Gleichverteilung (Laplace)

7/28/2019 Gleichverteilung (Laplace)

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Laplace und Gleichverteilung

Aufgaben

Aufgabe 1An einem Computer, dessen Tastatur die 26 Tasten fr die kleinen Buchstaben (a,b,c . . . z) hat,

sitzt ein Nutzer (User) und tippt zufllige auf den Tasten herum. Wie gro ist die Wahrschein-lichkeit dass er das Wort passwort tippt?

Aufgabe 2Sie und ein Bekannter spielen gemeinsam ein Abwandlung des Spiels Schach. Dabei hat jederSpieler nur einen Turm als Spielfigur, und beide Spieler platzieren zeitgleich und zufllig diezwei Trme auf dem Schachbrett. Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit das sie sich schlagenknnen?

Aufgabe 3Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, da die vierstellige Zahl, die entsteht wenn die Ziffern 1,3,5und 9 in zuflliger und jeweils verschiedene Reihenfolge notiert werden, durch 3,6 und 9 teilbarist?

Aufgabe 4Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, dass die vierstellige Zahl, die entsteht wenn die Ziffern3,5,7 und 9 in zuflliger und jeweils verschiedene Reihenfolge notiert werden, durch 3,5 und 9teilbar ist?

Aufgabe 5Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, dass die fnfstellige Zahl, die entsteht wenn die Ziffern

2,3,4,5 und 6 in zuflliger und jeweils verschiedene Reihenfolge notiert werden, durch 2,3 und4 teilbar ist?

Aufgabe 6Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, dass die fnfstellige Zahl, die entsteht wenn die Ziffern0,1,2,3 und 4 in zuflliger und jeweils verschiedene Reihenfolge notiert werden, durch 4,5 und8 teilbar ist?

Aufgabe 7Um die Vergabe der Benutzernamen gerechter zu gestalten, wird nicht mehr die Nachname als

Benutzername vergeben, sondern eine siebenstellige Zahl. Die Zahl enthlt in zuflliger Rei-henfolge die Ziffern 2,3,4,5,6,7,8. Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, dass die so entstandenZahlen durch 2,3,4 und 5 teilbar sind?

Aufgabe 8Sie spielen ein bekanntes Wrfelspiel, mit fnf Wrfeln. Wie wahrscheinlich ist es, dass Siemindestens vier Sechsen gewrfelt haben? Geben Sie das Modell vollstndig an.


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Aufgabe 9Angeblich soll Chevalier de Mr im Jahre 1654 Blaise Pascal folgendes Problem gestellt haben:Stimmt die Chance, in vier Wrfen eines Wrfels eine Sechs zu werfen, mit der Chance berein,in 24 Wrfen zweier Wrfel mindestens eine Doppelsechs zu werfen?

a) Berechnen Sie die beiden Wahrscheinlichkeiten.

b) Welche ist grer?

Aufgabe 10Sie wrfeln zweimal mit einem fairen Wrfel. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt die Augen-summe 7 auf?

Aufgabe 11Anstelle mit einem Wrfel zweimal zu wrfeln, wrfeln Sie diesmal mit zwei nicht unterscheid-baren Wrfel gleichzeitig. Warum irrte sich Leibniz, als er glaubte, dass beim Werfen mit zweinicht unterscheidbare Wrfel die Augensummen 11 und 12 mit der gleichen Wahrscheinlichkeit

auftreten?

Aufgabe 12Sie wrfeln einmal mit fnf Wrfeln. Wie wahrscheinlich ist es, da Sie fnf aufeinander fol-gende Zahlen gewrfelt haben? Geben Sie das Modell vollstndig an.

Aufgabe 13Geben Sie einen geeigneten Grundraum an, und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dassbeim viermaligen Werfen eines Wrfels.

a) das Maximum der erhaltenen Augenzahlen kleiner oder gleich 4 ist,

b) das Maximum der erhaltenen Augenzahlen gleich 4 ist,

c) das Minimum der erhaltenen Augenzahlen kleiner oder gleich 4 ist.

Aufgabe 14Sie wrfeln mit vier Wrfeln. Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit vier verschiedene Augenzahlenzu erhalten?


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Lsungen

Lsung zu Aufgabe 1 = {(1,...,8)|i {1, ..., 26} , 1 i 8}A = passwort = {(16, 1, ..., 20)}

P(A) = |A|||

= 1268

Lsung zu Aufgabe 2 = {(1,...,4)|i {1, ..., 8} 1 i 8 ; (1, 2) = (3, 4)}|| = 84 82

A = { |1 = 3 2 = 4}|A| = 64 7 + 64 7 = 82 14 P(A) = 8

2148482

= 1463

= 29

Lsung zu Aufgabe 3

Anzahl der verschiedenen Reihenfolgen von 1,3,5,9 = 4!

Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Hierbetrgt die Quersumme 1 + 3 + 5 + 9 = 18 und da diese fr mglichen Zahlen gleich ist,ist jede Zahl durch 3 teilbar P(Zahl durch drei teilbar) = 1.

Damit eine Zahl durch 6 teilbar ist, muss die Zahl gerade sein und ihre Quersumme durch3 teilbar sein. Da keine der mglichen Zahlen gerade ist, ist auch keine durch 6 teilbar P(Zahl durch sechs teilbar) = 0.

Wenn die Quersumme einer Zahl durch 9 teilbar ist, ist auch diese Zahl durch 9 teilbar.Die Quersumme ist hier 18, d.h. alle Zahlen sind durch 9 teilbar P(Zahl durch neunteilbar) = 1.

Lsung zu Aufgabe 4Anzahl der verschiedenen Reihenfolgen von 3,5,7,9 = 4!

Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Hierbetrgt die Quersumme 3 + 5 + 7 + 9 = 24 und da diese fr mglichen Zahlen gleich ist, ist jedeZahl durch 3 teilbar P(Zahl durch drei teilbar) = 1.

Eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 oder eine 5 ist. Esgibt insgesamt 3! Mglichkeiten die ersten 3 Ziffern anzuordnen, daher gibt es 1 3! mglicheZahlen die durch 5 teilbar sind. P(Zahl ist durch fnf teilbar) = 13!

4!= 1

4

Da hier die Quersumme 24 nicht durch 9 teilbar ist, ist auch keine Zahl durch 9 teilbar P(Zahl durch neun teilbar) = 0.


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Lsung zu Aufgabe 5Anzahl der verschiedenen Reihenfolgen von 2,3,4,5,6 = 5!

Jede gerade Zahl ist durch 2 teilbar, d.h. jede Zahl die auf 2,4 oder 6 endet ist hier durch 2 teil-bar. Mit der letzten Ziffer fest gibt es jeweils 4! Mglichkeiten die anderen Ziffern anzuordnen. Esgibt insgesamt 3 4! Mglichkeiten fr gerade Zahlen P(Zahl durch zwei teilbar) = 34!

5!= 3

5.

Hier betrgt die Quersumme 20, d.h. die Zahl ist nicht durch 3 teilbar P(Zahl durch dreiteilbar) = 0.

Eine Zahl ist dann durch 4 teilbar, wenn die letzten zwei Ziffern durch 4 teilbar sind, hier{24, 32, 36, 52, 56, 64}. Fr die verbleibenden drei Stellen gibt es insgesamt 3! Mglichkeiten P(Zahl durch vier teilbar) = 63!

5!= 3

10.

Lsung zu Aufgabe 6Anzahl der verschiedenen Reihenfolgen von 0,1,2,3,4 = 5!

Eine Zahl ist dann durch 4 teilbar, wenn die letzten zwei Ziffern durch 4 teilbar sind, hier{04, 12, 20, 24, 32, 40} fr die verbleibenden drei Stellen gibt es insgesamt 3! Mglichkeiten P(Zahl durch vier teilbar) = 63!

5!= 3

10.

Eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 oder eine 5 ist. Es gibtinsgesamt 4! Mglichkeiten die ersten 4 Ziffern anzuordnen, daher gibt es 1 4! mgliche Zahlendie durch 5 teilbar sind. P(Zahl ist durch fnf teilbar) = 14!

5!= 1

5

Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Ziffern durch 8 teilbar sind,

hier {024, 032, 104, 120, 232, 240, 304, 312, 320, 432} fr die verbleibenden zwei Stellen gibt esinsgesamt 2! Mglichkeiten P(Zahl durch acht teilbar) = 102!5!

= 16

.

Lsung zu Aufgabe 7Anzahl der verschiedenen Reihenfolgen von 2,3,4,5,6,7,8 = 7!(a). Durch 2 teilbare Zahlen sind genau die Zahlen, die auf 2,4,6 oder 8 enden.Mit einer dieser Ziffern fest am Ende gibt es jeweils 6! Mglichkeiten die anderen Ziffern an-zuordnen. Es gibt insgesamt 4 6! Mglichkeiten fr gerade Zahlen. Jedes Ergebnis ist gleich-wahrscheinlich. P(Zahl durch zwei teilbar) = 46!

7!= 46!

76!= 4

7

(b). Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Da2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 35 nicht durch 3 teilbar ist, ist auch keine der Kombinationendurch 3 teilbar. P(Zahl durch drei teilbar) = 0(c). Eine Zwei- oder mehrstellige Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten zwei Ziffern durch 4teilbar sind.Hier {24, 28, 32, 36, 48, 52, 56, 64, 68, 72, 76, 84}Fr die restlichen Ziffern bleiben somit 5! Mglichkeiten es gibt dann insgesamt 12 5! Mglich-keiten P(Zahl durch 4 teilbar) = 125!

7!= 26!

76!= 2

7

(d) Eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 oder eine 5 ist. Esgibt insgesamt 6! Mglichkeiten die ersten 6 Ziffern anzuordnen, daher gibt es 1 6! mglicheZahlen die durch 5 teilbar sind. P(Zahl ist durch fnf teilbar) = 6!

7!= 1

7


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Lsung zu Aufgabe 8 = {(i, j, k, l, m)|1 i, j, k, l, m 6} ={(1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 2), ..., (6, 6, 6, 6, 1), (6, 6, 6, 6, 2), ..., (6, 6, 6, 6, 6)}|| = 65

A = {(6, 6, 6, 6, 1), (6, 6, 6, 6, 2), (6, 6, 6, 6, 3), (6, 6, 6, 6, 4), (6, 6, 6, 6, 5), (6, 6, 6, 6, 6)}

|A| = 6

P(A) = |A|||

= 665

= 164

Lsung zu Aufgabe 9(a1) = {1, ..., 6}4

A = in 4 Wrfen mindestens eine 6Einfacher ist hier der Weg ber das Gegenereignis:

P(A) = 1 P(A)

= 1 (5

6)4

= 6711296

0.518(a2) = {(1, 1), (1, 2), ..., (6, 6)}24

A = in 24 Wrfen mindestens eine DoppelsechsP(A) = 1 P(A)

= 1 (3536

)24

0.491

(b) Die Wahrscheinlichkeit in 4 Wrfen mindestens eine 6 zu wrfeln, ist grer als die Wahr-

scheinlichkeit mindestens eine Doppelsechs in 24 Wrfen zu bekommen.

Lsung zu Aufgabe 10 = {(i, j)} : 1 i, j 6}

= {(1, 1);(1, 2);(1, 3);(1, 4);(1, 5);(1, 6);(2, 1);(2, 2);(2, 3);(2, 4);(2, 5);(2, 6);(3, 1);(3, 2);(3, 3);(3, 4);(3, 5);(3, 6);(4, 1);(4, 2);(4, 3);(4, 4);(4, 5);(4, 6);(5, 1);(5, 2);(5, 3);(5, 4);(5, 5);(5, 6);(6, 1);(6, 2);(6, 3);(6, 4);(6, 5);(6, 6); }

|| = 36A bezeichnet das Ergebnis mit Augensumme gleich 7A = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}

P(A) = |A|||

= 636

= 16


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Lsung zu Aufgabe 11In dieser Aufgabe ist die Anzahl der unterscheidbaren Elementarergebnisse geringer als in dervorrangegangen Aufgabe.Die Ergebnismenge hat nur noch 21 Elemente.|| = 21

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)(2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,3) (3,4) (3,5) (3,6)(4,4) (4,5) (4,6)

(5,5) (5,6)(6,6)

Bei dieser Aufgabe handelt es sich nicht um ein Laplace-Modell, da z.B. die Augensummen 11und 12 nicht mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten.Nehmen wir an, einer der Wrfel sei rot, und der andere sei grn.Fr eine farbenblinde Person sind die zwei Wrfel nicht unterscheidbar.Fr eine nicht farbenblinde Person ist es wie in Aufgabe 6.

Lsung zu Aufgabe 12 = {(1, 2, 3, 4, 5)|i {1, . . . , 6} fr i = 1, . . . , 5}|| = 65

A = {(a1 < a2 < a3 < a4 < a5)|aj {1, 2, 3, 4, 5} fr j = 1, . . . , 5(a1 < a2 < a3 < a4 < a5)|ak {2, 3, 4, 5, 6} fr k = 1, . . . , 5}

|A| = 2 5!

P(A) = |A|||

= 25!65

= 5162

0.0309


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