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Letzte Vorlesung : Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung, Wahrscheinlichkeitsbegriff

Vorlesung 13.11.2006: Wahrscheinlichkeitsbegriff,

Laplace-Wahrscheinlichkeit und ihre Berechnung

kombinatorische Grundaufgaben (1)

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Zur Erinnerung:

Zufallsexperiment mathematische Beschreibung (Modellierung):

Bedingungen des Experiments

Ergebnismenge Menge aller möglichen Ausgänge

Ereignis E

Elementarereignis

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Beispiel: Knobel-Spiel:

Ereignisraum: = Menge der Experimentausgänge =

= { (Schere , Schere) , (Schere , Papier) , (Schere , Stein) , (Papier , Schere) , (Papier , Papier) , (Papier , Stein), (Stein , Schere) , (Stein , Papier) , (Stein , Stein) }

Elementarereignisse: jede einzelne mögliche Handstellungskombination (Handstellung Spieler 1 , Handstellung Spieler 2)

Ereignis (z.B.) : „Spieler 1 gewinnt“

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Eintrittschancen von Ereignissen?

n-malige Versuchswiederholung Bestimmung der relativen Eintrittshäufigkeiten

Unser Versuch: 20x27 konkrete Knobelergebnisse

Spieler 2

Spieler 1

Schere Papier Stein

Schere 101 64 56

Papier 64 63 41

Stein 53 50 48

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1. Die Eintrittshäufigkeiten der Elementarereignisse schwanken in unserer Versuchsserie sehr stark! (Verhältnismäßig kurze Versuchsserie.)

2. Relative Eintrittshäufigkeit für Ereignis E:

h540(E) =

3. Relative Eintrittshäufigkeit für Ereignis F = „ Spieler 2 gewinnt“:

h128(F) =

Unsere Serie von 540 Versuchswiederholungen spricht dafür, dass das Spiel fair ist!

64 41 53 1580,2926

540 540

56 64 50 1700,3148

540 540

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Aussage zu den Eintrittschancen von Ereignissen, ohne Häufigkeiten heranziehen zu müssen?

- Empirisches Gesetz der großen Zahlen

- Allgemeiner Ansatz, der den Anteil des interes- sierenden Ereignisses an der Ergebnismenge berücksichtigt:

Laplace-Wahrscheinlichkeit

3

1

9

3

Knobelbeispiel:

P(E1) = P(E2) =

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Beispiel:

Versuchsbedingungen:2 gleichlange Seile werden jeweils in der Mitte zusammengefaltet.

Diese Faltstellen werden beide gleichzeitig in die Hand genommen und die Faust geschlossen, so dass die Faltenden nicht mehr zu sehen sind.

Versuchsdurchführung:Die Aufgabe besteht darin, je zwei der herunterhängenden Seilenden willkürlich zusammenzubinden.

Interessierendes Ereignis:Nach dem Öffnen der Faust stellt sich heraus, dass durch das Zusammen-binden ein einziger „Ring“ entstanden ist.

Frage: Handelt es sich bei diesem Versuch um ein Laplace-Experiment? Wie groß ist die Eintrittschance für das uns interessierende Ereignis?

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Zufallsexperiment: Bedingungen: 2 gleichlange Seile,

falten und in die Faust nehmen

Experiment: willkürliches Zusammenbinden von je 2 der herunterhängenden Enden

Elementarereignisse:

Die 4 Seilenden E1, E2, E3, E4 paarweise verbunden.

Schreibweise??

9

Wir benennen die Seilenden:

Seil 1 mit den Enden E1 und E2, Seil 2 mit den enden E3 und E4.

Möglichkeiten für das paarweise Zusammenbinden der 4 Enden:

3 mögliche Versuchsausgänge:E1 wird der Reihe nach mit jedem der 3 anderen Enden verbunden.

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Mögliche Schreibweisen:

Oder: Elementarereignisse (E1 E2 ; E3 E4) (E1 E3 ; E2 E4)

(E1 E4 ; E2 E3)

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Jedes der 3 möglichen Elementarereignisse hat die gleiche Eintrittschance:

E1 wird willkürlich mit E2 oder E3 oder E4 verknotet.Die restliche Verknotung folgt dann zwingend.

Laplace-Experiment mit = 3

P(Elementarereignis)= 31

Achtung: Die Benennung der Knotenenden ist völlig willkürlich. Es gibt also genau 3 verschiedene Verknotungsmöglichkeiten.

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Uns interessierendes Ereignis E:

„Beim Zusammenbinden ist ein Ring entstanden.“

Günstige Versuchsausgänge für E = Elementarereignisse, die zur Menge E gehören = {(E1E3 ; E2E4) , (E1E4 ; E2E3) }

Mit der willkürlichen Wahl des 2. Knotens ist der weitere Verlauf des Experi-ments eindeutig bestimmt!

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Berechnung der Laplace-Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E

E = „ Ein Ring entsteht.“

Günstige Ausgänge: (E1E3 ; E2E4) und (E1E4 ; E2E3)

= Anzahl der Elemente von E = 2

Laplace-Wahrscheinlichkeit von E:

E

3

2)( EP

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Laplace-Experiment

Berechnung der Anzahl der Elementarereignisse (= ) notwendig,

Berechnung der Elementeanzahl von Ereignissen notwendig.

Hilfsmittel zur Anzahlsberechnung: Kombinatorik

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Grundproblem der Kombinatorik:

Bestimmen der Anzahl der Möglichkeiten, in den vorgegebene Objekte unter bestimmten Bedingungen zusammengestellt werden können.

Unterschiedliche Bedingungen (Forderungen) unterschiedliche Regeln zur Anzahlbestimmung

Das Zahlenbuch, Mathematik im 4. Schuljahr, Klett Verlag 2001, S.21, im Abschnitt Zahlenkombinationen:Gibt es noch andere Möglichkeiten, wie sich die 3 Kinder auf die Schaukeln setzen können?

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Hat unser Stochastik-Kurs unmittelbare Bezugspunkte zum Mathematikunterricht in der Grundschule?

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Bildungsstandards Lehrplan

Allgemeine mathematische KompetenzenProblemlösen •Kommunizieren •Argumentieren •Modellieren •Darstellen

Prozessbezogene Kompetenzen

•Problemlösen

•Kommunizieren und Argumentieren •Modellieren (Darstellen wurde integriert)

Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen

•Zahlen und Operationen •Raum und Form •Muster und Strukturen •Größen und Messen •Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Inhaltsbezogene Kompetenzen

•Zahlen und Operationen •Raum und Form(Muster und Strukturen wurde integriert) •Größen und Messen •Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Aufgaben des Faches Mathematik im Unterricht der Grundschule

Die Beschreibung der Anforderungen erfolgt durch die niveaubestim-menden Aufgaben.

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Die Bildungsstandards und der Lehrplan in Sachsen-Anhalt wurden auf der Grundlage des gleichen Kompetenzmodells entwickelt.

Im Lehrplan sind Anforderungen aus den Bildungsstandards teilweise zusammengefasst bzw. Bereiche integriert ausgewiesen.

So werden z. B. im Grundschulunterricht nur anzubahnende inhaltsbezogene Kompetenzen

wie das Umgehen mit elementaren funktionalen Beziehungen,

das Erkennen und Fortsetzen von Zahlenfolgen und Mustern

sowie das Lösen einfacher kombinatorischer Aufgaben

in den jeweils geeigneten Bereichen benannt.

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Aufgabe Nr. 3 aus dem Abschnitt 2.4.2 Jahrmarkt (Schuljahrgang 4)

Niveaubestimmende Aufgaben für die Grundschule Sachsen-Anhalt 2006

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Wie würden Sie diese Aufgabe lösen?

Entwickeln Sie ein Baumdiagramm, das beim Lösen der Aufgabe helfen könnte.

Kind ganz vorne Annalena

2. Kind in der Reihe Carolin Katja Sina

3. Kind in der Reihe K S C S C K

Kind ganz hinten S K S C K C

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Wenn Annalena ganz vorne in der Reihe steht, gibt es also

6 (= 3 x 2) Möglichkeiten für die 4 Kinder, eine Reihe zu bilden.

Wenn Annalena irgendwo in der 4-er-Reihe stehen darf, gibt es …

Kind ganz vorne:

2. Kind in der Reihe

3. Kind in der Reihe

Kind ganz hinten

24 (= 4 x 3 x 2 x 1) Möglichkeiten

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Grundaufgabe: Bestimmen der Anzahlen von Möglichkeiten

Beispiel:

SPIEGEL ONLINE17. November 2005, 17:56 

Wortspiel

Wer nichts zu sagen hat, kann sich immer noch mit Blabla zu Wort melden - jetzt auch in schriftlicher Form. Mit der Schreibmaschine des Berliner Karikaturisten Willy Moese ist es ganz leicht, vielsagend nichts zu äußern. Das Wortspiel wird ab heute im Bonner Haus der Geschichte ausgestellt.

Wie viel verschiedene Worte aus 3 Buchstaben kann man mit dieser Schreibmaschine überhaupt schreiben?

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Analyse der gestellten Aufgabe:

Wir wollen ein Wort der Länge 3 schreiben.

Dafür stehen die 3 verschiedenen Buchstaben a, b und l zur Verfügung.

Schreiben eines Wortes der Länge n : Aus unserem Buchstabenreservoir { a , b, l } wird n-mal hintereinander jeweils 1 Buchstabe ausgewählt.

Hier: 3 Einzelentscheidungen sind nacheinander zu treffen.

Frage: Wie viele verschiedene Worte der Länge 3 kann man schreiben?

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Unser Buchstaben-Beispiel: Wie viele verschiedene Worte von 3 Buchstaben Länge können aus dem Buchstaben-Fundus {a,b,l} gebildet werden?

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Produktregel zur Erzeugung von „Worten“ der Länge m:

Es sind m unabhängige Einzelentscheidungen zu treffen.

Für die i-te Einzelentscheidung steht eine Menge von n i Entscheidungsmöglichkeiten zur Verfügung (i=1,…,m).

Dann gibt es verschiedene Möglichkeiten, eine Serie von m Einzelentscheidungen zu treffen.

Beweis: m-stufiger Entscheidungsprozess Veranschaulichung durch einen Entscheidungs- baum1. Entscheidung: n1 Möglichkeiten,2. Entscheidung: für jede der n1 ersten Entscheidungen gibt es nun n2 Möglichkeiten für die zweite Entschei- dung Möglichkeiten

Vollständige Induktion!

mnnn ...21

21 nn

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Produktregel:Für jede natürliche Zahl m gilt:

Stehen für die i-te Entscheidungsmöglichkeit ni Objekte zur Verfügung (für i=1,2,…,m) , so gibt es Möglichkeiten, daraus Objektserien der Länge m zu bilden.

Induktionsanfang: für m=1 ist die Aussage richtig: es gibt n1 verschiedene Möglichkeiten;

Induktionsschluss: Ind.-Voraussetzung: die Aussage ist für m=k richtig; Ind.-Behauptung: die Aussage ist dann auch für m=k+1 richtig:

Ind.-Beweis: für k gibt es Möglichkeiten; kommt eine weitere Entscheidung dazu, erhöht sich die Gesamtanzahl der Möglichkeiten auf das nk+1-Fache.

Insgesamt gibt es nun Möglichkeiten.

Die Ind.-Behauptung ist also richtig und der Satz für jedes natürliche m bewiesen.

1 2 mn n ... n

1 2 kn n ... n

Für jede der bisherigen Möglichkeiten nun nk+1 neue Möglichkeiten fortzusetzen.

1 2 k k+1n n ... n n

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Buchstaben-Beispiel:

Für {a,b,l}-Worte der Länge 3:

Insgesamt lassen sich (=27) verschiedene Worte bilden.

Für {a,b,l}-Worte der Länge 6:

Insgesamt lassen sich (=729) verschiedene Worte bilden.

Für {a,b,l}-Worte der Länge m: Insgesamt lassen sich verschiedene Worte bilden.

33 3 3 3

63333333

m3

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Grundaufgaben der Kombinatorik:

1. Permutationen

m verschiedene Objekte sollen zu „Ketten“ der Länge m angeordnet werden.

verschiedene Anordnungs- möglichkeiten

Beispiel: {a,b,l}-Worte der Länge 3, in denen keine Buchstabenwiederholungen zugelassen sind

abl alb bal bla lab lba

Für die Wahl des ersten Buchstaben gibt es 3 Möglichkeiten, für die Wahl des 2.Buchstaben nur noch 2 Möglichkeiten, für die Wahl des 3. Buchstaben nur noch 1 Möglichkeit.

verschiedene 3-Buchstaben-Worte ohne Buchstabenwiederholungen zu bilden

m (m 1) ... 1( m!)

)123(!3

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1. Buchstabe a b l

2. Buchstabe b l a l a b

3. Buchstabe l b l a b a

3

mal

2

mal

1

3 x 2 x 1 verschiedene mögliche „Worte“.

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Nussknacker Klasse 1, S. 87, im Abschnitt Räumliche Beziehungen: Es gibt jeweils verschiedene Möglichkeiten, die Steckwürfel oder Stäbe anzuordnen. Findet diese Möglichkeiten heraus.

Fragen nach der Anzahl von Möglichkeiten spielen im Mathematikunterricht der Grundschule eine wichtige Rolle.

Was ist für die Anordnung der Stäbchen wirklich wichtig?

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Die Nussknacker-Aufgaben in der Sprache der Kombinatorik:

Steckwürfel:Unterer, mittlerer, oberer Steckwürfel Wir legen eine Anordnung fest und ordnen unsere 3 Würfel zu einer 3-er -„Kette“ an

•Für die Farbe des unteren Würfels gibt es 3 Möglichkeiten,

•Für die Farbe des mittleren Würfels gibt es dann noch 2 Möglichkeiten.

•Für die Farbe des obersten Würfels bleibt nur noch eine Farbe übrig.

Also (Produktregel!): Möglichkeiten6!3123

Anzahl der Permutationen von 3 Elementen

Oberer Würfel

Mittlerer Würfel

Unterer Würfel

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Die Stäbchen-Aufgabe führt ebenso auf die Permutationen von 3 Objekten:

linkes Stäbchen – rechtes Stäbchen – unteres Stäbchen

oder:

Stäbchen auf Platz 1 – Stäbchen auf Platz 2 – Stäbchen auf Platz 3

oder:

. . .

und nun Zuordnen der Farben zu dieser Stäbchen-Abfolge.

Anordnung aller gegebenen Objekte zu einer Kette

3! Möglichkeiten

Platz 1Platz 2

Platz 3

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2. Variationen ohne Wiederholung

aus m verschienen Objekten sollen k Objekte ausgewählt und der Reihe nach zu einer „Kette“ der Länge k aufgereiht werden, Objektwiederholungen sind dabei unzulässig.

Produktregel (Entscheidungsbaum!): verschiene Möglichkeiten

Beispiel: {a,b,l}-Worte der Länge 2 sollen gebildet werden, in denen keine Buchstabenwiederholungen zuge- lassen sind.

ab al ba bl la lb

Wortmöglichkeiten

m (m 1) ... (m k 1)

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Länge 2 : Es werden also nicht alle Buchstaben aus dem Buchstaben-Fundus ausgeschöpft!

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Entscheidungsbaum:

Für die 2. Entscheidung reduziert sich der zulässige Buchstaben-Fundus jeweils um einen Buchstaben.

Es gibt zulässige Worte.)623)(13(3

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3. Variationen mit Wiederholung:

aus m verschienen Objekten sollen k Objekte ausgewählt und der Reihe nach zu einer „Kette“ der Länge k aufgereiht werden,Objektwiederholungen sind dabei zulässig. Produktregel (Entscheidungsbaum!):

verschiene Möglichkeiten

Beispiel: {a,b,l}-Worte der Länge 2 sollen gebildet werden, in denen Buchstabenwiederholungen zugelassen sind.

aa ab al ba bb bl la lb ll Wortmöglichkeiten

km ... m m

9333 2

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Entscheidungsbaum:

Für die zweite Entscheidung steht derselbe Buchstaben-Fundus zur Verfügung wie für die erste Ent-scheidung!

Worte sind bildbar.

33

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Das Zahlenbuch, Mathematik im 4. Schuljahr, S. 5, im Abschnitt Schriftliche Addition und Subtraktion:

Wie viele verschiedene Beispiel-Zahlenpaare lassen sich für diese interessante Zahleneigenschaft finden?

Wähle aus den zehn Ziffern 0 , 1 , … , 9 drei Ziffern aus und bilde daraus eine dreistellige Zahl.

Variation mit Wiederholung ? Aus 10 Objekten sollen 3 ausgewählt und zu einer Kette angeordnet werden; Mehrfach-Auswahl ist erlaubt.

Es gibt 103 Möglichkeiten.

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Achtung: Die Forderung „dreistellige Zahl“ bedeutet, dass an der Hunderterposition keine Null stehen darf.

Es handelt sich nicht um eine Variation mit Wieder-holung!

Die Idee des Entschei-dungsbaumes hilft aber trotzdem.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Beispielzahlen zu bilden.

10109

Die Anordnung der ausgewähl-ten Ziffern ist wesentlich!

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Außerdem:

Bei der Ziffernauswahl darf nicht 3x dieselbe Zahl gewählt werden.

Von den Möglichkeiten der Ziffernauswahl sind noch 9 „nicht erlaubte Fälle“ abzuziehen

es verbleiben Möglichkeiten.

10109

910109

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Charakteristische Eigenschaft der im Vorangegangenen betrachteten Probleme:

Für die Bildung der Entscheidungsfamilien war die Reihenfolge wesentlich: mehrstufige Entscheidungsprozesse, Entscheidungsketten, Entscheidungsabfolgen

Die festgelegte Reihenfolge machte eine Veranschaulichung durch einen Entscheidungsbaum möglich:

2. Entscheidungsstufe1. Entscheidungsstufe 3. Entscheidungsstufe . . .

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Neue Problemstellung:

aus m verschienen Objekten sollen k Objekte ausgewählt (zusammengestellt) werden.

Dabei spielt die Reihenfolge der einzelnen Objekte in der Zusammenstellung keine Rolle.

Kombinationen

(Objektwiederholungen können dabei zulässig oder auch nicht zulässig sein. 2 verschiedene Unterfälle.)

Das wir Gegenstand der nächsten Verlesung sein.

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Wichtige Begriffe der heutigen Vorlesung:

Laplace-Experiment: Benennung der Elementarereignisse Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten

Kombinatorik: Grundproblem Anzahlsberechnungen

Entscheidungsbaum als wichtiges Hilfsmittel!

Permutationen

Variationen ohne Wiederholung

Variationen mit Wiederholung

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Zum kommenden Montag zu lösende Übungsaufgaben:

Aufgabe Nr. 20 aus dem Skript

sowie die Aufgaben Nr. 1 und 2 aus dem Abschnitt 2.4.2 der Niveaubestimmenden Aufgaben Sachsen-Anhalt

Was ist wichtig an der Aufgabe Nr. 20:

a) Systematisch alle möglichen Feldauslegungen ausprobieren und erfassen;Tipp: Tangram-Spiel nachbauen und ausprobieren!

eine geeignete Darstellungsweise (=Schreibweise) für die verschiedenen Feldauslegungen (=Elementarereignisse unseres Versuchs „Tangram-Feld

auslegen“) finden Die Elemente von ausschreiben.

b) Wahrscheinlichkeitsberechnung für das Ereignis „genau 1 Stein waagerecht“. (Passt das Laplace-Modell? Begründen!)

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Was ist wichtig an diesen beiden Aufgaben?

Welche Anforderungen werden an Grundschulkinder im Umgang mit Zufall und Wahrscheinlichkeit gestellt?

Was muss vermittelt werden, damit die Kinder die Aufgaben lösen können?

Ihre Aufgabe:

Lösen Sie die beiden Aufgaben.

Überlegen Sie: Würden die Kinder genauso wie Sie an die Lösung herangehen?Gibt es verschiedene Möglichkeiten, die Aufgaben zu lösen?

Die Aufgabenblätter liegen auf dem Flügel zum Abholen bereit!