozenten in der medizinischen Fakultat. Von den 12 Professoren der philosophischen Fakultatliest einer Mathematik. Die Vorlesungen werden durchweg in deutscher Sprache gehalten. Mit-te des 18. Jahrhunderts wird von Buddeus darauf hingewiesen, wie wichtig es sei, besser aufihren Beruf vorbereitete Lehrer an die Gymnasien zu senden. ”Ursprung des ganzen Ubels sei,dass den Schulen Leute vorgesetzt werden, die zu allem eher als zu Lehrern taugen, die wederrichtig zu denken noch zu lesen noch auch zu reden imstande seien; diese schickten dann wiederdie schlecht vorbereiteten Schuler auf die Universitat. Von jenem Ubel aber sei die wichtigsteUrsache, dass die Universitaten die Vorbereitung auf das Lehramt fast ganz vernachlassigten”.

In der Folge wird eine allgemeine Lehramtsprufung fur das Lehramt an hoheren Schulen ein-gefuhrt und damit ein eigener Gymnasiallehrerstand geschaffen. Die erste Prufungsordnung hatnoch eine sehr einfache Gestalt.

Um untuchtige und ungenugend vorbereitete junge Leute von den Universitaten fernzuhalten,werden Abschlussprufungen an den Schulen eingefuhrt. Im Jahre 1812 wird durch ein Edikt,veranlasst von Wilhelm von Humboldt, die Form der Prufung genauer festgelegt. Es wirdverlangt: ein deutscher, ein lateinischer, ein franzosischer und ein mathematischer Aufsatz, eine

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Ubersetzung aus dem Griechischen und ins Griechische. Die mundliche Prufung soll sich auf alleSprachen, die gelehrt werden, auf Mathematik, Geschichte, Geographie, Naturlehre beziehen;bei der Interpretation der alten Schriftsteller wird lateinisch gesprochen. Das Ergebnis wirddurch drei Nummern bezeichnet:

I unbedingt tuchtig, II bedingt tuchtig und III untuchtig.

Da man auch durch eine Aufnahmeprufung an der Universitat, die von den entsprechendenKommissionen haufig nicht so ernst genommen werden, und auch mit der Note III studierenkonnte, war eine Uberlaufung der Universitaten mit schlecht vorgebildeten Studierenden dieFolge. Deshalb wird 1834 die Aufnahmeprufung an der Universitat abgeschafft unddas Bestehen der Reifeprufung als Voraussetzung zur Immatrikulation eingefuhrt.

Konsequenz dieser Verordnung ist eine einheitliche Gestaltung des Unterrichts an den Gymna-sien. Die Grundzuge einer Unterrichtsverfassung aus dem Beginn des 19. Jahrhunderts besagenfolgendes:Das Gymnasium hat einen zehnjahrigen Kursus, in 6 Klassen, von unten auf gezahlt VI (Sex-ta) bis I (Prima), wobei sich die Schuler unterschiedlich lang in einer Klasse aufhalten: Je 1 Jahrin den Unterklassen VI (Sexta), V (Quinta) und in der Mittelklasse IV (Quarta), 2 Jahre inder Mittelklasse III (Untertertia und Obertertia), 2 Jahre in der Oberklasse II (Untersekundaund Obersekunda) und 3 Jahre in der Oberklasse I (Prima). Der Lehrplan sieht 1858 inPreussen folgendermassen aus:

VI V IV III II I Summa

Latein 6 6 8 8 8 8 76Griechisch − − 5 5 7 7 50Deutsch 6 6 4 4 4 4 44

Mathematik 6 6 6 6 6 6 60Naturwissenschaften 2 2 2 2 2 2 20

Geschichte und Geographie 3 3 3 3 3 3 30Religion 2 2 2 2 2 2 20Zeichnen 3 3 2 2 − − 10

Kalligraphie 4 4 − − − − 8

Man sieht, es sind 4 Hauptfacher: Lateinisch, Griechisch, Deutsch und Mathematik. Das Un-terrichtsziel in den einzelnen Hauptfachern wird im Lehrplan festgelegt. Die Ziele sind dabei(gerade in Mathematik) sehr hoch angesetzt: In

V beginnen Algebra und Geometrie, in

IV Theorie der Gleichungen und Geometrie nach dem 6., 11., 12. Buch des Euklid, in

III Logarithmen und analytische Geometrie, in

II Lehre von den Reihen, ebene und spharische Trigonometrie, Kegelschnitte und in

I Gleichungen 3. und 4. Grades, Anfangsgrunde der unbestimmten Analytik, Fortsetzungder Lehre von den Reihen, Wahrscheinlichkeitsrechnung; daneben in der Halfte der Stun-den angewandte Mathematik, besonders die mechanischen Wissenschaften.

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Das ist der Lehrplan fur den idealen Abiturienten. Ob es ihn jemals als in glucklichen Ausnah-mefallen gegeben hat?Da Mathematik eines der Hauptfacher des gymnasialen Lehrplanes bildete, war auch die Ausbil-dung spezialisierter Mathematikstudenten notig. (An allen preussischen Universitaten zusam-men gab es bis etwa 1860 jahrlich ungefahr 20 Absolventen als Mathematik-Hauptfachlehrer.)Erst nach 1848 setzte sich in den nicht-preussischen Staaten eine volle Gleichberechtigung derphilosophischen Fakultat und eine starkere Stellung von Mathematik und Naturwissenschaftenim Lehrplan der hoheren Schulen durch.

Als Konsequenz der ambivalenten Stellung der Mathematik (als Teilgebiet in der philosophi-schen Fakultat und als Gebiet, das von den Anwendungen her den Naturwissenschaften nahesteht) wurde in Tubingen im Jahre 1863 neben der philosophischen die erste naturwissen-schaftliche Fakultat an einer deutschen Universitat gegrundet. 1869 setzte HermannHankel (*14.2.1839 in Halle, †29.8.1873 in Schramberg) die Einrichtung eines mathematisch-physikalischen Seminars durch, dessen erster Vorstand er wurde. Hankel war ordentlicher Pro-fessor fur Mathematik und Astronomie. Nach seinem Tod wurde 1874 eine Professur alleinefur Mathematik ausgeschrieben.

Am 18. September 1890 wird auf der 63. Versammlung der Gesellschaft deutscher Natur-forscher und Arzte von 33 Teilnehmern (u.a. Georg Cantor, David Hilbert, Felix Klein, Her-mann Minkowski, Carl Runge) in Bremen ein Manifest zur Grundung einer Vereinigung derdeutschen Mathematiker unterzeichnet. Dieses Datum wird als Grundungsdatum der Deut-schen Mathematiker-Vereinigung bezeichnet, obwohl die Statuten und die Geschaftsord-nung erst auf der ersten DMV-Tagung 1891 in Halle beschlossen wurden.Am Ende des 19. Jahrhunderts kommt es zu einer Reformbewegung in der Gestaltung desMathematikunterrichts. Eine 12-kopfige Kommission, zu der u.a. Felix Klein gehort, machen imJahre 1905 die Ergebnisse ihrer Arbeit unter dem Namen ” Meraner Vorschlage” bekannt.In der Praambel werden drei Leitsatze formuliert:

1. Die hoheren Lehranstalten sollen weder eine einseitig sprachlich-geschichtliche, noch eineeinseitig mathematisch-naturwissenschaftliche Bildung geben.

2. Die Mathematik und Naturwissenschaften sind als den Sprachen durchaus gleichwertigeBildungsmittel anzusehen, und an den Prinzipien der spezifischen Allgemeinbildung derhoheren Schulen ist festzuhalten.

3. Die tatsachliche Gleichberechtigung aller hoheren Schulen ist festzuhalten.

Neben der logischen Durchbildung wird als Hauptaufgabe des Mathematikunterrichts formu-liert:”Starkung des raumlichen Anschauungsvermogens und Erziehung der Gewohnheiten zum funk-tionalen Denken.”Der zweite Teil dieser These wirkte sich am starksten aus, denn er fuhrte zu der Einfuhrungder Differential- und Integralrechnung in den Unterricht, und zwar als Hilfsmittel zur ”Kenn-zeichnung des Verlaufs einer Funktion und deren Anderung”.

Wir schauen uns deshalb ein Unterrichtswerk aus dem Anfang des 20. Jahrhunderts an. Be-merkenswert ist dabei, dass es um die Jahrhundertwende eine Trennung in ”Lehrbucher” und”Aufgabensammlungen” gab. So wollen wir einen Blick werfen in

31

Kambly-Thaer: Mathem. Unterrichtswerk, 1. Teil: Arithmetik und AlgebraAusgabe B: Fur Oberrealschulen, Realgymnasien und Gymnasien mitmath. Reformunterricht. F. Hirt–Verlag Breslau, 44. Aufl. 1918 (mit demVorwort zur 39. Aufl. von 1908)

Damit nicht der Eindruck entsteht, dass in diesen Banden das besprochen wird, was wir heut-zutage darunter verstehen (Rechnen mit Zahlen und Buchstaben), will ich aus dem Inhalt mitinsgesamt 11 Abschnitten (davon die letzten 4 im Anhang) zitieren. In den einzelnen Abschnit-ten werden die Kapitel jeweils neu, die Paragraphen allerdings durchgehend durchnumeriert.

IV. Abschnitt: Rechnungsarten der dritten Stufe

3. Kapitel: Von den imaginaren und komplexen Zahlen

5. Kapitel: Von den Logarithmen

VII. Abschnitt: Die Kombinationslehre nebst Anwendungen

4. Kapitel: Von der geteilten fallenden Faktoriellen und dembinomischen Lehrsatze

§ 114: Lehrsatz 1: (nk

)=

(n

n− k

)...

Folgerungen:n∑k=1

k(k − 1)

1 · 2=

(n+ 1)n(n− 1)

1 · 2 · 3n∑k=1

k(k − 1)

1 · 2=

1

2

n∑k=1

k2 − 1

2

n∑k=1

k =1

2

n∑k=1

k2 − 1

4n(n+ 1)

Daraus folgt

n∑k=1

k2 =(n+ 1)n(n− 1)

1 · 3+

(n+ 1)n

2=n3

3+n2

2+n

6

§ 115: Der binomische Lehrsatz fur ganzpositive Exponenten

(1 + x)n =n∑k=0

(n

k

)xk

Beweis: Vollstandige Induktion

IX. Abschnitt: Analysis

§ 129: Cardanische Losung der kubischen Gleichung

§ 131: Gleichungen vierten und hoheren Grades

32

X. Abschnitt: Differentialrechnung

1. Kapitel: Differentialquotienten

Hier werden die ublichen Ableitungsregeln behandelt.

2. Kapitel: Reihen

§ 136: Ableitungen einer Potenzreihe

§ 137: Konvergenz und Divergenz unendlicher Reihen

§ 138: Die Binomialreihe

(1 + x)α =∞∑k=0

(αk

)xk .

§ 139: Die Exponentialreihe

f(x) = ax =∞∑k=0

(x · ln a)k

k!.

f ′(x) = ax · ln a§ 142: Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen

3. Kapitel: Maxima und Minima

§ 143: Anwendungen der Differentialrechnung

XI. Abschnitt: Integralrechnung

Der aufgrund der Meraner Vorschlage eingefuhrte Lehrplan blieb in seinen wesentlichen Zugenbis in die Sechziger Jahre des 20. Jahrhunderts erhalten.Der ”Sputnik-Schock” von 1957 loste dann eine neue Reformbewegung aus. Die USA wolltenden Vorsprung der Sowjetunion dadurch aufholen, dass auch bildungsfernere Schichten systema-tisch zu qualifizierten Ingenieuren und Naturwissenschaftlern ausgebildet werden sollten. Dazugehorte auch eine gute Ausbildung in Mathematik. (U.a. ist wegen dieser Bemuhungen die Fern-sehsendung ”Sesam-Straße” eingefuhrt worden.) Die in den USA einsetzende Bildungseuphoriegriff auch auf Europa uber.Eine abstrakte Gedankenwelt der Strukturmathematik, der sog. ”Bourbakismus”, fand in derBRD Eingang in die Mathematiklehrplane von der Grundschule bis hin zu den Abschlussklassender Gymnasien, aber auch in die mathematischen Servicevorlesungen fur naturwissenschaftliche,technische und wirtschaftswissenschaftliche Facher und naturlich auch in die Anfangervorlesun-gen fur Studierende der Mathematik.

In der Grundschule wurden die Zahlen uber die Machtigkeit von Mengen eingefuhrt.

In der 10. Klasse des Gymnasiums wurden die reellen Zahlen als Aquivalenzklassen ra-tionaler Cauchy-Folgen definiert.

In der Analysis-Vorlesung stand der Begriff des normierten Vektorraumes schon im 1.Semester auf dem Programm, und Differentiation wurde sehr abstrakt fur Abbildungenzwischen Banach-Raumen eingefuhrt.

Leider ging dadurch der Bezug zu den Anwendungen der Mathematik verloren, was eigentlichdurch die Reform gefordert werden sollte. So kam es allmahlich wieder zur Abkehr von derreinen ”Strukturmathematik”.

33

§2 Analysis I - III

Die Vorlesungen Analysis I - III setzen sich zusammen aus den Modulen ”Grundlagen derAnalysis” und ”Analysis III”. Dabei geht es - vereinfacht ausgedruckt - um die Untersuchungvon Funktionen, die auf einer Teilmenge des Rn definiert sind und die reell- oder vektorwertigsind.

a) Der Funktionsbegriff

Der Begriff Funktion (vom Lateinischen functio bzw. fungor oder functus sum; bedeutet sovielwie ausfuhren oder eine Verpflichtung erfullen) geht auf Gottfried Wilhelm Leibniz (*1646Leipzig, †1716 Hannover) zuruck. 1673 schreibt er, dass ”andere Arten von Linien in einergegebenen Figur irgendeine Funktion verrichten”. 1692 bzw. 1694 verwendete er das Wort furbeliebige Arten von geraden Strecken, die von einem festen Punkt oder von Punkten einergegebenen Kurve abhangen. Eine erste explizite Definition stammt von Johann Bernoulli(*1667 Basel, †1748 Basel) aus dem Jahr 1718, initiiert durch den Briefwechsel zwischen Leibnizund Johann Bernoulli:

”Man nennt Funktion einer veranderlichen Große eine Große, die auf irgendeine Weiseaus eben dieser veranderlichen Große und Konstanten zusammengesetzt ist.”

Bernoulli verwendet als Funktionszeichen den Buchstaben ϕ und schreibt ϕx, wenn es sich umdie Variable (veranderliche Große) x handelt.

In dem Lehrbuch von Leonhard Euler (*1707 Basel, †1783 St. Petersburg) aus dem Jahre1748 mit dem Titel ”Introductio in analysin infinitorum” (Einfuhrung in die Analysis derunendlichen Großen) findet sich eine ”Prazisierung” der obigen Definition:

”Eine variable Große ist eine unbestimmte oder allgemeine Große, die in sich ohne Ein-schrankung alle bestimmten Werte einschließt ... . Daher schließt eine veranderliche Großeohne Einschrankung alle Zahlen ein, sowohl positive als auch negative, sowohl ganze alsauch gebrochene, sowohl rationale als auch irrationale und transzendente. Sogar Null undimaginare Zahlen sind nicht von der Bedeutung einer veranderlichen Große ausgeschlos-sen.”

Euler hat bei der Definition des Funktionsbegriffs die Bezeichnung ”analytischer Ausdruck”benutzt und durch Aufzahlung erlautert, was ein ”analytischer Ausdruck” ist:

Verknupfung von Variablen durch alle algebraischen Operationen,

Bildung der Logarithmus– und der Exponentialfunktion

Bildung einer unendlichen (Potenz-) Reihe

(Die Bezeichnung ”analytische Funktion” hatte fruher den Sinn, eine Funktion zu bezeichnen,die in der Analysis verwendet wird. Zur Prazisierung dieses Begriffs als durch eine Potenzreihegebildete Funktion ist es erst durch franzosische Mathmatiker gekommen, wie etwa JosephLouis Lagrange(* 25.1.1736 Turin, †10.4.1813 Paris).)

Neben der Prazisierung des Bernoullischen Funktionsbegriffs gibt Euler 1755 in seiner ”Diffe-rentialrechnung” noch eine andere Definition des Funktionsbegriffs:

34

”Sind nun Großen auf die Art voneinander abhangig, daß keine davon eine Veranderungerfahren kann, ohne zugleich eine Veranderung in der anderen zu bewirken, so nennt mandiejenige, deren Veranderung man als die Wirkung von der Veranderung der anderenbetrachtet, eine Funktion von dieser; eine Benennung, die sich so weit erstreckt, daß siealle Arten, wie eine Große durch eine andere bestimmt werden kann, unter sich begreift.Wenn also x eine veranderliche Große bedeutet, so heißen alle Großen, welche auf irgendeine Art von x abhangen, oder dadurch bestimmt werden, Funktionen von x . . . .”

Diese Definition hat sich zu der damaligen Zeit nicht durchsetzen konnen. Erst bei der Diskus-sion von Fourier–Reihen, das sind unendliche Reihen der Form

∞∑n=0

an cosnx bzw.∞∑n=1

bn sinnx ,

zeigte sich, daß der Funktionsbegriff eher im Sinne der zuletzt gegebenen Definition von Eulerverstanden werden muss.

Jean-Baptiste-Joseph de Fourier (*21.3.1768 in Auxerre, †16.5.1830 in Paris) schreibt 1822in seiner ”Warmelehre”, daß eine Funktion als Folge von beliebigen Werten zu verstehen seiund dass die Ordinaten keinesfalls einem einzigen mathematischen Gesetz folgen, d.h. also nichtdurch denselben mathematischen Ausdruck wiedergegeben werden mussen.

Eine Prazisierung in dieser Richtung findet sich in einer Arbeit von Nikolai IwanowitschLobatschewski (*1.12.1792 in Gorki, †23.2.1856 in Kasan) aus dem Jahre 1834 uber trigono-metrische Reihen:

”Der allgemeine Begriff erfordert, daß eine Funktion von x eine Zahl genannt wird, diefur jedes x gegeben ist und sich fortschreitend mit x andert. Der Wert der Funktionkann gegeben sein entweder durch einen analytischen Ausdruck oder durch eine Bedin-gung, welche ein Mittel darbietet, alle Zahlen zu prufen und eine davon auszuwahlen oderschließlich kann die Abhangigkeit bestehen oder unbekannt bleiben.”

Die Verwendung des Wortes ”fortschreitend” deutet an, daß Lobatschewski ausschließlich ste-tige Funktionen vor Augen hatte. Die Stetigkeit wird fallengelassen in der folgenden Definitionvon Hermann Hankel aus dem Jahre 1870 ( aus der Einleitung zu der Arbeit ”Untersuchun-gen uber die unendlich oft oszillierenden und unstetigen Funktionen”):

”Eine Funktion heißt y von x, wenn jedem Werte der veranderlichen Große x innerhalbeines gewissen Intervalls ein bestimmter Wert von y entspricht; gleichviel, ob y in demganzen Intervalle nach demselben Gesetz von x abhangt oder nicht; ob die Abhangigkeitdurch mathematische Operation ausgedruckt werden kann oder nicht.”

Fast parallel entwickelte sich – beeinflußt durch die Mengenlehre, die mathematische Logik, dieAlgebra und die Zahlentheorie – der Begriff der Abbildung einer Menge in eine andere. DerZusammenhang dieses Begriffs mit der damals ublichen Definition der Funktion wurde nichtbeachtet. Die Definition der Funktion als Teilmenge des cartesischen Produkts von Mengen mitgewissen Eigenschaften stammt sinngemaß von Guiseppe Peano (*1858 Cuneo, †1932 Turin)aus dem Jahre 1911.

Da zu einer Funktion der Definitionsbereich gehort, ist es naturlich, sich zunachst mit den amhaufigsten auftretenden Bereichen zu befassen. Dazu gehort neben den naturlichen Zahlen, den

35

ganzen Zahlen, dem Korper der rationalen und der reellen Zahlen auch der Korper der komple-xen Zahlen. Daruber hinaus werden Teilmengen des n−fachen cartesischen Produktes solcherDefinitionsbereiche betrachtet. Wichtig ist, dass der Korper der reellen Zahlen reichhaltig genugist, um durch verschiedene Prozesse Elemente aus diesem Bereich zu ”erzeugen”.

b) Der Konvergenzbegriff

Ein wichtiges Prinzip im Zusammenhang mit dem Konvergenzbegriff ist das sog. Ausschopfungs-prinzip, das schon Archimedes benutzt, um eine Naherung der Zahl π zu erhalten. Archime-des gibt als erster Abschatzungen fur die Zahl π an. Er vergleicht den Kreisumfang mit denSeitenlangen von ein- bzw. umbeschriebenen regelmaßigen n−Ecken. Das einbeschriebene re-gelmaßige 6-Eck hat den Umfang 6r = 3d, woraus sich sofort π > 3 ergibt. Durch Betrachtungdes regelmassigen 96−Ecks erhalt Archimedes

310

71< π < 3

1

7,

d.h.3.1408451... < π < 3.1428571... .

Die Zahl π mit den ersten 20 korrekten Dezimalstellen nach dem Komma lautet

3.14159 26535 89793 23846 ... .

Wir wollen den Weg von Archimedes nachzeichnen. Dazu bezeichnen wir den halben Umfangdes regelmaßigen Kn−Ecks mit Kn = 3 · 2n−1, das den Kreis mit Radius 1 umschreibt, mitan; ferner sei bn der halbe Umfang des regelmaßigen Kn−Ecks, das in den Kreis mit Radius1 einbeschrieben ist. Dann konnen wir mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen folgendeBeziehungen festhalten (vgl. Skizze):

an = Kn · tan

(π

Kn

)und bn = Kn · sin

(π

Kn

).

Daraus erhalten wir

an+1 = 2 ·Kn · tan

(π

2 ·Kn

)und bn+1 = 2 ·Kn · sin

(π

2 ·Kn

).

36

Hieraus ergeben sich die Beziehungen

1

an+

1

bn=

2

an+1

und an+1 · bn = (bn+1)2 ,

die Archimedes naturlich nicht mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen, sondern aus Flachen-betrachtungen erzielte.Um die beiden letzten Gleichungen einzusehen, benutzen wir hier und auch spater die folgenden

Beziehungen fur trigonometrische Funktionen mit dem Argument θ ∈]0,π

2[:

sin θ = 2 sinθ

2cos

θ

2, cos θ = cos2

θ

2− sin2 θ

2,

und

1 + cos θ = 2 cos2θ

2und 1− cos θ = 2 sin2 θ

2.

Es gilt1

an+

1

bn=

cos πKn

Kn sin πKn

+1

Kn sin πKn

=1

Kn sin πKn

(1 + cos

π

Kn

)=

2

Kn sin πKn

cos2π

2Kn

=2

2Kn tan π2Kn

=2

an+1

und

an+1bn = 2Kn

sin π2Kn

cos π2Kn

Kn sinπ

Kn

= 2K2n

sin π2Kn

cos π2Kn

2 sinπ

2Kn

cosπ

2Kn

= 4K2n sin2 π

2Kn

= b2n+1 .

Aus diesen Formeln kann man ”iterativ” die Zahlen an und bn berechnen. Es ist namlich

an+1 =2anbnan + bn

und bn+1 =√an+1bn .

Nach heutigen Uberlegungen ergibt sich wegen a1 = 3·√

3 und b1 = 3/2·√

3 fur das regelmaßigeSechseck a2 = 2 ·

√3 und b2 = 3. Archimedes wahlt als Naherung fur

√3 den etwas kleineren

Wert265

153. Mit diesem Wert erhalten wir a3 =

3180

989≈ 3.215 und (b3)

2 =9540

989, d.h. b3 ≈ 3.106.

Wenn man weiter fortfahrt und die auftretenden Wurzeln durch rationale Zahlen ersetzt, so

ergeben sich die oben angegebenen unteren und oberen Schranken b6 = 310

71und a6 = 3

1

7.

Satz (Naherungen fur die Zahl π)

Die Folge der Intervalle ([bn, an])n≥1 bildet eine Intervallschachtelung fur π, d.h. es gilt

(∗) bn < bn+1 < π < an+1 < an fur alle n ∈ N

und

(∗∗) limn→∞

(an − bn) = 0 .

37

Beweis: Fur 0 < θ < π2

gilt:

sin θ < 2 sinθ

2, sin θ < tan θ und 2 tan

θ

2< tan θ ,

woraus (*) folgt. Weiter ist mit θ =π

Kn

:

an − bnan+1 − bn+1

=1

2

tan θ − sin θ

tan θ2− sin θ

2

=1

2

tan θ

tan θ2

1− cos θ

1− cos θ2

=tan θ

tan θ2

sin2 θ2

1− cos θ2

= 21

1− tan2 θ2

1− cos2 θ2

1− cos θ2

= 21 + cos θ

2

1− tan2 θ2

und(an+1 + bn+1)(an + bn)

an+1bn=

(1 +

bn+1

an+1

)(1 +

anbn

)=

(1 + cos

θ

2

)(1 +

1

cos θ

)=

(1 + cos

θ

2

)1 + cos θ

cos θ= 2

(1 + cos

θ

2

)cos2 θ

2

cos2 θ2− sin2 θ

2

= 21 + cos θ

2

1− tan2 θ2

,

also

an+1 − bn+1 =an+1bn

(an+1 + bn+1)(an + bn)(an − bn)

und damit

an+1 − bn+1 <a14b1

(an − bn) =1

2(an − bn) .

Insgesamt folgt

an+1 − bn+1 <

(1

2

)n(a1 − b1)

und daraus (**).

Wie man naherungsweise aus einer Zahl a > 1 die Wurzel zieht, geht auf Heron zuruck. Dabeikonnen wir uns von dem Gedanken leiten lassen, dass wir ein Quadrat suchen, dessen Flachen-inhalt a ist. Wir starten mit einem Rechteck mit den Seiten a1 = a und b1 = 1 und bilden eineFolge von Rechtecken, die letztendlich ”zu einem Quadrat werden”. Die Seite a1 ist ”zu groß”und die Seite b1 ”zu klein”. Wir verkleinern a1 zu

a2 =1

2(a1 + b1) =

1

2(a1 +

a

a1)

und vergroßern b1 zu

b2 =a

a2.

Wenn wir zeigen konnen, dass a2 kleiner ist als a1, ist automatisch b2 großer als b1. Nun ist

a1 − a2 = a− 1

2(a+ 1) =

1

2(a− 1) > 0 .

Außerdem ist

a22 − a =1

4(a+ 1)2 − a =

1

4(a− 1)2 > 0,

38

also a2 >√a. Dieses Verfahren konnen wir weiter fortsetzen, indem wir definieren

an+1 =1

2(an +

a

an) und bn+1 =

a

an+1

.

Dann gilt

a2n+1 − a =1

4(an +

a

an)2 − a =

1

4(a2n + 2a+

a2

a2n)− a =

1

4(a− a

an)2 ≥ 0 ,

also an ≥√a fur alle n ∈ N und damit

an − an+1 = an −1

2(an +

a

an) =

1

2an(a2n − a) ≥ 0 .

An dieser Stelle greift man auf die Charakterisierung der reellen Zahlen zuruck und verwendet,dass eine monoton fallende Folge reeller Zahlen, die nach unten beschrankt ist, konvergiert.Nennt man den Grenzwert g, so ergibt sich aus den Grenzwertsatzen, dass g =

√a gelten muss.

c) Unendliche Reihen

Archimedes hat das Konstruktionsprinzip zur Einschachtelung der Kreiszahl π auch verwandt,um die Flache eines Kreises mit Radius 1 zu berechnen. Betrachten wir die in den Kreis einbe-schriebenen regelmaßigen Kn−Ecke, so kann man die Flache des Kreises annahern durch eineendliche Summe von Dreiecksflachen. Jedes Dreieck, das durch das Verbinden der Eckpunkte

mit dem Mittelpunkt des Kreises entsteht, hat einen Mittelpunktswinkel von der Große2π

Kn

.

Damit hat jedes Teildreieck den Flacheninhalt

1

2sin

(2π

Kn

).

Da es insgesamt Kn solcher Dreiecke gibt, erhalten wir fur die Summe der Dreiecksflachen

1

2Kn sin

(2π

Kn

)= π ·

sin( 2πKn

)2πKn

.

Sind die einbeschriebenen Vielecke nicht gleichmaßig, so erhalt man als Naherung fur die Kreis-flache eine endliche Summe

n∑k=1

|∆k| .

Was passiert, wenn die Anzahl der Dreiecke immer großer wird?

Welche Probleme Mathematiker in fruheren Zeiten mit den unendlichen Reihen hatten, gehtaus einer Publikation des Monches Guido Grandi (*1.10.1671 in Cremona, †4.7.1742 in Pisa)aus dem Jahr 1710 hervor. Grandi diskutiert die geometrische Reihe

1

1 + x=∞∑k=0

(−1)kxk = 1− x+ x2 − x3 + x4 + . . . ,

39

die man durch formale Polynomdivision erhalten kann. Er setzt x = 1 und erhalt

1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + . . . =1

2.

Nun setzt er Klammern und folgert

(1− 1) + (1− 1) + . . . = 0 + 0 + . . . =1

2.

Diese Formel sieht der Monch als Beweis dafur an, dass die Schopfung aus dem Nichts ent-standen ist. Selbst der große Leibniz verteidigte Grandis Argumentation in einem Brief anChristian (Freiherr von) Wolff (*24.1.1679 in Breslau, †9.(?)4.1754 in Halle) aus dem Jah-re 1713. In Wirklichkeit ist die obige Gleichung Nonsens, weil mit divergenten Reihen gerechnetwird.1672/73 hatte Leibniz einige Erfolge bei der Summation unendlicher Reihen und verkundetedeshalb ”er konne die Summe jeder unendlichen Zahlenreihe angeben”. Er summierte mitErfolg die Reziproken der Dreieckszahlen

(n2

), n = 2, 3, 4, . . . , d.h.

∞∑n=2

(n2

)−1=

1

1+

1

3+

1

6+

1

10+

1

15+ . . . .

Wir wollen demonstrieren, wie er dies macht. Sei dazu

A :=∞∑n=2

1(n2

) und B :=∞∑n=1

1

n;

dann gilt

B − 1 +1

2A =

∞∑n=2

1

n+

1

2

∞∑n=2

1(n2

) =∞∑n=2

(1

n+

1

n(n− 1)

)=∞∑n=2

1

n− 1=∞∑n=1

1

n.

Leibniz erhalt also

B − 1 +1

2A = B

und schließt daraus: A = 2. Das Ergebnis ist richtig, die Schlußweise aus der heutigen Sichtunhaltbar; die harmonische Reihe ist divergent. (Um einzusehen, dass 1

2A = 1 gilt, kann man

folgendermaßen verfahren. Es ist

1

2A =

∞∑n=2

1

n(n− 1)= lim

N→∞

N∑n=2

(1

n− 1− 1

n

)= lim

N→∞(1− 1

N) = 1 .)

Wenn man heute mit Hilfe eines Computers die Partialsummen sn :=n∑k=1

1

kder harmonischen

Reihe berechnet, so ergibt sich

n sn10 2.92897

100 5.18738500 6.79282

1000 7.4854710000 9.78761

40

Bei einem sehr vagen Verstandnis von Konvergenz konnte man hier vermuten, dass die har-monische Reihe konvergiert, eventuell gegen 10 (?). Betrachtet man aber die Differenz derPartialsummen s2m+1 und s2m , so erhalt man

s2m+1 − s2m =2m+1∑

k=2m+1

1

k=

1

2m + 1+ . . .+

1

2m+1≥ 2m · 1

2m+1=

1

2.

Also ist die harmonische Reihe divergent. Wenn man aber an Stelle der Stammbruche nurdie Stammbruche aufsummiert, bei denen der Nenner eine Quadratzahl ist, so ergibt sich einekonvergente Reihe, d.h.

∞∑k=1

1

k2=π2

6.

Hier sieht man, wie wichtig es ist, einen exakten Konvergenzbegriff als Grundlage zur Verfugungzu haben. Mit Hilfe unendlicher Reihen kann eine Vielzahl von Funktionen definiert werden,z.B. die Exponentialfunktion exp mit

exp(x) = ex =∞∑k=0

xk

k!

oder die trigonometrischen Funktionen sin und cos mit

sinx =∞∑k=0

(−1)kx2k+1

(2k + 1)!bzw. cosx =

∞∑k=0

(−1)kx2k

(2k)!.

Fur Fehlerabschatzungen ist es wesentlich, dass die beiden letzten Reihen alternierende Reihensind. 1682 hat Leibniz ubrigens das Konvergenzkriterium fur alternierende Reihen gefunden.Die eindeutig bestimmte Nullstelle der Cosinus-Funktion im Intervall [0, 2] wird mit π

2bezeich-

net. Um deren Existenz zu sichern, muss man sich Gedanken zur Stetigkeit von Funktionenmachen.

d) Stetigkeit

Fur viele Anwender von Mathematik ist noch heute eine stetige Funktion eine solche, die sichohne abzusetzen mit einem Stift zeichnen lasst. Man kann sehr schnell Beispiele fur stetigeFunktionen finden, bei denen dieses ”Kriterium” versagt. Betrachten wir z.B. die Funktion fmit

f(x) =

x fur x ∈ Q0 fur x ∈ R \Q

,

so ist f genau im Nullpunkt stetig. Aber solche Beispiel muten vielleicht etwas pathologisch an.Im Jahre 1817 gibt Bernard Bolzano (*5.10.1781 in Prag, †18.12.1848 in Prag) zum erstenMal eine strenge Definition des Begriffs der ”Stetigkeit einer Funktion”, wobei der damaligeBegriff von Funktion zugrundegelegt ist. In der gleichen Arbeit ist auch der Zwischenwertsatzenthalten. Bolzano definiert,

”daß eine Function f(x) fur alle Werthe von x , die inner– oder außerhalb gewisser Grenzenliegen, nach dem Gesetze der Stetigkeit sich andre, ... , daß, wenn x irgendein solcherWerth ist, der Unterschied f(x + ω) − f(x) kleiner als jede gegebene Große gemachtwerden konne, wenn man ω so klein, als man nur immer will, annehmen kann.”

41

Im Prinzip ist das die heutige sog. ε − δ-Definition der Stetigkeit einer Funktion f : D → R(mit D ⊂ R) an einer Stelle x0 ∈ D: zu jedem ε > 0 existiert ein δ = δ(ε, x0) > 0 derart, dassfur alle x ∈ D mit |x− x0| < δ die Beziehung |f(x)− f(x0)| < ε folgt.

Den Zwischenwertsatz bzw. den Nullstellensatz benotigt man z.B., um aus cos 0 = 1 undcos 2 < 0 und der strengen Monotonie der Cosinus-Funktion im Intertvall [0, 2] die Existenzgenau einer Nullstelle der Funktion im Inneren des Intervalls zu folgern.

e) Differenzierbarkeit

Die wichtigsten Namen im Zusammenhang mit der Entwicklung der Analysis sind Isaac New-ton (*4.1.1643 in Woolsthorpe, †31.3.1727 in London) und Leibniz. Hauptsachlicher Lehrervon Newton war Isaac Barrow (*Oktober 1630 in London, †4.5.1677 in London). Bei Barrowfinden wir die ersten Ansatze zur Differentiation von Funktionen. Newton wurde 1668 Master ofarts und 1669 Nachfolger von seinem Lehrer Barrow auf dem einzigen naturwissenschaftlichenLehrstuhl in Cambridge.

Die grundlegenden Ideen von Isaac Newton stammen aus der Zeit von 1665/66, als die Uni-versitat in Cambridge wegen der Pest geschlossen wurde und Newton in seinen Geburtsortzuruckgekehrt war. Veroffentlicht wurden diese Ergebnisse erst spater.Die von Newton progagierte ”Fluxionsrechnung” ist an physikalischen Fragestellungen ori-entiert. Wir wollen dies an einem Beispiel verdeutlichen.

Gegeben seien zwei Korper A und B, die nach Ablauf der Zeit t die Strecken x(t) bzw. y(t)zuruckgelegt haben. Ferner bestehe fur alle t die Beziehungen

F (x(t), y(t)) = 0 .

Welche Beziehungen bestehen zwischen den Geschwindigkeiten p = x· =dx

dtund q = y· =

dy

dtvon A und B? Konkret betrachten wir die Gleichung

(∗) F (x, y) = x3 − ax2 + axy − y3 = 0 .

Newton geht davon aus, daß sich ein Korper in einer unendlich kleinen Zeitspanne o so bewegt,als habe er eine konstante Geschwindigkeit.Betrachten wir die Korper A und B; in der Zeitspanne o legen diese die Strecken po und qozuruck. Damit gilt zum Zeitpunkt t+ o nach (∗)

(x+ po)3 − a(x+ po)2 + a(x+ po)(y + qo)− (y + qo)3 = 0 ,

d.h.x3 + 3pox2 + 3p2o2x + p3o3

− ax2 − 2apox − ap2o2

+ axy + apoy + aqox + apqo2

−y3 − 3qoy2 − 3q2o2y − q3o3 = 0 .

Wegen (∗) erhalten wir nach Division durch o:

3px2 + 3p2ox + p3o2 − 2apx − ap2o

+ apy + aqx + apqo

− 3qy2 − 3q2oy − q3o2 = 0 .

42

”Nun sind die Terme, in denen o enthalten ist, unendlich viel kleiner, als die, in denen o nichtenthalten ist”, sagt Newton. ”Daher verschmahe ich sie, und es bleibt”:

3px2 − 2apx+ apy + aqx− 3qy2 = 0 .

(Wir erhalten diese Beziehung heute durch Differentiation von (∗) nach t:

0 =∂F

∂x· ∂x∂t

+∂F

∂y· ∂y∂t

= (3x2 − 2ax+ ay)p+ (ax− 3y2)q .)

Integration wird bei Newton als Umkehrung des Differenzierens aufgefaßt.

Bei Newton standen bei der Schaffung der Fluxionsrechnung dynamische Vorstellungen im Vor-dergrund; bei Leibniz standen bei der Schaffung des Calculus im Jahre 1675/76 (erste Veroffent-lichung 1684) Beziehungen zwischen Summen- und Differenzenbildung im Vordergrund.Wir wollen auch dies an einem Beispiel verdeutlichen:Ist die Zahlenfolge (xn)n≥1 gegeben, so setzen wir x0 = 0 und erhalten xn als Summe vonDifferenzen und als Differenz von Summen. Es ist namlich

xn =n∑k=1

(xk − xk−1)

sowie

xn =n∑k=0

xk −n−1∑k=0

xk.

Existiert zu einer Folge (zn)n≥1 eine Folge (xn)n≥0 mit x0 = 0 derart, daß zk = xk − xk−1 gilt,so folgt

n∑k=1

zk = xn.

Diese Uberlegungen ubertragt Leibniz auf die Ordinaten einer gegebenen Kurve x(t). x(t) stellter sich als Folge vor, wobei t als Index fungiert. Die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden

x-Werten wird mit dem Buchstaben l, spater mitx

dund schließlich mit dx bezeichnet. Die

Endordinate x erhalt er als Summe der dx; er schreibt

x = omn.dx =

∫dx

(omn. = Abkurzung von omnia = Summe). Das Gegenstuck ist die Gleichung

x = d

∫x.

Wie rechnet man mit dem d-Operator? Noch Ende 1675 fragt sich Leibniz, ob

d(uv) = dudv und du

v=du

dv

43

sei. 1677 beweist er die Produkt- und die Quotientenregel; er macht z.B. den Ansatz

du

v=u+ du

v + dv− u

v=vdu− udvv2 + vdv

,

und streicht im Nenner den Term vdv , der im Vergleich mit v2 unendlich klein ist. Hier zeigtsich die enge Verwandtschaft mit den Argumenten von Barrow und Newton. Der Vorteil desLeibnizschen ”calculus differentialis et integralis” liegt in der eleganten Schreibweise.Auf den britischen Inseln konnte sich die Fluxionsrechnung bis in den Anfang des 19. Jahrhun-derts halten. Erst dann setzte sich insgesamt der eingangigere Kalkul von Leibniz durch.Heute wird der Begriff des Grenzwertes aufgegriffen, um die Differenzierbarkeit einer Funktionzu definieren. Dabei hat man verschiedene Moglichkeiten der anschaulichen Interpretation: Manfordert, dass die Sekantensteigungen an einer Stelle x0 des Definitionsbereiches einen Grenzwertbesitzen und erhalt als Grenzwert die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion imPunkt x0. Die andere Interpretation besagt, dass man in einer Umgebung des Punktes x0 dieFunktion durch eine Gerade ersetzen kann, namlich durch die Gerade t mit der Darstellung

t(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) ,

wobei die Differenz zwischen f und t in einer Umgebung von x0 ”sehr klein ist”.

Greift man diesen Gedanken auf und versucht man, eine Funktion in einer Umgebung einesPunktes durch ein Polynom zu ersetzen, so wird man auf den Begriff der hoheren Ableitunggefuhrt. Fur geeignete Funktionen gelingt lokal bis auf einen kleinen Fehler die Darstellungder Funktion als Polynom. Daraus lassen sich hinreichende Kriterien fur Extremwerte vonFunktionen herleiten.

Diese Aufgabenstellung wird in Analysis II fur Funktionen f : G→ R, die auf einer Teilmengedes Rn definiert sind, aufgegriffen. An dieser Stelle werden Ergebnisse aus dem Grundlagenmo-dul ”Lineare Algebra” benotigt.

f) Integrierbarkeit

Die Frage der Integrierbarkeit einer nichtnegativen Funktion f : [a, b]→ R startet in der Regelmit der Aufgabe, einem geeigneten Flachenstuck (begrenzt durch die x-Achse, den Graphenvon f und zwei Parallelen zu der y-Achse) eine Flachenmaßzahl zuzuordnen. Der Zugang ver-wendet das Ausschopfungsprinzip: es werden Rechtecksummen betrachtet, die - wie z.B. bei derBerechnung des Kreisumfangs bzw. der Kreisflache nach Archimedes - ”kleiner” bzw. ”großer”sind als die eigentlich zu berechnende Flache. Wie man Rechteckflachen berechnet ist klar; diegesuchte Flachenmaßzahl wird dann als Grenzwert von Rechtecksummen eingefuhrt. Es stelltsich heraus, dass diese Aufgabe mit der Umkehrung der Differentiation in Verbindung gebrachtwerden kann. Die Flachenmaßzahl kann berechnet werden als F (b)−F (a), wobei die FunktionF mit der Funktion f durch die Beziehung F ′ = f verknupft ist. F heißt dann eine Stamm-funktion zu f . Man lernt, wie man bei gegebenem f , z.B. wenn f eine rationale Funktion ist,eine Stammfunktion berechnen kann.

In Analysis II bzw. III werden diese Fragen auf die mehrdimensionale Situation ubertragen: esgeht um die Berechnung des Inhaltes von ”Flachenstucken” im zwei- bzw. drei-dimensionalenRaum und um die Berechnung des Volumens von Korpern. Ist z.B. der Definitionsbereich eines

44

Flachenstucks im R3 ein Rechteck, so wird dieses durch ein Gitter von kleinen Rechtecken uber-zogen, was dann auf dem Flachenstuck ebenfalls eine Zerlegung in kleine Teilstucke impliziert.Der Flacheninhalt dieser Teilstucke wird ersetzt durch den Flacheninhalt von Parallelogram-men, die dadurch entstehen, dass man in den Eckpunkten ”tangentiale” Parallelogramme alsErsatz wahlt. Wie man den Flacheninhalt eines Parallelogramms im Raum berechnet, hat manentweder in der Schule oder in der Parallelvorlesung ”Lineare Algebra” gelernt. Anschließendwerden Satze bewiesen uber die Bedeutung von Integralen fur Funktionen, die auf Flachen bzw.Korpern definiert sind.

Da der oben skizzierte Integrationsbegriff fur viele Situationen nicht angemessen ist, wird inAnalysis III ein allgemeines - den obigen Begriff umfassendes - Integral, das sog. Lebesgue-Integral eingefuhrt. Dazu benotigt man einen Maßbegriff, der den Inhaltsbegriff fur Mengen imRn verallgemeinert.

g) Differentialgleichungen

Es gibt viele Prozesse, bei denen man die Veranderung bestimmter Elemente, die an dem Pro-zess beteiligt sind, messen kann, bei denen man aber an einer beschreibenden Funktion fur denAblauf des Prozesses interessiert ist. Man kann z.B. die Entwicklung einer Bakterienkultur be-obachten und die Zunahme oder Abnahme der Kultur in bestimmten Zeitabstanden festhalten.Da die Veranderung in kleinen Zeitabstanden etwas mit der Steigung einer Sekante und diesewiederum mit der Ableitung der zugrundeliegenden Funktion zu tun hat, erhalten wir z. B.eine sog. Differentialgleichung fur eine zu suchende Funktion y : [0, T ]→ R der Form

y′(t) = f(y(t), t) .

Dabei ist f eine Funktion, die die Abhangigkeit der Anderungsrate vom Funktionswert undder Zeit beschreibt. Wir betrachten ein Beispiel aus dem Analysis-Buch von H. Heuser (vgl.[Heu1]):Ist z.B. Π eine Population mit n Individien und bricht zur Zeit t = 0 eine Seuche S aus, sokann zu jedem Zeitpunkt t ≥ 0 die Population Π aufgeteilt werden in

u(t) Mitglieder, die angesteckt werden konnen,

v(t) Mitglieder, die angesteckt sind und

w(t) Mitglieder, die isoliert, an der Krankheit gestorben oder nach uberstandener Krank-heit dauerhaft immun sind.

(Um das Modell nicht zu sehr zu komplizieren, sehen wir von Veranderungen von Π durchGeburten oder ’naturliche’ Todesfalle ab.) Es sei

u0 := u(0) > 0, v0 := v(0) > 0 und w0 := w(0) > 0,

alsou0 + v0 + w0 = n;

setzen wir 4u := u(t +4t) − u(t), 4v und 4w entsprechend, so gilt fur hinreichend kleines4t:

4u = −αu(t)v(t)4t, 4v = [αu(t)v(t)− βv(t)]4t, 4w = βv(t)4t

45

mit der Infektionsrate α > 0 und der Ausfallrate β > 0. Daraus erhalten wir die Differential-gleichungen

u′(t) = −αu(t)v(t)

v′(t) = αu(t)v(t)− βv(t)

w′(t) = βv(t)

fur die unbekannten Funktionen u, v, w. Fassen wir sie zusammen zu der Abbildung

m = (u, v, w)T : [0,∞[→ R3 ,

so erhalten wir also die Bedingung

m′(t) = (u′(t), v′(t), w′(t))T = f(m(t)) = f(u(t), v(t), w(t))

mit f(x, y, z) = (−αxy, αxy−βy, βy) fur die Abbildung m. Wenn man weiß, welchen Funktions-wert die gesuchte Funktion zum Zeitpunkt t = 0 hat, erhalt man ein sog. Anfangswertproblem.In dem Analysis-Zyklus werden einige grundlegende Aussagen uber solche Gleichungen bewie-sen. Es gibt darauf aufbauend Vertiefungsmodule wie z.B. das Modul Gewohnliche Differenti-algleichungen I.

46

§3 Lineare Algebra I/II

Ursprunglich gab es parallel zu den Analysis-Vorlesungen zu Beginn des Mathematik-Studiumseine Vorlesung mit dem Titel ”Analytische Geometrie”, bei der dann im Laufe der Zeit dieNamen ”Analytische Geometrie und Lineare Algebra”, ”Lineare Algebra und Analytische Geo-metrie” und schließlich ”Lineare Algebra” zeigten, dass sich die Inhalte und die Schwerpunkteallmahlich veranderten. Heutzutage wird teilweise nur noch am Rande auf geometrische Aspektehingewiesen.

Noch in den 60er Jahren des letzten Jahrhunderts wurde als Begleitlekture zur Vorlesung ”Li-neare Algebra und Geometrie” u.a. das Buch ”Analytische Geometrie” von G. Pickert empfoh-len; es ist in 3 Kapitel unterteilt:

I. Affine Geometrie

II. Metrische Geometrie

III. Projektive Geometrie

a) Gleichungssysteme und Matrizen

Im 1. Kapitel werden Gegenstande der Linearen Algebra behandelt: Vektorraume, LineareGleichungssysteme, Matrizen, Determinanten, Eigenwerte und Eigenvektoren.Es wird bei allen Begriffen sofort eine Verbindung zur Geometrie hergestellt, zu Parallelver-schiebungen oder Parallelprojektionen.Gleichungssysteme wurden schon 1700 v.Chr. von den Babyloniern gelost, allerdings noch nichtsystematisch. Die erste systematische Behandlung linearer Gleichungssysteme findet man ineinem chinesischen Lehrbuch ”Mathematik in neun Buchern”, das wahrscheinlich von ChangTs’ang (†152 v.Chr.) verfasst wurde und von dem eine Bearbeitung von Liu Hui (3. Jh. n. Chr.)aus dem Jahre 263 n. Chr. vorliegt. Dort findet man in Buch VIII. mit dem Titel ”RechteckigeTabelle” ein Losungsverfahren, in dem man ohne Muhe den Gauß-Algorithmus erkennen kann.Dieses Verfahren ist allerdings sehr wahrscheinlich im Westen nicht bekannt geworden.Der Begriff des Vektors wurde 1843/44 von William Rowan Hamilton (*4.8.1805 in Dublin,†2.9.1865 im Observatorium Dunsink bei Dublin) und Siegmund Ludolf Robert Graßmann(*8.3.1815 in Stettin, †14.8.1901 in Stettin) in die Mathematik eingefuhrt. Hamilton suchte nacheinem Zahlensystem fur den dreidimensionalen Raum, das das leistet, was die komplexen Zahlenin der Ebene leisten.

b) Kegelschnitte

Im 2. Kapitel geht es dann um Vektorraume mit Skalarprodukt, um symmetrische Bilinearfor-men und quadratische Formen, um den Begriff des Winkels und um Polarkoordinaten im Rn. AlsAbbildungen werden Translationen, Drehungen, Spiegelungen und Gleit- bzw. Schubspiegelun-gen betrachtet. In diesem Kapitel wird auch angegeben, wie man den Inhalt von Parallelotopenberechnet und wie sich der Inhalt unter bijektiven affinen Abbildungen verhalt. Außerdem gehtes um das vektorielle oder Kreuzprodukt von Vektoren. Wir finden folgenden

47

Satz

Sind a und b linear unabhangig, so ist der Vektor c eindeutig dadurch bestimmt, dass er zu aund b senkrecht ist, seine Lange ubereinstimmt mit dem Flacheninhalt eines vom 2-Bein (a, b)aufgespannten Parallelogramms und (a, b, c) ein orientiertes 3-Bein darstellt.

In den Paragraphen 21 bis 23 geht es um Kreis und Kugel, um komplexe metrische Raume undum Hyperflachen (2. Ordnung), das sind die geometrischen Gebilde, die sich als Nullstellen-menge einer Gleichung der Form

n∑i,j=1

ai,jxixj + 2n∑i=1

aixi + a = 0,

bei der nicht alle ai,j verschwinden, darstellen lassen.

Wir betrachten den Fall n = 2 und verwenden die Variablen x und y statt x1 und x2. WelchePunktmenge wird beschrieben, wenn wir fordern

13x2 − 10xy + 13y2 − 72 = 0 ?

Setzen wir x =1√2

(u + v) und y =1√2

(−u + v), so erhalten wir aus obiger Gleichung die

Bedingung13

2(u2 + 2uv + v2)− 10

2(v2 − u2) +

13

2(u2 − 2uv + v2)− 72 = 0

oder aquivalent13u2 + 5u2 + 13v2 − 5v2 − 72 = 0

oder aquivalent

18u2 + 8v2 − 72 = 0 ⇐⇒ u2

4+v2

9− 1 = 0 .

Aus der letzten Darstellung erkennen wir, dass die Menge aller Punkte (u, v) ∈ R2, die dieletzte Gleichung erfullen, den Rand einer Ellipse bilden. Was bedeutet aber der Ubergang vonden Variablen x, y zu den Variablen u, v? Wir konnen das auch folgendermaßen beschreiben:(

xy

)=

1√2

(1 1−1 1

)(uv

)oder (

uv

)=

1√2

(1 −11 1

)(xy

)Was wird aus dem Vektor (1, 0)T bzw. aus dem Vektor (0, 1)T , wenn wir die letzte ”Transfor-mation” betrachten? Wir erhalten die Vektoren

1√2

(11

)und

1√2

(−11

).

Das lasst sich so interpretieren, dass wir die ”neuen Vektoren” durch Drehung des Koordina-tensystems um 90 gegen den Uhrzeigersinn erhalten.

48

Allgemein erhalten wir im Fall n = 2 nach geeigneter ”Koordinatentransformation” die folgen-den Gebilde, wobei wir die Variablen mit x und y bezeichnen:

x2

a2+y2

b2= 1 Ellipse

x2

a2− y2

b2= 1 Hyperbel

x2

a2+y2

b2= −1 nullteilige Kurve zweiter Ordnung

y2 = a2x2 Paar sich schneidender reeller Geraden

y2 = −a2x2 Paar sich schneidender nichtreeller Geraden

y2 = 2px Parabel

y2 = a2 Paar reeller paralleler Geraden

y2 = −a2 Paar nichtreeller paralleler Geraden

y2 = 0 Doppelgerade

Wir wollen noch kurz auf die Namensgebung eingehen. O.B.d.A. konnen wir a ≥ b voraussetzen;sonst benennen wir die Variablen um. Dann erhalten wir durch Verschiebung des Nullpunktes inden Punkt (a, 0) bei der Ellipse und durch Verschiebung des Nullpunktes in den Punkt (−a, 0)bei der Hyperbel die Gleichung

y2 = 2px+ (ε2 − 1)x2

mit ε = 1 fur die Parabel, mit

ε =

√a2 − b2a

< 1 fur die Ellipse und ε =

√a2 + b2

a> 1 fur die Hyperbel

sowie p =b2

afur die beiden letzten Falle. ε heißt Exzentrizitat der Quadrik, und die obige Glei-

chung wird Scheitelgleichung der Hyperflache zweiter Ordnung genannt. Von der Große ε istder Name der Quadriken abgeleitet. Parabel kommt von dem griechischen Wort παραβαλλεινfur ’gleichkommen’, Ellipse von dem griechischen Wort ελλειπειν fur ’mangeln’ und Hyper-bel von dem griechischen Wort υπερβαλλειν fur ’ubertreffen’. Diese Namensgebung geht aufApollonius von Alexandria (* ca. 262, †ca. 190 v. Chr.) zuruck.

Wir konnen zeigen, dass der Schnitt einer (nicht senkrechten) Ebene E mit einem geradenKreiskegel eine Ellipse ergibt. Dazu passen wir in den Kreiskegel zwei Kugeln ein, die dieSchnittebene (von oben bzw. unten) in den Punkten F1 und F2 beruhren (vgl. Skizze).

49

Wir zeigen, dass fur jeden Punkt P , der in der Mantelflache des Kegels und der Schnittebeneliegt, die Summe der Abstande zu den Punkten F1 und F2 konstant ist. Wir betrachten dieGerade durch die Spitze S des Kegels und den Punkt P ; diese Gerade ist eine Tangente an diebeiden Kugeln und beruhrt diese in den Punkten U und V . Diese beiden Punkte liegen auf zweiparallelen Ebenen E1 und E2, die alle Beruhrpunkte von S an die beiden Kugeln enthalten.Damit ist d(U, V ) = const = 2a. Da der Abstand eines Punktes (außerhalb einer Kugel) zuallen Beruhrpunkten mit der Kugel gleich groß ist, erhalten wir

d(P, V ) = d(P, F2) und d(P,U) = d(P, F1)

50

und damitd(P, F1) + d(P, F2) = d(P,U) + d(P, V ) = d(U, V ) = 2a .

Also ist die Schnittkurve der Ebene mit der Mantelflache des geraden Kreiskegels eine Ellipse.

Die Idee fur diesen Beweis geht auf Germinal Pierre Dandelin (*12.04.1794 in Le Bourget(bei Paris), †15.02.1847 in Brussel) und Lambert Adolf Jacob Quetelet (*22.02.1796 inGent, †17.02.1874 in Brussel) zuruck, weshalb die Kugeln auch (Quetelet–)DandelinscheKugeln genannt werden.

Im Fall n = 3 ergeben sich nach geeigneter ”Koordinatentransformation” mit x, y, z stattx1, x2, x3 die folgenden geometrischen Gebilde:

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1 Ellipsoid

x2

a2+y2

b2− z2

c2= 1 einschaliges Hyperboloid

−x2

a2− y2

b2+z2

c2= 1 zweischaliges Hyperboloid

x2

a2+y2

b2+z2

c2= −1 nullteilige Flache zweiter Ordnung

x2

a2+y2

b2= z2 Kegel mit reellen Erzeugenden

x2

a2+y2

b2+ z2 = 0 Kegel mit nichtreellen Erzeugenden

x2

a2+y2

b2= 2z elliptisches Paraboloid

x2

a2− y2

b2= 2z hyperbolisches Paraboloid

x2

a2+y2

b2= 1 elliptischer Zylinder

x2

a2− y2

b2= 1 hyperbolischer Zylinder

x2

a2+y2

b2= −1 Zylinder mit nichtreellen Erzeugenden

y2 = a2x2 Paar sich schneidender reeller Ebenen

y2 = −a2x2 Paar sich schneidender nichtreeller Ebenen

x2 = 2pz parabolischer Zylinder

x2 = a2 Paar reeller paralleler Ebenen

x2 = −a2 Paar nichtreeller paralleler Ebenen

x2 = 0 Doppelebene

51

Ellipsoid Einschaliges Hyperboloid Zweischaliges Hyperboloid

Kegel Elliptisches Paraboloid Hyperbolisches Paraboloid

Elliptischer Zylinder Hyperbolischer Zylinder Parabolischer Zylinder

c) Determinanten

Die Form und die Schreibweise der Matrizen geht auf eine Arbeit von Arthur Cayley (*16.8.1821 in Richmond, †26.1.1895 in Cambridge) aus dem Jahr 1855 zuruck. Er schreibt furein lineares Gleichungssystem

A−→x =−→b ,

setzt die Existenz von A−1 voraus und verweist bezuglich der Berechnung von A−1 auf die”wohlbekannte” Theorie der Determinanten.Die Determinante kann man als Funktion auf dem Vektorraum der quadratischen (n × n)-Matrizen

An =

a11 . . . a1n...

...an1 . . . ann

mit reellen oder komplexen Zahlen als Eintragen rekursiv definieren. Ist n = 1, so definiert man

det(a11) = a11 ;

Ist fur (n − 1) × (n − 1)-Matrizen die Determinante schon definiert, so setzt man fur eine(n× n)-Matrix An die Determinante durch

detAn =n∑j=1

(−1)j+1a1j · detA′1j .

52

Dabei ist A′1j die (n− 1)× (n− 1)-Matrix, die aus An dadurch hervorgeht, dass man die ersteZeile und die j-te Spalte streicht. Dann erhalt man z.B.

det

(a11 a12a21 a22

)= a11 · a22 − a12 · a21

und

det

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

= a11 · det

(a22 a23a32 a33

)− a12 · det

(a21 a23a31 a33

)+ a13 · det

(a21 a22a31 a32

)= a11(a22a33 − a23a32)− a12(a21a33 − a23a31) + a13(a21a32 − a22a31)

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − (a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33) .

Die Determinantenschreibweise mit Indizes geht wohl auf Leibniz zuruck, obwohl viele Eigen-schaften schon fruher bekannt waren. Die erste zusammenfassende Darstellung findet man 1770in einer Arbeit von Alexandre Theophile Vandermonde (*28.2.1735 in Paris ,†1.1.1796in Paris), allerdings ohne die Leibniz’sche Schreibweise. Der Determinantenmultiplikationssatzund der Entwicklungssatz von Pierre Simon Laplace (*28.3.1749 in Beaumont-en-Auge,†5.3.1827 in Paris) gehen wohl auf Arbeiten von Augustin-Louis Cauchy (21.8.1789 in Pa-ris, †22.5.1857 in Sceaux (bei Paris)) zuruck. Der Entwicklungssatz besagt, dass man bei derrekursiven Berechnung der Determinante statt der ersten Zeile irgendeine Zeile auswahlen kannund dass es auch moglich ist, statt einer Zeile eine Spalte als ”Entwicklungsspalte” zu wahlen,d.h. es gilt (bei festem i):

detAn =n∑j=1

(−1)i+jaij · detA′ij .

Dabei ist A′ij die (n − 1) × (n − 1)-Matrix, die aus An dadurch hervorgeht, dass man die i-teZeile und die j-te Spalte streicht. Bei der Entwicklung nach einer Spalte erhalt man (bei festemj):

detAn =n∑i=1

(−1)i+jaij · detA′ij .

Es gibt auch eine explizite Definition der Determinante einer (n × n)-Matrix, die wohl aufLeibniz zuruckgeht:

detAn =∑σ∈Sn

sign σ

n∏i=1

aiσ(i)

Dabei ist Sn die Gruppe aller Permutationen der Zahlen 1, 2, . . . , n und sign σ das Vorzeichender Permutation σ. Da Sn aus n! Elementen besteht, wird die Anzahl der Summanden beiwachsendem n sehr schnell groß.

Die Interpretation der Determinante als orientiertes Volumen eines Parallelflachs findet manebenfalls bei Cauchy.

Fur Kegelschnitte wollte man das Koordinatensystem so wahlen, dass die zugehorige Gleichungeine moglichst einfache Form hat. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Koordinatenachsen

53

mit den Hauptachsen des Kegelschnitts ubereinstimmen. Um die zugehorige Koordinatentrans-formation durchzufuhren, benotigt man die Eigenwerte von geeigneten (2 × 2)-Matrizen. Furden Fall n = 3 wurden die entsprechenden Fragestellungen zwischen 1800 und 1830 an der EcolePolytechnique in Paris gelost. Es wurde gezeigt, dass eine reelle symmetrische (3 × 3)-Matrixreelle Eigenwerte besitzt.

54

§4 Algebra

Nach der Prufungsordnung ist im Bachelor-Studiengang Mathematik eine der Vorlesungen ”Al-gebra I” oder ”Algebra und Diskrete Mathematik I” zu besuchen. Die erstgenannte Vorlesungfindet jeweils im Wintersemester am Campus Essen statt, die zweite jeweils im Sommerseme-ster am Campus Duisburg. Da am Campus Duisburg auch Aspekte der Diskreten Mathematik– speziell elementare Zahlprinzipien – behandelt werden, vor allem fur Anwendungen in derZahlentheorie und der Geometrie, werden in Teil I dieser Vorlesung nicht alle algebraischenFragestellungen abschließend behandelt.

a) Auflosbarkeit von Gleichungen

Eine faszinierende Fragestellung ist die nach Losungen von Gleichungen hoheren als zweitenGrades. Diese Fragestellung wurde im Mittelalter teilweise auch an den neugegrundeten Uni-versitaten, insbesondere in Italien untersucht.

Ist eine kubische Gleichung der Form

x3 + px2 + qx+ r = 0

mit p, q, r ∈ Q gegeben, so fuhrt die Substitution x = y − p

3auf die Gleichung

y3 +

(q − 1

3p2)y +

(2

27p3 − 1

3pq + r

)= 0 .

Also genugt es, Gleichungen der Form

x3 + bx+ c = 0

zu betrachten.

Ein Schuler von Scipione del Ferro (* 6.2.1465 in Bologna, †29.10./16.11.1526 in Bologna)stellte dem Rechenmeister Nicolo Tartaglia (*1499/1500 in Brescia, †13.12.1557 in Vene-dig) im Jahre 1535 insgesamt 30 Aufgaben, die alle auf die obige kubische Gleichung fuhrten.Tartaglia konnte die Aufgaben losen.Dies sprach sich herum und davon horte auch Girolamo Cardano(* 24.09.1501 in Pavia,†21.09.1576 in Rom).Cardano bat Tartaglia um Ubermittlung der Losung; Tartaglia betrachtete die Losung alseine Art Zunftgeheimnis der Rechenmeister, das den Gelehrten an Universitaten nicht zustehe.1539 ubermittelte Tartaglia an Cardano das Losungsverfahren in Form eines Sonetts unter derBedingung, dass er dies als Geheimnis bewahren werde.

Doch Cardano brach den feierlichen Eid und publizierte es 1545 in seinem Werk ”Ars magna sivede regulis algebraicis” ( Die Kunst oder Uber die algebraischen Regeln). Trotz des ”Plagiats”von Cardano an Tartaglia war die ”Ars magna...” ein bedeutendes Buch, denn u.a. enthalt esdie von Cardanos Schuler Luigi Ferrari (*2.2.1522 in Bologna, †Oktober 1565 in Bologna)gefundene Losung einer biquadratischen Gleichung (Gleichung vierter Ordnung).

Der ”Trick” beim Losen der kubischen Gleichung besteht darin, die Losung als Summe bzw.Differenz zweier Terme anzusetzen. Aus

x =3√U − 3

√V und b = 3

3√UV

55

folgt nach der binomischen Formel

x3 = U − 33√U2 3√V + 3

3√U

3√V 2 − V

sowiebx = 3

3√U2 3√V − 3

3√U

3√V 2

und damitx3 + bx = U − V = c .

Betrachten wir das Beispiel x3 + 3x + 4 = 0, so erhalten wir aus U − V = 4 und UV = 1 dieBedingung (4 + V )V = 1, d.h. die quadratische Gleichung

V 2 + 4V − 1 = 0

mit den Losungen V1,2 = −2±√

5 und damit U1,2 = 2±√

5. Hieraus resultieren die Losungenfur die kubische Gleichung.

Wir wollen die Frage nach der Auflosbarkeit algebraischer Gleichungen durch Radikale, d.h.durch ”konkrete Formeln”, mit ein paar historischen Bemerkungen abschließen:Albert Girard (*1595 in St. Mihiel (Frankreich), †8.12.1632 in Leiden) formulierte 1626/1629den Fundamentalsatz der Algebra, dass jede Gleichung n-ten Grades n Wurzeln besitzt. DieSuche nach entsprechenden Losungsformeln fur Gleichungen 5. oder hoheren Grades blieb al-lerdings erfolglos. Joseph Louis Lagrange hielt die Losung noch fur moglich, wahrend CarlFriedrich Gauß (*30.4.1777 in Braunschweig, †23.2.1855 in Gottingen) in seiner Dissertationim Jahre 1799 und nochmals 1801 die Gewissheit aussprach, dass die Gleichungen hoheren als4-ten Grades nicht in Radikalen losbar sind.

1799 hat der Italiener Paolo Ruffini (* 22.9.1765 in Valentano, †10.5.1822 in Modena) einenBeweis fur den Satz unternommen, dass die allgemeine Gleichung 5-ten Grades nicht in Radi-kalen losbar ist. Gauß wusste davon nichts.Niels Henrik Abel (*5.8.1802 in Finno (Norwegen), †6.4.1829 in Norwegen) veroffentlichte1824 einen Beweis dieses Satzes, erfuhr allerdings erst 1826 von dem nicht ganz luckenlosenBeweis Ruffinis. 1826 konnte Abel zeigen, dass die allgemeine Gleichung n-ten Grades mitn > 4 nicht durch Radikale losbar ist.Evariste Galois (*25.11.1811 in Bourg-la-Reine (bei Paris), †31.5.1832 in Paris) hat das Pro-blem der Auflosbarkeit algebraischer Gleichungen durch Radikale auf die Untersuchung derStruktur von bestimmten Permutationsgruppen zuruckgefuhrt. (Und um dies vorzubereitenwird einer Algebra-Vorlesung zunachst Einiges uber die Struktur von Gruppen gezeigt.)

Eine erste Version der Arbeit ging verloren, die 2. Version wurde auf Grund eines grobenFehlurteils von Simeon Denis Poisson (*21.6.1781 in Pithiviers (im Department Loiret),†25.4.1840 in Paris) zuruckgewiesen und erst 14 Jahre nach dem Tod von Galois durch JosephLiouville (* 24.3.1809 in St. Omer, †8.9.1882 in Paris) veroffentlicht.

Die Bedeutung der Galois’schen Ideen wurde erst von der nachfolgenden Mathematiker-Genera-tion erkannt, z.B. von Camille Marie Ennemond Jordan (*5.1.1838 in Croix-Rousse (jetztin Lyon eingemeindet), †21.1.1922 in Mailand), der in einem 1870 veroffentlichten Lehrbuchauf die Verdienste von Galois eingeht.

56

b) Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

Nach Plato sind die einzigen legitimen Hilfsmittel des Geometers Zirkel und Lineal. Also kannsich der Geometer an folgender Aufgabe versuchen:Quadratur des Kreises: Ein gegebener Kreis ist allein mit Zirkel und Lineal in ein flachen-gleiches Quadrat zu verwandeln.Der vollstandige Nachweis, dass die Aufgabe nicht losbar ist, gelang erst Carl Louis Ferdi-nand von Lindemann (* 12.4.1852 in Hannover, †6.3.1939 in Munchen) im Jahre 1882.Bis dahin gab es viele Versuche, die (naturlich) nur Naherungen brachten. Der erste Schrittzur Losung der Aufgabe ist die Algebraisierung der Aufgabe. Wir behandeln das Problem imKoordinatensystem des R2. Was bedeutet ”Konstruierbarkeit” algebraisch?Ist eine Anzahl von Punkten gegeben oder schon konstruiert, so kann man mit Zirkel und Lineal

– eine Gerade durch zwei (verschiedene) dieser Punkte legen,

– einen Kreis um einen der Punkte schlagen, dessen Radius der Abstand zweier Punkte ist.

Neu konstruierbare Punkte sind genau die Schnittpunkte solcher Kreise und Geraden (und evtl.sind nicht alle diese Punkte neue Punkte).Im Koordinatensystem mit den Koordinaten (x, y) sehen diese Objekte so aus:

(1) Eine Gerade durch (x1, y1) 6= (x2, y2) ist die Menge aller (x, y) mit

(y2 − y1)x+ (x1 − x2)y = x1y2 − x2y1 ,

(2) ein Kreis um (x1, y1) mit Radius r =√

(x2 − x3)2 + (y2 − y3)2 ist die Menge aller (x, y)mit

(x− x1)2 + (y − y1)2 = r2,

d.h.x2 + y2 − 2x1x− 2y1y = r2 − x21 − y21 .

Schnittpunkte bestimmen bedeutet: zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten losen, die vomTyp (1) oder (2) sind. Fur die Koordinaten bedeutet das:

Lemma

Die Koordinaten eines neu konstruierbaren Punktes sind Losungen von linearen oder quadra-tischen Gleichungen, deren Koeffizienten durch Korperoperationen aus Koordinaten ”alter”Punkte hervorgehen.

Beweis:

(1) Fur Schnittpunkte von zwei Geraden ist das klar. Da nicht beide Koeffizienten von x, yNull sind, kann man etwa nach y auflosen

y =y2 − y1x2 − x1

· x+x2y1 − x1y2x2 − x1

und in die zweite Geradengleichung einsetzen.

57

(2) Schnittpunkt(e) von Kreis und Gerade: Man lost die Geradengleichung wie in (1) auf;durch Einsetzen in die Kreisgleichung ergibt sich eine quadratische Gleichung mit Koef-fizienten der gewunschten Art.

(3) Schnittpunkt(e) von zwei Kreisen: Zu losen ist das Gleichungssystem

x2 + y2 − 2x1x− 2y1y = r21 − x21 − y21

x2 + y2 − 2x2x− 2y2y = r22 − x22 − y22 .

Durch Subtraktion beider Gleichungen entsteht eine Geradengleichung (Man beachte(x1, y1) 6= (x2, y2) !), und wir sind in Fall (2).

Ist nun ”der” Kreis zur Quadratur vorgelegt, so haben wir anfangs nur seinen Radius, d.h.2 Punkte, ohne Einschrankung (0, 0), (1, 0). Nach Lemma 1.1 ist plausibel, dass alle endli-chen Konstruktionen einen gewissen Rahmen nicht verlassen. Fur unsere Zwecke genugt derNachweis, dass Koordinaten stets algebraisch bleiben.

Definition

Eine Zahl x ∈ C heißt algebraisch, wenn x eine Gleichung der Form

anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x+ a0 = 0

mit ai ∈ Z erfullt, die nicht alle Null sind. Anders gesagt: x ist Nullstelle eines von Nullverschiedenen Polynoms P ∈ Z[X] (d.h. mit ganzen Koeffizienten).

Beispiele

(1) Alle rationalen Zahlen x =p

qmit p ∈ Z, q ∈ N sind algebraisch, denn es ist qx− p = 0.

(2) Nicht nur rationale Zahlen sind algebraisch, z.B. ist x =√

10 algebraisch wegen x2−10 =0. x ist aber nicht rational, denn die Annahme x = p

qliefert 10q2 = p2; nun endet p2 im

Dezimalsystem auf gerade viele Nullen und 10q2 auf ungerade viele, was ein Widerspruchist.

(3) Die komplexe Einheit x = i ist algebraisch wegen x2 + 1 = 0.

(4) x = cosπ

n+ i sin

π

nist fur jedes n ∈ N algebraisch, da nach der Formel von Moivre gilt:

x2n − 1 = 0.

Satz

Die Menge der algebraischen Zahlen bildet einen Korper A ⊂ C. Ist x ∈ A, so ist auch√x ∈ A

fur reelles x ≥ 0.

Folgerung

Startet man mit den Punkten (0, 0), (1, 0) des R2, so sind die Koordinaten aller daraus kon-struierbaren Punkte algebraisch. Die Langen aller konstruierbaren Strecken sind algebraisch.

58

Ware also unser Kreis quadrierbar, mußte eine Strecke der Lange√π konstruierbar, also

√π

algebraisch sein. Dann ware auch π algebraisch. Man kann zeigen, dass das nicht der Fall ist.

Bemerkung

Eine etwas genauere Analyse des Prozesses zeigt, dass nur Punkte konstruierbar sind, die sichaus Quadratwurzeln von Quadratwurzeln von ... aufbauen lassen. Eine Strecke der Lange 3

√2

ist nicht konstruierbar. Damit ist auch das Delische Problem der Wurfelverdopplung mitZirkel und Lineal unlosbar. Ebenso kann man zeigen, dass das Problem der Winkeldreitei-lung (im Allgemeinen) mit Zirkel und Lineal nicht losbar ist.

c) Zahlprinzipien

Eine typische Fragestellung zur Diskreten Mathematik findet sich in der folgenden

Definition

Es sei X eine Menge mit |X| =: v Elementen; eine Familie B von paarweise verschiedenenk-elementigen Teilmengen von X heißt ein Design (oder Blockplan) mit den Parametern(v, k, r), wenn jedes x ∈ X in genau r Mengen B von B liegt. Ein B ∈ B heißt auch Blockdes Designs B.1

Beispiel

Gegeben seien v Variationen eines Produktes. Eine jede Testperson moge nun k Variationendes Produktes testen, und die Anzahl jeder der getesteten Variationen solle genau r sein.Gilt z. B.: v = 8 , k = 4 und r = 3 , so ist folgendes Schema bei 6 Testpersonen moglich:

1 2 3 4 , 5 6 7 8 , 1 3 5 7 ,2 4 6 8 , 1 2 4 7 , 3 5 6 8 .

Es liegt also ein Design mit den Parametern (8, 4, 3) vor.

Welche Bedingungen mussen die Parameter (v, k, r) erfullen, damit ein passendes Design exi-stiert?

Eine weitere Fragestellung zum Thema ”Zahlprinzipien” ist die folgende:

Wir interpretieren Partitionen (m1,m2, . . . ,mk) einer positiven ganzen Zahl m ∈ N mit derEigenschaft m1 ≥ m2 ≥ . . . ≥ mk ≥ 1 folgendermaßen:

Gegeben sei eine m-elementige Menge X und eine Partition X =k⋃i=1

Xi mit |Xi| =: mi , d.h.

eine disjunkte Zerlegung von X in k Teilmengen Xi, wobei jeweils nur die Anzahl der Elementeaus Xi berucksichtigt wird. Dazu gehort nun die Gleichung m = m1 + m2 + . . . + mk . Aufdie Reihenfolge der Xi kommt es dann nicht an; also konnen wir m1 ≥ m2 ≥ . . . ≥ mk ≥ 1voraussetzen. Mit pk(m) bezeichnen wir die Anzahl der Partitionen von m in k Teile; mit p(m)bezeichnen wir alle Partitionen von m , d. h.:

p(m) :=m∑k=1

pk(m) .

1Da nur paarweise verschiedene Blocke zugelassen sind, ist hier nur von einfachen Designs die Rede.

59

Es ist z.B. p(1) = 1 , p(2) = 2 und p(3) = 3 mit p1(3) = p2(3) = p3(3) = 1 ; dies sind diePartitionen (3) , (2, 1) , (1, 1, 1) .

Ferner ist zum Beispiel p(6) = 11 wegen

p1(6) = 1 : 6p2(6) = 3 : 5 + 1 , 4 + 2 , 3 + 3p3(6) = 3 : 4 + 1 + 1 , 3 + 2 + 1 , 2 + 2 + 2p4(6) = 2 : 3 + 1 + 1 + 1 , 2 + 2 + 1 + 1p5(6) = 1 : 2 + 1 + 1 + 1 + 1

+ p6(6) = 1 : 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1p(6) = 11

Man kann folgende ”Rekursionsformel” fur die Funktionen pk(m) beweisen:

SatzGegeben seien m, r ∈ N mit r ≤ m . Dann gilt:

r∑k=1

pk(m) = pr(m+ r) .

60

§5 Numerische Mathematik

Die ’Numerische Mathematik’ setzt sich aus mehreren Einzelmodulen zusammen. Fur alle Stu-dierenden ist das Modul ”Numerische Mathematik I: Grundlagen” verpflichtend. In diesemModul lernen Sie sowohl numerische Verfahren kennen, die sich auf Ergebnisse aus der Linea-ren Algebra als auch auf Ergebnisse aus der Analysis beziehen.

a) Numerische Lineare Algebra

In der Linearen Algebra lernen Sie den Gauß-Algorithmus kennen, mit dem man lineare Glei-chungssysteme losen kann. In der Numerik-Vorlesung wird darauf eingegangen, welche Vor-kehrungen getroffen werden mussen, damit die (theoretisch zu erzielenden) Ergebnisse auchnumerisch, d.h. im Rahmen der Rechengenauigkeit sinnvoll sind. Wir rechnen mit einer endli-chen Menge von Zahlen; in der Regel sind dies die sog. Gleitpunktzahlen des Rechners.

Definition

Gleitpunktzahlen sind die 0 und alle Zahlen z = ± m · 10i, wobei

m =t∑

k=1

ak · 10−k

ein endlicher Dezimalbruch mit m 6= 0, Ziffern ak ∈ 0, 1, . . . , 9 und i ∈ Z aus dem IntervallI = [−I1, I2] ⊂ Z ist. Die Zahl i sei dabei so gewahlt, dass a1 6= 0 ist. m heißt Mantisse, iExponent von z. Die Menge aller Gleitpunktzahlen mit diesen Parametern bezeichnen wir mitF (10, t, I1, I2).

Betrachten wir z.B. F (10, 3, 10, 10), so sind fur m alle Zahlen mit 3 Stellen nach dem Komma,wobei die fuhrende Ziffer von Null verschieden ist, also alle Zahlen der Form 0.100, 0.110, . . . ,0.999 moglich und damit fur z alle Zehner-Potenzen hiervon mit den Faktoren 10−10 bis 1010.Die Zahl 9999 ist in F (10, 3, 10, 10) nicht darstellbar. Sie muss zu der nachstgelegenen Zahl ausF (10, 3, 10, 10) ”gerundet” werden. Dies ist die Zahl 105 ·10−1 = 0.100 ·105. Dafur schreibt man(104 − 1)R = 0.100 · 105. Die Zahl 104 − 2 ist ebenfalls in F (10, 3, 10, 10) nicht darstellbar; fursie gilt auch (104 − 2)R = 0.100 · 105.

Betrachten wir nun das folgende Gleichungssystem in F (10, 3, 10, 10):

(I) 0.100 · 10−3 x1 + 0.100 · 101 x2 = 0.100 · 101

(II) 0.100 · 101 x1 + 0.100 · 101 x2 = 0.200 · 101

Als exakte Losung erhalten wir:

x1 =104

104 − 1und x2 =

104 − 2

104 − 1

Ein Programm moge folgendermaßen arbeiten:Gleichung (I) werde mit 104 multipliziert, und davon wird Gleichung (II) subtrahiert. Manerhalt:

(I’) x1 + 104 · x2 = 104

61

(II) x1 + x2 = 2

Also (I’) - (II) exakt:

(II’) (104 − 1) x2 = 104 − 2

Aber in F (10, 3, 10, 10) wird folgendermaßen gerechnet:

(104 − 1)R · x2 = (104 − 2)R,

also0.100 · 105 x2 = 0.100 · 105 (Ausloschung signifikanter Stellen),

worausx2 = 1

folgt. Setzt man in Gleichung (I) ein, so folgt:

0.100 · 10−3 x1 + 0.100 · 101 · 1 = 0.100 · 101 ,

alsox1 = 0 .

Uber solche Phanomene muss man sich bei dem Einsatz des Gauß-Algorithmus im Klaren sein.Es gibt Moglichkeiten, dies zu verhindern.

Der Gauß-Algorithmus ist ein direktes Verfahren zur Losung linearer Gleichungssysteme; mankann solche Gleichungssysteme auch iterativ losen. Dazu schreibt man z.B. die Koeffizienten-matrix des Gleichungssystems

A · x = b

mit einer quadratischen, invertierbaren (m×m)-Matrix A in der Form

A = L+D +R

mit einer echten unteren Dreiecksmatrix L,

L =

0 0 . . . 0a21 0 . . . 0...

. . . . . ....

am1 . . . am,m−1 0

einer invertierbaren Diagonalmatrix D

D =

a11 . . . 0...

. . ....

0 . . . amm

und einer echten oberen Dreiecksmatrix R

R =

0 a12 . . . a1m...

. . . . . ....

0 . . . 0 am−1,m0 . . . 0 0

.

62

Dann schreibt man das Gleichungssystem in der Form

D · x = b− (L+R) · x ⇔ x = −D−1(L+R) · x+D−1 · b .

Mit diesem Ansatz definiert man mit einem beliebigen Startwert x(0) rekursiv eine Folge(x(n))n≥0 durch

x(n+1) = −D−1(L+R) · x(n) +D−1 · b .

Unter geeigneten Voraussetzungen an die Matrix −D−1(L + R) erhalten wir eine konvergenteFolge (x(n))n≥0 im Rm. Notwendig und hinreichend fur die Konvergenz des Verfahrens ist, dassder betragsgroßte Eigenwert der sog. Iterationsmatrix −D−1(L+R) kleiner als 1 ist. Hier siehtman, dass Kenntnisse aus der Linearen Algebra (Eigenwerte von Matrizen) und aus der Analysis(Konvergenz) erforderlich sind.

Ein anderes Thema in der Numerik ist die iterative Berechnung von Eigenwerten von Matrizenund die Abschatzung von Eigenwerten.

b) Nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme

Wenn man sich an dem Newton-Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen differenzierbarerFunktionen (unter geeigneten Voraussetzungen) orientiert, erhalt man ein Verfahren, das zurNullstellenbestimmung von nichtlinearen Gleichungen und Gleichungssystemen geeignet ist.Wie lauft das Newton-Verfahren ab? Wir starten in der Nahe einer Nullstelle, sagen wir x0,und ersetzen den Graphen der Funktion f , von der wir eine Nullstelle berechnen wollen, durchdie Tangente an den Graphen im Punkt (x0, f(x0)). Der Schnittpunkt der Tangente mit derx-Achse wird dann als neue Naherung genommen. Die Tangentengleichung lautet:

y = f(x0) + f ′(x0)(x− x0)

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist

x1 = x0 −f(x0)

f ′(x0);

hieraus resultiert das Iterationsverfahren

xn+1 = xn −f(xn)

f ′(xn)= xn − (f ′(xn))

−1 · f(xn),

das unter geeigneten Forderungen an f konvergiert. Dieses Verfahren wird auch eingesetzt zurNullstellenbestimmung von Funktionen f : Rn → Rn, d.h. von Abbildungen x1

...xn

→ f(x) =

f1(x1, . . . , xn)...

fn(x1, . . . , xn)

Dabei ist (f ′(xn))−1 die Inverse der Funktionalmatrix der Abbildung f . Wie man eine Funk-tionalmatrix berechnet, lernt man im Grundlagenmodul ’Analysis’, wie man die Inverse einerquadratischen Matrix berechnet, lernt man im Grundlagenmodul ’Lineare Algebra’.

63

c) Integration und Interpolation

Will man einem ”krummlinig” begrenzten Flachenstuck eine Flachenmaßzahl zuordnen, so wirdman auf die Fragestellung der Integration gefuhrt; als einfachste Situation betrachtet man einFlachenstuck, das durch die x-Achse, zwei Parallelen zur y-Achse durch die Punkte (a, 0) und(b, 0) mit a < b und den Graphen einer nichtnegativen, beschrankten Funktion f : [a, b] → Rbegrenzt wird. In manchen Situationen gibt es zu f eine sog. Stammfunktion F mit F ′ = f ;dann gilt fur die gesuchte Flachenmaßzahl µ(f)ba:

µ(f)ba = F (b)− F (a) .

Haufig gibt es zu f keine, in elementarer Form darstellbare Funktion F ; dann ist man dazugezwungen, die Zahl µ(f)ba naherungsweise zu berechnen; das ist Thema der numerischenIntegration. Dazu unterteilt man das zugrundeliegende Intervall [a, b] in aquidistante Teilin-tervalle [xi, xi+1] mit xi+1 − xi = h = b−a

n, d.h.

a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b .

Als Ersatz fur die Flachenmaßzahl µ(f)xi+1xi wahlen wir die Rechteckflache mit dem Inhalt

Mi = h · f(xi +h

2)

und damit als Ersatz fur µ(f)ba die Naherung

Mh(f) =n−1∑i=0

h · f(xi +h

2) = h ·

n−1∑i=0

f(xi +h

2) .

Dies ist die Mittelpunktregel. Statt der Rechteckflache konnen wir auch die Trapezflache mitden Eckpunkten (xi, 0), (xi+1, 0), (xi+1, f(xi+1)), (xi, f(xi)) betrachten, und erhalten

Ti =h

2· (f(xi) + f(xi+1))

sowie

Th(f) =h

2f(a) + h

n−1∑i=1

f(xi) +h

2f(b) .

Dies ist die Trapezregel. In Abhangigkeit von der Glattheit der Funktion f kann man angeben,wie groß der Fehler ist, wenn man die ’exakte Flachenmaßzahl’ µ(f)ba durch Mh(f) bzw. Th(f)ersetzt. Naturlich kann man noch viele andere Ersatzmoglichkeiten angeben.

Man kann die naherungsweise Integration auch folgendermaßen auffassen: wir ersetzen im Fallder Mittelpunkt-Regel die gegebene Funktion f durch die stuckweise konstante Funktion g mit

g0(x) = f

(xi +

h

2

)fur x ∈ [xi, xi+1]

und berechnen dann µ(g0)ba = Mh(f). Im Fall der Trapez-Regel ersetzen wir f durch die stuck-

weise lineare Funktion h mit

g1(x) = f(xi) +f(xi+1)− f(xi)

h(x− xi) fur x ∈ [xi, xi+1] .

64

Es entsteht ein Polygonzug durch die Punkte

(a, f(a)), (x1, f(x1)), . . . , (xn−1, f(xn−1)), (b, f(b)) ,

und es giltµ(g1)

ba = Th(f) .

Ist die gegebene Funktion f strikt konvex, d.h. gilt f ′′(x) > 0 fur alle x ∈ [a, b], so ist Th(f)immer großer als die gesuchte Flachenmaßzahl µ(f)ba. Ersetzen wir aber auf dem Teilintervall[xi, xi+1] die Funktion durch eine Parabel durch die Punkte

(xi, f(xi)), (xi +h

2, f(xi +

h

2)), (xi+1, f(xi+1)) ,

so erhalten wir die Funktion g2 mit

g2(x) =2

h2

[(x−

(xi +

h

2

))(x− xi+1)f(xi) + 2(x− xi)(x− xi+1)f

(xi +

h

2

)

+

(x−

(xi +

h

2

))(x− xi)f(xi+1)

].

Die Aufgabe, zu n+ 1 paarweise verschiedenen vorgegebenen Punkten x0, . . . , xn ein Polynomhochstens n-ten Grades anzugeben, das an den Punkten xi vorgegebenen Werte yi annimmt,ist eine Interpolationsaufgabe. In Abhangigkeit von den Punkten xi und den Daten yi kanndie Aufgabe auch darin bestehen, statt des (algebraischen) Polynoms ein trigonometrischesPolynom oder eine Linearkombination eines anderen Funktionensystems zu betrachten.

Eine andere Verallgemeinerung besteht darin, nicht nur die Funktionswerte des ”Polynoms”,sondern auch dessen Ableitungen an vorgegebenen Punkten vorzuschreiben.

65

§6 Optimierung

Der Bereich der Optimierung besteht aus mehreren Moduln, die in unterschiedlicher Abfolgegehort werden konnen. Grundlage fur alle Veranstaltungen aus diesem Bereich ist das Modul’Optimierung I’. Im nachsten Abschnitt zur Wahrscheinlichkeitstheorie und Stochastik wirdangegeben, in welchen Studiengangen dieses Modul zum Pflicht- bzw. zum Wahl-Bereich gehort.Dieses Modul ist Grundlage fur die Module ’Diskrete und Kombinatorische Optimierung’,’Nichtlineare Optimierung’ und ’Optimierungssoftware’. Weiter kann es als Grundlage fur dasModul ’Scheduling-Theorie I’ betrachtet werden.Außerdem gibt es im Bereich ’Optimierung’ auch noch weitere Veranstaltungen, bei denen au-ßer Grundkenntnissen in der Optimierung noch Kenntnisse aus anderen Bereichen erforderlichsind. So sind z.B. fur das Modul ’Stochastische Optimierung’ zusatzlich Kenntnisse aus der ’Sto-chastik I’ erforderlich. Fur das Modul ’Optimalsteuerung bei partiellen Differentialgleichungen’sind auch Kenntnisse aus dem Modul ’Funktionalanalysis I’ notwendig. Fur das Modul ’InverseProbleme’ sind ebenfalls Kenntnisse aus der ’Funktionanalysis I’ Voraussetzung.

a) Lineare Optimierung

Das Hauptproblem der linearen Optimierung ist die Maximierung oder Minimierung ei-ner Funktion von mehreren Veranderlichen, welche einigen Beschrankungen (Restriktionen)unterliegt; dabei werden diese sogenannte Zielfunktion und die Restriktionen als linear ange-nommen (oder durch lineare Ausdrucke approximiert). Im Prinzip geht es also bei Problemender linearen Optimierung immer um die optimale Aufteilung knapper Ressourcen (Kapazitaten)auf verschiedene Verwendungszwecke oder um die optimale Kombination von Einsatzfaktorenfur vorgegebene Zwecke.

Beispiel (Transportproblem)

Ein Baugeschaft liefere 1 000 Sacke Zement an drei Baustellen B1, B2 und B3 . Der Zementwerde in zwei Lagerhallen L1 und L2 an verschiedenen Orten aufbewahrt. Die Kosten pro Sackbeim Transport von der Lagerhalle Li zur Baustelle Bj , der Bedarf an Zement an den dreiBaustellen und der vorhandene Lagerbestand gehen aus folgender Tabelle hervor:

Transportkosten in Euro je Sack Bedarf

Baustelle ab Lager L1 ab Lager L2 in Sacken

B1 0,90 0,60 300

B2 1,00 0,40 500

B3 1,20 1,00 200

Lagerbestand 600 400 1 000

Hieraus laßt sich die Kostenfunktion Φ herleiten, wenn wir mit x die Anzahl der Sackebezeichnen, die von L1 nach B1 geliefert wird, und mit y die Anzahl der Sacke, die von L1 nachB2 geliefert wird:

Φ(x, y) = 0,9 · x+ 1,0 · y + 1,2 · (600− x− y) +

+ 0,6 · (300− x) + 0,4 · (500− y) + 1,0 ·(200− (600− x− y)

)= 0,1 · x+ 0,4 · y + 700 (in Euro) .

66

Wir suchen nun ein Minimum von Φ unter einigen Einschrankungen an die auftretenden Gro-ßen:

x ≥ 0 , y ≥ 0 ,

600− x− y ≥ 0 ⇔ x+ y ≤ 600 ,

300− x ≥ 0 ⇔ x ≤ 300 ,

500− y ≥ 0 ⇔ y ≤ 500 ,

−400 + x+ y ≥ 0 ⇔ x+ y ≥ 400 .

Die Menge K aller Punkte (x, y) ∈ R2 , die jeder dieser sechs Bedingungen genugen, hat etwafolgende Gestalt:

- xy ≥ 0

6

y

x ≥ 0

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x ≤ 300

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... y ≤ 500

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x+ y ≥ 400

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x+ y ≤ 600

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K

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......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

L910

L880

L850

L770

Es wird also ein Minimum von Φ auf K ⊂ R2 gesucht, d. h. ein optimaler Punkt P ∈ K mit

Φ(P ) = minQ∈K

Φ(Q) .

Dazu betrachten wir die Geraden

Lz :=

(x, y) ∈ R2∣∣ Φ(x, y) = z

,

also: 0,1 · x+ 0,4 · y + 700 = z ⇔ y = −14x+ 5

2(z − 700) .

Man erkennt: Je großer der Wert von z ist, desto großer wird der y–Achsenabschnitt der Ge-raden Lz . Fur einige z–Werte sind in der obigen Skizze die Geraden Lz eingezeichnet. Wirerhalten minimale Kosten fur z = 770,– Euro ; dann ist (x, y) = (300, 100) ∈ K der einzigePunkt in K , fur den dieses Minimum von Φ angenommen wird.

Als Losung ergibt sich damit der”optimale Transportplan“:

67

Transportmenge in Sacken Bedarf

Baustelle ab Lager L1 ab Lager L2 in Sacken

B1 300 0 300

B2 100 400 500

B3 200 0 200

Lagerbestand 600 400 1 000

Um Aufgaben dieser Art genau zu beschreiben, benotigt man im allgemeinen jedoch eine großeZahl von Veranderlichen und hat eine große Zahl von Restriktionen. Dann kann man die Losungnicht mehr wie oben durch geometrische Betrachtungen erhalten. Denn bereits bei drei reel-len Variablen x, y, z werden durch die Vorzeichenbedingungen die Seiten einer Ebene im R3

beschrieben.

Wir wollen nun die Standardform der linearen Optimierungsaufgabe beschreiben:

Definition

Vorgegeben seien zwei feste Spaltenvektoren p ∈ Rn und b ∈ Rm sowie eine feste MatrixA = (αij) 1≤i≤m

1≤j≤n∈Mat(m,n;R) .

Der Grundtyp der linearen Optimierung besteht darin, einen Vektor x ∈ Rn zu finden mitder Eigenschaft2:

pT · x = min

unter den Nebenbedingungen (oder Restriktionen):

A · x+ b ≥ 0

und den Vorzeichenbedingungen:x ≥ 0 .

Dabei sei fur einen reellen Vektor v = (v1, v2, . . . , vk)T

”Nicht–Negativitat“ festgelegt durch:

v ≥ 0 :⇔ vi ≥ 0 fur alle i = 1, 2, . . . , k.

Setzt man y := A · x + b , so erhalten wir aus den Ungleichungen bei den Nebenbedingungendie Gleichungen

A · x− y + b = 0

und zusatzlich die Vorzeichenbedingungen y ≥ 0 .

Setzen wir weiterx := (x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , ym)T ∈ Rn+m

undp := (p1, p2, . . . , pn, 0, 0, . . . , 0) ∈ Rn+m

2Die Komponenten von p bestimmen also die Zielfunktion Φ des Optimierungsproblems.

68

sowieb := b und A := (A | − Em) ∈Mat(m, m+n ; R) ,

dann ist die obige Aufgabe aquivalent zur Formulierung:

pT · x = min

mitA · x+ b = 0 , x ≥ 0 .

Wir erhalten also eine lineare Optimierungsaufgabe in m+n Variablen, wobei als Nebenbedin-gung genau m lineare Gleichungen gegeben sind.Fur theoretische Uberlegungen ist diese Darstellung der Aufgabe gunstiger, wohingegen beikonkreten Anwendungsbeispielen die Nebenbedingungen in Form von Ungleichungen vorliegen.Die beim Ubergang von Ungleichungen zu Gleichungen eingefuhrten Großen y1, y2, . . . , ym ∈ Rnennen wir Schlupfvariable.

Diese Optimierungsaufgabe wird mit dem sog. Simplex-Algorithmus gelost, denn im Allge-meinen wird durch die Vorzeichen- und Nebenbedingungen ein Simplex (konvexes Polyeder)definiert. Der Algorithmus startet mit einer Ecke dieses Simplex, z.B. mit dem Nullpunkt, undberechnet den Funktionswert von Φ an dieser Ecke. Dann wird eine zur Startecke (besondersgeeignete) benachbarte Ecke berechnet (als Losung eines linearen Gleichungssystems) und dortder Funktionswert mit dem ersten Wert verglichen. Sind wir auf der Suche nach einem Mini-mum und ist der Funktionswert am zweiten Punkt kleiner als an der Startecke, so suche manvon der zweiten Ecke aus eine (andere geeignete) benachbarte Ecke und berechne dort denFunktionswert.

b) Weitere Fragestellungen aus der Optimierung

Im Allgemeinen fuhrt der Simplex-Algorithmus zu einer Losung, die nicht ganzzahlig ist. Hal-be Gegenstande sind oft nicht sinnvoll; dann geht es um die Frage, ob und ggf. wie aus dergefundenen (nicht-ganzzahligen) Losung eine ganzzahlige Losung erzielt werden kann. DurchRundung der gefundenen Werte kann man Punkte erhalten, die nicht mehr in dem Simplexenthalten sind, auf dem man die Optimierungsaufgabe losen mochte. Ebenso ist es moglich,dass sich durch Rundung Punkte ergeben, die nicht optimal sind.Spezielle Methoden zur ”Ganzzahligen Optimierung” kann man z.B. im Modul ’Diskrete undKombinatorische Optimierung’ erlernen.

Eine lineare Optimierungsaufgabe entsteht haufig dadurch, dass man gewisse Idealisierungenvornimmt. Falls diese zu stark von der Realitat abweichen, kamm dies auch fur die gesuchteLosung der Fall sein. Dann muss die zu optimierende Funktion Φ z.B. durch eine konvexe odereine ”quadratische Funktion” ersetzt werden. So gelangt man zu Fragestellungen der ”Nichtli-nearen Optimierung”.

69

§7 Wahrscheinlichkeitstheorie bzw. Stochastik

Zum Pflichtprogramm im Bachelor-Studiengang Mathematik gehort eine der Vorlesungen ”Wahr-scheinlichkeitstheorie I” (am Campus Essen), ”Stochastik I” (am Campus Duisburg) oder ”Op-timierung I” (am Campus Duisburg).In den Bachelor-Studiengangen Techno-Mathematik und Wirtschaftsmathematik gehoren dieVorlesungen ”Stochastik I” und ”Optimierung I” zum Pflichtprogramm.Im Zusammenhang mit der Mathematik des Zufalls hort man die Begriffe Wahrscheinlichkeits-rechnung, Wahrscheinlichkeitstheorie, (mathematische) Statistik und Stochastik. Die beiden er-sten Begriffe werden synonym verwandt, das Wort Stochastik wird dagegen als Sammelbegrifffur die Wahrscheinlichkeitsrechnung und die Statistik benutzt.

Dass beim Umgang mit Zufallsphanomenen selbst Fachleute - sprich Mathematiker - Irrtumernunterliegen konnen, zeigt das sog. ”Ziegenproblem” aus dem Jahr 1991, das langere Zeit ”heiß”diskutiert wurde. Es geht um folgendes ”Gluckspiel”:

Ein Teilnehmer einer (amerikanischen) Fernsehshow erhalt die Gelegenheit,ein Auto zu gewinnen. Dazu sind auf der Buhne drei geschlossene Turenaufgebaut. Hinter einer dieser Turen befindet sich ein Auto, hinter denbeiden anderen eine Ziege, sozusagen als Niete. Der Kandidat wahlt nuneine der Turen aus, die aber zunachst verschlossen bleibt. Der Spielleiter,der genau weiß, hinter welcher Tur das Auto steht, zeigt dem Kandidatendurch das Offnen einer der beiden anderen Turen eine Ziege. Daraufhinerhalt der Kandidat die Moglichkeit, bei seiner Wahl zu bleiben oder aberdie andere noch verschlossene Tur zu wahlen.

Soll der Kandidat umwahlen oder nicht? Hieruber entbrannte eine heiße Diskussion, die durchdie Journalistin M. vos Savant bei dem Wochenmagazin ’Parade’ initiiert wurde. Sie schrieb ineiner Kolumne, dass sich die Gewinnchanche bei Umwahl verdoppeln wurde. In etwa 90% derZuschriften wurde die Meinung vertreten, dass sich bei Umwahl die Chancen von 1:2 auf 1:1erhohen wurde.Jeder glaubte seine Empfehlung richtig begrunden zu konnen. Hier eine Auswahl der ”Be-grundungen”:

1. Die Chance, das Auto zu gewinnen ist 13. Also ist es gleichgultig, ob umgewahlt wird oder

nicht.

2. Die Wahrscheinlichkeit, bei der ersten Wahl das Auto zu treffen, ist geringer als die, eineZiege zu treffen. Wenn aber eine Ziegentur geoffnet ist, stehen die Chancen fur Auto undZiege 50:50. Also ist es besser, umzuwahlen, denn so verbessert man die Gewinnchance.

3. Am Anfang erwischt man mit einer Wahrscheinlichkeit von 23

eine Ziege. Man hat also imersten Anlauf eher eine Niete. Deshalb sollte man umwahlen. Das ware logischer.

4. Wahlt man grundsatzlich um, so gewinnt man das Auto nicht, wenn man schon bei derersten Wahl die Autotur getroffen hatte.

In der Tat erhoht das Umwahlen die Gewinnchancen auf das Auto. Wer namlich im erstenDurchgang eine Ziegentur gewahlt hat - und die Wahrscheinlichkeit dafur betragt 2

3-, gewinnt

70

durch Umwahlen das Auto. Wer dagegen im ersten Durchgang die Tur mit dem Auto gewahlthat - und die Wahrscheinlichkeit dafur betragt ”nur” 1

3-, bekommt durch Umwahlen eine Ziege

und hat damit Pech. Umwahlen erhoht also die Gewinnchance von 13

auf 23.

a) Wahrscheinlichkeitstheorie

Wir wollen an einem Beispiel zeigen, dass in der Wahrscheinlichkeitstheorie Ergebnisse aus derAnalysis benotigt werden. Doch zunachst benotigen wir ein paar Begriffsbildungen:

Definition

Die Menge aller Ergebnisse eines Zufallsexperiments bezeichnet man ublicherweise mit Ω. Ωheißt Ergebnisraum oder Ergebnismenge oder Raum der Elementarereignisse.Jedes ω ∈ Ω heißt ein Elementarereignis. Ein Ereignis ist dann eine Teilmenge von Ω.

Die Menge Ω kann endlich, abzahlbar unendlich oder auch uberabzahlbar unendlich, z.B. eineTeilmenge der reellen Zahlen, sein.

Alle moglichen Ereignisse fasst man zusammen zu einer Menge, die ublicherweise mit A be-zeichnet wird. Diese Menge A muss bestimmten Anforderungen genugen, damit man damit”mathematisch” arbeiten kann:

A heißt eine Ereignisalgebra (oder σ-Algebra) auf Ω ⊂ Rn, wenn folgende Bedingungenerfullt sind:

(i) Ist A ∈ A, so ist auch A = Ω \ A ∈ A .

(ii) Es ist stets Ω ∈ A.

(iii) Sind A1, A2, . . . ∈ A , so ist auch⋃k

Ak ∈ A. Dabei kann die Vereinigung eine endliche

oder abzahlbar unendliche Vereinigung sein.

Es sei A eine Ereignisalgebra auf Ω; eine Abbildung (Mengenfunktion) p : A → [0, 1] heißt einWahrscheinlichkeitsmaß, wenn p folgende Bedingungen erfullt:

(i) p(Ω) = 1

(ii) p

(⋃k

Ak

)=∑k

p(Ak) fur paarweise disjunkte Ereignisse A1, A2, . . . ∈ A. (σ-

Additivitat)

Fur endlich viele Mengen Ak steht auf der rechten Seite eine endliche Summe; ist dagegen dieAnzahl der Mengen Ak abzahlbar unendlich, so steht auf der rechten Seite eine unendlicheReihe. Das Tripel (Ω, A, p) heißt Wahrscheinlichkeitsraum.

Beispiel

Wir betrachten das wiederholte Wurfeln mit einem fairen Wurfel. Wie lange muss man imMittel auf die erste Sechs warten? Wir haben es hier mit einem Experiment mit zwei moglichenErgebnissen zu tun, namlich mit Erfolg (eine Sechs) oder Misserfolg (keine Sechs). Bei einem

fairen Wurfel tritt der Erfolg mit der Wahrscheinlichkeit p =1

6und der Misserfolg mit der

71

Wahrscheinlichkeit q = 1 − p =5

6ein. Gibt die ”Zufallsvariable” X die Anzahl der Versuche

bis zum 1. Auftreten einer Sechs an, so ist

p(X = k) = qk−1p .

Dann gilt∞∑k=1

p(X = k) = p∞∑k=1

qk−1 = p∞∑k=0

qk =p

1− q= 1 .

Wie lange muss man nun im Schnitt warten, bis die erste Sechs auftritt? Das gibt der sog.”Erwartungswert” E(X) an:

E(X) :=∞∑k=1

k · p(X = k) =∞∑k=1

kpqk−1 = p

∞∑k=1

kqk−1 .

Um den Reihenwert zu bestimmen, betrachten wir die sog. ”Potenzreihe”∞∑k=0

xk , die fur |x| < 1

konvergiert; wir durfen die Potenzreihe differenzieren, indem wir gliedweise differenzieren (daslernt man in Analysis I, II); wir erhalten so

∞∑k=1

kxk−1 =d

dx

(∞∑k=0

xk

)=

d

dx

(1

1− x

)=

1

(1− x)2.

In unserem Beispiel ergibt sich daher

E(X) = p1

(1− q)2=

1

p.

Der Erwartungswert beim Wurfeln mit p =1

6ist damit E(X) = 6, d.h. dass man im Durch-

schnitt 6 Wurfe benotigt, um eine Sechs zu wurfeln.

Weitere Beispiele

1. 3 Maschinen produzieren denselben Artikel, allerdings mit unterschiedlicher Qualitat. Auslanger Erfahrung weiß man, dass Maschine 1 nur 2 % Ausschuss produziert, Maschine 2dagegen 10 % und Maschine 3 schließlich 4 %. Die Anteile der drei Maschinen an derGesamtproduktion betragen 30 %, 50 % bzw. 20 %. Von der Gesamtproduktion wirdein Artikel zufallig ausgewahlt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Artikelunbrauchbar ist?

2. In einen Teig werden 250 Rosinen geknetet und dann daraus 200 Hornchen gebacken.Wir wahlen ein Hornchen beliebig aus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthalt es genau2 Rosinen?

3. Ein Werkstuck soll eine Bohrung erhalten mit einem Durchmesser von 50 mm. Die Tole-ranzgrenzen sind tu = 49.97 mm und to = 50.04 mm. Ein Werkstuck ist Ausschuss, wennder Durchmesser großer als to ausfallt. Ist der Durchmesser kleiner als tu, so muss eineNachbohrung durchgefuhrt werden.

72

(i) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Bohrung sofort qualitatsgerecht aus-fallt?

(ii) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafur, dass das Werkstuck nachgebessert werdenmuss?

(iii) Wie groß ist die Ausschusswahrscheinlichkeit?

4. Fur eine Veranstaltung werden 200 Freikarten vergeben. Wie viele Ehrenplatze sind min-destens bereitzustellen, damit die Wahrscheinlichkeit, dass alle ins Stadion kommendengeladenen Ehrengaste jeweils noch einen freien Ehrenplatz vorfinden, mindestens 97.5%betragt?

b) Deskriptive Statistik

Die Statistik wird ublicherweise in die deskriptive (beschreibende) und die induktive (beurtei-lende) Statistik eingeteilt. Diese Einteilung ist insofern irrefuhrend, da der Eindruck erwecktwird, dass die deskriptive Statistik von subjektiven Einschatzungen frei sei. Das ist aber haufignicht der Fall. Die Hauptaufgabe der deskriptiven Statistik ist zwar in erster Linie eine uber-sichtliche graphische und/oder tabellarische Darstellung der erhobenen Daten; es wird aber oftdurch die Art der Prasentation (z.B. bzgl. der Umsatzentwicklung eines Unternehmens) eineBeeinflussung (potentieller) Geldgeber (Banken, Aktionare usw.) versucht.

c) Beurteilende Statistik

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung sind wir davon ausgegangen, dass die Wahrscheinlichkeitenfur das Eintreten gewisser Ereignisse bekannt sind und dass gewisse Axiome dafur gelten. Inder Praxis sind die Wahrscheinlichkeiten nicht ohne Weiteres bekannt. Zum Beispiel ist die Hei-lungswahrscheinlichkeit eines bestimmten Medikamentes oder die Ausschusswahrscheinlichkeiteines bestimmten von einer Maschine gefertigten Gegenstandes nicht bekannt. In der beur-teilenden Statistik zieht man (aus einer Grundgesamtheit) eine Stichprobe und schließt ausden Eigenschaften der Stichprobe auf Eigenschaften der Grundgesamtheit. Man spricht vomSchatzen, wenn aus der Stichprobe auf unbekannte Parameter einer angenommenen Wahr-scheinlichkeitsverteilung geschlossen wird. Man spricht vom Testen, wenn aus der Stichprobegeschlossen wird, ob gewisse Vermutungen (Hypothesen) abgelehnt werden mussen oder an-genommen werden konnen, z.B. bzgl. der Wirksamkeit eines Medikamentes. Steht bei einemsolchen Test die Entscheidung zwischen zwei Hypothesen an, z.B. die Wirksamkeit zweier Me-dikamente, so spricht man von einem Alternativtest.

73

§8 Funktionalanalysis

Es ist sehr schwierig zu sagen, wann die Funktionalanalysis begonnen hat. Haufig wird – vomNamen her – gesagt, daß die Funktionalanalysis alle Gebiete der Mathematik umfaßt, in denenman sich mit Funktionen beschaftigt. Diese Sichtweise impliziert dann auch, dass erst nacheiner (einigermaßen) gut handhabbaren Definition einer Funktion die Funktionalanalysis be-ginnen konnte. Wir haben in der Einleitung die Entwicklung zur heute ublichen Definitioneiner Abbildung oder Funktion betrachtet. Danach kann erst um die Jahrhundertwende zum20-ten Jahrhundert von einer zufriedenstellenden Definiton gesprochen werden, also auch erstab diesem Zeitpunkt von einer Funktionalanalysis.

Nach heute ublicher Einordnung wird die Wiege der Funktionalanalysis in Problemen der Varia-tionsrechnung gesehen. Wir wollen zur Erlauterung zwei Beispiele fur solche Variationsproblemebetrachten.

a) Variationsprobleme

a) In einer Ebene seien zwei Punkte A und B gegeben. Wir betrachten alle ”Kurvenbogen”von A nach B und stellen uns vor, daß ein Massenpunkt unter dem alleinigen Einflußder Schwerkraft von A nach B gelangen kann. Wir ordnen jedem ”Kurvenbogen” alsFunktionswert die Maßzahl der hierfur benotigten Zeit zu. Gesucht ist die Kurve, fur diedie Zeit minimal wird.

Haben A und B die Koordinaten A = (a, c) und B = (b, d) und sind als Kurvenbogen dieGraphen stetig differenzierbarer Funktionen

f ∈ C1[a, b] := g : [a, b]→ R | g ist auf [a, b] stetig differenzierbar

mit f(a) = c und f(b) = d zugelassen, so gilt fur die Geschwindigkeit v des Massenpunktesnach dem Energiesatz

v(x) =√

2g(c− f(x)) , x ∈ [a, b]

und fur den zuruckgelegten Weg

s(x) =

x∫a

√1 + (f ′(t))2 dt .

Fur die insgesamt benotigte Zeit erhalten wir dann

T (f) =

b∫a

√1 + (f ′(x))2

2g(c− f(x))dx .

Eine Kurve kurzester Laufzeit zu finden heißt ”Problem der Brachistochrone”. DiesesProblem wurde 1696 von Johann I. Bernoulli als Aufgabe fur die europaischen Mathema-tiker formuliert und von Newton gelost. Definieren wir

F (x, y, p) :=

√1 + p2

2g(c− y),

74

so ist das Integral

I(f) =

b∫a

F (x, f(x), f ′(x)) dx

zu minimieren uber alle f ∈ C1[a, b] mit f(a) = c und f(b) = d . Als Losung erhalten wirein Stuck einer Zykloide.

b) Wir betrachten eine stuckweise stetig differenzierbare einfach geschlossene, ebene Kur-ve vorgeschriebener Lange l. Gesucht ist die Kurve, fur die die eingeschlossene Flachemoglichst groß wird. Wir erhalten das sogenannte isoperimetische Problem. O.B.d.A.konnen wir eine Parameterdarstellung (γ1, γ2) mit zugrundeliegendem Intervall [0, 2π]annehmen.

Dann ergibt sich der Flacheninhalt der eingeschlossenen Flache durch

A(γ1, γ2) =1

2

2π∫0

(γ1(t) · γ′2(t)− γ′1(t) · γ2(t)) dt.

Es ist

A(γ1, γ2) =

2π∫0

F (x, γ1(x), γ′1(x), γ2(x), γ′2(x))dx

zu maximieren unter der Nebenbedingung

2π∫0

√(γ′1(t))

2 + (γ′2(t))2 dt = l.

Als Losung erhalten wir den Kreis vom Umfang l .

Beide Beispiele fuhren auf Extremalprobleme fur Funktionale, die durch Integrale definiert sind.Gesucht ist jeweils eine ”Extremalfunktion” in einem entsprechenden Funktionenraum.Notwendiges Kriterium fur das Vorliegen eines Extremums an der Stelle f0 ist das Verschwindender sogenannten Gateaux–Ableitung von I bzw. A (franzosischer Mathematiker, gefallen1914 im ersten Weltkrieg).

Fur zwei normierte Vektorraume E1, E2 uber dem Korper K und eine AbbildungF : E1 → E2 ist die Gateaux-Ableitung folgendermaßen definiert:Fur festes a und h ∈ E1 existiere der Grenzwert

limt→0t 6=0

F (a+ th)− F (a)

t;

ist er linear in h , so schreiben wir dafur ∂F∂x

(a)(h) und nennen die lineare Abbildung ∂F∂x

(a) :E1 → E2 die Gateaux-Ableitung von F an der Stelle a.

Hier sehen wir schon, dass in der Funktionalanalysis die klassischen Grundbegriffe der Analysiswie Grenzwert, Konvergenz, Stetigkeit, Differenzierbarkeit usw. verallgemeinert werden auf den

75

Fall der Abbildung einer Menge in eine andere. Maurice Rene Frechet (*2.9.1878 in Maligny,†4.6.1973 in Paris, 1919–1928 Professor in Strasbourg, Lehrbeauftragter an der Ecole Normaleund am Institut Poincare, 1941–1949 an der Sorbonne Professor fur Wahrscheinlichkeitstheorieund Mathematische Physik) war der erste, der 1906 in seiner Dissertation den vollig abstrakten,axiomatischen Aufbau begann. Er fuhrte den metrischen Raum ein (die Bezeichnung stammtvon Felix Haudorff (*8.11.1868 in Breslau, †26.1.1942 in Bonn) aus dem Jahre 1914) undbetrachtete stetige und halbstetige Funktionale auf metrischen Raumen.

b) Integralgleichungen

Eine zweite historische Wurzel der Funktionalanalysis liegt in der Theorie der linearen Diffe-rentialgleichungen. Im WS 1900/01 halt ein Student aus Uppsala an der Universitat Gottingeneinen Vortrag uber die Theorie der Integralgleichungen, die von dem schwedischen Mathema-tiker (Erik) Ivar Fredholm (*7.4.1866 in Stockholm, †17.8.1927 in Stockholm) entwickeltworden war. Fredholm betrachtete die sogenannte Integralgleichung 2. Art

g(x) = f(x) +

b∫a

K(x, y)f(y)dy

mit gegebenem stetigen g und stetigem Kern K . Er sah diese Gleichung in Analogie zu einemlinearen Gleichungssystem und betrachtete

gp = fp +n∑q=1

Kpq · fq , p = 1, 2, . . . , n .

Anschließend fuhrte er den Grenzubergang n→∞ durch, indem er eine Verallgemeinerung derCramerschen Regel anwendete, und wies nach, dass die erhaltenen Funktionen die Ausgangs-gleichung losten. David Hilbert (*23.1.1862 in Konigsberg, †14.2.1943 in Gottingen) griffdie Anregungen von Fredholm auf und fuhrte 1904 den Grenzubergang exakt durch. Hilbertbegrundete mit 6 Arbeiten uber Integralgleichungen (zwischen 1904 und 1910) eine deutscheSchule der Funktionalanalysis. Hilbert baute den Ansatz systematisch aus.

Erhard Schmidt (*13.1.1876 in Dorpat, †6.12.1959 in Berlin) fuhrte die geometrische Sprech-weise in die Untersuchungen uber Hilbert–Raume ein; von ihm stammen Begriffe wie Orthogo-nalitat, Norm und Projektion. Zu erwahnen ist das nach E. Schmidt benannte Orthogonalisie-rungsverfahren, das auch von Hilbert benutzt wurde.

76

Zusammenfassung

Wir haben viele Module des Bachelor-/Master-Studiums nicht besprochen, z.B. Veranstaltun-gen, die auf den beiden Grundlagen-Modulen aufbauen wie ’Funktionentheorie’, ’GewohnlicheDifferentialgleichungen’, ’Differentialgeometrie’, ’Algorithmen’, ’CAGD (Computer Aided Geo-metric Design)’ oder ’Graphen und Digraphen’. Daruberhinaus gibt es viele Module, die nebenden beiden Grundlagen-Modulen auch Kenntnisse aus Analysis III voraussetzen. In der fol-genden Ubersicht habe ich versucht, die am Campus Duisburg lokalisierten Veranstaltungendarzustellen. Eine Trennung zwischen Bachelor- und Master-Veranstaltungen kann bei den sog.Vertiefungsmodulen nicht gezogen werden. Module konnen im Bachelor- und Master-Studiumnur einmal belegt werden.Das Diagramm erhebt keinen Anspruch auf Vollstandigkeit: es fehlen Vorlesungen wie ’Topo-logie’, ’Berechenbarkeitstheorie’ oder ’Unterteilungsalgorithmen und ihre Anwendungen’. Diessind Vorlesungen, die unregelmaßig angeboten werden, dann aber wie z.B. ’Topologie’ eherim Bachelor-Studium oder ’Unterteilungsalgorithmen und ihre Anwendungen’ eher im Master-Studium gewahlt werden konnen. Es fehlen einige Module von Dozenten, die die UniversitatDuisburg-Essen nach Fertigstellung des Modul-Handbuchs verlassen haben bzw. ab dem kom-menden Semester nicht mehr zur Verfugung stehen.

Grundlagender Analysis

↔ Grundl. derLin. Algebra

→ Alg. u. Diskr.Mathematik I

→ Alg. u. Diskr.Mathematik II

| |———– - ——————— - ——————— - ———–| | | | |

Analysis IIINumerische

Math. I|| Stochastik I Optimierung I

|———– - ——————— - ——————— - ———–| | | |CAGD

(Grundleg.Techniken)

Funktionen-theorie I

||

GewohnlicheDiff’gleich. (I)

| | |

CAGD IFunktionen-

theorie II||

Algorithm. u.Datenstrukt.(Angew. Inf.)

| | |———– - ——————— - ———–| | | |

CAGD IIDifferential-geometrie I

Algorithm. IGraphen u.Digraphen

| | |Differential-geometrie II

Algorithm. IIGraphen-

Algorithmen

Vertiefungsmodule aus dem Bereich der Algebra konnen am Campus Essen gewahlt werden; amCampus Essen gibt es auch die Moglichkeit, noch einen zweiten Teil zum Modul ’Gewohnliche

77

Differentialgleichungen’ zu besuchen. Die ’Funktionentheorie’ kann dort noch mit Spezialvorle-sungen wie ’Riemannsche Flachen’ komplettiert werden.In der folgenden Ubersicht sind die Module aufgelistet, die Kenntnisse aus der Analysis IIIvoraussetzen. Fur das Modul ’Minimalflachen I’ werden Kenntnisse aus dem Modul ’Differen-tialgeometrie I’ erwartet.

Analysis III

|———– - ——————— - ——————— - ———–| | | |Funktional-analysis I

Minimal-flachen I

Kontroll-theorie I

Variations-rechnung I

| | | |||

Minimal-flachen II

Kontroll-theorie II

Variations-rechnung II

———– ——————— ——————— ———–| | | | |

Funktional-analysis II

||

NichtlineareFunktional-

analysis

PartielleDifferential-gleichungen I

GeometrischeAnalysis I

| | |

− InverseProbleme

PartielleDifferential-

gleichungen II

AusgewahlteThemen der

Geom. u. Anal.

Im Bereich ’Stochastik’ sind im Bachelor-Studium sicherlich nur einige Teile des folgendenBaumdiagramms unterzubringen zumal sowohl im Modul ’Finanzmathematik II’ als auch imModul ’Versicherungsmathematik II’ Kenntnisse aus dem Modul ’Stochastik II’ vorausgesetztwerden.

Stochastik I

|———– - ——————— - ——————— - ———–| | | |

Stochastik IIFinanz-

mathematik IVersicherungs-mathematik I

MathematischeStatistik

| | |Stochastische

ProzesseFinanz-

mathematik IIVersicherungs-mathematik II

|Finanz-

mathematik III

Im Bereich ’Numerische Mathematik’ sind die am Campus Duisburg regelmaßig anzubietendenVeranstaltungen aufgelistet, wobei alle Veranstaltungen auch (inhaltlich unabhangig voneinan-der) zu einem langeren Zyklus zusammengesetzt werden konnen. Ausserdem gibt es am Campus

78

Essen auch einige Veranstaltungen, die auf der Einfuhrungsvorlesung ’Numerische MathematikI’ aufbauen, z.B. ’Paralleles Wissenschaftliches Rechnen’, ’Numerik partieller Differentialglei-chungen’ oder ’Ausgewahlte Kapitel aus der Numerischen Mathematik’.

NumerischeMathematik I

|———– - ——————— - ——————— - ———–| | | |

NumerischeMethoden der

Analysis

Anwendungs-orientierte

Fourier-Analysis

NumerischeMethoden der

Signal- undBildverarb.

KonstruktiveApproximation

u. Anwendungen

Im Bereich ’Optimierung’ ist auch noch das Modul ’Inverse Probleme’ aufzufuhren, das aber auchauf Kenntnisse aus der Funktionalanalysis zuruckgreift. Das Modul ’Stochastische Optimierung’ bautauch auf dem Modul ’Stochastik I’ auf.

Optimierung I

|———– - ——————— - ——————— - ———–| | | | |Diskrete undKombinator.Optimierung

NichtlineareOptimierung

||

Optimie-rungs-

software

Optimalsteuerungbei partiellenDifferentialgl.

———– - ———–| |Scheduling-Theorie I

StochastischeOptimierung

|Scheduling-Theorie II

79

Zeittafel fur Alte Reiche im Zweistromland und Agypten

Zweistromland Agypten

5900− 4000Ubaid-Zeit

4000− 3000Uruk-Periode, ca. 3300 Entste-hung der Schrift (Tafeln von Uruk)

3000− 2350 2920− 2575Fruhdynastische Periode FruhzeitStadtmauer von Uruk durch 1.-3. DynastieGilgamesch

2575− 2134Altes Reich Cheops, Chephren

2350− 2150 (4.-8. Dynastie)Akkadische Periode

2134− 2040Erste Zwischenzeit

2150− 2000 (9.-11. Dynastie)Neosumerische Periode

2040− 1640 Papyrus MoskauMittleres Reich Papyrus Rhind, Urschriften

2000− 1600 (11.-14. Dynastie)Altbabylonische undAltassyrische Periode 1640− 1550

Zweite Zwischenzeit(15.-17. Dynastie)

1600− 1000Mittelassyrische Periode 1550− 1070

Neues Reich Thutmosis III., Echnaton(18.-20. Dynastie) Tutenchamun,

Ramses II.-XI.

1000− 605 1070− 712Neuassyrische Periode Dritte Zwischenzeit

(21.-25. Dynastie)712− 332

605− 539 SpatzeitNeubabylonische Periode (25.-30. Dynastie)

539− 126Persische und HellinistischePeriode

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Lebensdaten von ”Mathematikern” aus der Antike

Im Jahr 331 v.Chr. wurde an der Mundung eines Nilarmes eine der vielen ”Alexanderstadte”,die Stadt Alexandria gegrundet. Alexandria wurde das wissenschaftlich-kulturelle Zentrum derWelt des Hellinismus und der Romerzeit. In Alexandria gab es mit dem ’Museion’ das erstestaatlich gegrundete und unterhaltene Forschungs- und Lehrzentrum mit Horsalen, Arbeits-und Speiseraumen, mit einer Bibliothek von ca. 400 000 Papyrusrollen, die zum Teil in spaterenkriegerischen Auseinandersetzungen mit den Romern vernichtet wurden. Es ist wahrscheinlich,dass das Museion den Erlass des Ediktes von Theodosius im Jahre 391, alle heidnischen Tempelin der Stadt zu zerstoren, nicht lange uberlebte.

3500− 2000Fruhe Bronzezeit

2000− 1600 um 1900 Errichtung der minoischen PalasteMittlere Bronzezeit auf Kreta, Linearschrift A

1600− 1050 Linearschrift BSpate Bronzezeit

1050− 750 um 700 HomerFruhzeit

750− 500 624− 548/545 ThalesArchaische Zeit 570− 480 Pythagoras

550− 323 um 500 HeraklitKlassische Zeit 469− 399 Sokrates

427− 348 Platon400− 347 Eudoxos384− 322 Aristoteles

323− 31 um 300 EuklidHellinismus 290− 210 Eratosthenes

287− 212 Archimedes262− 190 Apollonius

um 62 n. Chr. Heron (Alexandria)um 85− 105 Ptolemaiosum 250 Diophant (Alexandria)um 300 Pappos (Alexandria)330/340− 400 Theon von Alexandria,

letzter Leiter des Museion410/411− 17.4.485 Proklos (Diadochos)

529 Schließung der Akademie in Athen

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Italien und das Romische Weltreich

753− 509 v. Chr. Die Konigszeit

509− 264 v. Chr. Die fruhe Republik

264− 146 v. Chr. Die mittlere Republik 1. Punischer Krieg (264 - 241)2. Punischer Krieg (218 - 201)3. Punischer Krieg (149 - 146)Makedonien wird rom. Provinz (148)

146− 30 v. Chr. Die spate Republik Eroberung Galliens durch Casar (58 - 51)Brand der Bibliothek in Alexandria (48)Ermordung Casars (44)Agypten wird rom. Provinz (3)

30 v.− 68 n. Chr. Die fruhe Kaiserzeit Oktavian (30 v. - 14 n. Chr.)Ehrenname Augustus (der Erhabene)seit 27 v. Chr.Tiberius (14 - 37)Gaius (Caligula) (37 - 41)Nero (54 - 68)Brand Roms (64)

68− 235 Die Blute des Trajan (98 - 117)Imperiums Hadrian (117 - 138)

235− 305 Die Zeit der Wirren Die Goten plundern Athen, Korinth undSparta (268)Diokletian (284 - 305)

305− 565 Der Untergang des Konstantin der Große wird Alleinherr-Westreichs scher (324) und macht Konstantinopel

zur Reichshauptstadt (330). Das Christen-tum erhalt volle Gleichberechtigung.Eroberung Mesopotamiens durch diePerser (363)Einnahme und Plunderung Roms durchdie Westgoten unter Alarich (410)Plunderung Roms durch dieVandalen (455)Absetzung des Romulus (Augustulus)durch die Germanen (476)

Blute des Ostreiches (byzantinischesReich) unter Justinian (527 - 565)Fortbestand des Ostreiches bis 1453

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Inhalt der 13 Bucher des Euklid

Buch I: Vom Punkt bis zum pythagoreischen LehrsatzGrundlagen, Kongruenzlehre, Fundamentalkonstruktionen, Parallelen-theorie, Hauptsatze uber das Parallelogramm und Lehre von derFlachengleichheit

Buch II: Geometrische AlgebraU.a. werden die binomischen Formeln geometrisch bewiesen.

Buch III: KreislehreU.a. wird bewiesen, wie man von einem Punkt eine Tangente an einenvorgegebenen Kreis konstruiert.

Buch IV: Ein- und umbeschriebene VieleckeU.a. wird gezeigt, wie man einem gegebenen Kreis ein regelmaßigesFunfzehneck einbeschreibt.

Buch V: Ausdehnung der Großenlehre auf IrrationalitatenUrsprunglich wuden geometrische Probleme mit Hilfe von Proportionenbehandelt, wobei sich die Verhaltnisse durch ganze Zahlen darstellenließen. Wegen der Entdeckung des Irrationalen werden hier ”beliebige”Proportionen behandelt.

Buch VI: Proportionen und Anwendungen auf die PlanimetrieBuch VI enthalt die Anwendungen von Buch V, die Ahnlichkeitslehre unddie Flachenanlegung; z.B. wird gezeigt, dass in jedem Parallelogrammdie Parallelogramme um die Diagonale sowohl dem ganzen als auch ein-ander ahnlich sind.

Buch VII: Teilbarkeitslehre, PrimzahlenU.a. wird der sog. ”Euklidische Algorithmus” zur Bestimmung des ggTbeschrieben.

Buch VIII: Quadrat- und Kubikzahlen, geometrische ReihenBuch IX: Lehre von Gerade und UngeradeBuch X: Klassifikation quadratischer Irrationalitaten,

Methoden der Flachenanlegung zu geometrischenLosung aller Typen quadratischer Gleichungen

Buch XI: Elementare StereometrieBuch XII: Pyramide, Kegel, Kugel

U.a. wird gezeigt, dass jeder Kegel ein Drittel des Zylinders ist, dermit ihm dieselbe Grundflache und gleiche Hohe hat.

Buch XIII: Regulare PolyederEs gibt genau 5 Platonische Korper, d.h. Korper, die von einandergleichen regelmaßigen Polyedern berandet werden (wobei in jeder Eckegleichviele Kanten zusammentreffen), das sind das Tetraeder mit 4gleichseitigen Dreiecken, der Wurfel mit 6 Quadraten, das Oktaedermit 8 gleichseitigen Dreiecken, das Dodekaeder mit 12 regelmaßigenFunfecken und das Ikosaeder mit 20 gleichseitigen Dreiecken.

83

Pythagoreesche Zahlentheorie

Die Pythagoreer brachten Ordnung in die Menge der (ganzen) Zahlen, indem sie sie nachbestimmten Gesichtspunkten in Arten einteilten, z.B. in gerade und ungerade, in Primzahlenund in zusammengesetzte Zahlen. Wir finden die Grundlagen zu den Ergebnissen von Buch IXin Buch VII von Euklid:Definitionen

1. Einheit ist das, wonach jedes Ding eines genannt wird.

2. Zahl ist die aus Einheiten zusammengesetzte Menge. (1 ist also keine Zahl, sondern eineEinheit, aus der die Zahlen 2,3,4, . . . zusammengesetzt sind.)

3. Teil einer Zahl ist eine Zahl, die kleinere von der großeren, wenn sie die großere genaumisst. (Wir sagen heute: ’b teilt a’ oder ’b ist ein Teiler von a’, wenn eine (ganze) Zahlc > 1 existiert mit bc = a.)

5. Vielfaches ist die großere Zahl von der kleineren, wenn sie von der kleineren genaugemessen wird.

6. Gerade ist die Zahl, die sich halbieren lasst,

7. und ungerade die, die sich nicht halbieren lasst, oder die sich um die Einheit von einergeraden Zahl unterscheidet.

11. Primzahl ist eine Zahl, die sich nur durch die Einheit messen lasst. (Da 1 keine Zahl ist,kann 1 auch keine Primzahl sein.)

13. Zusammengesetzt ist eine Zahl, die sich durch irgendeine (andere) Zahl messen lasst.

Anschließend werden einige Satze bewiesen, d.h. Ausssagen auf die Definitionen und Postulatezuruckgefuhrt. Wichtig sind die folgenden Ergebnisse:

§31 Jede zusammengesetzte Zahl wird von irgendeiner Primzahl gemessen.

§32 Jede Zahl ist entweder eine Primzahl oder wird von irgendeiner Primzahl gemesen. (Heutezeigen wir, dass sich jede naturliche Zahl≥ 2 als Produkt von Primzahlpotenzen darstellenlasst.)

Wir finden dann in Buch IX von Euklid:

Die Primzahlen sind mehr als jede vorgegebene Menge von Primzahlen.

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Die Axiome der Euklidischen Geomtrie

In den Buchern des Euklid wird zum ersten Mal ”axiomatisch” festgelegt, was unter den Ob-jekten der Geometrie zu verstehen ist. Beginnen wir mit einer Auswahl der 23 Definitionen imI. Buch des Euklid:

1. Ein Punkt ist, was keine Teile hat.

2. Eine Linie (ist) breitenlose Lange.

4. Eine gerade Linie (Strecke ist eine solche, die zu den Punkten auf ihr gleichmaßig liegt.

5. Eine Flache ist, was nur Lange und Breite hat.

15. Ein Kreis ist eine ebene, von einer einzigen Linie [die Umfang (Bogen) heißt] umfassteFigur mit der Eigenschaft, dass alle von einem innerhalb der Figur gelegenen Punkte biszur Linie [zum Umfang des Kreises] laufenden Strecken einander gleich sind.

16. Und Mittelpunkt des Kreises heißt dieser Punkt.

20. Von den dreiseitigen Figuren ist

ein gleichseitiges Dreieck jede mit drei gleichen Seiten,

ein gleichschenkliges jede mit nur zwei gleichen Seiten,

ein schiefes jede mit drei ungleichen Seiten.

Dann kommen die 5 Postulate, die wir heute als Grundlage der sog. ”Euklidischen Geo-metrie” wahlen. Gefordert soll sein u.a.:

1. Dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen,

2. Dass man eine begrenzte gerade Linie zusammenhangend gerade verlangern kann,

3. Dass man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis zeichnen kann,

4. Dass alle rechten Winkel einander gleich sind,

5. Und dass, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien bewirkt,dass innen auf derselben Seite entstehende Winkel zusammen kleiner als zwei Rechtewerden, dann die zwei geraden Linien bei Verlangerung ins Unendliche sich treffenauf der Seite, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind.(heutiges Parallelenpostulat)

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Stru D.J. Struik: Abriss der Geschichte der Mathematik. VEB Deutscher Verlag der Wissen-schaften, Berlin, 5. Aufl. 1972

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Thae C. Thaer (Hrsg.): Die Elemente von Euklid (Oswalds Klassiker der exakten Wissenschaf-ten, Bd. 235). Verlag Harri Deutsch, Thun-Frankfurt/Main, 3. Aufl. 1997

TheI The Inter-IREM Commission: History of Mathematics – Histories of Problems. Ellipses,Paris 1997

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Teub Teubner-Taschenbuch der Mathematik (begrundet von I.N. Bronstein und K.A. Semend-jajew). B.G. Teubner, Stuttgart-Leipzig 1996

TiL1 Agypten: Das Land der Pharaonen (aus der Reihe ”Untergegangene Kulturen”). Time-Life Bucher, Amsterdam, 2. Aufl. 1993

TiL2 Das klassische Griechenland (aus der Reihe ”Untergegangene Kulturen”). Time-Life Bucher,Amsterdam 1994

TiL3 Mesopotamiens machtige Reiche (aus der Reihe ”Untergegangene Kulturen”). Time- LifeBucher, Amsterdam 1995

TiL4 Rom: Das Unvergangliche Erbe der Casaren (aus der Reihe ”Untergegangene Kulturen”).Time-Life Bucher, Amsterdam 1994

TiL5 Die bluhenden Stadte der Sumerer (aus der Reihe ”Untergegangene Kulturen”). Time-LifeBucher, Amsterdam 1993

Toll C. Tollmien: Furstin der Wissenschaft. Die Lebensgeschichte der Sofja Kowalewskaja.Beltz-Verlag, Weinheim-Basel 1985

Toti L. Toti Rigatelli: Evariste Galois, 1811-1832 (Vita Mathematica, Vol. 11). Birkhauser-Verlag, Basel-Boston-Berlin 1996

Trop J. Tropfke: Geschichte der Elementarmathematik, Bd. 1: Arithmetik und Algebra (Be-arbeitet von K. Vogel, K. Reich, H. Gericke). W. de Gruyter, Berlin-New York, 4. Aufl.1980

Voge K. Vogel: Kleinere Schriften zur Geschichte der Mathematik, 1. und 2. Halbband (Hersgeg.von M. Folkerts). Franz Steiner Verlag Wiesbaden, Stuttgart 1988

Waer B.L. van der Waerden: A History of Algebra - From al-Khwarizimi to Emmy Noether.Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo 1985

Wals H. Walser: Der Goldene Schnitt. B. G. Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig und Verlagder Fachvereine an den schweizerischen Hochschulen und Techniken Zurich 1993

Will F. Wille: Humor in der Mathematik. Vandenhoeck & Ruprecht, 3. Aufl. 1987

Wus1 H. Wußing (Hrsg.): Geschichte der Naturwissenschaften. Aulis-Verlag Deubner, Koln 1983

Wus2 H. Wußing (Hrsg.): Vorlesungen zur Geschichte der Mathematik. Deutscher Verlag derWissenschaften, Berlin, 2. Aufl. 1989

Wus3 H. Wußing : 6000 Jahre Mathematik, Bd. 1 (Von den Anfangen bis Leibniz und Newton).Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg 2008

Wus4 H. Wußing : 6000 Jahre Mathematik, Bd. 2 (Von Euler bis zur Gegenwart). Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg 2009

93

Literaturverzeichnis nach Teilgebieten

Allgemeine Literatur zur Geschichte der Mathematik

BoMe C. B. Boyer (revised by U. C. Merzbach): A History of Mathematics. John Wiley & SonsInc., New York et al., 2nd ed. 1991

Cant M. Cantor: Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik (4 Bande, Teubner-Verlag, Leip-zig 1900-1908). Johnson Reprint, New York & B.G. Teubner-Verlag 1965

Coll J.-P. Collette: Histoire des mathematiques (2 Bde.). Editions du Renouveau Pedagogique,Inc. Ottawa, Canada 1973

Hofm J.E. Hofmann: Geschichte der Mathematik I–III. W. de Gruyter & Co, Berlin 1953–1957(Goschen Bde 226, 875, 882)

Klin M. Kline: Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford UniversityPress, New York 1972 (Dreibandige Paperback-Ausgabe 1990)

PfDa J. Pfeiffer u. A. Dahan-Dalmedico: Wege und Irrwege - Eine Geschichte der Mathematik.Birkhauser-Verlag, Basel-Boston-Berlin 1994

Stru D.J. Struik: Abriss der Geschichte der Mathematik. VEB Deutscher Verlag der Wissen-schaften, Berlin, 5. Aufl. 1972

Wus2 H. Wussing (Hrsg.): Vorlesungen zur Geschichte der Mathematik. Deutscher Verlag derWissenschaften, Berlin, 2. Aufl. 1989

Wus3 H. Wußing : 6000 Jahre Mathematik, Bd. 1 (Von den Anfangen bis Leibniz und Newton).Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg 2008

Wus4 H. Wußing : 6000 Jahre Mathematik, Bd. 2 (Von Euler bis zur Gegenwart). Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg 2009

Ausgewahlte Themen

AiBe M. Aigner u. E. Behrends (Hrsg.): Alles Mathematik. Von Pythagoras zum CD-Player.Vieweg-Verlag, Braunschweig/Wiesbaden 2000

AiZi M. Aigner u. G. M. Ziegler: Das BUCH der Beweise. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 2002

Bach P. Bachmann: Das Fermatproblem in seiner bisherigen Entwicklung. Springer-Verlag,Berlin-Heidelberg-New York, Reprint 1976 (Erstauflage bei W. de Gruyter & Co., Berlinund Leipzig 1919)

Beck P. Beckmann: A History of π (Pi). St. Martin’s Press, New York, 3rd ed. 1974

Cof1 J. Cofman: Einblicke in die Geschichte der Mathematik. Aufgaben und Materialien furdie Sekundarstufe I. Spekrum Akadem. Verlag, Heidelberg-Berlin 1999

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Cof2 J. Cofman: Einblicke in die Geschichte der Mathematik II. Aufgaben und Materialien furdie Sekundarstufe II. Spekrum Akadem. Verlag, Heidelberg-Berlin 2001

CoRo R. Courant u. H. Robbins: Was ist Mathematik? Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-NewYork, 3. Aufl. 1973

DaHe Ph. J. Davis u. R. Hersh: Erfahrung Mathematik. Birkhauser-Verlag, Basel-Boston-Berlin1994

Dieu J. Dieudonne: History of Functional Analysis. North Holland Publ. Comp., Amsterdam-New York-Oxford 1981

Doxi A. Doxiadis: Onkel Petros und die Goldbachsche Vermutung. Verlagsgruppe Lubbe, Ber-gisch Gladbach 2000

Ebbi H.-D. Ebbinghaus u.a.: Zahlen. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo 1983

Eule L. Euler: Einleitung in die Analysis des Unendlichen (Erster Teil der ”Introductio inAnalysin Infinitorum”). Reprint, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1983

EyLa P. Eymard u. J.-P. Lafon: Autour du nombre π. Hermann, Paris 1999

Freu R. Freud (Hrsg.): Grosse Augenblicke aus der Geschichte der Mathematik. BI-Wissen-schaftsverlag, Mannheim-Wien-Zurich 1990

Gold H.H. Goldstine: A History of Numerical Analysis from the 16th through the 19th Century.Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin 1977

Ifra G. Ifrah: Die Zahlen. Campus Verlag, Frankfurt-New York 1992

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Jahn H.N. Jahnke (Hrsg.): Geschichte der Analysis. Spektrum Akad. Verlag, Heidelberg-Berlin1999

Koe2 M. Koecher: Klassische elementare Analysis. Birkhauser-Verlag, Basel-Boston-Berlin 1987

Krop G. Kropp: Geschichte der Mathematik - Probleme und Gestalten. AULA-Verlag, Wies-baden 1984

Man1 Mandelbrot, B.B.: How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractio-nal dimension. Science 155, 636-638 (1967)

Man2 Mandelbrot, B.B.: The Fractal Geometry of Nature (Updated and Augmented). W.H.Freeman and Company, New York 1983

Maor E. Maor: Die Zahl e - Geschichte und Geschichten. Birkauser-Verlag, Basel-Boston-Berlin1996

Mes1 H. Meschkowski: Problemgeschichte der Mathematik I. BI-Wissenschaftsverlag, Mann-heim-Wien-Zurich 1979

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Mes2 H. Meschkowski: Denkweisen grosser Mathematiker (Ein Weg zur Geschichte der Mathe-matik). Vieweg & Sohn, Braunschweig 1990

Pei1 Peitgen, H.-O., Jurgens, H., Saupe, D.: Bausteine des Chaos - Fraktale. Klett-Cotta /Springer-Verlag 1992

Pei2 Peitgen, H.-O., Jurgens, H., Saupe, D.: Chaos - Bausteine der Ordnung. Klett-Cotta /Springer-Verlag 1994

ReUl R. Remmert u. P. Ullrich: Elementare Zahlentheorie. Birkhauser-Verlag, Basel-Boston-Berlin 1995

ReWe H.L. Resnikoff u. R.O. Wells: Mathematik im Wandel der Kulturen. Vieweg-Verlag,Braunschweig-Wiesbaden 1983

RoSh G. Robins u. Ch. Shute: The Rhind Mathematical Papyrus, an ancient Egyptian text.British Museum Press, London 1987 (Reprinted 1998)

ScOp W. Scharlau u. H. Opalka: Von Fermat bis Minkowski: Eine Vorlesung uber Zahlentheorieund ihre Entwicklung. Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York 1980

Scho E. Scholz (Hrsg.): Geschichte der Algebra - Eine Einfuhrung. BI-Wissenschaftsverlag,Mannheim-Wien-Zurich 1990

Schr H. Schroder: Wege zur Analysis, genetisch – geometrisch – konstruktiv. Springer-Verlag,Berlin-Heidelberg 2001

Scri C.J. Scriba: The Concept of Number (BI-Hochschulskripten 825/825a). BibliographischesInstitut, Mannheim-Zurich 1968

Stew I. Stewart: Mathematik: Probleme-Themen-Fragen. Birkhauser, Basel-Boston-Berlin 1990

TheI The Inter-IREM Commission: History of Mathematics – Histories of Problems. Ellipses,Paris 1997

Trop J. Tropfke: Geschichte der Elementarmathematik, Bd. 1: Arithmetik und Algebra (Be-arbeitet von K. Vogel, K. Reich, H. Gericke). W. de Gruyter, Berlin-New York, 4. Aufl.1980

Waer B.L. van der Waerden: A History of Algebra - From al-Khwarizimi to Emmy Noether.Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo 1985

Wals H. Walser: Der Goldene Schnitt. B. G. Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig und Verlagder Fachvereine an den schweizerischen Hochschulen und Techniken Zurich 1993

Einzelne Epochen

Ger1 H. Gericke: Mathematik in Antike und Orient. Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-NewYork-Tokyo 1984

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Ger2 H. Gericke: Mathematik im Abendland - Von den romischen Feldmessern bis zu Descartes.Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York-London-Paris-Tokyo-Hong Kong 1990

Ger3 H. Gericke: Sonderausgabe der beiden o.g. Titel in einem Band. Fourier-Verlag, Wiesba-den, 3. Aufl. 1994

Klei F. Klein: Vorlesungen uber die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert, Teile1 und 2. Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York, Reprint 1979 (Erstauflage bei J.Springer, Berlin 1926 und 1927)

Voge K. Vogel: Kleinere Schriften zur Geschichte der Mathematik, 1. und 2. Halbband (Her-ausgeg. von M. Folkerts). Franz Steiner Verlag Wiesbaden, Stuttgart 1988

Zur Geschichte der Schule

Blat F. Blattner: Geschichte der Padagogik. Quelle & Meyer, 13. Aufl., Heidelberg 1968

Blan H. Blankertz: Die Geschichte der Padagogik. Von der Aufklarung bis zur Gegenwart.Buchse der Pandora Verlags-GmbH, Wetzlar 1982

HeHo H.-G. Herrlitz, W. Hopf, H. Titze: Deutsche Schulgeschichte von 1800 bis zur Gegenwart.Juventa Verlag, Weinheim und Munchen 1993

Paul F. Paulsen: Geschichte des gelehrten Unterrichts auf den deutschen Schulen und Uni-versitaten vom Ausgang des Mittelalters bis zur Gegenwart. Verlag von Veit & Comp.,Leipzig, 3. Aufl. 1919 (Nachdruck: W. de Gruyter, Berlin 1960)

Russ W. Russ: Geschichte der Padagogik. Verlag J. Klinkhardt, Bad Heilbrunn, 9. Aufl. 1973

ScWi H. Schiffler u. R. Winkeler: Tausend Jahre Schule. Eine Kulturgeschichte des Lernens inBildern. Belser Verlag, Stuttgart-Zurich 1985

Lexikographische Werke und Sammlungen

Beut A. Beutelspacher u.a. (Hrsg.): Jahrbuch Uberblicke Mathematik 1995. Vieweg-Verlag,Wiesbaden 1995

Bier K.-R. Biermann: Die Mathematik und ihre Dozenten an der Berliner Universitat 1810-1933 (Stationen auf dem Wege eines mathematischen Zentrums von Weltgeltung). Aka-demie-Verlag, Berlin 1988

Cole E. Colerus: Von Pythagoras bis Hilbert. Die Epochen der Mathematik und ihre Baumei-ster. Geschichte der Mathematik fur jedermann. P. Zsolnay Verlag, Wien 1951

Devl K. Devlin: Sternstunden der modernen Mathematik. Beruhmte Probleme und neue Losun-gen. Deutscher Taschenbuch Verlag, Munchen 1992

Gott S. Gottwald u.a. (Hrsg.): Lexikon bedeutender Mathematiker. Harri Deutsch-Verlag, Thun-Frankfurt (M). 1990

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Hant I. Hantsche (Hrsg.): Der ”mathematicus”. Zur Entwicklung und Bedeutung einer neuenBerufsgruppe in der Zeit Gerhard Mercators (aus der Reihe ”Duisburger Mercator-Stu-dien, Bd. 4). Universitatsverlag Dr. N. Brockmeyer, Bochum 1996

Heat Th. L. Heath: The Thirteen Books of Euclid’s Elements (Transl. from the Text of Heiberg),Vol. 1-3. Dover Publ. Inc. New York, 2nd ed.

Lauw H. Lauwerier: Unendlichkeit. Denken im Grenzenlosen. Rowohlt Taschenbuchverlag, Rein-bek bei Hamburg 1993

Otte M. Otte (Hrsg.): Mathematiker uber die Mathematik. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1974

Wus1 H. Wussing (Hrsg.): Geschichte der Naturwissenschaften. Aulis-Verlag Deubner, Koln1983

Biographien und Ahnliches:

Behn H. Behnke: Semesterberichte - Ein Leben an deutschen Universitaten im Wandel der Zeit.Vandenhoeck & Ruprecht, Gottingen 1978

BBKl Ch. Bode, W. Becker u. R. Klofat (Hrsg.): Universitaten in Deutschland – Universities inGermany. Prestel, Munchen-New York 1995

BoKo G. Born u. F. Kopatschek: Die alte Universitat Duisburg 1655-1818. Mercator-Verlag,Duisburg 1992

Fell E.A. Fellmann: Leonhard Euler, rororo-Taschenbuch 1290, Hamburg 1995

Fisc E.P. Fischer: Aristoteles, Einstein & Co. - Eine kleine Geschichte der Wissenschaft inPortrats. Piper, Munchen-Zurich 1995

GrZw A. Grabosch u. A. Zwolfer (Hrsg.): Frauen und Mathematik (Die allmahliche Ruckerobe-rung der Normalitat ?). Attempto-Verlag, Tubingen 1992

Halm P.R. Halmos: I want to be a Mathematician (An Automathography). Springer-Verlag,New York-Berlin-Heidelberg-London-Paris-Tokyo 1985

Hirs E.Ch. Hirsch: Der beruhmte Herr Leibniz - eine Biographie. Verlag C.H. Beck, Munchen2000

Kalu R. Kaluza: Throug a reporter’s eyes: The Life of Stefan Banach. Birkhauser-Verlag, Basel-Boston-Berlin 1996

Koe1 M. Koecher (Hrsg.): Hel Braun - Eine Frau und die Mathematik 1933-1940. Der Beginneiner wissenschaftlichen Laufbahn. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg 1990

Kor1 C.A. Kortum, 1745-1824, Arzt-Forscher-Literat, Einem Revierburger zum 250. Geburts-tag. Pomp-Verlag, Bottrop-Essen 1995

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MeNi H. Meschkowski u. W. Nilson (Hrsg.): Georg Cantor, Briefe. Springer-Verlag, Berlin u.a.1991

PuIl W. Purkert u. H.J. Ilgauds (Hrsg.): Georg Cantor, 1845-1918 (Vita Mathematica, Vol. 1).Birkauser-Verlag, Basel-Boston-Stuttgart 1987

Reic K. Reich: C. F. Gauss 1777-1855. Verlag Moos & Partner, Grafelfing vor Munchen 1985

Ring W. Ring: Geschichte der Universitat Duisburg. Im Selbstverlage der Stadtverwaltung,Duisburg 1920

Rode G. von Roden: Die Universitat Duisburg (hrsg. vom Stadtarchiv Duisburg in Verbindungmit der Mercator-Gesellschaft). W. Braun Verlag, Duisburg 1968

Sch1 W. Scharlau (Hrsg.): Mathematische Institute in Deutschland 1800-1945 (Im Auftrag derDeutschen Mathematiker-Vereinigung). Vieweg & Sohn, Braunschweig-Wiesbaden 1990

Sch2 W. Scharlau (Hrsg.): Richard Dedekind 1831-1981; eine Wurdigung zu seinem 150. Ge-burtstag. Vieweg & Sohn, Braunschweig-Wiesbaden 1981

Toll C. Tollmien: Furstin der Wissenschaft. Die Lebensgeschichte der Sofja Kowalewskaja.Beltz-Verlag, Weinheim-Basel 1985

Toti L. Toti Rigatelli: Evariste Galois, 1811-1832 (Vita Mathematica, Vol. 11). Birkhauser-Verlag, Basel-Boston-Berlin 1996

Fur die Schule und aus der Schule

Bapt P. Baptist: Pythagoras und kein Ende? Ernst Klett Schulbuchverlag, Leipzig-Stuttgart-Dusseldorf 1997

KaNo H. Kaiser u. W. Nobauer: Geschichte der Mathematik (fur Schule und Unterricht). Ol-denbourg, Munchen, 3. Aufl. 2006

KaTh Kambly-Thaer: Mathem. Unterrichtswerk, 1. Teil: Arithmetik und Algebra. Ausgabe B:Fur Oberrealschulen, Realgymnasien und Gymnasien mit math. Reformunterricht. F.Hirt–Verlag Breslau, 44. Aufl. 1918 (mit dem Vorwort zur 39. Aufl. von 1908)

Popp W. Popp: Geschichte der Mathematik im Unterricht, 2 Bde. Bayerischer Schulbuch-Verlag,Munchen 1968

RiSI Kultusministerium des Landes NW (Hrsg.): Richtlinien Mathematik, Gymnasium, Sekun-darstufe I. Verlagsgemeinschaft Ritterbach, Frechen 1993

RSII Ministerium fur Schule und Weiterbildung, Wissenschaft und Forschung des Landes NW(Hrsg.): Richtlinien und Lehrplane Mathematik fur die Sekundarstufe II – Gymnasi-um/Gesamtschule. 1. Auflage 1999 (Druck und Verlag: Ritterbach Verlag)

Made P. Mader: Mathematik hat Geschichte. Metzler Schulbuchverlag, Hannover 1992

Sieb H. Sieber: Mathematische Tafeln. Ernst Klett Verlag, Stuttgart, 2. Aufl. 1974

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Heiteres

Crem H. Cremer: Carmina mathematica. Verlag J. A. Neyer, Aachen, 6. Aufl. 1979

Ehle A. Ehlers: Liebes Hertz (Physiker und Mathematiker in Anekdoten). Birkhauser-Verlag,Basel-Boston-Berlin 1994

Gar1 M. Gardner: Mathematische Knobeleien. Vieweg-Verlag, Braunschweig 1973

Gar2 M. Gardner: Mathematische Planetenzauberei. Ullstein-Verlag, Berlin-Fankfurt/Main-Wien 1980

Gar3 M. Gardner: Mathematische Hexereien. Ullstein-Verlag, Berlin-Fankfurt/Main-Wien 1988

Gar4 M. Gardner: Mathematischer Zirkus. Ullstein-Verlag, Berlin-Fankfurt/Main-Wien 1988

Kor2 C.A. Kortum: Die Jobsiade. Schurmann & Klagges, Bochum 1949 (Ausgabe zum 125.Todestag)

Will F. Wille: Humor in der Mathematik. Vandenhoeck & Ruprecht, 3. Aufl. 1987

Zeitschriftenartikel

Falt G. Faltings: Der Beweis der Fermat-Vermutung durch R. Taylor und A. Wiles, DMVMitteilungen 2/95, 6-8

Frit R. Fritsch: Vorschlage fur Raumgeometrie in der Mittelstufe. MNU 39(6), 339-348 (1986)

Jan1 U. Jannsen: Ist das Fermat-Problem nach 350 Jahren gelost? DMV Mitteilungen 4/93,8-12

Jan2 U. Jannsen: Wiles und Fermat: Ende gut, alles gut? DMV Mitteilungen 1/95, 12-14

Met1 K. H. Metzger: Darstellung von naturlichen Zahlen als Differenz von zwei Quadratzahlen.MNU 37(5), 270-275 (1984)

Met2 K. H. Metzger: Pythagoreische n-Tupel. MNU 42(3), 166-173 (1989)

Rent M. von Renteln: Leonhard Euler und die Geschichte der Mathematik. MNU 48(3), 131-138(1995)

Spal D.D. Spalt: Quo Vadis - History of Mathematics? Math. Intellig. 16(3), 3-5 (1994)

Allgemeine Literatur (zur Geschichte)

DiAr H. von Ditfurth u. V. Arzt: Querschnitte (Reportagen aus der Naturwissenschaft). DTV,Munchen, 4. Aufl. 1985

Jean G. Jean: Die Geschichte der Schrift (aus der Reihe ”Abenteuer Geschichte”). Ravensbur-ger Buchverlag 1991

100

MaHe G. Mann u. A. Heuss (Hrsg.): Propylaen-Weltgeschichte (10 Bande). Propylaen-Verlag,Berlin-Frankfurt 1961

Orto L.F. dell’Orto: Das Antike Rom - Leben und Kultur. Scala, Florenz 1982

Ploe Der farbige Ploetz – Illustrierte Weltgeschichte von den Anfangen bis zur Gegenwart.Verlag Ploetz, Freiburg-Munchen, 11. akt. Aufl. 1986

TiL1 Agypten: Das Land der Pharaonen (aus der Reihe ”Untergegangene Kulturen”). Time-Life Bucher, Amsterdam, 2. Aufl. 1993

TiL2 Das klassische Griechenland (aus der Reihe ”Untergegangene Kulturen”). Time-Life Bucher,Amsterdam 1994

TiL3 Mesopotamiens machtige Reiche (aus der Reihe ”Untergegangene Kulturen”). Time-LifeBucher, Amsterdam 1995

TiL4 Rom: Das Unvergangliche Erbe der Casaren (aus der Reihe ”Untergegangene Kulturen”).Time-Life Bucher, Amsterdam 1994

TiL5 Die bluhenden Stadte der Sumerer (aus der Reihe ”Untergegangene Kulturen”). Time-LifeBucher, Amsterdam 1993

TiL6 Im Europa des Mittelalters (hrsg. von D. Dersin) (aus der Reihe ”Wie sie damals lebten”).Time-Life Bucher, 1997

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