Werkstoffmodellierung - Mikromechanik · 2018. 4. 17. · lokal, global, variabler...

||IfB, ETHZRechnergestützte Physik der Werkstoffe

Werkstoffmodellierung - Mikromechanik –Dr. F. Wittel

Rechnergestützte Physik der Werkstoffe @ IFB


• Definieren was ein Stoffgesetz ist, wozu man sie braucht und einige Bedingungen kennen.

• Verstehen was Längenskalen in Materialien sind und einige typische Beispiele benennen.

• Erklären wie Simulationen auf der atomistischen Skala funktionieren (Grundannahmen)

• Möglichkeiten und Grenzen der Molekulardynamik erkennen

1. Grundlagen von Stoffgesetzen

2. Grössenskalen in Werkstoffen

3. Modellierung und Simulation

4. Simulationen auf atomistischer Skala


1. Homogenisierungsmethoden für Baustoffe

2. Einschub FEM/BEM

3. Materialien mit einer relevanten Skala

-Mikroskala

-Meso-/Makroskala

4. Multiskalenansätze

• Erkennen wie wichtig Unordnung ist und Ansätze zur Homogenisierung kennen lernen.

• Verstehen wie makroskopische Plastizität für plastische und ungeordnet spröde Materialien in Modellen abgebildet wird.

• Erklären wie nichtlineares Verhalten aus der mesoskopischen Unordnung entsteht.

• Überblick über Mehrskalenansätze für Baustoffe gewinnen.• Erkennen welchen Beitrag Werkstoffmodellierung leisten kann.

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Reale Baustoffe – Spannungskonzentrationen und Unordnung

Unordnung dominiert

Materialverhalten

Festigkeit von Baustoffen:Verbindung zu interatomaren Wechselwirkungen

Theoretische Festigkeit:Zug: ~E/10Schub: ~G/10

aber … im Versuch Festigkeit~E/100 - E/10,000


Mikrostrukturen

Kontinuums-Mikromechanik!

( )

( )

i

el m

EcE

Phasenkontrast:

Baustoffe sind fast ausschliesslich unregel-mässige, inhomogene, mikrostrukturierte, komplexe, multi-Phasen Materialien


Ziel: Errechnen der mittleren Eigenschaften des Kontinuums aus demmikromechanischen Verhalten der interagierenden Bestandteile.

Kontinuum Mikromechanik


Repräsentatives Volumen Element(RVE )

1. kleinstes Volumen, dessen effektive Eigen-schaften nicht mehr von derVolumengrösse abhängt.

(= statistisch homogen)2. Ausschnitt der strukturell typisch für das

gemittelte Materialsystem ist mitgenügend Einschlüssen, Defekten etc.

3. Identität der gespeicherten elastischenEnergie U in der Einheitszelle und desrepräsentierten Kontinuums.

4. Die innere Struktur des RVE ist willkürlich,(z.B. ungeordnet), mit der Bedingung,dass es sich selbst im Raum wiederholt.

Repeating Unit Cell (RUC)

1. Reale Struktur wird durch periodische Pha-senanordnung ersetzt diskrete Struktur.

2. Keine Beschränkung der Phasenanteile proVolumen.

3. Identität der gespeicherten elastischenEnergie U in der Einheitszelle und desrepräsentierten Kontinuums.

URUC =UKontinuum4. Diskretisierte Struktur erlaubt die Verwen-

dung von Fluktuationsfeldern.5. Randbedingungen für periodische Anord-

nung der RUC.

Diskrete Mikrostruktur: RVE /RUC


Analytische AnsätzeEshelbyMori-Tanaka

MischungsregelnHalpin-Tsai Methode

Eshelby-Ansatz_

Effektive Felder

Äquivalenter Einschluss

Ellipsoide Einschlüsse in unendlicher Matrix mit anderen Eigenschaften Innere Spannungen in EinschlüssenStörung durch Einschluss1. Äquivalenter, homogener Einschluss = Einschluss aus Matrixmaterial2. Äquivalente Transformationsspannung, um Spannungsfeld auf das des

eigentlichen Einschlusses zu bringen.

1 2+ +

Mean Field Ansatz: Effektiver Feldansatz


Erweitert Eshelby’s Methode auf Komposite mit grösserem Volumenanteil.Selbstkonsistente Methode Effektive Eigenschaften werden iterativ bestimmt

(numerisch).Unterschiedliche Typen und Grössenklassen vonStörungen können kombiniert werden.

Mori-Tanaka Methode

Mean Field Ansatz: Effektiver Feldansatz


Bsp. Beton

RVE /RUC: Beispiel partikelverstärkte Komposite

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Kurzfaser höherer Volumengehalt

Kurzfaser

RVE /RUC: Beispiel Kurz/Langfaserverbund

Bsp: Gewebe


Bsp: Aluminium

2D Polykristall

3D Polykristall

RVE /RUC: Beispiel Polykristall


Tetradecahedron (14 Seiten)

RVE /RUC: Beispiele für Schäume

Bsp. XPS


Reguläre, nicht-reguläre oder affine Gitter für komplexe Geometrie.FDM ist Gitterverfahren.

DGL wird an jedem Gitterpunkt approximiert.Differenzen ersetzten Ableitungen. Differenzenausdruck mit Knoten- und Nachbarkontenwerten.

Dirichlet-RB: Werte auf Randkonten werden gesetzt.Neumann-RB: Normalenableitungen der gesuchten Funktion werden gesetzt (Zu-/Abluss).

Finite Differenzen Verfahren (FDM)


Finite Elemente Methoden (FEM)


Güte: (Abweichung der approximierten von der exakten Lösung).

1. Approximationsfehler durch unpassende Ansatzfunktionen.

2. Räumliche Diskretisierungsfehler durch zu grobe Netze.

3. In der Werkstoffmodellierung starker Einfluss durch lokale Nicht-Linearitäten und Singularitäten.

4. In der Anwendung viele Fehler durch falsche Anwendung und mangelhafte Interpretation.

400.000.000 Elemente

Finite Elemente Methoden (FEM)


Alternatives Verfahren zur Berechnung von PDEs Numerische Diskretisierung auf reduzierter räumlicher Dimension

3D-Objekte Oberfläche; 2D-Objekte Gebietsrand; 1D-Objekte Begrenzungspunkte

Folge: reduzierte Dimensionalität führt auf kleineres LGS

Rand Elemente Methoden (BEM) vs. FEM


u(a) u(b)

a b x

Wenn man die Randwerte einer linearen Funktion u kennt, kann man die Funktion zeichnen.

Die Weg- und Kraftgrössen auf dem Rand eines Bauteils und die äusseren Belastungen bestimmen die Verformungen und Spannungen im Inneren eindeutig.

Rand Elemente Methoden (BEM) vs. FEM


Unbekannte Zustandsgrössen nur auf dem Rand. Gebietsintegrale müssen zu Integralgleichungen reduziert werden.Divergenztheorem (Satz von Gauss): Volumenintegral Oberflächenintegral

V V

dV ndS

A – Vektorfeld (stetig differenzierbar)V – Volumen im 3D-Raum

- Rand von V mit nach aussen zeigender Normalenn - nach aussen gerichtete NormalenvektorV

Andere für Dimensionsreduktionen wichtige Theoreme: Rotationssatz (Satz von Stokes) und die Green‘schen Integralsätze.

Johann Carl Friedrich Gauss(1777–1855),

Rand Elemente Methoden (BEM)


Rand Elemente Methoden (BEM) vs. FEMBEM FEM

Lediglich Diskretisierung des Randes (Reduktion um eine Dimension)

Unsymmetrische, vollbesetztes Gleichungssystem in BEM Anordnung (aufwändige Lösung; kompensiert viele Vorteile)

Symmetrische, schwach besetzte Systemmatrizen

Grosse Systemmatrix

Einfache Modellierung (pre-processig), z.B. aus CAD-Daten

Schwierigkeiten bei inhomogenen und nicht-linearen Problemen

Komplizierte mesher

Hohe Genauigkeit bei Problemen mit Spannungskonzentrationen (Risse, Defekte, Einschlüsse)&

Benötigt Wissen über passende Fundamentallösung

Einfache und genaue Modellierung grosser Gebiete und unendlicher Ränder (z.B. Korrosion, Akustik, Geophysik)

Relativ neue und nicht breit bekannte Methode

Breit angewandte Methode

Befindet sich aber immer noch in der Weiterentwicklung

Genaue Repräsentation von Oberflächenphänomenen (Schädigung, Kontakt, etc.)

Probleme bei der Diskretisierung schlanker Strukturen

Einfache Berücksichtigung symmetrischer Probleme (keine Diskretisierung der Symmetrieebene)

Gebietsdiskretisierung für nichtlineare Anwendungen erforderlich

Die Unbekannten im Inneren des Gebiets werden nur in einer Nachlaufrechnung berechnet

Unbekannte im Gebiet werden ständig berechnet

Spannungen werden nur in der Nachlaufrechnung gerechnet


• Bezeichnet eine Klasse von Modellierungstools.

• Material wird von diskontinuierlichem Partikelensemble repräsentiert.

• Freie Verschiebung und Rotation der Partikel.• Partikelinteraktionen berechnen.• Kumulatives Verhalten aller Partikel wird

simuliert.• Partikelsimulation basierend auf den

NEWTON-schen Bewegungsgleichungen.

• Explizite Lösung eines Mehrkörperproblems.• Gear Prediktor-Korrektor Algorithmus. (MD)

, mit B

mx K m dv

Diskrete Elemente Methode (DEM)


Diskrete Elemente Methode (DEM)Partikelinteraktionen:• Kontakt mit/ohne Reibung• Kohäsive Elemente am Kontaktpunkt• Kohäsive Elemente über Massenpunkte

(Stäbe/Balken/Scheiben/Platten)

Partikelformen (unverformbar):• Zylinder / Kugeln• Ellipsoide• Polyeder• Aggregationen• …


1. Nicht-lineares Verhalten durch plastische Verformung: Versetzungsdynamik zwischen MD und Kontinuum

2. Plastizität in spröden, ungeordneten Materialien: Statistische Mechanik mit FaserbündelmodellenStatistische Mechanik mit Gittermodellen

Fall: Verstehen der makroskopischen Plastizität aufgrund der Mobilität, Vermehrung und Interaktion von Defekten auf mikroskopischer Längenskala.

Problem: 1mm3 Stahl: 8.5x1019 Atome; 104-109 Versetzungen 10m-1000km.Sehr grosse Systeme erforderlich, die die Möglichkeiten der MD übersteigen.

Fall: Verstehen des makroskopischen Verhaltens von Materialien, bei denen Plastizität aus Mikroschädigung kommt.

Sehr grosse Systeme erforderlich, die die Möglichkeiten der MD übersteigen.


Ansatz der Versetzungsdynamik: Atomare Struktur wird ignoriert - lediglich Versetzungen werden betrachtet. Versetzungen werden als diskrete Objekte, in elastischem Medium

eingebettet. (Punkte, Linien, Segmentstücke (Spline);(1D,2D,3D) Klassische Verschiebungstheorie liefert elastische Eigenschaften von

Versetzungen, Interaktionen etc… + effektive Kraft auf jedes Versetzungssegment (Integration entlang der Versetzung).

Versetzungen bewegen sich in diskreten Sprüngen entsprechend der Kristallstruktur (Bewegungsgleichungen für Versetzungssegmente).

Versetzungsdynamische Simulationen sind sehr rechenintensiv Limitierung der angelegten Spannung und Zahl der Versetzungen.

Meist periodische Randbedingungen und „kleine“ Systeme. Grundbeziehungen wie Spannung vs. Mobilität kommen aus

Kontinuumsrechnungen, Experimenten und MD Simulationen.Aber: Verformungsmodelle können auf Versetzungsdynamiksimulationen aufgebaut werden. globale Antwort

Versetzungsdynamik


tau

tau

tau

tau

tau

tau

tau

tau

tau

tau

tautautautautautautautautautautautautautau gB

master-fp.physik.uni-goettingen.de ~μm

Erinnerung Versetzungen


Versetzungsdynamik – obstacle parkFrank-Read Versetzungsquelle Schraubenversetzung

Vers

etzu

ngen

Inte

rakt

ion


Versetzungsdynamik für Einzelkristallplastizität eines KRZ Metalls

Versetzungsdynamik – Beispiel


Faserbündelmodelle: ModellideeStatistisches, mikromechanisches Modell für parallele Systeme.

Elemente: linear-elastisches oder elasto-plastisches Verhalten.Heterogenität über Weibull-Verteilung der Elementeigenschaften.Unterschiedliche Bruchgesetze (einfach, mehrfach, kontinuierlich).

Elementinteraktion:Unterschiedliche Lastumlagerungsstrategien:

lokal, global, variabler Interaktionsradius.Anordnung:

uniaxial auf Rechteckgitter.periodische Randbedingungen.

Strain

Forc

e

Lastumlagerung

global

lokalVariablerRadius g


0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Strain [%]

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

F/N

gamma=0gamma=3gamma=9

Faserbündelmodelle - Beispiel


Durch Kombination von Fasereigenschaften und Interaktion grosse Zahl unterschiedlicher konstitutiver Verläufe darstellbar.

spröde elasto-plastisch viskoelastisch

Breite Anwendungen für: Glasfaser unidirektional C/C-SiC Gewebe Holz in Faserrichtung mit Kriechen Aluminiumverstärktes Aluminium Schubversagen (mit Balken) Schneelawinen etc….

Aber: Beschränkung auf unidirektionale Lastfälle.

Faserbündelmodelle - Möglichkeiten


Volumenrendering von Zementstein 1mm Kantenlänge

Gittermodelle:

Verstehen des makroskopischen Verhaltens von Materialien, bei denen makroskopische Plastizität aus Mikroschädigung unter willkürlicher Belastung stammt.

Varianten:• 2D / 3D Gitter• Regelmässig / unregelmässig• Stäbe / Balken• Homogen / heterogen• Mikrostruktur generiert / aus Bildinformationen• Nichtlinearität aus Elementverformung • /-Schädigung• Quasistatisch / Dynamisch


Matrix

AggregatVerbindung

2D 3D-Netz3D

G. Lilliu, J.G.M. van Mier

Quasistatische Gittermodelle:


G. L

illiu

, J.G

.M. v

an M

ier

Quasistatische Gittermodelle: Beispiel Zementstein


Systemaufbau direkt aus Messungen

H.-K. Man, J. G. M. van Mier

Problem:Zahl der Elemente steigt (L3)nur kleine

Materialausschnitte können repräsentiert werden und lediglich quasistatisch.

Quasistatische Gittermodelle: Beispiel Zementstein


Struktur-Eigenschaftsbeziehung durch Unordnung auf Mesoskala determiniert.1. Nicht-lineares Verhalten durch Schädigung in spröden, ungeordneten

Materialien2. Nicht-lineares Verhalten durch plastische Verformung3. Zellulare Materialien

Ansatz: Mesostruktur wird über räumliche Diskretisierung der Heterogenität repräsentiert. Numerische Versuche an mikromechanischen Modellen zur Bestimmung des konstitutiven Verhaltens.

Methoden:Fall 1: Verhalten ungeordneter, spröder Werkstoffe.

Diskrete Elemente Modelle (Partikelmodelle)Fall 2: Verhalten stark plastisch verformbarer Werkstoffe.

Finite Elemente Methode


Nicht-lokale Faser-InteraktionPolygonale

Partikel

ModellMikro-struktur

Balken Elemente

Fall 1: Diskrete Elemente Modelle - HPFRCC


Vf=0.001Vf=0.2Vf=0.4Vf=0.8

Zugv

ersu

ch3-

Punk

t-Bi

egun

gFall 1: Diskrete Elemente Modelle - HPFRCC


Ohne Fasern Mit wenigen Fasern

Fall 1: Diskrete Elemente Modelle - HPFRCC

||IfB, ETHZRechnergestützte Physik der WerkstoffeGian Antonio D'Addetta (2007)

Diskretisierte Mikrostruktur mit polygonalen diskreten Elementen.

Fall 1: Diskrete Elemente Modelle - Beton


Fall 2 - Kontinuumsmodelle / Finite Elemente1. Aufbau von heterogenen 2D/3D RVEs aus entsprechenden Finiten Elementen.2. Berechnung z.B. mit Plastizität / Mikroschädigung etc….3. Messen der makroskopischen Verformungen (Kraft/Verschiebung/pl.Verformung).4. Einbau der Messergebnisse in Stoffgesetze.


Diskretisierung eines repräsentativen Schnittes.

FEM Berechnung mit anisotroper Plastizität.

Messung der Kristallstruktur mit Orientierung.

Messung der makroskopischen Verformungen.

Fall 2 - Kontinuumsmodelle / Finite Elemente (2D EVZ)


taub

gammaEq

taub

gammaEq

taub

gammaEq

taub

gammaEq

ZugtestPeriodische Randbedingungen422 Körner~ 1 Mio. Freiheitsgrade

[μm-1]

Wulfinghoff et al. (2017), Int. J. Plast.

Fall 2 - Kontinuumsmodelle / Finite Elemente (3D)

Akkumulierte plastische Versetzungen beinicht/teilweise/vollständig aktiven Korngrenzen


Adaptierte Netze

Wulfinghoff & Böhlke (2012), Proc. Roy. Soc. A

Wulfinghoff et al. (2015), J. Mech. Phys. Solids

d1

d2

d3strain

stre

ss d2

d3

d1

Ashby (1970)

Fall 2 - Kontinuumsmodelle / Finite Elemente (3D)


Zelluläre Materialien wie Schäume:Geschlossenporig Offenporig(mit Lufteinschluss)

Fall 2 - Kontinuumsmodelle / FE (2D EVZ / 3D RVE)


Fallbeispiele «hierarchische Modelle»:Prallmahlen von Klinker Metall, Holz, Faserbeton und -verbund

Werkstoffe haben fast immer Strukturen auf mehreren Skalen.Die Unordnung auf diesen dominiert oft das Gesamtverhalten.Kombinierte und hybride Modelle gut,wenn Vorgänge lokalisiert sind.

Hierarchische und Multiskalenmaterialien benötigen Mehrskalenansätze. Hierarchisch

Hybrid kombiniert

Fallbeispiel «Kombinierte Modelle»: Pendelschlagversuch


Kombinierte ModelleProblem: fein detaillierte Modelle zu gross, aber elastische Bettung ist wichtig.

Ansatz Embedded Cell Approach (ECA):Gebiete mit hoher Aktivität mit fein detaillierten Modellen repräsentieren.Feine Modelle in gröbere Kontinuumsmodelle einbetten / ankoppelt.

Motiv mit diskreter Mikrostruktur

EinbettendeDomäne


Kombinierte ModelleOverlapping domainEdge-to-edge

Kinematische Kopplung: nahtlosMacroscopic, Atomistic and Ab initio Dynamics

(MAAD)(Abraham et al. 1998)CGMD (Coarse Grained Molecular Dynamics)Kopplung an Steifigkeitsmatrix.Virtuelle Knoten im Gebiet.

Ansatz mit Überdeckung: kontinuierlich Bridging Scale Method (Liu)

Verwendung von Greenfunktionen: Vorhersage der Atompositionen.

Bridging Domain Method (T. Belytschko)Identische Verschiebungen in beiden Domänen.Räumliche Gewichtung der jeweiligen Energien (Lagrangesche Multiplikatoren).Keine Hypothese über die Struktur des Gebiets.


Submodelling: Identische Methode aber unterschiedliche feine Diskretisierung

+ Grenzschichteffekte sind gering

- Rechenintensive MethodeBsp. Abaqus: Double edge notched specimen

Elastisch-plastisches Submodel:

Symmetrisches grobes Modell

Multi-mesh Methoden: Identische Methode (FEM) aber unterschiedlicher Diskretisierungstyp

Kontinuumdomäne mit Volumenelementen

Bridging domain Beide Modelle aktiv

Domäne, die mit RBT Balkengittern diskretisiert ist

Beispiel Bachelorarbeit IFB Raffael Casagrande 2011

Blendingfunktion:

Kombinierte Modelle


Multi-mesh Methoden

Beispiel Bachelorarbeit IFB Raffael Casagrande 2011

Dynamische Probleme zeigen sehr deutlich, wo schwächen liegen

Die Wahl der richtigen Blendingfunktion ist wichtig

Antwort eines Kragbalkens


Kombinierte Modelle: Beispiel Pendelschlag

Pendelschlagversuch zur Bestimmung der dynamischen Materialeigenschaften:

Kombiniertes DEM / FEM Modell mit edge-to-edge Kopplung.

(Kerbschlagzähigkeit Werkstoffe III)


Kombinierte Modelle: Beispiel Pendelschlag

Beispiel Projektarbeit IFB Simon Zweidler (2007); Masterarbeit IFB Matthias Fuhr (2008)


Materialentwurf durch Verknüpfung (integrieren) unterschiedlicher Materialmodelle auf mehreren Längenskalen.

Schwerpunkt auf Material, d.h. Verstehen wie Materialstrukturen entstehen und deren Einfluss auf Materialeigenschaften.

Möglichkeiten: Modelle auf feinen Skalen bestimmen Materialeigenschaften oder

Verhalten (Fliesskurve). Kontinuumsmodelle Prozesssimulationen bestimmen räumliche Verteilung von Material

Modelle auf feinen Skalen bestimmen Zusammenhang zwischen Materialanordnung und mechanischem Verhalten.

Kontinuumsmodelle koppeln Modelle auf feinen Skalen (hybride Ansätze).

Übergang von feinen auf grobe Skalen über Homogenisierung,Von groben auf feine durch Lokalisierung.

Hierarchische Modelle


Hierarchische Modelle: Beispiel Metall


Hofstetter etal.

Harrington etal.

Hierarchische Modelle: Beispiel Holz


Hierarchische Modelle: Beispiel textilbewehrter Beton


Hie

rar c

h is c

heS

tru k

tur

Hierarchische Modelle: Beispiel Faserverbund


Mikrostruktur Materialeigenschaften?

• Tricalciumsilikat (Alit), kurz C3S (3 CaO · SiO2)• Dicalciumsilikat (Belit), kurz C2S (2 CaO · SiO2)• Tricalciumaluminat, kurz C3A (3 CaO · Al2O3)• Tetracalciumaluminatferrit, kurz C4AF bzw. C4(A,F) (4 CaO · Al2O3 · Fe2O3) und

C2(A,F).

Hierarchische Modelle: Beispiel Klinker


Hierarchische Modelle: Beispiel Klinker

Bestandteile des Kraftfelds RUCs Verhalten der Einkristalle

Kristalline Phase:C3S HCP Körner

Amorphe Phase:Aluminate etc.

InterkristallineGrenzschicht

Amorph-kristalline

Grenzschicht

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80 100 120 140 160 180 200v(m/s)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

m/m

Tot

sample average multiphasemmaxamavammaxbmavb

Problem: fein detaillierte Modelle zu gross, aber Materialverhalten wichtig.

Hierarchische Modelle: Beispiel Klinker Prallmahlen

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Top view, slices

zRiss entlangGrenzschicht Riss in Spaltebene

1

6

16

Hierarchische Modelle: Beispiel Klinker Prallmahlen


Computermodelle für Werkstoffe als Werkzeuge zum• Besseren Verständnis innerer Vorgänge.• Optimieren bestehender Baustoffe und Prozesse.• Simulieren nichtlinearer Vorgänge über numerische Experimente.• Vorhersagen von Material-Struktur Eigenschaften.• Vorhersagen von Versagensvorgängen auf sehr langen und sehr

kurzen Zeitskalen, die experimentell nicht zugänglich sind.• Erfinden neuer Werkstoffe.

99.9% Luft


12345


• Erkennen wie wichtig Unordnung ist und Ansätze zur Homogenisierung kennen.

• Verstehen wie makroskopische Plastizität für plastische und ungeordnet spröde Materialien in Modellen abgebildet wird.

• Erklären wie nichtlineares Verhalten aus der mesoskopischen Unordnung entsteht.

• Überblick über Mehrskalenansätze für Baustoffe gewinnen.• Erkennen welchen Beitrag Werkstoffmodellierung leisten kann.

1. Homogenisierungsmethoden für Baustoffe

2. Einschub FEM/BEM

3. Materialien mit einer relevanten Skala

-Mikroskala

-Meso-/Makroskala

4. Multiskalenansätze

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