Mathematische Strukturen Sommersemester 2011 · Daneben gibt es noch diekontiniuierliche...

Organisatorisches Einfuhrung Grundlagen Algebraische Strukturen Kombinatorik Graphen Zusammenfassung

Vorlesung “Mathematische Strukturen”

Sommersemester 2011

Prof. Barbara KonigUbungsleitung: Mathias Hulsbusch

Barbara Konig Mathematische Strukturen 1


Das heutige Programm

Organisatorisches

VorstellungAblauf der Vorlesung und der UbungenPrufungLiteratur & Folien

Einfuhrung und Motivation

Inhalt der weiteren Vorlesung

Grundlagen: Mengen, Funktionen, Relationen, . . .



Wer sind wir?

Dozentin: Prof. Barbara Konig

Raum LF 264

E-Mail: barbara [email protected]

Sprechstunde: nach Vereinbarung

Ubungsleitung:

Mathias Hulsbusch

Raum LF 263

E-Mail: [email protected]

Web-Seite: www.ti.inf.uni-due.de/teaching/ss2011/mast/



Erreichbarkeit

Bitte verwenden Sie ab sofort nur noch Ihre offizielle Mail-Adresseder Universitat Duisburg-Essen ([email protected]), wennSie mit uns kommunizieren. Andere Mails werden in Zukunft nichtmehr beantwortet (Beschluss der Abteilungskonferenz).

Grunde:

Keine Probleme mit Spam-Filtern.

Vertrauliche Auskunfte erreichen den richtigen Adressaten.

Ziel: alle Studierenden sollten Ihre Universitats-Adresseaktivieren und damit zuverlassig erreichbar sein.

Weitere Informationen unter:

http://www.uni-due.de/zim/services/e-mail/



Einordnung

Diese Vorlesung ist fur

KOMEDIA-Studierende im 2. Semester

gedacht.



Vorlesungstermine

Vorlesungs-Termin:

Dienstag, 8:30–10:00 Uhr, im LB 107



Termine der Ubungsgruppen/Tutorien

Ubungsgruppen:

1. Di, 16-18 Uhr, LF 125

2. Mi, 8-10 Uhr, LF 125

3. Mi, 12-14 Uhr, LK 063

4. Mi, 14-16 Uhr, LE 120

6. Do, 8-10 Uhr, LC 137

7. Do, 12-14 Uhr, LF 125

Hinweise:

Gruppe 5 (Mi, 16-18 Uhr) wird ab sofort eingestellt. DieGruppen behalten jedoch ihre bisherigen Nummern.

Im Zeitraum 31.5.–2.6. fallen die Ubungsgruppen aus.



Hinweise zu den Ubungen

Bitte versuchen Sie, sich moglichst gleichmaßig auf dieUbungen zu verteilen. Dazu werden wir nach der ersten Wochedie Teilnehmerzahlen der einzelnen Ubungen bekanntgeben.

Besuchen Sie die Ubungen und machen Sie die Hausaufgaben!Diesen Stoff kann man nur durch regelmaßiges Uben erlernen.Auswendiglernen hilft nicht besonders viel.

Die Ubungen beginnen in der dritten Semesterwoche amDienstag, den 19. April.




Das Ubungsblatt wird jeweils am Dienstag ins Netz gestellt.Das erste Ubungsblatt wird am 12.4. bereitgestellt.

Die schriftlichen Aufgaben mussen bis spatestens Montag,16:00 Uhr, der darauffolgenden Woche abgegeben werden.In der darauffolgenden Woche wird dann das Ubungsblattbesprochen.

Einwurf in den Briefkasten neben dem Raum LF259 oderAbgabe per Moodle.

Bitte geben Sie auf Ihrer Losung deutlich die Vorlesung, IhrenNamen, Ihre Matrikelnumer und Ihre Gruppennnumer an.

Sie durfen in Zweier-Gruppen abgeben. Dabei mussen alleBeteiligten an derselben Ubungsgruppe teilnehmen.




Wir verwenden Moodle, um:

die Aufgabenblatter zur Verfugung zu stellen,

die Hausaufgaben elektronisch (nur PDF!) abzugeben und

um Diskussionsforen bereitzustellen.

Moodle-Plattform an der Universitat Duisburg-Essen:http://moodle.uni-due.de/ (siehe auch Link auf der Webseite)

Bitte legen Sie dort einen Zugang an (falls noch nicht vorhanden)und tragen Sie sich in den Kurs “Mathematische Strukturen 2011”(Abteilung Informatik und Angewandte Kognitionswissenschaft →Theoretische Informatik) ein.

Zugangsschlussel: . . .



Klausur

Die Vorlesung wird durch eine Klausur am Ende des Semestersgepruft. Der geplante Termin ist der 28. Juli.

Die Anmeldung erfolgt uber das Prufungsamt.



Klausur

Es gibt folgende Bonusregelung:

Wenn Sie 80% der Aufgaben bearbeitet haben und dabei 50%der Punkte erzielt haben, so erhalten Sie einen Bonus fur dieKlausur.

Auswirkung: Verbesserung um eine Notenstufe; z.B. von 2,3auf 2,0

Eine Aufgabe gilt als bearbeitet, wenn man fur sie mindestenseinen Punkt erhalten hat.

Vorsicht: Moodle zeigt nur die Prozentzahl der Punkte fur dieabgegebenen Blatter an!



Literatur

Harald Scheid, WolfgangSchwarz: Elemente derArithmetik und Algebra.Spektrum 2008



Literatur

Lutz Warlich: Grundlagen derMathematik fur Studium undLehramt: Mengen, Funktionen,Teilbarkeit, Kombinatorik,Wahrscheinlichkeit.Books on Demand, 1. Auflage(Juli 2006)



Literatur

Angelika Steger: DiskreteStrukturen 1. Kombinatorik,Graphentheorie, Algebra.Springer 2007

http://www.springerlink.com/content/p18557/(zugreifbar uber den Uni-Account)



Literatur

Martin Aigner: DiskreteMathematik. Vieweg+Teubner,2006.



Literatur

Hinweise:

Die Bucher sind als Erganzung gedacht, sie prasentieren denStoff oft aus einem anderen Blickwinkel.

Sehen Sie sich die Bucher erst an, bevor Sie sie kaufen. Nichtjede/r kommt mit jedem Buch zurecht.

Die Bibliothek (LK) ist ein guter Platz um nach Buchern zustobern (Mathematik-Abteilung im 1. Stock,Lehrbuchsammlung im Keller)



Folien

Folien werden

im Anschluss an die Vorlesung im Web als PDF bereitgestelltund

regelmaßig aktualisiert.

Die Folien werden im wesentlichen gleich zu den Folien ausdem Sommersemester 2010 sein (erhaltlich uber die Webseiteder letztjahrigen Vorlesung).



Inhalt

Grundlagen(Mengen, Relationen, Funktionen)

Algebraische Strukturen(Gruppen, Korper, Vektorraume, Matrizen)

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

Graphen



Inhalt

Diskrete Mathematik

In dieser Vorlesung geht es fast ausschließlich um diskreteMathematik, d.h., um das Arbeiten mit endlichen oder abzahlbarenMengen von Elementen.

Daneben gibt es noch die kontiniuierliche Mathematik (Analysis,etc.), in der man mit reellen oder komplexen Zahlen arbeitet.(Ableitung, Integration von Funktionen, etc.)



Inhalt

Grundlagen (Mengen, Relationen, Funktionen)

Wir besprechen/wiederholen grundlegende Konzepte derMathematik.Wie beschreibt man Ansammlungen von Elementen? MengenWie beschreibt man Zusammenhange zwischen Mengen? Relationen, FunktionenAußerdem besprechen wir grundlegende Zahlentheorie (Primzahlen,etc.).

1

2

3

a

b

c

d



Inhalt

Algebraische Strukturen (Gruppen, Korper, Vektorraume,Matrizen)

Wir behandeln grundlegende Rechenstrukturen (Gruppen, Korper)und Anwendungen in der Kryptographie.Anschließend: Vektorraume und Matrizen mit Anwendungen in derDarstellung von mehrdimensionalen Raumen. Losen vonGleichungssystemen.

A =

1 2 34 5 67 8 9

y

x

(4,5)



Inhalt

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

Abzahlen von Mengen und Berechnen von Wahrscheinlichkeiten.“Ziehen aus Urnen” und andere Modelle mit praktischenBeispielen.



Inhalt

Graphen

Graphen: Netzartige Strukturen, bestehend aus Knoten undKanten.Graphen spielen in der Informatik eine große Rollen: zurModellierung, fur Algorithmen und Verfahren, etc.



Mathematik im KOMEDIA-Studium

Statistik (Inferenz-Statistik, Deskriptive Statistik)( Kombinatorik)

Informatik ( u.a. Graphen)

Multimedia Engineering/Multimediasysteme( Vektorrechnung, z.B. fur Grafiken)

Modellierung ( Grundlagen: Mengen, Relationen,Funktionen, Matrizenrechnung, Graphen)

Mensch-Computer-Interaktion ( Visualisierung undNavigation mit Graphen)

Datenbanken ( Relationen)

In Praxisprojekten, im Master-Studium



Mengen

Menge

Menge M von Elementen, wird beschrieben als Aufzahlung

M = 0, 2, 4, 6, 8, . . .

oder als Menge von Elementen mit einer bestimmten Eigenschaft

M = n | n ∈ N0 und n gerade.

Allgemeines Format:M = x | P(x)

(M ist Menge aller Elemente x , die die Eigenschaft P erfullen.)



Mengen

Bemerkungen:

Die Elemente einer Menge sind ungeordnet, d.h., ihreOrdnung spielt keine Rolle. Beispielsweise gilt:

1, 2, 3 = 1, 3, 2 = 2, 1, 3 = 2, 3, 1 = 3, 1, 2 = 3, 2, 1

Ein Element kann nicht “mehrfach” in einer Menge auftreten.Es ist entweder in der Menge, oder es ist nicht in der Menge.Beispielsweise gilt:

1, 2, 3 6= 1, 2, 3, 4 = 1, 2, 3, 4, 4



Mengen

Element einer Menge

Wir schreiben a ∈ M, falls ein Element a in der Menge Menthalten ist.

Anzahl der Elemente einer Menge

Fur eine Menge M gibt |M| die Anzahl ihrer Elemente an.

Teilmengenbeziehung

Wir schreiben A ⊆ B, falls jedes Element von A auch in Benthalten ist. Die Beziehung ⊆ heißt auch Inklusion.

Leere Menge

Mit ∅ oder bezeichnet man die leere Menge. Sie enthalt keineElemente und ist Teilmenge jeder anderen Menge.



Mengen

Vereinigung

Die Vereinigung zweier Mengen A,A ist die Menge M, die dieElemente enthalt, die in A oder B vorkommen. Man schreibt dafurA ∪ B.

A ∪ B = x | x ∈ A oder x ∈ B

Schnitt

Der Schnitt zweier Mengen A,B ist die Menge M, die die Elemententhalt, die sowohl in A als auch in B vorkommen. Man schreibtdafur A ∩ B.

A ∩ B = x | x ∈ A und x ∈ B



Mengen

Veranschaulichung von Vereinigung und Schnitt durchVenn-Diagramme:

Blau eingefarbte Flacheentspricht der Vereinigung A∪B

Blau eingefarbte Flacheentspricht dem Schnitt A ∩ B



Mengen

Mengendifferenz

Seien A,B zwei Mengen. Dann bezeichnet A\B die Menge allerElemente, die in A vorkommen und in B nicht vorkommen.

A\B = x | x ∈ A und x 6∈ B

Beispiele:

0, 1, 2, 3, 4, 5\0 = 1, 2, 3, 4, 5a, b, c\c , d = a, b



Mengen

Veranschaulichung der Mengendifferenz durch ein Venn-Diagramm:

Blau eingefarbte Flache entspricht der Mengendifferenz A\B



Mengen

Potenzmenge

Sei M eine Menge. Die Menge P(M) ist die Menge allerTeilmengen von M.

P(M) = A | A ⊆ M

Beispiel:P(1, 2, 3) = ∅, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 2, 3.

Es gilt: |P(M)| = 2|M| (fur eine endliche Menge M).



Mengen

Kreuzprodukt (kartesisches Produkt)

Seien A,B zwei Mengen. Die Menge A× B ist die Menge allerPaare (a, b), wobei die erste Komponente des Paars aus A, diezweite aus B kommt.

A× B = (a, b) | a ∈ A, b ∈ B

Beispiel:1, 2 × 3, 4, 5 = (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)

Es gilt: |A× B| = |A| · |B| (fur endliche Menge A,B).



Mengen

Bemerkungen:

Wir betrachten nicht nur Paare, sondern auch sogenannteTupel, bestehend aus mehreren Komponenten. Ein Tupel(a1, . . . , an) bestehend aus n Komponenten heißt auchn-Tupel.

In einem Tupel sind die Komponenten geordnet! Es gilt z.B.:

(1, 2, 3) 6= (1, 3, 2) ∈ N0 × N0 × N0

Eine Komponente kann “mehrfach” in einem Tupel auftreten.Tupel unterschiedlicher Lange sind immer verschieden.Beispielsweise:

(1, 2, 3, 4) 6= (1, 2, 3, 4, 4)

Runde Klammern (, ) und geschweifte Klammern , stehen furganz verschiedene mathematische Objekte!



Relationen

Relation zwischen der Menge A und der Menge B

Eine Teilmenge R ⊆ A× B des Kreuzprodukts von A und B heißtRelation zwischen A und B.

Beispiel:A = 1, 2, 3 B = a, b, c , d R = (1, a), (1, b), (2, b), (3, d)

Relationen konnen auf folgende Weise graphisch dargestellt werden:

1

2

3

a

b

c

d



Relationen

Schreibweise: wir notieren folgendermaßen, dass ein Paar in einerRelation liegt

Standard-Schreibweise: (2, b) ∈ R

Infix-Schreibweise: 2 R b

Fur Relationen wie =, <, ≤, >, ≥ wird fast immer dieInfix-Schreibweise verwendet(Beispielsweise 2 < 5, 7 ≥ 3)



Relationen

Weiteres Beispiel: Zuordnung von Studierenden zu Veranstaltungen

Ingo

Selim

Petra

StrukturenMath.

Model-lierung

A = Ingo,Selim,PetraB = Math.Strukturen,ModellierungR = (Ingo,Math.Strukturen), (Ingo,Modellierung),

(Selim,Math.Strukturen)



Relationen

Wir sehen uns nun einige besondere Arten von Relationen an:

Funktionen

Aquivalenzrelationen

Ordnungen



Funktionen

Funktion von der Menge A in die Menge B

Eine Relation f ⊆ A× B heißt Funktion, wenn folgendes gilt:

fur jedes Element a ∈ A gibt es genau ein Element b ∈ B mit(a, b) ∈ R.

Anschaulich: jedes Element in der Menge A hat genau einenausgehenden Pfeil. (Die vorherigen Beispiels-Relationen waren alsokeine Funktionen.)



Funktionen

Notation von Funktionen

f : A → B

a 7→ f (a)

Die Funktion f bildet ein Element a ∈ A auf ein Element f (a) ∈ Bab. Dabei ist A der Definitionsbereich und B der Wertebereich.

Beispiel (Quadratfunktion):

f : Z→ N0, f (n) = n2

. . . ,−3 7→ 9,−2 7→ 4,−1 7→ 1, 0 7→ 0, 1 7→ 1, 2 7→ 4, 3 7→ 9, . . .

Dabei ist N0 die Menge der naturlichen Zahlen (mit der Null) undZ die Menge der ganzen Zahlen.



Funktionen

Bild und Urbild einer Menge

Sei f : A→ B eine Funktion und A′ ⊆ A. Dann nennt man dieMenge

f (A′) = f (a) | a ∈ A′

das Bild von A′ unter der Funktion f .

Sei nun B ′ ⊆ B. Die Menge

f −1(B ′) = a ∈ A | f (a) ∈ B ′

heißt das Urbild von B ′ unter der Funktion f .



Funktionen

Injektive Funktion

Eine Funktion f : A→ B heißt injektiv, falls es keine Elementea1, a2 ∈ A gibt mit a1 6= a2 und f (a1) = f (a2).

Anschaulich: auf kein Element im Wertebereich zeigt mehr als einPfeil.

Surjektive Funktion

Eine Funktion f : A→ B heißt surjektiv, falls es fur jedes b ∈ B(mindestens) ein a ∈ A gibt mit f (a) = b.

Anschaulich: auf jedes Element im Wertebereich zeigt(mindestens) ein Pfeil.



Funktionen

Bijektive Funktion

Eine Funktion f : A→ B heißt bijektiv, falls sie injektiv undsurjektiv ist.

Anschaulich: auf jedes Element im Wertebereich zeigt genau einPfeil. D.h., es gibt eine eins-zu-eins-Zuordnung zwischen denElementen des Definitionsbereichs und des Wertebereichs



Funktionen

Bemerkung: Die bijektiven Funktionen sind genau die invertierbarenFunktionen. Zu einer bijektiven Funktion f : A→ B gibt es eineUmkehrfunktion f −1 : B → A mit folgenden Eigenschaften:

f −1(f (a)) = a fur alle a ∈ A

f (f −1(b)) = b fur alle b ∈ B

Beispiel: Die Funktion

f : Z→ Z z 7→ z − 1

hat als Umkehrfunktion

f −1 : Z→ Z z 7→ z + 1



Funktionen

Verknupfung von Funktionen

Gegeben seien zwei Funktionen f : A→ B und g : B → C . Mitg f bezeichnen wir die Verknupfung oderHintereinanderausfuhrung von f und g . Diese Funktion ist wiefolgt definiert:

g f : A → C

a 7→ g(f (a))

Af //

gf@@B

g// C



Funktionen

Beispiel: Funktionsverknupfung

1

2

a

b

c

d3

X

Y

Z

f g



Funktionen

Beispiel: Funktionsverknupfung

1

2

3

X

Y

Z

g f



Relationen

Wir betrachten nun spezielle Relationen, die nur auf einer Menge Adefiniert sind.

Aquivalenzrelation

Eine Relation R ⊆ A× A heißt Aquivalenzrelation, falls folgendesgilt:

Reflexivitat: fur alle a ∈ A gilt (a, a) ∈ R.

Transitivitat: falls fur beliebige a, b, c ∈ A (a, b) ∈ R und(b, c) ∈ R gilt, so muss auch (a, c) ∈ R gelten.

Symmetrie: falls fur beliebige a, b ∈ A (a, b) ∈ R gilt, so mussauch (b, a) ∈ R gelten.



Relationen

Beispiel fur eine Aquivalenzrelation:

R = (x , y) ∈ N0 × N0 | x , y haben denselben Divisionsrest

bei ganzzahliger Division durch 3



Relationen

Bemerkung:

Durch eine Aquivalenzrelation R ⊆ A×A zerfallt die Menge Ain sogenannte Aquivalenzklassen.

Graphische Darstellung von Aquivalenzklassen fur dasvorherige Beispiel:

. . .

1

4

7

. . .

0

3

6

. . .

2

5

8



Relationen

Aquivalenzklassen

Sei R ⊆ A× A eine Aquivalenzrelation und a ∈ A. DieAquivalenzklasse von a ist

[a]R = a′ ∈ A | a R a′

Fur zwei Element a, b ∈ A gilt entweder [a]R = [b]R oder[a]R ∩ [b]R = ∅.



Relationen

(Partielle) Ordnung

Eine Relation R ⊆ A× A heißt (partielle) Ordnung, falls folgendesgilt:

Reflexivitat: fur alle a ∈ A gilt (a, a) ∈ R.

Transitivitat: falls fur beliebige a, b, c ∈ A (a, b) ∈ R und(b, c) ∈ R gilt, so muss auch (a, c) ∈ R gelten.

Antisymmetrie: falls fur beliebige a, b ∈ A (a, b) ∈ R und(b, a) ∈ R gilt, so muss a = b gelten, d.h., a und b mussendann gleich sein.



Relationen

Bei der Definition einer Ordnung hat sich gegenuber der Definitioneiner Aquivalenzrelation nur die letzte Eigenschaft geandert(Antisymmetrie versus Symmetrie).

Achtung: Antisymmetrie ist nicht das Gegenteil von Symmetrie!Jede Gleichheitsrelation erfullt beide Eigenschaften.



Relationen

Beispiel fur eine Ordnung:

Wir betrachten die Potenzmenge P(M) einer festen Menge M unddie Mengeninklusion ⊆.



Relationen

Ordnungen werden graphisch als sogenannte Hasse-Diagrammedargestellt:

Falls a R b (und a 6= b) gilt,dann:

liegt a unterhalb von b und

wenn keine Elemente“zwischen” a und b liegen(bezuglich R), dann werdenbeide mit einer Linieverbunden.

Beispiel: P(x , y , z) undInklusion ⊆

x , y , z

x , y

tttttttttx , z y , z

JJJJJJJJJ

x

tttttttttty

JJJJJJJJJJ

ttttttttttz

JJJJJJJJJJ

∅

KKKKKKKKKKK

sssssssssss



Zahlen

Wir betrachten folgende spezielle Mengen von Zahlen:

Naturliche Zahlen mit 0

N0 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .

Ganze Zahlen

Z = . . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .



Zahlen

Rationale Zahlen

Q: die Menge aller Bruche (= Menge aller Kommazahlen mitendlicher oder periodischer Dezimaldarstellung)

2 −4 12

277 0, 75 32, 333417 1

3 = 0, 3333 . . . = 0, 3

Reelle Zahlen

R: die Menge aller reellen Zahlen (= Menge aller Kommazahlenmit beliebiger – auch unendlicher, nicht-periodischer –Dezimaldarstellung)

2 −4 12 π = 3, 14159 . . . e = 2, 718281 . . .



Zahlen

Division mit Rest

Seien a, b ∈ Z zwei ganze Zahlen mit a 6= 0. Dann gibt eseindeutig bestimmte Zahlen z , r ∈ Z mit 0 ≤ r < |a| und

z · a + r = b

z heißt Ergebnis der ganzzahligen Division von b durch a undman schreibt z = b div a.

r heißt Rest der ganzzahligen Division von b durch a und manschreibt r = b mod a.

Dabei ist |a| der Absolutwert von a, beispielsweise ist | − 7| = 7.Im folgenden wird a aber immer eine positive ganze Zahl sein.



Zahlen

Konkret (z.B. bei Verwendung eines Taschenrechners) lassen sich(b div a) und (b mod a) folgendermaßen berechnen (fur den Fall,dass a > 0):

b div a =

⌊b

a

⌋b mod a = b − a ·

⌊b

a

⌋Dabei steht bqc mit q ∈ R fur die Abrundung von q nach unten.D.h., bqc ist die großte ganze Zahl, die kleiner gleich q ist.

Beispiele: b3c = 3, b5, 17c = 5, bπc = 3, b−1c = −1,b−0, 7c = −1



Zahlen

Ein Spezialfall der Division mit Rest ist die Teilbarkeit:

Teilbarkeit

Seien a, b ∈ Z zwei ganze Zahlen. Man sagt, a teilt b, wenn es einz ∈ Z gibt mit a · z = b.Wir schreiben auch a | b und nennen a Teiler von b.

Bemerkung: Hier wird auch a = 0 erlaubt.

Die Relation | (Teilbarkeit) ist eine partielle Ordnung, wenn mansie auf die naturlichen Zahlen einschrankt.



Zahlen

Gelten folgende Beziehungen?

2 | 18 (Ja, z = 9)−7 | 14 (Ja, z = −2)3 | 10 (Nein)0 | 0 (Ja, z beliebig)0 | 7 (Nein)7 | 0 (Ja, z = 0)



Zahlen

Primzahl

Eine Zahl p ∈ N0 heißt Primzahl, wenn folgendes gilt:

p 6= 0 und p 6= 1

die einzigen Teiler von p in den naturlichen Zahlen sind 1 undp selbst.

Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, . . .

Es gibt unendlich viele Primzahlen.



Zahlen

Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung

Sei n ∈ N0 mit n 6= 0 eine naturliche Zahl. Ein Produktp1 · · · · · pm = n von Primzahlen heißt Primfaktorzerlegung von n.

Jede Zahl n 6= 0 besitzt eine solche Primfaktorzerlegung.Wenn man zudem verlangt, dass die Primfaktoren in aufsteigenderReihenfolge angeordnet sind (pi ≤ pj fur i < j), so ist diePrimfaktorzerlegung einer Zahl eindeutig.

Bemerkungen:

Die Primfaktorzerlegung von 1 ist das leere Produkt.

Wenn wir auch die 1 als Primzahl einfuhren wurden, sowurden wir die die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegungverlieren. (7 = 1 · 7 = 1 · 1 · 7 = . . . ).



Zahlen

Großter gemeinsamer Teiler

Seien a, b ∈ N0. Eine Zahl d ∈ N0 heißt großter gemeinsamerTeiler von a und b (d = ggT (a, b)), falls folgendes gilt:

d | a und d | b, d.h., d teilt sowohl a als auch b.

fur jede andere naturliche Zahl d ′, die a und b teilt, gilt:d ′ ≤ d .



Zahlen

Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Seien a, b ∈ N0. Eine Zahl m ∈ N0 mit m 6= 0 heißt kleinstesgemeinsames Vielfaches von a und b (m = kgV (a, b)), fallsfolgendes gilt:

a | m und b | m, d.h., sowohl a als auch b teilen m.

fur jede andere naturliche Zahl m′, die von a und b geteiltwird, gilt: m ≤ m′.



Zahlen

Wie bestimmt man den großten gemeinsamen Teiler?

Bestimmung von d = ggT (a, b) – Methode 1

Bestimme die Primfaktorzerlegungen von a und b

Betrachte alle Primfaktoren p, die in beiden Zerlegungenvorkommen: angenommen p kommt in a k-mal und in b `-malvor. Dann kommt p in d genau min(k , `)-mal vor.

Beispiel: ggT (12, 30)

12 = 2 · 2 · 3, 30 = 2 · 3 · 5ggT (12, 30) = 2 · 3 = 6.



Zahlen

Bestimmung von d = ggT (a, b) – Methode 2

ggT (0, a) = a

ggT (a, b) = ggT (b, a)

ggT (a, b) = ggT (a− b, b), falls b ≤ a

Wende diese Regeln zur ggT -Berechnung so lange an, bis einAusdruck der Form ggT (0, a) erreicht wird.

ggT (12, 30) = ggT (30, 12) = ggT (18, 12) = ggT (6, 12)

= ggT (12, 6) = ggT (6, 6) = ggT (0, 6) = 6



Zahlen

Bemerkung:

Die Methode 2 ist bei weitem effizienter, insbesondere, wenn mandie dritte Regel durch

ggT (a, b) = ggT (a mod b, b) falls b ≤ a

ersetzt.



Zahlen

Der ggT und die ggT -Berechnung sind ein wichtiges Werkzeug furdas Losen bestimmter Gleichungen.

Losen diophantischer Gleichungen

Gegeben seien a, b, c ∈ Z. Wir suchen Losungen x , y ∈ Z derGleichung

a · x + b · y = c

Es gilt:

Diese Gleichung hat genau dann eine Losung, wennggT (a, b) | c .



Zahlen

Fur Gleichungen der Form a · x + b · y = ggT (a, b) kann man x , ydadurch bestimmen, dass man die ggT -Berechnung “ruckwarts”nachvollzieht.

Beispiel: Losen von 30 · x + 12 · y = 6.

ggT (12, 30) = ggT (12, 18) = ggT (6, 12) = ggT (6, 6)

= ggT (6, 0) = ggT (0, 6) = 6

Dabei wurden die Zahlen folgendermaßen ermittelt:18 = 30− 12, 6 = 18− 12.

Damit kann man einsetzen:

6 = 18− 12 = (30− 12)− 12 = 30 · 1 + 12 · (−2)

Und damit hat man eine Losung x = 1, y = −2.



Zahlen

Gleichungen der Form a · x + b · y = c mit c 6= ggT (a, b) (aberggT (a, b) | c) kann man folgendermaßen losen:

Zunachst die Gleichung a · x ′ + b · y ′ = ggT (a, b) losen.

Dann die Losungen x ′, y ′ mit c/ggT (a, b) multiplizieren, dasergibt die Losungen x , y .

Beispiel: Losen von 30 · x + 12 · y = 24 Losen von 30 · x ′ + 12 · y ′ = 6 ergibt x ′ = 1, y ′ = −2. mit 24/6 = 4 multiplizieren ergibt x = 4, y = −8.



Zahlen

Teilerfremdheit

Zwei Zahlen a, b ∈ N0 heißen teilerfremd, falls ggT (a, b) = 1.

Eulersche ϕ-Funktion

Die Eulersche ϕ-Funktion ϕ : N0 → N0 ist folgendermaßendefiniert:

ϕ(n) mit n ∈ N0 ist die Anzahl der Zahlen zwischen 1 und n,die zu n teilerfremd sind.

ϕ(n) = |m ∈ N0 | 1 ≤ m ≤ n und ggT (m, n) = 1|



Zahlen

Beispiele (Eulersche ϕ-Funktion):

n ϕ(n) n ϕ(n)

0 0 7 61 1 8 42 1 9 63 2 10 44 2 11 105 4 12 46 2 13 12

Fur eine Primzahl p gilt ϕ(p) = p − 1.



Monoide, Gruppen, Korper

Wir betrachten nun grundlegende “Rechenstrukturen”. Das sindStrukturen, mit denen man rechnen kann wie mit(naturlichen/rationalen/reellen) Zahlen, die aber moglicherweiseandere Elemente enthalten.

Dabei beantworten u.a. wir folgende Fragen:

Welche (gemeinsamen) Eigenschaften haben Addition undMultiplikation?

Wie unterscheiden sich N0 und Z?

Kann man auch mit endlichen Mengen von Objekten rechnen?

Was sind mogliche Anwendungen in der Kryptographie?




Monoid

Gegen sei eine Menge M und eine zweistellige Abbildung : M ×M → M. Wir benutzen meist die Infix-Schreibweise:((m1,m2)) = m1 m2 und bezeichnen als zweistelligenOperator.

(M, ) heißt Monoid, falls folgendes gilt:

ist assoziativ, d.h., es gilt m1 (m2 m3) = (m1 m2) m3

fur alle m1,m2,m3 ∈ M.

Es gibt ein neutrales Element e ∈ M, fur das gilt:e m = m e = m fur alle m ∈ M.




(Gegen-)Beispiele fur Monoide

(N0,+), (Z,+), (Q,+), (R,+) sind Monoide(neutrales Element: 0)

(N0, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·) sind Monoide(neutrales Element: 1)

(Z,−) ist kein Monoid(fehlende Assoziativitat)




Modulo-Rechnen

Wir definieren Zn = 0, 1, . . . , n − 1 mit folgender Addition +n

und Multiplikation ·n. Seien k , ` ∈ Zn, dann gilt:

k +n ` = (k + `) mod n k ·n ` = (k · `) mod n

(Zn,+n) und (Zn, ·n) sind Monoide(mit neutralen Elementen 0 bzw. 1)

Sie spielen eine große Rolle u.a. in der Kryptographie undKodierungstheorie.




Bemerkungen:

Bei Modulo-Rechnungen kann man Addition/Multiplikation undModulo-Rechnung beliebig tauschen. Es gilt namlich:

Modulo-Gesetze

(a + b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n

(a · b) mod n = ((a mod n) · (b mod n)) mod n

ak mod n = (a mod n)k mod n

Statt (x mod n) = (a mod n) schreibt man oft auch:

x ≡ a (mod n).




Additions-/Multiplikationstabellen fur Z5:

+n 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 24 4 0 1 2 3

·n 0 1 2 3 4

0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 42 0 2 4 1 33 0 3 1 4 24 0 4 3 2 1




In vielen Fallen (z.B. zum Losen von Gleichungssystemen) benotigtman beim Rechnen etwas mehr Struktur: man braucht sogenannteInverse.

Gruppe

Ein Monoid (G , ) mit neutralem Element e heißt Gruppe, wennzusatzlich zu den Monoid-Eigenschaften noch folgendes gilt:

fur jedes g ∈ G gibt es ein g−1 ∈ G mit g g−1 = e.

Dabei heißt g−1 das Inverse von g .

(G , ) heißt kommutative Gruppe (oder abelsche Gruppe), fallsaußerdem g1 g2 = g2 g1 fur alle g1, g2 ∈ G gilt.

Bemerkung: In jeder Gruppe gilt nicht nur g g−1 = e, sondernauch g−1 g = e fur alle g ∈ G .




(Gegen-)Beispiele fur Gruppen

(Z,+), (Q,+), (R,+) sind Gruppen(Inverses zu x ist −x)

(N0,+) ist keine Gruppe(fehlende Inverse)

(Q\0, ·), (R\0, ·) sind Gruppen(Inverses zu x ist 1

x )

(Q, ·), (R, ·) sind keine Gruppen(0 hat kein Inverses)

(Z, ·), (Z\0, ·) sind keine Gruppen(fehlende Inverse)




(Gegen-)Beispiele fur Gruppen (Fortsetzung)

(Zn,+n) ist eine Gruppe

(Zn, ·n) ist keine Gruppe(0 hat kein Inverses)

(Zn\0, ·n) ist nur dann eine Gruppe, wenn n eine Primzahlist.




Warum existieren in (Zn\0, ·n) nicht alle multiplikativenInversen, wenn n keine Primzahl ist?

Erklarung: sei m ∈ Zn\0 mit ggT (m, n) = d 6= 1, d.h., m und nsind nicht teilerfremd. Wenn n keine Primzahl ist, so gibt es solcheZahlen m, unter anderem die Teiler von n.

Die Zahl m kann kein multiplikatives Inverses haben. Denn fur einsolches Inverses x musste gelten:

m ·n x = 1 genau dann, wenn (m · x) mod n = 1 genaudann, wenn es ein y ∈ Z gibt mit: m · x = n · y + 1.

Allerdings ist die linke Seite der Gleichung (m · x) durch d teilbar,denn m ist durch d teilbar. Die rechte Seite der Gleichung(n · y + 1) ist nicht durch d teilbar, denn n und damit n · y sindbereits durch d teilbar.Also kann diese Beziehung nicht gelten und es gibt kein solches x .




Am Beispiel n = 4:

Es gilt n = 4 = 2 · 2, d.h., 4 ist keine Primzahl.

m = 2 hat kein Inverses in Z4, denn ggT (2, 4) = 2 6= 1.

Insbesondere hat die Gleichung 2 ·4 x = (2 · x) mod 4 = 1 keineLosung: 2 · x ist eine gerade Zahl und (2 · x) mod 4 ist ebenfallseine gerade Zahl. D.h., man kann niemals das Ergebnis 1 erhalten.

Die Zahlen 1 und 3 sind allerdings teilerfremd zu n und besitzenInverse in Z4.




Inversenbildung in (Zn,+n)

Das Inverse zu m ∈ Zn bezuglich der Addition +n ist−nm = (−m) mod n = (n −m) mod n. Es gilt:

m +n (−nm) = (m + (−m)) mod n = 0 mod n = 0




Fur die Bildung von multiplikativen Inversen in Zn benotigen wirfolgenden Satz:

Satz von Euler-Fermat

Fur teilerfremde Zahlen m, n ∈ Z gilt:

mϕ(n) mod n = 1




Inversenbildung in (Zn, ·n) (Methode 1)

Mit dem Satz von Euler-Fermat:

m−1 = mϕ(n)−1 mod n

Denn es gilt

m ·n m−1 = (m ·mϕ(n)−1) mod n = mϕ(n) mod n = 1

Bemerkung: Inversenbildung funktioniert nur dann, wenn m, nteilerfremd sind. Das gilt auf jeden Fall, falls m 6= 0 und n einePrimzahl ist.




Beispiel: Wir berechnen das multiplikative Inverses von 3 in Z5.

3−1 = 3ϕ(5)−1 mod 5 = 33 mod 5 = 27 mod 5 = 2

Test: 3 ·5 2 = (3 · 2) mod 5 = 6 mod 5 = 1.




Inversenbildung in (Zn, ·n) (Methode 2)

Das Inverse zu m ∈ Zn bezuglich der Multiplikation ·n kann auchfolgendermaßen bestimmt werden:

Diophantische Gleichung m · x + n · y = 1 losen.

Bestimme Inverses m−1 = x mod n.

Denn es gilt:

m ·n m−1 = m ·n (x mod n) = (m ·x) mod n = (1−n ·y) mod n = 1

Diese Methode funktioniert auch dann, wenn der Wert ϕ(n) nichteinfach berechnet werden kann (z.B. wenn n sehr groß ist).




Beispiel: Wir berechnen wieder das multiplikative Inverses von 3 inZ5.

Lose 3 · x + 5 · y = 1:

ggT (3, 5) = ggt(3, 2) = ggT (2, 3) = ggT (2, 1) = ggT (1, 2)

=ggT (1, 1) = ggT (1, 0) = ggT (0, 1) = 1

Ruckwarts einsetzen: 1 = 3− 2 = 3− (5− 3) = 3 · 2 + 5 · (−1)

Wir erhalten die Losungen x = 2, y = −1

Bestimme m−1 = x mod n = 2 mod 5 = 2.




Tabelle der Inversen in (Z5\0, ·5):

m 1 2 3 4

m−1 1 3 2 4




Nun betrachten wir noch eine Rechenstruktur, die zwei(miteinander kompatible) Operationen (normalerweise + und ·)vereint.

Korper

Sei (K ,+, ·) ein Tupel, das aus einer Menge K und zweizweistelligen Operationen + und · auf K besteht.

(K ,+, ·) heißt Korper, falls folgendes gilt:

(K ,+) ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element 0.

(K\0, ·) ist eine kommutative Gruppe mit neutralemElement 1.

Das Distributivgesetz gilt: das heißt, fur all a, b, c ∈ K gilt:a · (b + c) = a · b + a · c .




Korperaxiome (Zusammenfassung, Teil 1)

Fur einen Korper (K ,+, ·) muss gelten:

+: K × K → K und · : K × K → K sind zweistelligeOperationen auf K .

+ und · sind assoziativ, d.h., es gilt fur alle x , y , z ∈ K :

(x + y) + z = x + (y + z) und (x · y) · z = x · (y · z)

+ hat ein neutrales Element, welches mit 0 bezeichnet wirdund · hat ein neutrales Element, welches mit 1 bezeichnetwird.




Korperaxiome (Zusammenfassung, Teil 2)

Jedes Element hat ein additives Inverses und jedes Element,außer 0, hat ein multiplikatives Inverses.

+ und · sind kommutativ, d.h., es gilt fur alle x , y ∈ K :

x + y = y + x und x · y = y · x

Es gilt das Distributivgesetz, d.h., fur alle x , y , z ∈ K gilt

x · (y + z) = x · y + x · z und (x + y) · z = x · z + y · z

(Das zweite Distributivgesetz folgt aus dem ersten aufgrundder Kommutativitat von + und ·.)




(Gegen-)Beispiele fur Korper

(Q,+, ·), (R,+, ·) sind Korper

(Zn,+n, ·n) ist ein Korper, falls n eine Primzahl ist

Weitere Beispiele fur Korper (auf die wir nicht mehr weitereingehen): komplexe Zahlen, endliche Korper (mit 4, 8, 9, . . .Elementen), . . .



Anwendungsbeispiel: RSA

Wir betrachten eine Anwendung im Bereich der asymmetrischenVerschlusselung (public-key cryptography).

Das sogenannte RSA-Verfahren (benannt nach Rivest, Shamir,Adleman) ist die Grundlage von wichtigenKommunikationsprotokollen im Internet. Außerdem bildet es dieBasis von elektronischen Signaturen.

Alice

SenderVersenden

einer

verschlusseltenNachricht M

Bob

Empfanger

Alice will eine Nachricht M an Bob verschicken.

Alice verwendet den offentlichen Schlussel von Bob zumVerschlusseln.

Bob verwendet seinen privaten Schlussel zum Entschlusseln.




1. Schritt: Schlusselerzeugung

Bob generiert zwei große Primzahlen p, q mit p 6= q und setztn = p · q.

Bob bestimmt ϕ(n)(in diesem Fall gilt ϕ(n) = (p − 1) · (q − 1)).

Bob bestimmt d , e mit (d · e) mod ϕ(n) = 1(d.h., d , e sind in Zϕ(n) zueinander invers)

(e, n) ist der offentliche Schlussel, den Bob bekanntgibt.

(d , n) ist der private Schlussel, den Bob geheimhalt.




2. Schritt: Verschlusselung

Alice will eine Nachricht M an Bob verschlusseln. Sie kodiertdiese Nachricht als eine Zahl m ∈ Zn (z.B. durchBinarkodierung).

Alice rechnet c = me mod n und schickt c an Bob.

Hier wird also in Zn gerechnet.

3. Schritt: Entschlusselung

Bob empfangt c.

Er rechnet m = cd mod n und erhalt damit wieder dieursprungliche Nachricht.

Wie bei der Verschlusselung wird hier wieder in Zn gerechnet.




Rechenbeispiel RSA

p = 5, q = 11, n = 5 · 11 = 55

ϕ(n) = (p − 1) · (q − 1) = 4 · 10 = 40

Wahle e = 3 und berechne das Inverse (Methode 2):

Lose 3 · x + 40 · y = 1, ergibt Losungen x = −13, y = 1Setze d = x mod 40 = (−13) mod 40 = 27

Nachricht m = 9 soll ubertragen werden. Alice berechnet dieKodierung c = 93 mod 55 = 729 mod 55 = 14.

Code c = 14 kommt an. Bob rechnet

1427 mod 55 = (143 mod 55)9 mod 55

= (2744 mod 55)9 mod 55 = 499 mod 55

= (493 mod 55)3 mod 55 = (117649 mod 55)3 mod 55

= 43 mod 55 = 64 mod 55 = 9 = m




Warum funktioniert RSA?

Korrektheit: Warum erhalt Bob wieder die ursprungliche Nachricht?

Das kann mit dem Satz von Euler-Fermat nachgewiesen werden.

Es gilt (e · d mod ϕ(n)) = 1 und damit gibt es eine Zahl z mite · d = z · ϕ(n) + 1. Also entsteht beim Verschlusseln undanschließenden Entschlusseln:

(me mod n)d mod n = me·d mod n = mz·ϕ(n)+1 mod n

= (m · (mϕ(n))z) mod n = m · 1z mod n = m mod n = m

Diese Argumentation funktioniert nicht, falls m, n nicht teilerfremdsind. In diesem Fall kann man aber anders nachweisen, dass mantrotzdem das richtige Ergebnis erhalt.




Warum funktioniert RSA? (Fortsetzung)

Sicherheit: Warum ist es fur andere schwierig, die Nachricht zuentschlusseln?

Das liegt daran, dass man d nur dann leicht aus e berechnen kann,wenn man ϕ(n) kennt. Um ϕ(n) zu berechnen, musste man diePrimfaktorzerlegung von großen Zahlen (ca. 1024–2048 Bits)bestimmen, was sehr schwer ist.



Vektorraume und Matrizen

Wir betrachten nun Vektoren, die Tupel von Elementen einesKorpers sind. Mengen von Vektoren bilden einen sogenanntenVektorraum.

Vektoren sind wichtig fur die Darstellung geometrischer Objekte.Matrizen werden dazu verwendet, um (lineare) Funktionen inVektorraumen zu beschreiben. Sie spielen auch eine wichtige Rollebeim Losen von Gleichungssystemen.




Vektor

Sei n ∈ N0 eine naturliche Zahl und (K ,+, ·) ein Korper. EinVektor ~u der Dimension n uber K besteht aus n Elementenu1, . . . , un ∈ K des Korpers.

En Vektor wird im allgemeinen folgendermaßen dargestellt undheißt daher auch Spaltenvektor.

~u =

u1

...un




Vektorraum

Die Menge aller Vektoren der Dimension n uber K heißtn-dimensionaler Vektorraum uber K und wird mit Kn bezeichnet.

Hinweis: es gibt noch allgemeinere Definitionen eines Vektorraums(ahnlich zu den Definitionen von Monoid, Gruppe, Korper), die wirhier aber nicht betrachten.

Die Operationen auf einem Vektorraum sind Addition von Vektorenund Skalarmultiplikation, die im folgenden betrachtet werden.




Klassisches Beispiel: Sei n = 2 und K = R, d.h., wir betrachtenden Vektorraum R2.

Dann handelt es sich bei den Vektoren um Punkte imzweidimensionalen Raum. Diese werden auch durch Pfeile –ausgehend vom Ursprung des Koordinatensystems – dargestellt.

0 1 2−1−2

1

3

2

x

y (1, 52, 5

)(−22

)

Die erste Koordinate bezeichnet man dabei – wie ublich – alsx-Koordinate, die zweite als y -Koordinate.




In Vektorraumen sind verschiedene Operationen definiert:

Addition von Vektoren

Die Addition auf Vektoren ist eine zweistelligen Operation+: Kn × Kn → Kn, die folgendermaßen definiert ist:u1

...un

+

v1

...vn

=

u1 + v1

...un + vn

Dabei werden die einzelnen Korperelemente mit Hilfe der+-Operation des Korpers verknupft.




Vektorraum als Gruppe

Ein Vektorraum mit der Addition ist eine kommutative Gruppe.Das neutrale Element ist der Nullvektor ~0 und das additive Inversezu ~u wird mit −~u bezeichnet:

~0 =

0...0

Falls ~u =

u1

...un

, dann ist − ~u =

−u1

...−un

.

Dabei sind −u1, . . . ,−un die additiven Inversen im Korper.




Multiplikation mit einem Skalar

Ein Vektor ~u ∈ Kn kann mit einem einzelnen Korperelement k ∈ Kmultipliziert werden. Das Element k nennt man dann auch Skalar.

k ·

u1

...un

=

k · u1

...k · un

Dabei entstehen k · u1, . . . , k · un durch dieMultiplikationsoperation im Korper.




Eigenschaften der Multiplikation mit einem Skalar

Seien ~u, ~v ∈ Kn Vektoren und k , ` ∈ K Skalare. Dann gilt:

k · (` · ~u) = (k · `) · ~uk · (~u + ~v) = k · ~u + k · ~v(k + `) · ~u = k · ~u + ` · ~u

1 · ~u = ~u

Dabei ist 1 das neutrale Element der Multiplikation im Korper.




Wir betrachten nun bestimmte Abbildungen auf Vektorraumen:sogenannte lineare Abbildungen.

Lineare Abbildung

Seien Kn,Km zwei Vektorraume. Eine Funktion ψ : Kn → Km

heißt lineare Abbildung, falls folgendes gilt:

ψ(~u + ~v) = ψ(~u) + ψ(~v) fur ~u, ~v ∈ Kn

ψ(k · ~u) = k · ψ(~u) fur ~u ∈ Kn, k ∈ K

Die Multiplikation mit einem Skalar ist eine lineare Abbildung.

Auch viele der interessanten Abbildungen in der Geometrie sindlinear (z.B. Drehungen, Spiegelungen).




Wir betrachten nun Matrizen, mit denen solche linearenAbbildungen beschrieben werden konnen:

Matrix

Seien m, n ∈ N0 und K ein Korper. Eine m×n-Matrix A uber Kbesteht aus m · n Eintragen

Ai ,j ∈ K fur i ∈ 1, . . . ,m, j ∈ 1, . . . , n

Sie wird folgendermaßen dargestellt:

A =

A1,1 . . . A1,n

.... . .

...Am,1 . . . Am,n




Bemerkungen:

Eine m×n-Matrix besteht also aus m Zeilen der Lange n, oder –anders ausgedruckt – aus n Spalten der Lange m.

Dabei heißt m Zeilendimension und n Spaltendimension der Matrix.

Bei einem Eintrag Ai ,j bezeichnet der erste Index i die Zeile, derzweite Index j die Spalte.

Eine Matrix, fur die m = n gilt, heißt quadratisch.




Matrizen konnen mit Vektoren mulipliziert werden.

Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor

Sei C eine m×n-Matrix und ~u ∈ Kn ein Vektor der Dimension n.Dann ist A · ~u folgender Vektor aus Km:

A·~u =

A1,1 . . . A1,n

.... . .

...Am,1 . . . Am,n

·u1

...un

=

A1,1 · u1 + · · ·+ A1,n · un

. . .Am,1 · u1 + · · ·+ Am,n · un

Das heißt, in der i-ten Zeile des Spaltenvektors steht der Eintrag

n∑j=1

Ai ,j · uj




Bemerkung:

Wir verwenden das Summenzeichen Σ als abkurzende Schreibweise:

n∑j=1

aj = a1 + a2 + · · ·+ an

Rechenregeln

n∑j=1

(aj + bj) =n∑

j=1

aj +n∑

j=1

bj

n∑j=1

(k · aj) = k ·n∑

j=1

aj




Beispiel: Multiplikation von Matrix und Vektor in RMultiplikation einer 2× 3-Matrix mit einem Vektor derDimension 3:

(3 4 −1−2 2 −3

)·

10, 5−2

=

(3 + 2 + 2−2 + 1 + 6

)=

(75

)




Merkregel:

Die Multiplikation einer m×n-Matrix mit einem Vektor derDimension n ergibt einen Vektor der Dimension m.

Multipliziere die Zeilen der Matrix nacheinander mit derSpalte des Vektors (und addiere jeweils dieMultiplikationsergebnisse auf).




Matrix als lineare Abbildung

Eine m × n-Matrix A uber K beschreibt eine lineare AbbildungψA : Kn → Km wie folgt:

ψA(~u) = A · ~u

Durch Nachrechnen stellt man fest, dass tatsachlich dieEigenschaften einer linearen Abbildung erfullt sind.




Beispiel: wir betrachten folgende 2× 2-Matrix als lineareAbbildung:

A =

(−1 22 1

)Es gilt:

A ·(

0−1

)=

(−1 22 1

)·(

0−1

)=

(−2−1

), d.h.ψA(

(0−1

)) =

(−2−1

)A ·(

10

)=

(−1 22 1

)·(

10

)=

(−12

), d.h. ψA(

(10

)) =

(−12

)A ·(

21

)=

(−1 22 1

)·(

21

)=

(05

), d.h. ψA(

(21

)) =

(05

)




Graphische Darstellung:

y

x

−2

−1−1−2−3 1 32 4 5 6

1

2

3

5

4

Rote Punkte/Vektoren werden auf grune Punkte/Vektorenabgebildet. Darstellung der Abbildungsvorschrift durch gestricheltePfeile.





−2

1 2 3 4 5 6x

1

2

3

4

5

y

−1−3 −2−1

Lineare Abbildungen bilden Geraden auf Geraden ab. Linien werdenalso erhalten. Daher stammt der Name!




Zwei Matrizen gleicher Zeilen- und Spaltendimension konnenaddiert werden:

Addition von Matrizen

Sei A,B eine m × n-Matrizen. Dann hat C = A + B folgendesAussehen:A1,1 . . . A1,n

.... . .

...Am,1 . . . Am,n

+

B1,1 . . . B1,n

.... . .

...Bm,1 . . . Bm,n

=

C1,1 . . . C1,n

.... . .

...Cm,1 . . . Cm,n

mit Ci ,j = Ai ,j + Bi ,j .Die Addition erfolgt komponentenweise.




Matrizen als additive Gruppe

Die Menge aller m × n-Matrizen uber einem Korper K bildet einekommutative Gruppe bezuglich der Addition.Dabei ist die Nullmatrix N das neutrale Element und das additiveInverse zu A ist −A:

N =

0 . . . 0...

. . ....

0 . . . 0

− A =

−A1,1 . . . −A1,n

.... . .

...−Am,1 . . . −Am,n




Matrizen konnen auch miteinander multipliziert werden.

Multiplikation von Matrizen

Sei A eine m × n-Matrix und B eine n × r -Matrix. Dann istC = A · B eine m × r -Matrix und hat folgendes Aussehen:A1,1 . . . A1,n

.... . .

...Am,1 . . . Am,n

·B1,1 . . . B1,r

.... . .

...Bn,1 . . . Bn,r

=

C1,1 . . . C1,r

.... . .

...Cm,1 . . . Cm,r

mit

Ci ,j =n∑`=1

Ai ,` · B`,j




Merkregel:

Multipliziere die Zeilen der ersten Matrix (A) mit den Spaltender zweiten Matrix (B).

Um in der Ergebnismatrix C den Eintrag Ci ,j zu erhalten,multipliziere die i-te Zeile der ersten Matrix (A) mit der j-tenSpalte der zweiten Matrix (B) und addiere jeweils dieMultiplikationsergebnisse auf.




Alternative Beschreibung: teile B in r (Spalten-)Vektoren auf

B =(~b1 . . . ~br

)Multipliziere diese Spaltenvektoren dann einzeln. Die entstehendenSpaltenvektoren werden dabei von links nach rechtsnebeneinandergeschrieben.

A · B = A ·(~b1 . . . ~br

)=(A · ~b1 . . . A · ~br

)Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor ist daher einSpezialfall der Matrizenmultiplikation.




Beispiel: Matrixmultiplikation in RMultiplikation einer 2× 3-Matrix mit einer 3× 2-Matrix:

(3 4 −1−2 2 −3

)·

1 00, 5 −3−2 −1

=

(3 + 2 + 2 0− 12 + 1−2 + 1 + 6 0− 6 + 3

)=

(7 −115 −3

)




Merkregel Falk-Schema: Folgende “Eselsbrucke” hilft bei derMatrizenmultiplikation A · B = C

Die zweite Matrix B wird nach oben verschoben.

In dem Feld rechts von der ersten Matrix A und unterhalb derzweiten Matrix B entsteht dann die neue Matrix C .

Ein Eintrag von C entsteht dadurch, dass die entsprechendeZeile von A und Spalte von B miteinander multipliziertwerden.

„3 4 −1−2 2 −3

«·

0@ 1 00, 5 −3−2 −1

1A =

„7 −115 −3

«1 0

0,5 -3-2 -1

3 4 -1 7 -11-2 2 -3 5 -3




Assoziativitat der Matrizenmultiplikation

Matrixmultiplikation ist assoziativ. D.h., falls A eine m × n-Matrix,B eine n × r -Matrix und C eine r × s-Matrix ist, dann gilt:

A · (B · C ) = (A · B) · C

Es macht keinen Sinn zu fragen, ob die Menge aller Matrizenbeliebiger Dimension ein Monoid oder eine Gruppe bezuglich derMultiplikation ist. Es laßt sich nicht jede Matrix mit jeder Matrixverknupfen, da die Dimensionen ubereinstimmen mussen.

Diese Frage macht nur Sinn fur quadratische Matrizen.




Eigenschaften quadratischer Matrizen (I)

Die Menge aller quadratischen n × n-Matrizen bildet einMonoid mit der Multiplikationsoperation.

Insbesondere gibt es ein neutrales Element der Multiplikation,die sogenannte Einheitsmatrix En:

En =

1 . . . 0...

. . ....

0 . . . 1

Diese Matrix hat Einsen in der Diagonale von links oben nachrechts unten und besteht ansonsten nur aus Nullen.




Eigenschaften quadratischer Matrizen (II)

Nicht jede quadratische Matrix A hat ein multiplikativesInverses A−1. Matrizen, die kein multiplikatives Inverseshaben, heißen singular.

Matrizenmultiplikation ist außerdem nicht kommutativ.




Beispiel 1: Multiplikation mit der Einheitsmatrix

E3 ·

−2 3 10, 5 7 −31 1 0

=

1 0 00 1 00 0 1

·−2 3 1

0, 5 7 −31 1 0

=

−2 + 0 + 0 3 + 0 + 0 1 + 0 + 00 + 0, 5 + 0 0 + 7 + 0 0 + (−3) + 00 + 0 + 1 0 + 0 + 1 0 + 0 + 0

=

−2 3 10, 5 7 −31 1 0

Fur jede n× n-Matrix A gilt sowohl En ·A = A, als auch A ·En = A.




Beispiel 2: Nicht-Existenz von Inversen

Die Nullmatrix, aber auch viele andere Matrizen haben keinInverses. Wir betrachten folgende Matrix A:

A =

1 0 00 0 00 0 0

Es gibt keine 3× 3-Matrix B, so dass A · B die Einheitsmatrix ist:

A · B =

1 0 00 0 00 0 0

·B1,1 B1,2 B1,3

B2,1 B2,3 B2,3

B3,1 B3,2 B3,3

=

B1,1 B1,2 B1,3

0 0 00 0 0

6=1 0 0

0 1 00 0 1

= E3




Beispiel 3: Nicht-Kommutativitat der Matrizenmultiplikation

1 2 03 1 20 3 1

·1 −1 0

0 0 00 2 0

=

1 −1 03 1 00 2 0

6=

−2 1 −20 0 06 2 4

=

1 −1 00 0 00 2 0

·1 2 0

3 1 20 3 1




Die Multiplikation von zwei Matrizen entspricht der Verknupfungder dazugehorigen linearen Abbildungen.

Matrixmultiplikation und Verknupfung linearer Abbildungen

Sei A eine m× n-Matrix uber und ψA : Kn → Km die dazugehorigelineare Abbildung mit ψA(~u) = A · ~u. Analog sei B einen × r -Matrix und ψB : K r → Kn die dazugehorige lineareAbbildung.

Dann beschreibt die Matrix C = A · B folgende lineare AbbildungψC : K r → Km mit

ψC (~u) = (A · B) · ~u = A · (B · ~u) = A · ψB(~u) = ψA(ψB(~u))

und damit gilt ψC = ψA ψB .

Das beruht im wesentlichen auf der Assoziativitat derMatrixmultiplikation.



Geometrische Abbildungen

Wir betrachten nun zwei wichtige geometrische Abbildungen:Drehung und Spiegelung und ihre Darstellung durch Matrizen.

Dazu mussen wir jedoch zunachst ein wenig Trigonometriewiederholen.

Im folgenden rechnen wir immer in den reellen Zahlen (imKorper R).




Wiederholung Trigonometrie:

In einem rechtwinkligen Dreieck heißt die langste SeiteHypotenuse. Ihre Lange ist c .

Die beiden kurzeren Seiten heißen Katheten. Ihre Langen sind aund b.

Die beiden spitzen Winkel werden mit α bzw. β bezeichnet. DerWinkel α liegt gegenuber der Kathete mit Lange a, der Winkel βliegt gegenuber der Kathete mit Lange b.

c

b

a

β

α




Sinus und Cosinus sind zwei Funktionen, die Winkel auf Wertezwischen −1 und 1 abbilden. Fur rechtwinklige Dreiecke gilt:

Sinus und rechtwinkligesDreieck

sinα = ac bzw. c · sinα = a

sinβ = bc bzw. c · sinβ = b

(Merkregel: Sinus istGegenkathete durch Hypotenuse)

Cosinus und rechtwinkligesDreieck

cosα = bc bzw. c · cosα = b

cosβ = ac bzw. c · cosβ = a

(Merkregel: Cosinus istAnkathete durch Hypotenuse)

Die Funktionen sin und cos werden traditionellerweise ohneKlammern geschrieben.




Einige Werte von Sinus und Cosinus:

α sinα cosα

0 0 1

30 12

12

√3

45 12

√2 1

2

√2

60 12

√3 1

2

90 1 0




Graphische Darstellung der Sinuskurve und Cosinuskurve:

α

sinα cosα1

-1

-90 0 90 180 270 360 450 540




Fur die Sinus- und Cosinus-Funktion gibt es zahlreiche Gesetze.Wir benotigen hier nur die folgenden:

Sinus-/Cosinus-Gesetze

sin(−α) = − sinα

cos(−α) = cosα

Additionstheoreme:

sin(α + β) = (sinα) · (cosβ) + (cosα) · (sinβ)

cos(α + β) = (cosα) · (cosβ)− (sinα) · (sinβ)

Pythagoras:

(sinα)2 + (cosα)2 = 1




Wir betrachten nun eine Drehung um den Winkel α im R2.

Ein Punkt, dargestellt durch den Vektor ~u1, soll um den Winkel αgedreht werden und damit zum Vektor ~u2 werden. Der Abstandbeider Punkte zum Ursprung ist gleich und wird mit r bezeichnet.

Fur die Vektoren ~u1, ~u2 gelte: ~u1 =

(x1

y1

)~u2 =

(x2

y2

)

x

y

x1

y1

y2

r

x2

r

~u2

αβ

~u1




Es gilt:x1 = r · cosβ y1 = r · sinβ

und damit

x2 = r · cos(α + β) = r · (cosα) · (cosβ)− r · (sinα) · (sinβ)

= (cosα) · x1 − (sinα) · y1

y2 = r · sin(α + β) = r · (sinα) · (cosβ) + r · (cosα) · (sinβ)

= (sinα) · x1 + (cosα) · y1

Diese Abbildung kann als Drehmatrix Rα folgendermaßendargestellt werden:

Rα =

(cosα − sinαsinα cosα

)




Ahnlich kann die Spiegelung beschrieben werden.

Angenommen, ~u2 entsteht aus ~u1 durch Spiegelung an einerGerade, die durch den Ursprung verlauft und mit der x-Achse denWinkel α bildet.

x

y

α

x1

y1

y2

x2

r

rβ

~u2

~u1

Damit hat der Vector ~u2 den Winkel α + (α− β) = 2α− βgegenuber der x-Achse.




Es gilt wie zuvor:

x1 = r · cosβ y1 = r · sinβ

und damit

x2 = r · cos(2α− β) = r · (cos 2α) · (cos−β)− r · (sin 2α) · (sin−β)

= r · (cos 2α) · (cosβ) + r · (sin 2α) · (sinβ)

= (cos 2α) · x1 + (sin 2α) · y1

y2 = r · sin(2α− β) = r · (sin 2α) · (cos−β) + r · (cos 2α) · (sin−β)

= r · (sin 2α) · (cosβ)− r · (cos 2α) · (sinβ)

= (sin 2α) · x1 − (cos 2α) · y1

Diese Abbildung kann als Spiegelungsmatrix Sα folgendermaßendargestellt werden:

Sα =

(cos 2α sin 2αsin 2α − cos 2α

)Barbara Konig Mathematische Strukturen 143



Beispiel 1: geometrische Abbildungen konnen durchMatrixmultiplikation miteinander verknupft werden.

Wir betrachten eine Spiegelung an einer Geraden mit demWinkel 30 zur x-Achse, gefolgt von einer Drehung um 60. Dasergibt folgende Matrix:

R60 · S30 =

(cos 60 − sin 60

sin 60 cos 60

)·(

cos(2 · 30) sin(2 · 30)sin(2 · 30) − cos(2 · 30)

)=

(12 −1

2

√3

12

√3 1

2

)·(

12

12

√3

12

√3 −1

2

)=

(−1

212

√3

12

√3 1

2

)




Beispiel 2: das Prinzip der Inversenbildung bezuglich derMultiplikation kann auch hier beobachtet werden. Wir betrachteneine Drehung um 30, gefolgt von einer Drehung um −30, d.h.,um 330.

R30 · R330 =

(cos 30 − sin 30

sin 30 cos 30

)·(

cos 330 − sin 330

sin 330 cos 330

)=

(12

√3 −1

212

12

√3

)·(

12

√3 1

2

−12

12

√3

)=

(1 00 1

)

Dabei ergibt sich die Einheitsmatrix. Insbesondere gilt

Rα · R−α = E2 und Sα · Sα = E2

fur jeden Winkel α.




Durch Hinzufugen weiterer Zeilen/Spalten zu einer Matrix kannman auch Drehungen und Spiegelungen im dreidimensionalenRaum bzw. in hoherdimensionalen Raumen beschreiben.

Beispiel 1: Drehung um den Winkel α in der xy -Ebene, d.h., umdie z-Achse.

Drehmatrix R =

cosα − sinα 0sinα cosα 0

0 0 1

Beispiel 2: Spiegelung am Winkel α in der xy -Ebene,z-Koordinaten bleiben unverandert.

Spiegelungsmatrix S =

cos 2α sin 2α 0sin 2α − cos 2α 0

0 0 1



Erzeugendensysteme und Basen

Wir betrachten nun Konzepte, mit denen man einen Vektorraumaus einigen wenigen Vektoren, sogenannten Basisvektoren erzeugenkann.

Das hat auch Beziehungen zur Berechnung von multiplikativenInversen einer Matrix und zum Losen von Gleichungssystemen.

Ab jetzt betrachten wir wieder n-dimensionale Vektorraume ubereinem beliebigen Korper K .




Erzeugendensystem

Gegeben sei ein n-dimensionaler Vektorraum uber einem Korper K .Eine Menge S = ~v1, . . . , ~vm von Vektoren heißtErzeugendensystem des Vektorraums, falls sich jeder Vektor~u ∈ Kn als Linearkombination von Vektoren aus S darstellen laßt.D.h., fur jeden Vektor ~u gibt es Skalare k1, . . . , km ∈ K , so dassgilt:

~u = k1 · ~v1 + · · ·+ km · ~vm




Beispiel 1: die Menge

S = (

20

),

(01

),

(11

)

ist ein Erzeugendensystem fur den Vektorraum R2. Ein Vektor ~ulaßt sich immer folgendermaßen darstellen:

~u =

(u1

u2

)=

u1

2·(

20

)+ u2 ·

(01

)+ 0 ·

(11

)




Bemerkung: Die Beziehung

~u = k1 · ~v1 + · · ·+ km · ~vm

kann auch dargestellt werden als

~u =(~v1 . . . ~vm

)︸︷︷︸V

·

k1

...km

wobei V =

(~v1 . . . ~vm

)eine Matrix ist, die aus den

Spaltenvektoren ~v1, . . . , ~vm zusammengesetzt ist.

D.h., eine Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor ergibt eineLinearkombination der Spalten der Matrix.




Die Menge S im vorherigen Beispiel enthalt uberflussige Elemente,mindestens ein Vektor ist redundant. Beispielsweise kann der dritteVektor durch die beiden ersten dargestellt werden.

Linear unabhangige Menge

Gegeben sei ein n-dimensionaler Vektorraum uber einem Korper K .Eine Menge S = ~v1, . . . , ~vm von Vektoren heißt linearunabhangig, falls sich kein Vektor ~v aus S als Linearkombinationder anderen Vektoren darstellen laßt.





S =

100

,

010

ist linear unabhangig im R3, sie ist jedoch kein Erzeugendensystem.




Basis

Gegeben sei ein n-dimensionaler Vektorraum uber einem Korper K .Eine Menge B = ~b1, . . . ,~bm von Vektoren heißt Basis, falls siegleichzeitig ein Erzeugendensystem und linear unabhangig ist.




Beispiel 3: die Mengen

B1 =

100

,

010

,

001

und

B2 =

200

,

030

,

−201

sind beides Basen des R3.

Fur B1 ist dies relativ offensichtlich. Aus B2 kann man einfach dieElemente von B1 (die sogenannten Einheitsvektoren) bestimmenund außerdem sind die drei Vektoren linear unabhangig.





B3 =

100

,

021

,

−221

ist keine Basis des R3, denn ihre Vektoren sind nicht linearunabhangig. Insbesondere kann man den dritten Vektoren durchLinearkombination der anderen beiden Vektoren darstellen:−2

21

= (−2) ·

100

+ 1 ·

021




Einheitsvektoren

Gegeben sei ein n-dimensionaler Vektorraum uber einem Korper Kund sei i ∈ 1, . . . , n. Der i-te Einheitsvektor ~ei ist der Vektor,der an der i-ten Stelle eine 1 hat und sonst nur aus Nullen besteht.

~e1 =

10...0

. . . ~en =

0...01




Bemerkungen:

Die Einheitsvektoren bilden immer eine Basis des Kn. Furjeden Vektor ~u gilt:

~u =

u1

...un

= u1 · ~e1 + · · ·+ un · ~en

Die Einheitsvektoren sind jedoch nicht die einzige Basis.

Eine Basis des Kn besteht immer aus genau n Vektoren.

Eine linear unabhangige Menge mit n Vektoren ist immer eineBasis des Kn.

Ein Erzeugendensystem mit n Vektoren ist auch immer eineBasis des Kn.




Aus den letzten beiden Bemerkungen ergeben sich zwei einfacheVerfahren, um festzustellen, ob eine Menge B ⊆ Kn von Vektoreneine Basis des Kn ist oder nicht:

Man uberpruft, ob B genau n Vektoren enthalt und ob dieseVektoren ein Erzeugendensystem sind.

Oder: Man uberpruft, ob B genau n Vektoren enthalt und obdiese Vektoren linear unabhangig sind.

Das erste Verfahren ist besser dazu geeignet, um zu zeigen, dass Beine Basis ist; das zweite, um zu zeigen, dass B keine Basis ist.

Insbesondere kann eine Menge von Vektoren, die mehr oderweniger als n Vektoren enthalt, niemals eine Basis sein.




Wir konnen nun die Frage beantworten, wann eine quadratischeMatrix A invertierbar ist.

Angenommen die Matrix A ist invertierbar, d.h., es gibt einmultiplikatives Inverses A−1 mit A · A−1 = En. Wir betrachten A−1

als aufgebaut aus einzelnen Spaltenvektoren ~a1, . . . ,~an, d.h.A−1 =

(~a1 . . . ~an

). Dann gilt:

A ·A−1 = A ·(~a1 . . . ~an

)=(A ·~a1 . . . A ·~an

)=(~e1 . . . ~en

)Es gilt also A ·~ai = ~ei fur i ∈ 1, . . . , n. Das bedeutet, dass manaus den Spalten von A durch Linearkombination jedenEinheitsvektor (und damit auch jeden anderen Vektor) erhaltenkann.




Die Menge der Spaltenvektoren von A ist damit einErzeugendensystem und – da sie aus genau n Vektoren besteht –eine Basis.

Umgekehrt gilt auch, dass es zu einer Matrix, derenSpaltenvektoren eine Basis bilden, Vektoren ~a1, . . . ,~an gibt, die dieobigen Eigenschaften haben und aus denen man eine inverseMatrix konstruieren kann. (Wie man diese Vektoren berechnenkann, besprechen wir spater.)




Zusammenfassend gilt also:

Invertierbare Matrizen und Basen

Eine n × n-Matrix A uber einem Korper K ist invertierbar, genaudann, wenn die Spalten von A eine Basis des Kn bilden.

Man sagt dann auch, die Matrix hat den vollen Rang.



Gaußsches Eliminationsverfahren

Wir betrachten nun ein Verfahren zum Losen vonGleichungssystemen.

Gegeben sei eine m × n-Matrix A und ein m-dimensionaler Vektor~b. Gesucht ist ein n-dimensionaler Vektor ~x , der folgendeGleichung erfullt:

A · ~x = ~b

Wenn A quadratisch (m = n) und zudem noch invertierbar ist,dann kann man zeigen, dass es genau eine Losung ~x gibt: manmultipliziert die obige Gleichung auf beiden Seiten mit A−1:

A−1 · A · ~x = A−1 · ~b und daraus folgt wegen A−1 · A = En, dass~x = A−1 · ~b.




Trotzdem bleiben noch viele offene Fragen:

Wie berechnet man ~x? (Wir haben ja noch kein Verfahren,um das multiplikative Inverse einer Matrix zu bestimmen.)

Was passiert, wenn A nicht quadratisch oder nicht invertierbarist?

Kann eine Gleichung evtl. mehrere Losungen haben?

Kann eine Gleichung evtl. gar keine Losung haben?




Wir betrachten eine Gleichung in “ausgeschriebener” Form:

A · ~x = ~b

wird geschrieben alsA1,1 . . . A1,n

.... . .

...Am,1 . . . Am,n

·x1

...xn

=

b1

...bm

und das ist gleichbedeutend damit, dass das folgendeGleichungssystem eine Losung hat:

A1,1 · x1 + · · ·+ A1,n · xn = b1

...

Am,1 · x1 + · · ·+ Am,n · xn = bm




In den folgenden Beispielen arbeiten wir im Korper R.

Beispiel 1: Gleichungssystem mit einer Losung

3 · x1 + 4 · x2 = 2

x1 − 3 · x2 = 5

Man kann dieses Gleichungssystem durch “geschicktes” Einsetzenlosen: zweite Gleichung wird umgeformt in x1 = 5 + 3 · x2,eingesetzt in die erste Gleichung ergibt

3 · (5 + 3 · x2) + 4 · x2 = 15 + 13 · x2 = 2

und daraus folgt x2 = −1. Daher: x1 = 5 + 3 · x2 = 5 + 3 · (−1) = 2.

Die (einzige) Losung ist damit x1 = 2, x2 = −1.




Fur dieses Beispiel gilt:

A =

(3 41 −3

)~b =

(25

)und A hat das multiplikative Inverse

A−1 =

(3

134

131

13 − 313

)

(Wir werden noch sehen, wie man solche Inverse tatsachlichberechnen kann.)

Test:

~x = A−1 · ~b =

(3

134

131

13 − 313

)·(

25

)=

(2613

−1313

)=

(2−1

)Barbara Konig Mathematische Strukturen 166



Beispiel 2: Gleichungssystem ohne Losung

x1 + 2 · x2 = 3

−2 · x1 − 4 · x2 = 1

Man sieht, dass man −2 · x1 − 4 · x2 erhalt, indem man x1 + 2 · x2

mit −2 multipliziert. Also musste auch das Ergebnis rechts unten(= 1) ein entsprechendes Vielfaches des Ergebnisses rechts oben(= 3) sein. Das ist aber nicht der Fall.Daher hat das Gleichungssystem keine Losung.

Hier sieht man, dass die Matrix

A =

(1 2−2 −4

)aus linear abhangigen Spaltenvektoren besteht und nicht den vollenRang hat. Sie ist also nicht invertierbar.




Beispiel 3: Gleichungssystem mit mehreren Losungen

x1 + 2 · x2 = 3

−2 · x1 − 4 · x2 = −6

Die untere Gleichung ist ein Vielfaches der oberen Gleichung(Faktor −2). Also ist die untere Gleichung redundant und wirmussen alle Losungen der oberen Gleichung bestimmen. Es giltx1 = 3− 2 · x2, also hat die Losung ~x die Form:

~x =

(x1

x2

)=

(3− 2 · x2

x2

)=

(30

)+ x2 ·

(−21

)Dabei kann x2 ∈ R beliebig gewahlt werden und wir habenunendlich viele Losungen.

Wie in Beispiel 2 ist die Matrix nicht invertierbar.




Wir betrachten nun ein allgemeines Verfahren, um solcheGleichungssystem zu losen: das Gaußsche Eliminationsverfahren.Der Einfachheit halber stellen wir ein Gleichungssystemfolgendermaßen dar:

A1,1 · x1 + · · ·+ A1,n · xn = b1

...

Am,1 · x1 + · · ·+ Am,n · xn = bm

entsprichtA1,1 . . . A1,n b1

.... . .

......

Am,1 . . . Am,n bm




Das Gaußsche Eliminationsverfahren basiert auf folgendenBeobachtungen:

Wenn man zwei Zeilen vertauscht, so andern sich dadurch dieLosungen nicht.

Wenn man eine Zeile mit einem Wert ungleich 0 multipliziert,so andern sich dadurch die Losungen nicht.

Wenn man das Vielfache einer Zeile zu einer anderen Zeileaddiert (von einer anderen Zeile subtrahiert), so andern sichdadurch die Losungen nicht.

Wenn man zwei Spalten vertauscht, so andert sich dadurchdie Reihenfolge der Variablen (Wert von xi wird mit Wert vonxj vertauscht). Das kann man sich merken und am Endewieder in Ordnung bringen.




Ziel: wir bringen das Gleichungssystem durch die obenbeschriebenen Umformungen auf folgende Form

A1,1 A1,2 . . . A1,k . . . A1,n b1

0 A2,2 . . . A2,k . . . A2,n b2

.... . .

. . ....

. . ....

...0 . . . 0 Ak,k . . . Ak,n bk

0 . . . 0 bk+1...

. . ....

...0 . . . 0 bm

wobei A1,1 = 1,A2,2 = 1, . . . ,Ak,k = 1




Bemerkung:

Es handelt sich dabei um eine Matrix mit Einsen auf der (nichtnotwendigerweise durchgehenden) Diagonale, bei der unterhalb derDiagonale nur Nullen stehen.

Außerdem kommen ab der k + 1-sten Zeile nur noch Nullen vor.Dieser Block von Nullen kann auch vollkommen fehlen.

Aus obiger Form kann man dann relativ einfach alle Losungenablesen.




Bei einer m× n-Matrix A lauft das Gaußsche Eliminationsverfahrenin n Schritten ab. In jedem Schritt wird eine weitere Spalte in diegewunschte Form gebracht.

Gaußsches Eliminationsverfahren (i-ter Schritt)

Angenommen die Spalten 1, . . . , i − 1 sind schon in dergewunschten Form. Dann sieht die Matrix folgendermaßen aus:

1 A1,2 . . . A1,i . . . A1,n b1

0 1 . . . A2,i . . . A2,n b2

.... . .

. . ....

. . ....

...0 . . . 0 Ai ,i . . . Ai ,n bi

0 . . . 0 Ai+1,i . . . Ai+1,n bi+1...

. . ....

.... . .

......

0 . . . 0 Am,i . . . Am,n bm




Wir betrachten nun Ai ,i , das sogenannte Pivotelement.

Pivotelement Ai ,i 6= 0

In diesem Fall hat Ai ,i ein multiplikatives Inverses A−1i ,i (wir

arbeiten in einem Korper!).

Wir multiplizieren die i-te Zeile mit A−1i ,i , wodurch das

Pivotelement nun den Wert 1 hat. Wir haben folgende Situation:

1 A1,2 . . . A1,i . . . A1,n b1

0 1 . . . A2,i . . . A2,n b2

.... . .

. . ....

. . ....

...0 . . . 0 1 . . . Ai ,n bi

0 . . . 0 Ai+1,i . . . Ai+1,n bi+1...

. . ....

.... . .

......

0 . . . 0 Am,i . . . Am,n bm




Pivotelement Ai ,i 6= 0 (Fortsetzung)

Wir behandeln nun jede Zeile j (mit j > i): wir multiplizieren diei-te Zeile mit Aj ,i und ziehen sie von der j-ten Zeile ab.

Dadurch ergibt sich folgende Zeile:

0 . . . 0 (Aj ,i−Aj ,i ·1) . . . (Aj ,n−Aj ,i ·Ai ,n) | (bj−Aj ,i ·bi )

und es gilt Aj ,i − Aj ,i · 1 = 0.

Damit ist die i-te Spalte jetzt in der richtigen Form.




Falls das Pivotelement Ai ,i den Wert 0 hat, so hat es keinmultiplikatives Inverses und wir konnen das vorherige Verfahrennicht anwenden. Wir unterscheiden zwei Falle:

Pivotelement Ai ,i = 0 (Fall 1)

Angenommen es gibt ein Element Aj ,i (mit j > i) unterhalb vonAi ,i mit Aj ,i 6= 0.

Dann vertausche die i-te und die j-te Zeile und fange mit demi-ten Schritt wieder von vorne an.(Achtung: die Elemente bi , bj in der rechten Spalte mussen auchgetauscht werden.)




Pivotelement Ai ,i = 0 (Fall 2)

Angenommen es gibt kein Element Aj ,i (mit j > i) unterhalb vonAi ,i mit Aj ,i 6= 0. D.h., alle Elemente in dieser Spalte, angefangenmit Ai ,i , sind gleich Null.

Dann betrachten wir das Quadrat rechts unten in der Matrix:

Ai ,i . . . Ai ,n bi

Ai+1,i . . . Ai+1,n bi+1...

. . ....

...Am,i . . . Am,n bm

Falls alle Elemente Aj ,` (mit j ≥ i und ` ≥ i) gleich Null sind, dannhalt das Verfahren an.




Pivotelement Ai ,i = 0 (Fall 2) (Fortsetzung)

Ansonsten finde eine Spalte `, in der es einen Wert Aj ,` 6= 0 gibt(mit j ≥ i , ` ≥ 1) und vertausche die Spalte i und die Spalte `.

Diese Vertauschung muss gemerkt und spater wieder ruckgangiggemacht werden!

Beginne mit dem i-ten Schritt wieder von vorne.




Ablesen der Losung: Umgeformtes Gleichungssystem

Keine Losung

Wir betrachten zunachst den unteren Block, in dem nur Nullenstehen. Falls eines der Elemente bk+1, . . . , bm ungleich Null ist, sohat das Gleichungssystem keine Losung.




Umgeformtes Gleichungssystem

Losung bestimmen

Ansonsten betrachte den oberen Block mitA1,1 = 1,A2,2 = 1, . . . ,Ak,k = 1

A1,1 A1,2 . . . A1,k . . . A1,n b1

0 A2,2 . . . A2,k . . . A2,n b2

.... . .

. . ....

. . ....

...0 . . . 0 Ak,k . . . Ak,n bk

und behandle die Zeilen von unten nach oben wie im folgendenbeschrieben.




Umgeformtes Gleichungssystem

Losung bestimmen (Fortsetzung)

Die j-te Zeile entspricht folgender Gleichung:

xj + Aj ,j+1 · xj+1 + · · ·+ Aj ,n · xn = bj

Es giltxj = bj − Aj ,j+1 · xj+1 − · · · − Aj ,n · xn

Setze dabei fur xj+1, . . . , xn moglicherweise bereits berechnetenWerte ein.




Nachbehandlung

Zuletzt mache noch die gemerkten Vertauschungen ruckgangig.

Dadurch erhalt man die Werte von x1, . . . , xn, wobeigegebenenfalls Variablen xj in der Darstellung ubrigbleiben. Diesebleiben stehen und reprasentieren beliebige Korperelemente.Dies passiert immer dann, wenn der obere Block nicht quadratischist und die Diagonale daher nicht ganz durchgeht.

Insgesamt erhalt man eine Menge von Losungsvektoren ~x , die wiefolgt dargestellt werden konnen:

~x ∈ ~u + xj1 · ~v1 + · · ·+ xjr · ~vr | xjk ∈ R

Falls ~u = ~0 (das passiert, falls ~b = ~0), dann ist die Losungsmengeein Vektorraum und ~v1, . . . , ~vr eine Basis dieses Vektorraums.




Bemerkungen:

Beim Zeilen- bzw. Spaltentausch hat man meist mehrereMoglichkeiten. In diesem Fall tauscht man mit der Zeile, die dasgunstigste Pivotelement liefert.

Ein Pivotelement ist gunstig, wenn es ein einfach zu handhabendesmultiplikatives Inverses hat. Am besten ist naturlich die Eins alsPivotelement.




Beispiel 4:

Wir losen folgendes Gleichungssystem in R:

+3 · x3 +x4 = 33 · x1 +4 · x2 −2 · x3 +3 · x4 = 46 · x1 +8 · x2 +x3 −x4 = −13

In Matrixschreibweise:

0 0 3 13 4 −2 36 8 1 −1

·

x1

x2

x3

x4

=

34−13




Anfangssituation:

0 0 3 1 33 4 −2 3 46 8 1 −1 −13

Schritt 1(a): Zeile 1 und Zeile 2 vertauschen, um Pivotelementungleich 0 zu erhalten

3 4 −2 3 40 0 3 1 36 8 1 −1 −13




Schritt 1(b): Zeile 1 mit 13 multiplizieren, um Pivotelement zu eins

zu machen1 4

3 −23 1 4

3

0 0 3 1 36 8 1 −1 −13

Schritt 1(c): Rechne “(Zeile 2) − 0· (Zeile 1)” und“(Zeile 3) − 6· (Zeile 1)”

1 43 −2

3 1 43

0 0 3 1 30 0 5 −7 −21




Schritt 2(a): Spalte 2 und Spalte 4 vertauschen, um Pivotelementungleich 0 zu erhalten. (Spaltenvertauschung merken!)

1 1 −23

43

43

0 1 3 0 30 −7 5 0 −21

Das Pivotelement ist bereits 1.

Schritt 2(b): Rechne “(Zeile 3) − (−7)· (Zeile 2)”

1 1 −23

43

43

0 1 3 0 30 0 26 0 0




Schritt 2(c): Zeile 3 mit 126 multiplizieren, um Pivotelement zu eins

zu machen1 1 −2

343

43

0 1 3 0 30 0 1 0 0

Damit ist das Gleichungssystem in der gewunschten Form.

Existenz der Losung: es gibt keinen Block von Nullen, daherexistiert eine Losung.




Bestimmung der Losung:

Zeile 3: x3 = 0Zeile 2: x2 + 3 · x3 = 3, also x2 = 3− 3 · x3 = 3− 0 = 3Zeile 1: x1 + x2 − 2

3 · x3 + 43 · x4 = 4

3 ,

also x1 = 43 − x2 + 2

3 · x3− 43 · x4 = 4

3 − 3 + 0− 43 · x4 = −5

3 −43 · x4.

Vertauschungen ruckgangig machen: wir mussen noch x2 und x4

zurucktauschen, es ergibt sich damit

x1 = −5

3− 4

3· x2 x2 beliebig x3 = 0 x4 = 3




Vektorschreibweise:

~x =

x1

x2

x3

x4

=

−5

3 −43 · x2

x2

03

=

−5

3003

+ x2 ·

−4

3100

Dieses Gleichungssystem hat unendlich viele Losungen, eine furjede Belegung von x2 mit einer reellen Zahl x2.




Beispiel 2 (noch einmal):

x1 + 2 · x2 = 3

−2 · x1 − 4 · x2 = 1

Anfangssituation:

1 2 3−2 −4 1




Schritt 1: Rechne “(Zeile 2) − (−2)·(Zeile 1)”

1 2 30 0 7

Existenz der Losung: Im unteren Block der Nullen ist das Elementin der rechten Spalte ungleich Null (7). Daher existiert keineLosung.




Bemerkung:

Das Gaußsche Eliminationsverfahren kann nicht dazu benutztwerden, um diophantische Gleichungen zu losen.

Dort sucht man nach Losungen in den ganzen Zahlen Z. Dieganzen Zahlen mit der Addition und Multiplikation bilden jedochkeinen Korper (fehlende multiplikative Inverse!).

Das Gaußsche Eliminationsverfahren ist jedoch fur jeden beliebigenKorper (z.B. (Zp,+p, ·p), p Primzahl) anwendbar.



Multiplikatives Inverses einer Matrix

Mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens kann man nun dasmultiplikative Inverse einer Matrix bestimmen.

Gegeben sei eine quadratische Matrix

A =

A1,1 . . . A1,n

.... . .

...An,1 . . . An,n

Man stellt sich vor, dass das multiplikative Inverse A−1 ausSpaltenvektoren ~a1, . . . ,~an zusammengesetzt ist und schreibtA−1 =

(~a1 . . . ~an

).

(Siehe auch den Abschnitt uber Erzeugendensysteme und BasenInvertierbare Matrizen und Basen .)




Damit A−1 das Inverse von A ist, muss gelten:

A · A−1 = A ·(~a1 . . . ~an

)=(A ·~a1 . . . A ·~an

)= En =

1 . . . 0...

. . ....

0 . . . 1

=(~e1 . . . ~en

)

Also gilt fur jedes i ∈ 1, . . . , n: A ·~ai = ~ei

Dabei ist ~ei der i-te Einheitsvektor.

Man muss also n Gleichungssysteme mit jeweils n Gleichungenlosen. Existieren fur alle Gleichungssysteme Losungen, so erhaltman die Inverse A−1. Anderenfalls gibt es keine Inverse.




Beispiel: wir bestimmen das multiplikative Inverse folgender Matrix

A =

(3 41 −3

)

Wir setzen zunachst ~a1 =

(x1

x2

)und losen das Gleichungssystem

A ·~a1 = ~e1:

3 · x1 + 4 · x2 = 1

x1 − 3 · x2 = 0

Das ergibt die Losungen x1 = 313 und x2 = 1

13 .




Wir setzen nun ~a2 =

(y1

y2

)und losen das Gleichungssystem

A ·~a2 = ~e2:

3 · y1 + 4 · y2 = 0

y1 − 3 · y2 = 1

Das ergibt die Losungen y1 = 413 und y2 = − 3

13 .

Insgesamt erhalt man folgende Matrix A−1:

A−1 =(~a1 ~a2

)=

(x1 y1

x2 y2

)=

(3

134

131

13 − 313

)




Bemerkung:

Es gibt effizientere Methoden um das Inverse einer Matrix zubestimmen. Man kann insbesondere alle n Gleichungssysteme“gleichzeitig” losen.

Wir werden auf diese Methoden hier aber nicht weiter eingehen.



Schlussbemerkungen

Es gibt noch viele andere wichtige Gebiete im Zusammenhang mitalgebraischen Strukturen, Vektorraumen und Matrizen:

Ringe (Strukturen, die ahnlich zu Korpern sind, in denen aberweniger Gesetze gelten)

Eigenvektoren und Eigenwerte

Determinanten

. . .



Kombinatorik: Einfuhrung

Es folgt eine Einfuhrung in die Kombinatorik.

Dabei geht es darum, die Elemente einer Menge zu zahlen. Dabeiist die Große der Menge nicht fest (sonst ware das ja einfach!),sondern abhangig von bestimmten Parametern.

Anwendungsbeispiele:

Anzahl der Zustande bzw. Anzahl der Ablaufe in einemSystem zahlen. (Wichtig fur informatische Systeme, in denendie Anzahl der Systemzustande sehr groß werden kann.)

Wahrscheinlichkeiten fur das Eintreten eines Ereignissesberechnen. (Wichtig fur Statistik.)



Ziehen aus Urnen

Angenommen, wir haben eine Urne (einen großen Behalter), in dern durchnumerierte (und daher unterscheidbare) Kugeln liegen. Ausdieser Urne werden k Kugeln gezogen.

Die Frage ist: wieviele verschiedene Moglichkeiten gibt es, dieKugeln zu ziehen?

2

. . .

. . .1

n

Mit Hilfe dieser Metapher lassen sich viele Zahlprobleme erfassen.



Ziehen aus Urnen

Die Antwort: das hangt davon ab . . .

Es hangt insbesondere davon ab, wie die Regeln festgelegt werden:

Werden die Kugeln nach dem Ziehen wieder in die Urnegelegt? (Ziehen mit/ohne Zurucklegen)

Wird die Reihenfolge des Ziehens gewertet? (mit/ohneBeachtung der Reihenfolge)

Beispiel: Ist die Sequenz 1, 5, 7 gleichbedeutend mit 7, 1, 5?



Ziehen aus Urnen

Beispiel 1: Lottozahlen

Bei der Ziehung der Lottozahlen werden die Kugeln nichtzuruckgelegt und die Reihenfolge nicht beachtet. Es ist egal, obeine Zahl vor oder nach einer anderen Zahl gezogen wird.

Die Parameter sind n = 49 und k = 6 (6 aus 49).

Beispiel 2: Wurfeln mit drei (identischen) Wurfeln

Das kann man als das Ziehen von k = 3 Kugeln aus einer Urne mitn = 6 Kugeln interpretieren. Hierbei werden die Kugelnzuruckgelegt und die Reihenfolge ebenfalls nicht betrachtet.

Beim Ziehen mit Zurucklegen kann eine Zahl durchaus auchmehrfach auftreten. Dieses mehrfache Auftreten spielt (imUnterschied zu Mengen) eine Rolle. Das Wurfelergebnis 3, 3, 6 istverschieden von 3, 6, 6.



Ziehen aus Urnen (mit Zurucklegen, mit Reihenfolge)

Wir beginnen mit folgendem Fall:

Ziehe k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln, mit Zurucklegen undunter Beachtung der Reihenfolge.

Angenommen, die Urne enthalt n = 3 drei Kugeln: 31 2

Dann gibt es folgende neun Moglichkeiten, k = 2 Kugeln aus derUrne zu ziehen:

1

1

1 1

3

2 1 3 1

2 3

2 2

3 3

3 22




Diese neun Moglichkeiten kann man auch als Entscheidungsbaumdarstellen:

1 2 3

2

3

2

311

2

31

3 Entscheidungsmoglichkeiten auf der ersten Ebene, ergibtdreimal 3 Entscheidungsmoglichkeiten auf der zweiten Ebene.

Damit hat man insgesamt 3 · 3 = 32 = 9 Falle.




Im allgemeinen Fall:

... ......

...

...

... ... ...

1 2 n

2

1 n

2

1 n

2

1 n

Auf der ersten Ebene: n EntscheidungsmoglichkeitenAuf der zweiten Ebene: n · n Entscheidungsmoglichkeiten. . .Auf der k-ten Ebene: n · n · . . . · n︸︷︷︸

k-mal

= nk Moglichkeiten




Ziehen mit Zurucklegen und unter Beachtung der Reihenfolge

Fur das Ziehen aus einer Urne mit Zurucklegen und unterBeachtung der Reihenfolge ergeben sich

nk Moglichkeiten,

falls sich n (verschiedene) Kugeln in der Urne befinden und kKugeln gezogen werden.




Anwendungen:

Gegeben seien zwei endliche Mengen A, B. Wieviele Funktionenzwischen A und B gibt es?

Beispiel: sei A eine Menge von Personen und B eine Menge vonRaumen. Wieviele Moglichkeiten gibt, jeder Person einen Raumzuzuordnen? (Dabei mussen nicht notwendigerweise alle Raumeverwendet werden und mehreren Personen kann der gleiche Raumzugeteilt werden.)




Wieviele Funktionen zwischen A und B gibt es? (Fortsetzung)

Wir nehmen an, dass A = a1, . . . , ak mit k = |A| und n = |B|.Wir konnen B als Urne betrachten, aus der nacheinander kElemente gezogen werden.

D.h., zunachst wird ein Element aus B gezogen, das a1 zugeordnetwird, dann wird ein weiteres Element gezogen, das a2 zugeordnetwird, etc.

Insgesamt erhalt man nk Funktionen zwischen den Mengen Aund B.




Bemerkung: Beim Zahlen von Moglichkeiten erhalt man leicht sehrgroße Zahlen (sogenannte Zustandsexplosion).

Beispiel: eine Bedienoberflache enthalt 10 Elemente (Widgets, wiebeispielsweise Radio Buttons, Drop-down-lists, . . . ), von denensich jedes in 5 verschiedenen Zustanden befinden kann, dieunabhangig voneinander einstellbar sind.

In wievielen Zustanden kann sich die Oberflache insgesamtbefinden?

Antwort: Ziehen von 10 Kugeln aus einer Urne mit 5 Kugeln (mitZurucklegen, unter Beachtung der Reihenfolge).

Insgesamt erhalt man 510 = 9.765.625 Moglichkeiten.

Es ist sehr schwierig, diese fast 10 Millionen Zustande alledurchzuprobieren, um festzustellen, dass sich die unter derBenutzeroberflache liegende Software immer korrekt verhalt.



Ziehen aus Urnen (ohne Zurucklegen, mit Reihenfolge)

Wir betrachten nun folgenden Fall:

Ziehe k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln, ohne Zurucklegenund unter Beachtung der Reihenfolge.

Dieser Fall macht nur Sinn, falls k ≤ n.


Dann gibt es folgende sechs Moglichkeiten, k = 3 Kugeln aus derUrne zu ziehen:

2

2

1

1

1

3 3

2 3

3

3

1

3 1 2

2 12




Diese sechs Moglichkeiten kann man auch als Entscheidungsbaumdarstellen:

1 2 3

32 1 1 2

3 2 1 23 1

3

3 Entscheidungsmoglichkeiten auf der ersten Ebene, ergibt:3 · 2 Entscheidungsmoglichkeiten auf der zweiten Ebene und3 · 2 · 1 Entscheidungsmoglichkeiten auf der dritten Ebene.

Damit hat man insgesamt 3 · 2 · 1 = 6 Falle.Barbara Konig Mathematische Strukturen 212



Wir betrachten den allgemeinen Fall, zunachst fur n = k :

...

......

...

...

...

...

...

...

...

1 2

n

2

1 n

n

1 n

2

12

2

3

3

3

Auf der ersten Ebene: n EntscheidungsmoglichkeitenAuf der zweiten Ebene: n · (n − 1) Entscheidungsmoglichkeiten. . .Auf der k-ten Ebene: n · (n − 1) · . . . · 1 = n! Moglichkeiten




Fakultatsfunktion

Die Funktion, die n ∈ N0 auf

n · (n − 1) · . . . · 2 · 1

abbildet, wird als Fakultatsfunktion bezeichnet. Man schreibt:

n · (n − 1) · . . . · 2 · 1 = n!

Fur n = 0 wird 0! = 1 festgelegt.




Wertetabelle:

n n! n n!

0 1 5 1201 1 6 7202 2 7 50403 6 8 403204 24 9 362880

Man sieht, dass die Fakultatsfunktion ungeheuer schnell wachst.




Im allgemeinen Fall hat man beim letzten Ziehen noch n − k + 1Kugeln ubrig:

...

......

...

...

...

...

...

...

...

1 2

n

2

1 n

n

1 n

2

12

2

3

3

3

Auf der ersten Ebene: n Entscheidungsmoglichkeiten. . .Auf der k-ten Ebene: n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1) Moglichkeiten




Beispiel: es sind n = 3 Kugeln in der Urne, von denen k = 2gezogen werden:

1 2 3

32 1 1 23

Im letzten Schritt sind noch 2 = n − k + 1 Kugeln ubrig.

Warum? Zum Schluss sind n− k Kugeln ubrig, wir befinden unseinen Schritt vorher.




n hoch k fallend

Seien k, n ∈ N0 mit k ≤ n. Der Ausdruck

nk = n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1)

wird n hoch k fallend gelesen.

Fur den Fall k = 0 setzt man n0 = 1. (Das gilt auch, falls n = 0.)

Es gilt:

n!

(n − k)!=

n · . . . · (n − k + 1) · (n − k) · . . . · 1(n − k) · . . . · 1

= n · . . . · (n − k + 1)

= nk




Ziehen ohne Zurucklegen und unter Beachtung der Reihenfolge

Fur das Ziehen aus einer Urne ohne Zurucklegen und unterBeachtung der Reihenfolge ergeben sich

nk =n!

(n − k)!Moglichkeiten,

falls sich n (verschiedene) Kugeln in der Urne befinden und k ≤ nKugeln gezogen werden.




Anwendungen:

Gegeben seien zwei endliche Mengen A, B. Wieviele injektiveFunktionen zwischen A und B gibt es?

Beispiel: sei A eine Menge von Personen und B eine Menge vonRaumen. Wieviele Moglichkeiten gibt, jeder Person einen Raumzuzuordnen, so dass sich in einem Raum hochstens eine Personbefindet?




Wieviele injektive Funktionen zwischen A und B gibt es?(Fortsetzung)

Wir nehmen an, dass k = |A| mit A = a1, . . . , ak und n = |B|.Wir konnen B als Urne betrachten, aus der nacheinander kElemente gezogen werden, ohne dass Elemente zuruckgelegtwerden.(Kein Element im Wertebereich darf mehr als einem Element imDefinitionsbereich zugeordnet werden!)

Insgesamt erhalt man nk injektive Funktionen zwischen denMengen A und B.




Beispiel: gegebenen seien n Stadte, die alle der Reihe nach besuchtwerden sollen. (Problem des Handlungsreisenden). WievieleMoglichkeiten gibt es, die Stadte zu besuchen?

Wir legen n mit den Namen Stadte beschriftete Kugeln in eineUrne und ziehen nacheinander n Kugeln.

Insgesamt hat man nn = n! Moglichkeiten.




Beispiel (Fortsetzung):

Nehmen wir an, die Stadte waren Duisburg (DU), Essen (E),Bochum (BO), Dortmund (DO). Dann gibt es 4! = 24Moglichkeiten:

DU E BO DO E DU BO DO BO DU E DO DO DU E BODU E DO BO E DU DO BO BO DU DO E DO DU BO EDU BO E DO E BO DU DO BO E DU DO DO E DU BODU BO DO E E BO DO DU BO E DO DU DO E BO DUDU DO E BO E DO DU BO BO DO DU E DO BO DU EDU DO BO E E DO BO DU BO DO E DU DO BO E DU



Ziehen aus Urnen (ohne Zurucklegen, ohne Reihenfolge)

Wir betrachten nun folgenden Fall:

Ziehe k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln, ohne Zurucklegenund ohne Beachtung der Reihenfolge.

Dieser Fall macht wiederum nur Sinn, falls k ≤ n.

Angenommen, die Urne enthalt n = 3 Kugeln: 31 2

Dann gibt es folgende drei Moglichkeiten, k = 2 Kugeln aus derUrne zu ziehen:

311 322, ,,




Diese drei Moglichkeiten entstehen dadurch, dass von den sechsMoglichkeiten beim Ziehen mit Reihenfolge (ohne Zurucklegen)jeweils immer zwei zusammenfallen.

1 2

2 1

1 3 2 3

3 1 3 2

Im Fall, dass k Kugeln gezogen werden, fallen jeweils k!Kombinationen zusammen. Das ist die Anzahl der Moglichkeiten, kverschiedene Kugeln beliebig anzuordnen.

Fall k = 3: Es gibt 3! = 6 verschiedene Anordnungen.

2

2

1

1

1

3 3

2 3

3

3

1

3 1 2

2 12




Wenn man mit Beachtung der Reihenfolge zieht, so erhalt man

nk Moglichkeiten.

Damit hat man jedoch die Moglichkeiten ohne Beachtung derReihenfolge um den Faktor k! uberschatzt. Durch diesen Faktormuss noch geteilt werden.

Insgesamt ergeben sich damit

nk

k!=

n!

(n − k)! · k!

Moglichkeiten.




Binomialkoeffizient

Seien k, n ∈ N0 mit k ≤ n. Der Ausdruck(n

k

)=

n!

(n − k)! · k!

wird Binomialkoeffizient genannt. Er ist immer eine naturlicheZahl.

Sprechweise: “n uber k”, “k aus n”




(n

k

)=

n!

(n − k)! · k!=

n!

k! · (n − k)!

=n!

(n − (n − k))! · (n − k)!=

(n

n − k

)

Es gilt also fur alle n, k ∈ N0, k ≤ n:(n

k

)=

(n

n − k

)




Binomialkoeffizienten als Pascalsches Dreieck:(00

)(10

) (11

)(20

) (21

) (22

)(30

) (31

) (32

) (33

)(40

) (41

) (42

) (43

) (44

)(50

) (51

) (52

) (53

) (54

) (55

)1

1 11 2 1

1 3 3 11 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1




Bemerkung: die Werte im unteren und oberen Dreieck entsprecheneinander, es sind nur verschiedene Darstellungen angegeben.Einmal der Binomialkoeffizient, einmal der berechnete Wert desBinomialkoeffizienten.

Beispiele: (5

3

)=

5!

(5− 3)! · 3!=

5!

2! · 3!=

120

2 · 6= 10

(5

0

)=

5!

(5− 0)! · 0!=

5!

5! · 0!=

120

120 · 1= 1

Im letzten Fall zieht man 0 Kugeln (aus einer Urne mit 5 Kugeln).Dabei kann es nur eine mogliche enstehende Sequenz von Kugelngeben: die leere Sequenz.




Ziehen ohne Zurucklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge

Fur das Ziehen aus einer Urne ohne Zurucklegen und ohneBeachtung der Reihenfolge ergeben sich(

n

k

)=

n!

k! · (n − k)!Moglichkeiten,

falls sich n (verschiedene) Kugeln in der Urne befinden und k ≤ nKugeln gezogen werden.




Beispiel: Lottozahlen

Beim Lottospielen werden k = 6 Kugeln aus n = 49 gezogen, dieKugeln werden nicht zuruckgelegt, die Reihenfolge wird nichtbeachtet.

Daher gibt es insgesamt(49

6

)= 13.983.816

mogliche Ziehungsergebnisse.




Beispiel: Fussballpaarung

Aus einem Topf mit Kugeln, die mit n = 18 Fussball-Mannschaftenbeschriftet sind, werden zwei Kugeln gezogen, um eine Paarung zuermitteln.

Es gibt dabei (18

2

)= 153

mogliche Ziehungsergebnisse. (Das ist genau die Anzahl der Spielein einer Bundesliga-Hinrunde.)




Anwendungen: allgemeine binomische Formel.

Der Ausdruck (x + y)n soll (in einem Korper) mit Hilfe desDistributivgesetzes ausmultipliziert werden. Was erhalt man?

(x + y)n = (x + y) · (x + y) · . . . · (x + y)

Wenn man diesen Ausdruck ausmultipliziert, wahlt man ausjedem der Faktoren entweder ein x oder ein y .

Wenn man k-mal ein y wahlt, dann wahlt man (n−k)-malein x . Man erhalt den Summanden xn−k · yk .

Wieviele Moglichkeiten gibt es, k-mal ein y zu wahlen? (nk

)Zusammenfassung: Der Summand xn−k · yk kommt

(nk

)-mal vor.

Der Index k kann einen der Werte von 0 bis n einnehmen.




Formel:

(x + y)n =n∑

k=0

(n

k

)xn−kyk

Spezialfall n = 2:

(x + y)2 = (x + y) · (x + y) = x · x + x · y + y · x + y · y

= x2 + 2xy + y2 =

(2

0

)· x2y0 +

(2

1

)· xy +

(2

2

)x0y2




Spezialfall n = 3:

(x + y)3 = (x + y) · (x + y) · (x + y)

= x · x · x + x · x · y + x · y · x + x · y · y+ y · x · x + y · x · y + y · y · x + y · y · y

= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

=

(3

0

)· x3y0 +

(3

1

)· x2y +

(3

2

)xy2 +

(3

3

)x0y3



Ziehen aus Urnen (mit Zurucklegen, ohne Reihenfolge)

Wir betrachten nun noch den letzten Fall:

Ziehe k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln, mit Zurucklegen undohne Beachtung der Reihenfolge.


Dann gibt es folgende sechs Moglichkeiten, k = 2 Kugeln aus derUrne zu ziehen:

311 322

1 332 2, ,,1

, ,,




Hier braucht man eine gute Idee, um die Anzahl der Moglichkeitenzu zahlen. Sie entstehen anscheinend nicht dadurch, dass die neunMoglichkeiten des Ziehens mit Reihenfolge (mit Zurucklegen) ingleich große Blocke zusammengefasst werden.

1 2

2 1

1 1 3 32 2

3 2

2 3

1 3

3 1

?




Die sechs Moglichkeiten kann man dadurch darstellen, dass mandrei Facher (eines fur jede Farbe) einrichtet. Die Anzahl derMoglichkeiten ist die Anzahl der Moglichkeiten, zwei Kugeln aufdiese drei Facher zu verteilen.

1 2

1 3

11

2 3

2 2

3 3

Dabei bestimmt die Farbe des Fachs die Farbe der Kugeln.




Die Farben kann man weglassen und nur noch zwischen erstem,zweitem und dritten Fach unterscheiden.Wir benutzen eine Notation, in der die Kugeln durch kleine Kreiseund die Trennwande zwischen den Fachern als Striche dargestelltwerden (siehe rechte Spalte).

1 2

1 3

11

2 3

2 2

3 3

| | | | | | | || || |




Wir mussen also in einer vierelementigen Zeichenfolge daruberentscheiden, wo die beiden Striche und wo die beiden Kreiseplatziert werden.

Man kann entweder die zwei Striche wahlen:(4

2

)= 6 Moglichkeiten

oder die zwei Kreise wahlen: ebenfalls(4

2

)= 6 Moglichkeiten

Bemerkung: aufgrund der Beziehung(nk

)=( nn−k

)kommt auch

dann in beiden Fallen das gleiche heraus, wenn die Anzahl derStriche und der Kreise unterschiedlich ist.




Allgemeiner Fall:

Wir ziehen k Kugeln die Anzahl der Kreise ist k

Wir haben n Kugeln in der Urne die Anzahl der Farben bzw.Facher ist n. Damit ist die Anzahl der Trennstriche n − 1.

Die Lange der Zeichenfolge ist die Summe beider Zahlen: n + k − 1

Insgesamt ergeben sich damit(n + k − 1

k

)=

(n + k − 1

n − 1

)Moglichkeiten.




Ziehen mit Zurucklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge

Fur das Ziehen aus einer Urne mit Zurucklegen und ohneBeachtung der Reihenfolge ergeben sich(

n + k − 1

k

)=

(n + k − 1

n − 1

)Moglichkeiten,

falls sich n (verschiedene) Kugeln in der Urne befinden und kKugeln gezogen werden.




Beispiel: Wurfeln

Falls mit drei identischen Wurfeln gewurfelt wird, so entspricht dasdem Ziehen von k = 3 Kugeln aus einer Urne mit n = 6 Kugeln,mit Zurucklegen und ohne Beachtung der Reichenfolge.

Insgesamt haben wir(n + k − 1

k

)=

(8

3

)=

8!

5! · 3!= 56

verschiedene Wurfelergebnisse.

Es folgt die Aufzahlung aller 56 Moglichkeiten . . .




1,1,1 1,1,2 1,1,3 1,1,4 1,1,5 1,1,61,2,2 1,2,3 1,2,4 1,2,5 1,2,61,3,3 1,3,4 1,3,5 1,3,61,4,4 1,4,5 1,4,61,5,5 1,5,61,6,62,2,2 2,2,3 2,2,4 2,2,5 2,2,62,3,3 2,3,4 2,3,5 2,3,62,4,4 2,4,5 2,4,62,5,5 2,5,62,6,63,3,3 3,3,4 3,3,5 3,3,63,4,4 3,4,5 3,4,63,5,5 3,5,63,6,64,4,4 4,4,5 4,4,64,5,5 4,5,64,6,65,5,5 5,5,65,6,66,6,6



Ziehen aus Urnen

Zusammenfassung der vier Falle:

Ziehen mit Zurucklegen ohne Zurucklegen

mit Reihenfolge nk nk = n!(n−k)!

ohne Reihenfolge(n+k−1

k

)=(n+k−1

n−1

) (nk

)= n!

(n−k)!·k!

Dabei werden k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln gezogen.



Wahrscheinlichkeit

Um das Kapitel “Kombinatorik” abzuschließen, machen wir nocheinige Uberlegungen zur Wahrscheinlichkeit von Ereignissen.

Motivation: Wahrscheinlichkeit, im Lotto zu gewinnen

Bei einer Ziehung der Lottozahlen gibt es insgesamt(49

6

)Moglichkeiten (sogenannte Elementarereignisse).

Diese Elementarereignisse sind alle gleich wahrscheinlich. (Warumdas so ist, uberlegen wir uns im folgenden.)

Also ist die Wahrscheinlichkeit dafur, dass die eigene Kombinationgezogen wird:

1(496

) =1

13.983.816= 0, 000000072 . . .

Dabei ist 1 die Wahrscheinlichkeit dafur, dass das betrachteteEreignis auf jeden Fall eintritt (entspricht 100%).



Wahrscheinlichkeit

Elementarereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten werden in einemWahrscheinlichkeitsraum zusammengefasst.

Wahrscheinlichkeitsraum

Ein Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus

einer Ergebnismenge Ω, bestehend aus denElementarereignissen, und

einer Funktion P : Ω→ R, die jedem Elementarereignis eineWahrscheinlichkeit zuordnet.

Dabei muss gelten:

Fur jedes x ∈ Ω gilt 0 ≤ P(x) ≤ 1. (Die Wahrscheinlichkeitfur ein Ereignis liegt zwischen 0 und 1.)∑x∈Ω

P(x) = 1. (Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist 1.)



Wahrscheinlichkeit

Bemerkungen:

Die Formel∑x∈Ω

P(x) bedeutet: summiere die Werte P(x) fur

alle x ∈ Ω auf. Falls Ω = x1, . . . , xn, so kann man dies auchfolgendermaßen schreiben:

∑x∈Ω

P(x) =n∑

i=1

P(xi ) = P(x1) + · · ·+ P(xn)

Die Elementarereignisse mussen alle Moglichkeiten abdeckenund durfen sich nicht uberlappen. Es tritt also immer genauein Elementarereignis ein.

Im folgenden ist Ω eine endliche Menge. Es macht jedochauch Sinn, unendliche Ergebnismengen zu betrachten.



Wahrscheinlichkeit

Beim Ziehen aus Urnen besteht die Ergebnismenge aus allenmoglichen Kombinationen, die beim Ziehen entstehen konnen.

Beispiel:

Beim Ziehen von k = 2 Kugeln aus einer Urne mit n = 3 Kugeln(mit Zurucklegen, mit Beachtung der Reihenfolge) erhalt manfolgende neun Elementarereignisse:

1

1

1 1

3

2 1 3 1

2 3

2 2

3 3

3 22



Wahrscheinlichkeit

Falls alle Elementarereignisse in Ω gleich wahrscheinlich sind, so gilt

P(x) =1

|Ω|fur jedes x ∈ Ω

Beim Ziehen mit Beachtung der Reihenfolge ist jedes Ereignisgleich wahrscheinlich, unter der Voraussetzung, dass bei einem Zugkeine der vorhandenen Kugeln bevorzugt wird. Dann hat jedeVerzweigung im Entscheidungsbaum die gleiche Wahrscheinlichkeit.(Das gilt mit und ohne Zurucklegen.)

Entscheidungsbaum (Ziehen mit Zurucklegen, mit Reihenfolge)

Entscheidungsbaum (Ziehen ohne Zurucklegen, mit Reihenfolge)



Wahrscheinlichkeit

Also gilt:

Beim Ziehen von k aus n Kugeln (mit Zurucklegen, mit Beachtungder Reihenfolge) hat jede Kombination die Wahrscheinlichkeit

1

nk

Beim Ziehen von k aus n Kugeln (ohne Zurucklegen, mitBeachtung der Reihenfolge) hat jede Kombination dieWahrscheinlichkeit

1

nk



Wahrscheinlichkeit

Beispiel:

Beim Ziehen von k = 2 Kugeln aus einer Urne mit n = 3 Kugeln(mit Zurucklegen, mit Beachtung der Reihenfolge) hat jedes derunten aufgefuhrten Elementarereignisse x die WahrscheinlichkeitP(x) = 1

32 = 19 .

1

1

1 1

3

2 1 3 1

2 3

2 2

3 3

3 22



Wahrscheinlichkeit

Noch ein Beispiel:

Wir betrachten einen gezinkten Wurfel, bei dem die Sechswahrscheinlicher ist als die anderen Zahlen.

Die Ergebnismenge ist bei einem sechsseitigen Wurfel wie folgt:Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Wir betrachten folgende Zurdnung von Wahrscheinlichkeiten:P(6) = 1

2 , P(x) = 110 falls x ∈ 1, 2, 3, 4, 5.

Test: Ergibt die Summe der Wahrscheinlichkeiten Eins?∑x∈Ω

P(x) = P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6) = 5· 1

10+

1

2= 1



Wahrscheinlichkeit

Frage: was ist die Wahrscheinlichkeit dafur, dass entweder eine 1oder eine 6 gewurfelt wird?

Antwort: man muss nur die Wahrscheinlichkeiten derentsprechenden Elementarereignisse aufaddieren.

P(1) + P(6) = 110 + 1

2 = 610 = 2

5 .



Wahrscheinlichkeit

Das Wurfeln einer 1 oder 6 bezeichnet man als(zusammengesetztes) Ereignis, im Unterschied zuElementarereignissen.

Ereignis, Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Wir betrachten einen Wahrscheinlichkeitsraum, bestehend aus Ωund P : Ω→ R.

Eine Menge E ⊆ Ω heißt Ereignis. Die Wahrscheinlichkeit desEreignisses E wird folgendermaßen berechnet:

P(E ) =∑x∈E

P(x)

Beispiel mit dem gezinkten Wurfel: Ereignis E = 1, 6 mit

P(E ) = P(1, 6) = P(1) + P(6) =2

5



Wahrscheinlichkeit

Fur Ziehen ohne Zurucklegen, ohne Beachtung der Reihenfolgekann man den Wahrscheinlichkeitsraum des Ziehens ohneZurucklegen, mit Beachtung der Reihenfolge betrachten.

Beispiel:Beim Ziehen von k = 2 aus einer Urne mit n = 3 Kugeln (ohneZurucklegen) gibt es folgende sechs Elementarereignisse, jeweilsmit Wahrscheinlichkeit 1

6 .

1 2

2 1

1 3 2 3

3 1 3 2

Diese kann man zu drei Ereignissen zusammenfassen, die jeweilsdie gleichen Kombinationen (ohne Beachtung der Reihenfolge)enthalten. Jedes dieser drei Ereignisse hat die Wahrscheinlichkeit16 + 1

6 = 2 · 16 = 1

3 .



Wahrscheinlichkeit

Im allgemeinen Fall fasst man k! Moglichkeiten zu einem Ereigniszusammen.

Beim Ziehen von k aus n Kugeln (ohne Zurucklegen, ohneBeachtung der Reihenfolge) hat jede Kombination dieWahrscheinlichkeit

k! · 1

nk=

k!n!

(n−k)!

=k! · (n − k)!

n!=

1n!

k!·(n−k)!

=1(nk

)Also hat auch in diesem Fall jede Kombination die gleicheWahrscheinlichkeit.

Bemerkung: Aufgrund dieser Beziehung war die Berechnung derWahrscheinlichkeit fur einen Lottogewinn korrekt.



Wahrscheinlichkeit

Wir betrachten nun noch das Ziehen mit Zurucklegen, ohneBeachtung der Reihenfolge basierend auf demWahrscheinlichkeitsraum des Ziehens mit Zurucklegen, mitBeachtung der Reihenfolge.

Beispiel:

Beim Ziehen von k = 2 Kugeln aus einer Urne mit n = 3 Kugeln(mit Zurucklegen) gibt es folgende neun Elementarereignisse,jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1

9 .

1 2

2 1

1 1 3 32 2

3 2

2 3

1 3

3 1



Wahrscheinlichkeit

Diese kann man zu sechs Ereignissen zusammenfassen, die abernicht alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Es ergeben sichfolgende Wahrscheinlichkeiten:

1 2

2 2

31

3

2

, 3

, 3: 29

: 19

: 29

: 19

: 29

: 19

,

, 11 ,

,

Mit Summe 29 + 2

9 + 29 + 1

9 + 19 + 1

9 = 1

Vorsicht! Beim Ziehen von k aus n Kugeln (mit Zurucklegen, ohneBeachtung der Reihenfolge) hat nicht jede Kombination dieselbeWahrscheinlichkeit.



Wahrscheinlichkeit

Weiteres Beispiel:

Beim Wurfeln mit zwei (fairen und ununterscheidbaren) Wurfelnhaben nicht alle Ergebnisse dieselbe Wahrscheinlichkeit:

Die Kombination 1, 2 kann aus den Folgen 1 2 und 2 1entstehen. Jede der beiden Folgen hat die Wahrscheinlichkeit162 = 1

36 .

Also hat das Wurfelergebnis 1, 2 die Wahrscheinlichkeit2 · 1

36 = 118 .

Der Sechserpasch 6, 6 kann nur aus der Folge 6 6 entstehen.

Er hat die Wahrscheinlichkeit 162 = 1

36 .



Graphen: Einfuhrung

Zum Ende der Vorlesung beschaftigen wir uns mit Graphen.Graphen sind netzartige Strukturen, bestehend aus Knoten undKanten.

Dabei klaren wir vor allem einige grundlegende Begriffe undbetrachten verschiedene Graphdarstellungen.



Graphen: Einfuhrung

Graphen konnen zur Darstellung und Modellierung verschiedensterStrukturen eingesetzt werden:

Computer-Netzwerke (z.B. Internet)

Straßennetze

Nachbarschaftsbeziehungen

Zustandsubergangsdiagramme

UML-Diagramme im Software-Engineering

Semantische Beziehungen zwischen Stichworten

Soziale Netzwerke

. . .



Graphen: Einfuhrung

Beispiele fur Graphen, die soziale Netzwerke darstellen. Wer kenntwen?



Graphen: Einfuhrung

Beispiel fur ein UML-Klassendiagramm

AutoParkplatz

enthaelt

0..1 0..∗

bes

itzt

Person

1

0..5

Rad

besteht aus

1 4



Arten von Graphen

Wir definieren zunachst zwei haufige Typen von Graphen:gerichtete Graphen und ungerichtete Graphen.

Gerichteter Graph

Ein gerichteter Graph G = (V ,E ) besteht aus

einer Knotenmenge V und

einer Kantenmenge E ⊆ V × V . (D.h., die Kantenmenge isteine Relation auf der Knotenmenge.)

Ein gerichteter Graph is also eigentlich nichts anderes als eineRelation auf einer Menge V .



Arten von Graphen

Beispiel: gerichteter Graph

A

B C D

Der Graph besteht aus folgender Knoten- und Kantenmenge:

V = A,B,C ,DE = (A,A), (A,B), (A,C ), (A,D), (B,A), (B,C ), (C ,D)



Arten von Graphen

Bemerkungen (gerichteter Graph):

Fur eine Kante e = (v1, v2) heißt v1 Quellknoten von e und v2

Zielknoten von e.

Bei gerichteten Graphen sind Schleifen erlaubt. Eine Schleifean einem Knoten v ∈ V wird durch ein Paar (v , v) in derKantenmenge dargestellt.

Von einem Knoten v1 zu einem anderen Knoten v2 kann eshochstens eine Kante geben, denn in der Menge E kann einPaar (v1, v2) nicht mehrfach vorkommen.

Es kann jedoch unter Umstanden eine Vorwartskante(v1, v2) ∈ E und eine dazugehorige Ruckwartskante(v2, v1) ∈ E geben.



Arten von Graphen

Oft betrachtet man auch gerichtete Graphen mit Beschriftungen.

Gerichteter beschrifteter Graph

Sei L eine Menge von Beschriftungen (oder Labels). Ein gerichteterbeschrifteter Graph G = (V ,E ) besteht aus


einer Kantenmenge E ⊆ V × L× V .



Arten von Graphen

Beispiel: gerichteter beschrifteter Graph

A

B C D

zx

y

y

y

x

y

z

Beschriftungs-, Knoten- und Kantenmengen:

L = x , y , zV = A,B,C ,DE = (A, y ,A), (A, x ,B), (A, y ,C ), (A, z ,D), (B, z ,A),

(B, x ,C ), (B, y ,C ), (C , y ,D)Barbara Konig Mathematische Strukturen 270


Arten von Graphen

Bemerkungen (gerichteter beschrifteter Graph):

Eine Kantenbeschriftung kann mehrfach im Graphenauftauchen.

Da Kanten durch die Beschriftung unterschieden werden, kannes bei beschrifteten Graphen zwischen denselben Knoten zweioder mehr Kanten in der gleichen Richtung geben. Diesemussen jedoch alle unterschiedlich beschriftet sein.

Im Beispiel gibt es zwei Kanten zwischen den Knoten Bund C : (B, x ,C ), (B, y ,C )



Arten von Graphen

Bei ungerichteten Graphen spielt die Kantenrichtung keine Rolle.Kanten werden daher nicht durch Tupel/Paare, sondern durchMengen dargestellt.

Ungerichteter Graph

Ein ungerichteter Graph G = (V ,E ) besteht aus


einer Kantenmenge E , wobei jede Kante durch einezweielementige Teilmenge von V dargestellt wird.(D.h., die Kantenmenge ist eine Menge von zweielementigenMengen.)



Arten von Graphen

Beispiel: ungerichteter Graph

A

B C D

Knoten- und Kantenmengen:

V = A,B,C ,DE = A,B, A,C, A,D, B,C, C ,D



Arten von Graphen

Bemerkungen (ungerichteter Graph):

Bei unseren ungerichteten Graphen sind Schleifen nichterlaubt. (Es gibt jedoch auch Erweiterungen mit Schleifen.)

Zwischen zwei Knoten kann es hochstens eine Kante geben,die sie verbindet. (Es gibt keine Unterscheidung zwischen Vor-und Ruckwartskanten.)



Arten von Graphen

Es gibt noch weitere Arten von Graphen:

Ungerichtete beschriftete Graphen

Graphen mit Knotenbeschriftung

Graphen mit Mehrfachkanten (auch Multigraphen) genannt

Hypergraphen, bei denen eine Kante auch mit mehr als zweiKnoten verbunden sein kann

. . .



Wege, Zyklen, Pfade, Kreise

Wir betrachten im folgenden die Begriffe Weg, Zyklus, Pfad undKreis.

Weg

Sei G = (V ,E ) ein gerichteter oder ungerichteter Graph. EineFolge v1, . . . , vm von Knoten aus V heißt Weg, falls es fur allei ∈ 1, . . . ,m − 1 eine Kante von vi nach vi+1 gibt.

D.h., aufeinanderfolgende Knoten sind miteinander verbunden:

Im gerichteten Fall: (vi , vi+1) ∈ E .

Im ungerichteten Fall vi , vi+1 ∈ E .

Ein Weg v1, . . . , vm hat die Lange m − 1. (Die Lange ist also dieAnzahl der Kanten, nicht die Anzahl der Knoten.)

Ein Weg, der nur aus einem Knoten v besteht, hat die Lange 0.




Beispiele fur Wege:

Gerichteter Fall:

A

B C D

Wege: A – A,A,A –A,B,A – A,C ,D –A,B,C ,D – . . .

Keine Wege: B,D –C ,D,A – B,B,B – . . .

Ungerichteter Fall:

A

B C D

Wege: A – A,C – A,B,C– A,B,A,C –A,B,C ,D,A – . . .

Keine Wege: B,D – D,B– A,A – . . .




Einige der Wege kehren wieder an ihren Ausgangspunkt zuruck.Solche Wege bezeichnet man als Zyklen.

Zyklus

Sei G = (V ,E ) ein gerichteter oder ungerichteter Graph. Ein Wegv1, . . . , vm heißt Zyklus, falls v1 = vm.

Einige der Wege im vorherigen Beispiel sind auch Zyklen.

Gerichteter Fall: A – A,A,A – A,B,A – . . .

Ungerichteter Fall: A – A,B,C ,D,A – . . .

(Dies sind nicht die einzigen Zyklen in den Beispielgraphen.)




Wege, die keinen Knoten mehrfach besuchen, bezeichnet man alsPfade.

Pfad

Sei G = (V ,E ) ein gerichteter oder ungerichteter Graph. Ein Wegv1, . . . , vm heißt Pfad, falls alle Knoten v1, . . . , vm voneinanderverschieden sind.




Beispiele fur Pfade:

Gerichteter Fall:

A

B C D

Pfade: A – A,B,C ,D –A,C ,D – A,D – . . .

Ungerichteter Fall:

A

B C D

Pfade: A – A,B,C ,D –A,C ,D – A,C ,B –A,D,C ,B – D,A,B,C –. . .




Wege, die wieder zum Ausgangspunkt zuruckkehren und keinenKnoten mehrfach besuchen, bezeichnet man als Kreise.

Kreis

Sei G = (V ,E ) ein gerichteter oder ungerichteter Graph. Ein Wegv1, . . . , vm heißt Kreis, falls

v1 = vm (der Anfangsknoten und der Endknoten sind gleich)und

alle Knoten in v1, . . . , vm−1 voneinander verschieden sind.




Beispiele fur Kreise:

Gerichteter Fall:

A

B C D

Kreise: A – A,A – A,B,A

Ungerichteter Fall:

A

B C D

Kreise: A – A,B,A –A,B,C ,A – A,C ,D,A –A,B,C ,D,A – . . .

Bis auf den Wechsel des Startpunkts handelt es sich im gerichtetenFall um alle moglichen Kreise.




Bemerkung:

Da ein Pfad keinen und ein Kreis hochstens einen Knotenmehrfach besuchen darf, ist die Lange von Pfaden und Kreisendurch die Anzahl der Knoten im Graphen beschrankt. LangerePfade oder Kreise sind nicht moglich.

Das heißt insbesondere auch, dass es in einem gegenen endlichenGraphen nur endlich viele Pfade und Kreise gibt.




Oft ist man auch am kurzesten Weg zwischen zwei Knoteninteressiert (beispielsweise fur Tourenplanung,Navigationssoftware).

Kurzester Weg

Sei G = (V ,E ) ein gerichteter oder ungerichteter Graph und seienv ,w ∈ V zwei Knoten.Ein Weg v = v1, . . . , vm = w heißt kurzester Weg von v nach w ,wenn seine Lange minimal ist.

Der kurzeste Weg zwischen v und w ist auf jeden Fall ein Pfad,d.h., er enthalt keinen Knoten mehrfach.

Falls v = w gilt, so hat der kurzeste Weg die Lange 0 und bestehteinfach nur aus dem Knoten v .




Beispiele fur kurzeste Wege:

Gerichteter Fall:

A

B C D

B,A,D und B,C ,D sindbeides kurzeste Wege von Bnach D, beide mit Lange 2.Es gibt keinen Weg von Dnach A und daher auch keinenkurzesten Weg.

Ungerichteter Fall:

A

B C D

B,A,D und B,C ,D sindbeides kurzeste Wege vonB nach D. Beide habendie Lange 2.



Darstellung von Graphen

Wie vorher beschrieben konnen Graphen als Mengen (oder Listen)von Knoten und Kanten dargestellt werden. Es gibt jedoch nochkompaktere Darstellungen in Form von Matrizen:Adjazenzmatrizen und Inzidenzmatrizen.

Dazu nimmt man an, dass die Knoten des Graphen durchnaturliche Zahlen von 1 bis n = |V | gegeben sind. DieKnotenmenge hat daher im folgenden immer diese Form:V = 1, . . . , n.

Außerdem betrachten wir fur die Matrizendarstellung nurunbeschriftete Graphen.




Adjazenzmatrix (Nachbarschaftsmatrix)

Die Adjazenz- oder Nachbarschaftsmatrix A eines GraphenG = (V ,E ) ist eine n × n-Matrix, wobei n = |V |. Sie enthaltfolgende Eintrage:

falls G ein gerichteter Graph ist:

Ai ,j =

1 falls (i , j) ∈ E0 sonst

falls G ein ungerichteter Graph ist:

Ai ,j =

1 falls i , j ∈ E0 sonst

Mit i , j ∈ 1, . . . , n.





1

2 3 4

Die Adjazenzmatrix A desobigen Graphen siehtfolgendermaßen aus:

A =

1 1 1 11 0 1 00 0 0 10 0 0 0




Bemerkungen (gerichteter Fall):

Die Anzahl der Kanten im Graphen entspricht der Anzahl derEinsen in der Adjazenzmatrix.

Der Graph ist schleifenfrei, genau dann, wenn die Diagonale(von links oben nach rechts unten) nur Nullen enthalt.Schleifenfrei bedeutet, dass der Graph keine Schleifen enthalt.

Zwei Knoten, die miteinander verbunden sind, nennt manadjazent.





1

2 3 4

Die Adjazenzmatrix A desobigen Graphen siehtfolgendermaßen aus:

A =

0 1 1 11 0 1 01 1 0 11 0 1 0




Bemerkungen (ungerichteter Fall):

Ungerichtete Graphen sind per Definition immer schleifenfrei,d.h., die Diagonale (von links oben nach rechts unten) enthaltnur Nullen.

Es gilt: i , j ∈ E genau dann, wenn j , i ∈ E , wegeni , j = j , i.Das heißt, wenn Ai ,j den Wert eins hat, dann hat auch Aj ,i

den Wert eins, und umgekehrt. (Anschaulich: wenn in einemungerichteten Graph i mit j verbunden ist, dann ist auch j miti verbunden.)

Daher ist die Matrix (spiegel-)symmetrisch bezuglich derDiagonalen.

Außerdem wird jede Kante doppelt gezahlt. Die Matrixenthalt daher zweimal soviel Einsen wie der Graph Kanten.




Neben Adjazenzmatrizen gibt es auch noch sogenannteInzidenzmatrizen. Hier nehmen wir an, dass auch die Kanten ineine Reihenfolge gebracht wurden. Wir bezeichnen die Kanten –der Reihenfolge nach – mit e1, e2, . . . , em.

Inzidenzmatrix (Knoten-Kanten-Matrix)

Die Inzidenz- oder Knoten-Kanten-Matrix B eines GraphenG = (V ,E ) ist eine m× n-Matrix, wobei m = |E | und n = |V |. Sieenthalt folgende Eintrage:

falls G ein schleifenfreier gerichteter Graph ist:

Bi ,j =

−1 falls j Quellknoten von ei ist1 falls j Zielknoten von ei ist0




Inzidenzmatrix (Knoten-Kanten-Matrix) (Fortsetzung)

falls G ein ungerichteter Graph ist:

Bi ,j =

1 falls j ∈ ei

0 sonst

Mit i ∈ 1, . . . ,m, j ∈ 1, . . . , n.

Die Bedingung, j ∈ ei bedeutet, dass die Kante ei mit Knoten jverbunden ist. (In einem ungerichteten Graph ist eine Kante eineMenge!) Man sagt, dann auch, dass der Knoten j und die Kante ei

zueinander inzident sind.





1

3 42e6e5

e4

e1 e2

e3

Die Inzidenzmatrix B desobigen Graphen siehtfolgendermaßen aus:

B =

−1 1 0 0−1 0 1 0−1 0 0 11 −1 0 00 −1 1 00 0 −1 1




Bemerkungen (gerichteter Fall):

In jeder Zeile steht genau eine −1 und genau eine 1.

Inzidenzmatrizen werden hier nur fur schleifenfreie gerichteteGraphen betrachtet. Schleifen konnen in dieser Darstellungnicht reprasentiert werden.

Die Anzahl der Werte −1 in der Spalte j ist die Anzahl derausgehenden Kanten des Knoten j . Man nennt diese Zahlauch den Ausgangsgrad von j .Beispiel: Im Graphen auf der vorherigen Folie hat Knoten 1den Ausgangsgrad 3.

Die Anzahl der Werte 1 in der Spalte j ist die Anzahl dereingehenden Kanten des Knoten j . Man nennt diese Zahl auchden Eingangsgrad von j .Beispiel: Im Graphen auf der vorherigen Folie hat Knoten 4den Eingangsgrad 2.





1

2 3 4

e1 e2

e3

e5e4

Die Inzidenzmatrix B desobigen Graphen siehtfolgendermaßen aus:

B =

1 1 0 01 0 1 01 0 0 10 1 1 00 0 1 1




Bemerkungen (ungerichteter Fall):

In jeder Zeile stehen genau zwei Einsen.

Die Anzahl der Werte 1 in der Spalte j ist die Anzahl derKanten, die mit dem Knoten j inzident sind. Man nennt dieseZahl auch den Grad von j .Beispiel: Im Graphen auf der vorherigen Folie hat Knoten 1den Grad 3.




Bemerkungen zu Adjazenz- und Inzidenzmatrizen:

Es gibt eine eindeutige Zuordnung zwischen Graphen und ihrenMatrizendarstellungen (zumindest sobald die Reihenfolgen derKnoten und Kanten fixiert sind):

Adjazenzmatrizen

Jeder gerichtete und ungerichtete Graph kann durch eineAdjazenzmatrix dargestellt werden.

Zu jeder Matrix gibt es hochstens einen dazugehorigenGraphen, der diese Matrix als Adjazenzmatrix hat.Zu einer Matrix, die nur mit Nullen und Einsen belegt ist, gibtes immer einen dazugehorigen gerichteten Graphen.Bei ungerichteten Graphen gibt es auch Matrizen, die keinemGraphen entsprechen. Das passiert beispielsweise, wenn dieMatrix nicht symmetrisch ist.




Bemerkungen zu Adjazenz- und Inzidenzmatrizen (Fortsetzung):

Inzidenzmatrizen

Jeder schleifenfreie gerichtete und jeder ungerichtete Graphkann durch eine Inzidenzmatrix dargestellt werden.

Zu jeder Matrix gibt es hochstens einen dazugehorigenGraphen, der diese Matrix als Inzidenzmatrix hat.Es gibt auch Matrizen, die keinem Graphen entsprechen. Daspassiert beispielsweise, wenn eine Matrix in einer Zeile mehroder weniger als zwei Eintrage hat, die von 0 verschieden sind.




Frage: Hat Matrizenmultiplikation eine Bedeutung fur Matrizen,die Graphen darstellen?

Antwort: Ja. Insbesondere fur Adjazenzmatrizen von gerichtetenGraphen gibt es eine graphen-theoretische Interpretation vonMatrizenmultiplikation.

Wir rechnen im folgenden in den reellen Zahlen (auch wenn nurElemente aus N0 vorkommen werden).




Adjazenzmatrizen, Matrizenmultiplikation und Anzahl der Wege

Sei G = (V ,E ) ein gerichteter Graph mit KnotenmengeV = 1, . . . , n und A seine Adjazenzmatrix. Wir berechnen fur eink ∈ N0:

M = Ak = A · . . . · A︸︷︷︸k-mal

Dann gilt: Mi ,j beschreibt die Anzahl der Wege der Lange k von inach j .

Warum gilt dieser Zusammenhang?

Fur k = 1 gilt M = A1 = A. In diesem Fall gibt es zwischen iund j hochstens einen Weg und zwar genau dann, wenn diesemit einer Kante (i , j) ∈ E verbunden sind. Und genau indiesem Fall hat auch Mi ,j = Ai ,j den Wert 1.




Warum gilt dieser Zusammenhang? (Fortsetzung)

Angenommen N = Ak beschreibt korrekt die Anzahl der Wegeder Lange k. Dann gilt fur M = Ak+1 = N · A:

Mi ,j =n∑`=1

Ni ,` · A`,j

= Ni ,1 · A1,j + Ni ,2 · A2,j + · · ·+ Ni ,n · An,j

In dem Summanden Ni ,` · A`,j wird die Anzahl der Wege derLange k von i nach ` mit der Anzahl der Einschritt-Wege von` nach j multipliziert. Er beschreibt also die Anzahl der Wegeder Lange k + 1 von i nach j , die im letzten Schritt uber `fuhren.

Wenn man die Werte Ni ,` · A`,j fur jedes ` aufaddiert, erhaltman genau die Anzahl der Wege der Lange k + 1 von i nach j .





i

1

n

j

Ni ,1

Ni ,1 A1,j

An,j

...

Gestrichelte Linien: Wege der Lange k

Durchgezogenen Linien: Wege der Lange 1 (echte Kanten)




Beispiel: Wege der Lange 3 in folgendem Graphen

1

2 3 4

A =

1 1 1 11 0 1 00 0 0 10 0 0 0

A2 =

2 1 2 21 1 1 20 0 0 00 0 0 0

A3 =

3 2 3 42 1 2 20 0 0 00 0 0 0

Die vier Wege der Lange 3 von 1 nach 4 sind:1, 1, 1, 4 – 1, 1, 3, 4 – 1, 2, 3, 4 – 1, 2, 1, 4




Bemerkung:

Mit einer etwas modifizierten Matrizenmultiplikation ist es auchmoglich, die Lange des kurzesten Weges zwischen zwei Knoten zuberechnen.

Warshall-Algorithmus

Wir betrachten diesen Algorithmus jedoch nicht in der Vorlesung.



Baume

Nun betrachten wir noch kurz eine spezielle Klasse von Graphen:Baume.

(Gerichteter) Baum

Ein gerichteter Graph G = (V ,E ) heißt Baum, falls es

einen Knoten r ∈ V gibt (der sogenannte Wurzelknoten) und

es von r aus genau einen Weg zu jedem Knoten gibt.



Baume

(Gegen-)Beispiele fur gerichtete Baume:

r

Dieser gerichteteGraph ist ein Baum

r

v

Kein Baum: esfuhrt mehr als einWeg von r zu v

r

w

Kein Baum: esfuhrt kein Weg vonr zu w



Baume

(Gegen-)Beispiele fur gerichtete Baume (Fortsetzung):

r

Kein Baum: dieWege fuhren zumWurzelknoten r undnicht vomWurzelknoten weg.

r

Kein Baum: es gibtzwei Wege von r zur . Einmal den Wegder Lange 0 undaußerdem denKreis.



Baume

(Ungerichteter) Baum

Ein ungerichteter Graph G = (V ,E ) heißt Baum, falls es vonjedem Knoten zu jedem anderen Knoten genau einen Pfad gibt.

Bemerkungen:

Ungerichtete Baume sind immer kreisfrei, d.h., sie enthaltenkeinen Kreis.

Ungerichtete Baume haben nicht unbedingt einenausgezeichneten Wurzelknoten. Man kann jedoch einenbeliebigen Knoten zum Wurzelknoten bestimmen.



Baume

(Gegen-)Beispiele fur ungerichtete Baume:

Dieser ungerichteteGraph ist ein Baum

v

w

Kein Baum: es gibtmehr als einen Pfadvon v zu w

v

w

Kein Baum: esfuhrt kein Weg vonKnoten v zuKnoten w . DerGraph ist nichtzusammenhangend.



Baume

Anwendungen von Baumen:

Suchbaume

Baume zur Klassifikation

Darstellung von Verzeichnisstrukturen und Menus

Darstellung von Vererbungshierarchien in derobjektorientierten Programmierung (hier gehen die Kantenjedoch in die Gegenrichtung)

. . .



Baume

Beispiel: Baume zur Klassifikation

Wirbeltiere

Tiere

Vogel SaugetiereReptilienAmphibienFische

Insekten

. . .

BeutelsaugerUrsauger Hohere

Saugetiere

. . .

. . .



Zusammenfassung

Themen der Vorlesung

Grundlagen: Mengenlehre und Zahlentheorie

Algebraische Strukturen: Monoide/Gruppen/Korper,Vektorraume und Matrizen, Gaußsches Eliminationsverfahren

Kombinatorik: Ziehen aus Urnen, Wahrscheinlichkeiten

Graphen



Stichwortsammlung: Grundlagen

Mengenlehre:

Menge M

Element einer Menge a ∈ M

Teilmenge M ′ ⊆ M

Schnitt/Vereinigung ∪, ∩Potenzmenge P(M)

Kreuzprodukt M1 ×M2

Relationen: Partielle Ordnung, Aquivalenzrelation, Symmetrie,Antisymmetrie, Reflexivitat, Transitivitat

Funktionen: Surjektivitat, Injektivitat, Bijektivitat,Funktionsverkettung, Bild/Urbild einer Menge, Definitions-und Wertebereich

Mengen von Zahlen: N0,Z,Q,R, . . .



Stichwortsammlung: Grundlagen

Zahlentheorie:

Division mit Rest

Modulo-Rechnung

Teilbarkeit

Primzahlen

Primfaktorzerlegung

Teilerfremdheit

Großter gemeinsamer Teiler ggT & kleinstes gemeinsamesVielfaches kgV

Euklidischer Algorithmus

Diophantische Gleichungen

Die Eulersche ϕ-Funktion

Satz von Euler-Fermat



Stichwortsammlung: Algebraische Strukturen

Monoide/Gruppen/Korper:

Zweistellige Operatoren

Neutrale Elemente 0, 1

Inverse −a, a−1

Assoziativitat

Kommutativitat

Distributivitat

Der Korper (Zn,+n, ·n), falls n eine Primzahl ist




RSA-Algorithmus:

Schlusselerzeugung

Privater Schlussel

Offentlicher Schlussel

Verschlusselung einer Nachricht

Entschlusselung einer Nachricht




Vektorraume und Matrizen (Lineare Algebra):

Vektor ~v

Vektorraum

Skalar

Anwendungsgebiet “Geometrie”

Vektor-Addition ~v + ~u

Vektorraum als Gruppe

Multiplikation mit einem Skalar k · ~vMatrizen/Lineare Abbildungen A, ψA




Matrizen:

Matrizen

Zeilendimension/Spaltendimension

Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor A · ~vAddition von zwei Matrizen A + B

Die additive Gruppe der Matrizen

Matrixmultiplikation A · BEinheitsmatrix En

Inverse Matrix A−1

Einschub: Trigonometrie

Die Gruppe der Drehmatrizen

Spiegelungsmatrizen




Basen, Gaußsches Eliminationsverfahren und inverse Matrizen:

Erzeugendensystem

Lineare Unabhangigkeit

Basis

Lineare Gleichungssysteme


Anzahl der moglichen Losungen

Inverse Matrix bestimmen



Stichwortsammlung: Kombinatorik

Ziehen aus Urnen (k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln):

Mit Reihenfolge, mit Zurucklegen (nk Moglichkeiten)

Mit Reihenfolge, ohne Zurucklegen (nk Moglichkeiten)

Ohne Reihenfolge, mit Zurucklegen ((n+k−1

k

)Moglichkeiten)

Ohne Reihenfolge, ohne Zurucklegen ((nk

)Moglichkeiten)




Ziehen aus Urnen mit Anwendungen:

Anzahl der Funktionen zwischen zwei Mengen

Anzahl der injektiven Funktionen zwischen zwei Mengen

Fakultatsfunktion

Binomialkoeffizienten

Allgemeine binomische Formel




Wahrscheinlichkeiten:

Elementarereignisse/Ergebnismenge Ω

Wahrscheinlichkeitsraum

Wahrscheinlichkeiten in der Urnen-Metapher

Gezinkte Wurfel



Stichwortsammlung: Graphen

Graphen: Definitionen und Darstellung von Graphen

Knoten, Kanten und Schleifen

Graph G = (V ,E )

Gerichteter Graph

Gerichteter, beschrifteter Graph

Ungerichteter Graph

Wege, Pfade, Zyklen, Kreise

Adjazenzmatrizen

Anzahl der Wege der Lange genau k

Inzidenzmatrizen

Baume als spezielle Graphen


Mathematische Strukturen Sommersemester 2011 · Daneben gibt es noch diekontiniuierliche...

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