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Mathe 2 / Numerik
Blankenbach / SS2013 / 14.05.2013 1
Fourier - Transformation Kurzversion 2. Sem.
Prof. Dr. Karlheinz Blankenbach
Hochschule Pforzheim, Tiefenbronner Str. 65
75175 Pforzheim
Überblick / Anwendungen / Motivation:
Die Fourier-Transformation (FT) dient zur Frequenzanalyse von (Zeit-) Signalen
(Signalverarbeitung), der Filterung und der Analyse von Schwingungen. Die FT ist auch die
Grundlage bei der Spracherkennung. Bei der FT wird die Fourier-Amplitude über der Frequenz
dargestellt, man erhält also Aussagen, welche Frequenz wie „stark“ im Zeitsignal vertreten ist.
Der zugehörige Algorithmus (Numerik) wird als Fast Fourier Transformation (FFT) bezeichnet.
Zeitsignal
Quelle: WIKIPEDIA
Frequenzbereich
mittels FT
Zum Ausprobieren: GOOGLE PLAY: SimpleFFT, bs-spectrum, MS EXCEL
Empfohlene Literatur:
- Böhme: Analysis 2, Springer
- Latussek et al. : Lehr- und Übungsbuch Mathematik V, Fachbuchverlag Leipzig-Köln
- Papula : Mathematik für Ing. und Naturwissenschaftler, Band 2, Vieweg (nur Fourier-Reihe!)
- Burg et al. : Höhere Mathematik für Ingenieure, Band III, Teubner
- Tilman Butz: Fourier-Transformation für Fußgänger, Teubner
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Idealisiertes Beispiel aus der Musik
Fourier-Analyse von Musikinstrumenten
Wie kann man Musikinstrumente unterscheiden, wenn alle dieselbe Frequenz (hier fo, z.B:
440 Hz) spielen?
Da das bekanntlich möglich ist, müssen die Instrumente noch weitere Frequenzen aussenden,
hier Oberwellen mit typischerweise Vielfachen der Grundfrequenz fo.
Die Intensitäten (hier rel. Lautstärke, von der Mathe her Fourier-Amplitude)
der Schwingungsfrequenzen untereinander sind charakteristisch für das jeweilige
Musikinstrument
Die Abbildungen der FT-Spektren sind idealisierte Betrachtung. Bei „echter“ Messung im
Zeitbereich und Fourier-Transformation verbreitern sich diese Peaks.
rel. Lautstärke
Frequenz
fo
2fo 3fo 4fo 5fo
Trompete rel. Lautstärke
Frequenz
fo
2fo 3fo 4fo 5fo
Horn
rel. Lautstärke
Frequenz
fo
2fo 3fo 4fo 5fo
Oboe rel. Lautstärke
Frequenz
fo
2fo 3fo 4fo 5fo
Clarinette
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Grundlegende Idee der Fourier-Transformation
Bekannt: Numerische Approximation von Funktionen durch Reihen (z.B. Polynom):
- ex 1 + x + ´ x² + …
- sinx x + 1/6 x³ + …
Das Bespiel „sin“ zeigt aber, dass diese Approximation für periodische Funktionen eher
ungeeignet ist. Daher der Ansatz von Fourier, periodische Funktionen mit den periodischen
Funktionen Sinus und Cosinus zu entwickeln:
Fourier-Reihe:
1k
kko tksinbtkcosaa)t(f
„k“ ist hier der „Frequenzfaktor“ von (= 2 f). Es treten also nur ganzzahlige Vielfache der
Grundfrequenz auf.
Beispiel: Sägezahlfunktion (hier tritt nur Sinus auf, Plot nächste Folie):
1k
Amplitude.rel
1k
1:hier)kt(sin
k
2)1()t(f
Die „Amplitude“ bei den jeweiligen Frequenzen „k“ stellen eine Hyperbel (y = 1/x) dar
Explizite Beschreibung der ersten Glieder der Fourier-Reihe:
k 1 2 3
Amplitude 2 - 1 + 2/3
f(t) 2 sint - sin2t + 2/3 sin3t
Hier: = 1 (s.o.)
(Bedeutung)
Grundfrequenz
des Sägezahns
1. harmonische
Oberwelle
2. harmonische
Oberwelle
Somit wird also die Sägezahnfunktion sukzessive durch Sinus mit steigender Frequenz
approximiert (Numerik).
Zum Ausprobieren: App „Fourier Reihe“ (http://www.falstad.com/fourier/)
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Die bk’s ‚fallen’ relativ langsam, da die ‚Spitzen’ des Sägezahnes nachgebildet werden
müssen. Für k = 0 ist bk = 0; dies ist technisch dadurch erklärbar, dass das Sägezahn-Signal
keinen Gleichspannungs-Anteil enthält.
Die Fourier-Reihe liefert für mathematisch bekannte Funktionen die Reihenentwicklung nach
Sinus und Cosinus. Dieses Verfahren klappt aber nicht bei messtechnisch erfassten Signalen,
da ja hier nur AD-Werte und keine Funktion vorliegen.
Deshalb kommt in der Praxis die Fourier-Transformation zum Einsatz!
Fourier-Darstellung Sägezahn
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
t
y
Sägezahn (nicht maßstäblich)
bis k=1
bis k=2
bis k=3
Nullstellen-Versatz durch EXCEL-Schrittweite
Fourier - Koeffizienten Sägezahn (Spektrum)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
k
|bk|
Liniendiagramm, da einzelne diskrete 'x-Werte', hier k
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Fourier – Transformation
„Idee“: Analyse eines Zeitsignals im Frequenzbereich (Spektrum)
Bezeichnung: f(t) F()
komplexe Darstellung (ejt = cost jsint)
Definition der Integrale
Transformation vom Zeit-
in den Frequenzbereich
Rück-Transformation vom Frequenz-
in den Zeitbereich
Fourier-
Integral
F() ist Fouriertransformierte von f(t) : Spektraldarstellung
im Allgemeinen komplex, d.h. Amplitude + Phase
ACHTUNG: - Nie = 2 / T verwenden, ist hier Variable.
- Vereinfachung für reelle gerade bzw. ungerade Funktionen f(t):
siehe Eigenschaften der FT #9
Aufsplittung von F() in Real- und Imaginärteil e-jt = cost - jsint (Euler):
PhaseR
I
BetragIRF
IjRF
dtttfjdtttfdtetfF tj
:)(
)()(
:)²()²()(
)()()(
)sin()()cos()()()(
A() = |F()| : Amplitudenspektrum : Praxis !
F ft e dtj t
( ) ( )
ft F e dj t
( ) ( )
1
2
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In der Praxis: „Fertiger Algorithmus“ z.B. Butterfly (wird hier nicht beschrieben, da meist fertig
implementiert) für 2n „Messstellen“ (… 512, 1024, ..).
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Weitergehende Aspekte FT eines Rechteck-Pulses: sinx/x
FT eines Rechteckpulses:
F() ~ sinx/x
Darstellung oft als Betrag |sinx/x|
1. Nebenmaximum (Sidelobe)
Ableitung (sinx/x)‘ = 0 (Maximum)
bei = 3 / T mit 5% des Maximums
bei Null (DC-Anteil)
In der Technik oft als
Betragsspektrum |F()|² mit
Skalierung in Dezibel
dB = 10 log10(x)
für Spannung etc. mit log (1) = 0
(f = / 2)
Ort. 1. Sidelobe 9/T über Ableitung (Steigung Null):
Einsetzen: |F()|² = A² T² sin²(T/2) / (T/2)² mit = 9/T
|F()|² = T² sin²(9/2) / (9/2)² 0,05 T² wobei für = 0 : |F()|² = T²
1. Sidelobe ca. 5% des Maximums
10 log10(0,05) = -13 dB
Leistung: dB = 20 log10(x) : Halbe Leistung: -3 dB = 20 log(0,5)
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Beispiele Rechteck-Signale vs. Optik (Beugung)
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Tabelle Fourier-Transformierte (aus Föllinger, HÜTHIG)
Vergleiche Rechteckimpuls und sinx/x (Si)
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Java-App zur Fourier-Trafo: http://www.falstad.com/dfilter/
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Fourier-Transformierte und Fensterfunktionen
Vorgehensweise: Erfassung (z.B. Oszi) und Multiplikation im Zeitbereich mit Fensterfunktion
Fensterfunktionen dämpfen die Nebenzipfel (Frequenz im Original nicht vorhanden!) zu Lasten der Amplitude des Hauptmaximums („Grund“ ist ja endliche Messzeit)
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Weitere Fensterfunktionen (aus Butz: FT für Fußgänger, Teubner)
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Frequenz – „Auflösung“ verschiedener Fensterfunktionen
(aus Butz: FT für Fußgänger, Teubner)
Gegeben ist folgende Funktion: f(t) = cos(t) + 10-2 cos(1,15 t) + 10-3 cos(1,25 t) + 10-3 cos(2 t) + 10-4 cos(2,75 t) + 10-5 cos(3t)
Frequenz 1 1,15 1,25 2 2,75 3
Amplitude 1 10-2 10-3 10-2 10-4 10-5
Frage: Mit welcher Fensterfunktion wird das Signal mit benachbarten Frequenzen und
teilweise geringen Amplituden aufgelöst?
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Fourier-Fenster-Funktion: Rechteck ‘Spaltfunktion’ (Zoom, s.u.)
Verbreiterung des 10 Hz-Peaks
Fouriertransformierte einer zeitlich begrenzten Cosinusschwingung
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
f /Hz
|F|
(Amplitudenspektrum) fo = 10 Hz, Meßdauer 1s : 10 gemessene Schwingungen
Fouriertransformierte einer zeitlich begrenzten Cosinusschwingung
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
f /Hz
|F|
(Amplitudenspektrum) fo = 10 Hz, Meßdauer 10s : 100 gemessene Schwingungen
Nebenzipfeldämpfung durch mehr Perioden (längere Messzeit),
aber Gefahr der Unterabtastung (zu wenig Zeit-Messwerte pro Periode).
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Beispiel: Fourier-Transformation eines RLC-Schwingkreis mit schwacher Dämpfung
Gedämpfte Schwingungen
-1
-0,5
0
0,5
1
0 1 2 3 4 5 6
Zeit
Amplitude
schw ach gedämpft
Kriechfall
Aperiodischer Grenzfall
Einhüllende
FT gedämpfte Schwingung
0
2
4
6
8
10
0 0,5 1 1,5 2 2,5
rel. Frequenz (w/ws)
rel. Amplitude
A (d= 0,1)
A (d = 0,25)
A (d = 1)
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Übungsaufgaben Fourier-Transformation
1. Berechne Fouriertransformierte eines Dreieckimpulses und skizziere das Ergebnis
f(t)
t0
A
Tmess/2-
Lösung:
2
T²sin
²T
A8)(F m
m
2. Berechne die FT des doppelten Rechteckpuls und skizziere das Ergebnis
t-3T 3T-T T
1
0
f(t)
Lösung: F T T( ) sin cos
4
2
3. Führen Sie die Fourier-Transformation für sin(628 t) mit MS EXCEL sowie MATLAB durch.
Weitere Aufgaben siehe Altklausuren.