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(1)(1)

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> >

Einige Graphen spezieller FunktionenLineare Funktion: f x = a xC b. Der Graph ist eine Gerade (Linie), der Koeffizient a bei x gibt die Steigung der Geraden (den Tangens des Winkels, den die Gerade mit der x-Achse einschließt) an, der konstante Term b den Achsenabschnitt auf der y-Achse.plot 3 xC 6, x = K3 ..2 ;

xK3 K2 K1 0 1 2

K2

2

4

6

8

10

12

Quadratische Funktion f x = a x2 C b xC c mit as0. Der Graph ist eine Parabel, nach oben oder unten geöffnet, je nach dem Vorzeichen des Koeffizienten a von x2.expand xK 1 xC 2 ;

x2 C xK 2

plot x2 C xK 2, x = K3 ..2 ;

> >

xK3 K2 K1 0 1 2

K2

K1

1

2

3

4

plot Kx2 C xK 2, x = K3 ..2 ;

> >

xK3 K2 K1 0 1 2

K14

K12

K10

K8

K6

K4

Rationale Funktionen: Die Funktion f mit f x =ax

beschreibt eine umgekehrte Proportionalität; sie

hat als Graphen eine Hyperbel mit zwei Aesten

plot1x

, x = K2 ..2, y = K8 ..8, discont = true ;

> >

xK2 K1 0 1 2

y

K8

K6

K4

K2

2

4

6

8

plot1x

, K1x

, x = K2 ..2, y = K8 ..8, discont = true ;

> >

xK2 K1 0 1 2

y

K8

K6

K4

K2

2

4

6

8

Ähnlich sieht der Graph für die Funktion f mit f x =1x2

aus:

plot1x2

, x = K2 ..2, y = K8 ..8, discont = true ;

> >

xK2 K1 0 1 2

y

K8

K6

K4

K2

2

4

6

8

Hier noch eine weitere rationale Funktion:

plotxC 1x2 K 4

, x = K3 ..3, y = K8 ..8, discont = true ;

> >

xK3 K2 K1 0 1 2 3

y

K8

K6

K4

K2

2

4

6

8

Noch ein paar Beispiele fuer gerade und ungerade rationale Funktionen:

plotx3 K x

1K x2 C x4, x = K4 ..4 ;

> >

xK4 K3 K2 K1 0 1 2 3 4

K0.4

K0.2

0.2

0.4

plotx5 C x3 C 2 x

2 xK x3, x = K4 ..4, y = K20 ..20, discont = true ;

> >

xK4 K3 K2 K1 0 1 2 3 4

y

K20

K10

10

20

Die letzte Funktion ist gleichzeitig ein Beispiel fuer die Moeglichkeit, in einer rationalen Funktion einen inZaehler undNenner vorkommenden Faktor (hier den Faktor x) zu kuerzen und dadurch den Definitionsbereich zu erweitern (hier:Die Funktion kann in den Punkt x=0 fortgesetzt werden, obwohl der Nenner hier eine Nullstelle hat). Hat dagegen die Nullstelle im Nenner groessere Vielfachheit als im Zaehler, so ist die rationale Funktion an dieser Stelle nicht definiert.

plotx5 C x3 C 2 x

2 x3 K x5, x = K4 ..4, y = K20 ..20, discont = true ;

> >

xK4 K3 K2 K1 0 1 2 3 4

y

K20

K10

10

20

Die Wurzelfunktion ist nur für Argumente >=0 definiert. Wir zeichnen gleichzeitig den Graphen für die positive und den für die negative Wurzel (man beachte, dass es keine Funktion gibt, deren Graph die gesamte unten dargestellte Kurve, die aus allen Punkten wäre:

plot x12 , Kx

12 , x = 0 ..4 ;

> >

x1 2 3 4

K2

K1

0

1

2

Die Exponentialfunktion nimmt nur positive Werte an und wächst für grosse Werte des Arguments x sehr rasch: Bei Verdoppeln des Arguments wird derFunktionswert quadriert. Ihr Kehrwert fällt dementsprechend sehr rasch ab.plot 2x, x = K4 ..4 ;

> >

xK4 K3 K2 K1 0 1 2 3 4

2

4

6

8

10

12

14

16

plot 2 Kx , x = K4 ..4 ;

> >

xK4 K3 K2 K1 0 1 2 3 4

2

4

6

8

10

12

14

16

Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion; er ist nur für Argumente >0 definiert und wächst sehr langsam an.plot log2 x , x = 0.1 ..5 ;

> >

x1 2 3 4 5

K3

K2

K1

0

1

2

Die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus sind periodisch mit Periode 2 pplot sin x , cos x , x = K2 Pi ..2 Pi ;

> >

x

K2 pK

3 p2

KpKp2

0 p2

p 3 p2

2 p

K1

K0.5

0.5

1

Der Tangens ist nicht auf ganz ℝ definiert, er ist nicht definiert in den Nullstellen kC12

p des

Cosinus.Analog ist der Cotangens nicht definiert in den Nullstellen k p des Sinus.plot tan x , x = K2 Pi ..2 Pi, y = K5 ..5, discont = true ;

> >

x

K2 pK

3 p2

KpKp2

0 p2

p 3 p2

2 p

y

K4

K2

2

4

plot cot x , x = K2 Pi ..2 Pi, y = K5 ..5, discont = true ;

> >

x

K2 pK

3 p2

KpKp2

0 p2

p 3 p2

2 p

y

K4

K2

2

4

plot tan x , cot x , x = K2 Pi ..2 Pi, y = K10 ..10, discont = true ;

> >

x

K2 pK

3 p2

KpKp2

0 p2

p 3 p2

2 p

y

K10

K5

5

10

Häufig werden auch die Notationen sec x =1

cos x und csc x =

1sin x

(auch als cosec x

geschrieben) benutzt.plot csc x , x = K2 Pi ..2 Pi, y = K10 ..10, discont = true ;

> >

x

K2 pK

3 p2

KpKp2

0 p2

p 3 p2

2 p

y

K10

K5

5

10

Die Umkehrfunktion des Sinus wird mit arcsin bezeichnet, analog hat man arccos, arctan, arccot als Umkehrfunktionen für Cosinus, Tangens und Cotangens.plot arcsin x , x = K1 ..1 ;

> >

xK1 K0.5 0 0.5 1

K1.5

K1

K0.5

0.5

1

1.5

plot arctan x , x = K20 ..20 ;

> >

xK20 K10 0 10 20

K1.5

K1

K0.5

0.5

1

1.5

Wachstum von Funktionen:Der Logarithmus log x = ln x von x wächst nur sehr langsam mit x. Man vergleiche die

Logarithmusfunktion mit einer kleinen Potenz von x, etwa x14 , indem man das Verhalten des

Quotienten beider Funktionen für wachsendes x betrachtet. Anfänglich fällt der Qoutient ab, das heißt, derLogarithmus wächst zunächst stärker als die vierte Wurzel. Etwa bei x = 70 kehrt sich aber der Trend um: Der Quotient steigt wieder, das heißt, die vierte Wurzel wächst nun schneller als der Logarithmus.plot(x^(1/4)/log(x),x=2..10^3);

> >

x100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

Das gleiche Verhalten beobachtet man beim Vergleich der achten Wurzel x18 aus x mit dem

Logarithmus:plot(x^(1/8)/log(x),x=2..10^3);

> >

x100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

plot(x^(1/8)/log(x),x=2..10^12);

> >

x0 2. # 1011 4. # 1011 6. # 1011 8. # 1011 1. # 1012

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

Wir werden bald sehen: Der Logarithmus von x (zu beliebiger Basis) wächst für große x langsamer als jede Potenz von x.Dagegen wächst die Exponentialfunktion ex schneller als jede Potenz von x.plot(exp(x)/x,x=1..5);

> >

x1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

plot(exp(x)/x^5,x=1..5);

> >

x1 2 3 4 5

0.5

1

1.5

2

2.5

plot(exp(x)/x^5,x=1..12);

> >

x2 4 6 8 10 12

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

plot(exp(x)/x^5,x=1..20);

> >

x2 4 6 8 10 12 14 16 18

0

10

20

30