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Elliptische Kurven I

Franz Lemmermeyer

lemmerm�mpim�bomm�mpg�de

�� September ����

ii ELLIPTISCHE KURVEN

��������

Inhaltsverzeichnis

� Einf�uhrung ���� Was sind elliptische Kurven� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Diophant und Newton � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� �A Quoi Bon� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Die Lemniskate� das AGM und � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Die Weierstra�sche ��Funktion � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� Das Gruppengesetz ����� Projektive Ebenen und singul are Punkte � � � � � � � � � � � ���� Additionsformeln � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Faktorisierung mit elliptischen Kurven � � � � � � � � � � � � ���� Birationale Transformationen � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� Torsionspunkte� Satz von Nagell�Lutz ����� Uberblick � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Reduktion modulo p � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Lokale Kriterien � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Anwendungen und der Satz von Mazur � � � � � � � � � � � � �

Rang� Satz von Mordell�Weil ���� ��Isogenien � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Der schwache Satz von Mordell�Weil � � � � � � � � � � � � � �

iv Inhaltsverzeichnis

��� H ohen und der Satz von Mordell�Weil � � � � � � � � � � � � � ���� Isomorphismen� Isogenien� und Twists � � � � � � � � � � � � ���

� Die Hasse�Schranke ����� Die Riemannsche Zetafunktion � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Die Zetafunktion elliptischer Kurven � � � � � � � � � � � � � ����� Manins Beweis � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

� Geschichte ���

A Resultanten ���

B Exakte Sequenzen ���

C Endliche K�orper ��

Literatur ��

Index ���

��������

Kapitel �

Einf�uhrung

Dieses Kapitel dient im wesentlichen der Motivation� die Abschnitte ��� und�� sind f ur das Verst andnis der restlichen Kapitel nicht unbedingt erforder�lich�

��� Was sind elliptische Kurven�

Eine elliptische Kurve ist eine eindimensionale glatte projektive Variet at vomGeschlecht � mit einem rationalen Punkt�

Diese h ubsche De�nition hat den Nachteil� da� man eine ganze Menge analgebraischer Geometrie ben otigt� um sie zu verstehen� Viel leichter ist es�Beispiele f ur elliptische Kurven zu geben� Beginnen wir mit der Gleichungx� � y� � �z�� wobei wir f ur x� y� z ganze Zahlen zulassen� Von dieser el�liptischen Kurve hat Legendre behauptet bewiesen zu haben� da� sie keinenichttrivialen L osungen besitzt� und Mathematiker wie Lucas� P�epin oderDudeney haben eine solche L osung angegeben� ��� � ��� � � � ���� Der Sun�day Telegraph in London veranstaltet j ahrlich ein Neujahrsquiz� ��� warenzwei der Fragen die folgenden

� Solve the equation A��B� �C��D� � �� where A�B�C�D are all posi�tive whole numbers below ����

� A special question with a ��� prize� Either give a second solutionto the above equation where the four variables are all whole numbers

� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Abbildung ���� Fermatkurven x� � y� � � und x� � y� � �

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-3 -2 -1 1 2 3x

above ��� �A� B and C� D relatively prime�� or demonstrate that nosuch second solution can exist�

Bekannter ist nat urlich die elliptische Kurve x� � y� � z�� von der Fermatbewiesen haben will� da� sie keine nichttrivialen L osungen in Z besitzt� Eulerund Gau� haben sp ater gezeigt� da� Fermat recht hatte� Abbildung ��� zeigtdie Fermatkurven xn � yn � zn f ur n � � und n � ��

Diese Beispiele beantworten die Frage� was elliptische Kurven denn nunsind� selbstverst andlich nicht� und es ist nicht klar� warum man x� � y� � z�

eine elliptische Kurve nennt� x��y� � z� dagegen nicht� Unsere Antwort wirdsein� da� wir uns elliptische Kurven durch eine Gleichung gegeben denken�die man die Weierstra�sche Normalform nennt und die uber Q so aussieht�y� � x� � ax � b mit rationalen Koe�zienten a� b� wobei man noch vor�aussetzt� da� das Polynom x� � ax � b keine mehrfache Nullstelle besitzt�Diese Normalform ist nat urlich nicht vom Himmel gefallen� sondern kommtaus der Funktionentheorie� also der komplexen Analysis� genauer gesagt ausder Theorie elliptischer Funktionen� Diese wiederum sind entstanden durchUmkehrung elliptischer Integrale� und diese verdanken ihren Namen demVersuch� den Umfang von Ellipsen zu berechnen�

��������

��� Diophant und Newton

Es erscheint mir daher angebracht� den historischen Weg von Diophant uber Newton bis zum Gruppengesetz auf elliptischen Kurven einerseits� so�wie von der Lemniskate Fagnano�s uber Eulers Beitr age bis hin zu den revo�lution aren Arbeiten Abels uber elliptische Funktionen andererseits etwas zubeleuchten� Nach einem kurzen Uberblick uber das� was die moderne Funk�tionentheorie zu diesem Thema zu sagen hat� werden wir dann schon beider Weierstra�schen Normalform und dem Gruppengesetz auf elliptischenKurven uber C angelangt sein�

�� Diophant und Newton

Die Theorie der elliptischen Kurven ist Teil der arithmetischen Geometrieund liegt damit zwischen algebraischer Geometrie und klassischer Zahlen�theorie� Die arithmetische Geometrie besch aftigt sich im wesentlichen mitdem Studium rationaler Punkte �solche� deren Koordinaten rationale Zahlensind� auf geometrischen Objekten wie projektiven Variet aten� z�B� glattenKurven� insbesondere interessiert man sich f ur die Beschreibung rationalerPunkte auf Kurven vom Geschlecht g � �� n amlich elliptischen Kurven� DieKurven vom Geschlecht g � � nehmen dabei eine Sonderstellung ein� derFall g � � ist im wesentlichen trivial� der Fall g � � dagegen au�erordentlichschwierig�

Die Sekanten�Methode

Ein Beispiel f ur eine Kurve vom Geschlecht � ist der Einheitskreis C �x� �y� � �� Die Bestimmung der rationalen Punkte auf dieser Kurve ist seitdem Altertum bekannt� ist n amlich x � a

c� y � b

cein solcher� so ist �a� b� c�

ein pythagor aisches Tripel �eine L osung der Gleichung a� � b� � c��� und dieUmkehrung ist ebenfalls richtig� Ein geometrischer Zugang zur L osung desProblems ist der folgende� der bereits Diophant bekannt war �man beach�te aber� da� Diophant nur arithmetisch� nicht geometrisch argumentierenkonnte� Koordinaten� d�h� die analytische Geometrie� sind eine Er�ndungder Neuzeit und mit dem Namen Descartes verkn upft� ob zu recht oderzu unrecht� scheint umstritten zu sein�� o�enbar ist P � ���� �� ein ra�tionaler Punkt auf C� ist Q ein weiterer� so wird die Gerade PQ durcheine Gleichung mit rationalen Koe�zienten beschrieben� und sie schneidetdie y�Achse �ebenfalls eine �rationale� Gerade� in einem Punkt R� der alsSchnittpunkt zweier rationaler Geraden rationale Koe�zienten haben mu��Umgekehrt kann man sich irgendeinen rationalen Punkt R � ��� t�� t � Q �

��������

� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Abbildung ���� Einheitskreis und Gerade y � ��x � ��

-1

-0.5

0

0.5

1

y

-1.5 -1 -0.5 0.5 1x

auf der y�Achse heraussuchen und die Gerade PR mit C schneiden� dervon P verschiedene Schnittpunkt Q ist dann ebenfalls rational� und jederrationale Punkt Q �� P kann o�enbar auf diese Weise erhalten werden�

Nat urlich lassen sich diese Uberlegungen explizit durchf uhren� die Geradedurch P und ��� t� hat die Gleichung y � t�x � ��� Schneiden mit C liefert�� x� � y� � t��x � ���� Die L osung x � �� entspricht dem SchnittpunktP � soda� K urzen von x � � den zweiten Schnittpunkt Q liefert� � � x �t��� � x�� Der Rest ist klar� Q hat x�Koordinate x � ��t�

��t�� und Einsetzen in

die Geradengleichung gibt y � t�x � �� � �t��t�

� Wir haben gezeigt�

Proposition � � Die von ���� �� verschiedenen rationalen Punkte auf C �x� � y� � � werden durch

x ��� t�

� � t�� y �

�t

� � t������

parametrisiert� Insbesondere sind die pythagoreischen Tripel gegeben durch��� t�� �t� � � t���

Mit anderen Worten� die rationalen Punkte auf dem Einheitskreis sindnicht viel aufregender als diejenigen auf der Geraden x � �� Die MethodeDiophants dagegen� mit der dieses Ergebnis gewonnen wurde� ist Gold wert�

��������

��� Diophant und Newton �

Sie funktioniert n amlich allgemein f ur Kegelschnitte� das sind die Nulstel�lenmengen quadratischer Gleichungen der Form

ax� � bxy � cy� � dx � ey � f � �� �����

welche einen rationalen Punkt P besitzen� In der Regel werden durch sol�che Gleichungen Kegelschnitte beschrieben� also Kreise� Ellipsen� Hyperbeln�Parablen etc�� allerdings kann es auch vorkommen� da� ����� das Produktzweier Geraden ist �solche Kurven nennt man � wie k onnte es anders sein �reduzibel��

Besitzt ����� keinen rationalen Punkt� ist die Beschreibung aller rationalenPunkte nat urlich auch nicht schwer� mit dem Hasse�Prinzip hat man sogarein schnelles Verfahren� um festzustellen� ob Gleichungen der Form �����einen rationalen Punkt besitzen oder nicht� F ur Diophants Verfahren w ahleman irgendeine rationale Gerade� betrachte deren rationale Punkte R� unduntersuche die Schnittpunkte der Geraden PR mit der Kurve ������

�Ubung� Man bestimme alle rationalen Punkte auf C x� � y� � �� Bemerkung das Aussehen der Parametrisierung wird nat�urlich davon abh�angen� welche Geradeoder welchen rationalen Punkt� man w�ahlt� Es wird daher verschiedene richtigeL�osungen geben��

�Ubung� Man bestimme alle rationalen Punkte auf C x� � y� � ��

�Ubung� Man zeige� da� C x� � y� � keinen rationalen Punkt besitzt�

Das angesprochene Hassesche Lokal�Global�Prinzip werden wir zwar nichtbeweisen �was nicht schwer w are� aber etwas Zeit kostet�� soll aber wegenseiner Bedeutung wenigstens formuliert werden�

Satz � � Eine Kurve

ax� � bxy � cy� � � �����

mit rationalen Koe�zienten a� b� c � Q � ac �� �� hat genau dann nichttrivia�le rationale L�osungen� wenn sie solche in jeder Komplettierung Q p von Q�einschlie�lich Q� � R besitzt�

Dabei hei�t die L osung ��� �� von ����� trivial� Entsprechende Aussagengelten f ur ������ da man die linearen und konstanten Terme wegtransformie�ren kann� Zum Gl uck mu� man hier nicht wirklich jede Komplettierung Q p

betrachten� transformiert man die Gleichung so� da� die Koe�zienten a� b� cganze Zahlen werden� so gen ugt es� die Q p mit p j �abc zu betrachten� es istalso nur endlich viel zu tun�

��������

� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Wie sieht es nun bei kubischen Kurven aus �solche� in denen x und y ma�ximal zur dritten Potenz auftreten�� Das Problem ist hier� da� ein Schnitt�punkt PR wie oben die Kurve im allgemeinen in zwei Punkten Q� und Q�

schneidet� die zwar einer quadratischen Gleichung mit rationalen Koe�zien�ten gen ugen� aber selbst nicht rational zu sein brauchen�

Es gibt aber �Ausnahmekurven�� in denen das Verfahren doch funktio�niert� ist n amlich C eine kubische Kurve� die einen rationalen �Doppelpunkt�P enth alt �d�h� die Kurve schneidet sich selbst in P �� dann funktioniert dasobige Verfahren problemlos�

Als Beispiel betrachten wir die Kurve C � x� � y� � �x � �y��x� � y���Das Diagramm ��� zeigt� da� der rationale Punkt P � ��� �� tats achlich

Abbildung ���� x� � y� � x� �y�x� � y��

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

y

-3 -2 -1 1 2 3x

ein Doppelpunkt ist� W ahlen wir G � y � � als rationale Gerade� so ha�ben die Geraden durch P und die rationalen Punkte R � ��� t� auf G dieGleichungen x � ty� Schneiden mit C gibt y��t� � �� � y��t � ���t� � ���die doppelte Nullstelle y � � kommt von P � und Abdividieren von y� lie�fert y � t���

�t����t���� � Die x�Koordinate ist� wie die Geradengleichung zeigt�gleich x � ty� Man sieht auch hier� da� solche Parametrisierungen rationalerPunkte im allgemeinen nicht alle Punkte beschreiben� solche mit y � � undx �� � n amlich k onnen nicht auf einer Geraden durch den Ursprung liegen�hier gibt es genau einen solchen� y � � gibt x� � x�� und au�er von x � �wird diese Gleichung auch von x � � gel ost�

Proposition � � Die Parametrisierung

x �t� � t

�t� ���t� � ��� y �

t� � �

�t� ���t� � ��

��������

��� Diophant und Newton �

Abbildung ���� Newtonscher Knoten y� � x�x� ��

-6

-4

-2

0

2

4

6

y

1 2 3 4x

der kubischen Kurve C � x� � y� � �x � �y��x� � y�� liefert alle rationalenPunkte au�er P � ��� �� und ��� ���

Kubische Kurven mit Doppelpunkt hei�en singul�ar� wie wir noch sehenwerden� gibt es aber noch andere Singularit aten auf kubischen Kurven alsDoppelpunkte� z�B� sogenannte Spitzen� Die genaue Untersuchung singul arerkubischer Kurven werden wir im n achsten Kapitel durchf uhren�

�Ubung� Parametrisiere den Newtonschen Knoten y� � x�x��� durch Projektionauf die Gerade x � ���

�Ubung� Parametrisiere das Cartesische Blatt x� � y� � xy�

�Ubung� Parametrisiere das dreibl�attrige Kleeblatt x� � y��� � x�y � y��

�Ubung� Parametrisiere die Kurve y� � x� � x� � x� ��

�Ubung� Parametrisiere die Kissoide des Diocles y�a � x� � a� x���

�Ubung� Parametrisiere die Kurve x� � y��n � x�n���

Die Tangenten�Methode

Was kann man nun tun� wenn die kubische Kurve C nicht singul ar ist�Wenn man gar keinen rationalen Punkt auf C kennt� vorl au�g gar nichts�

��������

� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Abbildung ���� Cartesisches Blatt x� � y� � xy

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

y

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5x

Abbildung ���� Dreiblattriges Kleeblatt x� � y��� � x�y � y�

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8

��������

��� Diophant und Newton �

Abbildung ��� Kissoide des Diocles y�� � x� � �� x��

-2

0

2

4

6

8

y

-1 1x

Ansonsten geht man vor wie folgt� P braucht ja kein Doppelpunkt der Kurvezu sein� es gen ugt� wenn die Gerade durch P mitC eine �zweifache Nullstelle�besitzt� d�h� wenn wir durch P eine Tangente an C legen �und Newton hatbekanntlich gezeigt� wie man Tangenten �ndet��� Ist n amlich T eine Tangentean C in P � so d urfen wir i�a� erwarten� da� T mit der kubischen Kurve einendritten Schnittpunkt Q hat� Ist die Tangentensteigung rational� so wird Qebenfalls rationale Koordinaten besitzen� und wir haben eine Methode� mitder man aus einem rationalen Punkt auf C weitere konstruieren kann�

Als Beispiel w ahlen wir die Kurve C � x��y� � �� Diese hat den rationalenPunkt P � ��� ��� Eine Gerade durch P hat die Gleichung y� � � m�x� ���wo m die Steigung bezeichnet� Diese soll gleich der Steigung der Kurve inP sein� die sich durch implizite Di�erentiation leicht ergibt� Ableiten nach xder Kurvengleichung ergibt �x� � �y�y� � �� also y� � �x��y� und m � ���Schneiden mit C liefert �� x� � ����x� �� � ��� �das Ausmultiplizieren isteine T atigkeit �T atlichkeit��� die oft bestraft wird� das l a�t sich auch hierwieder sch on sehen�� d�h� x� � � � ���x� ��� � ��x� ��� � ���x� ��� ��Bringt man die �� auf die linke Seite� steht dort x� � � �x � ���x� �

�Es ist deswegen erstaunlich� da Newton� obwohl er die SekantenMethode gekannt und benutzt hat�nichts �uber die TangentenMethode sagt� Diese taucht erstmals bei Lagrange auf�

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

�x � ��� durch Abdividieren der uninteressanten Nullstelle x � � �nden wirx� � �x� � � ���x� ���� ��x� �� � ��� Wieder bringen wir die �� auf dielinke Seite und erhalten dort x� � �x � � �x � ���x � ��� Da� der Faktorx � � sich zweimal k urzen l a�t� ist ein gutes Zeichen� die Tangente mu�ja eine doppelte Nullstelle in P besitzen� Diesmal folgt nach Abdividierenx � � � ���x � �� � �� also ��x � �� und x � �

�� Einsetzen in die

Geradengleichung gibt schlie�lich y � ����

und damit Q � �� �����

���

Damit haben wir fast schon das Gruppengesetz auf dieser Kurve entdeckt�bis auf eine kleine Modi�kation ist n amlich Q � P � P � Ganz entsprechendkann man jetzt weiter machen und entweder die Tangente in Q betrachten�was dann im wesentlichen auf Q � Q � �P f uhrt�� oder aber die GeradePQ �dies gibt dann analog einen Punkt� der fast P � Q hei�t�� und erh altso laufend neue rationale Punkte auf C�

Schreibt man die Kurve in der homogenen Form x� � y� � �z�� so hat Pdie Koordinaten ��� �� ��� und das Gruppengesetz erm oglicht die Berechnungder Vielfachen von P �

�P � ����� ��� ���P � ���������� ����P � ������� ����� ������P � ������������������� �������P � ����������� ������������ ������������P � ������������������ ���������������� ���������������P � ���������������������� �������������������

��������������������

An dieser Stelle dr angen sich vielleicht einige Fragen auf� zuerst fragt mansich nat urlich� ob die Sekanten�Tangenten�Methode immer funktioniert� al�so immer einen wohlde�nierten Punkt auf der gegebenen kubischen Kurveliefert� Das ist nicht so� wie das Beispiel der Sekante PP � mit P � ��� �� undP � � ��� �� auf der Kurve x� � y� � � zeigt� Zweitens� falls das Verfahrenfunktioniert� gibt es dann Punkte� die nur endlich viele neue Punkte liefern�Solche Punkte �Hurwitz nannte sie �Ausnahmepunkte�� neben ihm hat ins�besondere Beppo Levi solche Punkte untersucht� gibt es tats achlich� und wirwidmen diesen Punkten das ganze Kapitel ��

Dann ist da die Frage� ob man z�B� in unserem Beispiel C � x� � y� � �durch obige Konstruktion unendlich viele verschiedene rationale Punkte aufC erh alt� Dies ist in der Tat der Fall �und lie�e sich �von Hand� nachweisen�indem man zeigt� da� Z ahler und Nenner bei fortgesetzter Addition von

��������

��� Diophant und Newton ��

P immer gr o�er werden�� Wir werden das aber erst machen� wenn wir inKapitel � den Begri� der H ohen auf elliptischen Kurven eingef uhrt haben�

Weiter mag man sich fragen� ob es auf jeder kubischen Kurve C endlichviele Punkte P�� � � � � Pr gibt� soda� sich jeder rationale Punkt auf C in end�lich vielen Schritten mit obigen Methoden aus diesen Pj konstruieren l a�t�Dies ist in der Tat so� wie Poincar�e ohne Beweis angenommen und Mordellsp ater bewiesen hat� Der entsprechende Satz hei�t heute Satz von Mordell�Weil� weil Weil �Washington hat unl angst einen Artikel geschrieben� in dem�converges to two� too� vorkommt� ich darf das also auch� Mordells Beweisvon Q auf beliebige algebraische Zahlk orper �und von elliptischen Kurven aufabelsche Variet aten� erweitert hat� dieser Satz wird � in einem Spezialfall�da uns f ur den allgemeinen die algebraische Zahlentheorie fehlt � ebenfallsin Kapitel � bewiesen werden�

Eine letzte Frage ist� ob diese Konstruktion neuer Punkte sich als �Addi�tion� verstehen l a�t� man k onnte den durch die Tangente an P de�niertenPunkt Q als P � P bezeichnen� den durch die Gerade PQ de�nierten alsP�Q etc�� die Antwort hierauf ist �fast ja�� man sieht einerseits ein� da� manauf diese Weise sicher kein neutrales Element bekommt� also einen Punkt�dessen �Addition� immer zum Ausgangspunkt zur uckf uhrt� Andererseits istdie obige De�nition nur ein klein wenig zu modi�zieren� um zum Erfolg zukommen� wir werden dies in Kapitel � tun� sobald wir projektive Ebenenenbereitgestellt haben�

�Ubung� Sei P � r� s� ein rationaler Punkt auf C x� �y� � a und a keine drittePotenz in Q � Bestimme die Tangente an C in P � sowie den dritten SchnittpunktQ dieser Tangente mit C� Als Zwischenergebnis f�ur die x�Koordinate erh�alt man

x � r r���r�s���s�

r��s� � man erinnere sich an dieser Stelle aber an die binomischenFormeln oder an den euklidischen Algorithmus�� Kann es vorkommen� da� P � Qist�

�Ubung� Seien P � r� s� und Q � t� u� rationale Punkte auf C x��y� � a und akeine dritte Potenz in Q � Bestimme die Sekante PQ und den dritten SchnittpunktR dieser Sekante mit C�

�Ubung� Man �nde auf der Kurve C x� � y� � � weitere rationale Punkte� Wereinen Computer mit Langzahlarithmetik hat� l�ose die Neujahrsfrage des LondonTelegraph� die korrekte Antwort lautet

x � ����������������������������������������������������

y � �����������������������������������������������������

z � �����������������������������������������������������

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Abbildung ���� Elliptische Kurve in Weierstra� Form

-4

-2

0

2

4

y

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5x

�Ubung� Man �nde einige rationale Punkte auf C x� � y� � ��

�Ubung� Diophant� Sei � � d � u��v� f�ur positive u� v � Q � Zeige� da� d � x��y�

mit positiven x� y � Q ist�

�Ubung� Was passiert� wenn man die Sekantenmethode auf die beiden Punkte�� �� und �� �� der Kurve x� � y� � � anwendet�

�Ubung� Sei P � r� s�� s �� �� rationaler Punkt auf E y� � x� �ax� b mit a� b �Q � Man rechne nach� da� die Tangente an E in P die Steigung m � a�r�

�s besitztund zeige� da� der Schnittpunkt Q �� P der Tangente mit E die Koordinatenx� y� mit x � m� � �r und y � mx� r� � s besitzt�

�Ubung� Euler� Seien a� b� c � Z nicht durch die Primzahl p teilbar� Man zeige�da� dann ax� � bpy� � cp�z� � � keine L�osung in Z n f�g besitzt�

�Ubung� Hurwitz� Sei �x� y� z� � Z�x� y� z� eine kubische Form also homogen

vom Grad jeder Term hat Gesamtgrad �� Zeige� da� die diophantische Glei�

chung x� � �y� � �z� � ��x� y� z� � � keine nichttrivialen L�osungen in Z hat�

��������

�� �A Quoi Bon� �

�� �A Quoi Bon�

Wozu sind elliptische Kurven gut� Bis in die ��er Jahre unseres Jahrhun�derts h atten viele Mathematiker diese Frage als falsch gestellt zur uckgewie�sen� schlie�lich geht es ihnen in erster Linie nicht um den praktischen Nutzen�Seit nicht ganz �� Jahren aber haben sie eine bessere Antwort zur Verf ugung�damals hat H�W� Lenstra entdeckt� da� man mit elliptischen Kurven Prim�faktoren gro�er Zahlen �nden kann� Das hat zu einer Explosion des Interessesan elliptischen Kurven gef uhrt� und wenig sp ater gab es elliptische Primzahl�tests� elliptische Methoden zur Berechnung von Quadratwurzeln modulo p�sowie elliptische Kryptosysteme�

Elliptische Kurven haben auch in der algebraischen Zahlentheorie An�wendung gefunden� z�B� in der Konstruktion quadratischer Zahlk orper mitgro�em ��Rang oder von euklidischen Zahlk orpern mit gro�em Grad� DieEntwicklung von Algorithmen f ur die Arithmetik elliptischer Kurven hatauch dazu gef uhrt� da� fr uher als praktisch unl osbar geltende diophanti�sche Gleichungen wie y� � x� � ��� inzwischen sogar von einem Computergel ost werden k onnen �die ganzzahligen L osungen sind �������� ������������� ���� ����������� ���������� und ��� ��� � ��� �����

Klassenzahlprobleme

Auch an der L osung des Gau�schen Klassenzahlproblems waren elliptischeKurven ma�geblich beteiligt� Ein elementarer Aspekt l a�t sich wie folgt be�schreiben� Euler entdeckte ����� da� das Polynom f�x� � x� � x � �� f urx � �� �� � � � � �� nur Primzahlwerte annimmt� Ahnliches gilt f ur die Polyno�me f�x� � x� � x � m in der folgenden Tabelle� sie liefern Primzahlen f urx � �� � � � � m�

m � �� �� ��d ��� ��� ��� ��� ����

In der zweiten Zeile steht dabei die Diskriminante d � � � �m von f�x��Was hat es mit diesen Werten von d auf sich� Betrachten wir dazu dieGleichung

x� � dy� � �p� �����

wo p eine Primzahl ist� Falls diese Gleichung eine L osung besitzt� mu� sicherp � xy sein� modulo p ergibt sich dann d � �x�y�� mod p� d�h� d ist notwendig

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

quadratischer Rest modulo p� Sei nun umgekehrt p eine ungerade Primzahlmit �d�p� � ��� ist dann ����� mit x� y � Z l osbar� Leider nicht� es ist z�B�������� � ��� aber o�enbar �� �� x� � ��y�� Tats achlich gilt diese Um�kehrung f ur jdj � �� genau dann� wenn d in obiger Tabelle vorkommt� Da�die Umkehrung f ur diese Werte richtig ist� ist mit den Methoden der alge�braischen Zahlentheorie ganz einfach zu zeigen� Da� es aber kein d � ����mit dieser Eigenschaft mehr gibt� ist eine Vermutung von Gau� gewesen�die im wesentlichen zuerst von Heegner mittels der Theorie der komplexenMultiplikation �also der Theorie solcher elliptischer Kurven� die eine Zusatz�eigenschaft besitzen� wir werden dazu sp ater mehr sagen k onnen� bewiesen�wenn auch nicht sofort akzeptiert worden�

In diesem Zusammenhang ist auch folgende Beobachtung relevant�

d exp��p�d�

��� ������������������������� � � ���� �������������������������� � � ����� ��������������������������������� � � �

Wie man sehen kann� liegen die Werte e�p�d f ur gro�e jdj sehr nahe bei

ganzen Zahlen� Noch deutlicher wird es� wenn wir von diesen Zahlen ���abziehen und die dritte Wurzel ziehen�

d �exp��p�d�� �������

��� ������������������������� � � ���� ����������������������� � � ���� ��������������������������� � � ���� ��������������������������� � � ����� ��������������������������������� � � �

Die Erkl arung f ur diese numerischen Kuriosit aten benutzt eine ganze Men�ge Technik� aus der Theorie der komplexen Multiplikation ist bekannt� da�eine bestimmte �Modulfunktion�� n amlich

j�q� ��

q� ��� � ��� �q � �� ��� ���q� � � � � �

f ur alle d� f ur die die oben besprochene Umkehrung gilt� an der Stelle q ��e�i

pd eine ganze Zahlen als Funktionswert hat �sogar eine dritte Potenz

einer ganzen Zahl�� Da q f ur gro�e jdj winzig klein ist� wird sich j�q

� ���jnur wenig von der ganzen Zahl j�q���� unterscheiden�

��������

�� �A Quoi Bon� ��

Damit nicht genug� die ganze Zahl x� die von �pe�p�d� ��� approximiert

wird� gen ugt der Gleichung x� � ��� � �dy� f ur ein y � N � Man sehe undstaune�

�� � �� � ��� � ���

�� � ���� � ��� � ���

�� � ���� � ���� � ���

�� � � ���� � ��� � ���

��� � ��� ������ � ������� � ���

Eine sehr gute Einf uhrung in die Theorie von j�q� �ndet man in Serre Ser!�Dar uberhinaus ist bei Springer ein neues Buch KK! uber elliptische Funktio�nen und Modulformen erschienen� das eine ganze Menge Sto� enth alt� DieDarstellung in Cox Co�! ist ebenfalls exzellent� setzt jedoch algebraischeZahlentheorie voraus�

Monster und Mondschein

Die meisten endlichen Gruppen� die man zu Beginn des Studiums kennen�lernt� sind abelsch� Z�mZ und �Z�mZ��� oder allgemeiner die Gruppen�Fq ��� bzw� �F�q � �� in endlichen K orpern sind Beispiele� Nichtabelsche end�liche Gruppen lassen sich aber leicht konstruieren� man nehme z�B� die sym�metrischen Gruppen Sn aller Permutationen von n � � Elementen oder dieGLn�Fp�� also die Gruppe der invertierbaren n n�Matrizen mit Eintr agenaus Fp �mit n � ���

W ahrend in abelschen Gruppen immer aba�� � b ist� gilt dies in nicht�abelschen Gruppen nat urlich nicht mehr� schlimmer noch� ist G eine endlicheGruppe mit Untergruppe U � so brauchen die Elemente gug�� �mit g � Gund u � U� nicht mehr in U zu liegen� Tun sie dies doch� nennt man Ueine normale Untergruppe von G �oder kurz Normalteiler�� Die Untergrup�pen f�g und G sind immer normal� falls G au�er diesen beiden trivialenNormalteilern keine weiteren besitzt� nennt man G einfach� Beispielsweisesind zyklische Gruppen Z�pZ von Primzahlordnung p einfach� weil f�g undG ihre einzigen Untergruppen sind� Weniger triviale Beispiele nichteinfacherGruppen sind die alternierenden Gruppen An f ur n � �An ist die Unter�gruppe der geraden Permutationen in Sn� deren Einfachheit ist der Grunddaf ur� da� sich Gleichungen vom Grad � i�a� nicht mit Wurzeloperationenau" osen lassen��

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�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Das Hauptproblem der Gruppentheorie bis in die �er Jahre war die Klas�si�kation aller endlichen einfachen Gruppen� genauer der Satz� da� folgendeListe von endlichen einfachen Gruppen vollst andig ist�

� zyklische Gruppen von Primzahlordnung�

� alternierende Gruppen An mit n � �

� die klassischen linearen Gruppen PSL�n� q�� PSU�n� q�� PSp��n� q� undP#��n� q��

� Ausnahmegruppen vom Lie�Typ �D��q�� E��q���E��q�� E��q�� E��q��

F��q���F���

n��� G��q���G���

n� und �B���n��

� sporadische einfache Gruppen M��� M��� M��� M��� M�� �Mathieu�Gruppen�� J�� J�� J�� J� �Janko�Gruppen�� Co�� Co�� Co� �Conway�Gruppen�� HS� Mc� Suz �Co��$Babies��� Fi��� Fi��� Fi��� �Fischer�Grup�pen�� F� � M �das Monster�� F�� F�� F�� F� �Monster�$Babies��� Ru�Ly� ON�

Die gr o�te unter den sporadischen �also zu keiner Familie geh orenden� ein�fachen Gruppen ist das �Monster�� dessen Existenz ���� von Fischer undGriess vorhergesagt und ��� best atigt wurde� das Monster hat Ordnung��� ������ ����� ��� ���� ������ ������ ���� ����� ����� �����

� ��� � �� � � � �� � ��� � ��� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � � � ���Nun besitzt jede endliche Gruppe G sogenannte �Darstellungen�� das sind

Gruppenhomomorphismen � � G � Aut �V � in die Automorphismengrup�pe endlichdimensionaler C �Vektorr aume� Wenn eine Darstellung � die Ei�genschaft hat� da� es au�er � und V keine invarianten Teilr aume gibt� dannhei�t � irreduzibel� Die Funktion � G � C � die jedem g � G die Spurder Matrix ��g� zuordnet� hei�t der Charakter der Darstellung� Die Anzahlder irreduziblen Charaktere jeder endlichen Gruppe ist endlich� man hatnun die Dimensionen der zu solchen irreduziblen Charakteren des Monstersgeh orenden Vektorr aume V berechnet und gefunden� da� die kleinsten Di�mension d� � �� d� � ����� d� � ������� sind� Vergleicht man das mitder q�Entwicklung j�q� � �

q�P

jnqn der j�Invariante� so stellt man fest�

da� j� � d� � d� und j� � d� � d� � d� gilt� Zufall� Nein� dahinter verbirgtsich inzwischen eine ganze Forschungsrichtung� die von Conway und Norton���� auf den Namen Mondschein getauft wurde und sich inzwischen bis indie Stringtheorie hineinverzweigt hat� N aheres �ndet man auf MP!�

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�� �A Quoi Bon� ��

Ein Wort noch zur Klassi�kation� der Umfang des Beweises wird auf ca��� ��� Seiten gesch atzt� und derzeit ist eine Buchreihe geplant� die diesenBeweis aufarbeiten soll �die ersten B ande sind bereits erschienen�� Ande�rerseits scheint es bei dem Teilproblem der Klassi�kation der quasi�d unneneinfachen Gruppen so zu sein� da� ein Beweis wohl angek undigt� aber nierichtig ver o�entlicht wurde� Inzwischen hat man aber anscheinend jemandengefunden� der sich dieser Sache annehmen will�

Fermats Grosser Satz

Schlie�lich kann ich es mir selbstverst andlich nicht entgehen lassen zu be�merken� da� die ber uhmt�ber uchtigte Fermatsche Vermutung� wonach dieGleichung xn � yn � zn f ur n � � in nat urlichen Zahlen nicht l osbar ist�im Jahre ���� von Wiles ebenfalls mit Hilfe von elliptischen Kurven gel ostworden ist� und zwar durch den Beweis eines gro�en Teils der Vermutungvon Taniyama�Shimura� die im wesentlichen aussagt� da� elliptische Kur�ven uber Q eine tie"iegende Struktur besitzen� die von hochsymmetrischenFunktionen der oberen komplexen Halbebene �sogenannten modularen Funk�tionen� herr uhren� Ganz grob geht der Beweis so� Man nimmt an� das Tripel�a� b� c� mit abc �� � sei eine L osung der Fermatgleichung Xp � Y p � Zp � �f ur p � �� Eine der drei Zahlen a� b� c ist notwendig gerade� sagen wir b�und eine ist � � mod �� sagen wir a� Dann betrachten wir die elliptischeKurve Ea�b�c � y� � x�x � ap��x � bp�� Man zeigt leicht� da� Ea�b�c semi�stabil ist �was das bedeutet� werden wir sp ater sehen�� Nun hat G� FreyAnfang der �er Jahre vermutet� da� die Kurve Ea�b�c nicht modular seinkann �was modular ist� werden wir auch noch erkl aren�� Serre hat darauf�hin genau untersucht� was man beweisen m u�te� um dies zu zeigen� undKen Ribet hat ��� eben dies getan� Nun gab es aber eine Vermutung vonTaniyama�Shimura� die besagte� da� alle elliptischen Kurven mit Koe�zien�ten aus Q modular sein sollten� man konnte Ribets Resultat also so formu�lieren� die Taniyama�Shimura�Vermutung impliziert FLT� Tats achlich w urdees gen ugen� die Taniyama�Shimura�Vermutung nur f ur semistabile elliptischeKurven zu beweisen � und genau das hat Wiles getan�

Zum Beweis der Fermatschen Vermutung gibt es inzwischen eine ganzeReihe hervorragender Artikel� F ur eine erste Einf uhrung sind Cox Co�! undGouvea Gou! empfehlenswert� Wer wissen will� was wirklich hinter demBeweis steckt� sollte ein oder zwei Blicke in CSS! werfen�

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�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Anwendungen in der Kryptographie

Wer sich f ur kryptographische Anwendungen der Theorie elliptischer Kurveninteressiert� sollte unbedingt in Menezes Men! und Koblitz Kob! schauen�

��� Die Lemniskate� das AGM und �

Seien F� und F� Punkte in der euklidischen Ebene mit Abstand F�F� � �c�Die Menge aller Punkte P mit der Eigenschaft PF� � PF� � c� nennt maneine Lemniskate�

�Ubung� W�ahlt man F� � �c� �� und F� � c� ��� so erh�alt man die Gleichungx� � y��� � �c�x� � y��� Umrechnen in Polarkoordinaten ergibt r� � �c� cos ���

�Ubung� Betrachte die Lemniskate mit �c� � �� Zeige� da� sie von den Gleichungen�x� � r� � r� und �y� � r�� r� parametrisiert wird� Rechne nach� da�

�x�

��y�

�� � r���� gilt� und da� die Bogenl�ange der Lemniskate im ersten Quadrantengleich Z �

drp�� r�

ist�

Im folgenden werden wir das Integral

z�w� �

wZ

dxp�� x�

� z�w� �

wZ

dxp�� x�

genauer untersuchen und uns dabei an die Vorlage von Abel halten� der

etwas allgemeiner die Umkehrfunktionen von IntegralenwR

dxp���c�x�����e�x��

untersucht hat� Die entsprechenden Arbeiten in seinen gesammelten Werken Ab! sind � im Gegensatz zu vielen andern Ver o�entlichungen aus dieser Zeit� auch heute noch sehr gut lesbar� Ein Blick in Allings Aufbereitung All!kann aber dennoch nicht schaden�

Die Funktion z�w� ist eine wohlde�nierte di�erenzierbare Funktion aufdem o�enen Intervall ���� ��� Die Transformation � �� �! � �� �!� diedurch

x �� �t

� � t� x ��r

�t�

� � t�

��������

��� Die Lemniskate� das AGM und � ��

Abbildung ���� Die Lemniskate x� � y��� � x� � y�

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-1 -0.5 0.5 1

gegeben ist� zeigt� da�

�Z

dxp�� x�

� �

�Z

dt

� � t�

�Z

dxp�� x�

�p

�Z

dtp� � t�

konvergiert� Eine numerische Integration ergibt

� � �

�Z

dxp�� x�

� ������� � � � � � �

�Z

dxp�� x�

� ������ � � �

Da die Funktion z�w� auf dem Intervall ��� �! streng monoton steigt� exi�stiert eine Umkehrfunktion w�z�� die wir mit

w � sin z w � sin lemn z �� sl z

bezeichnen� Direkt aus der De�nition folgt

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�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

sin � � �� sin ��

� � sl � � �� sl ��

� �

Diese Funktionen sind di�erenzierbar� und eine einfache Rechnung liefert

ddz

sin z �p

�� sin� z �� cos z ddz

sl�z� � f�z�F�z��

wobei wir f�z� �q

�� sl��z� und F�z� �q

� � sl��z� �mit positivem Vor�

zeichen um z � �� gesetzt haben�

�Ubung� �� Man zeige� da� gilt ddz fz� � �slz� Fz�� d

dzFz� � slz� fz�� F�� � ��

f�� � �� f�� � � �� F�� � �p

�� Au�erdem stelle man fest� welche der Funktionen

slz�� fz� und Fz� gerade� bzw� ungerade sind�

Die wichtigste Eigenschaft der Funktion sl�z� ist ihr Additionsgesetz� Umes herzuleiten� setzen wir

� � �� � � ��

und betrachten D � f � � � R� � ���� � �� � � � �

�g� Die durch

g� � �� �

sin cos � � cos sin �� sl� �f���F��� � sl���f� �F� �

� � sl�� � sl�����

de�nierte Funktion g � D � R ist wohlde�niert �und� wie man zugebenmu�� vom Himmel gefallen� Bei Siegel Sie! kann man nachlesen� was dahintersteckt�� F uhrt man die neuen Variablen � � �

�und � � �

�ein� so �ndet

man �g��� � �� mit anderen Worten� g��� �� h angt nur von � ab� Indem wirg an der Stelle � � � auswerten� �nden wir

g��� � sin ��� g��� � sl ���

F uhren wir jetzt wieder die Variablen und � ein� so folgen die Additions�formeln�

��������

��� Die Lemniskate� das AGM und � ��

sin� � �� � sin cos � � cos sin��

cos� � �� � cos cos � � sin sin��

sl� � �� �sl� �f���F��� � sl���f� �F� �

� � sl�� � sl�����

f� � �� �f� �f���� sl� �sl���F� �F���

� � sl�� � sl�����

F� � �� �F� �F��� � sl� �sl���f� �f���

� � sl�� � sl�����

Indem man zu � � spezialisiert� folgen daraus die Verdoppelungsformeln�

sin�� � � � sin cos �

cos�� � � cos� � sin� �

sl�� � ��sl� �f� �F� �

� � sl� ���

f�� � �f� �� � sl� ��F� ��

� � sl� ���

F�� � �F� �� � sl� ��f� ��

� � sl� ���

Diese Verdoppelungsformeln stammen bereits von Fagnano� nat urlich hater sie mit Integralen ausdr ucken m ussen� weil er die Umkehrfunktionen nichtbesa��

�Ubung� Zeige� da� die Verdoppelungsformel f�ur slz� zur Aussage

Z w

dxp�� x�

Z v

dxp�� x�

mit v � �w

p�� w�

� � w�

�aquivalent ist�

Setzt man in den Additionsformeln dagegen � � ���� so erh alt man

sin� � ��� � cos � sl� � �

�� � f��

F���� cl �

Diese beiden Formeln haben wir streng betrachtet nur f ur ���� � � �

bewiesen� F ur � � � ��

k onnen wir sie aber andererseits benutzen� umsin�z� und sl�z� auf das Intervall �� �

�! fortzusetzen� Indem wir mit cos�z��

f�z� und F�z� ahnlich verfahren und den Proze� wiederholen� k onnen wirdiese Funktionen so auf die ganze reelle Achse ausdehnen�

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Jetzt mu� man sich davon uberzeugen� da� die Additonsformeln auch f urdie so erweiterten Funktionen g ultig sind und nachrechnen� da� die Funktio�nen �au�erhalb etwaiger Polstellen� di�erenzierbar sind� Weiter �ndet man�da� sin z eine ���periodische und sl z eine ���periodische Funktion ist� Ab�leiten zeigt dasselbe f ur cos z� f�z� und F�z�� Schlie�lich gelten folgende Be�ziehungen�

sin� z � cos� z � �� sl�z � cl�z � sl�z cl�z � ��

Diejenige f ur sin z und cos z folgt direkt aus der De�nition� im Fall derlemniskatischen Funktionen folgt die Behauptung so� sl�z�cl�z�sl�z cl�z ��� � sl�z������ � sl�z� sl�z � ��� sl�z� � ��� sl�z� sl�z� � ��

�Ubung� Man veri�ziere folgende Tabelle von Funktionswerten

z sin z cos z sl z fz� Fz�

m� � ���m � ���m �

m � ���� ���m � ���m �

p�

Das n achste Ziel sind entsprechende Halbierungsformeln� Dazu de�nierenwir

x � sin ��

y � cos ��

x � sl���� y � f�

���

z � F����

Damit gilt

y� � �� x�� y� � �� x�� z� � � � x�

Jetzt ersetzen wir durch �� in den Verdopplungsformeln� das liefert

cos � y� � x�

sin � �xy

f� � � y��x�z���x�

� ���x��x���x�

F� � � z��x�y�

��x�� ���x��x�

��x��

Au" osen nach x und y gibt die Identit aten

x� ��� cos

y� �� � cos

x� � ��f����F��

� F������f��

y� � f���F����F��

� z� � f���F����f��

Es ist eine einfache Ubungsaufgabe zu zeigen� da� die Ausdr ucke auf derrechten Seite alle nichtnegativ sind� Damit k onnen wir problemlos die Qua�dratwurzel ziehen und �nden

��������

��� Die Lemniskate� das AGM und � �

sin �

�q

��cos�

cos �

�q

��cos�

sl ��� �

q��f����F��

f��� �

qf���F����F��

F��� �

qf���F����f��

Die Vorzeichen der Quadratwurzeln werden so bestimmt� da� sl x � �ist f ur x � �� �! und slx � � f ur x � �� ��! etc� Insbesondere �nden wirfolgende Werte�

sin���� � �

p��

cos���� � �

p��

sl���� �

pp�� ��

f���� �

p��p�� F��

�� � �

p��

Man beachte� da� dies alles algebraische Zahlen sind� Weiter erzeugen dieseZahlen abelsche Erweiterungen von Q bzw� Q�i�� und sie k onnen mit Zirkelund Lineal konstruiert werden� Bekanntlich hat Gauss gezeigt� da� man denKreis mit Zirkel und Lineal in p � ��

n

�� Teile teilen kann� sofern p nur primist� er hat auch angedeutet� da� sich dies f ur p � auf den Lemniskatenfall ubertr agt� Das Analogon zum Kreisteilungssatz von Gauss wurde aber erstvon Abel bewiesen � siehe dazu Rosens Ros! Darstellung von Abels Beweis�da� sich die Lemniskate mit Zirkel und Lineal f unfteilen l a�t �die Arbeit istnicht ohne gewisse M angel� einerseits wird so getan� als enthalte die Arbeiteine elementare Herleitung der Abelschen Ergebnisse� andererseits werdenwesentliche �und nicht�elementare� Ingredienzien ohne Beweis zitiert��

Abels n achster Schritt besteht darin� die bisher betrachteten Funktionenvon der reellen Achse auf die ganze komplexe Ebene auszudehnen� Dazuwerden die Funktionen zuerst auf die imagin are y�Achse ausgedehnt� f urbeliebiges x � iy erh alt man die Funktionswerte dann aus dem Additions�theorem%

Um zu sehen� wie wir unsere Funktionen auf der imagin aren Achse zude�nieren haben� setzen wir � ohne uns um die Bedeutung zu k ummern � inden Ausgangsintegralen x � �iu und �nden

iz �

iwZ

dup� � u�

� iz �

iwZ

dxp�� u�

Also setzen wir

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

sin�iz� � i sinh z� sl�iz� � isl�z��

Hierbei ist sinh z als Umkehrfunktion des Integrals z �R w dx�

p� � x� de��

niert�Mittels der Additionsformeln k onnen wir sin z und sl z nun zu Funktionen

C � C f�g auf der ganzen komplexen Ebene machen� Da wir denFunktionswert an der Stelle x � iy durch die Additionsformel f ur x und iygewonnen haben� mu� als n achstes gezeigt werden� da� die Additionsformelallgemein f ur die Addition von Funktionswerten an x � iy und u � iv gilt�Ebenso mu� man sich davon uberzeugen� da� die so de�nierten Funktionenau�erhalb ihrer Pole di�erenzierbar �genauer� holomorph� sind� und da� diePole diskret in C liegen� d�h� da� in jeder kompakten Teilmenge von C nurendlich viele Pole liegen�

Die Funktionen f und F werden jetzt durch f�iz� � F�z� und F�iz� � f�z�fortgesetzt� alle bisher bewiesenen Relationen bleiben damit weiter g ultig�und zwar f ur alle z � C � Die folgende Tabelle gibt einige Funktionswerte�

z sl z f�z� F�z�

m� � n�i � ����m ����n

�m � ���� � n�i ����m�n � ����n

p�

m� � �n � ����i ����m�ni ����n

p� �

�m � ���� � �n � �

���i � � �

Ein genaueres Studium der Funktionen zeigt� da� sl�z� nur die Polstellenhat� die sich aus dieser Tabelle ergeben� Die dazugeh origen Rechnungen sindganz elementar und k onnen bei Abel nachgelesen werden�

Per de�nitionem haben die Funktionen sl� cl� f und F die beiden Perioden�� und ��i� wir behaupten� da� sl z und cl z tats achlich �� � i�� und �� �i�� als Perioden besitzen� Die Veri�kation besteht in ein paar einfachenRechnungen�

sl� � �� � �sl� �� sl� � i�� � �sl� ��

f� � �� � �f� �� f� � i�� � f� ��

F� � �� � F� �� F� � i�� � �F� ��

und jetzt liefert die Additionsformel sl� � �� � i��� � sl� � wie behauptet� Ahnlich zeigt man� da� cl� ����i��� � cl� �� und da� f und F bei Addition

��������

��� Die Weierstra�sche ��Funktion ��

von ��� i�� ihr Vorzeichen wechseln� Wer Spa� am Rechnen hat� mag sehen�ob er folgende Ergebnisse beweisen kann�

sl� � �

�� f��

F��sl� � i�

�� i f��F��

��sl���

f� � �

�� �p� sl��F��

��sl���f� � i�

��

p� f����sl���

F� � �

��

p� F��

��sl���F� � i�

�� i

p� sl��f��

��sl���

�� Die Weierstra�sche ��Funktion

Die im letzten Abschnitt de�nierten Funktionen sl�z� und cl�z� sind Beispielef ur di�erenzierbare doppeltperiodische komplexwertige Funktionen� solcheFunktionen hei�en seit Abel und Jacobi elliptische Funktionen� Es hat sichherausgestellt� da� Additionstheoreme wie f ur sl�z� ganz allgemein f ur solcheelliptischen Funktionen existieren� und im folgenden wollen wir eine knappe Ubersicht uber deren elementarste Eigenschaften gewinnen�

Es gibt eine Unmenge elliptischer Funktionen und noch mehr Beziehungenzwischen ihnen �man schaue sich nur einmal die bescheidene Formelsamm�lung in Lawden Law! an�� Die von Weierstra� eingef uhrte ��Funktion hatsich als �Grundfunktion� aber inzwischen durchgesetzt� Um sie zu de�nieren�gehen wir von einem Gitter & in C aus� darunter verstehen wir die Mengeder Z�Linearkombination zweier uber den reellen Zahlen unabh angiger kom�plexen Zahlen� also die Menge & � Z�� � Z�� � fa�� � b�� � a� b � Zg�wobei ��� �� � C � und ����� nicht reell ist� Gitter sind also insbesondereadditive Gruppen�

Jedem solchen Gitter ordnet Weierstra� nun die Funktion

��z� � ��z� &� ��

z��X �

� �

�z � ���� �

��

�� ����

zu� wobei der Strich am Summenzeichen andeuten soll� da� nur uber die� � & n f�g summiert wird�

�Ubung� Das eindimensionale Analogon zu �z� ist die durch

cz� ��

z�X �

� �

z � � �

de�nierte Funktion cz�� wobei hier das �Gitter� � � Z in R zugrunde liegt� Manbeweise die absolute Konvergenz von cz� f�ur alle z � RnZ� rechne nach� da� c�z�Z�periodisch ist� und benutze das� um die Z�Periodizit�at von cz� zu beweisen�

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Fa�t man die Summanden f�ur n und �n zusammen und interpretiert �zz��n� als

die logarithmische Ableitung von � � zn��� so folgt� da� cz� die logarithmi�

sche Ableitung von sz� � zQ ��� z�n�� ist� Diese Z�periodische Funktion hat

Nullstellen genau in Z � wer kann sie identi�zieren�

Behauptet wird nun� da� ��z� eine elliptische Funktion mit Perioden�gitter & ist� d�h� da� erstens ��z� auf kompakten Mengen au�erhalb von &gleichm a�ig konvergiert� und zweitens f ur alle � � & die Gleichung ��z��� ���z� gelten soll� Das erste ist eine Standardabsch atzung� die zweite Behaup�tung benutzt einen Trick� man zeigt� da� die Ableitung von ��z� Perioden�gitter & hat� folglich ist die Di�erenz ��z� � ��z � �� f ur � � & konstant�und Einsetzen von z � ��� zeigt� da� die Di�erenz verschwindet�

�Ubung� Bekanntlich konvergiertP

n�N n�s genau dann� wenn s � � ist� das

zweidimensionale Analogon hiervon ist P ��s konvergiert genau f�ur s � �� Man

beweise das� Hinweis beidesmal benutzt man das Integralkriterium��

�Ubung� Benutze die geometrische Reihe� um z � ��� als Potenzreihe in z zuschreiben� zeige� da� �z� au�erhalb von � absolut konvergiert� und da�

�z� ��

z�� G�z

� � �G�z� � �G�z

� � � � �

gilt mit

Gm � Gm�� �X ��m�

Zeige� da� ��z� und �z� ��periodische Funktionen sind�

Damit hat man zwei &�periodische Funktionen � und ��� O�enbar ist jedesPolynom in � und �� ebenfalls &�periodisch� dasselbe gilt sogar f ur jede ratio�nale Funktion in � und ��� also f ur jede Funktion der Form P ��� ����Q��� ���mit nicht uberall verschwindenden Polynomen P�Q � C X� Y !� Ubrigens giltdavon sogar die Umkehrung� jede &�periodische Funktion ist von dieser Ge�stalt�

Die ��Funktion gen ugt nun der Di�erentialgleichung

���z�� � ���z�� � g���z�� g��

wo g� � ��G� und g� � ���G� ist�Um dies nachzuweisen� m ussen wir einen Satz von Liouville benutzen�

Satz � �Liouville� Jede elliptische Funktion ohne Pol ist konstant�

��������

Die Weierstrass sche ��Funktion ��

Der Rest ist Rechnung� man zeigt � Ubung%�

���z� � ��z�� � �G�z � ��G�z� � � � � �

���z�� � �z�� � ��G�z�� � �G� � � � � �

���z�� � �z�� � ��G�z�� � ��G� � � � � �

Daraus folgt sofort� da�

���z�� � ���z�� � ��G���z�� ���G� � z � �Potenzreihe�

ist� Da beide Seiten au�erhalb von & auf ganz C konvergieren� mu� diePotenzreihe auf der rechten Seite Konvergenzradius � besitzen� Damit istdie rechte Seite eine beschr ankte �warum�� elliptische Funktion� nach demzitierten Satz von Liouville also konstant� Einsetzen von z � � liefert jetztdie Behauptung�

�Ubung� Setze �z� � sl z��� und zeige� da� � der Di!erentialgleichung ��z�� �

��z�� � ��z� gen�ugt�

Als n achstes werden wir noch ben otigen� da� das Polynom �x�� g�x� g�f ur kein & mehrfache Nullstellen hat� dies zeigt man durch ein genaueresStudium der Nullstellen von �� und ist nicht schwer�

Schlie�lich betrachten wir noch die Abbildung

� � z �� ���z�� ���z���

Da die Funktionen � und �� Pole besitzen� geht diese Abbildung von C nachC C mit C � C f�g� Da � und �� beide &�periodisch sind� h angt dasBild nur von der Restklasse z � & ab� d�h� � induziert eine wohlde�nierteAbbildung � C �& � C C � Aber auch das Bild k onnen wir einschr anken�wegen der Di�erentialgleichung� der � und �� gen ugen� kommen nicht allePunkte �x� y� � C C als Bild vor� sondern au�er den Polen nur diejenigen�die der Gleichung y� � �x� � g�x � g� gen ugen� die Menge dieser Punkte�zusammen mit dem Punkt ��� � ������ sei mit E�C � bezeichnet� Jetztgilt

Satz � � Die Abbildung

� C �& � E�C � � z �� ���z�� ���z��

ist bijektiv�

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Damit haben wir eine Bijektion zwischen der Gruppe C �& und den Punk�ten auf E�C �� durch Strukturtransport wird daher E�C � ebenfalls eine Grup�pe� um P� � �x�� y�� und P� � �x�� y�� zu addieren� bestimmt man derenUrbilder unter der Bijektion� addiert diese in der Gruppe C �&� und bildetdie Summe via wieder nach E�C � ab�

Damit haben wir eine Erkl arung daf ur� da� wir mit unserer Sekanten�Tangenten�Methode �das englische �chord�tangent method� wird auch mitSehnen�Tangenten�Methode ubersetzt� kein neutrales Element gefunden ha�ben� uns fehlte der unendlich ferne Punkt� In der Tat� das Nullelement vonE�C � ist das Bild von � � &� da � und �� in z � � einen Pol haben� ist��� � ����� der unendlich ferne Punkt�

Ist P � �x� y� auf E�C � gegeben� so k onnen wir nun ohne weiteres angeben�was �P sein soll� dazu w ahlen wir ein Urbild z� & von P � dessen Negativesist �z � &� und unter landet dies auf ����z�� ����z��� Da � gerade� ��

ungerade ist� haben wir �P � �x��y�� Das Negative eines Punktes erh altman also einfach durch Spiegeln an der x�Achse�

Um in unserer Gruppe E�C � rechnen zu k onnen� m ussen wir wissen� wieman ��z � w� und ���z � w� berechnet� Dies leisten die Additionstheoremef ur die Weierstra�sche ��Funktion� es gilt n amlich

��z � w� � ���z� � ��w� ��

����z�� ���w�

��z�� ��w�

���

falls z� w� z � w � C n & ist� Spezialisieren zu z � w �und Anwenden vonL�H'opital� liefert die Verdoppelungsformel

���z� � ����z� ��

�����z�

���z�

���

Die Beweisidee ist wie gehabt� man setzt

h�z� � ��z � w� � ��z� � ��w�� �

����z�� ���w�

��z�� ��w�

��und zeigt dann� da� h keinen Pol hat und in z � � verschwindet�

Was hat nun die Addition mittels der ��Funktion mit der Sekanten�Tan�genten�Methode zu tun� Eine ganze Menge� Es gilt n amlich der

Satz � � Sei � die Weierstra�sche ��Funktion zum Gitter &� welche derDierentialgleichung

���z�� � ���z�� � g���z�� g�

��������

Die Weierstrass sche ��Funktion ��

gen�ugt� Sind z� w � C n &� so liegen �z� und �w� auf der Kurve

C � y� � �x� � g�x� g��

Der dritte Schnittpunkt der Geraden durch �z� und �w� hat dann die Ko�ordinaten ���z � w������z � w�� � ��z � w��

Mit anderen Worten� man addiert die Punkte �z� und �w� auf C� in�dem man mit der Sekanten�Methode den dritten Schnittpunkt bestimmt unddann an der x�Achse spiegelt�

Beweis� Die Gleichung der Gerade durch �z� und �w� ist

y � m�x� ��z�� � ���z� mit m ����z�� ���w�

��z�� ��w��

Schneiden mit C liefert die Gleichung

�x� � �m�x� ��w�� � ���w��� � g�x� g� � ��

Zwei Nullstellen sind durch x� � ��z� und x� � ��w� gegeben� Additionaller Nullstellen ergibt nach Vieta das ���fache des Koe�zienten von x��und wir �nden

x� � �x� � x� �m�

�� �����

Da �x�� y�� auf C liegt� gibt es ein u � C �& mit x� � ��u�� und ����� zeigt

��u� � ���z� � ��w� ��

����z�� ���w�

��z�� ��w�

���

d�h� es ist in der Tat ��z � w� � x��Da �x�� y�� auf der Kurve liegt� mu� y� � ���z�w� gelten� und die Frage

ist� welches Vorzeichen gilt� Dazu setzen wir x � x� in der Geradengleichungund erhalten y� � ���w� � m���z � w� � ��w��� Setzt man z � � auf derlinken Seite� erh alt man �� falls das positive Vorzeichen gilt� und �����w�andernfalls� Auf der rechten Seite kann man leider nicht einfach z � � setzen�aber wir k onnen sagen� was passiert� wenn z � � geht� Dann wird n amlichf ur eine geeignete Potenzreihe P �z�

m ����z�� ���w�

��z�� ��w��

��z�� � ���w� � P ��z�

z�� � ��w� � P �z�

���

z

�� z����w� � z�P ��z�

�� z���w� � z�P �z��

��������

� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

also

m���z � w�� ��w�� � � �� z����w� � z�P ��z�

�� z���w� � z�P �z�

��z � w�� ��w�

z�

L a�t man nun z � � gehen� konvergiert dieser Ausdruck gegen �����w��Also gilt das negative Vorzeichen�

Der Fall z � w ist Ubungsaufgabe�

Ein wesentlich eleganterer Beweis ist der folgende �der� wie so oft beieleganten Beweisen� aus dem Hut gezaubert wird�� ersetze in der Additions�formel w durch �w und dann z durch z � w� Vergleich mit dem Originalliefert ����z � w� � ���w�

��z � w�� ��w�

�������z�� ���w�

��z�� ��w�

���

Daher stimmen beide Klammern bis auf das Vorzeichen uberein� Weil aberder Quotient beider Klammern eine &�periodische elliptische Funktion ist�h angt das Vorzeichen nicht von z oder w ab �denn die Funktion nimmth ochstens zwei Werte an� ist also beschr ankt� folglich konstant nach dem Satzvon Liouville�� Einsetzen von w � ��z zeigt� da� das negative Vorzeichengilt�

Die so erhaltene Identit at l a�t sich als Determinantengleichung schreiben�n amlich so� ������

� ��z � w� ����z � w�� ��z� ���z�� ��w� ���w�

������ � ��

Diese Gleichung beschreibt aber bekanntlich eine Gerade durch die Punkte���z�� ���z��� ���w�� ���w�� und ���z � w������z � w���

Neben den Invarianten g� und g� eines Gitters & sind noch zwei andereGr o�en wichtig� Zum einen ist dies die �Diskriminante�

(�&� � g��&�� � ��g��&���

man kann zeigen� da� (�&� �� � f ur jedes Gitter & in C gilt� Weiter gibt eszu jedem Paar g�� g� � C mit ( �� � ein Gitter mit eben diesen Invarianten�

Nicht verschwindende Invarianten haben die Tendenz� in irgendwelchenNennern aufzutauchen� das ist auch hier so� die modulare Invariante j istde�niert durch

j�&� �g��&��

(�&��

��������

Die Weierstrass sche ��Funktion �

Diese Invariante ist uns bereits begegnet� setzt man &� � Z � �Z f ur ein �der oberen Halbebene� so kann man j als Funktion von � au�assen� Setztman dann noch q � e��i� � so erh alt man die j�Invariante aus Abschnitt ����dort war ubrigens � � �

��� �

pd ��

Die j�Invariante dient dazu� im wesentlichen gleiche Gitter als solche zuerkennen� Zwei Gitter & und &� hei�en ahnlich� wenn es ein � C � gibt mit&� � &� Man kann zeigen� da� zwei Gitter genau dann ahnlich sind� wennihre j�Invarianten ubereinstimmen�

Ist & ein Gitter und m � Z� dann gilt nat urlich m& � &� Man sagt� &habe komplexe Multiplikation� wenn es ein � � C � n Z gibt mit �& � &�

�Ubung� Sei m eine nat�urliche Zahl und � � Z � p�mZ� Man zeige� da� �komplexe Multiplikation hat�

�Ubung� Das Gitter � habe komplexe Multiplikation mit � C � n Z� Zeige� da�

einer quadratischen Gleichung mit ganzen Koe"zienten und negativer Diskri�

minante gen�ugt�

Der Einheitskreis

Einiges von dem� was wir im letzten Abschnitt uber komplexwertige doppelt�periodische Funktionen erz ahlt haben� hat ein eindimensionales Analogon�wir k onnen n amlich & � Z als Gitter in R au�assen� Als &�periodische Funk�tion nehmen wir sin ��z und cos ��z� und wenn wir x � cos ��z und y �sin ��z setzen� haben wir eine analytische Parametrisierung � R�Z � Cdes Einheitskreises C � x� � y� � � gefunden� Wir behaupten� da� bijektivist� Aus �z� � Z� � �z� � Z� folgt aus den bekannten Eigenschaften vonsin und cos sofort z� � z� mod Z� also z� � Z � z� � Z und damit die Injek�tivit at� Ist andererseits x� � y� � �� so folgt jxj � �� und es gibt ein z � Rmit x � cos ��z� Wegen cos� ��z� sin� ��z � � ist sin ��z � �y� und indemman ggf� z durch �z ersetzt� erh alt man �x� y� � �z � Z��

Da R�Z eine abelsche Gruppe bez uglich der Addition ist� k onnen wir Cdurch Strukturtransport ebenfalls zu einer abelschen Gruppe machen� Alsneutrales Element erhalten wir �� �Z� � �cos �� sin �� � ��� �� � O� um zugegebenem �x� y� das Inverse zu �nden� gehen wir zum Urbild unter zur uck�nehmen dort das Inverse� und bilden wieder mit ab� das liefert ��x� y� ��cos����z�� sin����z�� � �x��y�� d�h� Inversenbildung ist Spiegeln an derx�Achse� Insbesondere gibt es genau zwei Elemente� die mit ihrem Inversen ubereinstimmen� n amlich den Punkt ���� �� der Ordnung � und das neutraleElement O � ��� ���

��������

� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Um die allgemeinen Additionsformeln herzuleiten� setzen wir �x�� y�� ��z��Z� und �x�� y�� � �z��Z�� Addition der z�Werte und Abbilden mit auf den Einheitskreis gibt �x�� y����x�� y�� � �cos ���z��z��� sin ���z��z����Nach dem Additionsgesetz f ur sin und cos ist aber

cos ���z� � z�� � cos ��z� cos ��z� � sin ��z� sin ��z� � x�x� � y�y�

Entsprechend folgt sin ���z� � z�� � x�y� � x�y�� und wir haben das Addi�tionsgesetz

�x�� y�� � �x�� y�� � �x�x� � y�y�� x�y� � x�y��� �����

Gem a� dieser Konstruktion werden Punkte auf dem Einheitskreis so addiert�da� sich ihre Winkel addieren� Die Assoziativit at der Addition folgt f ur alleTeilk orper von R aus der Assoziativit at der Addition von R�Z�

Da die Additionsformel ����� auch f ur endliche K orper Fq sinnvoll ist �estreten ja keine Nenner auf�� k onnen wir damit auch eine Addition von Punk�ten uber Fq de�nieren� m ussen aber �da die Existenz von Nullelement undInversem klar ist� noch die Assoziativit at nachrechnen� Das ist aber lediglichein technisches Problem� Die so konstruierte Gruppe wird im folgenden mitC�Fq � bezeichnet�

Betrachten wir z�B� C�F��� da es genau vier L osungen der Kongruenzx��y� � � mod gibt� n amlich ������ und ���� ��� hat C�F�� vier Elemente�Da es nur zwei Gruppen der Ordnung � gibt� n amlich die zyklische GruppeZ��Z und die Kleinsche Vierergruppe Z��Z Z��Z� mu� C�F�� zu einerdieser beiden Gruppen isomorph sein� Wegen ��� �� � ��� �� � ���� �� und���� �� � ���� �� � ��� �� � O erzeugt aber ��� �� schon ganz C�F��� d�h� wirhaben C�F�� � Z��Z�

Entsprechend �ndet man uber F� die acht Punkte ������� ���� �� und�������� hier rechnet man nach� da� ���� �� � ��� ��� ���� �� � ���� �� und����� �� � O ist� also ist C�F�� � Z�Z� Im n achsten Kapitel werden wirdie Anzahl der Punkte auf C�Fp� allgemein bestimmen�

Sequenzen Quadratischer Reste

Sei p eine ungerade Primzahl� n � �� und seien ��� � � � � �n � f��g� MitN�� � � � � � �n��� sei die Anzahl aller n�tupel a� a � �� � � � � a � n� � von Ele�menten in �Z�pZ�� bezeichnet� f ur die �a�j

p� � �j f ur j � �� � � � � n� � gilt�

Beispielsweise bezeichnet N���� die Anzahl der quadratischen Reste modulop� es ist also N���� � p��

�� entsprechend ist N���� � p��

��

��������

Die Weierstrass sche ��Funktion

� Man erstelle eine kleine Tabelle f ur die Anzahl der Sequenzen derL ange �� d�h� man bestimme N�������� N�������� N������� undN������� f ur einige Primzahlen� Man vermute eine Formel f ur dieseAnzahlen�

� Man betrachte den Ausdruck ����ap������a��

p��� er nimmt genau dann

den Wert � an� wenn a und a� � beides quadratische Reste sind� Mannutze diese Beobachtung aus� um Formeln f ur die Anzahlen N�������hinzuschreiben�

� Unter diesen Formeln bestehen einfache Relationen� man �nde undbeweise sie und leite so geschlossene Formeln f ur die N������� ab�

� Man stelle ahnliche Formeln f ur Sequenzen der L ange � auf� im Spezi�alfall p � � mod � kann man eine einfache Formel f ur N����������erraten und beweisen� Man untersuche auch den Fall p � � mod � underrate eine explizite Formel� Wie stark weichen p

�und N����������

h ochstens voneinander ab�

� Man formuliere eine Vermutung dar uber� wie sehr N�� � � � � � �n��� imallgemeinen von ��np abweicht�

� Finde und beweise einen Zusammenhang zwischen N���������� undden Fp �rationalen Punkten auf der elliptischen Kurve y� � x� � x�

Die Kleinsche Kurve V � xy� � yz� � zx� � �

Die Kleinsche Kurve ist keine elliptische Kurve� dennoch zeigen sich Re�gelm a�igkeiten� wenn man die Punkte von V uber endlichen K orpern z ahlt�Man erstelle eine Tabelle von Punktanzahlen uber Fp und versuche� ein Ge�setz zu erraten� Was tut sich� wenn man von Fp zu Fp� � Fp� � � � etc� ubergeht�

��������

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��������

Kapitel �

Das Gruppengesetz

�� Projektive Ebenen und singul�are Punkte

Wie wir bei der Diskussion der Bijektion C �& � E�C � gesehen haben�brauchen wir einen unendlich fernen Punkt� um E�C � zur Gruppe machenzu k onnen� Einen solchen bekommen wir durch die Einf uhrung projektiverR aume geschenkt�

Projektive R�aume

Betrachten wir zuvor die Fermatgleichung Xp � Y p � Zp � �� Wenn wirnicht st andig von �nichttrivialen� L osungen sprechen wollen� sollten wirin einer Menge von Tripeln �x� y� z� arbeiten� die das Element ��� �� �� garnicht enth alt� Zweitens ist eine L osung �tx� ty� tz� f ur ein t � Q� genau�so interessant wie �x� y� z�� anstatt von �wesentlich verschiedenen� L osun�gen zu sprechen� machen wir das wie richtige Mathematiker und identi�zie�ren �tx� ty� tz� mit �x� y� z�� Etwas genauer� wir f uhren auf der Menge allerTripel �x� y� z� � Q n f��� �� ��g eine Aquivalenzrelation � ein� indem wir�u� v� w� � �x� y� z� setzen� falls es ein t � Q� gibt mit u � tx� v � ty undw � tz�

�Ubung� Zeige� da� dadurch wirklich eine �Aquivalenzrelation de�niert ist�

Die Menge aller solchen Aquivalenzklassen nennt man den zweidimensio�nalen projektiven Raum uber Q und bezeichnet ihn mit P��Q �� Die Aqui�

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valenzklasse eines Tripels �x� y� z� wird mit �x � y � z� bezeichnet� es ist also�x � y � z� � f�tx� ty� tz� � t � Q�g�

Dieselbe Konstruktion funktioniert nat urlich f ur beliebige Dimension nund beliebige Grundk orper K�

�Ubung� F�uhre die Konstruktion von PnK� allgemein durch�

F ur uns interessant ist vorl au�g nur P��K�� dessen Punkte wir �x � y � z�mit x� y� z � K schreiben� Den Unterraum f�x � y � �� � P��K�g k onnen wirmit dem a�nen Raum A ��K� � f�x� y� � x� y � Kg identi�zieren� d�h� wirk onnen A ��K� durch die Abbildung

A ��K� � P��K� � �x� y� �� �x � y � ��

in den P��K� einbetten� und umgekehrt entspricht jeder Punkt �x � y � z�mit z �� � einem solchen a�nen Punkt� da wir ja �x � y � z� � �x�z � y�z � ��haben� Wir k onnen uns P��K� also vorstellen als einen A ��K�� zu dem wiralle Punkte der Form �x � y � �� hinzugenommen haben �die Gesamtheitdieser Punkte hei�t die Gerade in ���

Indem wir unsere Betrachtungen von A ��K� nach P��K� verlegen� bekom�men wir also unendlich ferne Punkte geschenkt� Anstatt daher die Nullstel�len eines Polynoms f � K X� Y ! in A ��K� zu studieren� betrachten wir das�homogenisierte� Polynom F � K X� Y� Z! in P��K�� Der Vorgang des Ho�mogenisierens ist ganz einfach� sei n der Grad von f �bei f �

Pai�jX

iY j

ist n das maximale i � j�� dann machen wir aus f ein homogenes Polynomin drei Variablen x� y� z� indem wir jeden Term so oft mit z multiplizieren�bis er Grad n hat� F �X� Y� Z� �

Pai�jX

iY jZn�i�j�Beispiel� Homogenisieren von Y ��X��aX�b liefert F �X� Y� Z� � Y �Z�

X� � aXZ� � bZ��Leider macht es keinen Sinn� homogenen Polynomen F � K X� Y� Z! vom

Grad n einen Funktionswert an der Stelle �x � y � z� zuzuordnen wegen�x � y � z� � ��x � �y � �z� und F ��x� �y� �z� � �nF �x� y� z�� Allerdingsk onnen wir von der Nullstellenmenge V�F � von F zu sprechen� also vonV�F � � f�x � y � z� � P��K� � F �x� y� z� � �g�

Die Nullstellenmenge von F �X� Y� Z� � Y �Z �X� � aXZ� � bZ� bestehtaus allen �x � y � z� � P��K� mit y�z � x� �axz� �bz�� ist z �� �� k onnen wirz � � annehmen und erhalten genau die �a�nen� Punkte unserer elliptischenKurve� n amlich die �x � y � �� mit y� � x��ax�b� Ist dagegen z � �� so folgt� � x�� also x � � und y � K� beliebig� Also ist �� � � � �� der Schnittpunktvon F mit der Gerade im Unendlichen� und V�F � besteht aus den a�nenPunkten der elliptischen Kurve plus einem Punkt �� � � � �� im Unendlichen�

��������

��� Projektive Ebenen und singul�are Punkte �

�Ubung� Homogenisiere die a"ne Geradengleichung ax � by � c � � a� b� c � K�nicht a � b � c � ��� Zeige� da� jede projektive Gerade im P�K� mit z � � genaueinen Schnittpunkt besitzt d�h� jede Gerade schneidet die Gerade im Unendlichengenau einmal�� Zeige allgemein Zwei Geraden im P�K� besitzen immer genaueinen Schnittpunkt m�a�W� im Projektiven gibt es keine Parallelen#�� dieses istgenau dann ein Punkt im Unendlichen� wenn die a"nen Geraden parallel sind�

�Ubung� Schneide die Gerade y � tx mit der elliptischen Kurve y� � x� � x�

In C gibt es dann genau drei Schnittpunkte� f�ur gro�es t liegen zwei davon nahe

bei �� ��� der dritte bei t� t��� Zeige� da� der dritte Schnittpunkt f�ur t �� � im

A"nen gegen ���� divergiert� im Projektiven aber gegen � � �� konvergiert�

Singul�are Punkte

Sei eine Kurve durch ein homogenes Polynom F �X� Y� Z� � K X� Y� Z! gege�ben� ein Punkt P � P��K� hei�t eine Singul�arit�at von F � wenn F �P � � � istund die formalen Ableitungen FX � FY und FZ im Punkt P alle verschwinden�

Folgende Beispiele sollen den Begri� erl autern�

� Sei die a�ne Kurve durch y� � x� gegeben� dann ist F � Y �Z �X��und die partiellen Ableitungen sind FX � ��X�� FY � �Y Z undFZ � Y �� da diese im Ursprung �� � � � �� verschwinden� ist dieserPunkt singul ar�

� Sei die a�ne Kurve durch y� � ��x� uber einem K orper der Charakte�ristik �� � gegeben� dann ist F � Y �Z��Z��X�� und die partiellen Ab�leitungen sind FX � ��X�� FY � �Y Z� und FZ � �Y �Z� �Z�� Wenndiese alle verschwinden sollen� mu� erstens x � � sein� aus Y �Z� � Z�

folgt dann y �� � �sonst w are x � y � z � ��� aus FY � � schlie�lichz � �� d�h� wenn P � �x � y � z� singul ar ist� dann ist P � �� � � � ��der Punkt im Unendlichen� dieser ist auch tats achlich singul ar�

� Der unendlich ferne Punkt einer Weierstra�gleichung ist nie singul ar�mit F � Y �Z � X� � aXZ� � bZ� ist n amlich FX � ��X� � aZ��FY � �Y Z und FZ � Y �� �aXZ� �bZ�� In �� � � � �� ist also FZ � ��unabh angig von der Charakteristik von K�

�Ubung� Zeige� da� die Fermatgleichungen Xn �Y n �Zn � � �uber jedem K�orper�dessen Charakteristik kein Teiler von n ist� nicht singul�ar ist�

�Ubung� Bestimme alle singul�aren Punkte auf y� � x� � x��

�Ubung� Ist die durch x� � y� � x�y� � � �uber Q de�nierte Kurve singul�ar�

��������

� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

�Ubung� Man zeige� da� die �uber einem K�orper K de�nierte Kleinsche Kurvexy� � yz� � zx� � � genau dann singul�ar ist� wenn charK � � ist�

Im ersten Kapitel haben wir die Vorstellung gewonnen� singul are PunkteP auf kubischen Kurven seien solche� f ur die jede Gerade durch P mit derKurve einen doppelten Schnittpunkt besitzt� Wir wollen jetzt zeigen� da�dieser Sachverhalt f ur die oben de�nierten Singularit aten in der Tat rich�tig ist� Dazu sei P � �x � y � ein singul arer Punkt im Endlichen auf derdurch f�x� y� � � beschrieben Kurve� und der Einfachkeit halber sei derGrundk orper K in C enthalten� Sei weiter y � mx� c eine Gerade durch P �Um die Schnittpunkte mit der Kurve zu bestimmen� setzt man y � mx�c inf�x� y� � � ein und �ndet F �x� �� f�x�mx� c� � �� Diese Gleichung soll inx � x eine doppelte Nullstelle haben� d�h� es soll gelten F �x� � �x�x ��g�x�f ur eine �lineare� Funktion g� Dies ist o�enbar genau dann der Fall� wennF �x � � F ��x � � � ist� Nun ist F �x � � �� weil P nach Voraussetzung aufder Kurve liegt� wir m ussen also nur noch zeigen� da� F ��x � � � ist�

Dazu berechnen wir die Ableitung von F �x�� wir �nden

F ��x� � limh� F �x�h��F �x�

h

� limh� f�x�h�mx�c�mh��f�x�mx�c�

h

Nach Taylor ist nun aber f�x�h�mx�c�mh� � f�x�mx�c��hfx�x�mx�c� � mhfy�x�mx � c� � h�G�x�mx � c�� somit F ��x � � �� da fx und fy inP verschwinden� Damit ist die Behauptung gezeigt�

Singul�are Punkte auf Weierstra�kurven

Wir werden uns im folgenden vor allem f ur Kurven E in Weierstra�form

E � y� � a�xy � a�y � x� � a�x� � a�x � a� �����

interessieren� E hei�t de�niert uber K� wenn alle Koe�zienten in K liegen�E hei�t elliptische Kurve� wenn E nichtsingul ar ist� d�h� wenn es keinensingul aren Punkt auf E�K� gibt�

Auch bei langer Weierstra�form ist der Punkt im Unendlichen nie singul ar�setzt man Z � � in der homogenisierten Weierstra�form� so folgt x � �� d�h�auch hier ist �� � � � �� der unendlich ferne Punkt� und dieser ist nichtsingul ar� weil wie oben FZ � � in diesem Punkt ist�

Wir wollen noch zeigen� da� man singul are Punkte� die im Endlichen lie�gen� schon am a�nen Modell ablesen kann� Genauer�

��������

��� Projektive Ebenen und singul�are Punkte �

Proposition � � Sei F �X� Y� Z� � K X� Y� Z! eine elliptische Kurve inhomogenisierter langer Weierstra�form� und

f�x� y� � F �X� Y� �� � y� � a�xy � a�y � x� � a�x� � a�x� a�

das dazugeh�orige dehomogenisierte Polynom� Dann ist der endliche PunktP � �x � y � �� auf der von F de�nierten projektiven Kurve genau dannsingul�ar� wenn f�p� � fx�p� � fy�p� � � ist� wo p � �x� y� der Punkt P ina�ner Beschreibung ist�

Beweis� Sei �x � y � �� singul ar� dann ist � � F �P � � F �x� y� �� � f�p�� sowieFX�P � � fx�p� � a�y� �x�� �a�x� a� und FY �p� � fy�p� � �y � a�x� a��Es gen ugt daher zu zeigen� da� FZ�P � � � ist� wenn f � fx und fy in pverschwinden� Dazu wiederum gen ugt es� FZ�x� y� �� als Linearkombinationvon f � fx und fy zu schreiben� falls dies uberhaupt m oglich ist� Aber nunist FZ�P � � y� � a�xy � �a�y � a�x

� � �a�x � �a�� den Koe�zienten a�k onnen wir nur mit f�p� wegbekommen� da er in den Ableitungen nichtvor kommt� Wir bilden also FZ�P � � �f�p� � ��y� � �a�xy � a�y � �x� ��a�x

� � a�x� Der Koe�zient a� kommt nur in fx�p� vor� also bilden wirFZ�P � � �f�p� � xfx�p� � ��y� � a�xy � a�y � �yfy�p� und erhaltenFZ�P � � �f�p�� xfx�p�� yfy�p� wie gew unscht�

Ist K ein K orper der Charakteristik �� �� so k onnen wir � � y��a�x�a����setzen �quadratische Erg anzung� und �nden

�� � x� �b��x� �

b��x �

b��

�����

mit b� � a�� � �a�� b� � a�a� � �a�� b� � a�� � �a��Ist dar uberhinaus auch char K �� �� so setzen wir � � x � b���� und

erhalten die kurze Weierstra�normalform

�� � �� � c��� � c�

��� �����

wobeic� � b�� � ��b�� c� � �b�� � ��b�b� � ���b�

ist� Man setzt noch

b� � a��a� � a�a�a� � �a�a� � a�a�� � a��

und de�niert die Diskriminante ( durch

( � �b��b� � b�� � ��b�� � �b�b�b��

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Da die Diskriminante in den f ur uns interessanten F allen von nichtsingul arenKurven von � verschieden ist� k onnen wir auch die De�nition der j�Invarianteimitieren durch j � c���(�

Die oben gemachten De�nitionen sind Tabelle ��� noch einmal versammelt�Jetzt gilt

TABLE ����

b� � a�� � �a� �

b� � a�a� � �a� �

b� � a�� � �a��

b� � a��a� � a�a�a� � �a�a� � a�a�� � a�� �

c� � b�� � ��b� �

c� � �b�� � ��b�b� � ���b� �

( � �b��b� � b�� � ��b�� � �b�b�b� �

�b� � b�b� � b�� �

���( � c�� � c�� �

j � c���( � ��� � c���( �

Satz � � Die �uber einem K�orper K de�nierte elliptische Kurve E ist sin�gul�ar genau dann� wenn ( � � in K gilt� In diesem Fall gibt es genau einensingul�aren Punkt P � und zwar ist dieser wie folgt bestimmt�

� Ist charK � � und E in langer Weierstra�form � �� gegeben� so ist

P �

��pa��pa�a� � a� � falls c� � � � �� a� � ��

�a��a�� �a�� � a��a���a

��� falls c� �� � � �� a� �� ��

� Ist charK � � und E in der Form � � gegeben� dann ist

P �

��� �pb�� �� falls c� � � � �� b� � ��

��b��b�� �� falls c� �� � � �� b� �� ��

��������

��� Projektive Ebenen und singul�are Punkte ��

� Ist schlie�lich charK �� �� � und E in kurzer Weierstra�form � ��gegeben� so ist

P �

���� �� falls c� � �

��c����c�� �� falls c� �� �

der singul�are Punkt�

Insbesondere ist der einzige singul�are Punkt� wenn K endlich oder von Cha�rakteristik � ist� stets K�rational�

Beweis� Wir betrachten zuerst den Fall� wo K Charakteristik �� �� � hat�Dann d urfen wir E in kurzer Weierstra�normalform ����� annehmen �dennlineare Transformationen x �� x�t andern das Singularit atsverhalten eben�sowenig wie die Diskriminante (�� und dann ist �mit Z � �� denn der unend�lich ferne Punkt ist ohnehin nicht singul ar� Fx � ��x� � c��� und Fy � �y�Die erste Gleichung gibt x � �pc����� die zweite y � �� setzt man diesin ����� ein� so folgt noch c� � �pc�� �insbesondere ist

pc� � K�� Daraus

ergibt sich sofort ( � �� Ist also c� � �� so folgt x � � und y � �� ist aberc� �� �� so ist x � �pc���� � �c����c�� Wir haben gesehen� gibt es einensingul aren Punkt� so ist es der angegebene� und es gilt ( � �� Ist umgekehrt( � �� so verschwinden im angegebenen Punkt die Ableitungen Fx und Fy�und ( � � ist damit gleichbedeutend� da� der Punkt auf E liegt�

Sei jetzt char K � �� Dann ist b� � a��� b� � a�a�� c� � a��� folglichc� � � �� a� � ��

Eine endliche Singularit at ist� wie wir gesehen haben� eine gemeinsameNullstelle der Gleichungen

f � y� � a�xy � a�y � x� � a�x� � a�x � a��

fx � a�y � x� � a��

fy � a�x � a��

Wer meint� in der ersten Zeile m usse f � y� � � � � � x� � a�x� � � � stehen�

hat wegen �� � �� durchaus recht� Ist jetzt a� � �� dann ist fy � � nurdann� wenn auch a� � �� und in diesem Fall folgt ( � �� sowie x �

pa��

y �pa�a� � a��

Ist a� �� �� dann ist x � a��a� �wegen fy � �� und y � �a�� � a��a���a��

�wegen fx � ��� Die Bedingung f � � liefert jetzt ( � �� zum einen istn amlich �man beachte � � � und �� � ��

( � b��b� � b�� � b�b�b�

� a��a� � a��a�a� � a��a�a�� � a��a

�� � a�� � a��a

���

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

zum andern ergibt sich

a��f�x� y� � a���y� � a�xy � a�y � x� � a�x

� � a�x � a��

� a�� � a��a�� � a��a

�� � a��a

�� � a��a�a� � a��a

�� � a��a�a

�� � a�a

���

und wegen �a��a�� � a��a

�� ist ( � � in der Tat aquivalent dazu� da� der Punkt

�x� y� auf der Kurve liegt� also f�x� y� � � gen ugt�Der Fall char K � � wird als Ubung diskutiert�Schlie�lich noch ein Wort zur K�Rationalit at im Falle char K � �� ist K

ein endlicher K orper der Charakteristik �� so ist x �� x� ein Automorphis�mus und folglich jedes Element von K ein Quadrat�

Ist P der singul are Punkt einer Weierstra�kurve E� so nennt man Ens �E�Q� n fPg ihren nichtsingul aren Teil�

�Ubung� Veri�ziere Satz ��� f�ur char K � �

�Ubung� Mit pa��pa�a� � a� � ist im Falle char K � �� c� � � auch der Punkt

pa���

pa�a� � a� � singul�ar� Warum widerspricht dies nicht der Behauptung� es

g�abe h�ochstens einen singul�aren Punkt auf kubischen Weierstra�kurven�

�Ubung� Sei F X�Y�Z� � � die Gleichung einer Kurve C� zeige� da� C genau dannsingul�ar ist� wenn die Kurve C � F X �� Y �� Z �� � � dies ist� wobei X � � X � a�Y � � Y � b und Z � � Z � c ist�

�Ubung� Sei fx� � Q �x� ein Polynom vom Grad n� Zeige� da� der unendlich fernePunkt genau dann singul�ar ist� wenn n � � gilt�

� Additionsformeln

Sei E eine uber einem K orper K de�nierte elliptische Kurve in langer Wei�erstra�form ������ F ur P � E�K� de�nieren wir �P als den dritten Schnitt�punkt der Geraden durch P und O mit E� Mit P � x� � y� � �! undO � � � � � �! ist die Gerade gegeben durch x � x�� Schneiden mit derKurvengleichung gibt

y� � �a�x� � a��y � �x�� � a�x�� � a�x� � a�� � ��

d�h� die Summe der beiden Wurzeln ist ��a�x� � a��� Da eine Wurzel durchy � y� gegeben ist� mu� ��a�x� � a��� y� die andere sein�

Sind zwei Punkte P� � �x�� y�� und P� � �x�� y�� in E�K� mit x� �� x�gegeben� so sei �P� � P� der dritte Schnittpunkt dieser Geraden mit der

��������

��� Additionsformeln �

Kurve� Die Sekante durch P� und P� hat die Gleichung y � y� � m�x� x��mit m � �y� � y����x� � x��� Einsetzen in ����� liefert eine Gleichung in xmit den Wurzeln x�� x� und x�� Die Summe dieser Wurzeln ist der negativeKoe�zient von x�� und es folgt x� � �x� � x� � m�a� � m�� Setzt mandiesen Wert in die Geradengleichung ein� erh alt man die y�Koordinate von�P�� und dies liefert y� � � y� � m�x� � x�� � a�x� � a�!�

Im Falle x� � x� ist entweder y� � �y�� dann setzen wir P� � P� � O�oder es ist y� � y�� also P� � P�� Dann sei ��P� der dritte Schnittpunkt derTangente mit der elliptischen Kurve� Eine Rechnung wie oben gibt dann

Satz � � Sei E eine �uber dem K�orper K de�nierte elliptische Kurve in lan�ger Weierstra�normalform � ��� Das durch die Sekanten�Tangenten�Metho�de de�nierte Additionsgesetz wird durch die folgenden Formeln beschrieben�

�x�� y�� � �x�� y�� � �x�� y���

wobeix� � �x� � x� � a� � a�m � m�

y� � �y� � �x� � x��m� a�x� � a�

und

m �

��y� � y�x� � x�

falls x� �� x�

�x�� � �a�x� � a� � a�y��y� � a�x� � a�

falls x� � x�

Insbesondere ist f ur P � �x� y� die x�Koordinate von �P gegeben durch

x�P �x� � b�x

� � �b�x� b��x� � b�x� � �b�x � b�

� �����

Noch spezieller gilt f ur Kurven in kurzer Weierstra�form

x� � �x� � x� � m�� y� � �y� �m�x� � x���

wobei m � y��y�x��x� ist� falls x� �� x� ist� und m � �x��a

�yf ur x� � x� und

y �� �� Die F alle� die dadurch nicht uberdeckt werden� sind a� x� � x� undy� � �y�� hier ist P� � �P� und folglich P� � P� � O� und b� ��x� y� mity � �� hier ist �x� �� ein Punkt der Ordnung �� also ��x� y� � O�

Da� die in Satz ��� angegebene Addition kommutativ ist� das NullelementO besitzt� und da� zu jedem P � E�K� ein Inverses �P existiert� ist klar�Was nicht klar ist �und aus dem Stand heraus relativ schwer zu beweisen ist��

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

ist die Assoziativit at der Addition� F ur Teilk orper K � C folgt dies aus demAdditionsgesetz der Weierstra�schen ��Funktion� wir haben ja bereits ge�zeigt� da� die Sekanten�Tangenten�Addition der Addition in C �& entspricht�und die Addition der Restklassen z � & ist o�ensichtlich assoziativ� DasProblem ist� die Assoziativit at z�B� in endlichen K orpern nachzurechnen�Nat urlich w urde es gen ugen� die Formeln f ur P � �Q�R� und �P �Q� �Rhinzuschreiben und zu vergleichen� aber das ist eine herkulaneische Aufgabeund sicherlich kein Beweis� der gro�e Einsichten vermittelt� In den meistenQuellen wird an dieser Stelle der Satz von Bezout �ohne Beweis� zitiert unddann ein Beweis der Assoziativit at zumindest f ur die F alle gegeben� in denenkeine der Punkte P � Q� R� P � Q� etc� zusammenfallen�

Der wohl eleganteste Beweis der Assoziativit at benutzt Divisoren� ich hal�te es aber nicht f ur ratsam� deren Theorie am Anfang einer Einf uhrungin elliptische Kurven zu entwickeln� weil man dann eine ganze Weile langglauben mu�� da� das alles irgendwann einmal einen Sinn bekommt� Daherverschieben wir beides auf sp ater und glauben vorl au�g einmal� da� die obeneingef uhrte Addition tats achlich f ur jeden Grundk orper K assoziativ ist�

Um diese Formelsammlung einmal in Aktion zu sehen� w ahlen wir dieKurve E � y� � xy � x� � �x � ��� Hier ist a� � �� a� � a� � �� a� � ��und a� � ��� Wir �nden b� � �� b� � ���� b� � ��� b� � ����� alsoc� � �� c� � ����� und ( � ���� � �� �� ��� Also ist E eine elliptischeKurve uber Fp f ur alle p �� �� � �� Der Punkt P � ��� �� liegt o�ensichtlichauf E�F�� � y� � xy � x� � �� wir wollen jetzt einmal die Vielfachen von Pausrechnen�

Nach dem Additionsgesetz ist

m ��x�� � �a�x� � a� � a�y�

�y� � a�x� � a��x�� � y�x�

� ��

somit x�P � ��xP �m�m� � � und y�P � �yP � �x�P � xP �m� x�P � ��also �P � ��� ��

Den Punkt �P erhalten wir durch Addition von P und �P � hier ist m ��y� � y����x� � x�� � � und daher x�P � �xP � x�P � �� sowie y�P ��yP � x�P � � und �P � ��� ���

Schlie�lich ist einerseits �P � P � �P � also m wegen xP � x�P nichtde�niert� Das bedeutet �wegen P �� �P �� da� �P � O sein mu�� In der Tathaben wir bereits gesehen� da� ��x� y� � �x��a�x� a�� y� gilt� in unseremFall also ��x� y� � �x��x� y� und insbesondere ���� �� � ��� ���

Also erzeugt P eine Gruppe der Ordnung �� Abz ahlen aller m oglichenPunkte von E�F�� liefert� da� dies schon alle sind� also ist E�F�� � Z��Z�

��������

��� Additionsformeln ��

�Ubung� Beweise die Existenz eines neutralen und eines inversen Elements direktaus der De�nition des Additionsgesetzes f�ur elliptische Kurven� Man mache sichanhand einer Skizze klar� da� die Assoziativit�at dagegen keine triviale Folge derDe�nition ist�

Der Einheitskreis

Bevor wir uns der Anzahl der Punkte uber Fp auf singul aren Weierstra��kurven zuwenden� besch aftigen wir uns mit der analogen Frage f ur den Ein�heitskreis C � x� �y� � �� Wir stellen zwei verschiedene Methoden vor� diesePunkte zu z ahlen� die erste arbeitet mit der Parametrisierung des Einheits�kreises� die wir in Kapitel � gewonnen haben�

Wir erinnern also daran� da� wir die von ���� �� verschiedenen rationalenPunkte auf E zu

�x� y� ���� t�

� � t��

�t

� � t�

�bestimmt haben�

Ist p � � mod �� so ist �� quadratischer Nichtrest� folglich � � t� niemals� � mod p� und die Werte t � �� �� � � � p � � liefern genau p Punkte aufE�Fp�� und zwar lauter verschiedene� aus �� � t����� � t�� � �� � s����� �s�� mod p folgt n amlich �s� � �t� mod p� wegen p � � also s � �t mod p�Gleichsetzen der y�Koordinaten liefert dann s � t mod p� Also gibt es imFalle p � � mod � insgesamt p � � Punkte �die obigen p plus den Punkt���� ��� der in der Liste nicht auftritt��

Ist dagegen p � � mod �� so gibt es zwei Punkte weniger� weil f ur zweiWerte von t �n amlich f ur die beiden L osungen der Kongruenz t� � �� mod ��die Parametrisierung keinen Punkt uber Fp liefert�

Also hat die Gruppe E�Fp� mindestens p� � bzw� p � � Punkte� je nach�dem p � � mod � oder p � � mod � ist� Da� dies schon alle sind� sieht manso� bei der Herleitung der Parametrisierung hatten wir zwar K � Q ange�nommen� aber wenn wir �rational� durch �K�rational� ersetzen �wobei einK�rationaler Punkt einer sein soll� dessen Koordinaten in K liegen�� geht al�les genauso durch� man mu� sich lediglich davon uberzeugen� da� t� � � �� �ist� das kann man aber aus der Gleichung � � x � t��� � x� sofort ablesen�beachte char K �� ���

Schlie�lich funktioniert genau derselbe Beweis� wenn man Fp durch einenbeliebigen endlichen K orper Fq ungerader Charakteristik ersetzt� und manerh alt

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Proposition � Sei p ungerade Primzahl und q � pf � Dann liegen aufdem Einheitskreis genau

q � �����q����� �

�q � � falls q � � mod �

q � � falls q � � mod �

Fq �rationale Punkte�

Die zweite Methode funktioniert etwas allgemeiner f ur Kurvengleichungender Form y� � f�x�� im Falle des Einheitskreises ist f�x� � ��x�� Wir wer�den daher etwas allgemeiner fragen� wieviele L osungen in Fp eine Gleichungy� � f�x� besitzt� anders ausgedr uckt� wieviele L osungen die Kongruenzy� � f�x� mod p f ur primes p � � besitzt�

Dazu nehmen wir uns ein festes x � Fp her und Fragen� wieviele L osungendie Gleichung

y� � f�x� ����

besitzt� Die Antwort� es sind genau � ��f�x�

p

��

In der Tat� ist p j f�x�� so ist das Legendresymbol gleich �� und ����

hat genau die eine L osung �x� ��� Ist dagegen�f�x�

p

�� ��� also f�x� kein

Quadrat in Fp � dann hat ���� keine L osung� ist schlie�lich�f�x�

p

�� ��� so

ist f�x� � z� f ur ein z � F�p � und ���� hat die beiden L osungen �x� z� und�x��z� �hier verwenden wir� da� p �� � ist��

Damit k onnen wir ganz leicht eine Formel f ur die Anzahl aller L osungenhinschreiben� da ���� f ur festes x � Fp genau � �

�f�x�p

�L osungen hat� gibt

es insgesamtPp��

x�

�� �

�f�x�p

� � p �

Pp��x�

�f�x�p

�L osungen� Wir haben

gezeigt�

Proposition � � Die Kongruenz y� � f�x� mod p hat f�ur prime p � �

genau p �Pp��

x�

�f�x�p

�L�osungen�

Jetzt gehen wir daran� diese Formel f ur f�x� � ��x� auszuwerten� Wegen�� x� � ��� x��� � x� ist

S ��

p��Xx�

��� x�

p

��

p��Xx�

��� x

p

��� � x

p

��

Setzen wir s � x � �� so wird daraus

S �

p��Xs�

��� s

p

��sp

��

��������

��� Additionsformeln ��

Da mit s auch �s ganz Fp durchl auft� k onnen wir noch s � �t setzen und�nden unter Ber ucksichtigung von ���p�� � ��

S �

p��Xt�

��� �t

p

���t

p

��

p��Xt�

� tp

���� t

p

��

Um diese letzte Summe zu bestimmen� wenden wir einen h ubschen Trick an�wir zeigen� da� gilt�a� jSj � p� ��b� S � �����p����� mod p�Daraus folgt dann� da� S � �����p����� sein mu�� weil unter den Zahlen mitBetrag � p� � keine andern vorkommen� die � �����p����� mod p sind�

Die Behauptung a� ist trivial� in der Summe uber alle t � Fp sind zweiSummanden gleich � �n amlich f ur t � � und t � ��� die andern sind �� oder��� und a� folgt�

F ur die Behauptung b� bemerken wir zuerst� da� nach dem EulerschenKriterium �a

p

�� a

p��

� mod p

ist �schreibe a � gk f ur eine Primitivwurzel g mod p� Genau dann ist a

quadratischer Reste� wenn k gerade ist� Aber ap��

� � gkp��

� mod p� und dierechte Seite ist nach dem kleinen Fermatschen Satz � �� mod p� wenn kgerade ist� und � �� mod p� wenn k ungerade ist�� Damit �nden wir

S �p��Pt�

�tp

����tp

��

p��Pt�

t�p�������� t��p����� �p��Pt�

�t� t���p�����

�p��Pt�

�t�p����� � ��p�����

�t�p����� � � � � � �����p�����tp��

Jetzt benutzen wir den folgenden

Hilfssatz � � Sei p eine ungerade Primzahl� Dann gilt

p��Xx�

xk ��

� falls �p� �� � k

�� falls �p� �� j k

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Damit sind dann alle Summen uber die Polynome tk kongruent � mod pbis auf die letzte� und wir �nden

S �p��Xt�

�����p�����tp�� � ������p����� � �����p����� mod p�

Das war zu zeigen�Nachzutragen bleibt der Beweis von Hilfssatz ���� Ist �p � �� j k� so ist

nach Fermat jeder Summand xk � � mod p� mit Ausnahme von x � �� Alsoist S � p�� � �� mod p� Ist aber �p��� � k� so ist gk �� � mod p� wo g einePrimitivwurzel modulo p ist� Andererseits ist gkS �Pp��

t� tk �Pp��

t� �gt�k �Pp��s� s

k � S mod p� also p j �gk � ��S� Da p aber kein Teiler von gk � � ist�folgt p j S wie behauptet�

Schlie�lich kann man auch in diesem Beweis Fp durch Fq ersetzen� daF�q zyklisch ist� k onnen wir das Legendresymbol �a

p� ersetzen durch �a� �

a�q����� � �� f ur a � F�q � und alles geht genauso durch� Damit haben wireinen zweiten Beweis f ur Proposition ��� gefunden�

Als n achstes zeigen wir� da� die Gruppen C�Fp� immer zyklisch sind� Dazubetrachten wir bei gegebenem Grundk orper K der Charakteristik �� � dieAbbildung � � C � L� � �x� y� �� x� iy� hierbei ist i eine Wurzel aus ���die nicht in K zu liegen braucht� und L � K�i�� Wir behaupten zuerst� da�� ein Gruppenhomomorphismus ist� d�h� da� ��P��P�� � ��P�� ���P�� gilt�Wegen ��P�� ���P�� � �x� � iy���x� � iy�� � x�x� � y�y� � i�x�y� � x�y�� ���P� � P�� ist das aber klar�

Die Injektivit at von � ist ganz einfach zu zeigen� aus � � ��x� y� � x� iyfolgt wegen � � x��y� � �x�iy��x�iy� x�iy � � und x�iy � �� Additionbzw� Subtraktion ergeben dann x � � und y � �� also �x� y� � ��� �� � O�

Betrachten wir zuerst den Fall K �� L� also i �� K� Das Bild von � isto�ensichtlich gleich der Untergruppe Gm ��! �� fx � iy � L � x� � y� � �gvon L�� insbesondere induziert also � einen Gruppenisomorphismus � �C�Fp� � Gm ��!� Im Falle� da� K � Fp mit p � � mod � ist� ist Gm ��! alsUntergruppe des endlichen K orpers L � K�i� � Fp� automatisch zyklisch�

Sei jetzt K � L� also i � K� Wir behaupten� da� dann jedes Elementr � K� sich in der Form x � iy mit x� y � K und i� � �� schreiben l a�t�d�h� da� � � C�K� � K� surjektiv ist� Dazu setzen wir einfach x � �

��r� �

r�

und y � ��i

�r� �r� und rechnen nach� da� r � x� iy und x� � y� � � ist� Die

Gruppe F�p ist als multiplikative Gruppe eines endlichen K orpers nat urlichzyklisch� Damit haben wir gezeigt�

��������

��� Additionsformeln ��

Proposition � � Die Abbildung � � �x� y� �� x � iy von C�K� nachGm ��! bzw� K� ist ein Gruppenisomorphismus� insbesondere ist C�Fp� zy�klisch�

Was hat es mit diesem Gruppenisomorphismus auf sich� Eine Antwortdarauf gibt die analytische Parametrisierung � z�Z �� �cos ��z� sin ��z��denn wir �nden � ��z�Z� � cos ��z� i sin ��z � e��iz� und �� ist damitin der Tat der ganz gew ohnliche Gruppenisomorphismus zwischen R�Z unddem komplexen Einheitskreis� Im Falle endlicher K orper bricht dieses Bildnat urlich zusammen� gibt aber trotzdem den entscheidenden Hinweis darauf�wie man die Abbildung von C�K� nach L� zu de�nieren hat�

Singul�are Weierstra�kurven

Wir werden im folgenden zeigen� da� auch auf singul aren kubischen Kurvendurch das Sekanten�Tangenten�Verfahren ein Additionsgesetz gegeben ist�solange man vom singul aren Punkt weg bleibt� Auch die Anzahl aller Punkteauf singul aren kubischen Kurven uber dem endlichen K orper Fp werden wirbestimmen�

Da sich singul are kubische Kurven in etwa wie quadratische Kurven verhal�ten� darf man annehmen� da� die Berechnung der Anzahl der Fp�rationalenPunkte ebenfalls m oglich ist� Tats achlich ist die Lage hier sogar noch ein�facher� Uber endlichen K orpern der Charakteristik p � � l a�t sich n amlichjede singul are Kurve auf die Form y� � x� � ax� bringen �das werden wirweiter unten zeigen�� und deren Fp �rationale Punkte lassen sich leicht z ahlen�

Als erstes versuchen wir� mit der Parametrisierung von Ec durchzukom�men� Mit y � tx wird t�x� � x� �ax�� und der dritte Schnittpunkt ist durchx � t� � a� y � tx gegeben� Betrachten wir also � � K � E�K� � t ���t� � a� t� � ta�� O�enbar ist � injektiv �Vergleich der x�Koordinaten gibtGleichheit bis auf�s Vorzeichen� Vergleich der y�Koordinaten dann Gleich�heit�� Au�erdem ist � �fast� surjektiv� da der singul are Punkt ��� �� dereinzige ist� der m oglicherweise nicht erwischt wird� ist n amlich P � �x� y�gegeben und x �� �� so folgt x� a � �y�x��� und mit t � y�x wird P � ��t��Der singul are Punkt ��� �� wird schlie�lich genau dann parametrisiert� wenna � t� ein Quadrat in K ist� Wir nehmen nun K � Fp an und unterscheidendrei F alle��� a � �� dann ist t �� �t�� t�� eine Bijektion zwischen Fp und E�Fp�nO� undinsbesondere �nden wir f ur die Anzahl aller Punkte auf dem nichtsingul arenTeil )Ens�Fp� � )E�Fp� � )Fp � p� da wir den Punkt ��� �� weglassen undden Punkt O hinzunehmen m ussen�

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

�� a � t� ist ein Quadrat in F�p � Dann gibt es zwei Werte von t� die denPunkt ��� �� liefern� und wie oben folgt )Ens�Fp� � )E�Fp� � �� � � p� ���� a ist kein Quadrat in F�p � Dann taucht der Punkt ��� �� nicht im Bild derParametrisierung auf� und wir �nden )Ens�Fp� � )E�Fp� � � � p � �� dawir den Punkt O noch hinzuz ahlen m ussen�

Da der Wert des Legendresymbols �a�p� in den F allen ��� �� und �� gleich�� �� bzw� �� ist� haben wir damit gezeigt�

Proposition � Die Anzahl der Fp�rationalen Punkte auf dem nichtsin�gul�aren Teil Ens der Kurve E � y� � x� � ax� betr�agt p� �ap��

Aber auch mit der im letzten Abschnitt eingef uhrten Methode lassen sichdie Punkte auf Ens�Fp� z ahlen� in der Tat ist deren Anzahl N gleich

N � p �

p��Xx�

�x� � ax�

p

�� p �

p��Xx��

�x � a

p

��

Die Summation geht dabei nur uber x �� �� weil�xp

��� � genau f ur x �� �

ist� Daher ist

N � p��ap

��

p��Xx�

�x � a

p

�� p�

�ap

��

p��Xt�

� tp

��

wobei wir t � x � a gesetzt haben� Die letzte Summe ist aber � �� sie hatn amlich Betrag � p und ist wegen Hilfssatz ��� �plus Eulersches Kriterium�durch p teilbar� Also haben wir N � p � �a

p

�� zieht man den singul aren

Punkt ab und den nichtsingul aren unendlich fernen Punkt hinzu� ist N alsodie Anzahl der Fp �rationalen Punkte auf Ens � E�Q� n fPg f ur die KurveE � y� � x� � ax��

Damit haben wir einen zweiten Beweis f ur Prop� �� gefunden�Da es bis auf Isomorphie nur eine Gruppe von Primzahlordnung p gibt�

n amlich die zyklische Gruppe Z�pZ� mu� das Additionsgesetz auf y� � x� zuZ�pZ� �Fp ��� isomorph sein� Tats achlich l a�t sich ein solcher Isomorphis�mus hinschreiben� allgemeiner kann man sogar die Gruppenstruktur allersingul aren Weierstra�kurven bestimmen�

Bevor wir das tun� wollen wir noch zwei Dinge tun� a� ein paar Sachenzum Thema algebraische Gruppen sagen� und b� singul are Weierstra�kurvenklassi�zieren�

Ad a�� Algebraische Gruppen sind Objekte� die eine ganze Menge Struk�tur haben� Zum einen sind sie Variet aten� also gewisse Nullstellengebilde

��������

��� Additionsformeln ��

mit einer Topologie� die nach Zariski benannt ist� als Variet at besitzen dieseObjekte insbesondere eine Dimension� Zum anderen besitzen sie eine Ad�dition� die sich lokal als polynomiale Abbildung schreiben l a�t� Man kannzeigen� da� die eindimensionalen algebraischen Gruppen uber einem perfek�ten K orper K genau die folgenden sind�

� elliptische Kurven� dies sind die einzigen projektiven Kurven mit einerGruppenstruktur�

� die additive Gruppe G a � A � mit Gruppengesetz �x� y� �� x � y�

� die multiplikative Gruppe G m � A � n f�g mit Gruppengesetz �x� y��� xy�

� die verschr ankte multiplikative Gruppe G m a! f ur a � K� nK��� diesebesteht aus allen � L� mit L � K�

pa �� f ur die NL�K � � ist� also

aus allen x � ypa mit x� � ay� � �� Das Gruppengesetz ist gegeben

durch �x� y� � �x�� y�� � �xx� � ayy�� xy� � x�y�� F ur a � �� erh alt man ubrigens die Kreisgruppe auf E � x� � y� � ��

�Ubung� Zeige� da� Gm �a� eine Gruppe ist�

Ad b�� Wir wollen zeigen� da� singul are Weierstra�kurven uber einemK orper der Charakteristik �� �� � immer auf die Form y� � x� �ax� gebrachtwerden k onnen� Dazu gehen wir aus von der kurzen Weierstra�form

y� � x� � �

�c�x� �

��c��

Ist c� � �� so mu� wegen ( � � auch c� � � sein� d�h� die Kurvengleichungy� � x� hat bereits die gew unschte Form� Ist c� �� �� so ist der singul arePunkt gegeben durch ��c����c�� ��� Die Transformation Y � y� X � x �c����c� �lediglich eine Verschiebung der y�Achse� f uhrt den singul aren Punktin den Ursprung uber� und die Kurvengleichung wird Y � � X� � aX� mita � �c���c��

Wie wir bei der Berechnung der Anzahl der Punkte auf einer uber einemK orper K der Charakteristik �� �� � �diese Einschr ankung ist rein technischerNatur� de�nierten Kurve Ea � y� � x� � ax� schon festgestellt haben� sindhier drei F alle zu unterscheiden� je nachdem a � �� a �� � ein Quadrat odera kein Quadrat ist�

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Da� die Frage� ob a ein Quadrat ist� etwas mit der Geometrie der Kurvezu tun hat� sieht man so� sei a �� �� damit y � mx eine Tangente im Punkt��� �� ist� mu� sie mit der Kurve eine dreifache Nullstelle gemeinsam haben�eine doppelte besitzt sie ohnehin schon�� Einsetzen gibt m�x� � x� � ax��also x��a�m�� � �� Die Tangentensteigungen sind also durch m �

pa und

m � �pa gegeben� und genau dann sind diese Steigungen K�rational� wenna �� � ein Quadrat in K ist�

Behandeln wir zuerst den Fall a � �� also y� � x�� Wir behaupten� da�durch

�O �� ��

�x� y� �� xy

�����

ein Gruppenhomomorphismus � Ens � �K��� des nichtsingul aren Teilsin die additive Gruppe des Grundk orpers de�niert ist �da �x� y� � Ens�Q �ist� mu� y �� � sein��

Zu zeigen ist dazu� da� drei Punkte P�� P�� P� genau dann kollinearsind� wenn �P�� � �P�� � �P�� � � ist� denn P�� P�� P� sind ja nachdem Additionsgesetz genau dann kollinear� wenn P� � P� � P� � � ist�und da o�ensichtlich ��P � � ��P � ist� ist die Homomorphiebedingung��P�� � ��P�� � �P� � P�� � �P�� � �P��� Das l a�t sich nat urlichnachrechnen� indem man Pj � �xj� yj� setzt und das Additionsgesetz benutzt� allerdings artet das in eine w uste Rechnerei aus� und es ist mir nicht gelun�gen� die Behauptung so zu beweisen� Verwenden wir also den Standardtrickund rechnen erstmal projektiv� also mit der Kurvengleichung Y �Z � X��Jede Gerade� die nicht durch den singul aren Punkt ��� �� geht� hat die FormZ � lX � mY � Einsetzen gibt X� � lXY � � mY �� und Dividieren durchY �� � gibt U� � lU � m � �� wobei U � X�Y gesetzt ist� Die L osun�gen dieser Gleichung sind uj � xj�yj mit j � �� �� �� und nach Vieta gilt� � u� � u� � u�� Das war aber zu zeigen�

Als n achstes sei y� � x� � ax� und � �� a � c� ein Quadrat in K� Wieeben erhalten wir die Schnittgleichung �Y � � c�X���lX � mY � � X�� MitU � Y � cX und V � Y � cX folgt c�UV �lX � mY � � �U � V ��� wegen�cX � U�V und �Y � U�V also �c�UV �l�U�V ��mc�U�V �� � �U�V ���Division durch V � gibt mit W � U�V die Gleichung W � � �W � � �W �� � �c�W �l�W � �� � mc�W � ��� � �� Das Produkt der drei Nullstellenwj � uj�vj � �yj � cxj���yj � cxj� ist daher gleich dem Negativen deskonstanten Terms� d�h� gleich �� Also liefert �x� y� �� �yj � cxj���yj � cxj�einen Gruppenisomorphismus von Ens�K� � K��

��������

��� Additionsformeln �

Schlie�lich ist noch y� � x� � ax� zu untersuchen� wo � �� a kein Quadratin K� ist� Dann f uhrt dieselbe Rechnung wie eben auf den durch �x� y� ���yj � cxj���yj � cxj� de�nierten Gruppenisomorphismus E�K� � Gm c!�

Damit haben wir folgende Erkenntnis gewonnen�

Satz � � Es gibt drei Typen singul�arer Weierstra�kurven�

�� Die durch die Kurve y� � x� repr�asentierte Klasse mit Spitze� hier istEns�K� � �K��� zur additiven Gruppe von K isomorph�

� Die durch y� � x� � ax� �a � c� repr�asentierte Klasse von Kurvenmit Knoten und rationalen Tangenten� hier ist Ens�K� � K��

�� Die durch y� � x� � ax� �a �� K� repr�asentierte Klasse von Kurvenmit Knoten und irrationalen Tangenten� hier ist Ens�K� � Gm a!�

Ist E eine uber Q de�nierte elliptische Kurve mit ganzen Koe�zienten� sokann man E auch als Kurve uber Fp au�assen� indem man die Koe�zientenmodulo p reduziert� Genau dann ist E�Fp eine elliptische Kurve� wenn p � (gilt� Man sagt nun� E�Q habe

� gute Reduktion� wenn p � ( gilt�

� zerfallende multiplikative Reduktion� wenn E�Fp einen Knoten mit Fp �rationalen Tangenten hat�

� nicht zerfallende multiplikative Reduktion� wenn E�Fp einen Knotenmit Fp�irrationalen Tangenten hat�

� additive Reduktion� wenn E�Fp eine Spitze hat�

Liegt gute oder multiplikative Reduktion vor� so spricht man von semista�biler Reduktion� Eine Kurve E hei�t semistabil� wenn sie an jeder Primstel�le p semistabile Reduktion besitzt� Man beachte auch� da� nicht zerfallen�de multiplikative Reduktion zu zerfallender multiplikativer Reduktion wird�wenn man von K zur quadratischen Erweiterung K�

pa � ubergeht�

Wir weisen gleich an dieser Stelle darauf hin� da� diese De�nitionen auchf ur elliptische Kurven Sinn machen� die uber dem K orper Q p der p�adischenZahlen de�niert sind� Au�erdem verlangt man gew ohnlich� da� man die Kur�ve� bevor man modulo p reduziert� durch �zul assige Transformationen� aufeine Form bringt� in der Diskriminante p�minimal wird� d�h� f ur die die in (aufgehende p�Potenz minimal wird�

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Auch hier lassen sich die etwas seltsam aussehenden Homomorphismenanalytisch leicht verstehen� Beginnen wir mit dem Fall y� � x�� diese Kurvewird nat urlich nicht von einer Weierstra�schen ��Funktion parametrisiertwegen ( � �� Eine analytische Funktion w � f�z�� die der Di�erentialglei�chung w�� � �w� gen ugt und wie die ��Funktion an der Stelle z � � einenPol zweiter Ordnung hat� gibt es tats achlich� n amlich w � z��� Also wirddie singul are Kurve y� � x� von x � w�z� und y � �

�w��z� parametrisiert�

und durch Komposition mit �x� y� �� xy

erhalten wir nichts anderes als

z �� �w� ��w�� �� �w�w� � �z� also Multiplikation mit �� �ein dezenter

Hinweis darauf� da� wir das Vorzeichen in der De�nition ����� anders w ahlensollten��

Der Fall� wo die Singularit at ein Knoten ist� ist interessanter� Zuerst su�chen wir eine analytische Funktion mit doppeltem Pol in z � �� welcheder Di�erentialgleichung w�� � �w� � �w� gen ugt� Dazu k onnten wir einenPotenzreihenansatz w�z� � z�� � a � a�z � a�z

� � � � � versuchen� dieserf uhrt auch tats achlich ans Ziel� aber es ist leichter� die Funktion direktanzugeben� w�z� � �sin z���� Damit ist w��z� � �� cos z

sin� zund w���z� �

�w�z�� � �w�z�� wie gew unscht� Also erhalten wir die Parametrisierungz � ��Z � �w� �

�w��� und Komposition mit der Abbildung �x� y� � y�xi

y�xiliefert z �� �w� �

�w�� �� cos z�i sin z

cos z�i sin z � e�iz�

Bestimmung von �E�Fp � f�ur elliptische Kurven

Im allgemeinen ist unsere Z ahltechnik f ur elliptische �also nichtsingul are�Kurven unbrauchbar� auch wenn es einige wenige Spezialf alle gibt� in denensie unter gro�en Anstrengungen zum Ziel f uhrt� Manchmal aber kann mandoch zu einer Antwort gelangen� betrachten wir z�B� die elliptische KurveEc � y� � x� � cx uber Fp mit p � �m � � und c � Z� Dann folgt

S ��mXx��

�xp

��x� � c

p

��

mXx��

�xp

��x� � c

p

��

mXx��

�p� x

p

���p� x�� � c

p

��

mXx��

�xp

��x� � c

p

��

mXx��

��xp

��x� � c

p

��

Ist nun m ungerade� also p � � mod �� so ist ����p� � �� und folglichS � �� ist dagegen m gerade� also p � � mod �� so folgt nur� da� S einegerade Zahl sein mu��

��������

��� Additionsformeln ��

Nach unseren obigen Uberlegungen ist also )E�Fp� � p � �� falls p �� mod � ist� Das wirft nat urlich die Frage auf� was sich f ur prime p � � mod �tut� Eine Berechnung von S � Sp f ur c � �� und kleine Werte von p liefert

p �� �� �� �� �� � ��

Sp � �� �� �� � ��� ��� ��a � � � � � �

Schreibt man p � a� � b� als Summe zweier Quadrate� wobei b gerade seinsoll� so �ndet man sofort� da� Sp � ��a ist� Die Bestimmung des Vorzeichensist auch nicht schwer� setzt man a � � mod �� falls p � � mod und a �� mod �� falls p � mod � so �ndet man die Vermutung Sp � ��a� Diesewurde in dieser Form zuerst von Jacobsthal� in leicht anderer Form bereitsvon Gau� bewiesen� Damit hat man

Proposition � �� Wir betrachten die elliptische Kurve E � y� � x� � x�uber Fp � dann ist

)E�Fp� �

�p � � falls p � � mod ��

p � �� �a falls p � � mod ��

wobei p � a� � b� mit a � �����p����� mod � ist� Insbesondere gilt die Hasse�Schranke j)E�Fp�� �p � ��j � �

pp wegen �a � �

pp�

Etwas ahnliches funktioniert f ur andere Kurven mit �komplexer Multipli�kation� �macht man in y� � x� � x die Substitution x � �x�� y � iy�� sogeht E in sich uber� und man sagt� E besitze komplexe Multiplikation miti� Entsprechend gibt es Kurven� die z�B� komplexe Multiplikation mit

p��besitzen��

Im allgemeinen aber mu� man� um Formeln f ur die Anzahl von Punktenauf elliptischen Kurven uber Fp zu bekommen� sehr weit ausholen� Berechnenwir einmal die Summen Sp f ur die elliptische Kurve E � y� � x� � �x� � ��mit Diskriminante ( � ���� � ���� � ��� Wir �nden

p � � �� �� �� �� �� �� ��Sp � �� � �� �� � � � � ��

Hier sieht man uberhaupt keine Regel� und w are man auf den Zufall ange�wiesen gewesen� h atte man auch nicht entdeckt� da� diese Anzahlen in derFunktion

f�q� � q�Yn��

��� qn����� q��n��

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

kodiert sind� Durch Ausmultiplizieren �ndet man n amlich

f�q� � q � �q� � q� � �q� � q� � �q� � �q� � �q� � q�� � �q�� � �q��

� �q�� � q�� � �q�� � �q�� � �q�� � �q� � � � �

Setzt man also f�q� �P�

n�� anqn� so scheint Sp � �ap zu gelten� Dies ist

tats achlich richtig�

Satz � �� �Eichler Ist die elliptische Kurve E gegeben durch y� � x� ��x� � ��� und schreibt man f�q� � q

Q�n���� � qn���� � q��n�� in der Form

f�q� �P�

n�� anqn� so ist )E�Fp� � p � �� ap f�ur alle primen p � ��

Ubrigens gibt es f ur die hier betrachtete elliptische Kurve ein �sch oneresModell�� die Transformation y � Y � �� x � �X liefert ��Y � � ��Y ���X� � ��X� also nach K urzen von �� die �lange� Weierstra�gleichung E �Y ��Y � X��X�� Da die Transformation linear mit Koe�zienten aus Z ist�und die Umkehrtransformation nur den Nenner � hat� haben beide Kurven uber jedem K orper der Charakteristik �� � die gleiche Anzahl von Punkten�Eichlers Satz gilt also auch f ur letztere Kurve� die ubrigens ( � ��� hat�

Was hat es mit dieser Funktion f auf sich� Um diese Frage zu beantworten�setzen wir q � e��iz f ur ein z aus der oberen Halbebene �damit ist jqj � ��und betrachten f als Funktion von z� Man kann dan zeigen� da� f ur allea� b� c� d � Z mit ad� bc � � und �� j c gilt�

f�az � b

cz � d

�� �cz � d��f�z�� �����

Insbesondere ist f�z � �� � f�z� �man w ahle a � d � �� b � c � ���Die Eigenschaft ����� ist die wichtigste Eigenschaft von Modulformen �imallgemeinen Fall mu� man die �� durch ein N � N ersetzen� den sogenann�ten �F uhrer� der Kurve� Dieser ist im wesentlich das Produkt aller in (aufgehenden Primzahlen� wobei nur � und � in h oherer als der ersten Po�tenz auftreten k onnen�� in der Tat ist f eine solche� Die Vermutung vonTaniyama�Shimura besagt nun� da� es f ur jede uber Q de�nierte elliptischeKurve eine dazugeh orige Modulform f gibt� deren Fourierkoe�zienten ap derBeziehung )E�Fp� � p � �� ap gen ugen� Diese tiefe Vermutung hat Wileszumindest f ur die gro�e Klasse semistabiler Kurven bewiesen�

��������

�� Faktorisierung mit elliptischen Kurven ��

� Faktorisierung mit elliptischen Kurven

Die �p� ���Methode

Vorbild f ur das ECM�Verfahren war Pollards �p����Methode� hinter der einefast schon unversch amt einfache Idee steckt� Sei dazu p ein Primfaktor vonN und a � N nicht durch p teilbar� nach dem kleinen Fermatschen Satz istap�� � � mod p und folglich �ap�� � �� N� ein Teiler von N �m oglicherweiseder triviale Teiler N � falls z�B� sogar N j �ap�� � �� ist�� Nun kennen wir jaden Exponenten p� � genausowenig wie p selbst� gl ucklicherweise brauchenwir aber nur ein Vielfaches von p�� zu kennen� denn wenn m � � mod p��ist� gilt ja erst recht am � � mod p� Da� in dieser letzten Kongruenz noch pauftritt� macht nichts� denn wir rechnen einfach modulo N � will hei�en� ist�p��� j m und p j N � so ist mit b �� am�� mod N der ggT �b� N� ein Teilervon N �

Beispiel� sei N � ���� mit a � � und m � �� ist ��� � � � ��� ��� mod ���� und ggT ����� ��� � � �nach dem euklidischen Algorith�mus�� Mit diesem Wert von m h atten wir jeden Primteiler p von N gefunden�f ur den p� � ein Teiler von �� ist� also p � �� � �� ���

Wenn man ak f ur gro�e k berechnen will �und die hier auftretenden k sindgro��� so gen ugt eine simple for � next�Schleife nicht� H atte man keinenbesseren Algorithmus� w are die �p � ���Methode auch nicht besser als dieDivision durch alle ungeraden Zahlen unterhalb von

pn� Man hat aber�

Tats achlich gibt es zwei einfache Algorithmen� die auf der Bin ardarstellungvon k beruhen und diese von links bzw� von rechts abarbeiten�

Schreiben wir also k � k � k� � �� � � � � � kr � �r mit kj � f�� �g� Dannist ak � ak� � �a��k� � � � �a�r�kr � und nat urlich braucht man nur diejenigenPotenzen zu berechnen� f ur die k � � ist� Man berechnet also durch wie�derholtes Quadrieren a� � a � a� a� � a� � a�� � � � � und a�

r

� a�r�� � a�r��

�und dann multipliziert man die ben otigten Potenzen auf� Wir m ussen alsoinsgesamt r � log� k mal quadrieren� und dann h ochstens r Produkte bil�den� insgesamt kommen wir also mit weniger als � log� k Multiplikationenaus� Demgegen uber fri�t eine for � next�Schleife k � � Multiplikationen�der Zeitgewinn ist also betr achtlich%

Das obige Verfahren liefert folgenden Algorithmus zur Berechnung vony � gn� n � ��

�� Setze y �� �� z �� g� falls n � �� gebe y aus� ende�

�� Ist n ungerade� so setze y �� y � z�

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

�� Setze n �� bn��c� falls n � �� gebe y aus� ende� Sonst setze

z �� z� und gehe nach ��

Wir wollen einmal testen� ob ���� prim ist� Dazu berechnen wir �� � mod����� wenn das Ergebnis nicht � � mod ���� ist� kann ���� nach dem kleinenSatz von Fermat nicht prim sein� Nun ist ���� � �������������� sowie a� ��� a�

� � ��� a�� � ��� a�

� � ���� a�� � ���� a�

� � ���� a�� � �� a�

� ��a�

� ���� folglich a� � � ��� � � � � � ��� � ��� � �� � � � ��� mod �����und insbesondere ist ���� nicht prim�

Wie hat man nun m bei gegebenem N zu w ahlen� Das einfachste ist� sicheine Schranke B vorzugeben �z�B� B � ���� wenn man nicht viel Zeit hat�oder B � ��� auf einem gro�en Rechner�� Dann bildet man das Produktaller Primzahlpotenzen pr mit pr � B � pr��� und verf ahrt dann wie oben�Bei B � �� w are beispielsweise m � �� ��� � �� ��� ��� ��� ���� F ur detaillier�te Hinweise zur Implementierung sowie zu Modi�kationen des Algorithmussiehe Co�!�

Mit B � �� erhalten wir �in unserem Beispiel n � ����� k � �� � �� � � � � �� � �� � �� � �� � ��������� und es ergibt sich �k � ��� mod �����sowie ggT ����� ����� � ��� Die Faktorisierungen ���� � �� ��� �� � �� und � � � �� erkl aren� warum wir den Faktor �� gefunden haben� den Faktor� aber nicht�

ECM

Nachdem sich die �p � ���Methode beim Au�nden kleiner Primfaktorenbew ahrt hatte� versuchte man� ahnliche Methoden zu �nden� Erfahrungs�gem a� lassen sich viele S atze� die f ur p � � gelten �z�B� da� es unendlichviele Primzahlen p gibt� f ur die p� � durch ein gegebenes m � � teilbar ist�auch f ur p � � beweisen� indem man die Gruppe �Z�pZ�� � F�p durch F�p�ersetzt� oder genauer durch die Untergruppe der Ordnung p� � in F�p� � Diesfunktionierte auch hier� und aus der �p � ���Methode wurde eine �p � ���Methode gewonnen� die solche Primfaktoren p �nden konnte� f ur die p � �ein Produkt kleiner Primzahlen ist�

Lenstra hat sich dann gefragt� ob man die Gruppen der Ordnung p �� bzw� p � � nicht ersetzen kann durch elliptische Kurven uber Fp � vondiesen wei� man �sh� Kapitel �� da� deren Ordnung den Ungleichungen p��pp � )E�Fp� � p� �

pp gen ugt� W ahrend die �p� ���Methode Primteiler

�ndet� f ur die p�� Produkt kleiner Potenzen von kleinen Primzahlen ist �wirwollen solche Zahlen k unftig glatt nennen�� �ndet ECM Primteiler� f ur die

��������

�� Faktorisierung mit elliptischen Kurven ��

die Ordnung )E�Fp� glatt ist� Der Vorteil liegt auf der Hand� kann man mitder elliptischen Kurve E� keinen Teiler �nden� w ahlt man einfach eine zweiteKurve E�� moderne Implementierungen rechnen gew ohnlich mit Hundertenelliptischer Kurven gleichzeitig�

Wie funktioniert Lenstras ECM nun� Nehmen wir einmal an� es sei p j N �E eine elliptische Kurve� und k � )E�Fp� glatt� In diesem Fall wird kPf ur jeden festen Punkt P auf E gleich dem Punkt O sein� d�h� die Nennervon xkP und ykP sind beide durch p teilbar� Wenn wir die Addition auf Eaber nicht modulo p� sondern modulo N vornehmen� wird im allgemeinender Nenner z�B� von xkP nicht durch N � sondern nur durch p teilbar sein�wenn dies der Fall ist� haben wir p gefunden� Hinter ECM steckt also dieTatsache� da� Addition modulo N �f ur nicht prime N� im allgemeinen keineGruppe liefert�

Der genaue Algorithmus sieht daher so aus�

�� Ist ggT�N�� ��

�� W ahle eine elliptische Kurve E und einen Punkt P auf E

�� W ahle eine Schranke B

�� Sind N und die Diskriminante von E teilerfremd�

� Berechne kP

Wenn man Gl uck hat� geht bei der Berechnung von kP etwas schief� istn amlich k ein Vielfaches der Gruppenordnung von E�Fp�� dann mu� bei derBerechnung von kP eine Steigung vorkommen� deren �Nenner� durch p teil�bar ist� au�er in dem unwahrscheinlichen Fall� da� der Nenner sogar durch Nteilbar ist� hat man damit einen Faktor von N gefunden� Ist die Berechnungvon kP m oglich� so hat man keinen Teiler gefunden und erh oht entweder Boder w ahlt eine andere elliptische Kurve� �In Wirklichkeit w ahlt man zuerstden Punkt P � �x� y�� und bestimmt danach z�B� den Koe�zienten b � Zvon E � y� � x� � x � b so� da� P auf E liegt��

Beispiel� Sei E � y� � x��x�� und P � ��� ��� Wegen ( � ��� �� ���� istdies eine elliptische Kurve uber Fp f ur alle p �� �� �� ���� W ahlen wir B � �so ist k � � � � � � � ��� sowie �� � �������������� Jetzt berechnenwir �P � ���� ����� �P � ����� ����� P � ���� ����� ��P � ���� �������P � ��� ����� ��P � ����� ����� ��P � ����� ��� ��P � ���� �������P � ���� ����� damit ist kP � ��P ���P ���P �P � aber bereits dieBerechnung von P � ��P geht schief� die Steigung hat n amlich den Nenner

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

x��x � ��� ��� � ��� und es ist ggT ���� ����� � �� Tats achlich trittdies schon bei ��P � �P auf� wo �� ��� durch � teilbar ist�

�Ubung� Man entwickle eine Faktorisierungsmethode� welche die Addition auf demEinheitskreis benutzt� Bem� Dar�uber ist anscheinend nichts ver�o!entlicht��

�� Birationale Transformationen

Nicht immer sieht man einer Kurve an� da� sie elliptisch ist� In diesem Ab�schnitt wollen wir an einigen Beispielen zeigen� wie man bestimmte Kurvenauf Weierstra�normalform bringen kann�

Wir beginnen mit quartischen� uber einem K orper K der Charakteristik�� � de�nierten Kurven der Form

C � v� � f�u� � au� � bu� � cu� � du � e� ����

Solche Kurven sind im unendlichen Punkt singul ar und im allgemeinen keineelliptischen Kurven� etwas anders sieht es aus� wenn C einen K�rationalenPunkt �p� q� besitzt� In diesem Fall k onnen wir �nach einer Transformationu �� u� p� annehmen� da� der rationale Punkt von der Form ��� q� ist� dieKurvengleichung ist dann

v� � au� � bu� � cu� � du � q��

Multiplikation mit q�u�� liefert� wenn man t � vq�u� und s � q�u setzt�

t� � s� �d

qs� � cs� � bqs � aq��

Durch quadratische Erg anzung �ndet man jetzt Polynome g�s� � s��g�s�g und h�s� � h�s � h mit

s� �d

qs� � cs� � dqs � aq� � g�s�� � h�s��

in der Tat ist g� � d��q und g � c��� d��q��Damit kann man die Kurvengleichung in der Form

�t� g�s���t � g�s�� � h�s�

schreiben� Jetzt setzt man t� g�s� � x� so ist t� g�s� � h�s��x und �g�s� �x� h�s��x� Multipliziert man die letzte Gleichung mit x�� so folgt

x� � h�xs � h x � �x��s� � g�s � g ��

��������

��� Birationale Transformationen ��

und mit xs � y schreibt sich das als

x� � h�y � h x � �y� � �gh�xy � �g x��

Multiplikation mit und Ersetzen von �x� y� durch ��x� �y� liefert dann einelange Weierstra�form� und der Rest geht wie am Anfang dieses Kapitels�

�Ubung� Man transformiere die �Fermatgleichung� y� � � � x� auf Weierstra��form�

�Ubung� Man stelle fest� wie die expliziten Substitutionen lauten� die ���� auflange Weierstra�form bringen�

�Ubung� Man bestimme die Umkehrabbildung� die die Weierstra�gleichung auf die

Form v� � au��bu��cu��du�q� bringt� Welchem Punkt auf der Weierstra�kurve

entspricht �� q��

FLT f�ur n � �

Der Beweis� da� die Gleichung x� � y� � z� in ganzen Zahlen x� y� z nurdie trivialen L osungen mit xyz � � besitzt� ist der einfachste Fall unterden Gleichungen vom Typ xn � yn � zn f ur n � �� Auf den ersten Blickerstaunlich ist die Tatsache� da� ein direkter Beweis dieser Aussage sehr vielschwieriger ist als ein Beweis der allgemeineren Behauptung� wonach sogarx� � y� � z� nur triviale ganzzahlige L osungen hat� auf den zweiten Blickwird dies aber verst andlich� denn x� � y� � z� ist� wie wir oben gesehenhaben� eine elliptische Kurve� x� � y� � z� dagegen nicht�

Wir beginnen mit einem Beweis� der im wesentlichen auf Fermat selbstzur uckgeht� Zuvor aber erinnern wir an folgenden

Hilfssatz � �� Sind a� b teilerfremde nat�urliche Zahlen mit ab � cn� dannist a � rn und b � sn mit r� s � N�

Beweis des Hilfssatzes� Man braucht nur a und b in ihre Primfaktoren zuzerlegen� kommt in a genau pm vor� darf b nicht durch p teilbar sein� da abeine n�te Potenz ist� mu� also auch pm eine sein� und dies ist genau dann derFall� wenn m durch n teilbar ist� Also sind a und b bis auf das Vorzeichenselbst n�te Potenzen�

Die Beweisidee f ur den Fall n � � von FLT ist� wie wir noch sehen werden�im Grunde dieselbe wie diejenige� die hinter dem zweiten ��Abstieg steckt�will man alle rationalen Punkte auf y� � f�x�� bestimmen� wo f ein qua�dratisches Polynom �selbstverst andlich mit rationalen Koe�zienten� ist� so

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

untersucht man zuerst� ob y� � f�x� einen rationalen Punkt enth alt �daf urgibt es einen Algorithmus� vgl� das Hassesche Lokal�Global�Prinzip�� Gibtes keinen solchen Punkt� kann es auch auf y� � f�x�� keinen geben� gibtes einen� so k onnen wir �nach Diophant� alle rationalen Punkte �nden� undm ussen dann �nur noch� nachschauen� ob einer dieser Punkte ein Quadratals x�Koordinate besitzt�

Dies wenden wir nun auf x� � y� � z� an und nehmen an� diese Gleichungbesitze eine L osung mit xy �� �� Unter diesen w ahlen wir eine aus� f ur diemax fjxj� jyjg minimal ist� f ur die also insbesondere x� y und z paarweiseteilerfremd sind� Die rationalen Punkte auf X� �Y � � Z� haben wir bereitsbestimmt� X � �T � Y � � � T � und Z � � � T � mit T � U�V liefertdie ganzzahligen L osungen X � �UV � Y � V � � U� und Z � V � � U��Angewandt auf dieses Problem erhalten wir x� � �UV � y� � V � � U� undz � V � � U� f ur U� V � Z mit �U� V � � �� Aus x� � �UV folgt aber� da�U � �u� und V � v� oder U � u� und V � �v� ist�

Der zweite Fall gibt y� � �v� � u� und ist modulo � unm oglich� also istU � �u� und V � v�� somit y� � v���u�� Aus �u� � v��y� � �v��y��v��y�folgt� da� �

��v� � y� und �

��v� � y� teilerfremd sind� nach Hilfssatz ���� ist

somit v� � y � �r� und v� � y � �s�� Addition gibt v� � r� � s�� also eineweitere L osung der Ausgangsgleichung� und wegen x� � ��u�v� � ��u�r�s�

ist sicherlich max fjrj� jsjg � jxj � max fjxj� jyjg� dies ist ein Widerspruch�

Wir halten f ur sp ater fest� da� der Beweis� ausgehend von einem Punkt�y��x�� z�x�� auf Y � � X� ��� uber einen Punkt auf der Kurve Y � � X���zu einem �kleineren� Punkt auf der Ausgangskurve f uhrt�

�Ubung� Man transformiere Y � � X� � � auf Weierstra�form�

Schnitt zweier Quadriken

Wir wollen anhand eines Beispiels zeigen� wie man ein System zweier qua�dratischer Gleichungen unter Umst anden als elliptische Kurve erkennt� Seidazu das System

Q� � U� � V � � kX� � �

Q� � W � � V � � kX� � ������

gegeben� Elimination von kX� gibt die Gleichung

U� � W � � �V �� ������

��������

��� Birationale Transformationen �

die aber nicht zu dem System ����� aquivalent ist� jeder L osung �u� v� w� von������ entsprechen i�a� zwei L osungen �u� v� w��x� des Systems�

Gleichung ������ enth alt den rationalen Punkt ��� �� ��� ist folglich rationalparametrisierbar� Dehomogenisieren mit V � � gibt x��w� � � mit rationa�lem Punkt ��� ��� die Gerade u � t�w��� � � gibt den zweiten Schnittpunkt

w �t� � �t� �

t� � �� u �

�t� � �t � �

t� � ��

Also ist �U� V�W � � �t���t��� t�����t���t��� eine Parametrisierung derhomogenen Form� und der Schnitt von Q� und Q� wird beschrieben durch

kX� � V � � U� � W � � V � � ��t� � �t�

Die Transformation X � �y�k�� t � �x�k liefert uns schlie�lich die kurzeWeierstra�form

E � y� � x� � k�x�

�Ubung� Man bringe das System x� � x� � � y�� x�� x� � � z� auf Weierstra��

form�

Selmerkurven

Kubische Kurven der Form

au� � bv� � c ������

mit abc �� � sind von Selmer ausf uhrlich untersucht worden� f ur solche Kur�ven hat er erstmals auch eine Gruppe de�niert� die heute Selmergruppe hei�t�Hier wollen wir nur zeigen� wie man Selmerkurven auf Weierstra�normalformbringt�

Am einfachsten geht das f ur Kurven der Form u��v� � c� deren homogeneForm ist u� � v� � cw�� Setzt man u � x � y und v � x � y� so folgtcw� � �x���xy�� Division durch x� gibt c�w�x�� � ��y�x����� multipliziertman das ganze mit ��c�� so folgt ��cw�x�� � �� � ��c� � ���cy�x��� alsoY � � X� � ���c� mit Y � ��cy�x und X � �cw�x� Insbesondere ist dieFermatkubik u� � v� � � birational isomorph zu y� � x� � ����

Etwas allgemeiner gilt

Proposition � �� Eine Selmerkurve der Form � ���� welche �uber einemK�orper der Charakteristik �� �� � de�niert ist� und f�ur die �eventuell nach

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

einer Permutation von �a� b� c� die Wurzel � �� �

pc�b � K liegt� ist birational

isomorph zur Weierstra�kurve

y� � x� � ���a�b�c�

unter den Transformationen

u � � �b��xy���abc � v � y���abc

y���abc �

x � ���ab��uv�� � y � ��abcv��

v��

Der Beweis ist jetzt eine einfache Ubungsaufgabe� man beginnt damit������� durch a zu dividieren� der Rest geht von selbst�

Das folgende Resultat stammt von Euler�

Proposition � � Ist au� � bv� � cw� � �� dann gilt r� � s� � abct� � �mit

r � ��bc�w� � c�w� � �b�cv�w� � b�v��s � ��bc�w� � c�w� � �b�cv�w� � b�v��t � ��uvw�b�v� � bcv�w� � c�w���

Wie man diese Formeln herleiten kann� werden wir noch zeigen� hier be�merken wir lediglich� da� dieses Ergebnis hervorragend geeignet ist� rationalePunkte auf Kurven der Form r� � s� � dt� � � zu �nden� man faktorisiertd � abc und sucht Punkte auf allen Kurven au� � bv� � cw� � �� diesewerden im allgemeinen kleinere Koordinaten haben als die entsprechendenauf r� � s� � dt� � �� d�h� eine Suche auf den assoziierten Kurven ist i�a�erfolgreicher�

��������

Kapitel �

Torsionspunkte� Satz von Nagell�Lutz

�� �Uberblick

Unser Fernziel ist es� f ur die Gruppe E�Q� der rationalen Punkte einer uberQ de�nierten elliptischen Kurve E � y� � x� � ax� b zu zeigen� da� E�Q � �E�Q �torsZr gilt� wobei E�Q �tors die Gruppe aller Punkte endlicher Ordnung�also die Torsionsgruppe von E�Q�� bezeichnet� und da� sowohl E�Q �tors � alsauch r endlich sind�

�Ubung� Sei G eine abelsche Gruppe und Gtors die Menge aller Elemente von G

mit endlicher Ordnung� Zeige� da� Gtors eine Gruppe ist�

Hier besteht ein wesentlicher Unterschied zwischen elliptischen Kurvenund singul aren kubischen Kurven� f ur C � y� � x� war ja C�Q� � �Q ����und dies ist eine nicht endlich erzeugte Gruppe� Betrachten wir n amlichG � h �� � � � � ni� und ist n der Hauptnenner der j� so enth alt G � �Q ���nur solche Elemente� deren Nenner ein Teiler von n ist� folglich ist niemalsG � �Q ����

Ahnlich sieht es mit C � y� � x� � x� aus� wo C�Q � � Q� war� Hierist C�Q�tors � f�����g �denn die einzigen Elemente endlicher Ordnungin Q t imes sind ���� und es gilt C�Q � � C�Q �tors

LpZ� wo die direkte

Summe uber alle Primzahlen geht� diese Aussage ist nichts anderes als derSatz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung� wonach jedes Element aus Q�

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

sich eindeutig in der Form ����Q

p p�p� schreiben l a�t� wobei nur endlich

viele �p� von � verschieden sind �deswegen die direkte Summe��Zur uck zu elliptischen Kurven uber Q � Als Einstimmung bestimmen wir

die Punkte der Ordnung � oder � explizit� F ur die Gruppe �%� aller K�rationalen Punkte� deren Ordnung ein Teiler von N � N ist� schreiben wirauch E�K� N !�

Sei zuerst P ein Punkt der Ordnung � auf E�C �� also P � �x� y� mitx� y � C und �P � O� Letzteres ist aquivalent zu P � �P � also zu �x� y� ���x� y� � �x��y�� Damit haben wir gesehen� ein Punkt P � �x� y� �� O hatgenau dann Ordnung �� wenn y � � ist� Die dazugeh origen x�Koordinatenerh alt man aus � � y� � x� � ax � b� in C hat diese Gleichung genaudrei L osungen x�� x�� x�� und diese sind alle verschieden� weil sonst dieDiskriminante von x� � ax � b und damit auch ( verschwinden w urde� Esgibt also genau vier Punkte P � E�C � mit �P � �� n amlich O� �x�� ����x�� �� und �x�� ��� Da jeder dieser Punkte Ordnung h ochstens � hat� mu�E�C � �! � Z��Z Z��Z sein�

Wegen Q � C ergeben sich daraus f ur die rationalen ��Teilungspunktefolgende M oglichkeiten�

� f�x� ist irreduzibel uber Q � hat also keine rationale Nullstelle� dannist E�Q� �! � fOg�

� f�x� ist uber Q Produkt eines linearen und eines irreduziblen quadra�tischen Polynoms� hat also genau eine rationale Nullstelle x�� dann istE�Q� �! � fO� �x�� ��g � Z��Z�

� f�x� hat drei rationale Nullstellen x�� x�� x� � Q � dann gilt E�Q � �! �fO� �x�� ��� �x�� ��� �x�� ��g � Z��Z Z��Z�

Die Bestimmung von E�Q � �! ist sehr einfach� wenn man sich der geo�metrischen Methode bedient� Dazu sei P ein Wendepunkt des Graphen vonE � y� � x� � ax � b� eine Tangente an E in P hat dann Vielfachheit ��folglich ist P � P � �P � d�h� �P � O� Umgekehrt folgt aus �P � O f ureinen Punkt P �� � mit reellen Koordinaten� da� P Wendepunkt ist� Nun hatdas Schaubild von E aber entweder keinen oder genau zwei Wendepunkte�folglich ist entweder E�R� �! � fOg oder E�R� �! � fO� P��Pg � Z��Z�Wegen Q � R impliziert dies sofort� da� E�Q� �! entweder trivial oder� Z��Z ist� insbesondere gibt es keine uber Q de�nierte elliptische Kur�ve mit E�Q � �! � Z��Z Z��Z� Dabei haben wir aber die Anschauungbenutzt� da� n amlich der Graph von E maximal zwei Wendepunkte besitzt�ist etwas� das man noch zeigen mu��

��������

�� �Uberblick ��

�Ubung� Bestimme ER���� in Abh�angigkeit der Anzahl der reellen Nullstellenvon f � wenn E y� � fx� ist�

�Ubung� Vervollst�andige obigen Beweis von $ER��� � �

�Ubung� Berechne EQ���� f�ur die elliptischen Kurven E� y� � x�� �� E� y� �x� � x und E� y� � x� � x�

Ziel dieses Kapitels ist der Beweis des Satzes von Nagell�Lutz�

Satz � � Sei y� � x� � ax � b eine elliptische Kurve mit Koe�zientena� b � Z� Ist P � �x� y� ein Torsionspunkt� dann gilti x� y � Z�ii entweder ist y � � oder y� j D � �a� � ��b��

Damit ist die Bestimmung von E�Q �tors zumindest f ur Kurven mit kleinemD ein Kinderspiel� nehmen wir beispielsweise E � y� � x� � x� so ist D � �und damit y � f�����g� Keiner dieser Werte f uhrt auf einen rationalenPunkt� also ist E�Q�tors � E�Q � �! � fO� ��� ��g��Ubung� Bestimme die Torsionsgruppen EQ�tors f�ur folgende elliptische Kurven y� � x�� x� y� � x�� �x� ���� y� � x� � ���x� ����� L�osung Z�ZZ�Z�Z�Z� Z�Z��

�Ubung� Zeige EQ�tors � fOg f�ur E y� � x� � � und folgere aus �� � � EQ��

da� E unendlich viele rationale Punkte besitzt� also Rang � � hat�

Die wesentliche Aussage des Satzes von Nagell�Lutz ist die Ganzzahligkeitvon x und y� die Teilbarkeitsrelation ii� ist eine ganz einfache Konsequenz�

Hilfssatz � � Ist P � �xP � yP � ein Punkt auf E � y� � x� � ax � b� undhaben P und �P ganzzahlige Koordinaten� dann ist yP � � oder y�P j D ��a� � ��b��

Beweis� Nach der Verdoppelungsformel gilt

x�P ��xP �

���xP �mit

��X� � X� � �aX� � bX � a� und

��X� � X� � aX � b

Mit f�X� � �X� � �a und g�X� � �X� � aX � ��b gilt� wie man sofortnachrechnet� f�X��X�� g�X���X� � D �veri�zieren ist nat urlich einfach�man kann solche Identit aten aber auch herleiten� sh� Anhang A�� Setzenwir X � xP in dieser Identit at und beachten �xP � � �x�P��xP �� sowie��xP � � yP � dann folgt

y�P �x�Pf�xP �� g�xP �! � D�

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�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Da nach Voraussetzung xP � yP und x�P ganze Zahlen sind� bedeutet dasy�P j D� und das war zu zeigen�

Damit k onnen wir die Implikation i� �� ii� ganz einfach beweisen� istP � �x� y� ein Torsionspunkt� so auch �P �denn mit nP � O ist nat urlicherst recht �nP � O�� nach Teil i� haben beide Punkte ganze Koordinaten�und der Hilfssatz liefert dann y� j D�

Als sofortige Folgerung aus dem Satz von Nagell�Lutz halten wir fest� da�es auf einer gegebenen elliptischen Kurve uber Q nur endlich viele Torsi�onspunkte gibt� dies liegt daran� da� es nur endlich viele y mit y� j D undfolglich auch nur endlich viele Punkte �x� y� mit dieser Eigenschaft gibt�

Im n achsten Abschnitt wenden wir uns dem Beweis der Ganzzahligkeitvon rationalen Torsionspunkten zu� das wesentliche Hilfsmittel hierzu ist die�Reduktion� elliptischer Kurven�

� Reduktion modulo p

Ist y� � x� � ax � b eine uber Q de�nierte elliptische Kurve� so kann mandurch einfache Transformationen erreichen� da� a und b ganze Zahlen sind�ist n amlich t der Hauptnenner von a und b� so folgt durch Multiplikation mitt� die Gleichung �t�y�� � �t�x�� � t�a�tx� � t�b� mit Y � t�y und X � t�Xalso Y � � X� �a�X� b�� wobei jetzt a� � t�a und b� � t�b ganze Zahlen sind�

F ur elliptische Kurven y� � x� �ax� b macht es aber Sinn� die Gleichungmodulo p zu l osen� f ur alle p � ( ist das Ergebnis dann eine elliptische KurveE � y� � x� � a x � b uber Fp �der Querstrich steht hier f ur die Restklassemodulo p��

Tats achlich ist es vorteilhaft� diese Reduktion nicht nur von Q nach Fp �sondern allgemeiner von Q p nach Fp zu studieren �wegen Q � Q p ist das inder Tat allgemeiner�� Dazu nehmen wir an� E � y� � x� � ax � b sei eine uber Q p de�nierte elliptische Kurve mit Koe�zienten in Zp� indem wir jedemElement a � a � a�p � a�p

� � � � � � Zp das Element a � a � Fp zuordnen�erhalten wir den Reduktionshomomorphismus � Zp � Fp � a �� a�

Nat urlich wollen wir auch untersuchen� wie sich die Punkte auf E bzw� Ebei diesen Reduktionen verhalten� Dazu sei �x � y � z � � P��Q p� irgendein Punkt� durch Multiplikation mit einem geeigneten � � Q p �es gen ugtsogar ein geeignetes � � Q � k onnen wir erreichen� da� �x � y � z � ��x � y � z� mit x� y� z � Zp und maxfjxjp� jyjp� jzjpg � � ist �hier bezeichnetjxjp den p�adischen Betrag von x� f ur pm k x ist jxjp � p�m�� m�a�W�� da�

��������

�� Reduktion modulo p ��

die Koordinaten ganz� aber nicht alle durch p teilbar sind� Dann setzen wirP � �x � y � z��

Auf dieselbe Weise k onnen wir Geraden reduzieren� ist g � rx�sy� tz � �eine Geradengleichung in P��Q p�� so d urfen wir oBdA annehmen� da� dieKoe�zienten a� b� c � Zp und nicht alle drei durch p teilbar sind� Dannde�nieren wir wie Reduktion von g durch g � rx � sy � tz � ��

Trotz dieser auf den ersten Blick etwas holprig aussehenden De�nition er�weist sich die Reduktion als eine ziemlich gutartige Abbildung� sie respektiertn amlich das Gruppengesetz�

Proposition � � Sei E � y� � x� � ax � b eine �uber Q p de�nierte Kurvemit Koe�zienten a� b � Zp� sind dann P�� P�� P� � E�Q p� kollinear� so giltdasselbe f�ur die reduzierten Punkte P �� P � und P �� und zwar mit der kor�rekten Vielfachheit� fallen z�B� P� und P� bei der Reduktion zusammen �istalso P � � P �� so schneidet die Reduktion der Geraden durch die Pj diereduzierte Kurve E im Punkt P � mit Vielfachheit � ��

Beweis� Wir beginnen etwas allgemeiner mit dem Studium einer beliebigenkubischen Kurve C� die in projektiver Form durch F �X� Y� Z� � � beschrie�ben wird� wobei F ein Polynom in drei Variablen mit Koe�zienten aus Fpsein soll� Dabei nehmen wir ohne Beschr ankung der Allgemeinheit an� da�mindestens einer der Koe�zienten von F eine p�adische Einheit� also nichtdurch p teilbar ist�

Weiter sei g � l�X � l�Y � l�Z � � eine Gerade� wir nehmen an� da�mindestens einer der Koe�zienten eine p�adische Einheit ist� und indemwir notfalls die Koordinaten vertauschen� d urfen wir annehmen� da� dies l�ist �dies ist der Grund� warum wir nicht von vornherein Kurven in Weier�stra�form betrachten� die Weierstra�form geht bei solchen Vertauschungenverloren�� Indem wir die Geradengleichung durch die Einheit �l� dividie�ren� d urfen wir sogar annehmen� da� die Gerade durch g � Z � lX � mYgegeben ist� Die Schnittpunkte von g mit C sind durch die Nullstellen vonG�X� Y � �� F �X� Y� lX � mY � � � gegeben� Reduktion liefert G�X� Y � �F �X� Y� lX � mY � � ��

Es kann durchaus vorkommen� da� G identisch verschwindet� geometrischbedeutet dies� da� die reduzierte Kurve eine Gerade enth alt� Ein Beispielf ur ein solches Verhalten ist die kubische Fermatkurve C � X� � Y � � Z��deren Reduktion modulo � sich in der Form �X�Y �Z�� � � schreiben l a�tund insbesondere die Gerade Z � X � Y enth alt �dies erkl art auch� warumC uber F� nur aus singul aren Punkten besteht�� Gl ucklicherweise kann diesbei Weierstra�kurven nicht vorkommen� eine Kurve der Form Y �Z � X� �

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

aXZ � bZ� kann durch Ersetzen von z�B� Z � lX � mY plus Reduktionmodulo p nicht identisch zum Verschwinden gebracht werden� weil der TermX� uberlebt�

Wir d urfen also annehmen� da� die Reduktion G nicht identisch verschwin�det� Betrachten wir nun die Punkte Pj � �xj � yj � zj� mit j � �� �� �� wirnehmen an� da� die Koordinaten in Zp liegen und f ur gegebenes j nicht alledurch p teilbar sind� Wir bemerken� da� �xj� yj� f ur kein j gleich ��� �� sein

kann� sonst w are n amlich auch zj � l xj �myj gleich �� was der Normierungunserer Koordinaten widerspr ache�

Da die Punkte Pj auf der Geraden und der Kurve liegen� gibt es ein � � Q p

mit F �X� Y� lX � mY � � �H�X� Y � mit H�X� Y � � �y�X � x�Y ��y�X �x�Y ��y�X � x�Y �� Wie wir eben gesehen haben� kann die Reduktion von Hnicht identisch verschwinden� Falls also � � Zp ist� haben wir F �X� Y� lX �mY � � �H�X� Y �� und da auch F nicht identisch verschwindet� mu� � �� ��also � eine Einheit in Zp sein� W are � �� Zp� so ist ��� � pZp und folglich� � �F � H� Widerspruch�

Also ist F � cH f ur ein c � � � F�p � Damit sind die reduzierten Punkte P j

kollinear� au�erdem haben die reduzierten Punkte in der Tat die korrektenVielfachheiten�

Wichtig f ur die Bestimmung der Struktur von E�Q p� �genauer� von derenunten de�nierten Untergruppe E� � von endlichem Index� ist nun� da� dieReduktion� sieht man einmal von singul aren Punkten ab� surjektiv ist�

Proposition � Sei E wie oben� ist Q ein Punkt auf dem nichtsingul�arenTeil Ens der reduzierten Kurve� so existiert ein P � E�Q p� mit Q � P �

Zum Beweis ben otigen wir ein Standardresultat aus der Theorie der p�adischen Zahlen� n amlich das Henselsche Lemma� und zwar gen ugt uns eineganz einfache Version�

Hilfssatz � � Sei f � Zp T ! ein Polynom in T mit Koe�zienten aus Zp�und sei jf�t �jp � � und jf ��t �jp � � f�ur ein t � Zp� Dann existiert eint � Zp mit f�t� � � und jt� t jp � jf�t �jp�

Der Beweis von Proposition ��� ist damit ganz einfach�

Beweis� Sei F �X� Y� Z� � � die projektive Weierstra�gleichung� die E be�schreibt� Da Q � �x � y � z� nicht singul ar ist� k onnen wir oBdA annehmen�da� �F��X in Q nicht verschwindet� Jetzt w ahlen wir a� b� c � Zp beliebigmit a � x� b � y und c � z� Dann gen ugt f�T � �� F �T� b� c� den Bedingun�gen von Hensels Lemma� und der Punkt P � �t� b� c� tut�s�

��������

� Lokale Kriterien ��

Das Henselsche Lemma wiederum ist im wesentlichen nichts anderes alsdas Newtonverfahren in Q p � ausgehend von der N aherung t konstruierenwir eine Folge von Approximationen tn�� � tn � f�tn��f ��tn� und zeigen�da� diese gegen das gew unschte Element konvergiert� Dazu starten wir mitt und bilden u � �f�t ��f

��t �� Wir h atten gern� da� t� � t � u einebessere Approximation an �das bis jetzt hypothetische� t � Zp ist als t � umf�t�� zu berechnen� entwickeln wir das Polynom in zwei Variablen f�T �U�in der Form f�T � U� � f�T � � Uf��T � � U�f��T � � ��� � Udfd�T � mitd � deg f � hier sind f�� ���� fd�T � Polynome mit ganzen Koe�zienten� EinVergleich mit der Taylorentwicklung zeigt f��T � � f ��T �� folglich ist f�t�� �f�t � u � � f�t � � u f

��t � � u� h f ur ein h � Z� nach Wahl von u alsof�t�� � u� h� Nun ist ju jp � jf�t �jp�jf ��t �jp� nach Voraussetzung ist f ��t �eine p�adische Einheit� folglich ju jp � jf�t �jp � � und damit wegen jhjp � ��denn h ist ganz� jf�t��jp � ju� hjp � ju� jp � jf�t �j�p� Mit anderen Worten�wegen jf�t �jp � � ist f�t�� p�adisch sicherlich n aher an der � als f�t � �wiedas gew ohnliche Newtonverfahren ist die Konvergenz hier quadratisch��

Um diesen ersten Schritt wiederholen zu k onnen� m ussen wir sicherstellen�da� die zweite Voraussetzung p � f ��t � nicht verlorengegangen ist� Wegenf ��t�� � f ��t � � uh� f ur ein p�ganzes h� ist aber p ein Teiler der Di�erenzf ��t��� f ��t �� insbesondere also f ��t�� nicht durch p teilbar�

Jetzt konstruieren wir wie oben ein t� � t� � u� mit ju�jp � jf�t��jp�jf�t��jp � jf�t��j�p und p � f ��t��� Iterieren liefert eine Folge t � t�� t�� � � � � diewegen jtm�� � tmjp � jumjp � jf�tm�jp � � gegen ein t � Zp konvergiert�Da Polynome stetig bez uglich der von j � jp induzierten Topologie sind� folgtaus jf�tn�jp � � sofort f�t� � �� Damit ist Hensels Lemma bewiesen�

� Lokale Kriterien

Sei wie oben E � y� � x� � ax � b eine uber Q p de�nierte elliptische Kurvemit a� b � Zp und � � P��Q p� � P��Fp� die oben de�nierte Reduktion�

Die Beweisidee zum Satz von Nagell�Lutz sieht wie folgt aus� sei E� �

�Ens�Fp� die Gruppe der nichtsingul aren Punkte auf der Reduktion von E und

E� � � fP � E�Q p� � P � E� �g die Menge der Punkte� die bei Reduktion

nicht auf dem singul aren Punkt landen� E� � ist eine Gruppe� sind n amlich

P�Q � E� �� so ist ��P �Q� � ��P � � ��Q� � E� �

� da Ens�Fp� eine Gruppeist� nach De�nition von E� � ist damit P � Q � E� ��

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Da insbesondere O ein nichtsingul arer Punkt ist� ist E��� �� ker � eineUntergruppe von E� �� Deren wichtigste Eigenschaft ist

Satz � � Die Gruppe E��� ist torsionsfrei�

Damit haben wir gewonnen�

Korollar � � Sei E wie oben� Ist dann �x� y� � E�Q p�nfOg ein Torsions�punkt� so gilt x� y � Zp�

Beweis� Torsionspunkte �� O k onnen nicht in E��� liegen� folglich landen

sie bei Reduktionen in E� �

oder auf dem singul aren Punkt� In projektiverDarstellung ist also P � �x � y � z� mit p�ganzen x� y� z und einer p�Einheitz �andernfalls w are p j z und die Reduktion gleich �� � � � ��� also P �E����� Die a�nen Koordinaten von P sind daher �x�z� y�z�� und z ist einep�Einheit�

Korollar � Sei E � y� � x� � ax � b eine �uber Q de�nierte elliptischeKurve mit a� b � Z� Ist �x� y� �� O ein Torsionspunkt in E�Q �� so gilt x� y �Z�

Beweis� Wegen Q � Q p f ur jede Primzahl p ist nach dem vorhergehendenKorollar x� y � Zp f ur jedes p� Au�erdem ist nat urlich x� y � Q wegen �x� y� �E�Q� n fOg� Die einzigen rationalen Zahlen� die p�ganz f ur jede Primzahl psind� sind aber die ganzen Zahlen�

Gehen wir nun an die Torsionsfreiheit von E���� Dazu de�nieren wir eineFunktion � � E��� � N durch ��x� y� � n� wo �n der genaue Exponentvon p ist� der im Nenner von x aufgeht� Diese Funktion k onnen wir auf E� �

fortsetzen� indem wir f ur �x� y� � E� � einfach ��x� y� � � setzen� Den Wert��x� y� nennen wir auch das Level von �x� y��

Um diese De�nition zu rechtfertigen� schreiben wir x � r�c� y � s�c�und setzen vp�r� � �� vp�s� � �� sowie vp�c� � �� hierbei ist vp�m� durchpvp�m� k m de�niert� Da �x� y� im Kern der Reduktion liegt� mu� c durch pteilbar sein� genauer mu� � � � gelten� Aus der Gleichung s�c � r��arc��bc�

ersehen wir dann� da� vp�arc�� � � � �� � vp�r

�� und vp�bc�� � �� � vp�r

��ist� d�h� r� ist der Summand auf der rechten Seite� der am wenigsten oftdurch p teilbar ist� Also ist �� � � � vp�s

�c� � vp�r�� � ��� somit �vp�x� �

���� �� � ��� � �� � �vp�y�� Insbesondere ist vp�x� gerade�F ur sp ater halten wir fest�

��x� y� � n� �n � � � � � �vp�x�� �n � � � � � �vp�y� �����

��������

� Lokale Kriterien �

Inbesondere ist n � ��x� y� � v�x�y��Sei nun E � Y �Z � X� � aXZ� � bZ� eine in homogener Form gegebene

elliptische Kurve� F ur eine nat urliche Zahl N � � setzen wir XN � p�NX�YN � p�NY und ZN � Z� aus der Gleichung f ur E wird dann EN � Y �

NZN �X�

N�p�NaXNZ�N�p�NBZ�

N �die dadurch induzierte Abbildung E � EN istnat urlich ein Gruppenisomorphismus E�K� � EN �K�� die Abbildung ist jaeine lineare Abbildung der Ebene auf sich und bildet insbesondere Geradenauf Geraden ab�� Die modulo p reduzierte Kurve ist EN � Y �

NZN � X�N � wir

schreiben �N f ur die Abildung E�K� � EN�Fp��Was passiert mit einem a�nen Punkt P � �x� y� � E�K� unter diesen

Abbildungen� In projektiver Form ist P � �r � s � c�� sei ��P � � n� alsovp�x� � ��n und vp�y� � ��n� Dann geht P unter �N auf die Reduktionvon Q � �p�Nr � p�Ns � c�� also

� auf den singul aren Punkt ��� �� von EN�Fp�� falls ��x� y� � N ist�

� auf einen nichtsingul aren endlichen Punkt von EN�Fp�� falls ��x� y� �N ist�

� auf den unendlich fernen Punkt von EN�Fp�� falls ��x� y� � N ist�

In der Tat� wegen ����� gilt im Falle n � N � da� Q � �p�N� r � p�N� s �p� c� lauter p�ganze Koordinaten hat� von denen die letzte eine p�adischeEinheit ist� die Reduktion gibt also Q � �� � � � ��� falls ��N � n� ��N � � � � � vp�p

�N� r� � � ist� und einen Punkt Q � �r � s � �� mit r �� ��falls N � n ist� Ist dagegen n � N � so enth alt die mittlere Koordinate diegr o�te Potenz von p� und die Reduktion gibt den unendlich fernen Punkt�� � � � �� � O�

Betrachten wir nun � genauer� die Abbildung E � E ist die Identit at�und E � E die gew ohnliche Reduktion� Schr anken wir � auf E� � � E

� �

ein� so erhalten wir einen Gruppenhomomorphismus � � E� � � Ens

�Fp��dessen Kern per de�nitionem E��� ist� also die Menge aller Punkte vom Level� �� Nach dem� was wir eben gesehen haben� wird �� Punkte aus E��� aufnichtsingul are Punkte von E

ns

�Fp� abbilden� folglich ist die Einschr ankungvon �� auf E��� ein Gruppenhomomorphismus� dessen Kern wir mit E���

bezeichnen� Indem wir so fortfahren� erhalten wir Untergruppen

E� � � E��� � � � � � E�N� � � � �

von E�Q p� und dazugeh orige Homomorphismen �N � E�N� � Ens

N �Fp��deren Kern E�N��� genau aus den Punkten vom Level � N � � besteht�

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Tats achlich gilt viel mehr� der Homomorphismus � � E� � � Ens�Fp� istsurjektiv nach Proposition ���� und sein Kern besteht nach De�nition ausE���� nach dem Isomorphiesatz ist also E� ��E��� � Ens�Fp�� Entsprechendist �N � E�N� � E

ns

N �Fp� ein Epimorphismus mit Kern E�N���� wegenE

ns

N �Fp� � Z�pZ ist also E�N��E�N��� � Z�pZ f ur alle N � �� Wir habendamit gezeigt�

Proposition � � Die eben de�nierten Teilmengen E�N� von E�Q p� sindabelsche Gruppen� f�ur N � � sind die Faktorgruppen E�N��E�N��� zyklischder Ordnung p� der Quotient E� ��E��� ist isomorph zur Gruppe der nicht�singul�aren Punkte auf E� Schlie�lich ist

TN E�N� � fOg�

Daraus folgt sofort

Korollar � �� Sei �x� y� � E�Q p� ein Punkt endlicher Ordnung n mit�n� p� � �� Dann ist x� y � Zp�

Beweis� Wenn nicht� dann ist ��x� y� � �� WegenT

N E�N� � fOg gibt esein N � N mit �x� y� � E�N� n E�N���� Die Abbildung E � E�N� �E�N��E�N��� bildet �x� y� dann auf ein Element der Ordnung � � �also derOrdnung p� in E�N��E�N���� aber Gruppenhomomorphismen k onnen ein Ele�ment mit Ordnung prim zu p nicht auf ein Element der Ordnung p abbilden�Widerspruch%

Der Rest dieses Abschnitts ist dem Problem gewidmet� wie man die Vor�aussetzung �n� p� � � umgehen kann� Dazu de�nieren wir eine Abbildungu � E��� � Zp durch u�x� y� � x�y �das geht� wegen �x� y� � E��� haben xund y beide eine p�Potenz im Nenner stehen� sind also sicher nicht p�ganzund insbesondere �� �� und u�O� � �� Wegen ju�x� y�jp � p�n mit n � ��x� y�ist u�x� y� in der Tat p�adisch ganz�

Bemerkung� Was macht u mit einem Punkt P � �x� y� � E���� Ubergangzur projektiven Schreibweise gibt �r � s � c� mit x � r�c� y � s�c� und wennman jetzt durch s �� � �wegen P � E���� teilt� hat man �x�y � � � ��y�� Mitanderen Worten� liegt P auf E���� so entspricht ihm der Punkt �x�y� ��y�auf z � x� � axz� � bz�� und u bildet P ab auf die x�Koordinate in derx�z�Ebene� Genau diese Kurve wird im Buch von Silverman�Tate ST! zumBeweis des Satzes von Nagell�Lutz verwendet� im wesentlichen handelt essich also um denselben Beweis wie in Cassels Cas!�

��������

� Lokale Kriterien ��

Wir haben also folgende Situation�

E�Q p� ���� E� � ���� E��� ���� E��� ���� E��� ���� � � ���yu ��yu ��yupZp ���� p�Zp ���� p�Zp ���� � � �

Die waagerechten Abbildungen sind hier Inklusionen� die vertikalen werdenvon u induziert� Nehmen wir nun einen Punkt P � E�n� n E�n���� f ur alles � Z mit p � s ist dann auch sP � E�n� n E�n��� �denn die Faktorgrup�pe E�n��E�n��� hat Ordnung p�� folglich hat auch sP Level n und es giltju�sP �jp � ju�P �jp� F ur s � p andererseits ist pP � E�n���� folglich gilt��pP � � n � � und damit ju�pP �jp � jpjpju�P �jp� Mit Induktion folgt damitju�sP �jp � jsjpju�P �jp f ur alle s � Z�

Wenn wir w u�ten� da� hier das Gleichheitszeichen steht �mit anderen Wor�ten� da� im obigen Beispiel pP � E�n��� n E�n��� ist�� so w urde folgen� da�z�B� E�n��E�n��� � Z�p�Z ist� und mit Induktion k onnten wir schlie�en� da�sogar E�n��E�n�m� � Z�pmZ f ur alle m�n � � gilt� Insbesondere k onnte dannE��� keinen Punkt mit p�Potenzordnung enthalten� und wir k onnten unserenBeweis der Torsionsfreiheit von E��� beenden� Wir formulieren daher den

Hilfssatz � �� F�ur alle P � E��� und all s � Z gilt

ju�sP �jp � jsjpju�P �jp�Danach ist alles ganz einfach� Ist P � E��� ein Punkt endlicher Ordnung�

also sP � O mit s � N � so folgt aus diesem Hilfssatz� da� � � ju�sP �jp �jsjpju�P �jp gilt� wegen s � � ist jsjp �� �� folglich ist P � O� mit anderenWorten� E��� ist torsionsfrei� Damit ist der Beweis von Satz ��� beendet�

Dieser Hilfssatz wiederum w are trivial� wenn u ein Gruppenhomomorphis�mus w are� au�erdem w are� da u dann injektiv ist� E��� einer Untergruppevon pZp isomorph� dann folgt aber die Torsionsfreiheit von E��� aus derjeni�gen von pZp� Leider ist u aber kein Gruppenhomomorphismus� die Di�erenzu�P� �P��� u�P��� u�P�� ist n amlich i�a� nicht gleich �� allerdings ist dieseDi�erenz p�adisch sehr klein� wir werden n amlich zeigen� da� die Ungleichung

ju�P� � P��� u�P��� u�P��jp � max fju�P��j�p� ju�P��j�pgf ur P�� P� � E���

�����

gilt� aus der sich dann Hilfssatz ���� ergeben wird� Die Ungleichung ����� istsicher richtig� wenn einer der Punkte gleich O ist �ist z�B� P� �P� � O� alsoP� � �P�� so folgt u�P��P���u�P���u�P�� � u�O��u�P���u��P�� � ���

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Seien also alle vorkommenden Punkte endlich� da diese nicht uber demsingul aren Punkt liegen� kann man die Gerade durch die Pj in der FormZN � lXN � mYN schreiben� wo jljp � � und jmjp � � ist� Sei weiter oBdAju�P��jp � ju�P��jp � p�N � Schneiden mit EN liefert dann

� � X�N � p�NaXN �lXN � mYN�� � p�Nb�lXN � mYN�� � Y �

N�lXN � mYN�

� c�X�N � c�X

�NYN � c�XNY

�N � c Y

�N

mit c� � � � p�Nal� � p�Nbl� und c� � �p�Nalm � �p�Nbl�m� Insbesondereist jc�jp � � und jc�jp � p��N � Die Wurzeln XN�YN der Gleichung sind�p�Nu�P� �P��� p

�Nu�P�� und p�Nu�P��� da ihre Summe gleich �c��c� ist�folgt die Behauptung�

Beweis von Hilfssatz ����� Wir zeigen zuerst

ju�sP �� su�P �jp � ju�P �j�p� �����

Da dies unter der Transformation s �� �s invariant und f ur s � � trivialist� gen ugt es� die Behauptung f ur s � N zu zeigen� und dazu machen wirInduktion� Mit n � ��P � ist zu zeigen� da� p�n j �u�sP �� su�P �� gilt� F urs � � ist dies sicher richtig� f ur den Induktionsschlu� nehmen wir an� es seip�n j �u�sP �� su�P ��� Dann betrachten wir� da� nach �����

ju��s � ��P �� u�sP �� u�P �jp � max fju�sP �j�p� ju�P �j�pg

gilt� Wegen ju�sP �jp � ju�P �jp ist daher u��s���P ��u�sP ��u�P � durch p�n

teilbar� nach Induktionsannahme bleibt dies richtig� wenn wir u�sP � durchsu�P � ersetzen� Folglich ist u��s� ��P �� �s� ��u�P � durch p�n teilbar� und����� ist bewiesen�

Nun zur eigentlichen Behauptung� sei n � ��P � �wegen P � E��� istn � ��� im Falle p � s ist dann su�P � genau durch pn teilbar� w ahrendu�sP � � su�P � durch p�n teilbar ist� Dies geht nur dann� wenn pn k u�sP �gilt� Damit ist der Hilfssatz f ur alle s mit p � s bewiesen �sogar f ur alle s mitp�n � s��

Ist die Aussage aber f ur s richtig� dann auch f ur ps� aus der Ungleichungju�psP ��pu�sP �jp � ju�sP �j�p �setze P � sP und s � p in ������ folgt ja� da�u�psP �� pu�sP � durch u�sP �� teilbar ist� was nur geht� wenn ju�psP �jp �jpu�sP �jp ist� Die Induktionsvoraussetzung gibt ju�sP �jp � jsjpju�P �jp� somitist auch ju�psP �jp � jpu�sP �jp � jpsjpju�P �jp� Die Behauptung folgt�

��������

� Lokale Kriterien ��

Einige Bemerkungen

Die Gruppen E�N� wurden erstmals von Elisabeth Lutz L�� L�! eingef uhrtund untersucht� Wir haben bereits bemerkt� da� E��� zu einer Untergruppe�� � von pZp �und damit zu Zp� isomorph w are� wenn die Abbildung u �E��� � pZp ein Gruppenhomomorphismus w are� Die Aussage E��� � Zp istaber trotzdem richtig� und der Beweis benutzt nicht viel mehr als Hilfssatz�����

Uber die Gruppe E� � wissen wir inzwischen ganz gut bescheid� es ist jaE� ��E��� � E�Fp� und E��� � Zp� Um behaupten zu k onnen� da� damit dieStruktur von E�Q p� im wesentlichen bekannt ist� m u�ten wir noch zeigen�da� die Faktorgruppe E�Q p��E� � endlich ist� und ggf� ihre Struktur bestim�men� Dies wurde von Kodaira und N�eron gemacht� und der in Silverman Sil!gegebene Beweis beginnt so�

Die Endlichkeit von E�Q p��E� � folgt aus der Existenz des N�eron�Modells� dieses ist ein Gruppenschema uber Spec�Z�� dessen ge�nerische Faser E�Q ist�

Ist man nur an der Endlichkeit interessiert� gibt es aber �f ur Kurven uber Q p� einen Beweis� der mit ganz elementaren topologischen Mittelnauskommt� dazu fa�t man Q p als topologischen Raum auf �die Topolo�gie wird von der Metrik j � jp induziert� man beachte� da� die Mengenfx � Zp � jxj � p�ng und fx � Zp � jxj � p�n��g identisch� also gleich�zeitig o�en und abgeschlossen sind� und zeigt� da� Addition� Multiplikationund Division bez uglich dieser Topologie stetig sind �man darf Q p dann einentopologischen K orper nennen�� Man rechnet nach� da� �Q p ��� damit einelokal�kompakte topologische Gruppe ist�

Jetzt ubertr agt man diese Topologie auf P��Q p�� und zwar wie folgt� manversieht Q pQ pQ p mit der Produkttopologie� Q pQ pQ p nf��� �� ��gmitder Unterraumtopologie� und P��Q p� mit der Quotiententopologie bez uglichder Projektion Q p Q p Q p n f��� �� ��g � P��Q p�� Dadurch wird P��Q p�zum kompakten topologischen Raum� in dem E�Q p� als Nullstellenmengeeines Polynoms abgeschlossen ist� Weiter uberzeugt man sich davon� da�E� � o�en in E�Q p� ist� und damit hat man gewonnen� die FaktorgruppeE�Q p��E� � ist dann n amlich als Quotient einer kompakten Gruppe wie�der kompakt� andererseits aber diskret� weil E� � o�en ist �nach bekanntenelementaren Resultaten aus der Theorie topologischer Gruppen�� Diskretekompakte Mengen sind aber endlich�

Komplizierter dagegen ist der Beweis von

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Satz � �� Sei E eine �uber Q p de�nierte elliptische Kurve mit Minimalmo�dell y� � x� � ax � b� Dann ist die Faktorgruppe E�Q p��E� � endlich� undzwar ist ihre Ordnung � �� wenn E additive Reduktion hat �d�h� wenn E�Fp�eine Spitze besitzt� und zyklisch der Ordnung vp�(� sonst�

Prinzipiell kann man diesen Satz durch eine m uhsame Fallunterscheidungper Hand beweisen� wir geben zwei einfache Spezialf alle� um die Idee klarzu�machen�

�� Ist vp�a� � � und vp�b� � �� so ist E�Q p� � E� �� Dies ist recht einfach�ist �x� y� � E�Q p� ein Punkt mit Reduktion ��� ��� so mu� p j x und p j ygelten� Aus y� � x� � ax � b folgt dann p� j b� Widerspruch%

�� Ist vp�a� � � und vp�b� � �� so ist E�Q p��E� � � Z��Z� Dazu nehmenwir an� es seien Pi � �xi� yi�� i � �� �� Punkte mit Reduktion ��� ��� Wirwollen zeigen� da� dann �x�� y�� � P��P� in E� � liegt� Dazu setzen wir xi �p�i� yi � p�i� a � p � b � p�� und �nden ��i � p��i ��i ��� Di�erenzbildungliefert ������� � ���� ��� � Gilt �� ��� � �� so folgt wegen p � � da� �� � ��und folglich P� � �P� ist� insbesondere ist P� � P� � O � E� ��

Ist dagegen �� � �� � �� so folgt wie oben P� � P�� Ist y� � �� so hatP� Ordnung �� folglich ist dann ebenfalls P� � P� � O � E� �� andernfallsist x� � ��x� � m� mit m � ��x�� � a���y�� Da p im Z ahler genau einmalund im Nenner mindestens einmal aufgeht� ist entweder m p�ganz und nichtdurch p teilbar� also die Reduktion von x� ungleich �� oder m hat ein p imNenner� und P� hat Level � �� liegt also in E��� � E� ��

Sei also ��� �� ���� Dann folgt m � ��������������� � ��������� und wieeben ist vp�m� � �� insbesondere die Reduktion von P� nicht gleich ��� ���

�� Ist vp�a� � � und vp�b� � �� so ist E�Q p��E� � � Z��Z� Das wollen wirnicht mehr vormachen � man kann sich vorstellen� da� die Rechnungen rechtumst andlich werden�

Der �nach dem Satz von Kodaira�N�eron endliche� Index cp � �E�Q p� �E� �� hei�t p�te Tamagawa�Zahl von E� Wegen cp � � f ur alle p � ( ist

Qp cp

endlich� dieser Faktor spielt eine gro�e Rolle f ur die Feinstruktur der L�Reiheder elliptischen Kurve� namentlich bei der Formulierung der Vermutung vonBirch und Swinnerton�Dyer�

�� Anwendungen und der Satz von Mazur

Wir ziehen jetzt aus den Resultaten des letzten Abschnitts noch einige Fol�gerungen�

��������

�� Anwendungen und der Satz von Mazur ��

Satz � �� Sei E � y� � x� �ax� b eine �uber Q de�nierte elliptische Kurveund p eine ungerade Primzahl mit p � ��a� � ��b��� Dann ist E�Q�tors einerUntergruppe von E�Fp� isomorph�

Beweis� Wegen p � ���a� � ��b�� ist E�Fp� eine elliptische Kurve �d�h� sie istnicht singul ar�� daher ist E�Q p� � E� �� Weiter ist E�Q �tors � E�Q p�tors we�gen Q � Q p � und Komposition der Abbildungen E�Q �tors � E�Q p�tors �E�Q p� � E�Q p��E��� ist ein Gruppenhomomorphismus� dessen Kern ausallen P � E�Q �tors besteht� die Elemente von E��� sind� Da E��� torsions�frei ist� ist dieser Kern trivial� und wir haben eine Injektion E�Q�tors �E� ��E��� � E�Fp�� Das war zu beweisen�

Der folgende Satz l a�t sich nun ohne gro�e M uhe beweisen�

Satz � � Sei E die elliptische Kurve y� � x� � ax mit einer ganzen Zahla� die durch keine vierte Potenz �� � teilbar ist� Dann gilt

E�Q �tors �

��Z��Z� Z��Z� falls � a ein Quadrat ist�

Z��Z� falls a � ��

Z��Z sonst�

Beweis� Der Fall E�Q�tors � fOg tritt deswegen nicht auf� weil P � ��� ��ein Punkt der Ordnung � auf E ist�

Der wesentliche Punkt im Beweis dieses Satzes ist der Nachweis� da�E�Q �tors maximal vier Punkte enth alt� Dies macht man mit folgendem Stan�dardtrick� nach Dirichlet gibt es unendlich viele Primzahlen p � � mod �Insbesondere gibt es ein solches p mit p � ���a� � ��b�� � a�� Damit ist)E�Q �tors j )E�Fp�� wegen p � � mod � ist aber )E�Fp� � p�� � � mod �und wir sehen� da� )E�Q�tors jedenfalls nicht durch teilbar ist�

Ebenso zeigen wir� da� es keine Primzahl q � � mit q j )E�Q �tors gibt�Dazu w ahlen wir ein primes p mit p � � mod q und p � � mod � prim�nach dem chinesischen Restsatz und Dirichlet�� Wie eben ist )E�Q �tors j)E�Fp� � p��� aber wegen p�� � � mod q kann q kein Teiler von )E�Q �torssein�

Also ist )E�Q�tors j �� und es gibt folgende M oglichkeiten��� Es gibt drei Q �rationale Punkte der Ordnung �� dies ist genau dann der

Fall� wenn x� � ax � x�x� � a� drei rationale Wurzeln besitzt� d�h� genaudann� wenn �a ein Quadrat ist�

�� es gibt genau einen Q �rationalen Punkte der Ordnung �� dann ist nachoben entweder )E�Q �tors � �� oder aber der Punkt ��� �� der Ordnung � ist

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

das Doppelte eines anderen Punktes� also ��� �� � ��x� y� mit gewissen x� y �Z� Der Satz von Nagell�Lutz besagt zwar� da� dann y� j �a� gilt� aber das hilftuns nicht weiter� Daher schauen wir uns an� was die Verdoppelungsformelhergibt� der Nenner der x�Koordinate von ��x� y� ist x���ax��a� � �x��a���dies wird genau dann gleich �� wenn x� � a ist� d�h� wenn a ein Quadratist� Da a durch keine vierte Potenz teilbar ist� mu� x quadratfrei sein� Ausy� � x�x� � a� � �x� folgt dann� da� x j � sein mu�� und dies f uhrt aufx � �� a � �� und y � ���

Damit ist alles gezeigt�

Ganz entsprechend zeigt man

Satz � �� Sei E die elliptische Kurve y� � x� � b mit einer ganzen Zahlb� die durch keine sechste Potenz �� � teilbar ist� Dann gilt

E�Q�tors �

��Z��Z� falls b � ��

Z��Z� falls b � ���� oder � �� b Quadrat ist�

Z��Z falls � �� b eine dritte Potenz ist�

� sonst�

Beweis� Ubungsaufgabe�

Dazu braucht man die Anzahl der Punkte von y� � x� � b uber gewissenendlichen K orpern�

Proposition � �� Ist E � y� � x� � b eine elliptische Kurve mit b � Z undp � � mod � eine ungerade Primzahl� so gilt )E�Fp� � p � ��

Beweis� Man betrachte den durch ��x� � x� de�nierten Gruppenhomomor�phismus � � F�p � F�p � Dessen Kern besteht aus allen x � F�p mit x� � ��G abe es ein Element x der genauen Ordnung �� so w urde � die Gruppen�ordnung p � � teilen� was wegen p � � mod � nicht der Fall ist� Also ist �injektiv� und damit� da beide Seiten dieselbe Kardinalit at haben� automa�tisch surjektiv�

Schreiben wir nun die Kurvengleichung in der Form x� � y� � b� so sehenwir� da� es zu jedem y � Fp genau ein x � Fp gibt� soda� �x� y� auf derKurve liegt� Zusammen mit dem unendlich fernen Punkt hat die Kurve alsogenau p � � Punkte�

Da� eine uber Q de�nierte elliptische Kurve nicht beliebig gro�e Torsi�onsgruppen haben kann� ist zwar nicht o�ensichtlich� liegt aber wegen Satz

��������

�� Anwendungen und der Satz von Mazur ��

���� und des Satzes von Nagell�Lutz doch nahe� Ist beispielsweise E eineelliptische Kurve� deren Diskriminante nicht durch teilbar ist� so wissenwir nach Satz ����� da� E�Q �tors einer Untergruppe von E�F�� ismorph ist�diese hat maximal �� � bp� � � �

pc Elemente� folglich ist )E�Q �tors � ��

f ur solche elliptischen Kurven�Bereits im letzten Jahrhundert hat man elliptische Kurven konstruiert�

deren Torsionsgruppe eine der folgenden ist�

Etors �

��Z��Z Z��mZ f ur � � m � ��

Z���m� ��Z f ur � � m � �

Z��mZ f ur � � m � ��

�����

Insbesondere hat Beppo Levi �besser bekannt aus der Theorie des Lebesgue�Integrals� ���� zeigen k onnen� da� es zu jeder dieser F alle f ur jeweils unend�lich viele nicht�isomorphe elliptische Kurven auftritt� Dar uberhinaus konnteer beweisen� da� die Gruppen Z�mZ f ur m � ��� ��� ��� sowie die Grup�pen Z��Z Z��mZ f ur m � � � nicht als Torsionsgruppen vorkommenk onnen� Auf dem Internationalen Mathematikerkongress ��� in Rom hatBeppo Levi dann die Vermutung ausgesprochen� da� da� die Liste in ������m oglicherweise mit der Ausnahme Z���Z� die er nicht erw ahnt� komplettist� Vierzig Jahre nach Beppo Levi au�ert Mordell dieselbe Vermutung� undschlie�lich ist sie noch einmal �� Jahre sp ater von Ogg als �folklore conjec�ture� bezeichnet �und prompt nach ihm benannt� worden�

Nachdem man uber Jahrzehnte hinweg weitere M oglichkeiten ausschlie�enkonnte� gelang Barry Mazur ���� der Beweis der Vermutung von Beppo�Levi�Mordell und Ogg�

Satz � �� Sei E eine �uber Q de�nierte elliptische Kurve� Dann ist Etors

zu einer der � in ����� angegebenen Gruppen isomorph�

Dieser Satz sieht zwar unscheinbar aus� ist aber extrem tief� Die ber uhmte�Beschr anktheitsvermutung�� wonach es zu jedem gegebenen Zahlk orper Keine Schranke c�K� gibt� soda� die Kardinalit at der Torsionsgruppe jeder uber K de�nierten elliptischen Kurve durch c�K� beschr ankt ist �f ur K � Qw are c�Q � � �� bestm oglich�� ist erst vor kurzem bewiesen worden�

Knapp gibt in seinem Buch Kna! Beispiele f ur jede uber Q vorkommendeTorsionsgruppe �vgl� die Tabelle ���

Schlie�lich erw ahnen wir noch� da� Doud D! einen Algorithmus implemen�tiert hat� der f ur gro�e D � �a� ���b� schneller l auft als der auf Nagell�Lutzbasierende� �Man beachte� da� Nagell Lutz die Faktorisierung von D ver�wendet%� Die Idee ist einfach und steht schon bei Mahler �!� man hat die

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

E E�Q �tors (y� � x� � � � �����

y� � x� � x Z��Z ���

y� � x� � � Z��Z �����

y� � x� � �x Z��Z ����

y� � y � x� � x� Z�Z ���y� � x� � � Z��Z �����

y� � xy � �y � x� � �x� Z��Z �����y� � �xy � �y � x� � �x� Z�Z ������y� � �xy � �y � x� � �x� Z��Z �����

y� � �xy � ��y � x� � �x� Z���Z ����� ���

y� � ��xy � ���y � x� � ���x� Z���Z ����������y� � x� � x Z��Z Z��Z ��

y� � x� � x� � �x Z��Z Z��Z ����

y� � xy � �y � x� � �x� Z��Z Z��Z �����

y� � x� � ���x� � �����x Z�Z Z��Z �� �����

elliptische Parametrisierung von E � y� � �x� � g�x � g� durch die Wei�erstra�sche ��Funktion� also einen Grupenisomorphismus C �& � E�C � �z � & �� ���z�� ���z��� Nun kann man die Torsionspunkte C �& m! soforthinschreiben� ist & � ��Z � ��Z� so sind die m�Torsionspunkte gegebendurch f �

m�a��� � a���� � aj � Z� � � a�� a� � mg� Da rationale Torsions�

punkte nach dem Satz von Mazur h ochstens Ordnung �� haben� berechnetman f ur alle m oglichen m� ob �� �

m���� �� �

m���� �� �

m��� � ���� ungef ahr

ganzzahlige Koordinaten hat� wenn nicht� gibt es keine rationalen Punkteder Ordnung m� wenn ja� testet man� ob der gefundene Punkt P wirklichein Torsionspunkt ist� indem man mP ausrechnet�

��������

Kapitel �

Rang� Satz von Mordell�Weil

��� �Isogenien

�Isogenien� stecken� wie wir sehen werden� hinter hinreichend vielen Bewei�sen in der Theorie elliptischer Kurven� um ihre genauere Untersuchung zurechtfertigen� Isogenien sind �rationale� Abbildungen zwischen elliptischenKurven� welche das Gruppengesetz respektieren� Man kann zeigen� da� eszu jeder Isogenie � E � E � eine dazu duale Isogenie b � E � � E gibt�soda� � � � m die Multiplikation mit einer ganzen Zahl m � Z ist� diesesm �� � hei�t der Grad der Isogenie � Zu einer gegebenen elliptischen KurveE�Q und einem � �� m � Z gibt es nicht immer eine elliptische Kurve E ��Qund eine rationale Isogenie � E � E � vom Grad m� wenn aber E einenTorsionspunkt der Ordnung m enth alt� dann gibt es ein solches � Insbeson�dere existieren ��Isogenien immer dann� wenn einer der drei Punkte in E �!rational ist�

Es wird sich auszahlen� einige Aussagen statt uber Q allgemeiner ubereinem beliebigen K orper K der Charakteristik �� �� � zu beweisen� Sei alsoE eine uber K de�nierte elliptische Kurve mit einem K�rationalen Punktder Ordnung �� Diesen k onnen wir in den Punkt T � ��� �� verschieben� unddann wird E von der Gleichung E � y� � x�x� � ax� b� beschrieben� Wegen(�E� � ��b��a� � �b� ist E genau dann nicht singul ar� wenn b �� � unda� � �b �� � gilt� das wollen wir ab jetzt voraussetzen�

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Die Addition des Torsionspunktes ��� �� induziert eine Abbildung E �E� mit �x�� y�� � �x� y� � ��� �� �ndet man x� � b�x und y� � �by�x�� fallsnicht gerade x � � und damit �x� y� � ��� �� ist� Damit hat man alle Punkteauf E�K� in Paare f�x� y�� �x�� y��g eingeteilt� Jedem solchen Paar kann mandie Invarianten � � x�x�� bzw� � � y� y� zuordnen� Eine kleine Rechnungzeigt

�� � �y � y��� b�x���� � y��x� b�x���x�

� �x � a � b�x� �x � b�x�� � �b! � �� � a���� � �b�

Wir haben gesehen� ist �x�� y�� � �x� y� � ��� ��� so liegt der Punkt �x �x�� y � y�� auf der Kurve E � � v� � �u � a��u� � �b�� Wir k onnen E � sogardieselbe Form wie E geben� wenn wir u durch u � a ersetzen� dann wirdn amlich E � y� � x�x� � a x � b�� Dies ist eine elliptische Kurve� da ( �

��b��a� � �b� � ��b��a� � �b�� �� � ist� Die Abbildung E � E ist dann

gegeben durch x � x � x� � a � y��x� und y � y � y� � y�x� � b��x� f uralle �x� y� �� O� T � Nun behaupten wir

Proposition � Sei E � y� � x�x� � ax � b� eine elliptische Kurve �ubereinem K�orper der Charakteristik �� �� �� Dann ist die durch

�P � �

�O� falls P � O oder P � T�

�y��x�� y�x� � b��x��� falls P � �x� y� �� O� T� �����

de�nierte Abbildung ein Gruppenhomomorphismus E�K� � E�K�� wo E �y� � x�x� � a x � b� eine zu E isogene elliptische Kurve mit a � ��a undb � a� � �b ist�

Beweis� Zu zeigen ist lediglich die Behauptung� da� ein Gruppenhomo�morphismus ist� Dazu machen wir die ubliche Fallunterscheidungen�

a� Die Aussage ist o�ensichtlich richtig� wenn einer oder mehrere der Punk�te P�� P� oder P� � P� gleich dem neutralen Element O sind�

b� Sei P� � T � der Fall P� � T ist wegen P��P� � O unter a� abgehandelt�Sei also P� � P � �x� y� mit x �� �� Dann ist P � T � �b�x��by�x��� somit

�P � T � ��x�P�Ty�P�T

�YP�T �x�P�T � b�

x�P�T

���b�y��x�

b��x���by�b��x� � ��

b�

���y�x��y�x� � b�

x�

�� �P � � �P � � �T ��

��������

��� ��Isogenien ��

c� P� und P� sind ��Teilungspunkte �� T � Wir d urfen annehmen� da�P�� P� �� T sind� der Fall P� � P� � T l a�t sich wegen ��P � � � �P �auf b� zur uckf uhren� d�h� wir d urfen auch P� � P� �� T annehmen� Dannmu� aber P� � P� und somit P� � P� � O sein� und dieser Fall ist in a�abgehandelt worden�

d� Wegen ��P � � � �P � gen ugt es im allgemeinen Fall zu zeigen� da� �P�� � �P�� � �P�� � O ist� falls P� � P� � P� � O ist� Die letzteBedingung ist aquivalent dazu� da� die Pi kollinear sind �und auf E liegen��Sei y � mx � c die entsprechende Geradengleichung �die Gerade kann nichtparallel zur y�Achse sein� da sonst einer der Pi ein ��Teilungspunkt w are��Im dem Falle� da� alle Pi paarweise verschieden sind� gen ugt es zu zeigen�da� �Pi� f ur i � �� �� � auf der Geraden y � mx� c liegt f ur m � �

c�mc� b�

und c � �c�c� � amc � bm���

Schreiben wir nun �xi� yi� � �xi� yi�� dann wird

mx� � c �mc� b

c

� y�x�

���c� � amc � bm�

c

��mc� b�y�� � �c� � amc � bm��x��

cx��

�mc�y�� � ax���� b�y� �mx���y� � mx�� � c�x��

cx���

Jetzt verwenden wir y�� � ax�� � x�� � bx�� sowie y� �mx� � c� und erhalten

mx� � c �m�x�� � bx��� b�y� � mx�� � cx��

x��

�x���mx� � c�� by�

x���

�x�� � b�y�x��

� y��

Die Rechnungen f ur P� und P� gehen analog�e� Der Fall P� � P� ist eine Ubungsaufgabe�

Hinter der Konstruktion der ��Isogenie steckt etwas mehr als wir obenangedeutet haben� Dazu gehen wir von der gegebenen elliptischen KurveE � y� � x�x��ax�b� uber zum rationalen Funktionenk orper F � K�x� unddessen quadratischer Erweiterung E � K�x� y� mit y �

px�x� � ax � b��

Der K orper E besteht aus Elementen der Form f�x� � g�x�y und derenQuotienten� Die durch x �� x�� y �� y� de�nierte Abbildung ist dannein Endomorphismus von E und induziert� wie man leicht sehen kann� einenK�Automorphismus der Ordnung � auf E� da� � die Identit at ist� ist

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

klar� um zu beweisen� da� ein Ringhomomorphismus ist� mu� man imwesentlichen zeigen� da� �y�� � �y�� ist� Dies folgt aber so�

�y�� � �x�x� � ax � b�� �b

x

� b�x�

�ab

x�

b

x

��

b�

x��x� � ax� � bx� � �y���

Nach der Galoistheorie besitzt die von diesem Automorphismus der Ord�nung � erzeugte Untergruppe von Gal �E�K� einen Fixk orper L mit �E �L� � �� und o�ensichtlich ist K��� �� � L� wo wie oben � � x � x� � aund � � y � y� gesetzt sind� Um hier Gleichheit zu zeigen� gen ugt �wegenGaloistheorie� der Nachweis� da� �E � K� � � ist� Das wiederum k onnenwir zeigen� indem wir x und y durch � und � ausdr ucken� Zuerst ist einmal���� � y�x� weiter ������ � � � x � b�x � x � b�x � a � �x � a� somitx � �

��� � ������ � a�� Also ist E � K������� insbesondere �E � L� � ��

Damit gilt �E � L� � � wegen E �� L�

Wir haben jetzt folgendes erreicht� zu jeder elliptischen Kurve E � y� �x�x� � ax � b� haben wir eine �isogene� elliptische Kurve E � y� � x �x� �a x � b� gefunden� wo a � ��a und b � a� � �b ist� Dabei ist die ��Isogenie � E � E gegeben durch ������

Da auch E dieselbe Form wie E hat� k onnen wir unsere bisherigen Ergeb�

nisse auf E anwenden und �nden eine ��Isogenie � E � E von E auf

E � y�

� x�x��a x�b� mit a � ��a � �a und b � a���b � �a����a���b� �

��b� Jetzt stellt man aber fest� da� die beiden elliptischen Kurven E und Eisomorph sind via x � �x und y � y� Indem wir also unsere ��Isogenie ersetzen durch

��P � �

�O� falls P � O oder P � T �

�y���x�� y�x� � b��x��� falls P � �x� y� �� O� T � �����

erhalten wir eine ��Isogenie � � E � E� Die Hintereinanderausf uhrung von und � liefert damit einen Gruppenendomorphismus � � � E � E� esstellt sich heraus� da� dies genau die Multiplikation mit � auf E ist� daserkl art auch den Namen ��Isogenie�

Satz � In obiger Notation ist � � � �!E und � � � �!E�

��������

��� Der schwache Satz von Mordell�Weil ��

Beweis� Auf E � y� � x�x��ax�b� gilt� wie man leicht nachrechnet� folgendeVerdoppelungsformel�

��x� y� �

��x� � b

�y

����x� � b��x� � �ax� � �bx� � �abx � b��

y�

�� �����

Der Rest folgt leicht�

x

��

y�

�x��y��x� � b��x�

�y�x��

�x� � b��

�y��

falls xy �� �� Ebenso erh alt man

y

�yx� � b

x�

��� �a� � �b�

x�

y�

���

�x� � b��y� � �a� � �b�x��

x�y��

�x� � b���x� � ax � b�� � �a� � �b�x��

y�

��x� � b��x� � �ax� � �bx� � �abx � b��

y��

Die Spezialf alle xy � � sind dabei getrennt nachzupr ufen�

Beim Fermatschen Beweis der Unl osbarkeit von C� � z� � x��y� in ganzenZahlen sind wir so vorgegangen� wir haben die Existenz eines Punktes P aufC� angenommen� haben dann einen Punkt Q auf der Kurve C� � y� � u���v�

konstruiert und schlie�lich einen Punkt R auf C� gefunden� der �kleiner�war als P � Bringt man die Kurven Cj auf Weierstra�form� so �ndet manC� � y� � x� � �x und C� � y� � x� � x� Insbesondere ist C� eine zu C�

��isogene Kurve� bezeichnet man die ��Isogenie C� � C� mit � die dazuduale mit �� so kann man nachrechnen� da� Q � �R�� P � ��Q� unddamit P � �R ist� Mit anderen Worten� Fermats Beweis arbeitet mit einem��Abstieg durch ��Isogenien�

�� Der schwache Satz von Mordell�Weil

Der schwache Endlichkeitssatz von Mordell�Weil besagt

Satz � Sei E eine �uber Q de�nierte elliptische Kurve� Dann ist die Fak�torgruppe E�Q ���E�Q � endlich�

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Hierzu lassen sich einige Bemerkungen machen� Zum einen ist zu sagen�da� sich der Satz auch richtig ist� wenn man die � durch irgendeine ganzeZahl m � � ersetzt� Zweitens werden wir den Satz nicht allgemein beweisenk onnen� der eigentliche Beweis lebt n amlich in dem K orper� den man erh alt�wenn man zu Q die ��Teilungspunkte von E adjungiert� also in Q �E �!��Indem man ��Isogenien benutzt� kann man den Beweis schon dann in Qf uhren� wenn bereits ein einziger ��Teilungspunkt rational ist� Tats achlichhaben Birch und Swinnerton�Dyer einen Beweis angegeben� der ohne dieArithmetik von Zahlk orpern auskommt� daf ur aber mit der Reduktionstheo�rie quartischer Formen rechnet� dieser Beweis ist f ur die Praxis von erhebli�cher Bedeutung�

Wie bereits erw ahnt� arbeitet unser Beweis mit elliptischen Kurven� dieeinen rationalen ��Teilungspunkt besitzen� Indem man diesen Punkt nach��� �� bringt� kann man der elliptischen Kurve die FormE � y� � x�x��ax�b�geben� Man �ndet ( � ��b��a���b�� folglich ist E genau dann eine elliptischeKurve� wenn b �� � und a� � �b �� � ist �und wenn char K �� � ist� aber wirrechnen ohnehin uber Q�� Den ��Teilungspunkt ��� �� bezeichnen wir imfolgenden mit T �

Neben E wird auch die dazu isogene Kurve E � y� � x�x� � a x � b� mit

a � ��a und b � a� � �b eine Rolle spielen� man �ndet ( � ��b��a� �

�b� � ��b��a�� �b�� �� �� Weiter hat E den ��Teilungspunkt T � Die Isogenie � E � E haben wir im vorigen Abschnitt angegeben� es ist ��� � O� �T � � O� und �x� y� � �x� y� mit x � y��x� und y � y��x� � b��x� sonst�

Kern des Beweises ist der Weil�Homomorphismus� dieser l a�t sich ganzallgemein f ur K orper K der Charakteristik �� �� � de�nieren� In der Taterh alt man durch

�P � �

��K� �

� falls P � O�

bK� �

� falls P � T �

xK� �

� falls P � �x� y� und P �� O� T�

eine Abbildung � E � K��K� �

� welche sich trotz der etwas seltsamenDe�nition als angenehme Abbildung entpuppt�

Proposition Die Abbildung � E � K��K� �

ist Gruppenhomo�morphismus�

Beweis� Zu zeigen ist� da� �P� � P�� � �P���P�� f ur alle Pj auf E�K�gilt� Dazu unterscheiden wir

��������

��� Der schwache Satz von Mordell�Weil ��

� P� � O� dann folgt �P� � P�� � �P�� � �P���P���

� P� � P� � O� dann ist �P� � P�� � K� �

� da aber P� und P� dieselbex�Koordinate haben� ist �P�� � �P�� und damit �P���P�� � K� �

� P �� P� � P�� aber P �� E�K� �!� nach ����� ist die x�Koordinate von�P ein Quadrat� also ��P � � K� �

� �P ��P ��

� allgemeiner Fall� sei P� � P� � P� � O und Pj � �xj� yj�� Die Ge�rade durch diese drei Punkte hat die Form y � mx � c� und die xjgen ugen der Gleichung x�x� � ax � b� � �mx � c�� � �� Also ist dielinke Seite gleich �x� x���x� x���x� x��� und Vergleich des konstan�ten Terms liefert x�x�x� � c�� Also ist �P���P���P�� � K� �

� also�P���P�� � �P�� � ��P�� � �P� � P���

Das war zu zeigen�

Ganz entsprechend de�niert man die Weil�Abbildung f ur die zu E iso�gene Kurve E� erstaunlicherweise hat etwas mit der Isogenie � E � Ezu tun�

Proposition � Es ist ker � fO� Tg und im � ker �

Mittels exakter Sequenzen kann man das pr agnanter so sagen� die Sequenz

� ��� fO� Tg ��� E�K���� E�K�

���� K��K� �

ist exakt�

Beweis� Da� O und T im Kern von liegen� ist klar nach Konstruktion�Andererseits kann �P � � O f ur ein P �� O nur dann gelten� wenn xP � �und damit yP � � ist�

Jetzt behaupten wir� da� T genau dann im Bild von liegt� wenn b � K� �

ist� Denn �P � � ��� �� mit P � �x� y� ist wegen �P � � �y��x�� y�x��b��x�� aquivalent zu x �� �� y � �� also zu x� � ax � b � � in K� Diese Gleichungist in K aber genau dann l osbar� wenn ihre Diskriminante ein Quadrat ist�wenn also a� � �b � b � K� �

gilt�Schlie�lich fragen wir uns� wann ein �x� y� Bild eines P � �x� y� �� O� T

ist� Zeigen m ussen wir� da� dies genau dann der Fall ist� wenn x � K� �

ist�Die Richtung im � ker ist dabei einfach� denn �x� y� � im bedeutet

ja x � �y�x��� und das ist o�ensichtlich ein Quadrat� Sei daher umgekehrt�x� y� � ker � also x � w� f ur ein w � K�� Dann setzen wir f ur j � �� �

xj ��

�x� a � ����j

y

w

�� yj � ����jwxj�

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Wegen x�x� � b �man benutze y� � x �x� � a x � b�� sind die xj �� �� umnachzuweisen� da� die Punkte �xj� yj� auf E�K� liegen� m ussen wir y�j�x

�j �

xj � a � b�xj zeigen� also x � x� � a � b�x� � x� � a � x� und x �x� � a � b�x� � x� � a � x�� das ist aber klar� Schlie�lich haben wir noch �xj� yj� � ��yj�xj�

�� yj�x�j � b��x�j� � �w�� w�x� � x��� � �x� y�� Das

war�s�

Damit haben wir die beiden exakten Sequenzen

� ��� fO� Tg ��� E�K���� E�K�

���� K��K� �

� ��� fO� Tg ��� E�K���� E�K�

���� K��K� �

An dieser Stelle kommt die Arithmetik von K ins Spiel� weswegen wir unsauf die F alle K � Q p und K � Q beschr anken werden� Ist K � Q p � so

ist Q�p �Q�p� endlich� beispielsweise sind f ur p � � nur die von ��� � und

erzeugten Nebenklassen nichttrivial �sh� Frey Fr!��Im Falle K � Q dagegen ist die Gruppe Q��Q� � sicher nicht endlich er�

zeugt� ein unabh angiges Erzeugendensystem sind beispielsweise die KlassenpQ� �� p positive Primzahl� zusammen mit ��Q� �� Insbesondere sind hier und nicht surjektiv� wir wollen ja zeigen� da� E�Q � und E�Q � endlicherzeugt sind� wenn sie dies sind� dann sind aber auch deren Bilder unter bzw� endlich erzeugt� und Surjektivit at w urde dann bedeuten� da� Q��Q� �

endlich erzeugt ist�Unsere Aufgabe ist jetzt� die endliche Erzeugtheit von im � bzw� im f ur

den Fall K � Q nachzuweisen� Dazu betrachten wir die Sequenz

E�Q ���� E�Q�

��� E�Q ��

aus der wir �sh� Anhang� die exakte Kern�Kokern�Sequenz

� ��� ker ��� ker�� � � ��� ker ���y� ���� coker � ���� coker �� � � ���� coker

erhalten� Nun ist ker � fO� Tg� ker�� � � � E�Q� �!� ker � � fO� Tg�coker � E� im � E� ker � im � coker �� � � � E�Q���E �Q� undcoker � � E� ker � im � und obige exakte Sequenz wird zu

� ��� fO� Tg ��� E�Q � �! ��� fO� Tg��y� ���� im ���� E�Q ���E�Q � ���� im

��������

��� Der schwache Satz von Mordell�Weil ��

Darauf k onnen wir die Indexformel aus dem Anhang anwenden� setzt man)E�Q � �! � �t� und nimmt an �was wir nachher zeigen werden�� da� E�Q�endlich erzeugt ist� so kann man E�Q� � E�Q �tors � Zr schreiben� wobeir � N der Z�Rang von E�Q � hei�t� Damit ist )E�Q ���E�Q � � �r�t� undwir �nden � � � � �r�t � �t �) im �) im � also

�r �) im �) im

��

Durch Vertauschen von E und E folgt aus dieser Formel ubrigens sofort�da� ��isogene Kurven denselben Rang haben� Die Torsionsgruppen E�Q �torsund E�Q�tors sind dagegen im allgemeinen nicht isomorph� Beispiele daf urwerden wir unten geben�

Zu zeigen ist noch� da� im und im endlich erzeugt und �weil es Unter�gruppen der elementar�abelschen Gruppe Q��Q� � sind� damit endlich sind�damit wird dann der schwache Endlichkeitssatz bewiesen sein� Da� im endlich erzeugt ist� folgt sofort aus der folgenden expliziten Beschreibungdes Bilds� die wir f ur einen beliebigen ZPE�Ring R mit Quotientenk orperK formulieren �wir werden die Aussage aber nur f ur R � Z und R � Zp

verwenden��

Proposition � Sei R ein ZPE�Ring mit Quotientenk�orper K� und E �y� � x�x� � ax � b� eine �uber K de�nierte elliptische Kurve mit a� b � R�dann besteht im aus �K� �

und allen Klassen b�K� �

� f�ur welche gilt�

i b � b�b� mit b�� b� � R�

ii N� � b�M� � aM�e� � b�e

� hat eine L�osung N�M� e � R mit e �� ��

Sind i und ii f�ur ein b� j b erf�ullt� so ist �b�M��e�� b�MN�e�� � E�K��

Da es im Falle K � Q und R � Z nur endlich viele b� mit der Eigenschaft i�gibt� ist klar� da� im endlich erzeugt ist� Au�erdem gen ugt es� quadratfreieb� zu betrachten wegen �b�� � �b�t

���Bevor wir zum Beweis kommen� formulieren wir eine n utzliche Beobach�

tung� die wir implizit bereits gemacht haben �n amlich f ur jede Primzahl peinzeln�� noch einmal explizit�

Hilfssatz � Seien K und R wie oben und E � y� � x� � ax� � bx � ceine �uber K de�nierte elliptische Kurve mit Koe�zienten aus R� dann kannman jeden Punkt P �� O auf E�K� in der Form P � �x� y� mit x � m�e��y � n�e�� m�n� e � R� und �m� e� � �n� e� � � schreiben�

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Beweis� Sei x � m�M und y � n�N mit M�N � R und �m�M� � �n�N� ��� Wir m ochten zeigen� da� M� j N� und N� j M� ist� denn dann folgtM� � N�� also M � e� und N � e� f ur ein e � R�

Aus der Gleichung y� � x� � ax� � bx � c erh alt man

M�n� � N�m� � aN�Mm� � bN�M�m � cN�m��

Da die rechte Seite durch N� teilbar ist und �n�N� � � gilt� mu� N� j M�

sein� Umgekehrt ist M j N�m�� wegen �m�M� � � also M j N�� Damitwiederum folgt M j N � und dann schlie�lich M� j N��

Beweis von Proposition ���� Wir starten mit einem Punkt P � �x� y� �E�K� und wollen zeigen� da� �P � die angegebene Form hat� Dazu schreibenwir x � m�e�� y � n�e� wie in Hilfssatz ���� und stellen fest� da�

n� � m�m� � ame� � be�� �����

gilt� Wir setzen jetzt b� � u�m� b�� wobei wir die Einheit u � R� sp aterfestlegen� Mit m � b�m� und b � b�b� liefert ����� dann b�� j n�� Wir k onnenalso n � b�n� setzen und �nden

n�� � m��b�m�� � am�e

� � b�e��� ����

Dabei ist �m�� b�� � �m�� e� � �� folglich m� � vM� f ur eine Einheit v � R�

�Beweis wie in Hilfssatz ������ Jetzt w ahlen wir u � R� so� da� v � � wird�und wegen M j n� ist dann n� � MN f ur ein N � R� Damit wird ���� zu

N� � b�M� � aM�e� � b�e

�� �����

und es ist �x� � xK� �

� mK� �

� b�Q� � wie behauptet�

Sind umgekehrt i� und ii� erf ullt� so zeigt einfaches Nachrechnen� da� derangegebene rationale Punkt auf E�K� liegt�

Beispiele

�� Sei E � y� � x� � �x� das ist die Fermatkurve X� � Y � � Z� in kurzerWeierstra�form� Weiter ist E � y� � x����x� Wir wollen ) im und ) im berechnen� Wegen b � �� haben wir b� � f�����g zu betrachten �dieKlasse � � Q� � � �O� liegt ohnehin im Bild�� Von vornherein wissen wir�

��������

��� Der schwache Satz von Mordell�Weil �

da� �� � Q� � � �� � Q� � � �T � im Bild liegt� wir wollen dies trotzdemnachpr ufen� indem wir die dazugeh orige Gleichung l osen�

b� Gleichung N M e P

� � N� � �M� � �e� � � � ��� ��

� N� � �M� � �e� � � � ��� ��

� � N� � ��M� � �e� � � � ���� ��

Hierbei ist P der aus b� und der angegebenen L osung �N�M� e� berechnetePunkt� Insbesondere haben wir im � f��Q� �����Q� �� ��Q� �����Q� �g �Z��Z Z��Z� also ) im � ��

Wegen �T � � �� � Q� � � � � Q� � liefert der Torsionspunkt kein nicht�triviales Bild� Weiter hat man� da negative b� auf im Reellen nicht l osbareGleichungen f uhren� nur noch b� � � zu betrachten� Die Gleichung N� ��M� � e� ist aber in Q nur trivial l osbar� denn o�ensichtlich mu� N ge�rade sein� also N � �n� folglich �n� � M� � �e� sein� Daher ist M � �m�n � �n� und �n�� � �m��e�� jetzt folgt e � �e� und n�� � �m� �e��� Dies istaber die Ausgangsgleichung� Wir schlie�en� da� jede L osung �N�M� e� dieEigenschaft hat� da� N � M und e beliebig oft durch � teilbar sind� also istN � M � e � ��

Damit ist ) im � �� somit r � � und

E�Q � � E�Q�tors � h��� ��� ��� ��i � Z��Z Z��Z� sowie

E�Q � � E�Q�tors � h��� ��i � Z��Z�

Als Korollar halten wir fest� da� die Fermatgleichung Z� � X� � � keinenichttrivialen L osungen in Q hat� wir haben bereits gesehen� da� die Gr o�enx � ��Z �X�� und y � �xX der Weierstra�gleichung y� � x�� �x gen ugen�die Umkehrabbildung wird durch X � y��x und Z � x�� � X� � x�� �y���x� geliefert �in der Tat ist damit Z� � �

�x� � y���x � y����x� � �

�x� �

�x� � �x���x � X� � X� � ��� Was passiert mit den Torsionspunkten vonE�Q � unter dieser Abbildung� O�enbar geht ��� �� auf den unendlich fernenPunkt� ���� �� dagegen auf die trivialen L osungen �X�Z� � ���� ���

�� Sei E � y� � x� � x� Wir �nden E � y� � x� � �x und wollen im undim bestimmen�

Zur Berechnung von im haben wir ����� f ur b� � �� zu l osen� o�enbar istM � �� e � � eine solche� Diese L osung entspricht dem Punkt ��� �� � E�Q��der o�ensichtlich ein Torsionspunkt �der Ordnung �� ist�

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Entsprechend haben wir f ur im die Gleichung ����� f ur b� � ����� zubetrachten� Da negative b� auf keine l osbaren Quartiken f uhren� ist b� � � dieeinzige M oglichkeit� und die entsprechende Gleichung N� � �M� � �e� hatin der Tat die L osung M � e � �� Dies f uhrt auf den Punkt ��� �� � E�Q��

Wir haben also ) im � ) im � �� somit �r � � und r � ��

�� Sei E � y� � x� � x� hier ist E � y� � x� � ��x� Die Bestimmung vonim ist einfach�

b� Gleichung N M e P

� N� � M� � e� � � � ���� ���

� � N� � �M� � e� � � � �������

N� � M� � e� � � � �� ���

� N� � �M� � e� � � � ��� ��

Man beachte� da� � � Q� � � �T � ist� selbstverst andlich kommt dieserPunkt am Ende wieder heraus�

Um im zu bestimmen� m ussen wir N� � b�M��b�e

� f ur b� � f�� �� � ��gbetrachten �negative b� f uhren auf Gleichungen� die nicht einmal in R l osbarsind�� Wegen �T � � ��Q� � � Q� � mu� N� � �M� � e� l osbar sein� inder Tat ist �N�M� e� � ��� �� �� eine L osung� diese f uhrt auf den Punkt P ��� �� auf E� Wegen E�Q �tors � fO� Tg mu� P ein Punkt mit unendlicherOrdnung sein�

Dagegen ist die Gleichung N� � �M� � ��e� nicht rational l osbar� setzenwir N � �n� so folgt �n� � M� �e�� dabei d urfen wir annehmen� da� �Mist� weil sonst j e und � j n folgen w urde� d�h� wir k onnen so lange k urzen�bis � M ist� Jetzt folgt aber �n� � M� mod � und dies impliziert wegen � M � da� � quadratischer Rest modulo ist� Dies ist aber nicht der Fall�folglich ist �n� � M� � e� nicht l osbar� und da im eine Gruppe ist� mu�) im � � sein�

Damit folgt insgesamt �r � �� also r � �� Auf beiden Kurven haben wirsogar einen Punkt unendlicher Ordnung gefunden� n amlich ������� auf Eund �� �� auf E� Um zu zeigen� da� E�Q � � h��� ��i h�������i� bzw�E�Q� � h��� ��i h�� ��i ist� braucht man aber den Begri� der H ohe�

Da� es elliptische Kurven uber Q mit beliebig gro�em Rang gibt� ist einenoch o�ene Vermutung� Derzeitige Rekordhalterin ist die Kurve E � y� �

��������

��� Der schwache Satz von Mordell�Weil ��

xy � y � x� � ax � b mit

a � ���������������������������������

b � ������������������������������������������������

und Rang � ��� diese wurde von Roland Martin und William McMillen imJuni ���� gefunden� Der $kleinste� Punkt unter den �� Erzeugenden ist

�������������������� ����������������������������

Die Berechnung von im

Damit ist die Berechnung des Rangs einer elliptischen Kurve mit rationa�lem ��Torsionspunkt zur uckgef uhrt auf die Berechnung von im � d�h� aufdie Frage� ob quartische Gleichungen der Form ����� eine rationale L osungbesitzen� Ungl ucklicherweise kennt man kein Verfahren� welches allgemeinfunktioniert� Nat urlich kann man in vielen F allen die L osbarkeit ausschlie��en� weil ����� nicht einmal modulo einer geeigneten Primzahl l osbar ist� undoft gen ugt das sogar� um z�B� zu zeigen� da� eine elliptische Kurve Rang �hat�

Etwas allgemeiner kann man feststellen� da� L osbarkeit in rationalen Zah�len nat urlich die L osbarkeit in R und allen Q p impliziert� Wenn wir die Pro�positionen ��� und ��� auf K � Q p und R � Zp anwenden� dann sehen wir�da� die Klassen b�Q

� �� f ur welche ����� in Q p l osbar ist� eine Gruppe bilden�insbesondere bilden die b�Q

� �� f ur welche ����� in allen Q p �einschlie�lichp � �� l osbar ist� eine Gruppe� welche im als Untergruppe enth alt �man nennt sie die zur ��Isogenie � geh orige Selmergruppe S�E�Q� �! vonE� Wegen im � coker � � E�Q ����E�Q �� haben wir also einen Mono�morphismus E�Q ����E�Q�� � S�E�Q� �!� Den Kokern S�E�Q� �!� im dieser Abbildung nennt man die Tate�Shafarevic�Gruppe III �E�Q� �!� dieseist also durch die exakte Sequenz

� ��� E�Q����E�Q �� ��� S�E�Q� �! ��� III �E�Q� �! ��� �

de�niert� Wenn die Tate�Shafarevic�Gruppe nicht trivial ist� liefert das hierbeschriebene Verfahren i�a� nicht den genauen Rang � es sei denn� es gelingtirgendwie� die Ordnung der auftretenden Tate�Shafarevic�Gruppen genau zubestimmen�

Eine gute Approximation an die Selmergruppe erh alt man� wenn man nachdenjenigen b� � Z fragt� f ur die die Gleichung

N� � b�x� � axy � b�y

� �����

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

l osbar ist� Ist n amlich �N�M� e� eine L osung von ������ so ist �N�M�� e��eine solche von ������ mit anderen Worten� S�E�Q� �! und erst recht im ist in der Menge aller b�Q

� � enthalten� f ur welche ����� l osbar ist� Schreibenwir ����� in der Form N� � b��x � a

�b�y�� � �b�a�

�b�y�� so sehen wir� da� wir

Gleichungen der Form z� � rx� � sy� zu untersuchen haben� Nach demHasseschen Lokal�Global�Prinzip besitzt eine solche Gleichung genau danneine nichttriviale rationale L osung� wenn sie f ur alle Q p �einschlie�lich p ��� eine solche besitzt�

Wir de�nieren nun das Hilbertsche Normenrestsymbol �auch einfach Hil�bertsymbol genannt� �r� s�p f ur alle r� s � Q� durch

�r� s�p ��r� sp

��

��� falls r � x� � sy� in Q p l osbar

�� sonst�

Das Hilbertsymbol hat folgende Eigenschaften� die sich relativ leicht nach�weisen lassen��r�r�� s�p � �r�� s�p�r�� s�p �Multiplikativit at im ersten Argument��

�r�� s�p � � �Quadrate sind Normenreste���r��r�p � � �klar� weil r � x� � ry� l osbar���a� b�p � �b� a�p �Symmetrie��Schlie�lich zeigt ein einfaches Abz ahlargument� da� �a� b�p � � f ur alle end�lichen p � �ab gilt� Damit macht das Produkt

Qp�a� b�p Sinn� und man kann

zeigen� da� die Produktformel Yp

�a� b�p � �

aquivalent zum quadratischen Reziprozit atsgesetz ist� Die Details plus di�verse Hinweise zur Berechnung von Hilbertsymbolen nebst einem Beweis desangesprochenen Lokal�Global�Prinzips f ur ����� �ndet man in Freys B uchlein Fr!� das wichtigste Hilfsmittel zur Berechnung der Hilbertsymbole ist dieeinfache Beobachtung� da� �a� p�p � �a�p� ist� falls a � Z nicht durch dieungerade Primzahl p teilbar ist �Hensels Lemma%��

Da die Gleichung z� � rx�� sy� genau dann l osbar ist� wenn rz� � X��rsy� es ist� ist die L osbarkeit von ����� in Q p aquivalent zur Bedingung � �

�b���b� �b�a��b��p � �b�� a

���b�p� Aus der Multiplikativit at des Hilbertsymbols

ergibt sich dann� da� die Menge aller b� � Q� �� f ur welche ����� in Q p l osbarist� eine Gruppe bildet� Damit ist auch die Menge aller b� � Q� �� f ur welche����� in allen Q p l osbar ist� eine Gruppe� und diese enth alt� wie wir gesehenhaben� die Selmergruppe und damit im �

��������

��� Der schwache Satz von Mordell�Weil ��

Als Konsequenz dieser Diskussion halten wir fest�

Proposition Die Selmergruppe S�E�Q� �! von E� also die Menge fb� �Q� �g� f�ur welche ����� in allen Q p l�osbar ist� ist enthalten in der Gruppe

fb� � Q� � � �b�� a� � �b�p � � f�ur alle pg�

Beispiel� die oben betrachtete Gleichung N� � �M� � ��e� ist in Q � nichtl osbar� weil ��� ���� � ��� ����� ��� � ��� �� � �� ist�

Etwas allgemeiner wollen wir die elliptischen Kurven E � y� � x� � px f urprime p � � betrachten� Hier ist die zu E ��isogene Familie gegeben durchE � y� � x� � �px�

Wegen �T � � pQ� �� und weil negative b� hier nicht in Frage kommen�z�B� wegen �b����p�� � �b������ � �� in diesem Fall � dahinter stecktnat urlich nur die Unl osbarkeit von Gleichungen der Form N� � b�M

� �b�e

� im Reellen� wenn b� und b� negativ sind�� haben wir sicher im �f�Q� �� pQ� �g�

Zur Bestimmung von im haben wir dagegen die Werte b� � f��� ��� �p���pg zu untersuchen� Wegen �T � � ��pQ� � � �pQ� � geht es nur um b� ��������p���p� und weil im eine Gruppe ist� gen ugt die Untersuchungvon b� � �� und b� � ��

F ur b� � �� haben wir

N� � �M� � �pe� ����

zu untersuchen� Die entsprechende quadratische Gleichung in Q q l osbar ge�nau dann� wenn ���� p�q � � ist� dies ist automatisch richtig f ur q � �q��weiter ist ���� p�� � � wegen p � �� ���� p�p � ����p� � � genau dann�wenn p � � mod �� und schlie�lich ���� p�� � ���� p�p wegen der Hilbert�schen Produktformel� Sei daher p � � mod �� dann hat ���� in Zp die L osungN �

p�p� �� M � e � �� denn

p�p� � � Zp wegen ��p��

p� � ���

p� � � plus

Henselschem Lemma� Was die L osbarkeit in Z� angeht� so stellen wir fest� da�M � �m gerade sein mu�� mit N � �n folgt dann n� � �m� �pe�� und dieseGleichung hat die L osung �n�m� e� � �

pp� �� ��� falls p � � mod � sowie

�n�m� e� � �pp � �� �� ��� falls p � mod �nach dem Henselschen Lemma

istpa � Z� f ur alle a � � mod �� Also ist ��Q� � � S�E�Q� ! �� p �

� mod ��Mit denselben Mitteln kann man zeigen� da� �Q� � � S�E�Q � ! ��

p � �� �� � mod �� und ��Q� � � S�E�Q� ! �� p � �� �� � mod �� gilt�

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Weil S�E�Q� ! eine Gruppe ist� erh alt man folgende Tabelle�

S�E�Q� ! p mod �� S�E�Q� ! p mod ��

h��Q� �� �Q� �� pQ� �i � h��Q� �� �Q� �� pQ� �i �

h��Q� ���pQ� �i � h�pQ� �i ��

h��Q� �� pQ� �i h��Q� �� pQ� �i ��

h�pQ� �i � h�Q� ���pQ� �i �

Folgerung� Ist p � � mod prim� so sind die zu b� � ����� geh origenGleichungen in allen Q p sowie in R � Q� l osbar� F ur z�B� p � �� kann mandar uberhinaus zeigen� da� die entsprechenden Gleichungen trotzdem keineL osung in Q besitzen� Diese Elemente erzeugen hier also eine nichttrivialeUntergruppe von III �E�Q� !�

Der allgemeine Fall

Was kann man tun� wenn die elliptische Kurve keinen rationalen Punkt derOrdnung � besitzt� Beweistechnisch ist das kein gro�es Problem� man er�setzt dann einfach Q durch den Zahlk orper K � Q�E �!�� den man erh alt�wenn man die Koordinaten der ��Torsionspunkte von E�C � zu Q adjungiert�Zum Beweis daf ur� da� im dann ebenfalls endlich erzeugt ist� mu� manden Einheitensatz von Dirichlet �oder die schw achere Aussage� da� die Ein�heitengruppe des Rings ganzer Zahlen in K endlich erzeugt ist�� sowie denSatz von der Endlichkeit der Klassenzahl benutzen� Die Frage� wie man denRang in der Praxis berechnet� ist eine ganz andere� In der Regel benutztman dazu ein Verfahren von Birch und Swinnerton�Dyer� das Rechnungenin algebraischen Zahlk orpern durch das systematische Au"isten von Polyno�men vierten Grades mit gegebenen Invarianten ersetzt� Prinzipiell lie�e sichdie Verwendung algebraischer Zahlentheorie auch bei Beweisen vermeiden�allerdings bekommt man es dann mit Divisoren und Galoiskohomologie zutun�

�� H�ohen und der Satz von Mordell�Weil

Ziel ist der Beweis des folgenden Satzes�

��������

�� H�ohen und der Satz von Mordell�Weil ��

Satz � Sei E � y� � x�x��ax�b� eine elliptische Kurve mit rationalem ��Torsionspunkt ��� ��� Dann ist E�Q� � Etors�Zr f�ur ein r � N � insbesondereist E�Q � endlich erzeugt�

Ungl ucklicherweise folgt die endliche Erzeugtheit nicht sofort aus der End�lichkeit von E�Q ���E�Q �� so ist z�B� auch Q�mQ endlich f ur alle m � N �inder Tat ist sogar Q�mQ � � f ur m �� �� weil jedes p�q � Q von der Formm � p�mq und auch p�mq � Q ist� man nennt Q deswegen �dividierbar���aber� wie wir gesehen haben� weit davon entfernt� endlich erzeugt zu sein�

Ganz entsprechend haben wir gesehen� da� E��� � Zp ist� damit ist dann�wie man leicht sieht� E����mE��� � Z�paZ �f ur pa k m�� andererseits ist E���

sicher nicht endlich erzeugt� die Gruppe Zp ist ja nicht einmal abz ahlbar%Es ist also noch etwas zu tun� Die Idee ist die Konstruktion einer �H ohen�

funktion�� dies l a�t sich ganz allgemein f ur abelsche Gruppen formulieren�

Satz �� Sei G eine abelsche Gruppe und G��G endlich� Existiert danneine Abbildung h � G � ���� mit den Eigenschaften

i f�ur alle � � � ist fP � G � h�P � � �g endlich�

ii f�ur jedes P � G existiert ein � � � derart� da� f�ur alle P � G gilt�

h�P � P � � �h�P � � � �

iii es existiert ein � � R mit h��P � � �h�P � � � f�ur alle P � G�

so ist G endlich erzeugt�

Beweis� Nach Voraussetzung ist n � )G��G endlich� wir w ahlen ElementeQ�� � � � � Qn derart� da� G die disjunkte Vereinigung der Qi ��G ist� d�h� wirnehmen je ein Element aus jeder Nebenklasse� Zu jedem dieser Elemente Qi

gibt es ein �i� soda� ii� mit P � �Qi erf ullt ist� sei � das Maximum dieserendlich vielen �i�

Sei nun P � G gegeben� Dann gibt es ein Qi� mit P �Qi� � �G� d�h� mitP � �P� � Qi� f ur ein P� � G� So f ahrt man fort und �ndet

P� � �P� � Qi� � � � � � P��� � �P� � Qi� �

F ur jedes � � j � � ist dann

�h�Pj� � h��Pj� � � � h�Pj�� �Qij � � � � �h�Pj��� � � � ��

��������

��� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Dies schreiben wir in der Form

h�Pj� � �

�h�Pj��� �

� � �

��

�h�Pj���� �

�h�Pj���� �� � ��

Solange also h�Pj��� � � � � ist� gilt h�Pj� � ��h�Pj���� Irgendwann �nden

wir daher einen Index m mit h�Pm� � � � �� folglich l a�t sich jedes P � Gschreiben als

P � a�Q� � � � � � anQn � �mR

f ur ai � N und ein �m oglicherweise von P abh angiges� R � G mit h�R� �� � �� Also wird G von der Menge

fQ�� � � � � Qng fR � G � h�R� � � � �g

erzeugt� und diese Menge ist wegen i� endlich�

Bleibt also� auf der Gruppe E�Q� eine H ohe zu de�nieren� Da man gernem ochte� da� die Menge der Erzeugenden �kleine� Koordinaten hat� wird manversuchen� eine H ohe zu de�nieren� die die �Kompliziertheit� der Koordina�ten mi�t� Die Idee� einer rationalen Zahl t die H ohe h�t� � jtj zuzuordnenist dazu ungeeignet� da er den Punkten t � � und t � �

����in etwa diesel�

be H ohe zuordnet� obwohl der zweite Punkt sicher komplizierter ist als dererste�

De�nieren wir also H�P � � maxfjpj� jqjg f ur ein P � �x� y� � E�Q� mitx � p�q und �p� q� � �� und setzen h�P � � logH�P �� sowie h�O� � ��

Hilfssatz �� F�ur alle � � � ist fP � E�Q� � h�P � � �g endlich�

Beweis� Es ist sicherlich die Menge aller x � Q mit H�x� � e� endlich�folglich auch die Menge aller x�Koordinaten von Punkten P � E�Q � mith�P � � �� Zu jeder x�Koordinate gibt es aber maximal zwei dazugeh origey�Koordinaten�

Hilfssatz �� Sei E � y� � x� � ax � b eine �uber Q de�nierte elliptischeKurve� Dann existiert ein � � R� soda� h��P � � �h�P � � � f�ur alle P �E�Q� gilt�

Beweis� Wir schreiben P � �x� y� und P � � �P � �x�� y��� dabei nehmenwir an� da� P � �� O ist� Dann gilt nach der Verdoppelungsformel

x� �x� � �ax� � bx � a�

��x� � ax � b��

��������

�� H�ohen und der Satz von Mordell�Weil ���

Jetzt setzen wir x � pq

mit �p� q� � �� sowie x� � p�

q�� Damit ist

p� � p� � �ap�q� � bpq� � a�q�� q� � �q�p� � apq� � bq���

und mit � � �p�� q�� wird x� � ep�eq mit p� � �ep� q� � �eq� sowie �ep� eq� � ��und damit H�P �� � max fjep j� jeq jg�

Mit D � �a� � ��b� gilt nun

�Dq� � ���p�q � �aq��p� � ��p� � apq� � ��bq��q��

d�h� es folgt jqj� � C� � max fjpj� jqjg� � max fjp�j� jq�jg� Entsprechend folgtaus

�Dp� � f�p� � f�q

� mit�

f� � ���a� � ��b��p� � �a�bp�q � ���a� � ��ab��pq� � ���a�b � b��q��

f� � a�bp� � �a� � ��ab��p�q � ���a�b � ���b��pq� � ��a� � a�b��q�

�diese Formeln wurden mit pari kontrolliert und per cut * paste in denText eingef ugt� Herleiten kann man diese Identit aten mit Resultanten� dieAbsch atzung jpj� � C� �max fjpj� jqjg� �max fjp�j� jq�jg� woraus sich dann

max fjpj� jqjg� � C max fjp�j� jq�jg

ergibt� Aus � j �Dp� und � j �Dq� folgt nun � j �D� d�h� es ist

max fjp�j� jq�jg � �Dmax fjep j� jeq jg�und insgesamt liefert das

max fjpj� jqjg� � C max fjep j� jeq jgf ur eine Konstante C � �� Nimmt man den Logarithmus� so hei�t das�h�P � � h��P � � � mit � � logC�

Hilfssatz �� Sei E � y� � x� � ax � b eine �uber Q de�nierte elliptischeKurve und P � E�Q�� Dann existiert ein � � � derart� da� f�ur alle P � Gdie Ungleichung h�P � P � � �h�P � � � gilt�

Beweis� F ur P � O ist die Behauptung trivial �w ahle � � ��� sei alsoP � �x � y �� Es gen ugt dann� die Behauptung f ur alle P bis auf endlichviele zu beweisen� man braucht nur � durch � �maxfjh�P �P ���h�P �jg

��������

��� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

zu ersetzen� Wir werden den Hilfssatz f ur alle P �� fO��P g beweisen� daserspart uns die Anwendung der Verdoppelungsformel�

Sei also P� � �x�� y�� � P � P � mit m � y�y�x�x� ist dann

x� � m� � x� x ��y � y �

� � �x� x ���x � x �

�x� x ���

Ausmultiplizieren liefert im Nenner einen Summanden y��x�� den wir durchax � b ersetzen� danach haben wir

x� �Ay � Bx� � Cx � D

Ex� � Fx � G

mit rationalen Zahlen A� � � � � G� die nur von a� b� x und y abh angen� Au�er�dem d urfen wir annehmen� da� diese Konstanten alle ganz sind �ansonstenmultiplizieren wir mit dem Hauptnenner durch � dieser h angt ebenfalls nurvon obigen Gr o�en ab�� Setzt man jetzt x � m�e� und y � n�e� wie inHilfssatz ���� so folgt

x� �Ane � Bm� � Cme� � De�

Em� � Fme� � Ge��

Damit ist sicher

H�P�� � max fjAne � Bm� � Cme� � De�j� jEm� � Fme� � Ge�jg�

denn K urzen macht Z ahler und Nenner h ochstens kleiner� Jetzt behauptenwir� da� mit K �

p� � jaj� jbj

e � H�P ����� jmj � H�P �� und jnj � K �H�P ���� �����

gilt� Damit wird dann

jAne � Bm� � Cme� � De�j � jAnej� jBm�j� jCme�j� jDe�j� �jAKj� jBj� jCj� jDj�H�P ��� sowie

jEm� � Fme� � Ge�j � jEm�j� jFme�j� jGe�j� �jEj� jF j� jGj�H�P ���

Also folgt

H�P � P � � max f�jAKj� jBj� jCj� jDj�� �jEj� jF j� jGj�gH�P ���

��������

�� H�ohen und der Satz von Mordell�Weil ��

und nimmt man jetzt den Logarithmus� so folgt die Behauptung�Zu zeigen bleibt noch ������ Die beiden ersten Ungleichungen folgen direkt

aus der De�nition von H�P �� Zum Beweis der dritten schreiben wir

n� � m� � ae�m � be��

nehmen den Betrag� und wenden die Dreiecksungleichung an� Dann wird

jnj� � H�P �� � jajH�P �� � jbjH�P �� � KH�P ���

und Wurzelziehen liefert das gew unschte Ergebnis�

Die oben eingef uhrte H ohenfunktion hei�t auch die naive� die logarithmi�sche oder auch die Weil�H�ohe� Sie hat den Vorteil� leicht berechenbar zu sein�Daneben gibt es den Begri� der kanonischen oder auch N�eron�Tate H�ohe�die wie folgt de�niert ist� aus der Ungleichung jh��P � � �h�P �j � � �wirhaben oben bereits eine Richtung gezeigt� die andere ist einfacher� folgt dieExistenz des Grenzwerts

bh�P � �� limn��

h��nP �

�n�

Die so de�nierte Funktion hat die Eigenschaften

i� bh�P � � � genau dann� wenn P � E�Q�tors ist�

ii� jbh�P �� h�P �j � � f ur ein nur von E abh angiges � � R�

iii� bh�mP � � m�bh�P � f ur alle m � Z�

iv� es ist bh�P � Q� � bh�P �Q� � �bh�P � � �bh�Q��

Die letzte Eigenschaft erlaubt es� durch

h � i � E�Q � E�Q � � R � hP�Qi �� bh�P � Q�� bh�P �� bh�Q�

eine Bilinearform zu de�nieren� Dies ist ein wichtiges Hilfsmittel� um zuentscheiden� ob vorgegebene Punkte P�� � � � � Pn � E�Q� linear abh angig sind�solche Punkte hei�en linear unabh angig� wenn aus

PaiPi � O immer ai �

� f ur alle i folgt�� man bildet einfach die Matrix R � �hPi� Pji���i�j�n undberechnet die reelle Zahl detR� genau dann existieren ai � Z� nicht allegleich �� mit O �

PaiPi� wenn detR � � ist�

Bilden die Punkte P�� � � � � Pn eine Basis des freien Anteils von E�Q� �d�h�ist E�Q � � E�Q �tors�hP�i�� � ��hPni�� so hei�t RE�Q � detR der Regulatorvon E� und dieser h angt nicht von der Wahl der Basis ab�

��������

��� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

��� Isomorphismen� Isogenien� und Twists

Es ist wohl an der Zeit� einige Begri�e zu kl aren� die bisher nur ganz amRande erw ahnt wurden� Da ist zum einen der Begri� der Isomorphie� der eserlaubt� gewisse Weierstra�kurven im wesentlichen zu identi�zieren� Wenndieser Begri� seinem Namen Ehre machen soll� dann sollten isomorphe Kur�ven auch isomorphe Gruppenstruktur tragen � aber bereits hier wird klar�da� dabei der Grundk orper eine Rolle spielt� Sei also

E � y� � a�xy � a�y � x� � a�x� � a�x � a�

eine uber einem K orper K de�nierte elliptische Kurve in langer Weierstra��form� Eine Variablentransformation

x � u�x� � r� y � u�y� � su�x� � t ������

mit r� s� t � K und u � K� hei�t K�zul�assig� und f uhrt E uber in

E � y�� � a��x�y� � a��y

� � x�� � a��x�� � a��x

� � a���

wobei die neuen Koe�zienten gegeben sind durch

ua�� � a� � �s�u�a�� � a� � sa� � �r � s��u�a�� � a� � ra� � �t�u�a�� � a� � sa� � �ra� � �t � rs�a� � �r� � �st�u�a�� � a� � ra� � r�a� � r� � ta� � t� � rta��

a�b�� � b� � ��r�u�b�� � b� � rb� � �r��u�b�� � b� � �rb� � r�b� � �r��u�b�� � b� � �rb� � �r�b� � r�b� � �r��

u�c�� � c��u�c�� � c��

u��(� � (�j � � j�

Wir nennen zwei Kurven E und E � isomorph �uber K� wenn es eine K�zul assige Transformation gibt� die E in E � uberf uhrt� Man uberzeugt sichleicht davon� da� die eine Aquivalenzrelation auf der Menge der in langerWeierstra�form gegebenen und uber K de�nierten elliptischen Kurven sind�

��������

��� Isomorphismen� Isogenien� und Twists ���

Man sieht auch leicht� da� Kurven in kurzer Weierstra�form � uber einemK orper der Charakteristik �� �� �� genau dann wieder in solche ubergehen�wenn r � s � t � � ist�

Da sich die absolute Invariante j unter Isomorphie nicht andert� k onnenKurven mit verschiedener j�Invariante nicht isomorph sein� Umgekehrt gilt

Satz � Sind E und E � zwei �uber K de�nierte elliptische Kurven� so istjE � jE� genau dann� wenn E und E � �uber dem algebraischen Abschlu� vonK isomorph sind� d�h� wenn es eine zul�assige Transformation ����� mitKoe�zienten u� r� s� t � K gibt�

Diesen Satz werden wir weder beweisen� noch benutzen� Zwei Kurven Eund E �� die beide uber K de�niert sind� aber erst in einer K orpererweiterungvon K isomorph werden� hei�en Twists� Ist z�B� d � Z quadratfrei undE � y� � x��ax�b eine elliptische Kurve uber Q � so ist Ed � dy� � x��ax�b�in Weierstra�form� y� � x� � ad�x � bd�� ebenfalls eine elliptische Kurve uber Q � und zwar ist sie o�ensichtlich uber Q �

pd � zu E isomorph� man

braucht nur y� �pdy und x� � x zu substituieren� Wegen (�Ed� � d�(�E�

k onnen sie im Falle d �� �� uber Q aber nicht isomorph sein�Da Isomorphismen invertierbare lineare Abbildungen der a�nen Ebene

auf sich sind� induzieren sie Gruppenisomorphismen E�K� � E ��K�� ins�besondere haben isomorphe elliptische Kurven dieselbe Torsionsgruppe unddenselben Rang� F ur Isogenien gilt das nicht� zwei Kurven E�K und E ��Khei�en isogen� wenn es eine nichtkonstante uber K de�nierte rationale �d�h�gegeben durch einen Quotienten zweier Polynome mit Koe�zienten aus K�Abbildung E � E � gibt� die O in O� uberf uhrt� Man kann zeigen� da�Isogenien automatisch �%� Gruppenhomomorphismen E�K� � E ��K� indu�zieren �wir haben das bei unseren ��Isogenien nachrechnen m ussen�� da� sieaber andererseits auch immer einen nichttrivialen Kern haben ���Isogenienverschlucken notwendig einen Punkt der Ordnung ���

Weiter kann man zeigen� da� es zu jeder Isogenie � E � E � eine dazuduale Isogenie � � E � � E gibt� und da� die Komposition der beidenIsogenien jeweils Multiplikation mit einer Zahl m � Z auf E bzw� E � ist�Diese Zahl m nennt man den Grad der Isogenie�

Die Isogenien E � E � bilden o�enbar eine additive Gruppe� durch Kom�position kann man die Isogenien E � E von E auf sich zu einem Ring ma�chen� dem Endomorphismenring End�E�� Da die Multiplikation mit m � Zeine solche Isogenie ist� k onnen wir Z immer als Unterring von End�E� au�as�sen �w urde man bei der De�nition von Isogenien auf die Bedingung O �� Overzichten� so w are auch die Addition eines festen Punktes P � E�Q � eine

��������

��� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Isogenie�� Ist E eine elliptische Kurve uber Q � so gibt es zwei M oglichkeiten�entweder ist End�E� � Z �d�h� es gibt keine anderen Isogenien E � Eals die Multiplikation mit einem m � Z�� oder End�E� ist echt gr o�er� Imletzteren Falle kann man zeigen� da� End�E� � Z� �Z f ur eine komplexeZahl � ist �genauer ist sogar � � �

��r � s

p�d � mit gewissen a� b� d � N ��und man sagt� E habe komplexe Multiplikation�

��������

Kapitel �

Die Hasse�Schranke

Da� elliptische Kurven uber dem K orper Fp � Z�pZ durchaus interessantsind� haben wir bereits festgestellt� In diesem Kapitel wollen wir Nichttri�viales zur Anzahl der Punkte auf elliptischen Kurven uber Fq machen� dabeischreiben wir q statt p� weil alle unsere Ergebnisse auch uber beliebigen end�lichen K orpern mit q � pf Elementen gelten� Da jeder endliche Punkt sichin der Form �x� y� mit x� y � Fq schreiben l a�� gibt es auf einer elliptischenKurve uber Fq jedenfalls h ochstens q��� Punkte� Diese triviale Absch atzungist nat urlich ziemlich schlecht� Nehmen wir einmal an� da� p � ist� alsounser endlicher K orper Charakteristik �� �� � hat� Dann k onnen wir die el�liptische Kurve in kurzer Weierstra�form schreiben� y� � x� � ax � b mita� b � Fq � F ur jeden der q m oglichen Werte von x gibt es� da wir uns in einemK orper be�nden� h ochstens zwei Werte von y� f ur die �x� y� auf E liegt� diesliefert die weitaus bessere Absch atzung )E�Fq � � �q � �� Nun wird abernicht jedes x� � ax � b ein Quadrat in Fq sein� w aren diese Werte zuf alligverteilt� d urften wir annehmen� da� in etwa die H alfte aller x�Werte zu einemQuadrat x� �ax� b f uhrt� dies w urde bedeuten� da� es in etwa q� � Punkteauf E�Fq � gibt� Der Satz von Hasse besagt nun� da� diese Absch atzung garnicht schlecht ist�

Satz � � �Hasse Sei E � y� � x� � ax� b eine �uber dem endlichen K�orperFq de�nierte elliptische Kurve� Dann gilt j)E�Fq �� �q � ��j � �

pq�

��� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Da� dies ein bedeutendes Resultat ist� sieht man dem Satz nicht an� Umdem abzuhelfen� mu� man etwas weiter ausholen und einige Sachen uberZetafunktionen und die Riemannsche Vermutung erz ahlen�

�� Die Riemannsche Zetafunktion

Bereits Euler hat die reelle Funktion

��s� �Xn�N

n�s ����

untersucht� das Integralkriterium zeigt sofort� da� ��s� f ur alle s � � kon�vergiert� und die Divergenz der harmonischen Reihe zeigt� da� ��s� an derStelle s � � einen Pol besitzt� Euler�s gro�e Leistung war die Erkenntnis�da�

��s� �Yp�P

�� p�s����

sich als Produkt uber alle Primzahlen von relativ einfach gebauten Funk�tionen schreiben l a�t� tats achlich ist die Existenz von ���� aquivalent zumSatz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung in Z� Zum Beweis betrach�tet man das Produkt uber alle p � N und entwickelt dann den Bruch via�

��x � � � x � x� � x� � � � � in eine unendliche Reihe� Man bekommt dannYp�N

�� p�s�Yp�N

�� �

ps�

p�s� � � �

��

Xn�SN

ns�

wobei SN aus allen Zahlen besteht� deren Primfaktoren � N sind� L a�t manalso N �� � gehen� geht die linke Seite gegen das Produkt in ����� dierechte �Cauchy�Kriterium%� gegen die Summe in �����

Euler benutzte ����� um folgenden Beweis von der Unendlichkeit derPrimzahlen zu geben� g abe es nur endlich viele Primzahlen� w are die rech�te Seite von ���� f ur s � � konvergent� die linke� durch ���� de�nierte�aber nicht� Widerspruch� Genau diesen Ansatz hat Dirichlet sp ater wiederausgegraben� um seinen ber uhmten Satz von der Existenz unendlich vielerPrimzahlen in jeder arithmetischen Progression ax� b mit ggT �a� b� � � zubeweisen�

Da� ��s� heute nach Riemann benannt ist� liegt daran� da� Riemann damitbegonnen hat� ��s� als Funktion komplexer Zahlen aufzufassen� Er konnte

��������

��� Die Zetafunktion elliptischer Kurven ���

zeigen� da� sich ��s� auf die ganze komplexe Ebene fortsetzen l a�t� undzwar als analytische Funktion au�erhalb ihres einzigen Pols s � �� Wei�ter hat er eine Funktionalgleichung bewiesen� die ��s� und ��� � s� zu�einander in Beziehung setzt� zu deren Formulierung setzt man gew ohnlich��s� � ��s��+� s

����s� setzt� dann wird n amlich einfach ��s� � ��� � s��

Schlie�lich hat Riemann einen Beweis des Primzahlsatzes skizziert� wonachf ur die Funktion ��x� � )fp � x � p primg die Beziehung ��x� � x

lnx

gilt �f � g soll hier bedeuten� da� f�x��g�x� f ur x �� � gegen � konver�giert�� Dabei hat er aber deutliche L ucken gelassen� die erst ��� unabh angigvon Hadamard und de la Vall�ee�Poussin geschlossen werden konnten� Au��erdem hat er vermutet� da� alle Nullstellen von ��s� im kritischen Streifen� � Re s � � sogar auf der kritischen Geraden Re s � �

�liegen� Falls diese

Vermutung richtig ist� k onnte man f ur die Di�erenz ��x� � xlnx

sehr guteSchranken angeben� dies h atte auch f ur viele Algorithmen der ZahlentheorieKonsequenzen�

Die Riemannsche Vermutung ist bis heute o�en� wenn sie auch f ur dieersten ��� Nullstellen �nach wachsendem Imagin arteil geordnet� numerischveri�ziert worden ist� Da� man seit ein paar Jahren wenigstens wei�� inwelcher Richtung man einen Beweis zu suchen hat� liegt vor allem daran�da� es zu diesem ganzen Fragenkomplex einen ganz analogen gibt� der vonder Zetafunkion elliptischer Kurven ausgeht�

� Die Zetafunktion elliptischer Kurven

Die Zetafunktion elliptischer Kurven wurde urspr unglich ganz analog zurRiemannschen de�niert� allerdings in einem anderen Zusammenhang� stattder elliptischen Kurve y� � x� � ax � b uber dem endlichen K orper K � Fpbetrachtet man den rationalen Funktionenk orper F � Fp�x� und dar uberdie quadratische Erweiterung E � F �

px� � ax � b �� Solchen Erweiterungen

�genauer� dem Ganzheitsring in E� kann man eine Zetafunktion zuordnen�die ganz genauso aussieht wie ��s�� Bei deren Studium hat sich aber heraus�gestellt� da� sie Periode ��i

log phat� also nur von t � p�s abh angt� und wenn

man diese Substitution macht� landet man bei der folgenden De�nition� f urjede uber k � Fp de�nierte elliptische Kurve sei

ZE�t� � exp

� �Xf��

)E�Fpf �tf

f

�� ����

��������

��� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Die so de�nierte Zetafunktion nennt man auch die Kongruenzzetafunktion�weil sie die L osungsanzahlen der Kongruenz y� � x� � ax� b mod p kodiert�Artin und sp ater etwas allgemeiner F�K� Schmidt konnten zeigen� da� sichdie Zetafunktion einer elliptischen Kurve immer in der Form

ZE�t� �P �t�

��� t���� pt�����

schreiben l a�t� wobei P �t� � � � apt � pt� ist und ap � p � � � )E�Fp�gilt% Mit anderen Worten� die Zetafunktion ZE�t� kodiert die Anzahl derPunkte auf den Kurven E�Fp�� wo E die Reduktion modulo p einer uber Qde�nierten elliptischen Kurve E bezeichnet�

Hier sind zwei Wunder passsiert� zum einen ist die Zetafunktion ein Quo�tient von Polynomen� zum andern taucht im Ergebnis nur ap auf� obwohlman alle apf hineingesteckt hat% Nun kann man aus der Kenntnis von P �t�durch Logarithmieren und Entwickeln in Potenzreihen wieder alle )E�Fpf �berechnen� mit anderen Worten� die Anzahl der Punkte auf E�Fpf � h angennur von E�Fp� ab� Da� die Zetafunktion auch noch einer Funktionalglei�chung gen ugt� kann kaum mehr uberraschen� Man rechnet einfach nach�da� ZE� �

pt� � ZE�t� ist� setzt man �E�s� �� ZE�p�s�� so schreibt sich die

Funktionalgleichung in der Form �E�� � s� � �E�s�� Die Ahnlichkeit mitder Riemannschen ��Funktion geht noch weiter� dazu rechnen wir einmaldie Nullstellen von ��s� aus� Diese sind genau die Nullstellen von P �p�s��schreiben wir also P �t� � �� � �t��� � �t�� dann ist P��p

�s� � � genaudann� wenn ps � j f ur j � � oder j � � ist� Nun ist jpsj � pRe s �all�gemein ist jea�ibj � jeaj � jeibj und jeibj � � wegen der Eulerschen Formeleib � cosb � i sin b und der Identit at cos� b � sin� b � �� also jezj � eRe z��also j jj �

pp genau dann� wenn Re s � �

�ist� mit anderen Worten� die

Riemannsche Vermutung f ur �E�s� ist aquivalent zur Aussage j jj �pp� wo

j die beiden inversen Wurzeln von P �t� sind� Wegen P �t� � � � apt � pt�

impliziert dies aber japj � j � � �j � j �j � j �j � �pp� also die Hasse�

Schranke �die Umklehrung gilt ubrigens auch� die Hasse�Schranke impliziertdie Riemannsche Vermutung f ur �E�s���

Damit die Zahlen ap wirklich von E und nicht von der gew ahlten Wei�erstra�gleichung abh angen� m ussen wir festlegen� was wir unter �der� Re�duktion modulo p einer elliptischen Kurve E�Q verstehen� denn eine KurveE � y� � x� � � �mit ( � ������ kann durch die zul assige Transformationy � ��Y � x � ��X in E � � Y � � X� � � �mit (� � �������� verwandeltwerden� Uber Q sind diese Kurven isomorph� uber F� dagegen nicht mehr�

��������

��� Die Zetafunktion elliptischer Kurven ���

die Reduktion von E modulo ist die elliptische Kurve E � y� � x� � �� die�jenige von E � dagegen die singul are Kurve E

�� Y � � X�� Insbesondere h angt

a� in diesem Fall von der Wahl des globalen Modells ab� Zur Kl arung diesesProblems ben otigen wir den Begri� der minimalen Weierstra�gleichung�

Sei E eine uber Q de�nierte elliptische Kurve in langer Weierstra�formmit ganzen Koe�zienten� Die Weierstra�gleichung hei�t p�minimal� wenn diep�adische Bewertung j(jp ihrer Diskriminante durch eine zul assige Transfor�mation nicht gr o�er gemacht werden kann �d�h� wenn die in ( aufgehendep�Potenz nicht verkleinert werden kann�� Man kann zeigen� da� die Redukti�on modulo p einer p�minimalen Weierstra�gleichung bis auf uber Fp zul assi�ge Transformationen eindeutig bestimmt sind� Tats achlich gibt es f ur jede uber Q de�nierte elliptische Kurve E eine Weierstra�gleichung� die f ur allep gleichzeitig p�minimal ist �N�eron�� dieses Ergebnis sieht st arker aus� als esist� f ur fast alle p� n amlich mindestens f ur die p � (� ist die Gleichung vonvornherein p�minimal� Da zul assige Transformationen die Diskriminante (nur um zw olfte Potenzen ab andern k onnen� ist jede Weierstra�gleichung mitganzen Koe�zienten� deren Diskriminante ( durch keine zw olfte Potenzteilbar ist� notwendig minimal �die Umkehrung gilt nicht� beim Wegtrans�formieren einer zw olften Potenz k onnten die Koe�zienten der Weierstra��gleichung Nenner bekommen� deren Elimination die zw olfte Potenz wiederhineinbringt�� Zwei solche minimale Weierstra�gleichungen einer elliptischenKurve gehen durch eine zul assige Transformation mit u � �� und r� s� t � Zauseinander hervor�

Damit sind die Zahlen ap � p � � � )E�Fp� durch die elliptische Kurvefestgelegt und h angen nicht von der Auswahl der Weierstra�gleichung ab� Indem relativ uninteressanten Fall� da� die Reduktion einer elliptischen Kurvesingul ar ist� k onnen wir die dazugeh origen ��Funktionen leicht berechnen� InKapitel � haben wir gesehen� da� singul are Weierstra�kurven uber Fp auf dieForm E � y� � x��x�a� gebracht werden k onnen� und da� Ens genau p��a

p�

Punkte besitzt� Der dortige Beweis zeigt allgemein� da� f ur beliebige q � pf

die Formel )Ens�Fq � � pf � �ap�f gilt �beachte� da� im Falle �a

p� � �� die

Wurzelpa � Fp� und damit in allen Fq mit geradem s liegt�� Insbesondere

ist also )E�Fq � � q����ap�f � und wenn wir die De�nition der Zetafunktion

f ur nichtsingul are Kurven ausnahmsweise f ur singul are Kurven ubernehmen�

��������

��� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

so �nden wir

logZE�t� ��Xf��

)E�Fpf �tf

f�

�Xf��

�pf � �� �ap�f�

tf

f

��Xf��

�pt�f

f�

�Xf��

tf

f�

�Xf��

��a�p�t�f

f

� � log��� pt�� log��� t� � log��� �ap�t��

d�h� ZE�t� hat die Form ���� mit P �t� � ��apt und ap � p� ��)E�Fp� ��ap��

Zu gegebenem E de�nieren wir jetzt einen Eulerfaktor Lp�t� f ur jede Prim�zahl p durch

Lp�t� �

��

��apt�pt� � falls p � (��

��apt � falls p j (�

Man beachte� da� der Eulerfaktor gleich dem Inversen des Z ahlers der Ze�tafunktion f ur E�Fp� ist� Unter Benutzung von japj � p �das folgt aus dertrivialen Absch atzung j)E�Fp�j � �p � �� kann man dann ohne weitereszeigen� da� das Produkt

L�s� E� �Yp�N

Lp�p�s� �

Ypj�

�� app�s�Yp��

�� app�s � p���s���

f ur alle s � C mit Re s � � absolut konvergiert� Diese Funktion nennt mandie L�Funktion der elliptischen Kurve �Hasse�Weil�� Im n achsten Abschnittwerden wir zeigen� da� sogar japj � �

pp ist� damit folgt dann� da� die

L�Funktion sogar f ur alle s mit Re s � ��

absolut konvergiert�Hasse hat nun in Analogie zu den damals bekannten ��Funktionen �Rie�

mann� Dedekind� Artin� die folgende Vermutung ge au�ert�

Vermutung� Die L�Reihe L�s� E� einer uber Q de�nierten elliptischen Kur�ve l a�t sich analytisch auf die ganze komplexe Ebene fortsetzen� weiter exi�stiert ein N � N derart� da�

&�s� E� � N s�������s+�s�L�s� E�

der Funktionalgleichung &�s� �� E� � �&�s� E� gen ugt�

Die Zahl N nennt man den analytischen F uhrer� dieser ist ein Produktvon Primzahlen� die auch in ( aufgehen�

��������

��� Die Zetafunktion elliptischer Kurven ��

Ist die elliptische Kurve E gegeben� so kann man die dazugeh orige L�Funktion an jedem z � C numerisch auswerten� Dies haben zuerst Birch undSwinnerton�Dyer gemacht� und aus ihren Berechnungen haben sie folgendeVermutung herausdestilliert�

Ist r der Z�Rang der elliptischen Kurve E� so hat die dazugeh ori�ge L�Funktion an der Stelle s � � eine r�fache Nullstelle undumgekehrt�

Das ist eine starke Vermutung� sie besagt nicht mehr und nicht weniger�als da� man aus den lokalen Daten ap �mehr hat man ja in die De�niti�on von L�s� E� nicht reingesteckt� den Rang der Kurve uber Q bestimmenkann% Weitergehende Rechnungen haben zu der folgenden� viel genauerenVermutung gef uhrt�

Vermutung� Sei E eine uber Q de�nierte elliptische Kurve� f ur welche dieHassesche Vermutung der analytischen Fortsetzbarkeit richtig ist� Ist dannr der Z�Rang von E� so gilt

lims��

L�s� E�

�s� ��r�

c�Q

p cp) III �E�Q�RE�Q

�)E�Q �tors���

Hierbei ist c� eine reelle Periode von E� cp die p�te Tamagawa�Zahl� III �E�Q �die Tate�Shafarevic�Gruppe� und RE�Q der Regulator von E�

Die hier erw ahnte reelle Periode c� ist ein bestimmtes Integral� wir habenim ersten Kapitel erkl art� wie man elliptische Funktionen aus einem Gitter inC gewinnt� dieses Verfahren kann man umkehren� d�h� man kann jeder ellip�tischen Kurve uber Q ein entsprechendes Gitter zuordnen� und zwar so� da�eine der beiden Perioden reell ist� Die Tamagawa�Zahlen cp waren de�niertals der Index cp � �E � E� ��� wobei E als elliptische Kurve uber Q p aufge�fa�t wird� ist p � (� so folgt aus der De�nition von E� � sofort cp � �� d�h�das Produkt uber alle Primzahlen p macht Sinn� Von der Tate�Shafarevic�Gruppe III �E�Q� haben wir nur einen kleinen Teil de�niert� n amlich die zueiner ��Isogenie � � E � E geh orige Gruppe III �E�Q� �!� und zwar alsdie Faktorgruppe derjenigen b� � Q� �� f ur welche die Gleichung

N� � b�M� � aM�e� � b�e

uber jedem Q p l osbar ist� modulo der Gruppe aller b� �Q� �� f ur welche dieseGleichung eine rationale L osung besitzt�

��������

��� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Lange Zeit kannte man keine einzige elliptische Kurve� von der man zeigenkonnte� da� ihre Tate�Shafarevic�Gruppe endlich ist� damals stellte die Ver�mutung von Birch und Swinnerton�Dyer also eine Beziehung her zwischendem Verhalten einer Funktion an einer Stelle� wo sie nicht de�niert ist� undder Ordnung einer Gruppe� von der man nicht weiss� ob sie endlich ist�

Heute ist man schlauer� die Fortsetzbarkeit der L�Funktion war f ur modu�lare Kurven schon lange bekannt� und seit Wiles wei� man� da� die meistenelliptischen Kurven uber Q modular sind� Weiter hat es eine von Kolyvagineingef uhrte und von Rubin verfeinerte Technik erlaubt� f ur einige Kurvendie Endlichkeit von III �E�Q� zu zeigen� Weiter gilt f ur modulare elliptischeKurven folgendes��� L��� E� �� � �� r � ���� L��� E� � � und L���� E� �� � �� r � ��

� Manins Beweis

Sei Fq ein endlicher K orper mit q � pf Elementen und p � � ManinsBeweis beginnt mit elliptischen Kurven uber Fq t!� dem Polynomring in derVariablen t uber Fq � Dieser Ring besteht also aus allen Polynomen a �a�t�� � �� ant

n mit Koe�zienten aus Fq � Da Fq t! nullteilerfrei ist� kann man denQuotientenk orper K � Fq �t� einf uhren� der aus allen Ausdr ucken der Form

a � a�t � � � � � antn

b � b�t � � � � � bmtm

mit ai� bj � Fq und bm �� � besteht�Der elliptischen Kurve

E � Y � � X� � aX � b ����

ordnen wir jetzt den quadratischen Twist

E� � �Y � � X� � aX � b ����

zu� wobei � � ��t� � t��at�b � Fq t! ist� Damit ist E� eine uber K de�nierteelliptische Kurve� Die Additionsformeln f ur E� sehen folgenderma�en aus�seien P � �x� y� �� O� Pj � �xj� yj� Punkte auf E�� dann ist

x�P� � P�� � �� y� � y�x� � x�

��� �x� � x��� ���

��������

�� Manins Beweis ���

sowie� falls y �� � ist�

x��P � ���x� � a��

��x� � ax � b�� �x� ����

Die Punkte �t� �� und �t���� liegen o�enbar auf E��K�� Aber auch der PunktP � �tq� �t� � at � b��q������ liegt auf E��K�� es ist n amlich �tq�� � atq �b � �t� � at � b�q nach dem ublichen Trick des �Anf angerpotenzierens� inendlichen K orpern�

Wir de�nieren jetzt eine Folge von Punkten

Pn � P � n�t� ��� n � Z �����

auf E��K�� Die erste Behauptung ist nun

Hilfssatz � � Ist Pn � �xn� yn� �� O� so gilt xn �� �� Schreibt man xn �fn�gn mit fn� gn � Fq t!� so ist deg fn � deg gn�

Da Fq t! ein euklidischer Ring ist� d urfen wir annehmen� da� fn und gnteilerfremd sind� Damit k onnen wir eine Funktion d � Z � N de�nierendurch

dn �

�� falls Pn � O�

deg fn sonst�

Die Funktion dn gen ugt nun der Grundrelation

dn�� � dn�� � �dn � �� �����

Was hat nun dn mit der Anzahl Nq � )E�Fq ��� der Fq �rationalen Punkte�� O auf E zu tun� Die Antwort besteht aus der Gleichung

)E�Fq � � Nq � � � d��� �����

Diese Beziehung liefert den

Hilfssatz � � Die Funktion d�n� �� dn ist ein quadratisches Polynom inn�

d�n� � n� � �d�� � d � ��n � d �

Der Beweis der Hasse�Schranken ist jetzt ganz einfach� das quadratischePolynom d�x� � x� � �d�� � d � ��x � d nimmt nach Hilfssatz �� f uralle n � Z nur nichtnegative Werte an� Wir behaupten nun� da� d�x� so�gar f ur alle x � R nichtnegativ ist� W are dies n amlich nicht so� so h atte

��������

��� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

d�x� zwei einfache reelle Nullstellen �bei einer doppelten Nullstelle w are dieBehauptung trivialerweise richtig��

Sei also z�B� �� � ��� zwischen diesen beiden reellen Zahlen kann keinn � Z liegen� da sonst d�n� � � w are� Also gilt n � �� � �� � n � � f urein n � Z� W urde auf beiden Seiten das Gleichheitszeichen stehen� so w aredn � dn�� � �� dies geht nur� wenn Pn � Pn�� � O ist� und dies wiederumimpliziert �t� �� � Pn���Pn � O� Widerspruch� Also ist mindestens eine derbeiden Ungleichungen scharf und damit � � ��� �� � �� Weil aber ���� ���

gleich der Diskriminante von d ist und diese ganz ist� kann das ebenfallsnicht sein�

Also ist d�x� � � f ur alle x � R� folglich mu� die Diskriminante von dnichtpositiv sein� und wir �nden

� � disc d � �d�� � d � ��� � �d � �Nq � q�� � �q

wegen d � deg tq � q� Dies liefert die Behauptung� wenn wir ber ucksichti�gen� da� wir mit Nq nur die endlichen Punkte gez ahlt haben�

Nachzutragen sind nun noch die Beweise der Hilfss atze und der beidenGleichungen ����� und ������

Wir beginnen mit ������ Dazu stellen wir fest� da� wegen P � �x � y �mit x � tq sicherlich d � q ist� Eine kleine Rechnung zeigt

x�� ��t� � at � b� �t� � at � b��q����� � �!�

�tq � t��� �tq � t��

Mit � � t� � at � b erh alt man f ur den Z ahler daher

f�� � ����q����� � ��� � �tq � t��tq � t��

� �q � ���q����� � �� �t�q � t���tq � t�������

da wir in Charakteristik p rechnen� ist �q � t�q � atq � b �wegen a � Fq istaq � a�� folglich hat der Z ahler von x�� die Form t�q�� � h�t� mit einemPolynom h�t� vom Grad h ochstens �q�

Jetzt geht es darum� etwaige gemeinsame Faktoren von Z ahler und Nennerzu k urzen� Dazu beachten wir� da� sich der Nenner tq � t schreiben l a�t alsProdukt

Q�t� � uber alle � Fq � Jetzt gibt es f ur gemeinsame Teiler t�

zwei M oglichkeiten�i� Der Z ahler ist durch �t� �� teilbar�ii� Der Z ahler ist genau durch t� teilbar�

��������

�� Manins Beweis ���

Im Falle i� zeigt die Darstellung ������ da� t� ein Teiler des Produktes����q��������� sein mu�� weil � � t��at�b aber keine mehrfachen Nullstellenin Fq besitzt �Nichtsingularit at%�� mu� �t� � j ���q����� � �� sein� Im Falleii� dagegen teilt t� notwendig t� �at� b� Sei nun m die Anzahl aller t� in i�� und n die entsprechende Anzahl in ii�� O�enbar ist dann

d�� � deg f�� � �q � �� �m� n� �����

Jetzt z ahlen wir )E�Fq �� dazu nehmen wir an� t � sei ein Teiler vont� � at � b� also � � a � b � �� Dann hat die Gleichung ���� f ur jedesdieser n � � verschiedenen genau eine L osung�

Ist weiter t� ein Teiler von �t��at�b��q�������� d�h� � ��a �b��q����� ���� so ist � � a � b nach dem Eulerschen Kriterium ein Nichtquadrat inFq � f ur diese m Werte von hat die Gleichung ���� aber keine L osung�

Wir haben also q Werte f ur � von denen m gar keine� n genau eine� undq �m� n genau zwei L osungen f ur ���� liefern� Damit ist die Anzahl allerL osungen gleich Nq � ��q �m � n� � n � �q � �m � n� Setzt man dies in����� ein� so erh alt man� wie gew unscht� ������

Hilfssatz �� ergibt sich ganz einfach aus der Grundrelation� f ur n � ��und n � � ist die Aussage trivial� ist sie f ur n� � und n richtig� so folgt

dn�� � �dn � dn�� � �� � n� � �d�� � d � ��n � d !

� �n� ��� � �d�� � d � ���n� �� � d ! � �� �n � ��� � �d�� � d � ���n � �� � d �

Entsprechend zeigt man die Behauptung f ur alle n � ���

Als n achstes beweisen wir Hilfssatz ��� F ur n � � gilt er o�ensichtlich�Ist Pn�� � O� so gilt er f ur n und n � �� Wir nehmen nun an� er sei richtigf ur irgendein n � � mit Pn�� �� O und zeigen per Induktion� da� er dannauch f ur n � � gilt� Sei Pn�� �� O� wir nehmen an� es sei xn�� � � oderdeg fn�� � deg gn�� und konstruieren einen Widerspruch� In beiden F allenist xn��j� endlich� also txn��j� � � �d�h� l a�t man t � � gehen� so gehttxn�� gegen ��� Aus

y�n�� �x�n�� � axn�� � b

t� � at � b

folgt dann� da� yn��j� � � ist� Wegen �xn����yn��� � �xn� yn� � �t� �� � Osind die drei Punkte �xn����yn���� �xn� yn� und �t� �� kollinear� Ein Vergleich

��������

��� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

der Steigungen liefert jetzt

yn�� ��� ynt� xn

�t� xn���� ��

also

� � yn��j� �n �� yn

�� t��xn��� t��xn���� �

o�����

Wegen t��xn��j� � � mu� daher

�� yn�� t��xn

����

� �

sein� Nach der Additionsformel gilt aber

xn�� ���� ynt� xn

���t� � at � b�� t� xn�

soda� wirxn��t

���� ynt� xn

���� � at�� � bt���� �� xn

terhalten� Aus der Induktionsannahme folgt dann aber

� �xn��t

����

�n� �� yn

�� t��xn

���� � at�� � bt���� �� xn

t

o����

� �xnt

������ ��

also der gew unschte Widerspruch� Den Beweis f ur n � � f uhrt man analog�

Damit bleibt noch die Grundrelation zu beweisen� Auch diese ist trivial�wenn Pn��� Pn oder Pn�� � O ist� gilt z�B� Pn � O� so ist xn�� � xn�� � t�sowie dn � � und dn�� � dn�� � �� Ist Pn�� � O� so folgt �xn� yn� � �t� ���und die Additionsformel gibt

xn�� �t� � �at� � bt � a�

��t� � at � b��

Also ist dn�� � �� dn � � und� da �fn��� gn��� � � ist� dn�� � ��Wir nehmen daher an� da� die Punkte Pn��� Pn und Pn�� alle von O

verschieden sind� Die Additionsformel gibt dann Pn�� � Pn � �t����� also

xn�� ���tgn � fn��tgn � fn�� � �� � yn���t� � at � b�g�n

gn�tgn � fn��

��tgn � fn��tfn � agn� � �bg�n � �yn�t� � at � b�g�n

�tgn � fn��

�R

�tgn � fn���

����

��������

�� Manins Beweis ���

wobei wir �y�n � x�n � axn � b verwendet haben� Ebenso erh alt man

xn�� ���tgn � fn��tgn � fn�� � ��� yn���t� � at � b�g�n

gn�tgn � fn��

��tgn � fn��tfn � agn� � �bg�n � �yn�t� � at � b�g�n

�tgn � fn��

�S

�tgn � fn���

�����

Dabei sind R� S � Fq t!� da sich die Nenner von yn wegheben� wegen �y� �x� �ax� b ist �y�ng

�n ganz� und damit ist erst recht �yng

�n ganz� Multipliziert

man die Ausdr ucke f ur xn�� und xn��� so folgt

fn��fn��gn��gn��

�RS

�tgn � fn���

�tfn � agn�� � �bgn�tgn � fn�

�tgn � fn��� �����

Wenn wir zeigen k onnen� da�

gn��gn�� � c � �tgn � fn�� ����

f ur ein c � Fq gilt� dann folgt

fn��fn�� � c �tfn � agn�� � �bgn�tgn � fn�!

und� unter Ber ucksichtigung von Hilfssatz ���

dn�� � dn�� � deg�fn��fn��� � deg�t�f �n� � �dn � ��

also die behauptete Relation�Nun wissen wir aus ������ da� �tgn � fn�� j RS ist� Schreiben wir �tgn �

fn�� � R�S� mit R� j R und S� j S� so folgt

xn�� �R

�tgn � fn���

R�R�

S��

nun ist fn���gn�� � xn��� also gn�� j S�� Ahnlich folgt gn�� j R�� alsogn��gn�� j �tgn � fn��� Es gen ugt daher�

�tgn � fn�� j gn��gn�� �����

zu zeigen�

��������

��� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Nehmen wir an� dies w are falsch� Dann gibt es ein irreduzibles f � Fq t!mit �vf�tgn � fn� � vf�gn��gn���� Aus ����� folgt dann f j T f ur T ��tfn � agn�� � �bgn�tgn � fn�� Wenn wir zeigen k onnen� da� f ein Teilervon R und S ist� dann teilt f die Polynome �� � yn��t� � at � b�g�n und�� � yn��t� � at� b�g�n� Da aber f � gn �sonst w urde es fn und gn teilen� aberdie sind teilerfremd� und f irreduzibel ist� mu� f j �t� � at � b� sein� Teiltman nun T durch tgn � f � so erh alt man

T � ��tgn � fn� tf �n � �t� � �at� �b�gn! � �t� � �at� � bt � a��g�n�

Also mu� f j �t� � �at� � bt � a�� sein� und zusammen mit f j �t� � at� b�und

��t� � at� ��b��t� � at � b�� ��t� � a��t� � �at� � bt � a�� � (

�mit ( � ��a� � ��b�� diese Identit at ist uns schon beim Beweis des Satzesvon Nagell�Lutz uber den Weg gelaufen� impliziert dies� da� f die von �verschiedene Konstante ( teilt� Widerspruch�

Es fehlt also noch der Nachweis� da� f j R und f j S gilt� Wegen f j Tund T j RS ist sicherlich R oder S durch f teilbar� Nehmen wir also an� esw are z�B� f j R und f � S� Dann w urde wegen xn�� � fn���gn�� aus �����folgen� da� vf�gn��� � vf�tgn � fn�� � � ist� Da fn�� und gn�� teilerfremdsind� mu� dann folglich

vf�fn��� � � �����

sein� Mit ����� folgt jetzt � � vf�T � � vf�fn���� vf�gn���� d�h� vf�fn��� �vf�gn���� Da auch fn�� und gn�� teilerfremd sind� folgern wir

vf�gn��� � �� �����

Aus ����� und ����� ergibt sich jetzt aber

vf�gn��gn��� � vf�tgn � fn���

und das ist ein Widerspruch� der den Beweis beendet�

Hasses Beweis

In seiner Arbeit Ma! macht Manin die Bemerkung� da� sein Beweis im Kernmit demjenigen von Hasse ubereinstimmt� Im folgenden wollen wir HassesBeweis skizzieren� ohne alle aufgef uhrten Aussagen zu beweisen�

��������

�� Manins Beweis ���

Unter einem Endomorphismus einer uber einem K orper K de�nierten el�liptischen Kurve E versteht man einen Homomorphismus E � E� der sichals rationale Funktion der Koordinaten �mit Koe�zienten in K� verstehtsich� schreiben l a�t� Standardbeispiel eines Endomorphismus ist die Multi�plikation m! mit einer ganzen Zahl m � Z� Da Summe und Kompositionzweier Endomorphismen wieder ein solcher ist� bilden die Endomorphismeneinen Ring End�E�� und man kann die Multiplikationen m! als einen zu Zisomorphen Unterring von End�E� au�assen�

Uber einem endlichen K orper Fq spielt der Frobeniusendomorphismus � ��x� y� � �xq� yq� eine tragende Rolle� Ist P � E�F � ein Punkt auf E uberdem algebraischen Abschlu� F von Fq � so gilt genau dann E � E�Fq �� wenn��P � � P ist� mit anderen Worten� die Fp �rationalen Punkte auf E�F � sindgenau die Punkte im Kern des Endomorphismus �� ��

Nun ist f ur jeden Endomorphismus � End�E� die Spur Tr �� � eineganze Zahl �im Sinne von Z � End�E��� und f ur separable Endomorphismengilt die Beziehung )E�Fq � � deg�� � �� Insbesondere erh alt man daher)E�Fq � � deg�� � �� � q � � � Tr� Wegen der Standardabsch atzungjTrj � �

pN und N� � �

pq folgt daher die Hasse�Schranke�

Bemerkungen zur Literatur

Eine sch one Darstellung von Dirichlets Beweis �ndet man in dem B uchlein Fr! von G� Frey� Ein Vierseitenbeweis des Primzahlsatzes �vor nicht allzulanger Zeit brauchte man daf ur ein Vielfaches� steht in H� Kochs neuemBuch Ko!� Der Maninsche Beweis ist Chahal Ch�! entnommen und ist eineVereinfachung des Beweises in Ch�! oder Kna!�

Ein Brief von Peter Roquette

��������Lieber Herr Lemmermeyer�

besten Dank f ur die Zusendung Ihres Maninschen Beweises� Bei der Lekt ureIhres Aufschriebs habe ich mich daran erinnern k onnen� da� ich den Manin�schen Beweis seinerzeit studiert habe� es ist schon lange her� Und ich kannmich auch an den Eindruck erinnern� den ich damals nach der Lekt ure derArbeit hatte� n amlich da� dies in der Tat im wesentlichen derselbe Beweiswie bei Hasse ist� nur eben unter Benutzung der expliziten Formel f ur das

��������

��� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Additionstheorem der elliptischen Funktionen� was Hasse wegen Charakte�ristik � und � vollst andig vermeiden wollte �und vermieden hat�� und unterWeglassung der strukturellen Deutung der eingef uhrten Begri�e �was eben�falls nicht im Sinne von Hasse war��

Allerdings hat nat urlich der Maninsche Beweis einen gewissen Wert zumVortrag in einer Vorlesung f ur H orer mit wenigen Vorkenntnissen� das seiihm gerne zugestanden� �Aufgabe� f uhre diesen Beweis f ur Charakteristik �und � durch%�

Lassen Sie mich vielleicht erkl aren� wie ich die Sache sehe� Die Fq �rationalenPunkte von E sind de�nitionsgem a� gekennzeichnet als die Fixpunkte derFrobenius�Isogenie � von E� Das ist der Grund daf ur� da� der HassescheBeweis den Begri�

�Isogenie� benutzt �er sagt�

�Meromorphismus���

Sei X � �x� y� ein allgemeiner Punkt von E � uber einem De�nitionsk orperK� den wir der Einfachheit halber als algebraisch abgeschlossen voraussetzenwollen� was aber nicht notwendig ist�� Es ist also y� � x� � ax � b� Es istK�X� � K�x� y� der Funktionenk orper von E� Jede Isogenie � wird danngegeben durch den Punkt �X � �x�� y��� der rational ist in K�X�� Die

�Norm� von � wird de�niert durch den K orpergrad�

N��� � K�X� � K��X�! �����

In der Regel ist N��� gleich der Anzahl der Punkte im Kern von �� n amlichdann wenn � separabel ist �d�h� wenn K�X� separabel ist uber K��X���Hierbei mu� man aber den unendlich fernen Punkt mitz ahlen� die Kurve Ealso projektiv au�assen� Insbesondere folgt

N�� � �� � Nq � � �����

denn die Fq �rationalen Punkte bilden den Kern von � � �� �Die � auf derlinken Seite bezeichnet die identische Isogenie� die � auf der rechten Seitevon ����� ist nat urliche Zahl� sie z ahlt den unendlich fernen Punkt� wie beiIhnen schreibe ich hier also Nq f ur die Anzahl der Fq �rationalen Punkte imendlichen�

Die obige Formel ����� ist die Formel ����� bei Ihnen� � � � !Der Hassesche Beweis besteht nun darin� die Normenadditionsformel zu

beweisen�

N�� � �� � N��� �� � �N��� � �N���� �����

welche zeigt� da� die Norm eine quadratische� positiv de�nite Form de�niertauf der additiven Gruppe der Isogenien �wozu auch die uneigentliche Isogenie� gez ahlt wird��

��������

�� Manins Beweis ��

Nat urlich gen ugt es im Hinblick auf ������ diejenige Untergruppe zu be�trachten� die aufgespannt wird von der Eins�Isogenie � und der Frobenius�Isogenie � � �q zu Fq � Und weiter gen ugt es� f ur die Folge �n � � � n� dieRegel

N��n��� � N��n��� � �N��n� � � ����

zu zeigen �was ein Spezialfall von ����� ist�� Man sieht den Zusammenhangmit der von Ihnen so genannten

�Grundrelation� ������

Den einzigen neuen Gedanken von Manin sehe ich darin� die Isogenien �von E darzustellen als K�x��rationale Punkte der getwisteten Kurve

E� � �z� � u� � au � b wobei � � x� � ax � b � �����

Zu jeder Isogenie � von E geh ort ein K�x��rationaler Punkt �u� z� von E��n amlich u � x�� z � y��y� und zwar ist dabei v��u� � �� wobei v� dieBewertung der unendlichen Stelle von K�x� ist� also der negative Grad einerrationalen Funktion� Und umgekehrt� jedem K�x��rationalen Punkt �u� z�von E� entspricht auf diese Weise eine Isogenie �� derart da� x� � u und y� �yz� �Der unendlich ferne Punkt von E� geh ort zur uneigentlichen Isogenie� � ���

Dabei entspricht der Addition von Isogenien die Addition von Punktender getwisteten Kurve� Und die Norm einer Isogenie ist

N��� � K�X� � K��X�! � K�x� � K�x��! � K�x� � K�u�! � �����

Schreibt man u � f�g mit teilerfremden Polynomen f� g� so ist v��u� ��Grad�f� � Grad�g� � � und daher

K�x� � K�u�! � Grad�f� � ����

Somit sehen wir� da� die auf Seite � Ihres Manuskripts eingef uhrte Zahl dnnichts anderes ist als die Norm der zugeh origen Isogenie�

Dieser Zusammenhang erlaubt es Manin� dem Leser den Begri� der Iso�genie vorzuenthalten und mit rationalen Punkten der getwisteten Kurve zurechnen� In Wahrheit ist es aber� wie gesagt� der Hassesche Beweis�

��������

��� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

��������

Kapitel �

Geschichte

Griechische Mathematik

Die Frage� warum in der Zeit zwischen Diophant �zwischen �� v�C� und ��n�C� � falls er uberhaupt gelebt hat� und Newton ����������� keine Fort�schritte gemacht wurden� wird von der Geschichte beantwortet� Die gr o�teBibliothek des Altertums befand sich in Alexandria� in einem Geb aude na�mens Brucheion im Hafengebiet der Stadt� Als diese Bibliothek aus allenN ahten platzte� legte man eine zweite Sammlung im Tempel des Serapis an�Bei der Eroberung Alexandrias durch Caesars Truppen im Jahre �� v�C� �eldie Hauptbibliothek im Brucheion� die aus etwa ������� B anden bestand�einem Brand zum Opfer� In den darau�olgenden Jahrhunderten wuchs dieSammlung im Serapistempel wieder an� aber ���� n�C� befahl Kaiser Theodo�sius die Vernichtung aller heidnischen Tempel� und seine christlichen Hordenmachten dabei vor der Bibliothek in Alexandria nicht halt� Von da an gabes keine Universalbibliothek mehr�

Wenig sp ater� im Jahre �� n�C�� lynchte ein anderer Mob� vermutlichvon Bischof Cyrillus angestiftet� die Heidin Hypatia� Tochter des Theon�der am Museum in Alexandria lehrte und sowohl Euklids Elemente wie denAlmagest herausgab� Hypatia� wird berichtet� sei eine h ochst gelehrte Fraugewesen� sie ist die erste uns namentlich bekannte Mathematikerin�

Im Jahre �� lie� Kaiser Justitian� ein christlicher Theologe� die AkademiePlatons in Athen schlie�en� um der Verbreitung von �Irrlehren� entgegen�

��� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

zuwirken� und verbot allen Philosophieunterricht in Athen� Die letzten grie�chischen Philosophen gingen ins Exil an den Hof des Perserk onigs ChosrauAnoscharwan�

Im Jahre ��� wurde Alexandria von den Arabern erobert� und man h ortoft die Geschichte� wonach Omar� Mohammeds zweiter Nachfolger� die letztealexandrinische Bibliothek vernichten lassen hat mit den Worten� �Entwe�der enthalten die B ucher das� was im Koran steht� dann brauchen wir sienicht zu lesen� oder sie enthalten das Gegenteil dessen� was im Koran steht�dann d urfen wir sie nicht lesen�� Allerdings ist die Existenz einer solchenBibliothek recht unwahrscheinlich� da mit der Vernichtung des Brucheionund des Serapistempels wohl nicht mehr viel ubrig war� vielmehr vermutetman� da� diese Geschichte von einem syrischen Christen des ��� Jahrhun�derts namens Abulpharagius erfunden wurde� um die moslemischen Araberin ein schlechtes Licht zu setzen�

Ende des �� Jahrhunderts kamen die griechischen Klassiker wieder zuEhren� Euklids Elemente wurden ��� aufgelegt� Schriften des Archimedesfolgten ���� und das Werk von Appolonius �������� v�C�� uber Kegelschnit�te erschien ����

F ur die Naturwissenschaften hatte die Wiederau"age dieser B ucher Fol�gen� das eben genannte Werk von Appolonius d urfte beispielsweise Kepler���������� sehr geholfen haben� sich uber die damaligen in Stein gemeissel�ten Gesetze von Aristoteles hinwegzusetzen� wonach f ur Planeten allein ausPerfektionsgr unden keine andere Bahn denkbar sei als die Kreisbahn� Koper�nikus ���������� war dieser Schritt noch nicht gelungen� Allerdings hatteauch Kopernikus die Idee eines heliozentrischen Weltbilds von den Grie�chen geborgt� die Kugelgestalt der Erde wurde bereits von Thales von Milet������� v�C�� gelehrt �und stammt vermutlich aus agyptischen und babylo�nischen Quellen�� das Verh altnis des Abstands Erde�Sonne und Erde�Mondwurde von Aristarch von Samos ������� v�C�� gemessen �%�� Erathostenesbestimmte mit seinem bekannten Experiment den Erdumfang zu etwa ������km� und Hipparch ������ v�C�� schlie�lich erkl arte nicht nur die Gezeiten�sondern beobachtete auch die Exzentrizit at der Erdbahn�

Mit der Entdeckung der sechs B ucher Diophants durch Rafael Bombelli��� in der Bibliothek des Vatican beginnt auch der Wiederaufstieg der Ma�thematik im christlichen Abendland� Rafael Bombelli ver o�entlicht ��� inseinem Algebrabuch ��� Aufgaben aus Diophants Arithmetica� und WilhelmHolzmann gab �� unter dem Pseudonym Xylander �� grch� f ur Holzmann� das Vergriechen seines Namens war damals en vogue� der �Neandertal�

��������

Geschichte ���

mensch� ist von einem Herrn Neumann gefunden worden� die sechs B ucherDiophants in lateinischer Ubersetzung heraus� diese wurden von niemandanders als Vi�eta ���������� studiert� der dann aus Diophants algebraischerNotation das �Buchstabenrechnen� machte� ohne das die heutige Algebravollkommen undenkbar w are� Schlie�lich gab Bachet �������� im Jahre���� Diophants B ucher heraus und versah sie mit Kommentaren� in einesdieser B ucher schrieb ein Justizbeamter in Toulouse namens Fermat danndie Worte

Cubum autem in duos cubos� aut quadratoquadratum in duosquadratoquadratos� et generaliter nullam in in�nitum ultra qua�dratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere� cu�jus rei demonstrationem mirabilem sane detexi� Hanc marginisexiguitas non caparet�

Die in Kapitel � auftauchende Kissoide des Diocles h angt mit einem derdrei klassischen Probleme der griechischen Geometrie zusammen� n amlichder W�urfelverdopplung �die beiden andern sind bekannter� die Quadraturdes Kreises und die Dreiteilung des Winkels�� Die dahinterstehende Legendeist folgende�

In einem Brief des griechischen Mathematikers Eratosthenes an den agyp�tischen K onig Ptolem aus Euergetes hei�t es�

Dem K onige Ptolem aus w unscht Eratosthenes Gl uck und Wohl�sein� Von den alten Trag odiendichtern� sagt man� habe einer denMinos� wie er dem Glaukos ein Grabmal errichten lie�� und h orte�da� es auf allen Seiten ��� Fu� haben werde� sagen lassen�

Zu klein entwarfst Du mir die k onigliche Gruft�Verdopple sie� des W urfels doch verfehle nicht�

Man untersuchte aber auch von seiten der Geometer� auf welcheWeise man einen gegebenen K orper� ohne da� er seine Gestaltver anderte� verdoppeln k onnte� und nannte die Aufgabe der Artdes W urfels Verdoppelung� denn einen W urfel zugrunde legendsuchte man diesen zu verdoppeln � � � Nach der Zeit� erz ahlt man�w aren die Delier� weil sie von einer Krankheit befallen waren�einem Orakel zufolge gehei�en worden einen ihrer Alt are zu ver�doppeln und in dieselbe Verlegenheit geraten�

In einer Abhandlung uber Brenngl aser hat Diocles seine �Kissoide� gefun�den� mit dieser Kurve l a�t sich das Problem der W urfelverdopplung leicht

��������

��� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

l osen� man betrachtet n amlich die Gerade durch ��a� �� und ��� a���� dieseschneidet die Kissoide in einem Punkt �x� y�� und man rechnet sofort nach

� Ubung%�� da� � ��a�xy

��gilt� Insbesondere kann man �

p� mit Hilfe von

Zirkel� Lineal und Kissoide konstruieren� Da� es mit Zirkel und Lineal alleinnicht geht� hat man erst viel sp ater zeigen k onnen und wird heutzutage inAlgebravorlesungen am Rande mitbewiesen�

Wer sich n aher f ur die Geschichte der Mathematik interessiert� hat mit dendrei B anden von Moritz Cantor Can! eine ganze Menge Lesesto�� Einige derobigen Bemerkungen �ndet man in dem etwas k urzeren Artikel Hil!� Es seinoch bemerkt� da� ���� vier der dreizehn B ucher des Diophant� von denenbis dahin nur sechs bekannt waren� von Roshdi Rashed in einer arabischen Ubersetzung gefunden wurden�

Die bekannteste Aufgabe in Diophant�s B uchern verlangt� drei rechtwink�lige Dreiecke mit rationalen Seitenl angen und gleicher Fl ache zu �nden� Ele�mentare Algebra zeigt� da� dies zum Au�nden von Zahlen v� n � Q aqui�valent ist� f ur die v � n� v und v � n Quadrate rationaler Zahlen sind� Dienat urlichen Zahlen n� f ur welche es solche v gibt� hei�en kongruente Zahlen�Erst in unserer Zeit hat man festgestellt� da� ein n � N genau dann kongru�ent ist� wenn die elliptische Kurve En � y� � x� � n�x Rang � � hat� Da dieKurve E� nichts anderes als die Fermatkurve X� � Y � � Z� ist� kann manFLT f ur n � � auch so aussprechen� die Zahl � ist nicht kongruent�

Die Lemniskate� das AGM� und �

Wir schreiben das Jahr ����� Jacob Bernoulli besch aftigt sich mit der Kur�vengleichung eines gebogenen elastischen Stabs und kommt auf die Funktion

y�x� �

Z x

z� dzp�� z�

� � � x � ��

Die Bogenl ange vom Ursprung ��� �� zu �x� y� berechnet er zuZ x

dzp�� z�

und folglich hat der Stab die Gesamtl ange ��� �

R �

dzp��z� � Drei Jahre sp ater

entdeckt er eine Kurve� deren Bogenl ange durch dieselbe Funktion gegebenist wie die der elastischen Kurve� die Lemniskate� Seine Ergebnisse erschei�nen in der Septemberausgabe der Acta Eruditorum� Im Oktoberheft �ndetsich dagegen eine Arbeit seines j ungeren Bruders Johann� der im Zusam�menhang mit der Di�erentialgleichung �x dx � y dy�

py � x dy � y dx auf

��������

Geschichte ���

die Lemniskate und die elastische Kurve gekommen ist� Der darauf folgen�de Priorit atsstreit hat dann zum endg ultigen Zerw urfnis der beiden ohnehinstreitlustigen Br uder gef uhrt�

Der n achste Mathematiker� der sich erfolgreich mit der Lemniskate befa��te� war C�G� Fagnano� er zeigte� wie man den Lemniskatenbogen mit Zirkelund Lineal in �m� � � �m oder � �m gleiche Teile teilen kann� Als im Jahre��� seine gesammelten Werke erscheinen� schickt er ein Exemplar an dieBerliner Akademie� Diese gab sie am ��� ��� ��� Euler mit der Bitte um einGutachten� Euler war von Fagnano�s Ergebnissen f ormlich elektrisiert undfand schon kurze Zeit sp ater das allgemeine Additionstheorem f ur lemnis�katische Integrale� Zur Geschichte der Lemniskate im Zusammenhang mitelliptischen Integralen ist Ayoubs Arbeit Ay! empfehlenswert� ebenfalls le�senswert ist Siegels Darstellung Sie! der Beitr age Fagnanos und Eulers zumAdditionsgesetz der lemniskatischen elliptischen Funktionen�

Ein weiteres sch ones Resultat Eulers� das allerdings erst nach seinem Todepubliziert wurde� ist die BeziehungZ �

dzp�� z�

�Z �

z� dzp�� z�

��

��

Eine numerische Berechnung von � und � durch Stirling zeigteZ �

z� dzp�� z�

��

�� ������ ����� � � �

Die Theorie der elliptischen Integrale wird in der Folgezeit von Lagrange undLegendre ausgebaut� denen aber wie Euler entgeht� da� die Einf uhrung derUmkehrfunktionen dieser Integrale alles vereinfachen w urde�

Kaum hatte Legendre ein dreib andiges Buch uber die Theorie elliptischerIntegrale ver o�entlicht� fand Abel den Zugang via der Umkehrfunktionen�und zusammen mit Jacobi stellte er in den darau�olgenden Jahren die gan�ze Theorie auf den Kopf und erweiterte sie betr achtlich� Abel legte auchden Grundstein f ur die Theorie der komplexen Multiplikation� diese Theoriewurde nach seinem Tod von Eisenstein� Kronecker und Weber ausgebautund durch Takagis Klassenk orpertheorie in gewisser Weise vollendet � ande�rerseits zeigen die Namen Fueter� Hasse� Deuring� Eichler und Shimura� da�dieses Gebiet auch danach noch au�erst fruchtbar war�

Viele� wenn nicht die meisten der Abelschen Ergebnisse hat bereits Gau�gefunden� jedoch nicht publiziert� Schon in seiner Jugend �d�h� ab etwa ���hat er sich mit dem arithmetisch�geometrischen Mittel �AGM� besch aftigt�

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Dieses ist wie folgt de�niert� man setzt a � a� b � b� wo a� b nichtne�gative reelle Zahlen sind� und de�niert dann rekursiv an�� � �

��an � bn��

bn�� �panbn� Es ist eine elementare Ubungsaufgabe zu zeigen� da� beide

Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren� und man setzt M�a� b� ��liman � lim bn� Am ��� Mai ���� beschlie�t Gau�� das AGM von

p� und �

zu berechnen� und er �ndet

M�p

�� �� � ������ ����� � � � ��

������

im Rahmen der Rechengenauigkeit von �� Dezimalstellen� Sofort vermuteter� da� hinter dieser numerischen Gleichheit tiefe Wahrheiten verborgen sind�und kein halbes Jahr sp ater kann er folgende Gleichung beweisen�

M�a� b� �Z ���

dpa� cos� � b� sin�

��

��

Die Substitution z � cos zeigt au�erdemZ �

dzp�� z�

Z ���

dp� cos� � sin�

woraus ����� sofort folgt� Publiziert hat er dieses Ergebnis aber erst ���als er einen Zusammenhang mit St orungsrechnungen in der Astronomie ge�funden hat �siehe NS!� erstaunlicherweise �ndet man in diesem Buch auchprojektive Geometrie �im Zusammenhang mit Kegelschnitten� und Weier�stra�sche ��Funktionen��

Eine kleine Rechnung mit pari liefert ubrigens

� � ����������������������� � � � �� � ���������������������� � � � ���

� �������������������������� � � � �

M�p

�� �� � �������������������������� � � � �

wobei noch zu bemerken ist� da� die Funktion M� � � � � auch in pari installiertist�

Im Laufe der weiteren Untersuchungen hat Gau� festegestellt� da� sichnicht nur ���� sondern sogar � allein mit Hilfe des AGM ausdr ucken l a�t�und zwar so� f uhrt man die Gr o�en ck�� � �

��ak � bk� ein� so gilt

� ��M��� �p

��

���P�

j�� �jc�j� �����

��������

Geschichte ��

Diese Formel liefert sofort den folgenden Algorithmus zur Berechung von�� man setzt a � �� b � ��

p� und s � �

�� Dann berechnet man rekur�

siv ak�� � ���ak � bk�� bk�� �

pakbk� c

�k�� � �ak�� � bk���

� und sk�� �

sk � �k��c�k��� und erh alt als �k � ���te N aherung �k � �ak�bk��

�sk� Mit jedem

Schritt dieses Algorithmus verdoppelt sich in etwa die Anzahl der richtigenDezimalstellen�

Dieser Algorithmus wurde ���� unabh angig von E� Salamin und R� Brententdeckt� und erst daraufhin hat man die entsprechenden Formeln in denArbeiten von Gau� gefunden�

Geometrische Interpretation

Da� die von Diophant benutzte �Sekantenmethode� eine geometrische In�terpretation besitzt� hat wohl als erster Newton bemerkt� wenn auch nichtpubliziert� W ahrend Euler wie Newton sieht� da� Kegelschnitte mit einemrationalen Punkt deren unendlich viele haben� und da� diese sich parame�trisieren lassen� entgeht im wohl der geometrische Hintergrund� Die Tangen�tenmethode stammt allem Anschein nach von Lagrange ������� allerdingsverzichtet er darauf� diese Methode geometrisch zu interpretieren� Sylvester��� hat als erster die Frage gestellt� ob es Punkte gibt� aus denen man allerationalen Punkte mit der Sekanten�Tangenten�Methode erhalten kann� ahn�liche Fragen wurden danach von Lucas ���� und Desboves ����� behan�delt� Obwohl sich Sylvester ����� noch einmal ausgiebig mit der Sekanten�Tangenten�Methode auf kubischen Kurven auseinandersetzt� dringt er nichtbis zur Gruppenstruktur elliptischer Kurven durch� Es ist sogar fraglich�ob er das Konzept einer abstrakten Gruppe besessen hat� das damals erstim Entstehen begri�en war� Auch anderen Mathematikern wie Beppo Levioder Hurwitz� die sich mit der Bestimmung von �Ausnahmepunkten� �Torsi�onspunkte im heutigen Sprachgebrauch� besch aftigten� bleibt die Gruppen�struktur ebenso verborgen wie Poincar�e oder Mordell� Letzterer hat ����die endliche Erzeugtheit von E�Q � bewiesen� ohne die Gruppenstruktur zukennen% Die erste Formulierung des Gruppengesetzes auf elliptischen Kurvenin der uns gel au�gen Form �ndet sich in einer Arbeit von Juel Ju! aus demJahre ���� Aber erst nachdem Weil und Nagell das Gruppengesetz im Jahre��� publiziert hatten� scheint es allgemein bekannt gewesen zu sein� da� dierationalen Punkte auf elliptischen Kurven eine abelsche Gruppe bilden�

Der Satz von Mordell�Weil markiert im ubrigen einen wichtigen Wende�punkt in der Geschichte diophantischer Gleichungen� waren die Ergebnissedavor lediglich eine Sammlung von Resultaten� die sich auf ganz speziel�

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

le Kurven bezogen �Fermatgleichungen zum Beispiel�� so ist der Satz vonMordell�Weil ein strukturelles Ergebnis� welches nicht nur f ur alle elliptischenKurven uber Q � sondern allgemeiner f ur abelsche Variet aten uber beliebigenalgebraischen Zahlk orpern gilt�

Analytische Interpretation

Bereits Euler hat sich gefragt� wie man auf Kurven der Form y� � f�x�mit Polynomen f � Z x! vom Grad � rationale Punkte �nden kann� Jacobihat ��� darauf hingewiesen� da� Euler seine Additionstheoreme f ur ellipti�sche Integrale der Form

Rdxpf�x�

benutzen h atte k onnen� um aus gegebenen

rationalen Punkte neue zu �nden� und er fand es erstaunlich� da� Eulerdies nicht gesehen hat� Scriba und Weil haben in den �er Jahren daraufhingewiesen� da� o�enbar kein einziger Mathematiker diese Bemerkung Ja�cobis zur Kenntnis genommen hat � beide haben allerdings eine Arbeit vonKummer uber rationale Vierecke ubersehen� in der genau diese Idee Jacobisbenutzt wird�

��������

Anhang Kapitel A

Resultanten

Sei R ein kommutativer Ring mit �� und seien f � amXm � � � � � a�X � a

und g � bnXn � � � � � b Polynome aus R X! mit ambn �� �� Dann de�niert

man die Resultante von f und g durch

Res �f� g� �� det

�BBBBBBBBBBBBBBB�

a a� a� � � � ama a� a� � � � am

a a� a� � � � am� � � � � � � � � � � � � � �

a a� a� � � � amb b� b� � � � bn

b b� b� � � � bnb b� b� � � � bn

� � � � � � � � � � � � � � �

b b� b� � � � bn

�CCCCCCCCCCCCCCCA

��� n

��� m

�A���

Die Zeilen sind jeweils mit Nullen aufgef ullt�Im folgenden sei R immer ein Ring mit eindeutiger Primfaktorzerlegung

�wir brauchen das Ergebnis ohnehin nur f ur R � Z�� Dann gilt�

Satz A � Seien f� g � R X! Polynome vom Grad m � deg f und n �deg g� dann sind die folgenden Aussagen �aquivalent�

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

i f und g haben einen gemeinsamen Teiler vom Grad � ��

ii es gibt a� b � R X! mit deg a � n und deg b � m�

iii es ist Res �f� g� � ��

Beweis� i� �� ii� Ist u � R X! ein Polynom vom Grad � � mit u j f und

u j g� so setze man f � bu und g � �au�

ii� �� i� Zerlege f und bg in Primpolynome� falls i� falsch ist� mu� f j bsein� was aus Gradgr unden aber nicht geht�

ii� �� iii� Sei K der Quotientenk orper von R� F ur Polynome a� b � K X!mit

a � � �X � � � � � n��Xn���

b � � � ��X � � � � � �m��Xm�� �A���

gilt dann

� � � � � n�� � � � � �m���R � �c c� � � � cm�n��� �A���

f ur gewisse cj � K� wobei R die Matrix bezeichnet� deren Determinante aufder rechten Seite von �A��� steht� Dabei gilt

cm�n�� � n��am � �m��bncm�n�� � n��am�� � n��am � �m��bn�� � �m��bn

� � �

Falls also a� b existieren derart� da� c �Pm�n��

i� ciXi � � wird� so ist kerR ��

� und folglich Res �f� g� � detR � �� Ist umgekehrt Res �f� g� � �� so istkerR �� � und es gibt a� b � K X!� nicht beide � �� soda� c � � wird�Durchmultiplizieren mit dem Hauptnenner der Koe�zienten gibt dann a� b �R X!�

Sei schlie�lich Res �f� g� �� �� Nach der Cramerschen Regel ist dann R�� �Res �f� g���S f ur eine Matrix S mit Eintr agen aus R X! �n amlich gewisseUnterdeterminanten von R�� Aus �A��� folgt dann

�Res �f� g� � � � � ��R�� � � � � � n�� � � � � �m����

und �A��� de�niert die gew unschten Polynome�

Ist f � amXm � � � � � a � so hei�t f � � mamX

m�� � � � � � a� die for�male Ableitung von f � Die Diskriminante disc f von f ist dann de�niert

��������

Resultanten ��

als disc f � ����n�n����� Res �f� f ��� Satz A�� sagt aus� da� genau danndisc f � � ist� wenn f und f � einen gemeinsamen Teiler vom Grad � �besitzen� also genau dann� wenn f eine mehrfache Nullstelle hat�

F ur Polynome kleinen Grades kann man die Diskriminante explizit hin�schreiben�

n f disc f

� x � b �� x� � bx � c �b� � �c�� x� � bx� � cx � d ����d� � �bcd � �c� � �b�d� b�c��

��������

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

��������

Anhang Kapitel B

Exakte Sequenzen

Ein Diagramm

Af��� B

g��� C

von abelschen Gruppen A� B� C und Gruppenhomomorphismen f � A � Bund g � B � C hei�t exakt an der Stelle B� wenn im f � ker g gilt� Einel angere Sequenz abelscher Gruppen hei�t exakt� wenn sie an jeder Stelle� dienicht am Rand liegt� exakt ist�

Beispiele� die Sequenzen

� ��� Af��� B�

Bg��� C ��� ��

� ��� Ah��� A ��� �

sind genau dann exakt� wenn f injektiv� g surjektiv� bzw� h ein Isomorphis�mus ist� Insbesondere ist

� ��� Af��� B

g��� C ��� �

eine exakte Sequenz genau dann� wenn f injektiv� im f � ker g� und g sur�jektiv ist� Exakte Sequenzen dieser Form nennt man auch kurze exakte Se�quenzen� Ist N eine Untergruppe von M � dann ist

� ��� N���� M

���� M�N ��� �

�� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

eine kurze exakte Sequenz� Hierbei ist � � N � M die Einbettung von Nin M und � � M �M�N die kanonische Projektion m �� m � N �

Beispiele�

� die Projektion � � a � �Z �� a � �Z induziert eine exakte Sequenz

� ��� Z��Z ��� Z��Z ��� Z��Z ��� ��

� bezeichnet � � Z��Z Z��Z � Z��Z die Projektion auf die ersteKoordinate� so ist

� ��� Z��Z���� Z��Z Z��Z

���� Z��Z ��� �

eine exakte Sequenz� falls die Injektion � durch ��a� �Z� � ��� a� �Z�gegeben ist�

Proposition B � Ist � ��� A� ��� � � � ��� An ��� � eine ex�akte Sequenz endlicher Gruppen� so gilt )A� )A� � � � � )A� )A� � � � � mansagt auch� das alternierende Produkt der Ordnungen sei gleich ��

Beweis� Die Aussage ist klar f ur n � �� ist sie f ur ein n � N bewiesen undist

� ��� A� ��� A� ��� � � � ��� An ��� An�� ��� �

eine exakte Sequenz endlicher Gruppen� so gilt dies auch f ur

� ��� A��A� ��� A� ��� � � � ��� An�� ��� �

F ur die letzte Sequenz gilt nach Induktionsvoraussetzung )A��A�)A� � � � �)A�)A� � � � � und die Behauptung ist f ur n � � bewiesen�

Proposition B � Sandwich�Lemma Ist A ��� B ��� C exakt�und sind A und C endlich� dann auch B�

Beweis� Seien � A � B und � � B � C die Homomorphismen derexakten Sequenz� dann sind

� ��� ker ��� A ��� im ��� �

� ��� ker � ��� B ��� im � ��� �

ebenfalls exakt� Nun sind im als Quotient von A und im � als Untergruppevon C endlich� somit wegen im � ker � auch )B � ) ker � �) im ��

��������

Exakte Sequenzen ��

Die wichtigste Aussage uber exakte Sequenzen auf diesem elementaren Ni�veau ist das Schlangenlemma� Zu dessen Formulierung und Beweis brauchenwir einige Aussagen uber �induzierte� Abbildungen�

Lemma B � Sei ein kommutatives Quadrat

A ���

B��yf ��ygA� ���

�B�

von R�Moduln und R�Homomorphismen gegeben� Dann induzieren und �

R�Homomorphismen � ker f � ker g und � � coker f � coker g�

Beweis� Wir de�nieren � ker f � ker g� indem wir a � ker f auf �a�abbilden� zu zeigen ist� da� �a� � ker g ist� Wegen g � �a� � � � f�a� � ���� � � ist das aber eine Folge aus der Kommutativit at des Diagramms�

Entsprechend setzen wir ��a� � f�A�� � ��a�� � g�B�� Zu zeigen ist� da� � � f�A� � g�B� ist� dies ist aber wegen � � f�A� � g � �A� � g�B� wiederklar�

Da� die induzierten Abbildung und � wieder R�Homomorphismen sind�ist klar� da sie im wesentlichen Einschr ankungen von R�Homomorphismensind�

Satz B �Das Schlangenlemma Sei ein kommutatives Diagramm

A ���

B ���

C��yf ��yg ��yhA� ���

�B� ���

�C �

mit exakten Reihen gegeben�

a Die R�Homomorphismen � A � B etc� induzieren R�Homomor�phismen � ker f � ker g usw� derart� da� ker f � ker g � ker hund coker f � coker g � coker h ��Sequenzen von R�Moduln sind�

b Ist � injektiv� so ist � � ker � ker f � ker g � ker h exakt�

c Ist � surjektiv� so ist coker f � coker g � coker h � coker � � �� exakt�

��������

��� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

d Sind b und c erf�ullt� so existiert ein R�Homomorphismus � � ker h �coker f derart� da� die Sequenz

� ��� ker ��� ker f ��� ker g ��� ker h

��y� ���� coker � � ���� coker h ���� coker g ���� coker f

exakt wird�

Der R�Homomorphismus � aus Prop� B�� wird Verbindungshomomorphis�mus genannt�

Beweis� Die Existenz der induzierten R�Homomorphismen � � etc� folgtaus Lemma B���

Damit ist f ur a� nur noch zu zeigen� da� ker f � ker g � ker h eine��Sequenz ist� Sei dazu b � im � also b � f�a� f ur ein a � ker f � Wegen��b� � �� �a�� � � �dies folgt aus der urspr unglichen exakten SequenzA � B � C� ist aber in der Tat im � ker �� Der Beweis� da� auchcoker f � coker g � coker h eine ��Sequenz ist� l auft genauso�

Um auch ker � � im zu zeigen� d urfen �und m ussen� wir voraussetzen�da� � � A� � B� injektiv ist� Sei n amlich b � ker g und ��b� � �� wegender Exaktheit der urspr unglichen Sequenz existiert ein a � A mit b � �a��Wir m ussen zeigen� da� sogar a � ker f gilt� Dazu stellen wir fest� da� ��f�a�� � g� �a�� � g�b� � � ist wegen b � ker g� Die Injektivit at von �

zeigt dann� da� schon f�a� � � sein mu�� d�h� es gilt tats achlich a � ker f �Als N achstes bestimmen wir den Kern von � ker f � ker g� O�enbar

ist ker � fa � ker f � �a� � �g � ker f � ker � wegen ker � ker f�denn �a� � � impliziert � � f�a� � g � �a� � �� da � injektiv ist� mu�sogar f�a� � �� also a � ker f sein� folgt aber ker � ker � Damit ist b�vollst andig bewiesen�

Das Nachrechnen der Exaktheit von coker f � coker g � coker hwird wieder dem unge ubten Leser uberlassen� Damit bleibt uns noch� �coker h � coker � � zu konstruieren und die Surjektivit at nachzuweisen�Die Konstruktion ist klar� wir setzen �c��im h� � c��im � �� Wegen im h �im h � � � im � � � g ist im h � im � �� die Abbildung also wohlde�niert� Dasie o�ensichtlich surjektiv ist� haben wir c� bewiesen�

Damit sind wir beim Beweis von d� angelangt� wir beginnen mit der De��nition des Verbindungshomomorphismus � � ker h � coker f � Wir sind in

��������

Exakte Sequenzen ���

folgender Situation�

ker g ��� ker h��y ��yA

��� B��� C ��� ���yf ��yg ��yh

� ��� A����� B� ���� C ���y ��y

coker f ��� coker g

Zu konstruieren ist ein R�Homomorphismus � � ker h � coker f � sei alsoc � ker h� Die Injektion ker h � C bekommen wir geschenkt� Auf demWeg nach coker f d urfen wir jetzt aber nicht uber C � laufen� denn wenn wirunser c mit h nach C � abbilden� bekommen wir die �� Die einzige M oglichkeitweiterzukommen ist daher� mittels � von C nach B zu gehen� Dies ist in derTat m oglich� da � � B � C nach Voraussetzung surjektiv ist� existiert einb � B mit ��b� � c�

Wir d urfen jetzt aber nicht erwarten� mit nach A zu kommen� wegen derExaktheit der Sequenz ginge das nur� falls c � � w are� Also m ussen wir mitg nach B� gehen� d�h� wir bilden g�b�� Um jetzt mit � nach A� zu kommen�m ussen wir zeigen� da� g�b� im Bild von � liegt� Dies ist gleichbedeutenddamit� da� � ��g�b�� � � ist� Aber jetzt gilt � ��g�b�� � h���b�� � h�c� ��� also ist in der Tat g�b� � im �� d�h� g�b� � ��a�� f ur ein a� � A��Damit haben wir einen Kandidaten f ur ��c� gefunden� wir w urden gerne��c� � a� � im f � coker f setzen� Dazu ist zu zeigen� da� die Abbildungc �� a� � im f nicht von der Auswahl von b abh angt� Nehmen wir also an�es w are ��b�� � c� wegen ��b� � b� � � liegt b� � b in ker � � im � d�h� esist b� � b � �a� f ur ein a � A� Damit ist g�b � �a�� � g�b� � g � �a� � ��a�� � � � f�a� � ��a� � f�a��� d�h� a� und a� � f�a� liegen in derselbenRestklasse modulo im f � und die Abbildung c �� a� � im f ist in der Tatwohlde�niert� Damit ist alles gezeigt�

Korollar B � Sei eine Sequenz

A��� B

��� C

��������

��� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

gegeben� dann existiert eine exakte Sequenz

� ��� ker ��� ker�� � � ��� ker ���y� ���� coker � ���� coker �� � � ���� coker

Beweis� Wende das Schlangenlemma auf das folgende kommutative und ex�akte Diagramm an�

A��� B ��� coker ��� ���y ��y ��y

� ��� Cid��� C ��� �

��������

Anhang Kapitel C

Endliche K�orper

Die einfachsten endlichen K orper sind sicherlich die Restklassenk orper Fp �Z�pZ f ur prime p� Die Ringe Z�p�Z sind dagegen keine K orper� bezeichneta die Restklasse von a mod p�� so ist ja p � p � �� d�h� p ist Nullteiler undinsbesondere nicht invertierbar �nat urlich ist p �� � auch nicht das Nullele�ment��

Man mu� sich also etwas mehr anstrengen� um endliche K orper mit p�

Elementen zu funden� Sei dazu p eine ungerade Primzahl und a ein quadra�tischer Nichtrest modulo p� Dann behaupten wir� da�

F � Fp�pa � �� fx � y

pa � x� y � Fpg

ein endlicher K orper mit p Elementen ist� Addition und Subtraktion sindklar� Nullelement ist � � � � �

pa� weiter ist �x� � y�

pa ��x� � y�

pa � �

x�x� � ay�y� � �x�y� � x�y��pa� Schlie�lich hat x� y

pa �� � ein Inverses� es

ist n amlich�

x � ypa

�x

x� � ay�� y

x� � ay�pa�

und dabei kann nie x� � ay� � � sein� weil wegen y �� � sonst �xy���� � aw are im Widerspruch zu �a�p� � ��� Da F o�enbar p� Elemente besitzt�haben wir f ur alle ungeraden p einen endlichen K orper mit p� Elementengefunden�

F ur p � � scheint dieses Verfahren nicht zu funktionieren� weil F� nurQuadrate enth alt� Eine kleine Modi�kation f uhrt aber auch hier zum Erfolg�

��� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Dazu schauen wir uns noch einmal an� was wir oben gemacht haben� zumendlichen K orper mit p Elementen haben wir eine Nullstelle des Polynomsx� � a adjungiert� etwas algebraischer ausgedr uckt ist unser obiges F nichtsanderes als Fp x!��x� � a�� wobei

pa mit x mod �x� � a� identi�ziert wird

�man sehe� das Quadrat von x mod �x� � a�!� � x� mod �x� � a� � a mod�x��a� wie gew unscht�� Derselbe Trick funktioniert uber F� � wenn man stattPolynomen x��a das Polynom x� �x�� w ahlt� Mit � x mod �x� �x���ist dann � � x� mod �x� � x� ��! � x� � mod �x� � x� ��! � � � � undwir haben F� � f�� �� � � � g�

Das einzige Problem bei dieser Konstruktion ist das Finden eines irredu�ziblen Polynoms �mit reduziblen Polynomen geht alles schief� ist f � ghund setzt man � g�x� mod f�x� und � � h�x� mod f�x�� so ist � �f�x� mod f�x� � �� d�h� und � sind Nullteiler�� Mit demselben Trick kannman daher K orper mit pn Elementen konstruieren� sobald es gelingt� ein uber Fp irreduzibles Polynom f vom Grad n zu �nden� Da� das aber immerm oglich ist� kann man �im wesentlichen durch Abz ahlen� beweisen� ist z�B�n � �� so gibt es p� quadratische Polynome x� �ax� b� die reduziblen habendie Form �x � r��x � s� mit r� s � Fp � und davon gibt es �

�p�p � �� viele�

Also existieren genau p� � ��p�p � �� �

�p�

� uber Fp irreduzible quadratische

Polynome� insbesondere gibt es mindestens eines�Wir zeigen nun zuerst den �kleinen Fermat��

Proposition C � F�ur x � Fq ist xq � x�

Beweis� Das ist einfach einzusehen� f ur x � � ist es ohnehin klar� f ur x �� �ist x Element der multiplikativen Gruppe F�q � diese hat Ordnung q � ��folglich ist xq�� � �� und Multiplikation mit x liefert die Behauptung�

Eine wichtige Eigenschaft endlicher K orper ist die folgende� sei Fq K orpermit q � pn� so ist die Abbildung � Fq � Fq � x �� xp ein Ringhomo�morphismus� d�h� es gilt �x � y� � �x � y� und �xy� � �x��y�� Dieletzte Eigenschaft ist klar� die erste beruht auf der Tatsache� da� die Bino�mialkoe�zienten

�pa

�f ur � � a � p � � durch p teilbar sind� Damit folgt

n amlich

�x � y� � �x � y�p � xp �

�p

�xp��y � � � � �

�p

p� �

�xyp�� � yp

� xp � yp � �x� � �y��

Der Homomorphismus ist injektiv� aus � � �x� � xp folgt n amlich� daFq ein K orper ist und somit keine Nullteiler besitzt� da� x � � ist� Nun sind

��������

Endliche K�orper ���

injektive Abbildungen zwischen endlichen Mengen automatisch surjektiv�folglich ist ein Isomorphismus% Insbesondere ist in Fq jedes Element einep�te Potenz�

Dieser Isomorphismus ist das wesentliche Hilfsmittel zum Studium endli�cher K orper� Beispielsweise gilt

Proposition C � Ein x � Fq liegt genau dann in Fp � wenn �x� � x gilt�

In der Tat� falls x � Fp ist� so gilt sicher xp � x nach dem kleinen Satzvon Fermat� Damit hat das Polynom f�x� � xp � x schon mindestens pverschiedene Nullstellen in Fq � n amlich alle Elemente von Fp � Da Fq einK orper ist �in einem K orper hat jedes Polynom h ochstens so viele Nullstellenwie der Grad angibt�� kann es keine weiteren geben� d�h� aus x � xp undx � Fq folgt automatisch x � Fp�

Diese Eigenschaft kann man ausn utzen� um zwei wichtige AbbildungenFq � Fp zu de�nieren� n amlich die Spur und die Norm� Ist q � pf � sosetzen wir

Tr �x� �� x � xp � xp�

� � � � � xpf��

und behaupten� da� Tr jedes Element aus Fq nach Fp abbildet� Dazu brau�chen wir nach Proposition C�� nur zu zeigen� da� Tr �x�p � Tr �x� ist� Dasist aber ganz einfach� wegen xp

f

� xq � x ist n amlich

Tr �x�p � �x � xp � xp�

� � � � � xpf��

�p

� xp � xp�

� � � � � xpf

� Tr �x�

Die Eigenschaft Tr �x�y� � Tr �x��Tr �y� ist inzwischen wohl o�ensichtlich�Entsprechend de�niert man die Norm durch

N�x� �� x � xp � xp� � � � � � xpf��

Aus demselben Grund wie oben ist N�x� � Fp f ur x � Fq � und hier istN�xy� � N�x�N�y��

Satz C � Die Normabbildung N � F�q � F�p ist surjektiv�

Beweis� Nach De�nition der Norm ist

N�x� � xm mit m � � � p � p� � � � � � pf���

Damit ist m � �pf � ����p� ��� und der Kern der Normabbildung bestehtaus allen L osungen der Gleichung xm � �� Da Fq ein K orper ist� hat xm � �maximal m L osungen� Nach dem Isomorphiesatz im N � F�q � ker N hat danndas Bild mindestens Ordnung �q � ���m � p � �� da das Bild in F�p liegt�mu� Gleichheit gelten� und wir sind fertig�

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��� ELLIPTISCHE KURVEN Franz Lemmermeyer

Ganz entsprechend ist auch die Spur Fq � Fp immer surjektiv� ZumAbschlu� noch ein Resultat� das im Falle eines endlichen K orpers mit pElementen auf die Existenz einer Primitivwurzel hinausl auft�

Satz C Die multiplikative Gruppe F�q eines endlichen K�orpers ist zy�klisch�

Beweis� Wir zeigen die beiden folgenden Aussagen�

� F ur alle n � N gibt es h ochstens n Elemente x � F�q mit xn � ��

� Ist G eine endliche Gruppe� und gibt es f ur jedes n � N h ochstens nElemente g � G mit gn � �� so ist G zyklisch�

Daraus folgt o�enbar der Satz�Der Beweis der ersten Behauptung ist einfach� jedes x � F�q mit xn � �

ist Nullstelle des Polynoms Xn��� In einem K orper hat aber jedes Polynomh ochstens so viele Nullstellen� wie sein Grad angibt� Bem�� In Ringen wirddas i�a� falsch� z�B� hat das Polynom X� � � in dem Quaternionenring uberR mindestens die Nullstellen i� j und k��

Der Beweis der zweiten Behauptung besteht in einem Vergleich von Gund Z � Z�NZ� wo N � )G die Ordnung der Gruppe G ist� Zu jedemElement g � G betrachten wir die von g erzeugte Untergruppe H � hgi�bezeichnet d deren Ordnung� so ist d ein Teiler der Gruppenordnung N � Istz ein erzeugendes Element von Z� so ist Wd � hzN�di eine Untergruppe derOrdnung d von Z�

Nun gilt hd � � f ur alle h � H� da H genau d Elemente hat und esh ochstens d Elemente g � G mit gd � � gibt� enth alt H alle Elemente derOrdnung d von G� Wegen H � Wd gilt also

)fElemente der Ordnung d in Gg � )fElemente der Ordnung d in Wdg� )fElemente der Ordnung d in Zg

f ur jedes d � N � Nun ist G die disjunkte Vereinigung aller Mengen

fElemente der Ordnung d in Gg

uber alle d � N � w are auch nur eine der obigen Ungleichungen streng� w urdeG weniger Elemente haben als Z� Widerspruch� Also enthalten G und Zjeweils gleich viel Elemente der Ordnung d f ur jedes d j N � insbesondere gibtes in G ein Element der Ordnung N � also ist G zyklisch�

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Index

Additionsgesetz� ��� ��� ��� ����Funktion� �

Birch * Swinnerton�Dyer� ���

dehomogenisieren� ��Diskriminante� ��

elliptische Funktion� �� �Elliptische Kurve� �Endomorphismenring� ��

Fortsetzbarkeit� ���

Hasse�Schranke� ���Hensels Lemma� ��Hilbertsymbol� ��homogenisieren� ��

Isogenie� �� ��

j�Invariante� ��

Kongruenzzetafunktion� ���

Lemniskate� �Lutz� E�� ��

Mazur� �� �Mordell�Weil� �

Nagell�Lutz� ��Normalform

Weierstra�� �

��FunktionWeierstra�� �

parametrisieren� �Projektive Ebene� �

Rang� ��Raum

a�n� ��projektiv� �

Reduktion� �additive� �� �gute� �multiplikative� �semistabile� �

Index ��

Riemannsche ��Funktion� ��

Sekanten�Methode� �Sekanten�Tangenten�Methode� �Selmergruppe� �singul ar� �� ��� �singul are Weierstra�kurve� ��

Tamagawa�Zahlen� �� ���Tangenten�Methode� �Tate�Shafarevic�Gruppe� �� ���Torsionsgruppe� �

Verdoppelungsformel� �

Weierstra�formkurze� ��lange� �� ��� ��

Weil�Homomorphismus�

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