Mathematik IBasics +

wichtige Satze

WichtigeSatze

Mengen

Logarithmen

Injektivitat,Surjektivitat

Grenzwerte,de l’Hosp.

Funktionenin einer

Variablen

Symmetrie

Beschranktheit

ExtremaKonvexitat

Stetigkeit

Monotonie

Differential-rechnung

Differenzier-barkeit

Taylor-approximation

Ableitung d.Umkehrfunktion

Funktionenin mehreren

Variablen

TotalesDifferential

Tangential-ebene

(verallg.)Kettenregel

Extrema

Optimierungunter

Nebenbed.

ImpliziteFunktionen

beschrankt,unbeschrankt

Infimum, Supremum

Operationen,kartesisches Produkt

∀x > 0, y > 0, a > 0, c ∈ R :• loga(x · y) = loga(x) + loga(y)• loga(x/y) = loga(x)− loga(y) falls y 6= 0• loga(x

c) = c · loga(x)• naturlicher Logarithmus: ln := loge• ∀x ∈ (0,∞) : eln x = x• ∀x ∈ R : ln(ex) = x

f : D → R beschrankt ⇐⇒ Wf beschrankt

global, lokal, relativ

• f : D → R, 0 ∈ D gerade ⇐⇒ ∀x ∈ D : f(−x) = f(x)• f ungerade ⇐⇒ ∀x ∈ D : f(−x) = −f(x)

f : D ⊆ R→ R, I ⊆ D Intervall.• f konvex auf I ⇐⇒ ∀x1, x2 ∈ I ∀α ∈ [0, 1] :f(αx1 + (1− α)x2) ≤ αf(x1) + (1− α)f(x2)• f konvex =⇒ f(x+ h) ≥ f(x) + hf ′(x)• f konkav ⇐⇒ −f konvex

f heisst differenzierbar an der Stelle x0, falls f aufdem Intervall (x0 − δ, x0 + δ) definiert ist fur einδ > 0 und der Grenzwert

limx→x0

f(x)− f(x0)x− x0

existiert (= Ableitung von f an der Stelle x0)

n-tes Taylorpolynom:

Pn(x) =

n∑k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)k

f invertierbar, diff.bar in x0,f(x0) = y0, f

′(x0) 6= 0:

(f−1)′(y0) =1

f ′(x0)

• Weierstrass• Zwischenwertsatz• Nullstellensatz

16. Dezember 2011andreas puccioapuccio@student.ethz.chv0.8ub, made with PGF/TikZ

df(x0, y0) = fx(x0, y0)dx+fy(x0, y0)dy

Im Punkt (x0, y0, f(x0, y0)):z = f(x0, y0)+fx(x0, y0)(x−x0)+fy(x0, y0)(y−y0)

ddt (f(x(t), y(t)) = fx(x(t), y(t)) · x′(t) + fy(x(t), y(t)) · y′(t)

Notw. fur (x∗, y∗) lok. Extr.: fx(x∗, y∗) = fy(x

∗, y∗) = 0.Hinr. Krit.: Definitheit der Hesse-Matrix in (x∗, y∗).

• Lagrange• Reduktionsmethode

Unter geeign. Vor.: f(x0, y0) = 0 def. impliziteFkt. y = h(x) in Umg. von (x0, y0). Dann gilt:

h′(x0) = −fx(x0, y0)

fy(x0, y0)

f ′(x) ≥ 0 =⇒ f mon. st.,f ′(x) ≤ 0 =⇒ f mon. f.Str. Mon. bei > bzw. <.

f konvex ⇐⇒ f ′′(x) ≥ 0f konkav ⇐⇒ f ′′(x) ≤ 0

diff.bar in x0=⇒ stetig in x0

f streng monoton =⇒ f injektiv.

f stetig, injektiv =⇒ f streng monoton.

f : X → Y injektiv: x 6= y =⇒ f(x) 6= f(y)f : X → Y surjektiv: Wf = Yinj. + surj. = bijektiv ⇐⇒ Umkehrfunkt. ex.

notwendig fur x∗ lok. Extr.: f ′(x∗) = 0.f ′′(x∗) > 0→ lok. Min., f ′′(x∗) < 0→ lok.Max. Altern.: Vorz.wechsel von f ′ in x∗.