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Illustrierende Aufgaben zum LehrplanPLUS Gymnasium, Mathematik, Jahrgangsstufe 6 Stand: April 2019

Der Flächeninhalt eines Dreiecks

Jgst. 6

Fach Mathematik

Zeitrahmen Die Module sind grundsätzlich unabhängig voneinander verwendbar, in den Modulen 2, 3 und 4 wird jedoch die in Modul 1 erarbeitete Formel 1

2A g h= ⋅ ⋅ als bekannt vorausgesetzt (vgl. Hinweise, S. 8).

♦ Modul 1: ca. 20 Minuten (+ anschl. kurze Ergebnissicherung im Plenum) ♦ Modul 2: ca. 30 Minuten ♦ Modul 3: ca. 30 Minuten ♦ Modul 4: ca. 25 Minuten

Benötigtes Material / benötigte Medien

♦ Kopien für die einzelnen Module (Empfehlung):

Modul Aufgabenstellung Lösung Merkblatt

1 Projektion der Aufgabenstellung

oder je Schüler/in eine Aufgabenstellung

(DIN A4 oder DIN A5)

ca. 5 Kopien zum Auslegen

Für diese drei Module

insgesamt ein Klassen-

satz (DIN

A4)

2 Klassensatz in Originalgröße (DIN A4) ca. 5 Kopien zum Auslegen

3 Projektion der Aufgabenstellung

oder je 2er-Gruppe eine Aufgabenstellung

(DIN A4 oder DIN A5)

ca. 5 Kopien zum Auslegen

4 Klassensatz (auch verkleinerte Kopie möglich)

ca. 5 Kopien zum Auslegen ---

♦ zusätzlich für Modul 1: pro Schüler/in ein (evtl. farbiges) DIN-A6-Blatt so-wie ausreichend Scheren und Klebstoff

♦ zusätzlich für Modul 3 (Arbeiten mit GeoGebra): pro zwei Schüler/innen ein Computer, auf dem das Programm GeoGebra installiert ist, sowie die GeoGebra-Dateien „Modul-3-Aufgabe-1.ggb“ und „Modul-3-Aufgabe-2.ggb“

M6 2.1 Flächeninhalt Die Schülerinnen und Schüler… ♦ erklären anhand von Beispielen, wie man, ausgehend von der Formel zur Berechnung des

Flächeninhalts eines Rechtecks, unter Verwendung des Prinzips des Zerlegens und Ergän-zens von Flächen die Formel[…] zur Berechnung de[s] Flächeninhalt[s] von […] Dreiecken […] herleiten kann.

♦ wenden die Formeln zur Berechnung der Flächeninhalte von Parallelogrammen [und] Drei-ecken […] flexibel an und identifizieren die für die Berechnung relevanten Strecken situati-onsgerecht. […]

Kompetenzerwartungen


Aufgabe

Modul 1: Wie bestimmt man den Flächeninhalt eines Dreiecks? Benötigtes Material: (farbiges) DIN-A6-Blatt, Schere und Klebstoff, Geodreieck und Stifte

Ihr kennt bereits die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts von Parallelogrammen. In die-sem Modul sollt ihr euch eine Formel für den Flächeninhalt eines beliebigen Dreiecks erarbeiten.

1 a) Stelle aus deinem DIN-A-6-Blatt gemäß der Anleitung zwei identische Dreiecke her:

b) Nimm eines der beiden Dreiecke. Beschrifte eine seiner drei Seiten mit g (für „Grundlinie“ oder „Grundseite“). Zeichne dann das Lot von der gegenüberliegenden Ecke auf diese Grundseite ein und beschrifte es mit h. Dieses Lot nennt man die Höhe zu g.

c) Lege deine beiden Dreiecke so aneinander, dass ein Parallelogramm entsteht. Dabei soll die auf dem einen Dreieck eingezeichnete Grundlinie g auch eine Grundlinie des Paralle-logramms sein.

d) Bestimme mithilfe des Parallelogramms eine Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks. Verwende dabei g und h.

2 Vergleiche dein Ergebnis mit dem deines Partners: Habt ihr dieselbe Formel für den Flächen-inhalt eines Dreiecks gefunden? (Bei Bedarf: Vergleicht mit dem ausliegenden Lösungsblatt.)

3 a) Klebe das aus deinen beiden Dreiecken entstandene Parallelogramm in das entsprechen-de Feld auf dem Merkblatt ein. Übertrage die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks ebenfalls auf das Merkblatt.

b) Löse mithilfe der neuen Formel die folgende Aufgabe in deinem Heft: Die Grundlinie g eines Dreiecks ist 18,5 cm lang, die zu g gehörende Dreieckshöhe h ist

30 cm lang. Berechne den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

Faltkante

Faltkante

unten offen

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Modul 2: Drei Höhen – eine Formel!

1 Jedes Dreieck hat drei Höhen – zu jeder Seite eine. Im abgebildeten Dreieck ist bereits die Höhe hc zur Seite c eingezeichnet.

a) Zeichne auch zu den Seiten a und b die Höhen ein. Beschrifte sie mit ha bzw. hb und markiere jede Seite und die zugehörige Höhe in einer Farbe.

In einem Mathematikbuch steht: „Zur Berechnung des Flächeninhalts kann man jede Dreiecksseite als Grundseite wählen. Man muss dann nur darauf achten, dass man in der Formel die zu dieser Grundseite gehörende Höhe verwendet.“

b) Paul misst die Längen von c und hc und berechnet den Flächeninhalt A des Dreiecks:

2c

1 12 2A c h 8,6cm 8,4cm 36cm= ⋅ ⋅ ≈ ⋅ ⋅ ≈

Bestätige Pauls Ergebnis, indem du den Flächeninhalt noch einmal berechnest, und zwar mithilfe einer anderen Dreiecksseite und der zugehörigen Höhe. Miss die dazu benötigten Längen möglichst genau.

2 Vergleiche deine Ergebnisse mit deinem Partner. Ergänzt anschließend auf eurem Merkblatt die Höhen ha und hb in den passenden Dreiecken. Notiert unter jedem Dreieck die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks in der jeweils passenden Form.

3 a) Von einem Dreieck ABC ist bekannt: a cc 0,60m, h 5,9dm, h 35cm, b 64cm= = = = . Berechnet seinen Flächeninhalt.

b) Gegeben sind die Punkte P(3 | 3), Q(–2 | 5) und R(–2 | –1). Zeichnet das Dreieck PQR in ein Koordinatensystem ein und berechnet ohne zu messen seinen Flächeninhalt.

4 (für Schnelle und Experten) Bauer Huber hat auf einem dreieckigen

Feld (vgl. Luftbild im Maßstab 1 : 2000) Getreide angebaut. Berechne, wie viele Tonnen Getreide er in etwa ernten kann, wenn du im Durchschnitt von 900 g Getreidekörnern pro m² ausgehst.

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Modul 3: Höhen im Dreieck – Spezialfälle

1 In der Bilderserie „wandert“ der Punkt C nach links.

Ihr könnt erkennen, • dass es Dreiecke gibt, in denen zwei Höhen auch gleichzeitig Dreiecksseiten sind; • dass es Dreiecke gibt, in denen zwei Höhen außerhalb des Dreiecks liegen. In diesem

Fall ist die Höhe das Lot vom Eckpunkt auf die Verlängerung der gegenüberliegenden Grundlinie.

a) Öffnet die GeoGebra-Datei „Modul-3-Aufgabe-1.ggb“. Verschiebt einen Eckpunkt des dort abgebildeten Dreiecks so, dass

i) zwei Höhen gleichzeitig auch Dreiecksseiten sind. ii) zwei Höhen außerhalb des Dreiecks liegen.

Stellt eine Vermutung an, wann das jeweils der Fall ist. (Tipp: Innenwinkel des Dreiecks)

b) Ergänzt auf dem Merkblatt die entsprechenden Lücken unter „Modul 3“.

2 Mit der Formel 12A g h= ⋅ ⋅ habt ihr bisher nur den Flächeninhalt von Dreiecken bestimmt, bei

denen die zur Grundlinie g gehörende Höhe h innerhalb des Dreiecks liegt. Im Folgenden könnt ihr anschaulich zeigen, dass die Formel auch dann angewendet werden kann, wenn nicht alle Höhen im Inneren des Dreiecks verlaufen.

Öffnet dazu die GeoGebra-Datei „Modul-3-Aufgabe-2.ggb“ und verschiebt einen oder mehrere Eckpunkte des Dreiecks ABC so, dass die Höhe hc außerhalb des Dreiecks liegt.

a) Aktiviert nun das Kontrollkästchen „Parallelogramm anzeigen“ und erläutert, wie das Paral-lelogramm geometrisch aus dem Dreieck ABC entsteht. Gebt an, welcher Zusammenhang zwischen dem Flächeninhalt des Dreiecks ABC und dem des Parallelogramms besteht.

b) Verschiebt mithilfe des Schiebereglers die Höhe hP des Parallelogramms. Begründet, dass auch im Dreieck ABC, in dem hc außerhalb des Dreiecks liegt, die Formel c

12A c h= ⋅ ⋅ gilt.

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Modul 4: Die Formel flexibel verwenden

Bei vielen Aufgaben zum Thema „Flächeninhalt von Dreiecken“ ist der Flächeninhalt gegeben und eine andere Größe gesucht – dann gilt es, flexibel mit der Formel umgehen zu können:

1 Bernd hat gerade eine solche Aufgabe an der Tafel gelöst:

Claudia hat den Lösungsweg noch nicht ganz verstanden und fragt Bernd noch einmal da-nach. Vervollständigt die Lücken:

Claudia: „Kannst du mir noch einmal erklären, was du zu Beginn deiner Lösung machst?“

Bernd: „Klar! Zuerst nehme ich die Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks und

_________________________________________________ ein. Anschließend

_____________________ ich den Term so weit wie möglich. Da ich weiß, dass

ΔA 7,5cm²= ist, erhalte ich die Gleichung c7,5cm² 2,5cm h= ⋅ .

Claudia: „Ah, jetzt verstehe ich das! Und wie löst du dann diese Gleichung?“

Bernd: „Erinnerst du dich daran, wie wir solche einfachen Gleichungen in der 5. Klasse

gelöst haben? Da haben wir die _________________aufgabe gebildet. In die-

sem Fall ist das eben 7,5cm² : 2,5cm .“

Rückseite beachten!

Geg: AΔ = 7,5 cm², c = 5 cm Ges: hc

Lös: c c cA = c h = 5cm h = 2,5cm h1 12 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅Δ

c7,5cm² 2,5cm h= ⋅

ch = 7,5cm² : 2,5cm = 3cm

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2 Berechnet die fehlenden Größen.

Länge einer Seite Länge der zugehöri-gen Höhe

Flächeninhalt des Dreiecks

Dreieck 1 a 8m= ah 62dm=

Dreieck 2 b 12,5cm= 2A 100cm=

Dreieck 3 ch 2,5dm= 2A 162,5cm=

3 (für Schnelle und Experten) Berechne die fehlenden Größen des Dreiecks PQR!

P q r hp hr A U

45 mm 8,5 cm 36 mm 18 cm

4 (für Schnelle und Experten) Im Dreieck ABC (Vorsicht: die Zeichnung ist

nicht maßstabsgetreu!) gilt: c 7,2cm= , b 13,5cm= und bh 4cm= .

a) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

b) Zeichne die Höhe hc ein und berechne ihre Länge mithilfe des in Teilaufgabe a be-stimmten Flächeninhalts.

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ΔA =

A = A = A =

Arbeitsblatt zur Ergebnissicherung

Merkblatt: Der Flächeninhalt eines Dreiecks zu Modul 1:

Für den Flächeninhalt A∆ eines Dreiecks mit der Grundseite g und der zugehörigen Höhe h gilt:

zu Modul 2:

In einem Dreieck mit den Seiten a, b und c gilt für den Flächeninhalt A:

zu Modul 3:

bzw. bzw.

In manchen Dreiecken liegen nicht alle Höhen innerhalb des Dreiecks:

• Hat das Dreieck einen ________ Winkel, dann sind zwei Dreiecksseiten zugleich Höhen.

• Hat das Dreieck einen Winkel, der ______________________________________, dann liegen zwei Höhen außerhalb des Dreiecks.

Klebe hier das aus deinen Dreiecken entstandene Parallelogramm ein…

b

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Hinweise

Prozessbezogene Kompetenzen Folgende allgemeine mathematische Kompetenzen werden im Rahmen der Aufgabenbear-beitung besonders gefördert: K1, K2, K3, K4, K5, K6

Ziel Flächeninhaltsformel für Dreiecke: Erarbeitung, Analyse, Anwendung und Vertiefung

Inhaltliche Voraussetzungen Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms

Didaktische und methodische Hinweise ♦ Da im Modul 2 Streckenlängen gemessen werden sollen, muss darauf geachtet werden,

dass der Ausdruck des entsprechenden Arbeitsblatts in Originalgröße erfolgt. ♦ Die Module 1 bis 4 behandeln unterschiedliche Fragestellungen im Zusammenhang mit

dem Flächeninhalt eines Dreiecks und können unabhängig voneinander verwendet wer-den. In den Modulen 2 – 4 wird allerdings die in Modul 1 erarbeitete Formel für den Flä-cheninhalt eines Dreiecks als bekannt vorausgesetzt. Werden nicht alle Module im Unterricht verwendet, sollte das Merkblatt „Der Flächeninhalt des Dreiecks“ entsprechend angepasst werden.

♦ In den Modulen 2 und 4 bieten Aufgaben „für Schnelle und Experten“ Möglichkeiten zur Binnendifferenzierung.

♦ Die Lösungshinweise können im Klassenzimmer ausgelegt werden, sodass die Schülerin-nen und Schüler ihre Lösungen selbständig kontrollieren können.

♦ Das Merkblatt sollte am Ende im Plenum kurz besprochen werden.

Methode Lernaufgabe, die in Einzel- und Partnerarbeit bearbeitet wird (Symbole bzw. ).

Informationen zum Konzept „Lernaufgaben im Mathematikunterricht des Gymnasiums“ sind unter www.LehrplanPLUS.bayern.de Gymnasium Fachprofile Mathematik 2.4 Förderung von Kompetenzen im Unterricht Erläuterungen abrufbar (direkter Link).

Material zur Aufgabe

In der ergänzend zum Download angebotenen Zip-Datei befindet sich eine editierbare Versi-on der Aufgabe (Doc-Datei) sowie die für Modul 3 benötigten GeoGebra-Dateien.

Quellen- und Literaturangaben

♦ Luftbild des Dreiecksfeldes: www.geoportal.bayern.de (Zugriff am 29.04.2017) ♦ https://www.bayerischerbauernverband.de/pd32-33-getreideernte (Zugriff am 02.07.2017) ♦ Bild „Bernd und Claudia“ aus der Bilddatenbank des Niedersächsischen Bildungsservers:

http://www.nibis.de/nibis.php?menid=5129 (Zugriff am 06.07.2017) ♦ Verkehrsschild „Achtung“, lizenziert unter CC0 über https://pixabay.com/de/verkehrsschild-

verkehrszeichen-6602/ (Zugriff am 03.07.2017)

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http://www.lehrplanplus.bayern.de/

http://www.lehrplanplus.bayern.de/zusatzinformationen/erlaeuterung/146319

http://www.nibis.de/nibis.php?menid=5129

https://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/deed.de


Lösungshinweise (z. B. zur individuellen Ergebniskontrolle / zum Auslegen)

Modul 1 – Lösungshinweise

Aufgaben 1, 2, 3a und Merkblatt

Aufgabe 3b

21 12 2A g h 18,5cm 30cm 277,5cm= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

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Aufgabe 1a Aufgabe 1b

b

2

1212

A b h

10cm 7,2cm

36cm

= ⋅ ⋅

≈ ⋅ ⋅

=

oder

a

2

1212

A a h

9cm 8cm

36cm

= ⋅ ⋅

≈ ⋅ ⋅

=

Aufgabe 2 und Merkblatt

Aufgabe 3a

c

2

1 12 212

A c h 0,6m 35cm

60cm 35cm 1050cm

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ =

Aufgabe 3b

Anhand der Zeichnung erkennt man:

p1 12 2A p h 6 5 15 [FE]= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Aufgabe 4 (für Schnelle und Experten)

Messen liefert:

In der Wirklichkeit gilt somit:

Wh 4 2000cm 8000cm 80m≈ ⋅ = =

Wg 9 2000cm 18000cm 180m≈ ⋅ = =

Flächeninhalt A des Feldes: 21

2A 80m 180m 7200m≈ ⋅ ⋅ =

Ernte: etwa 7200 900g 6 480000g 6,5 t⋅ = ≈ Getreide

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Aufgabe 1 und Merblatt

Aufgabe 2

a) Erläuterung: Der Punkt B wurde am Mittelpunkt der Seite b gespiegelt, wodurch das Parallelogramm ABCB' entsteht.

oder Das Dreieck ABC wurde mit einem identischen Dreieck ACB' zum Parallelogramm ABCB' ergänzt.

Angabe: Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC ist halb so groß wie der Flächeninhalt des Paralle-logramms.

b) Da hP = hc ist, gilt: Dreieck Parallelogramm P c1 1 12 2 2A A c h c h= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅


Aufgabe 1

„setze die Werte der gegebenen Größen“… „vereinfache“… „Umkehr“

Aufgabe 2

Dreieck 1, Flächeninhalt des Dreiecks: 12 8m 6,2m 24,8m²⋅ ⋅ =

Dreieck 2, Länge der zugehörigen Höhe: 1

b b22

b

b

A 12,5cm h 6,25cm h

100cm 6,25cm hh 100cm² : 6,25cm 16cm

= ⋅ ⋅ = ⋅

= ⋅

= =

Dreieck 3, Länge einer Seite: 12A c 25cm 12,5cm c

162,5cm² 12,5cm cc 162,5cm² :12,5cm 13cm

= ⋅ ⋅ = ⋅

= ⋅= =


r U p q 18cm 4,5cm 8,5cm 5cm= − − = − − =

r1 12 2A r h 5cm 3,6cm 9cm²= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

hp: p p p1 12 2A p h 4,5cm h 2,25cm h= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

p

p

9cm² 2,25cm h

h 9cm² : 2,25cm 4cm

= ⋅

⇒ = =


A: Flächeninhalt des Dreiecks ABC

a) b1 12 2A b h 13,5cm 4cm 27cm²= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

b)

c c c1 12 2A c h 7,2cm h 3,6cm h= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

c

c

27cm² 3,6cm hh 27cm²:3,6cm 7,5cm

= ⋅

⇒ = =

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Arbeitsblatt zur Ergebnissicherung – mögliche Lösung

Merkblatt: Der Flächeninhalt eines Dreiecks

zu Modul 2:

zu Modul 3:

zu Modul 1:

Dreiecksseiten zugleich Hö-

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