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Mathe 2 / Numerik

Blankenbach / SS2013 / 14.05.2013 1

Fourier - Transformation Kurzversion 2. Sem.

Prof. Dr. Karlheinz Blankenbach

Hochschule Pforzheim, Tiefenbronner Str. 65

75175 Pforzheim

Überblick / Anwendungen / Motivation:

Die Fourier-Transformation (FT) dient zur Frequenzanalyse von (Zeit-) Signalen

(Signalverarbeitung), der Filterung und der Analyse von Schwingungen. Die FT ist auch die

Grundlage bei der Spracherkennung. Bei der FT wird die Fourier-Amplitude über der Frequenz

dargestellt, man erhält also Aussagen, welche Frequenz wie „stark“ im Zeitsignal vertreten ist.

Der zugehörige Algorithmus (Numerik) wird als Fast Fourier Transformation (FFT) bezeichnet.

Zeitsignal

Quelle: WIKIPEDIA

Frequenzbereich

mittels FT

Zum Ausprobieren: GOOGLE PLAY: SimpleFFT, bs-spectrum, MS EXCEL

Empfohlene Literatur:

- Böhme: Analysis 2, Springer

- Latussek et al. : Lehr- und Übungsbuch Mathematik V, Fachbuchverlag Leipzig-Köln

- Papula : Mathematik für Ing. und Naturwissenschaftler, Band 2, Vieweg (nur Fourier-Reihe!)

- Burg et al. : Höhere Mathematik für Ingenieure, Band III, Teubner

- Tilman Butz: Fourier-Transformation für Fußgänger, Teubner

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Idealisiertes Beispiel aus der Musik

Fourier-Analyse von Musikinstrumenten

Wie kann man Musikinstrumente unterscheiden, wenn alle dieselbe Frequenz (hier fo, z.B:

440 Hz) spielen?

Da das bekanntlich möglich ist, müssen die Instrumente noch weitere Frequenzen aussenden,

hier Oberwellen mit typischerweise Vielfachen der Grundfrequenz fo.

Die Intensitäten (hier rel. Lautstärke, von der Mathe her Fourier-Amplitude)

der Schwingungsfrequenzen untereinander sind charakteristisch für das jeweilige

Musikinstrument

Die Abbildungen der FT-Spektren sind idealisierte Betrachtung. Bei „echter“ Messung im

Zeitbereich und Fourier-Transformation verbreitern sich diese Peaks.

rel. Lautstärke

Frequenz

fo

2fo 3fo 4fo 5fo

Trompete rel. Lautstärke

Frequenz

fo

2fo 3fo 4fo 5fo

Horn

rel. Lautstärke

Frequenz

fo

2fo 3fo 4fo 5fo

Oboe rel. Lautstärke

Frequenz

fo

2fo 3fo 4fo 5fo

Clarinette

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Grundlegende Idee der Fourier-Transformation

Bekannt: Numerische Approximation von Funktionen durch Reihen (z.B. Polynom):

- ex 1 + x + ´ x² + …

- sinx x + 1/6 x³ + …

Das Bespiel „sin“ zeigt aber, dass diese Approximation für periodische Funktionen eher

ungeeignet ist. Daher der Ansatz von Fourier, periodische Funktionen mit den periodischen

Funktionen Sinus und Cosinus zu entwickeln:

Fourier-Reihe:

1k

kko tksinbtkcosaa)t(f

„k“ ist hier der „Frequenzfaktor“ von (= 2 f). Es treten also nur ganzzahlige Vielfache der

Grundfrequenz auf.

Beispiel: Sägezahlfunktion (hier tritt nur Sinus auf, Plot nächste Folie):

1k

Amplitude.rel

1k

1:hier)kt(sin

k

2)1()t(f

Die „Amplitude“ bei den jeweiligen Frequenzen „k“ stellen eine Hyperbel (y = 1/x) dar

Explizite Beschreibung der ersten Glieder der Fourier-Reihe:

k 1 2 3

Amplitude 2 - 1 + 2/3

f(t) 2 sint - sin2t + 2/3 sin3t

Hier: = 1 (s.o.)

(Bedeutung)

Grundfrequenz

des Sägezahns

1. harmonische

Oberwelle

2. harmonische

Oberwelle

Somit wird also die Sägezahnfunktion sukzessive durch Sinus mit steigender Frequenz

approximiert (Numerik).

Zum Ausprobieren: App „Fourier Reihe“ (http://www.falstad.com/fourier/)

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Die bk’s ‚fallen’ relativ langsam, da die ‚Spitzen’ des Sägezahnes nachgebildet werden

müssen. Für k = 0 ist bk = 0; dies ist technisch dadurch erklärbar, dass das Sägezahn-Signal

keinen Gleichspannungs-Anteil enthält.

Die Fourier-Reihe liefert für mathematisch bekannte Funktionen die Reihenentwicklung nach

Sinus und Cosinus. Dieses Verfahren klappt aber nicht bei messtechnisch erfassten Signalen,

da ja hier nur AD-Werte und keine Funktion vorliegen.

Deshalb kommt in der Praxis die Fourier-Transformation zum Einsatz!

Fourier-Darstellung Sägezahn

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

t

y

Sägezahn (nicht maßstäblich)

bis k=1

bis k=2

bis k=3

Nullstellen-Versatz durch EXCEL-Schrittweite

Fourier - Koeffizienten Sägezahn (Spektrum)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

k

|bk|

Liniendiagramm, da einzelne diskrete 'x-Werte', hier k

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Fourier – Transformation

„Idee“: Analyse eines Zeitsignals im Frequenzbereich (Spektrum)

Bezeichnung: f(t) F()

komplexe Darstellung (ejt = cost jsint)

Definition der Integrale

Transformation vom Zeit-

in den Frequenzbereich

Rück-Transformation vom Frequenz-

in den Zeitbereich

Fourier-

Integral

F() ist Fouriertransformierte von f(t) : Spektraldarstellung

im Allgemeinen komplex, d.h. Amplitude + Phase

ACHTUNG: - Nie = 2 / T verwenden, ist hier Variable.

- Vereinfachung für reelle gerade bzw. ungerade Funktionen f(t):

siehe Eigenschaften der FT #9

Aufsplittung von F() in Real- und Imaginärteil e-jt = cost - jsint (Euler):

PhaseR

I

BetragIRF

IjRF

dtttfjdtttfdtetfF tj

:)(

)()(

:)²()²()(

)()()(

)sin()()cos()()()(

A() = |F()| : Amplitudenspektrum : Praxis !

F ft e dtj t

( ) ( )

ft F e dj t

( ) ( )

1

2

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In der Praxis: „Fertiger Algorithmus“ z.B. Butterfly (wird hier nicht beschrieben, da meist fertig

implementiert) für 2n „Messstellen“ (… 512, 1024, ..).

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Weitergehende Aspekte FT eines Rechteck-Pulses: sinx/x

FT eines Rechteckpulses:

F() ~ sinx/x

Darstellung oft als Betrag |sinx/x|

1. Nebenmaximum (Sidelobe)

Ableitung (sinx/x)‘ = 0 (Maximum)

bei = 3 / T mit 5% des Maximums

bei Null (DC-Anteil)

In der Technik oft als

Betragsspektrum |F()|² mit

Skalierung in Dezibel

dB = 10 log10(x)

für Spannung etc. mit log (1) = 0

(f = / 2)

Ort. 1. Sidelobe 9/T über Ableitung (Steigung Null):

Einsetzen: |F()|² = A² T² sin²(T/2) / (T/2)² mit = 9/T

|F()|² = T² sin²(9/2) / (9/2)² 0,05 T² wobei für = 0 : |F()|² = T²

1. Sidelobe ca. 5% des Maximums

10 log10(0,05) = -13 dB

Leistung: dB = 20 log10(x) : Halbe Leistung: -3 dB = 20 log(0,5)

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Beispiele Rechteck-Signale vs. Optik (Beugung)

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Tabelle Fourier-Transformierte (aus Föllinger, HÜTHIG)

Vergleiche Rechteckimpuls und sinx/x (Si)

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Java-App zur Fourier-Trafo: http://www.falstad.com/dfilter/

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Fourier-Transformierte und Fensterfunktionen

Vorgehensweise: Erfassung (z.B. Oszi) und Multiplikation im Zeitbereich mit Fensterfunktion

Fensterfunktionen dämpfen die Nebenzipfel (Frequenz im Original nicht vorhanden!) zu Lasten der Amplitude des Hauptmaximums („Grund“ ist ja endliche Messzeit)

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Weitere Fensterfunktionen (aus Butz: FT für Fußgänger, Teubner)

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Frequenz – „Auflösung“ verschiedener Fensterfunktionen

(aus Butz: FT für Fußgänger, Teubner)

Gegeben ist folgende Funktion: f(t) = cos(t) + 10-2 cos(1,15 t) + 10-3 cos(1,25 t) + 10-3 cos(2 t) + 10-4 cos(2,75 t) + 10-5 cos(3t)

Frequenz 1 1,15 1,25 2 2,75 3

Amplitude 1 10-2 10-3 10-2 10-4 10-5

Frage: Mit welcher Fensterfunktion wird das Signal mit benachbarten Frequenzen und

teilweise geringen Amplituden aufgelöst?

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Fourier-Fenster-Funktion: Rechteck ‘Spaltfunktion’ (Zoom, s.u.)

Verbreiterung des 10 Hz-Peaks

Fouriertransformierte einer zeitlich begrenzten Cosinusschwingung

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

f /Hz

|F|

(Amplitudenspektrum) fo = 10 Hz, Meßdauer 1s : 10 gemessene Schwingungen

Fouriertransformierte einer zeitlich begrenzten Cosinusschwingung

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

f /Hz

|F|

(Amplitudenspektrum) fo = 10 Hz, Meßdauer 10s : 100 gemessene Schwingungen

Nebenzipfeldämpfung durch mehr Perioden (längere Messzeit),

aber Gefahr der Unterabtastung (zu wenig Zeit-Messwerte pro Periode).

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Beispiel: Fourier-Transformation eines RLC-Schwingkreis mit schwacher Dämpfung

Gedämpfte Schwingungen

-1

-0,5

0

0,5

1

0 1 2 3 4 5 6

Zeit

Amplitude

schw ach gedämpft

Kriechfall

Aperiodischer Grenzfall

Einhüllende

FT gedämpfte Schwingung

0

2

4

6

8

10

0 0,5 1 1,5 2 2,5

rel. Frequenz (w/ws)

rel. Amplitude

A (d= 0,1)

A (d = 0,25)

A (d = 1)

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Übungsaufgaben Fourier-Transformation

1. Berechne Fouriertransformierte eines Dreieckimpulses und skizziere das Ergebnis

f(t)

t0

A

Tmess/2-

Lösung:

2

T²sin

²T

A8)(F m

m

2. Berechne die FT des doppelten Rechteckpuls und skizziere das Ergebnis

t-3T 3T-T T

1

0

f(t)

Lösung: F T T( ) sin cos

4

2

3. Führen Sie die Fourier-Transformation für sin(628 t) mit MS EXCEL sowie MATLAB durch.

Weitere Aufgaben siehe Altklausuren.