Mathematische Probleme lösen mit System

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    11-Jun-2015
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Der Aufsatz basiert auf der (aktuelleren und etwas umfangreicheren) Seite www.probleme-und-strategien.de.

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M ATH E M ATI S C H E P RO BL E M E LSEN MIT SYSTEM

WO Z U D I E S E R A RT I K E L ?

Warum lohnt es sich, diesen Aufsatz zu lesen? Weil hier Tipps stehen, die in der Ausbildung oft fehlen Wer im Studium, in der Oberstufe, in mathematischen Wettbewerben wie dem Bundeswettbewerb Mathematik (BWM) oder anderswo mathematische Probleme lsen soll, der bekommt nur selten Hinweise, wie das geht. Die Folge: Man hat weniger Spa am Problemlsen, braucht mehr Zeit dafr und bleibt zurck hinter dem, was man leisten knnte. Weil hier bewhrte Lsungstechniken vorgestellt werden Es gibt eine Reihe hervorragender Bcher zum Thema mathematische Heuristik - sie zeigen, mit welchen Techniken mathematische Probleme gelst werden knnen. Besonders gute Beispiele sind die klassischen Werke von George Polya und die Bcher von Paul Zeitz und Arthur Engel. (Die Titel stehen im Literaturverzeichnis). Viele dieser Lsungswerkzeuge werden in diesem Aufsatz vorgestellt. Weil hier moderne Arbeitstechniken eingesetzt werden Geschickte schriftliche Aufzeichnungen knnen beim Lsen mathematischer Probleme eine groe Hilfe sein. In diesem Aufsatz wird eine flexible und leistungsfhige Aufzeichnungsform beschrieben, die sich in vielen Bereichen bestens bewhrt hat: das Mind Mapping. Neben den einfachen Grundregeln des Mind Mapping wird vorgestellt, wie Mind Maps beim Problemlsen im Allgemeinen und beim mathematischen Problemlsen im Besonderen helfen knnen. Weil hier ein alltagstaugliches Gesamtverfahren beschrieben wird Lsungswerkzeuge und Mind Maps - es liegt nahe, diese beiden bewhrten Anstze zu verbinden. Hierfr gibt es eine Reihe von Mglichkeiten - zum Beispiel die Idee, zwei Arten von Mind Maps zu benutzen: In den sogenannten "Werkzeug- Maps" sammeln wir Lsungswerkzeuge und ordnen sie so an, dass wir fr typische Problemsituationen leicht ein Werkzeug finden, das uns weiterhilft. In der sogenannten "Problem-Map" machen wir whrend der eigentlichen Arbeit Aufzeichnungen zu dem gegebenen Problem. Bei der Suche nach ntzlichen Vorgehensweisen und Lsungsideen finden wir Anregungen in den Werkzeug-Maps. Weil der Nutzen enorm ist Vieles, was beim Lsen mathematischer Probleme hilft, lsst sich auf andere Probleme bertragen. Die Informationen in diesem Aufsatz sollen dazu anregen, die Fhigkeit zum Problemlsen ganz allgemein zu verbessern - und damit eine der wichtigsten und ntzlichsten Fhigkeiten berhaupt.

P RO B L E M L S E N : G RU N D I D E E N

Wir sitzen vor einem Matheproblem und einem leeren Blatt Papier - und haben keine Ahnung, was wir tun sollen. Hier kommt ein praktisches, alltagstaugliches Lsungsverfahren. Die Grundidee Probleme lst man am besten, indem man passende "Lsungswerkzeuge" benutzt. Hier kommen einige wenige Beispiele fr solche Werkzeuge: - Spezialflle betrachten, - eine Skizze anfertigen, - eine vollstndige Induktion durchfhren, - mit dem Ziel beginnen und rckwrts suchen, - Extremflle betrachten, - nach Symmetrien suchen, - den Satz des Pythagoras benutzen oder - eine Definition nachschlagen. All diese Werkzeuge knnen uns beim Lsen eines Problems weiterbringen. Die Menge solcher Werkzeuge ist natrlich riesig, und eine bloe Sammlung hilft nur wenig - wir brauchen eine Antwort auf die Zentrale Frage beim Problemlsen In welcher Problemsituation hilft welches Werkzeug? Diese Frage zerlegen wir in zwei Teilfragen: Teilfrage 1: Welche Problemsituationen sind wichtig? Probleme sind vielfltig, und wir knnen nicht fr jede denkbare Bearbeitungssituation ein eigenes, passendes Werkzeug bereit halten. Deshalb werden wir Problemsituationen geschickt klassifizieren. Beispiele sind die folgenden Klassifikationen: nach Problemphasen: - Orientierung zu Beginn der Bearbeitung, - Planung des Lsungswegs, - Durchfhrung der Lsung, - Rckschau nach den mathematischen Objekten, mit denen das Problem zu tun hat - Reihen, - Matrizen, - differenzierbare Funktionen oder nach typischen Schwierigkeiten, die beim Problemlsen auftauchen - keinen Anfang wissen, - feststecken, - den berblick verlieren... Teilfrage 2: Welche Werkzeuge helfen in den Problemsituationen aus Teilfrage 1? Eine solche Zuordnung "Problemsituationen - > Werkzeuge" ist ein grundlegender Teil unserer Lsungsmethode. Hier sind ein paar einfache Beispiele fr solche Zuordnungen: - Es empfiehlt es sich oft, zu Beginn der Bearbeitung eine Zeichnung anzufertigen. - Wenn die Ausgangsinformationen nicht viel hergeben, kann man versuchen, vom Ziel her rckwrts zu arbeiten. - Beim Umgang mit Folgen von Zahlen sind induktive Schlsse von einer Zahl auf ihre Nachbarn oft ntzlich.

Problemsituationen und Werkzeuge: Ordnung schaffen mit Mind Maps Diese Zuordnung "Problemsituationen ->Werkzeuge" soll nicht nur im Kopf stattfinden, sondern auch schriftlich erfasst werden - dann nmlich lassen sich Werkzeuge viel zuverlssiger und systematischer benutzen. Wir bentigen also eine Methode, um diese Zuordnung schriftlich darzustellen. Dafr besonders geeignet ist das Mind Mapping.

Mind Mapping: Wie funktioniert das? Beim Mind Mapping wird das Thema in die Mitte des Schreibblatts geschrieben, die Ideen werden hierarchisch um das Thema herum angeordnet und zeichnerisch dargestellt, sofern das sinnvoll ist. Hier kommt ein Beispiel. (Es war einfacher, eine Mind Map mit dem Computer zu erzeugen, als eine handschriftliche einzuscannen.)

Mind Maps: Flexibel und leistungsfhig Wir knnen nmlich Mind Maps auf zwei Arten benutzen: 1. Als "Werkzeug-Map" Hier ordnen wir den Problemsituationen Werkzeuge so zu, dass sich ein passendes Werkzeug leicht finden lsst. 2. Als "Problem-Map" In dieser Map bearbeiten wir das eigentliche Problem - wir sammeln und entwickeln Anstze, zerlegen das Problem in Teilprobleme, notieren spontane Ideen usw., und benutzen die Werkzeug-Maps, wenn wir Ideen zu neuen Lsungswerkzeuge brauchen. Dieser kombinierte Einsatz von Werkzeug- und Problem- Maps bekommt der Krze halber den Namen "WerkzeugMapping". So funktioniert Werkzeug-Mapping:

Das klingt umstndlich oder unntig kompliziert? Mag sein. Aber es gilt vor allem: Das Verfahren ist alltagstauglich, Werkzeug- Maps helfen beim systematischen Einsatz von Lsungswerkzeugen und Problem- Maps bringen Struktur in die Suche nach einer Lsung. Nach diesem berblick kommen wir jetzt zu den Einzelheiten. Wir beginnen mit der Frage: Wie funktioniert Mind Mapping?

MIND MAPPING: EIN SCHNELLKURS

Mind Maps: Wesentliche Eigenschaften In einer Mind Map werden die Ideen grafisch in einer Baumstruktur angeordnet. Dabei steht das Thema in der Mitte des Blattes. Die Ideen werden als Stichworte aufgeschrieben oder, besser noch, in Skizzen und Zeichnungen dargestellt. Zustzlich knnen Farben, Pfeile und Symbole benutzt werden.

Hier kommt ein Beispiel (wiederum computererzeugt und nicht handschriftlich.

Wer mindmappen will, der kann es probieren mit dem folgenden einfachen Rezept fr Mind Maps: Material: Man braucht ein unliniertes Blatt Papier, mglichst im Format DIN A4 oder grer, und Schreibstifte in verschiedenen Farben. Auch Textmarker sind ntzlich. Los geht's: Man benutzt das Papier im Querformat, schreibt das Thema der Mind Map in die Mitte des Blatts und zeichnet einen Rahmen darum. Das Thema kann in Worten oder durch eine kleine Zeichnung dargestellt werden. Ideen gliedern: ste und Zweige Man schreibt die ersten Lsungsanstze um dieses Thema herum auf und verbindet sie durch Linien mit dem Thema. Diese Ideen-ste kann man durch Ideen- Zweige und Ideen- Unterzweige verfeinern. Dadurch sortieren sich die Gedanken praktisch von selbst. Weitere Einflle kann man leicht an den passenden Stellen einfgen. Stichwrter benutzen: Man sollte Stichwrter oder mglichst knappe Formulierungen statt ganzer Stze verwenden. Dadurch vermeidet man berflssige Wrter und spart Platz und Zeit. Ein weiteres Argument fr Stichwrter: Assoziationen lassen sich leichter zu einzelnen Wrtern bilden als zu einem

ganzen Satz. (Die Mind Maps auf diesen Seiten sind entgegen diesem Ratschlag ziemlich wortreich - andernfalls wren sie fr Andere kaum verstndlich. Bei den eigenen Arbeitsaufzeichnungen spielt die Verstndlichkeit fr andere eine viel geringere Rolle.) Symbole benutzen: Man sollte mglichst oft Symbole und kleine Zeichnungen verwenden. Dadurch werden die Fhigkeiten des Gehirns zum Denken in Bildern ausgenutzt, die bei herkmmlichen Aufzeichnungen kaum eingesetzt werden knnen. Farben benutzen: Man sollte hier die eigenen Vorlieben herausfinden: Wird die Arbeit besser oder leichter, wenn man mehrere Farben benutzt? Oder ist das Hantieren mit mehreren Stiften blolstig? Die klassische Lehre empfiehlt aus guten Grnden, mehrere Farben zu verwenden: Sie gliedern die Mind Map und bringen zustzliche Informationen in die Mind Map. (Ich selbst mache fast ausschlielich einfarbige Mind Maps.) Weitere Ideen: Zahlen, Pfeile, etc. Die Ideen sind in der Mind Map hierarchisch angeordnet. Darber hinaus kann man die Gedanken gliedern, indem man sie nummeriert, Wichtiges durch Farben und Zeichnungen hervorhebt und Ideen durch Pfeile verbindet. Praktische Tipps: Wie man gut lesbare und bersichtliche Mind Maps produziert Man sollte herausfinden, was leichter fllt: Zunchst ein Wort oder eine Zeichnung an die passende Stelle schreiben und sie danach durch eine Linie verbinden oder umgekehrt. Man sollte Wrter wie blich waagerecht schreiben, aber nicht verdrehen oder senkrecht schreiben. Wer eine schlecht lesbare Handschrift hat, kann Druck- anstelle von Schreibschrift benutzen. Aufgepasst: TEXT AUS LAUTER GROSSBUCHSTABEN IST MEIST SCHLECHTER LESBAR als Text in gewhnlicher Schreibweise.

Wer hat's erfunden? Das Konzept der Mind Map wurde seit den 1970er Jahren entwickelt von dem Englnder Tony Buzan, der damals Herausgeber des Journals der Hochintelligenzler- Vereinigung "Mensa" war. Viele der Leitideen des Mind Mapping sind schon sehr alt; Buzans Verdienst besteht darin, diese Ideen zu einem leicht anwendbaren Gesamtkonzept verbunden zu haben. Funktioniert das? Die wichtige Frage lautet natrlich: Hilft mir das Mind Mapping? - eine Frage, die sich nur nach einigen eigenen Versuchen beantworten lsst. Wer diese Versuche frhzeitig aufgeben mchte, der knnte sich fragen, welche Motive ihn dazu drngen - und warum andererseits heute das Mind Mapping an fast allen Hochschulen eingesetzt wird. (Nach Informationen im Internet darunter die Universitten Oxford, Cambridge, Stanford, Yale und Harvard.)

E I N L S U N G S V E R FA H R E N

Wir wollen bei der Arbeit an einem mathematischen Problem zwei Mind Maps gleichzeitig benutzen: eine Problem-Map: Hier planen wir unser Vorgehen, sammeln Ideen, verfolgen Anstze, untersuchen systematisch Schwierigkeiten etc., und eine (oder mehrere) Werkzeug- Maps: Hier haben wir Lsungswerkzeuge gesammelt und so aufbereitet, dass wir mglichst leicht ein passendes finden. Diese Werkzeug-Maps bilden unseren "Werkzeug- Koffer", sie speichern unsere Erfahrungen aus frheren Problemen und knnen immer weiter verbessert werden.

Diese Maps werden wir jetzt genauer untersuchen. Wie knnen Problem-Maps beim Problemlsen helfen? In Problem-Maps knnen wir Ziele sammeln, ein vielsprechendes Ziel auswhlen und weiter verfolgen, Lsungsanstze sammeln, den meistversprechenden auswhlen und weiter verfolgen, ein Problem in Teilprobleme zerlegen, einen Plan fr das Vorgehen entwerfen, das Vorgehen kritisch untersuchen und anpassen, Schwierigkeiten ausfindig machen und nach Lsungen suchen usw.

Keine Sorge! Niemand will das Problemlsen in ein Korsett zwngen: Problem-Maps sollen beim Nachdenken helfen, und dabei spielt Intuition eine groe Rolle - zu viele Regeln sind hier blo schdlich. Wenn es der Lsung eines Problems dient, darf und soll natrlich jeder Ratschlag auf diesen Seiten verletzt werden. Aber gerade dann, wenn man in Schwierigkeiten steckt, ist es oft sehr ntzlich, systematischer zu arbeiten. Beim Lsen mathematischer Probleme in Mind Maps gibt es eine praktische Schwierigkeit: Immer wieder braucht man Tabellen, Termumformungen, Nebenrechnungen - all das passt nur schlecht ins klassische Layout einer Mind Map. Deshalb mein Vorschlag:

Ein Misch-Layout fr die Problem-Map

Bei dieser Aufteilung sammelt man Ideen in der Mind Map, Nebenrechnungen und Termumformungen werden in den Kstchen unter der Map ausgefhrt, einfache Ziffern verweisen von der Map auf die Kstchen. Die Mittellinie zwischen den Kstchen hilft beim Platzsparen und sorgt fr mehr bersichtlichkeit. (Die Idee zur Aufteilung in Kstchen stammt aus einem Aufsatz von Richard Rusczyk auf der Seite "www.artofproblemsolving.com".) Beispiele solcher Problem-Maps betrachten wir spter. Wie knnen Werkzeug-Maps beim Problemlsen helfen? Wir brauchen einen Weg, um in schwierigen Problemsituationen diejenigen Werkzeuge ausfindig zu machen, die uns weiterhelfen. Dazu gehen wir folgendermaen vor: 1. Wir klassifizieren Problemsituationen. 2. Wir ordnen diesen Problemsituationen ntzliche Werkzeuge zu. Wir wollen zunchst untersuchen, wie das grundstzlich aussehen knnte. Im nchsten Kapitel gibt es dann eine Sammlung von Werkzeug-Maps fr den praktischen Einsatz. Wie lassen sich Problemsituationen klassifizieren? Dies gelingt am einfachsten mit Hilfe von Dingen, die sich leicht feststellen lassen: In welcher Phase einer Problembearbeitung stecke ich gerade? Eine sinnvolle Aufteilung in Phasen sieht zum Beispiel so aus: - Orientieren, - Planen, - Durchfhren, - Rckblicken.

Diese Phasen folgen in der Praxis nicht streng aufeinander, aber es ist meist leicht festzustellen, in welcher Phase man sich gerade befindet. Jeder dieser Phasen kann man ntzliche Werkzeuge zuordnen. In welchen Schwierigkeiten stecke ich gerade? Die Schwierigkeiten, die beim Problemlsen auftauchen, sind oft sehr individuell. Beispiele fr derartige Schwierigkeiten knnten sein: Ziellosigkeit, Mangel an planvollem Vorgehen, Ungenauigkeit, Flchtigkeit, Mangel an Einfllen. Diesen Unzulnglichkeiten lassen sich wiederum Werkzeuge zuordnen. Mit welchem Teilgebiet der Mathematik und welchen mathematischen Objekten habe ich zu tun? Dieser Ansatz ist recht naheliegend: Man sammelt in einer Map Werkzeuge zum Umgang mit Polynomen, konvergierenden Reihen, stochastischen Prozessen usw. Es ist klar, dass dieser Ansatz im uersten auf die Kartographierung des gesamten mathematischen Wissens fhren wrde - wie sich entsprechende Werkzeug-Maps erstellen oder nutzen lieen, ist vllig unklar. In diesem Ansatz berhren sich Techniken des Problemlsens und die Frage nach der Aufbereitung mathematischen Wissens im Allgemeinen. Fr den praktischen Gebrauch sind allerdings schon kleinere Werkzeug- Maps mit den wichtigsten Werkzeugen sehr ntzlich. Worin besteht das Problem? Diese Frage soll folgendes bedeuten: Beim Problemlsen kann man eine ganze Reihe von abstrakteren Objekten unterscheiden, zum Beispiel Ziele, Lsungsanstze, Lsungsplne, Emotionen, die sich auf das Problemlsen beziehen, Reprsentationen: In welcher Form betrachten wir eigentlich das Problem - mittels Grafiken, durch Formeln, verbal...? Beim Problemlsen knnen wir dann untersuchen, welche Schwierigkeiten sich an diese Objekte knpfen: Fehlen uns Ziele? Sind die bisherigen Lsungsanstze unzureichend? Brauchen wir nicht blo einen Lsungsansatz, sondern einen umfassenderen Plan? Dieser Ansatz ist eng verwandt mit der Gliederung nach Schwierigkeiten, die weiter oben beschrieben wurde.

Wie arbeitet man mit Werkzeug-Maps? Wir unterscheiden drei Vorgnge: Werkzeug-Maps erstellen Werkzeug-Maps benutzen Werkzeug-Maps anpassen

Zu diesen Punkten ein paar Hinweise: Werkzeug-Maps erstellen: Beim Erstellen eigener Werkzeug- Maps lsst sich sehr viel lernen ber den Vorgang des Problemlsens - wer stattdessen nur vorgefertigte Werkzeug-Maps bernimmt, der bringt sich um diesen groen Vorteil des Werkzeug-Mapping. Vorgefertigte Werkzeug-Maps wie auf dieser Seite knnen vor allem Ideen liefern, und zwar Ideen zu mglichen Gliederungen und damit zu Mglichkeiten, Problemsituationen wahrzunehmen und einzuschtzen, und Ideen zu mglichen Werkzeugen: So sind zum Beispiel die Betrachtung von Extremfllen oder die Suche nach Invarianten und Symmetrien typische mathematische Werkzeuge, die leichter zu bernehmen als

nachzuerfinden sind. Werkzeug-Maps benutzen: Whrend man ein Problem bearbeitet, sollte man sich von den folgenden Extremen fernhalten: Einerseits: Werkzeuge zu selten einsetzen - zum Beispiel ziellos und unscharf zu denken, obwohl schon einfache Werkzeuge aus einer Werkzeug-Map hier groe Verbesserungen bewirken knnen. Andererseits: Werkzeuge zu sklavisch einsetzen - zum Beispiel sich zwanghaft an Werkzeug-Maps zu klammern und dadurch den Gedankenfluss zu hemmen. Werkzeug-Maps anpassen: Wenn man Werkzeug-Maps anpassen und verbessern will, dann kann man dafr wiederum Werkzeuge benutzen. (Das klingt arg verknstelt? Das scheint zunchst vielleicht so, aber es besteht in der Literatur Einigkeit darber, dass der Rckblick auf die Bearbeitung eines Problems die vielleicht wichtigste und lehrreichste Phase ist.)

Wir kommen jetzt zu den Werkzeug- Maps.

S T R A T E G I E N, T E C H N I K E N U N D T R I C K S

In den folgenden Maps werden sehr viele Werkzeuge vorgestellt, also Techniken, Tipps und Tricks fr das Lsen von Matheproblemen. Dazu ein paar Vorbemerkungen: Zunchst eine Entschuldigung Viele Werkzeuge in den Maps werden auf diesen Seiten nicht ausfhrlich beschrieben - andernfalls wre diese Webseite noch immer nicht fertig und viel umfangreicher. Der Leser findet im Literaturverzeichnis sehr viele Hinweise auf Details des mathematischen Problemlsens, insbesondere in den Bchern von George Polya, Arthur Engel und Paul Zeitz. Werkzeug-Maps: Fertige bernehmen oder selber bauen? Natrlich ist selber bauen viel besser, denn: Erstens lernt man dabei sehr viel ber das Problemlsen, zweitens findet man sich in den selbstgebauten Maps besser zurecht und drittens passen die Werkzeuge, ihre Anordnung und die Formulierungen in selbstgemachten Maps besser zur eigenen Person. Die Werkzeug-Maps auf diesen Seiten sind deshalb vor allem als Ideenlieferanten gedacht.

Wir beginnen mit dem folgenden Satz von Allzweck-Werkzeugen: Die Basis-Werkzeuge Probleme beschreiben und Ursachen untersuchen Ziele definieren Lsungen entwickeln Rckblick

Es folgen weitere Werkzeug-Maps. Hier kommt eine Bearbeitung des Klassikers: Die Polya-Map Diese Werkzeug-Map ist angelehnt an den Fragenkatalog in George Polyas Klassiker "Schule des Denkens".

Es folgt eine Werkzeug-Map zu mathematischen Inhalten. Natrlich ist das nur ein winziges Beispiel. Werkzeuge zur Zahlentheorie

In diesem Aufsatz geht es um die Frage, wie man die Lsung eines Problems findet. Eine andere Frage ist, wie man eine Lsung darstellen kann. Hilfestellungen gibt es in der Map Lsungen aufschreiben

Natrlich sind viele weitere Werkzeug- Maps denkbar, zum Beispiel zum Erfinden von Problemen oder "MetaMaps", die beim Aufbau von Werkzeug-Maps helfen.

BASIS-WERKZEUGE

Die Werkzeug-Map "Probleme lsen" ist fundamental. Sie steuert die gesamte Bearbeitung. Die Werkzeuge in dieser Map sind sehr allgemein - sie bilden ein Lsungsrezept, das nicht auf die Mathematik beschrnkt ist.

Hier kommen Erluterungen. Zunchst unterscheiden wir zwei grundstzliche Dinge: Erstens: die eigentliche Arbeit an einem Problem, und zweitens: das Abstand-Gewinnen - hnlich wie bei einem Maler, der nach der Arbeit an einem Detail seines Werks von der Leinwand zurcktritt und prft, ob der Gesamteindruck stimmt. Dieses Abstand-Gewinnen ist wichtig, weil man sich beim Problemlsen leicht verrennt und den Wald vor lauter Bumen nicht mehr sieht. Problemlsen: Ein Rezept Das Problemlsen selbst ist gegliedert in die folgenden Schritte. Es empfiehlt sich, die Schritte dieses Lsungsrezepts in der angegebenen Reihenfolge zu durchlaufen. Manche der genannten Schritte sind komplex; zu ihnen gibt es weitere Werkzeug-Maps, die wir auf den folgenden Seiten vorstellen. Leitfragen Zu jedem der Schritte ist in der Map eine "Leitfrage" genannt, die beschreibt, was in dem Arbeitsschritt passieren soll. Abkrzungen Auerdem gibt es zu jedem Arbeitsschritt eine Abkrzung, zum Beispiel "pb" fr "Problem beschreiben" oder "le" fr "Lsung entwickeln". Diese Abkrzung kann man in der Problem- Map benutzen, die dadurch inhaltlich gegliedert wird. Hier kommen die Schritte des Lsungsrezepts: Probleme beschreiben und Ursachen untersuchen Mathematische Probleme sind oft klar beschrieben: "Beweisen Sie die folgende Aussage", oder "Berechnen Sie das folgende Integral". Hier muss nur ausnahmsweise nach den Ursachen des gegebenen Problems gesucht werden. Nachdem man einige Zeit nach einer Lsung gesucht hat, stt man aber vielleicht auf ganz andere

Schwierigkeiten: "Ich habe das Gefhl, mich im Kreis zu drehen" - "Ich wei berhaupt nicht, was ich noch unternehmen kann" usw. In solchen Situationen ist es ratsam, die Schwierigkeiten zu beschreiben und ihre Ursachen zu klren. Diese Werkzeuge sind auerdem sehr ntzlich bei "offenen" Problemen, bei denen die Aufgabenstellung nicht eindeutig ist. Ziele definieren Wenn wir wissen, wo die Probleme und ihre Ursachen liegen, knnen wir Ziele definieren. Ziele sind beim Problemlsen von sehr groer Bedeutung. Um systematisch Ziele zu verfolgen, gibt es einen einfachen Trick: Man notiert das Ziel in der Problem- Map und schreibt ein kleines Kontrollkstchen [ ] daneben. Spter, beim "Abstand-Gewinnen", kann man prfen, ob man ein Ziel erreicht hat - oder warum nicht. Lsungen entwickeln Dies ist derjenige Schritt, der bei der Problemlsung die meiste Zeit beansprucht. Wir haben ihn gegliedert in 4 Unterschritte: Ideen sammeln Ideen auswerten Plan entwickeln Plan durchfhren Dies ist nicht so gemeint, dass die 4 Schritte stets in der genannten Reihenfolge ausgefhrt werden sollen es geht darum, den passenden Schritt auszuwhlen. Rckblick Dies ist die Phase, in der sich besonders viel ber das Problem selbst und ber das Problemlsen als Vorgang lernen lsst: Wo hat es gehakt? Was war erfolgreich und was nicht? Wie kann ich Ergebnisse und Methoden weiter nutzen? Usw.

Abstand gewinnen Hier geht es nur um drei recht intuitive Fragen: Was mache ich hier eigentlich? Was gefllt mir nicht?

Habe ich die Ziele erreicht? Hierbei knnen die oben beschriebenen Kontrollkstchen an den Zielen eine groe Hilfe sein. Mit den Einsichten zu diesen Fragen kehrt man dann zurck zum Problem lsen und kann ein neues Teilproblem beschreiben oder die Ursachen der gefundenen Schwierigkeiten untersuchen. Die einzelnen Schritte des Problemlsens werden durch eigene Werkzeug-Maps untersttzt: Probleme beschreiben und Ursachen untersuchen Ziele definieren Lsungen entwickeln Rckblick

PROBLEME UND URSACHEN

Diese Map enthlt Leitfragen, die dabei helfen sollen, Probleme zu beschreiben und ihre Ursachen zu untersuchen. Auerdem gibt es eine Sammlung typischer Schwierigkeiten.

Es folgen Erklrungen zu einigen Werkzeugen. Warum-Warum-Technik Um auf die Ursachen von Schwierigkeiten zu stoen, fragt man einfach immer wieder "Warum ist das so?" Dadurch entsteht auf einfache Weise ein Diagramm von Ursachen in der Problem-Map. Problem ungnstig dargestellt Wenn man ein Problem ungnstig dargestellt hat, ist das Finden einer Lsung manchmal sehr schwer. Beispiel: Manche Probleme sind in kartesischen Koordinaten sehr schwer zu lsen, aber in Kugelkoordinaten

einfach.

ZIELE DEFINIEREN

Diese Werkzeug-Map stellt ntzliche Werkzeuge zusammen, die die Konzentration auf die richtigen Ziele erleichtern.

Hier kommen ein paar Erluterungen: Das allgemeine Vorgehen lautet: Sammeln und dann auswhlen. Dies lsst sich nicht nur bei Zielen mit Gewinn einsetzen, sondern bei vielen anderen Lsungsschritten. Die allgemeine Frage nach den "richtigen" Zielen geht natrlich weit ber die Mathematik hinaus. Sie ist nicht Gegenstand dieser Seite.

LSUNGEN ENTWICKELN

Die folgende Werkzeug-Map ist etwas experimenteller. Ihr Hauptziel ist es, den Benutzer auf mglichst viele Lsungsideen zu bringen, von denen hoffentlich mindestens

eine zur Lsung fhrt. Die Lsungsideen, die sich aus dieser Werkzeug-Map entwickeln lassen, sind sowohl bei Beweisproblemen als auch bei Bestimmungsproblemen ntzlich.

Schauen wir uns den Aufbau dieser Map nher an. Die Grundidee Kombiniere ein "Objekt" aus dem Problemlsen mit einer "Aktion" und werte aus, was dabei herauskommt. Wesentliche "Aktionen" sind: Standardtechniken anwenden Analysieren Manipulieren Kommunizieren. (Durch die Kombination von Objekten und Aktionen liefert die Mind Map sehr viele Lsungsanstze, obschon sie nur mig viele Elemente enthlt.) Was ist mit "Objekten" gemeint? Als Objekte kommen nicht nur mathematische Objekte in Frage, sondern auch abstraktere Dinge wie die Suchrichtung - fange ich bei den Voraussetzungen an ( = Vorwrtssuche), oder beim Ziel ( = Rckwrtssuche)? Selbst emotionale Faktoren werden hier betrachtet - schlielich fllt Problemlsen auch deshalb manchmal schwer, weil wir frustriert sind und berzeugt, ein Problem um keinen Preis lsen zu knnen. Was ist mit "Aktionen" gemeint? Bei den Aktionen knnen wir zum einen Standardtechniken auf die mathematischen Objekte anwenden. Am Beispiel von Werkzeugen aus der Zahlentheorie zeigen wir spter, wie das gemeint ist. Analysieren und Manipulieren Die weiteren Aktionen haben wir in zwei Gruppen aufgeteilt: Analysieren und Manipulieren, die im Wechsel angewendet werden sollten. Kommunizieren Als letzte Gruppe von Aktionen nennen wir "kommunizieren".

Ein einfaches Beispiel: Wie wir Objekte und Aktionen kombinieren knnen: Wir wollen die Summe der natrlichen Zahlen von 1 bis n berechnen - die Aktionen "vervielfltigen", "umkehren/invertieren" oder "anders anordnen" bringen uns vielleicht auf einen fruchtbaren Gedanken.

(Hinweis: Die Mind Map benutzt Ideen aus verschiedenen Kreativittstechniken, insbesondere der sogenannten "morphologischen Analyse".)

RCKBLICK

Diese Werkzeug-Map zum Thema Rckblick / Rckschau soll die wichtige Arbeit nach dem Problemlsen untersttzen.

DIE POLYA-MAP

Hier kommt die Bearbeitung der "klassischen" Liste von George Polya aus seinem Buch "How to Solve It" (dt.: "Schule des Denkens"). Die bei Polya kursiv gedruckten, besonders wichtigen Fragen sind hier trkis markiert.

Als nchstes kommen Werkzeuge zur Zahlentheorie. Diese Map ist ein Beispiel dafr, wie wichtige Werkzeuge aus einem Teilgebiet der Mathematik verfgbar gemacht werden knnen. Auf hnliche Weise knnen aus Lehrbchern leicht Werkzeug-Maps zusammengestellt werden fr Geometrie-Probleme, Analysis-Probleme, Algebra-Probleme usw.

WERKZEUGE ZAHLENTHEORIE

Hier kommen ein paar Werkzeuge fr die Bearbeitung von Aussagen aus der Zahlentheorie. Die Werkzeug-Map ist (ziemlich rasch) entstanden aus dem Kapitel ber Zahlentheorie in dem Buch "ProblemSolving Strategies" von Arthur Engel, s. Literaturverzeichnis. In der Map tauchen natrlich Stichwrter auf, die aus sich selbst heraus nicht verstndlich sind, zum Beispiel "Euklidischer Algorithmus". Trotzdem haben diese Stichwrter in der Map einen groen Wert als Erinnerungshilfe.

Abschlieend prsentieren wir Werkzeuge, die dabei helfen, eine Lsung aufzuschreiben.

LSUNGEN AUFSCHREIBEN

Wir haben bislang vor allem untersucht, wie sich die Lsung eines Matheproblems finden lsst. Wenn wir eine Lsung gefunden haben, mssen wir sie so aufschreiben, dass sie fr andere verstndlich ist - eine Problem- Map ist fr die Vermittlung kaum geeignet. Die folgenden Hinweise stammen zum groen Teil aus dem Buch "Das ist o.B.d.A. trivial" von Albert Beutelspacher.

BEISPIEL: ZAHLENTHEORIE

Wir untersuchen das folgende Problem: Es gibt unendlich viele natrliche Zahlen, die nicht als Summe eines Quadrats und einer Primzahl dargestellt werden knnen. (Es handelt sich um Problem 6.63 a aus dem Buch "Problem-Solving Strategies" von Arthur Engel, s. Literaturverzeichnis.) Hier kommt unsere Problem-Map; Erluterungen folgen:

Erluterungen: Wir schreiben zunchst das Problem in einer geeigneten Kurzform in die Mitte.

Wir orientieren uns zu Beginn an der Werkzeug-Map "Probleme lsen":

Die Schritte "Probleme erkennen", "Ursachen untersuchen" und "Ziele definieren" spielen zunchst keine Rolle, wir beschftigen uns also mit dem Schritt "Lsungen entwickeln". Dazu benutzen wir in der Map die Abkrzung "le". Solche Krzel knnen sehr dabei helfen, strukturiert vorzugehen. Hier kommt die Werkzeug-Map "Lsungen entwickeln":

Wir sammeln ein paar aussichtsreiche Ideen: Spezialflle betrachten, einen Widerspruchsbeweis fhren, verschiedene Darstellungen des Problems sammeln.

Wir untersuchen zunchst Spezialflle und legen die kleine bersicht unter Punkt 1 an. Das fhrt zu der Einsicht, dass Primzahlen keine Kandidaten fr unser Problem sind. Im brigen scheinen die Spezialflle aber nicht sehr ergiebig. Wir wenden uns deshalb als nchstes verschiedenen Darstellungen des Problems zu - dies scheint uns gnstiger als der Versuch, einen Widerspruchsbeweis zu konstruieren. Eine algebraische Darstellung scheint aussichtsreicher als eine grafische. Unter Punkt 2 betrachten wir n = m + p und stellen diese Gleichung um. Die Gleichung p = n - m scheint besonders interessant. Was ist eigentlich in dieser Darstellung das Ziel? Um das herauszubekommen, notieren wir "zd" = "Ziele definieren" und markieren das mit einem Kontrollkstchen "[ ]". Dieses Kontrollkstchen dient spter der Prfung, ob wir das genannte Ziel tatschlich erreicht haben. Details zum Schritt "Ziel definieren" beschreiben wir unter Punkt 3: Wir wollen n so bestimmen, dass n - m zusammengesetzt ist fr alle n und m mit m < n.

Mit dem Werkzeug "le" suchen wir nun nach Lsungsanstzen zu diesem Ziel. Dabei knnen wir die Werkzeug-Map zur Zahlentheorie benutzen:

Wir wollen die Differenz n - m auf Zusammengesetztheit untersuchen. Da liegt der dritte binomische Lehrsatz nahe: Setze n = k und benutze k - m = (k-m )(k+m). Mit dieser Idee laufen die Dinge zunchst wie von selbst. Allerdings stoen wir auf eine Schwierigkeit: Die Zerlegung mit dem binomischen Satz garantiert nicht, dass n m = k - m zusammengesetzt ist. Um uns erste Rechenschaft abzulegen ber den problematischen Fall m = k - 1 benutzen wir das Werkzeug "ab" = "Abstand gewinnen". Zum Schluss machen wir einen Rckblick und benutzen das Krzel "rb". Dabei erinnert uns das Kontrollkstchen [ ] an die Prfung, ob wir das gesetzte Ziel erreicht haben. Auerdem kontrollieren wir unsere Lsung unter Punkt 7 - und stoen schlielich auf weitergehende Fragen, die wir als nchstes untersuchen knnen.

P RO B L E M L S E N : V E R M I S C H T E S

Hier kommt eine Sammlung von Bemerkungen zu den folgenden Themen: Warum schriftliche Aufzeichnungen ntzlich sind. Vor- und Nachteile des Werkzeug- Mapping. Kritik am Werkzeug-Mapping - und Entgegnungen darauf. Mathematische Probleme und Mind Maps in der Schule. Navigationsschwierigkeiten beim Problemlsen - und wie man sie beheben kann.

NUTZEN VON AUFZEICHNUNGEN

Wie bewegt man die Gedanken im eigenen Kopf? Man kann ganz unterschiedliche Dinge tun, zum Beispiel mit den Kollegen aus dem Nachbarlabor diskutieren, seine Ideen in ein Diktafon sprechen, sich auf einem langen Spaziergang die Dinge durch den Kopf gehen lassen, am Schreibtisch sitzen, die Augen schlieen und halblaut vor sich hin murmeln oder seine Gedanken auf einem Blatt Papier entwickeln.

Diese Arbeitstechniken schlieen einander nicht unbedingt aus, und jede einzelne hat ihre ganz besonderen Vorteile. Die eigenen Gedanken aufzuschreiben ist aber besonders fruchtbar, wenn es um das Lsen von Problemen geht. Auch auf die Gefahr hin, einen Gebckteller voller Allgemeinpltzchen anzubieten: Hier kommen ein paar Grnde. Komplexitt bewltigen Mit Aufzeichnungen findet man sich leichter in komplexen Gedankengngen zurecht: Aufzeichnungen vereinfachen es, - ein Problem in Teilprobleme zu zerlegen, - zu einem Ziel mehrere Zwischenziele zu bilden oder - zu einem Gedanken mehrere Fragen und - zu einer Frage mehrere Antworten oder Lsungsanstze zu sammeln. Texte und Skizzen verknpfen In Aufzeichnungen lassen sich Texte und Skizzen miteinander verknpfen - und damit zwei Disziplinen, in denen das menschliche Gehirn besondere Strken besitzt: Erstens die Beschreibung von Dingen durch Sprache und zweitens das Denken in Bildern. Gedankengnge fortsetzen Aufzeichnungen machen es leichter, einen unterbrochenen Gedankengang fortzusetzen, zum Beispiel nach einer Kaffeepause, einem Urlaub in Rom oder nachdem man sich von einem Tagtraum losgerissen hat. (Oft verhindert schon die bloe Konzentration auf das Formulieren und Schreiben ein Abschweifen der Gedanken.) Nachprfen Aufzeichnungen knnen helfen, einen Gedankengang nachzuvollziehen und zu prfen. Dokumentieren Aufzeichnungen dokumentieren einen Gedanken - fr eine Zeit, die von ein paar Minuten vor dem Zerreien des Zettels bis zu ein paar Jahrhunderten dauern kann.

Wie sollten Aufzeichnungen aussehen, die diese Vorzge besitzen? Wenn eine solche Aufzeichnungstechnik erst einmal entwickelt ist, kann man allein oder in einer Gruppe arbeiten und Stift und Papier oder einen Computer benutzen: Man profitiert in jedem Fall von ihren Vorteilen.

WERKZEUG-MAPPING: DISKUSSION

Vorteile: Vorteile des Mind Mapping nutzen Beim Werkzeug-Mapping nutzt man alle Vorteile des gewhnlichen Mind Mapping. Erstens ist eine Problem-Map schon fr sich allein eine groe Hilfe. Zweitens sind Werkzeug-Maps flexibler als etwa Listen: Man findet sich leichter zurecht und kann auerdem neue Werkzeuge leichter hinzufgen. Werkzeug-Maps sind sehr flexibel Werkzeug-Maps knnen leicht angepasst werden - an verschiedene Themen, - an verschiedene Problemtypen, - an die sich verndernden Fhigkeiten, Kenntnisse und Vorlieben der Benutzer. Wissen anwenden, nicht nur Wissen haben Ob man nun die Werkzeug-Maps selber zusammengestellt oder von anderen bernommen hat: Die Werkzeug-Maps funktionieren danach als Gedchtnissttzen und Stichwortgeber und helfen, Lsungstechniken wirklich einzusetzen, anstatt nur von ihnen gehrt zu haben: So wird schlafendes Wissen aufgeweckt. Wissen bertragen Sie machen es leichter, Problemlsungstechniken von einem Kopf in einen anderen bertragen: - Man kann Ratschlgen aus Bchern sehr schnell als Werkzeug- Map aufbereiten, - Experten knnen ihre Erfahrungen in Werkzeug-Maps darstellen und so fr Anfnger nutzbar machen, - Gruppen knnen gemeinsame Werkzeug-Maps erstellen und damit das Gruppenwissen fr den Einzelnen verfgbar machen. (Die letzten beiden Punkte sind vielleicht ein wenig beroptimistisch: Nachdenken ist ein sehr individueller Vorgang, und oft passen die Methoden eines Anderen nicht zu mir. Trotzdem kann ich viel lernen aus seinen Erfahrungen.) Herausfinden, wie man selber tickt Werkzeug-Mapping regt dazu an, das eigene Verhalten beim Lsen von Problemen genauer zu beobachten. Dabei knnen spezielle Werkzeuge helfen, ber die Vorgnge beim Bearbeiten eines Problems nachzudenken und Schwachstellen in den Werkzeug-Maps zu finden und zu beheben.

Nachteile: Nicht fr jeden Werkzeug-Mapping ist wenig geeignet fr Menschen, die weder ausgeprgt in Bildern noch in Worten denken. Manchmal bedeutet es Arbeit Von Zeit zu Zeit muss eine Werkzeug- Map neu erstellt werden, wenn sie bermig vollgekritzelt ist oder die Werkzeuge insgesamt neu gegliedert werden sollen. (Gerade die berarbeitung der Gliederung ist aber ein Zeichen fr die Vernderung des eigenen Verhaltens beim Problemlsen.) Bequemlichkeiten Beim Werkzeug-Mapping zeigt sich die Trgheit des Menschen: Anstatt Zeit und Mhen aufzubringen, um das optimale Superwerkzeug aus einem Ordner voller Werkzeug-Maps auszuwhlen und hervorzuziehen, benutzt er lieber die altvertrauten Dinge, mit denen er bislang durchs Leben gekommen ist. Deshalb die Empfehlung: Die wichtigsten Werkzeuge sollte man so arrangieren, dass man sie bei der Arbeit sofort erfassen kann (z.B. als Poster oder als Arbeitsblatt).

KRITIK AM WERKZEUG-MAPPING

Die Ideen zum Werkzeug-Mapping, zu Werkzeug-Maps und Problem- Maps stoen manchmal auf Kritik. Hier kommen ein paar Entgegnungen. "Mind Mapping zu erlernen ist schwierig oder zumindest zu zeitraubend" Mind Mapping ist viel einfacher zu verstehen und zu benutzen als die meisten mathematischen Verfahren wer schriftlich multiplizieren kann, der kann auch Mind Mappen. "Werkzeug-Mapping ist viel zu formal." Beim Werkzeug-Mapping kann man wechseln zwischen zwei verschiedenen Arten, Aufzeichnungen zu machen: Konventionelle Aufzeichnungen stehen noch immer zur Verfgung, und mit dem Mind Mapping ist ein neues, vielseitiges Werkzeug hinzugekommen, das man nach Belieben benutzen oder ignorieren kann. Der Raum fr intuitives Vorgehen ist nicht kleiner geworden - vielmehr ist die Mglichkeit hinzugekommen, nach Wunsch, und insbesondere bei Schwierigkeiten, systematischer zu arbeiten. "Werkzeug-Mapping schrnkt die Kreativitt ein." Diese Kritik trifft vielleicht dann zu, wenn Werkzeug-Mapping zur dumpfen Routine wird - zum Beispiel bei jedem Schritt die Werkzeug-Maps heranziehen, oder akribisch jede Idee in der Problem-Map aufschreiben. Ein solches Vorgehen empfiehlt natrlich niemand. Wenn man aber noch nicht viel Erfahrung in einem Gebiet besitzt, oder wenn man feststeckt, dann knnen Werkzeug-Maps ntzliche Ideen liefern, und Problem-Maps knnen helfen, die eigenen Gedanken besser zu steuern. "Werkzeug-Mapping ist ineffizient und zeitraubend." Meine Erfahrungen: Bei manchen, und zumal eher einfachen Problemen, ist Mind Mapping tatschlich ein berflssiger zustzlicher Aufwand. Bei anderen Problemen hat das Werkzeug-Mapping das Finden einer Lsung nach meinem Eindruck beschleunigt. Und bei manchen Problemen htte ich ohne Werkzeug-Mapping eine Lsung vermutlich gar nicht gefunden. "Werkzeug-Mapping funktioniert einfach nicht" Hier geht es um die Kritik, dass ein bloer Werkzeug-Name in einer Werkzeug-Map keine Hilfe ist - was natrlich stimmt: Man muss wissen, wie man ein Werkzeug benutzt - und das muss man, meist an Beispielen, lernen. Trotzdem sind Werkzeug-Maps eine groe Hilfe - als Gedchtnissttze, als "Rezeptbuch" zur Anwendung unvertrauter Strategien, als Checkliste oder als Inspirationsquelle. "Der hierarchische Aufbau der Werkzeug-Maps gibt die Vernetzungen der Werkzeuge nicht wieder." Auch das stimmt. Trotzdem hilft dieser Aufbau, um mit einer groen Zahl von Werkzeugen zurecht zu kommen. Auerdem drfen die Werkzeuge natrlich mehrfach in den Werkzeug- Maps auftauchen - so sind sie leichter zu finden.

EINSATZ IN DER SCHULE

Als nchstes geht es um die Frage: Wie kann das Werkzeug-Mapping in der Schule eingesetzt werden? Ziel dabei ist nicht ein detailliertes Unterrichtskonzept, sondern eine Sammlung von Ideen.

Vorstellung des Handwerk-Konzepts: Wie Werkzeuge bei der Arbeit helfen knnen Werkzeuge im Handwerk und im Kopfwerk Werkzeug-Mapping beruht zu einem wesentlichen Teil auf einer groben Analogie zwischen geistiger und handwerklicher Arbeit: Bei beiden wendet man in einer gegebenen Situation geeignete Werkzeuge an, um sich dem Ziel zu nhern, und wiederholt dies so lange, bis man sein Ziel erreicht hat. Wann welches Werkzeug? Diese Sichtweise fhrt auf die zentrale Frage, in welchen Situationen welche Werkzeuge ntzlich sind.

Werkzeug-Maps erstellen Die Werkzeug-Kiste Es bietet sich an, die Werkzeug-Maps anschaulich als eine Art "Werkzeug- Kiste" darzustellen. Dabei kann man mit einer leeren Werkzeug- Kiste starten und sie allmhlich fllen. Wie beginnt man die ersten Werkzeug-Maps? Sinnvoll sind die folgenden Fragen: - Welche Schwierigkeiten machen Euch besonders zu schaffen? - Welche Werkzeuge knnten Euch helfen, diese Schwierigkeiten zu bewltigen? Der Einstieg mit Schwierigkeiten hat den Vorteil, dass er unmittelbar zu Verbesserungen fhrt. Wie beginnen? Eine Alternative Hier kommt eine Alternative zum Einstieg ber Schwierigkeiten: Die Schler sammeln die mathematischen Werkzeuge, die sie bereits kennen, und ordnen sie in Werkzeug-Maps an. Dabei knnen sie den Aufbau der Werkzeug-Map selbst ausarbeiten oder eine vorgegebene Basis-Gliederung fortsetzen. So geht es weiter Sobald die Schler vertraut sind mit ersten Werkzeug-Maps, knnen weniger naheliegende Gliederungen und Werkzeuge eingefhrt werden, zum Beispiel die Gliederung durch die Phasen der Problembearbeitung oder speziellere mathematische Werkzeuge wie die Betrachtung von Extremfllen. Werkzeug-Maps in Gruppen erstellen Dies bietet viele Mglichkeiten: Die Schler knnen sich untereinander und mit dem Lehrer austauschen. Dabei knnen sowohl Erfahrungen bei der Wahrnehmung von Schwierigkeiten eine Rolle spielen als auch Vorschlge zu ihrer Behebung. Dabei kann es von groem (diagnostischen) Wert sein, die Schler zunchst in Einzelarbeit Werkzeug-Maps ausarbeiten zu lassen, und diese dann in Gruppenarbeit auszuwerten. Wenn man von vornherein in der Gruppe Werkzeug-Maps ausarbeitet, so besteht die Gefahr, dass dabei individuelle Strken und Schwchen im Vorgehen der Schler kaum sichtbar werden. Technische Hilfsmittel Hier kommen ntzliche Hilfen, um Werkzeug-Maps anzufertigen: Pinnwand und Karteikarten Sie helfen, in einer greren Gruppe eine gemeinsame Werkzeug- Map anzufertigen. Haftnotizen Man kann Haftnotizen und eine groe glatte Flche benutzen (z.B. eine Fensterscheibe oder Schrankwand). (Zahlreiche weitere Ideen zum Einsatz von Haftnotizen beim Problemlsen finden sich im Buch "Rapid Problem Solving with Post-it Notes" von David Straker, s. Literaturverzeichnis.) Mind-Mapping-Software Diese Software ist enorm ntzlich. Allerdings hat sie gerade mit Blick auf Anwendungen in der Mathematik noch erhebliche Lcken - Formeldarstellungen sind meist mhsam. Kostenlos und gut ist die Software "FreeMind", die unter www.sourceforge.net heruntergeladen werden kann. Im Internet findet man zudem viele Informationen zu kommerziellen Angeboten, oft verbunden mit der Mglichkeit, eine kostenlose Testversion herunterzuladen. Ordner Werkzeug-Maps im Format DIN A4 lassen sich bequem in Ordnern sammeln.

Groe Werkzeug-Maps im Posterformat Sie haben einerseits den Vorteil, dass sie sehr viele Werkzeuge im berblick prsentieren; andererseits haben sie den Nachteil, dass ein Neuzeichnen der gesamten Map mhsam und zeitraubend ist. Aus diesem Dilemma fhren zum einen Aufzeichnungen mit Bleistift, zum anderen kann man die WerkzeugMap in sinnvolle Teilmaps aufteilen, diese schreibt man auf dnnen (farbigen) Karton und klebt sie mit Fotokleber auf Pappe. Die Teile lassen sich dann spter leicht ablsen und durch neue ersetzen.

Sieht man ab von den - allerdings hohen - technischen Hrden, so sind Computer- Mind Maps der vermutlich beste Ausweg aus dem beschriebenen Dilemma. Werkzeug-Maps benutzen Die Werkzeug-Maps knnen benutzt werden als Poster im Klassenraum, als Hilfsmittel bei der Arbeit im Unterricht, als Hilfsmittel bei Hausaufgaben, als Hilfsmittel bei Prfungen, sofern dies sinnvoll erscheint.

Den Erfahrungen nach funktionieren Werkzeug-Maps dann am besten, wenn sie bei der Arbeit an einem Problem unmittelbar, mglichst "mit einem Blick", zugnglich sind. Werkzeug-Maps erstellen und anpassen: Gnstige Zeitpunkte Naheliegend sind Zeiten mehr oder weniger unmittelbar nach der Beschftigung mit einem Problem, also am Ende einer Stunde oder Unterrichtseinheit, zum Abschluss der Hausaufgaben oder nach einer Prfung. Diese Zeitpunkte haben den Vorteil, dass die Erfahrungen frisch sind. Nachteilig ist allerdings, dass die - auch emotionale - Distanz zu den Problemen zu klein ist oder die Krfte verbraucht sind. Deshalb knnte es gnstig sein, die Werkzeug-Map unmittelbar vor der Arbeit an einem neuen Problem zu erstellen oder anzupassen - mit dem zustzlichen Nutzen, dass die Ideen zu den Werkzeugen bei der Arbeit fortwirken und zgig auf ihre Tauglichkeit geprft werden knnen.

Problem-Maps benutzen Fr die Problem-Map wurde ein gemischtes Layout vorgeschlagen

Zu kompliziert?! Der Wechsel zwischen der eigentlichen Map im oberen Drittel und den herkmmlichen Aufzeichnungen darunter, die Aufteilung der Notizen auf kleine Kstchen, der Verweis von der Map auf die brigen Notizen durch Ziffern - all das mag zunchst berformalisiert erscheinen. Gerade hier sollte das Verfahren angepasst werden an die persnlichen Vorlieben. Abkrzungen benutzen Nach den Erfahrungen des Autors sind die Abkrzungen fr oft benutze Operatoren sehr ntzlich. Kontrollkstchen fr Ziele Ziele durch Kontrollkstchen markieren, wie zum Beispiel "[ ]", erinnert an die Prfung, ob ein Ziel auch tatschlich erreicht worden ist. Lsungen finden, Lsungen vermitteln Problem-Maps sollen helfen, eine Lsung zu finden. Sie sind aber kaum geeignet, diese Lsung an andere zu vermitteln. Die Verarbeitung der persnlichen Arbeitsnotizen in eine verstndliche Lsung ist allerdings schon immer notwendig gewesen - nicht erst beim Einsatz von Problem- Maps.

Vermischte Bemerkungen

Abwandlungen des Werkzeug- Mapping Werkzeug-Mapping verknpft Mindmapping und Lsungswerkzeuge miteinander und benutzt dazu ProblemMaps und Werkzeug- Maps. Dieser modulare Aufbau kann natrlich variiert werden: Zum Beispiel kann man anstelle der Werkzeug- Maps herkmmliche Listen verwenden oder die Werkzeug-Maps kombinieren mit herkmmlichen Aufzeichnungen zum Problem selber. Solche Variationen knnen vor allem whrend der Einfhrung des Werkzeug- Mapping ntzlich sein. In medias res Sowohl das Mind Mapping selber als auch das Handwerkskonzept der Lsungswerkzeuge sind intuitiv leicht zugnglich. Deshalb kann geprft werden, ob es mglich ist, diese Konzepte einfach zu benutzen, ohne sie aufwndig und zeitraubend einfhren zu mssen. Nicht um jeden Preis Werkzeug-Mapping ist vor allem geeignet fr komplexe Probleme - und eher hinderlich, wenn eine Lsung auf Anhieb zu erkennen ist. Zeitbedarf zu hoch - was tun? Die Einfhrung des Werkzeug- Mapping braucht Zeit - ein knappes Gut im regulren Unterricht. Auswege: - Einsatz auerhalb des Unterrichts, zum Beispiel in Arbeitsgemeinschaften zur Mathematik. - Hinweis an motivierte Schler (zumal in der Oberstufe), sich das Verfahren selbst anzueignen. Werkzeug-Mapping in anderen Fchern Werkzeug-Mapping ist selbstverstndlich nicht beschrnkt auf mathematische Probleme. (Es gibt in der Mathematik eher zustzliche Schwierigkeiten, weil Nebenrechnungen und Termumformungen nicht gut ins Layout der Problem-Map passen.) Es gibt eine groe Zahl von Werkzeugen zur Gliederung von Aufstzen, zur Untersuchung historischer Quellen, zur Analyse literarischer Texte usw., die im Rahmen des Werkzeug- Mapping benutzt werden knnen.

NAVIGIEREN BEIM PROBLEMLSEN

Beim Problemlsen geht es sehr grob gesprochen darum, einen Weg zu finden, der von einem Startzustand, also den Voraussetzungen, zu einem Zielzustand fhrt. Schwierigkeiten beim Problemlsen Bei der Konstruktion eines solchen Weges knnen verschiedene Schwierigkeiten auftreten - zum Beispiel kann es passieren, dass wir uns in einen Ansatz verbeien, ohne Fortschritte zu machen, dass wir die Orientierung verlieren oder dass wir die Suche nach einem Weg vorschnell aufgeben.

Was tun? Wir entwickeln nun eine einfache Klassifikation, um solche Schwierigkeiten besser zu erkennen und richtig zu reagieren. Wie sieht diese Klassifikation aus? Wir benutzen dabei drei Fragen: Was ist der aktuelle Ausgangspunkt? Was ist die Suchrichtung? Was ist die Suchstrategie?

Diese drei Fragen wollen wir nun genauer untersuchen. Was ist der aktuelle Ausgangspunkt? In Betracht kommen hier der Startzustand selbst, das Ziel, oder "dazwischen liegende" Punkte: Zum Beispiel ist bei manchen mathematischen Problemen klar, dass bei der Lsung der Zwischenwertsatz eine Rolle spielen knnte - wie

der aber auf die Voraussetzungen angewendet werden kann oder wie man vom Zwischenwertsatz zum Ziel gelangt, ist noch unklar. Wenn man bei der Lsung eines Problems nicht weiterkommt, so kann man zunchst feststellen, was der Ausgangspunkt ist und dann versuchen, diesen Ausgangspunkt zu variieren. Was ist die Suchrichtung? Hier geht es um die Frage, ob man versucht, sich vom Ausgangspunkt rckwrts auf den Startzustand oder vorwrts auf den Zielzustand zu bewegen. Natrlich ist vom Startzustand nur eine Vorwrts- und vom Zielzustand nur eine Rckwrtssuche mglich, aber schon von diesen beiden Mglichkeiten wird nur zu leicht eine bersehen. Auch hier empfiehlt es sich bei auftretenden Schwierigkeiten, die Suchrichtung festzustellen und sie dann zu ndern. Was ist die Suchstrategie? Es soll an dieser Stelle nur um zwei grundstzliche Ausprgungen der Suchstrategien gehen: Bin ich auf der Suche nach neuen Anstzen, oder versuche ich, einen bereits gefundenen Ansatz zu verfolgen und auszuwerten? (Im Englischen wird das auf die Formel "explore vs. exploit" gebracht.) Es ist offenkundig, dass diese beiden Suchstrategien sowohl bei der Vorwrts- als auch bei der Rckwrtssuche auftreten knnen. Die Frage nach der Suchstrategie kann insbesondere helfen, uns nicht bermig in einen Ansatz zu verbeien oder die Suche nach einer Lsung abzubrechen, anstatt nach neuen Anstzen zu suchen. Andererseits bewahrt uns der Wechsel von der Suche nach Anstzen zur Auswertung eines Ansatzes davor, nur unproduktiv Ideen zu sammeln, ohne eine Lsung zu finden.

STICHWORTSAMMLUNG

Allgemeinheit des Werkzeug- Mapping Die Methode des Werkzeug-Mapping ist, natrlich, universell und nicht auf die Mathematik beschrnkt. Fr verschiedene Fachgebiete knnen passende Werkzeuge in Werkzeug- Maps angeordnet und zum Einsatz gebracht werden. Werkzeug-Mapping und Computer Die Umsetzung des Werkzeug- Mapping mit Hilfe von Computern bietet groe Chancen. Hier nur ein paar erste Ideen: - Werkzeug-Maps knnten in Abhngigkeit von Parametern automatisch aus einer sehr umfangreichen Datenbank zusammengestellt werden. - Die praktische Benutzung von Problem- Maps und Werkzeug- Maps kann durch den Computer sehr erleichtert werden. Man vergleiche einmal heutige Mind- Mapping- Software mit der traditionellen Papier-Version. Problemlsen und Psychologie Die Frage nach der Psychologie des Problemlsens ist von groer praktischer Bedeutung: Ein Mechanismus lsst sich leichter steuern, wenn man ihn verstanden hat - das gilt auch fr Ablufe im menschlichen Denken. Die ntzlichsten Darstellungen dazu habe ich in den Bchern von Dietrich Drner gefunden. Letzte und vorletzte Dinge Die wichtigste Frage lautet: Mit welchen Problemen soll ich mich berhaupt beschftigen? Ich wei nicht, ob dabei mathematische Probleme die vorderen Pltze einnehmen werden.

LITERATUR

Diese Liste ist eine Zusammenstellung der Quellen, die ich besonders ntzlich gefunden habe. Bcher Beutelspacher, Albrecht (2002) Das ist o.B.d.A. trivial Tipps und Tricks zur Formulierung mathematischer Gedanken 6. Auflage, Vieweg, Braunschweig (Ntzliche Hinweise, wie man aus mathematischen Ideen einen verstndlichen und gut zu lesenden Text macht.) Bransford, John D.; Stein, Barry S. (1993) The IDEAL Problem Solver Freeman, New York (Die Autoren schlagen eine allgemeine Heuristik zum Lsen von Problemen vor und diskutieren Methoden zur Aneignung neuen Wissens und zum Lehren des Problemlsens.) Bryson, John; Ackermann, Fran; Eden, Colin; Finn, Charles (2004) Visible Thinking. Unlocking causal mapping for practical business results. Wiley, Chichester (Auseinandersetzung mit einer Sonderform des Concept Mapping.) Buzan, Tony; Buzan, Barry (1999) Das Mind-Map-Buch 4. Auflage, Mvg, Landsberg (Der Klassiker zum Thema. Erwartungsgem unkritisch gegenber der Methode.) Buzan, Tony (1999) Business Mind Mapping Ueberreuter, Frankfurt (Mind Maps im Wirtschaftsleben.) Courant, Richard; Robbins, Herbert (2001) Was ist Mathematik? Springer, Berlin (Ein klassischer berblick ber viele zentrale Themen der Mathematik.) Csikszentmihalyi, Mihaly (2001) Flow Das Geheimnis des Glcks 9. Auflage, Klett-Cotta, Stuttgart. (Einige Ideen zur Rckschau sind durch dieses Buch angeregt worden.) De Bono, Edward (2002) DeBonos neue Denkschule Mvg, Landsberg (De Bono beschreibt eine Reihe von Denktechniken und benutzt Abkrzungen fr Werkzeuge, um deren Anwendung zu erleichtern.) Drner, Dietrich (1987) Problemlsen als Informationsverarbeitung Kohlhammer, Stuttgart Drner, Dietrich (1989) Die Logik des Misslingens Rowohlt, Reinbek Drner, Dietrich (1998) Bauplan fr eine Seele Rowohlt, Reinbek

(Der Psychologie-Professor Dietrich Drner untersucht seit Jahrzehnten, wie Menschen sicch beim Problemlsen verhalten. Die Bcher Drners haben die Ideen auf diesen Seiten auerordentlich stark geprgt.) Engel, Arthur (1998) Problem-Solving Strategies Springer, New York (Aus den Bchern von Engel und Zeitz stammen viele Techniken zum Lsen mathematischer Probleme. Diese Bcher beschftigen sich vorwiegend mit Aufgaben aus groen Mathematik- Wettbewerben wie dem Bundeswettbewerb Mathematik BWM, weiteren nationalen Mathematik- Olympiaden wie der USAMO, sowie der Internationalen Mathematik-Olympiade IMO.) Fobes, Richard (1993) The Creative Problem Solver's Toolbox Solutions Through Innovations, Portland (Dieses Buch enthlt im Anhang eine bersicht "Radial Outline Of The Creative Problem Solver's Tools". Sowohl in der Grundidee wie auch in der Darstellung ist die Verwandtschaft zum Werkzeug- Mapping sehr gro. Mind Maps selbst werden in dem Buch jedoch nicht behandelt.) Funke, Joachim (2003) Problemlsendes Denken Kohlhammer, Stuttgart Heuser, Harro (1990) Lehrbuch der Analysis, Teil 1 Teubner, Stuttgart (Hieraus stammt das Kapitel ber unendliche Reihen.) Higgins, James M. (1994) 101 Creative Problem Solving Techniques The New Management Publishing Company, Winter Park (Eine Fundgrube, insbesondere fr Gruppen- Arbeitsmethoden.) Hoenig, Christopher (2000) The Problem Solving Journey Perseus Publishing, Cambridge (Mass.) Jones, Morgan D. (1998) 14 Powerful Techniques for Problem Solving Three Rivers Press, New York (Ein frherer Mitarbeiter des CIA beschreibt Lsungstechniken, zum Beispiel zur Beurteilung von Indizien.) Leuders, Timo (2001) Qualitt im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I und II Cornelsen Scriptor, Berlin Leuders, Timo (Hrsg.) (2003) Mathematik-Didaktik Cornelsen Scriptor, Berlin (Leuders behandelt u.a., wie Mind Maps beim Lsen mathematischer Probleme und beim Mathematiklernen benutzt werden knnen.) Lochhead, Jack (2001) Thinkback. A User's Guide to Minding the Mind Lawrence Earlbaum Associates, New Jersey (Ideen zu TAPPS = Thinking Aloud Pair Problem Solving in Verbindung mit Visualisierungstechniken.) Mason, John (1985) Hexeneinmaleins. Kreativ mathematisch denken. Oldenbourg, Mnchen (Hieraus stammen viele Ideen ber die Prozesse, die beim Lsen mathematischer Probleme ablaufen. Erschienen 2005 unter dem neuen Titel:

Mathematisch denken. Mathematik ist keine Hexerei.) Metzig, Werner; Schuster, Martin (2003) Lernen zu lernen Springer, Berlin Michalko, Michael (2001) Cracking Creativity Ten Speed Press, Berkeley (Kreativittswerkzeuge.) Mller, Horst (2005) Mind Mapping. Haufe, Planegg (Gut und gnstig.) Needham, Tristan (1998) Visual Complex Analysis Oford University Press (Verblffende Veranschaulichungen zu Stzen der Funktionentheorie. Zeitz empfiehlt das Buch zu Recht mit groem Nachdruck.) Nelson-Jones, Richard (1997) Using Your Mind Cassell, London (Das Buch beschftigt sich umfassend mit Strategien zum Umgang mit Emotionen beim Problemlsen. "Coping" spielt eine zentrale Rolle.) North, Klaus (2002) Wissensorientierte Unternehmensfhrung Gabler, Wiesbaden Nckles, Matthias; Gurlitt Johannes; Pabst, Tobias; Renkl, Alexander (2004) Mind Maps & Concept Maps. Visualisieren - Organisieren - Kommunizieren dtv, Mnchen Von der Oelsnitz, Dietrich; Hahmann, Martin (2003) Wissensmanagement Kohlhammer, Stuttgart (In diesem Buch und dem vorher genannten von North geht es um Prozesse und Techniken zur Weitergabe von Wissen.) Perkins, David (2001) Geistesblitze. Innovatives Denken lernen mit Archimedes, Einstein & Co. Campus, Frankfurt (Perkins benutzt sehr interessante Landschaftsmetaphern, um Denkprobleme und Denkstrategien zu diskutieren.) Perkins, David (1995) Outsmarting IQ: The Emerging Science Of Learnable Intelligence The Free Press, New York (Perkins stellt u.a. die groe Rolle "reflektiver" Intelligenz heraus.) Polya, George (1988) How to Solve It (dt.: Schule des Denkens) Princeton University Press, Princeton (Hier beschreibt Polya eine allgemeine Heuristik zum Lsen mathematischer Probleme.) Polya, George (1967) Vom Lsen mathematischer Aufgaben. Einsicht und Entdeckung, Lernen und Lehren Birkhuser, Basel und Stuttgart. (Ein weiterer Klassiker zum Thema Problemlsen in der Mathematik.)

Posamentier, Alfred S.; Krulik, Stephen (1998) Problem-Solving Strategies for efficient and elegant Solutions. A Resource for the Mathematics Teacher Corwin Press, California Pricken, Mario (2001) Kribbeln im Kopf Schmidt, Mainz (Kreativittstechniken fr die Werbebranche. Die Beispiele, meist Werbeanzeigen oder - plakate, sind uerst unterhaltsam.) Robertson, S. Ian (2001) Problem Solving Psychology Press, Hove Rubinstein, Moshe F. (1986) Tools for Thinking and Problem Solving Prentice-Hall, Englewood Cliffs Sell, Robert; Schimweg, Ralf (2002) Probleme lsen Springer, Berlin (Zentral in diesem Buch ist eine allgemeine Vorgehensweise zum Lsen von Problemen. Zudem gibt es viele berlegungen zu den Eigenschaften von Problemlsungswerkzeugen.) Straker, David (1997) Rapid Problem Solving with Post-it Notes Fisher Books, o.O. (Straker beschreibt verschiedene Techniken, in denen die verbreiteten Haftnotizen zum Lsen von Problemen eingesetzt werden.) Wickelgren, Wayne (1995) How to Solve Mathematical Problems Dover, New York Zeitz, Paul (1999) The Art and Craft of Problem Solving Wiley, New York (Mein Lieblingsbuch zum Lsen mathematischer Probleme. Auch hier stammen viele Aufgaben aus MathematikWettbewerben, insbesondere der USAMO und der IMO.)

DA N K S A G U N G

Fr Kommentare und Verbesserungsvorschlge zu den Ideen in diesem Aufsatz bedanke ich mich ganz herzlich u.a. bei den folgenden Personen: Werner Begoihn Dr. Astrid Brinkmann Hans-Jrgen Elschenbroich Dr. Jrg Konopka Dr. Armin Kramer Prof. Dr. Timo Leuders Hubert Massin Prof. Dr. Manfred Prenzel Dr. Frauke Rademann Prof. Dr. Harold Shapiro Martina Teepe Christian Wolf Zudem bedanke ich mich bei denen, die mir im Internet-Portal www.wer- weiss-was.de sehr ausfhrliche Antworten auf einige Fragen zum Lsen mathematischer Probleme gegeben haben. Fr die Untersttzung bei der Arbeit danke ich Gunther Zaiss.

B E R D E N AU TO R

Mein Name ist Thomas Teepe, ich wurde 1971 in Ibbenbren (Westfalen) geboren, habe in Mnster Mathematik und Physik studiert, war whrend dieser Zeit Stipendiat der Studienstiftung des deutschen Volkes, habe 2001 in Mnster mit einer Arbeit ber Genetische Algorithmen in Mathematik promoviert, arbeite als versicherungsmathematischer Berater bei einem Software- und Beratungshaus und lebe in Stuttgart. Meine Adresse: Dr. Thomas Teepe Alosenweg 37 70329 Stuttgart [email protected] Ich bin sehr interessiert an den Erfahrungen anderer mit dem Problemlsen, an Verbesserungsvorschlgen, alternativen Ideen, Literaturhinweisen usw. Schreiben Sie mir!