mindmap-mathe I

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Mathematik I Basics + wichtige S¨ atze Wichtige atze Mengen Logarithmen Injektivit¨ at, Surjektivit¨ at Grenzwerte, de l’Hosp. Funktionen in einer Variablen Symmetrie Beschr¨ anktheit Extrema Konvexit¨ at Stetigkeit Monotonie Differential- rechnung Differenzier- barkeit Taylor- approximation Ableitung d. Umkehrfunktion Funktionen in mehreren Variablen Totales Differential Tangential- ebene (verallg.) Kettenregel Extrema Optimierung unter Nebenbed. Implizite Funktionen beschr¨ ankt, unbeschr¨ ankt Infimum, Supremum Operationen, kartesisches Produkt x> 0,y> 0,a> 0,c R : log a (x · y) = log a (x) + log a (y) log a (x/y) = log a (x) - log a (y) falls y 6=0 log a (x c )= c · log a (x) nat¨ urlicher Logarithmus: ln := log e •∀x (0, ): e ln x = x •∀x R : ln(e x )= x f : D R beschr¨ ankt ⇐⇒ W f beschr¨ ankt global, lokal, relativ f : D R, 0 D gerade ⇐⇒ ∀x D : f (-x)= f (x) f ungerade ⇐⇒ ∀x D : f (-x)= -f (x) f : D R R,I D Intervall. f konvex auf I ⇐⇒ ∀x 1 ,x 2 I α [0, 1] : f (αx 1 + (1 - α)x 2 ) αf (x 1 ) + (1 - α)f (x 2 ) f konvex = f (x + h) f (x)+ hf 0 (x) f konkav ⇐⇒ -f konvex f heisst differenzierbar an der Stelle x 0 , falls f auf dem Intervall (x 0 - δ, x 0 + δ) definiert ist f¨ ur ein δ> 0 und der Grenzwert lim xx0 f (x) - f (x 0 ) x - x 0 existiert (= Ableitung von f an der Stelle x 0 ) n-tes Taylorpolynom: P n (x)= n X k=0 f (k) (x 0 ) k! (x - x 0 ) k f invertierbar, diff.bar in x 0 , f (x 0 )= y 0 ,f 0 (x 0 ) 6=0: (f -1 ) 0 (y 0 )= 1 f 0 (x 0 ) Weierstrass Zwischenwertsatz Nullstellensatz 16. Dezember 2011 andreas puccio [email protected] v0.8ub, made with PGF/TikZ df (x 0 ,y 0 )= f x (x 0 ,y 0 )dx+f y (x 0 ,y 0 )dy Im Punkt (x 0 ,y 0 ,f (x 0 ,y 0 )): z = f (x 0 ,y 0 )+ f x (x 0 ,y 0 )(x - x 0 )+ f y (x 0 ,y 0 )(y - y 0 ) d dt (f (x(t),y(t)) = f x (x(t),y(t)) · x 0 (t)+ f y (x(t),y(t)) · y 0 (t) Notw. f¨ ur (x * ,y * ) lok. Extr.: f x (x * ,y * )= f y (x * ,y * )=0. Hinr. Krit.: Definitheit der Hesse-Matrix in (x * ,y * ). Lagrange Reduktionsmethode Unter geeign. Vor.: f (x 0 ,y 0 )=0 def. implizite Fkt. y = h(x) in Umg. von (x 0 ,y 0 ). Dann gilt: h 0 (x 0 )= - f x (x 0 ,y 0 ) f y (x 0 ,y 0 ) f 0 (x) 0= f mon. st., f 0 (x) 0= f mon. f. Str. Mon. bei > bzw. <. f konvex ⇐⇒ f 00 (x) 0 f konkav ⇐⇒ f 00 (x) 0 diff.bar in x 0 = stetig in x 0 f streng monoton = f injektiv. f stetig, injektiv = f streng monoton. f : X Y injektiv: x 6= y = f (x) 6= f (y) f : X Y surjektiv: W f = Y inj. + surj. = bijektiv ⇐⇒ Umkehrfunkt. ex. notwendig f¨ ur x * lok. Extr.: f 0 (x * )=0. f 00 (x * ) > 0 lok. Min., f 00 (x * ) < 0 lok. Max. Altern.: Vorz.wechsel von f 0 in x * .
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d dt (f (x(t), y(t))

= fx (x(t), y(t)) x (t) + fy (x(t), y(t)) y (t)

(verallg.) Kettenregel

Tangentialebene

Im Punkt (x0 , y0 , f (x0 , y0 )): z = f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )(x x0 ) + fy (x0 , y0 )(y y0 )

Notw. fr (x , y ) lok. Extr.: fx (x , y ) = fy (x , y ) = 0. u Hinr. Krit.: Denitheit der Hesse-Matrix in (x , y ).

Extrema

Funktionen in mehreren Variablen

Totales Dierential

df (x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 )dx+fy (x0 , y0 )dy

Unter geeign. Vor.: f (x0 , y0 ) = 0 def. implizite Fkt. y = h(x) in Umg. von (x0 , y0 ). Dann gilt: Lagrange xReduktionsmethode f (x0 , y0 ) h (x0 ) = fy (x0 , y0 )

Optimierung unter Nebenbed.

Implizite Funktionen

f invertierbar, di.bar in x0 , f (x0 ) = y0 , f (x0 ) = 0: n-tes Taylorpolynom:n

Weierstrass Zwischenwertsatz Nullstellensatz Wichtige Stze a beschrnkt, a unbeschrnkt a Mengen Inmum, Supremum Operationen, kartesisches Produkt

(f 1 ) (y0 ) = Taylorapproximation Ableitung d. Umkehrfunktion

1 f (x0 )

Pn (x) =k=0

f (k) (x0 ) (x x0 )k k!

f heisst dierenzierbar an der Stelle x0 , falls f auf dem Intervall (x0 , x0 + ) deniert ist fr ein u > 0 und der Grenzwertxx0

16. Dezember 2011 andreas puccio [email protected], made with PGF/TikZ

lim

f (x) f (x0 ) x x0

Dierenzierbarkeit

Dierentialrechnung

Mathematik I

Basics + wichtige Stze a Logarithmen

existiert (= Ableitung von f an der Stelle x0 )

x > 0, y > 0, a > 0, c R : loga (x y) = loga (x) + loga (y) loga (x/y) = loga (x) loga (y) falls y = 0 loga (xc ) = c loga (x) natrlicher Logarithmus: ln := loge u x (0, ) : eln x = x x R : ln(ex ) = x

Grenzwerte, de lHosp. f (x) 0 = f mon. st., f (x) 0 = f mon. f. Str. Mon. bei > bzw. 0 lok. Min., f (x ) < 0 lok. Max. Altern.: Vorz.wechsel von f in x . Monotonie Symmetrie f : D R, 0 D gerade x D : f (x) = f (x) f ungerade x D : f (x) = f (x)

Stetigkeit

Funktionen in einer Variablen

Beschrnktheit a

f : D R beschrnkt Wf beschrnkt a a

f : D R R, I D Intervall. f konvex auf I x1 , x2 I [0, 1] : f (x1 + (1 )x2 ) f (x1 ) + (1 )f (x2 ) f konvex = f (x + h) f (x) + hf (x) f konkav f konvex

Konvexitt a

Extrema

global, lokal, relativ