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Annette Eicker APMG 1
1
11.04.23
Annette Eicker
Kugelfunktionen
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11.04.23
Wiederholung: Gravitationspotential
PotentialPotential
)()(1
QP
P dGV rrrr
r
z
y
x
PrAufpunkt:
w
v
u
QrQuellpunkt:
FeldstärkeFeldstärke
dwdvduwvuwzvyux
wzG
dwdvduwvuwzvyux
vyG
dwdvduwvuwzvyux
uxG
zzyxV
yzyxV
xzyxV
zyx
),,()()()(
),,()()()(
),,()()()(
,,
,,
,,
,,
3222
3222
3222
g
dwdvduwvuwzvyux
GzyxV ),,()()()(
1),,(
222
Wir haben diese Integrale gelöst
Kugel Hohlkugel Kugeloberfläche
(für einfache Körper)
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Kugel mit homogener Dichteverteilung
z
z
z
z
Vzg z
2
3
3
4
z
GRzg z
zG3
4
2
3
3
4
z
GRzg z
z
GRzV
3
4 3
z
GRzV
3
4 3
3
22
2 zRG
zV
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4
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Hohlkugel mit homogener Dichteverteilung
z
z
z
PV r
Pzg r
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5
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)(3
4 31
32 RR
r
GV
r
Potential im Außenraum
Potential im Außenraum )( 2Rr
GesamtmasseGesamtmasse
31
323
4RRM
( )GM
Vr
r
r
GRV
3
4 3 r
GesamtmasseGesamtmasse
3
3
4RM
( )GM
Vr
r
Direktes Problem: Das Gravitationspotential ist durch eine gegebene Massenverteilung eindeutig bestimmt
Direktes Problem: Das Gravitationspotential ist durch eine gegebene Massenverteilung eindeutig bestimmt
Inverses Problem: Aus einem Gravitationspotential lässt sich nicht eindeutig auf die Massenverteilung schließen.
Inverses Problem: Aus einem Gravitationspotential lässt sich nicht eindeutig auf die Massenverteilung schließen.
( )r R
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Massenverteilung und Potential
Inverses Problem:Aus einem Gravitationspotential lässt sich nicht eindeutig auf die
Massenverteilung schließen.
Inverses Problem:Aus einem Gravitationspotential lässt sich nicht eindeutig auf die
Massenverteilung schließen.
Annahme:Massenveränderungen erfolgen nur auf der Erdoberfläche,
Annahme einer dünnen Schicht
Annahme:Massenveränderungen erfolgen nur auf der Erdoberfläche,
Annahme einer dünnen Schicht
In diesem Fall ist das inverse Problem eindeutig.In diesem Fall ist das inverse Problem eindeutig.
FeldstärkeFeldstärke
)()(3 QQ
QP
QPP dG rr
rr
rrrg
Potential
mit der Flächendichte
Potential
mit der Flächendichte
)()(1
QP
P dGV rrrr
r
2/)( mkgQr
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Kugeloberfläche mit konstanter Flächendichte
z
z
z
z
Vzg z
zV
z
GRzV
24
z
GRzV
24
4V z RG
0zg z 2
24
z
GRzg z
2
24
z
GRzg z
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Divergenz der GravitationsfeldstärkeDivergenz der Gravitationsfeldstärke
Divergenz und Laplaceoperator
Die Gravitationsfeldstärke lässt sich durch Gradientenbildung aus dem Potential bestimmen
Die Gravitationsfeldstärke lässt sich durch Gradientenbildung aus dem Potential bestimmen
2
2
2
2
2
2
divz
V
y
V
x
V
zV
yV
xV
z
y
x
V
g
Vg
LaplaceoperatorLaplaceoperator
2
2
2
2
2
2
:zyx
Mit Hilfe des Laplaceoperators lassen sich die Quellen des Gravitationsfeldes bestimmen
Mit Hilfe des Laplaceoperators lassen sich die Quellen des Gravitationsfeldes bestimmen
2
2
2
2
2
2
z
V
y
V
x
VV
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Laplace- und Poissongleichung
Für beliebige Massenanordnungen gilt:Für beliebige Massenanordnungen gilt:
Außerhalb der Massen:
Laplacegleichung
Außerhalb der Massen:
Laplacegleichung
02
2
2
2
2
2
z
V
y
V
x
VV
Innerhalb der Massen:
Poissongleichung
Innerhalb der Massen:
Poissongleichung
Gz
V
y
V
x
VV 4
2
2
2
2
2
2
Funktionen,die die Laplacegleichung erfüllen,
nennt manharmonische Funktionen.
Funktionen,die die Laplacegleichung erfüllen,
nennt manharmonische Funktionen.
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11.04.23
Gaußscher Integralsatz
Gaußscher IntegralsatzGaußscher Integralsatz
dd ngg
n
Integration aller Quellen eines Volumens =Integraler Fluss durch die Oberfläche
Anwendung auf das GravitationsfeldAnwendung auf das Gravitationsfeld
dg
dV
dV
dG4
dG 4
GM4
Gaußsche FormelGaußsche Formel
GMd 4
ng
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Repräsentation des Gravitationspotentials
(Kugelfunktionen)
Repräsentation des Gravitationspotentials
(Kugelfunktionen)
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11.04.23
Bisher: Für einfache Körper lassen sich auch „einfache“ Formeln angeben.
Kugel Hohlkugel Kugeloberfläche
Jetzt: Für die reale Erde lässt sich das Schwerefeld nicht so leicht beschreiben…
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11.04.23
Gravitationspotential
product_type gravity_fieldmodelname ITG-Grace03comment static field from 2002-08 to 2007-04 of GRACE dataearth_gravity_constant 3.986004415e+14radius 6378136.6max_degree 180key L M C S sigma C sigma Send_of_head =========================================================================gfc 0 0 1.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00gfc 1 0 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00gfc 1 1 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00gfc 2 0 -4.841692718699e-04 0.000000000000e+00 6.469883774458e-13 0.000000000000e+00
gfc 2 1 -2.654790999243e-10 1.475393314283e-09 6.108979511966e-13 6.355307212507e-13
gfc 2 2 2.439383367978e-06 -1.400273635220e-06 6.254221806143e-13 6.423410956098e-13
gfc 3 0 9.571610348416e-07 0.000000000000e+00 4.908157850872e-13 0.000000000000e+00
gfc 3 1 2.030461736678e-06 2.482003394707e-07 4.904543816334e-13 5.118675157415e-13
gfc 3 2 9.047877724984e-07 -6.190053685183e-07 5.459595906001e-13 5.482674767117e-13
gfc 3 3 7.213217237276e-07 1.414349090196e-06 5.163836126113e-13 5.163483433061e-13
gfc 4 0 5.399657665980e-07 0.000000000000e+00 3.758481731782e-13 0.000000000000e+00
gfc 4 1 -5.361573220519e-07 -4.735672404588e-07 3.874699557956e-13 3.973550735355e-13
gfc 4 2 3.505015650151e-07 6.624798955603e-07 4.501829959710e-13 4.398486563277e-13
gfc 4 3 9.908565738322e-07 -2.009566568843e-07 4.776067657084e-13 4.766590461153e-13
gfc 4 4 -1.885196275153e-07 3.088038091544e-07 4.556511148108e-13 4.565287154679e-13
gfc 5 0 6.867029195170e-08 0.000000000000e+00 2.444626602968e-13 0.000000000000e+00
gfc 5 1 -6.292117216708e-08 -9.436975416042e-08 2.510438328896e-13 2.640391465060e-13
...
product_type gravity_fieldmodelname ITG-Grace03comment static field from 2002-08 to 2007-04 of GRACE dataearth_gravity_constant 3.986004415e+14radius 6378136.6max_degree 180key L M C S sigma C sigma Send_of_head =========================================================================gfc 0 0 1.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00gfc 1 0 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00gfc 1 1 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00gfc 2 0 -4.841692718699e-04 0.000000000000e+00 6.469883774458e-13 0.000000000000e+00
gfc 2 1 -2.654790999243e-10 1.475393314283e-09 6.108979511966e-13 6.355307212507e-13
gfc 2 2 2.439383367978e-06 -1.400273635220e-06 6.254221806143e-13 6.423410956098e-13
gfc 3 0 9.571610348416e-07 0.000000000000e+00 4.908157850872e-13 0.000000000000e+00
gfc 3 1 2.030461736678e-06 2.482003394707e-07 4.904543816334e-13 5.118675157415e-13
gfc 3 2 9.047877724984e-07 -6.190053685183e-07 5.459595906001e-13 5.482674767117e-13
gfc 3 3 7.213217237276e-07 1.414349090196e-06 5.163836126113e-13 5.163483433061e-13
gfc 4 0 5.399657665980e-07 0.000000000000e+00 3.758481731782e-13 0.000000000000e+00
gfc 4 1 -5.361573220519e-07 -4.735672404588e-07 3.874699557956e-13 3.973550735355e-13
gfc 4 2 3.505015650151e-07 6.624798955603e-07 4.501829959710e-13 4.398486563277e-13
gfc 4 3 9.908565738322e-07 -2.009566568843e-07 4.776067657084e-13 4.766590461153e-13
gfc 4 4 -1.885196275153e-07 3.088038091544e-07 4.556511148108e-13 4.565287154679e-13
gfc 5 0 6.867029195170e-08 0.000000000000e+00 2.444626602968e-13 0.000000000000e+00
gfc 5 1 -6.292117216708e-08 -9.436975416042e-08 2.510438328896e-13 2.640391465060e-13
...
Wie kann man das Gravitationsfeld der Erde abspeichern?
- Benötigt wird das gesamte Feld im Außenraum (Werte auf der Erdoberfläche, Bahnberechung von Satelliten o. Mond)
Wie kann man das Gravitationsfeld der Erde abspeichern?
- Benötigt wird das gesamte Feld im Außenraum (Werte auf der Erdoberfläche, Bahnberechung von Satelliten o. Mond)
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11.04.23
Approximation
Beispiel: Bestimmung der Temperaturabhängigkeit eines EDMsBeispiel: Bestimmung der Temperaturabhängigkeit eines EDMs
x
y
Approximation durch ein Polynom
Vorteile:
- Es müssen nur wenige Polynomkoeffizienten abgespeichert werden.
- Es kann auch zwischen den Messwerten Funktionswerte berechnet werden.
Approximation durch ein Polynom
Vorteile:
- Es müssen nur wenige Polynomkoeffizienten abgespeichert werden.
- Es kann auch zwischen den Messwerten Funktionswerte berechnet werden.
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11.04.23
Approximation
Approximation des Potentials durch räumliche PolynomeApproximation des Potentials durch räumliche Polynome
2310
239
338
237
336
352
342
332
323
31
22625
2242322
221
1312110),,(
yzaxzazazyaya
xyzaxyazxayxaxa
zayzayaxzaxyaxa
zayaxaazyxV
Gruppierung in Polynome mit homogenem Grad nGruppierung in Polynome mit homogenem Grad n
0
),,(),,(n
n zyxhzyxf
Homogenes Polynom vom Grad nHomogenes Polynom vom Grad n
( , , ) i k ln nm
i k l n
h x y z a x y z
Beispiel: Homogenes Polynom vom Grad 5Beispiel: Homogenes Polynom vom Grad 5
54225 2315),,( zxyzyxzyxh
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11.04.23
Homogene Polynome
Homogenes Polynom vom Grad nHomogenes Polynom vom Grad n
( , , ) i k ln nm
i k l n
h x y z a x y z
Es gilt:Es gilt:
),,(),,( zyxhrrzryrxh nn
n
Beweis:Beweis:
),,( rzryrxhn
n i k lnm
i k l n
r a x y z
( ) ( ) ( )i k lnm
i k l n
a rx ry rz
( )i k l i k l
nmi k l n
a r x y z
),,( zyxhr nn
Es gibtlinear unabhängige homogene Polynome von Grad n
Es gibtlinear unabhängige homogene Polynome von Grad n
)2)(1(21 nn
Beispiel:
n=2
Beispiel:
n=2
12 ( 1)( 2) 6n n
Polynome:
2 2 2, , , , ,x y z xy xz yz
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11.04.23
Homogene harmonische Polynome
Das Gravitationspotential ist im Außenraum harmonisch
=> Die Approximation sollte auch harmonisch sein
=> Alle Basisfunktionen sollten harmonisch sein
Das Gravitationspotential ist im Außenraum harmonisch
=> Die Approximation sollte auch harmonisch sein
=> Alle Basisfunktionen sollten harmonisch sein
02
2
2
2
2
2
z
V
y
V
x
VV
Approximation des Potentials durch Summe von homogenen harmonischen Polynomen
Approximation des Potentials durch Summe von homogenen harmonischen Polynomen
0
),,(),,(n
n zyxHzyxV
Homogenes harmonisches Polynom vom Grad n dargestellt als Linearkombination von linear unabhängigen Basispolynomen
Homogenes harmonisches Polynom vom Grad n dargestellt als Linearkombination von linear unabhängigen Basispolynomen
m
nmnmn zyxHazyxH ),,(),,(
Beispiel: Grad n=2Beispiel: Grad n=2
22225
2224
23
22
21
2),,(
),,(
),,(
),,(
),,(
xyzzyxH
yxzyxH
yzzyxH
xzzyxH
xyzyxH
Wie viele Basisfunktionen gibt es?Wie viele Basisfunktionen gibt es?
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11.04.23
Homogene harmonische Polynome
Satz: Der Laplace Operator angewendet auf ein homogenes Polynom hn liefert ein homogenes Polynom vom Grad n-2
Satz: Der Laplace Operator angewendet auf ein homogenes Polynom hn liefert ein homogenes Polynom vom Grad n-2
Es gibt 2n+1 linear unabhängige harmonische homogene Polynome Hnm von Grad nEs gibt 2n+1 linear unabhängige harmonische homogene Polynome Hnm von Grad n
BeweisBeweis
( , , ) i k ln nm
i k l n
h x y z a x y z
2 2 2( , , ) ( 1) ( 1) ( 1)i k l i k l i k l
n nm nm nmi k l n
h x y z a i i x y z a k k x y z a l l x y z
Es gibt linear unabhängige homogene Polynome von Grad n
Das Ergebnis der Laplace Operation ist durch linear unabhängige homogene Polynome von Grad n-2 eindeutig bestimmt.
Es verbleiben linear unabhängige homogene harmonische Polynome.
Es gibt linear unabhängige homogene Polynome von Grad n
Das Ergebnis der Laplace Operation ist durch linear unabhängige homogene Polynome von Grad n-2 eindeutig bestimmt.
Es verbleiben linear unabhängige homogene harmonische Polynome.
)2)(1(21 nn
)2)2)((1)2((21 nn
12)2)2)((1)2(()2)(1( 21
21 nnnnn
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11.04.23
Homogene harmonische Polynome
Das Gravitationspotential ist im Außenraum harmonisch
=> Die Approximation sollte auch harmonisch sein
=> Alle Basisfunktionen sollten harmonisch sein
Das Gravitationspotential ist im Außenraum harmonisch
=> Die Approximation sollte auch harmonisch sein
=> Alle Basisfunktionen sollten harmonisch sein
02
2
2
2
2
2
z
V
y
V
x
VV
Approximation des Potentials durch Summe von homogenen harmonischen Polynomen
Approximation des Potentials durch Summe von homogenen harmonischen Polynomen
0
),,(),,(n
n zyxHzyxV
Homogenes harmonisches Polynom vom Grad n dargestellt als Linearkombination von linear unabhängigen Basispolynomen
Homogenes harmonisches Polynom vom Grad n dargestellt als Linearkombination von linear unabhängigen Basispolynomen
12
1
),,(),,(n
mnmnmn zyxHazyxH
Beispiel: Grad n=2Beispiel: Grad n=2
22225
2224
23
22
21
2),,(
),,(
),,(
),,(
),,(
xyzzyxH
yxzyxH
yzzyxH
xzzyxH
xyzyxH
n
nmnmnmn zyxHazyxH ),,(),,(
oder wenn man negative Indizies einführt:
Grad nGrad n Ordnung mOrdnung m
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20
11.04.23
Kugelflächenfunktionen
Sphärische PolarkoordinatenSphärische Polarkoordinaten
cos
sinsin
sincos
r
r
r
z
y
x
r
homogene harmonische Polynomehomogene harmonische Polynome
),(
)cos,sinsin,sin(cos
)cos,sinsin,sincos(),,(
nmn
nmn
nmnm
Yr
Hr
rrrHzyxH
Darstellung des PotentialsDarstellung des Potentials
0
),(),,(n
n
nmnmnm
n YarrV
Approximation von Funktionen auf der KugelApproximation von Funktionen auf der Kugel
0
),(),(n
n
nmnmnmYaf
Kugelflächenfunktion:homogenes harmonisches
Polynom beschränkt auf die Kugeloberfläche
Kugelflächenfunktion:homogenes harmonisches
Polynom beschränkt auf die Kugeloberfläche
Annette Eicker APMG 1
21
11.04.23
Approximation durch Kugelflächenfunktionen
Approximation durch Kugelflächenfunktionen
Annette Eicker APMG 1
22
11.04.23
Approx. durch Kugelflächenfunktionen
Grad nAnzahl der
Koeffizienten
4 25
8 81
16 289
30 961
60 3721
120 14641
240 58081
0
),(),(n
n
nmnmnmYaf
Annette Eicker APMG 1
23
11.04.23
Approx. durch Kugelflächenfunktionen
Grad nAnzahl der
Koeffizienten
4 25
8 81
16 289
30 961
60 3721
120 14641
240 58081
0
),(),(n
n
nmnmnmYaf
Annette Eicker APMG 1
24
11.04.23
Approx. durch Kugelflächenfunktionen
Grad nAnzahl der
Koeffizienten
4 25
8 81
16 289
30 961
60 3721
120 14641
240 58081
0
),(),(n
n
nmnmnmYaf
Annette Eicker APMG 1
25
11.04.23
Approx. durch Kugelflächenfunktionen
Grad nAnzahl der
Koeffizienten
4 25
8 81
16 289
30 961
60 3721
120 14641
240 58081
0
),(),(n
n
nmnmnmYaf
Annette Eicker APMG 1
26
11.04.23
Approx. durch Kugelflächenfunktionen
Grad nAnzahl der
Koeffizienten
4 25
8 81
16 289
30 961
60 3721
120 14641
240 58081
0
),(),(n
n
nmnmnmYaf
Annette Eicker APMG 1
27
11.04.23
Approx. durch Kugelflächenfunktionen
Grad nAnzahl der
Koeffizienten
4 25
8 81
16 289
30 961
60 3721
120 14641
240 58081
0
),(),(n
n
nmnmnmYaf
Annette Eicker APMG 1
28
11.04.23
Approx. durch Kugelflächenfunktionen
Grad nAnzahl der
Koeffizienten
4 25
8 81
16 289
30 961
60 3721
120 14641
240 58081
0
),(),(n
n
nmnmnmYaf
Annette Eicker APMG 1
29
11.04.23
Kugelfunktionen
Approximation des PotentialsApproximation des Potentials
0
),(),,(n
nnYrrV
Laplacesche KugelflächenfunktionenLaplacesche Kugelflächenfunktionen
n
nmnmnmn YaY ),(),(
Die Reihe konvergiert nur für r<1Die Reihe konvergiert nur für r<1
Approximation des PotentialsApproximation des Potentials
01
),(1
),,(n
nnY
rrV
Diese Reihe ist ebenfalls harmonischund konvergiert für r>1
Beweis: nächste Folien
Diese Reihe ist ebenfalls harmonischund konvergiert für r>1
Beweis: nächste Folien
Annette Eicker APMG 1
30
11.04.23
Laplace OperatorLaplace Operator
Laplace und Beltrami Operator
Laplace Operator in sphärischen KoordinatenLaplace Operator in sphärischen Koordinaten
2
2
2
2
2
2
z
V
y
V
x
VV
2
2
2222
2
22
2
sin
1
tan
112
V
r
V
r
V
rr
V
rr
VV
2
2
22
2
22
2
sin
1
tan
112
VVV
rr
V
rr
V
Vrr
V
rr
V *22
2 12
Beltrami Operator (Laplace Operator beschränkt auf die Kugeloberfläche)Beltrami Operator (Laplace Operator beschränkt auf die Kugeloberfläche)
2
2
22
2*
sin
1
tan
1
VVV
V
Annette Eicker APMG 1
31
11.04.23
Kugelfunktionen
Approximation des PotentialsApproximation des Potentials
0
),(),,(n
nnYrrV
Die Reihe konvergiert nur für r<1Die Reihe konvergiert nur für r<1
Approximation des PotentialsApproximation des Potentials
01
),(1
),,(n
nnY
rrV
Diese Reihe ist ebenfalls harmonischund konvergiert für r>1
Beweis: nächste Folien
Diese Reihe ist ebenfalls harmonischund konvergiert für r>1
Beweis: nächste Folien
Wir wissen, dass die Laplacegleichung
hierfür gilt
Wir wissen, dass die Laplacegleichung
hierfür gilt
2*
2 2
2 10
V VV V
r r r r
Ziel: zeigen, dass dann die
Laplacegleichung auch
dafür gilt!
Annette Eicker APMG 1
32
11.04.23
Laplace OperatorLaplace Operator
Laplace und Beltrami Operator
Vrr
V
rr
VV *
22
2 12
0),( nnYr
),(11
nnY
r*
3 3 3
( 1)( 2) 2( 1) 1( , ) ( , ) ( , )n n nn n n
n n nY Y Y
r r r
*3 3
( 1) 1( , ) ( , )n nn n
n nY Y
r r
2 2 2 *( 1) ( , ) 2 ( , ) ( , )n n nn n nn n r Y nr Y r Y
2 2 *( 1) ( , ) ( , ) 0n nn nn n r Y r Y
( 2) 3: :n nr r
*3 3
( 1) 1( , ) ( , ) 0n nn n
n nY Y
r r
0
* ( , ) ( 1) ( , )n nY n n Y
Annette Eicker APMG 1
33
11.04.23
Kugelfunktionen
Approximation des Potentials für r<1Approximation des Potentials für r<1
0
),(),,(n
nnYrrV
Laplacesche KugelflächenfunktionenLaplacesche Kugelflächenfunktionen
n
nmnmnmn YaY ),(),(
Approximation des Potentials für r>1Approximation des Potentials für r>1
01
),(1
),,(n
nnY
rrV
Kugelflächenfunktionen
Annette Eicker APMG 1
34
11.04.23
Herleitung der Kugelfunktionen über die Lösung der Laplacegleichung
Herleitung der Kugelfunktionen über die Lösung der Laplacegleichung
Annette Eicker APMG 1
35
11.04.23
Gesucht sind alle Lösungen der LaplacegleichungGesucht sind alle Lösungen der Laplacegleichung
Lösung der Laplace Gleichung
012 *22
2
Vrr
V
rr
VV
Annahme: Lösung entspricht folgendem SeparationsansatzAnnahme: Lösung entspricht folgendem Separationsansatz
),()(),,( YrfrV
In die Laplacegleichung eingesetzt:In die Laplacegleichung eingesetzt:
0),()(1),()(2),()( *22
2
Yrf
rr
Yrf
rr
Yrf
0),()()(),(2)(
),( *22
2
Y
r
rf
r
rf
r
Y
r
rfY
),(),(
1)(
)(
2)(
)(*
2
22
YYr
rf
rf
r
r
rf
rf
r
Beltrami OperatorBeltrami Operator
2
2
22
2*
sin
1
tan
1
YYY
Y
2
( ): : ( , )f r
Yr
Annette Eicker APMG 1
36
11.04.23
Lösung der Laplace Gleichung
),(),(
1)(
)(
2)(
)(*
2
22
YYr
rf
rf
r
r
rf
rf
r
Die linke Seite hängt nur von r ab, die rechte nur von
=> Damit beide Seiten immer gleich sind, müssen beide Seiten konstant sein.
=> Wahl der Konstanten
Die linke Seite hängt nur von r ab, die rechte nur von
=> Damit beide Seiten immer gleich sind, müssen beide Seiten konstant sein.
=> Wahl der Konstanten
),(
)1( nn
Linke Seite:Linke Seite:
)1()(
)(
2)(
)( 2
22
nnr
rf
rf
r
r
rf
rf
r
)()1()(
2)(
2
22 rfnn
r
rfr
r
rfr
DGL hat zwei linear unabhängige LösungenDGL hat zwei linear unabhängige Lösungen
nrrf )(1)1(
2 )( nrrf
Rechte Seite:Rechte Seite:
),(),(
1)1( *
Y
Ynn
),()1(),(* YnnY
Annette Eicker APMG 1
37
11.04.23
Lösung der Laplace Gleichung
Rechte Seite:Rechte Seite:
),()1(),(* YnnY
Annahme: Lösung entspricht folgendem SeparationsansatzAnnahme: Lösung entspricht folgendem Separationsansatz
)()(),( pgY
Beltrami OperatorBeltrami Operator
2
2
22
2*
sin
1
tan
1
YYY
Y
YnnYYY
)1(sin
1
tan
12
2
22
2
eingesetzt:eingesetzt:2 2
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( 1) ( ) ( )
tan sin
p g p p gg n n g p
2
2
2
22 )(
)(
1)()1(
)(
sin
cos)(
)(
sin
g
gpnn
pp
p
2
: ( )
sin
( )
g
p
Annette Eicker APMG 1
38
11.04.23
Linke Seite:Linke Seite:
22
22
)()1()(
sin
cos)(
)(
sinmpnn
pp
p
Lösung der Laplace Gleichung
Die linke Seite hängt nur von ab, die rechte nur von
=> Damit beide Seiten immer gleich sind, müssen beide Seiten konstant sein.
=> Wahl der Konstanten
Die linke Seite hängt nur von ab, die rechte nur von
=> Damit beide Seiten immer gleich sind, müssen beide Seiten konstant sein.
=> Wahl der Konstanten
2m
Rechte Seite:Rechte Seite:
22
2 )(
)(
1m
g
g
)()( 2
2
2
gm
g
DGL hat zwei linear unabhängige Lösungen
DGL hat zwei linear unabhängige Lösungen
mg cos)(1 mg sin)(2
0)(sin
sin)1()(
cos)(
sin2
2
2
p
mnn
pp
2
2
2
22 )(
)(
1)()1(
)(
sin
cos)(
)(
sin
g
gpnn
pp
p
Lösung der DGL sind die sogenanntenzugeordneten legendreschen Polynome
Lösung der DGL sind die sogenanntenzugeordneten legendreschen Polynome
)(cos)( mnPp
Annette Eicker APMG 1
39
11.04.23
DGL hat zwei linear unabhängige Lösungen
DGL hat zwei linear unabhängige Lösungen
mg cos)(1 mg sin)(2
Linke Seite:Linke Seite:
Lösung der Laplace Gleichung
Die linke Seite hängt nur von ab, die rechte nur von
=> Damit beide Seiten immer gleich sind, müssen beide Seiten konstant sein.
=> Wahl der Konstanten
Die linke Seite hängt nur von ab, die rechte nur von
=> Damit beide Seiten immer gleich sind, müssen beide Seiten konstant sein.
=> Wahl der Konstanten
2m
Rechte Seite:Rechte Seite:
22
2 )(
)(
1m
g
g
)()( 2
2
2
gm
g
0)(sin
sin)1()(
cos)(
sin2
2
2
p
mnn
pp
2
2
2
22 )(
)(
1)()1(
)(
sin
cos)(
)(
sin
g
gpnn
pp
p
22
22
)()1()(
sin
cos)(
)(
sinmpnn
pp
p
Lösung der DGL sind die sogenanntenzugeordneten legendreschen Polynome
Lösung der DGL sind die sogenanntenzugeordneten legendreschen Polynome
)(cos)( mnPp
00 (cos ) 1P
01 (cos ) cosP 11 (cos ) sinP
0 22 (cos ) 1/ 2(3cos 1)P 12 (cos ) 3sin cosP 2 22 (cos ) 3sinP
03 (cos )P
Annette Eicker APMG 1
40
11.04.23
Lösung der Laplace Gleichung
Gesucht sind alle Lösungen der Laplacegleichung
Gesucht sind alle Lösungen der Laplacegleichung
0V
Spezielle Lösung
mit
Spezielle Lösung
mit
)()()(),,( pgrfrV
nrrf )(1)1(
2 )( nrrf
mg cos)(1
mg sin)(2
)(cos)( mnPp
Die allgemeine Lösung ist eine Linearkombination aller LösungenDie allgemeine Lösung ist eine Linearkombination aller Lösungen
mPsmPcr
rVn
n
m
mnnm
mnnmn
sin)(coscos)(cos1
),,(0 0
1
mPsmPcrrVn
n
m
mnnm
mnnm
n sin)(coscos)(cos),,(0 0
Vergleich: Fourier-ReiheVergleich: Fourier-Reihe
1
( ) cos( ) sin( )n nn
f t a n t b n t
Kugelfunktionsentwicklung kann man interpretieren als 2D Fourier-Reihe auf der Kugel