3. Schwingungen (Oscillation,...

Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik

Blankenbach / HS Pf / Physik Schwingungen / WS 2015 1

3. Schwingungen (Oscillation, vibration)

Kinematik + Dynamik : beliebige Bewegungen (Translation, Rotation, krummlinig)

mechanische Schwingungen: periodische Bewegung

periodisch = sich wiederholend

Bsp: Pendel, Feder

Freier Fall ist keine Schwingung da nicht periodisch.

Schwingungen treten überall, nicht nur in der Technik, auf:

- Autofederung

- Schwingungen von Maschinen z.B. Unwucht

- EM - Schwingungen Funkwellen

- Schwingungen bei Regelvorgängen

- Gezeiten

- Schwingungen von Gebäuden, Bauwerken, ...

- . . .

- Wirtschaft (Zinsen, Aktien, so genannter „Schweinezyklus“, ... s.u.)

A

t



Historischer Verlauf des DAX ab 1960

In den „Boomjahren“(60-ziger und 70-ziger) praktisch konstant, danach steigende Kurse mit

„Schwankungen“

Fragen: - Warum haben die (Zinssatz-) „Schwingungen“ ca. 2000 aufgehört?

- Warum ist der Zinssatz seit ca. 1992 praktisch nur noch fallend?

Auffallend: Keine Schwingung beim DAX Schwingung beim Zinssatz

und umgekehrt



3.1 Einführendes Beispiel: Mathematisches Pendel

Vorkenntnisse : - Kräftezerlegung

- Bewegung von Massepunkten

- Newtonsches Gesetz

- trigonometrische Funktionen

Ziel : Grundlagen von harmonisch schwingenden Systemen

Physikalische Beschreibung der beobachteten Schwingungen idealisiert durch Modellkörper:

Mathematisches Pendel

Pendel mit punktförmiger Masse und masseloser Stange im Gravitationsfeld

Fadenpendel (Gewicht an dünnen Faden) als reales Beispiel für Mathematisches Pendel :

Beobachtung: - periodische Bewegung um Ruhelage

- Auslenkwinkel ändert sich

- Ursache der Schwingung ist die Schwerkraft, da

keine anderen Kräfte von außen wirken




mit relevanten Kräften und Definitionen

JAVA Applet: Fadenpendel

Eigenschaften des Pendels

- oben beweglich aufgehängt - senkrecht nach unten Ruhelage

- beliebige Auslenkung aber konstante Pendellänge l

- punktförmige Masse m

- Winkel aus Ruhelage

- Massepunkt bewegt Kreisbahn mit Radius l

- Weg aus Ruhelage : s = Bogenlänge

- auf Massepunkt wirkt als einzige Kraft die Gewichtskraft FG = m g

Vorgehen zur Bewegungsgleichung

- Zerlegen der Gewichtskraft in 2 Teile

- ein Teil in Fadenrichtung, wird von der Stange aufgenommen

- 2. Teil ist tangential zur Bahn wirkt als rückstellende bzw. beschleunigende Kraft FRK

in Richtung Ruhelage und ist für die Schwingung verantwortlich

- Winkel der Kraftzerlegung in Dreiecken entsprechen dem Auslenkungswinkel

l

m

s

F = m gG

Ft

FRK



Kraftansatz d'Alembertsches Prinzip : F = 0

1) Kraftansatz: Fb - Ft = 0

2) Kräfte bestimmen

beschleunigende = rückstellende Kraft aus Gewichtskraft und Auslenkwinkel

Rückstellende Kraft

Fb = FRK = m g sin

(SW - 1)

Trägheitskraft smFt

(Beschleunigung = 2. Zeitableitung des Weges)

Weg s entspricht Bogenlänge = Pendellänge * Auslenkwinkel

s = - l ls

Minuszeichen: entgegengesetzten Zählrichtungen von Kraft und Winkel

l konstant, zeitliche Änderung nur Winkel

Trägheitskraft

in Abhängigkeit vom Auslenkwinkel

lmFt

(SW - 2)

3) Einsetzen

m fällt heraus

Bewegungsgleichung 0singl

(SW - 3)

gesucht : (t) ? , das ist eine Differentialgleichung (Mathe II) für den Auslenkwinkel



Lösung von (SW - 3) wegen gleichzeitigen Auftretens von und sin kompliziert

für kleine Schwingungsamplituden entspricht der Sinus ungefähr (im Bogenmaß)

bis 10° : Gerade und Sinusfunktion praktisch gleich

kleine Auslenkung sin [] = rad

rückstellende Kraft ist proportional zum Auslenkwinkel FRK

Ersetzen in Differentialgleichung (SW – 3) von sin durch , ergibt

Harmonische Schwingungsgleichung

0l

g

(SW - 4)

Lösung beschreibt zeitliche Bewegung des mathematischen Pendels bei kleinen Auslenkungen



Als Lösung gesucht :

periodische Funktion, deren 2. Ableitung proportional zu der Funktion ist : f~f

Idee: Sinus bzw. Cosinus - Funktion

Experimente

Pendel, aus dem Sand auf eine Folie herausrieselt. Bewegt man die Folie, zeigt sich der

zeitliche Verlauf und der Abstand von der Ruhelage proportional zum Auslenkwinkel

Sinusfunktion

Messung des Auslenkwinkel mit Winkelsensor (Beschleunigungsmesser) zeigt ebenfalls einen

sinusförmigen Verlauf

Betrachtet man den Beginn des Experiments (Loslassen mit einem gewissen Anfangswinkel) kann

die periodische Funktion nicht ein Sinus (ohne Phase) sein, da sin(0) = 0 !

also Cosinus, da cos(0) = 1



Lösungsansatz

für zeitabhängige Winkeländerung (t)

(t) = o cos(ot)

(SW - 5)

mit - o : Anfangsauslenkung

- o : ungedämpfte Kreisfrequenz (ideal, keine Reibung etc.)

Schwingungsdauer

2f;

2

f

1T 0

0

Beweis durch Einsetzen in Harmonische Schwingungsgleichung:

zuerst ableiten

Geschwindigkeit

ändert periodisch

)tsin( ooo

(SW - 6)

Beschleunigung

2

ooo

2

o )tcos(a

(SW - 6')

Mechanische Schwingungen sind ungleichmäßig beschleunigte Bewegungen!

Einsetzen in (SW - 4) 0l

g2

o l

g2

0

Eigenfrequenz o

der Mathematischen Pendels

l

go

(SW - 7)



Physikalisch interessanter als Kreisfrequenz bei Pendeln ist die Schwingungsdauer, da messbar

Schwingungen artverwandt mit Rotation:

- Eine Periode entspricht 2 , hier * T Periodendauer Schwingungsdauer T

- Versuch: Fadenpendel schwingen und kreisen lassen - kein Unterschied

aus SW - 7 folgt damit

Schwingungsdauer

des Mathematischen Pendels bei

kleinen Auslenkungen

g

l2TMP

(SW - 8)

Schwingungsdauer

- proportional zur Wurzel aus Pendellänge

- unabhängig von Masse und Amplitude

Achtung: kleine Amplitude war Ansatz zum Finden der Lösung !!

Versuch : Messung Pendellänge 1m / Wurzel aus 1/10 = 0,3 mal 6 = 2s

t

T = 2

T



Zusammenfassung (Klausur-relevant)

Mathematisches Pendel mit Anfangsauslenkung (aus Kraftansatz):

02

0 l

g2

0 ; 0

2T

Lösung: tcos o0

Merkmale idealer harmonischer Schwingungen

- Gleichung 0xx 2

o

- Schwingungsdauer und Frequenz unabhängig von Amplitude - Rückstellende (= beschleunigende ) Kraft proportional Amplitude (Mechanik) x~FRk

- o beschreibt die ‚Eigenschaften’ des schwingungsfähigen Systems

- o ist die ungedämpfte Eigenfrequenz des Systems

Andere schwingende Systeme (Federpendel, elektrische Schwingkreise, etc.) werden ebenfalls

mit dieser Gleichung beschrieben (ggf. mit anderen Variablen). Mittels Koeffizientenvergleich

erhält man sofort Frequenz und Schwingungsdauer

reale Systeme: Reibung, äußere, nichtlineare, ... Kräfte berücksichtigen (s.u.)

Energieansatz, komplexer Lösungsansatz, Reibung etc. s.u.

Hinweis: Lösungsmethoden kein Prüfungsstoff, nur Ergebnisse;

mathematisches Lösungsverfahren Mathe DGL 2. Sem.



3.2 Übersicht

allgemein:

Schwingungen entsprechen periodische Zustandsänderungen (Energieverschiebungen)

Bsp. Pendel: Epot Ekin Epot (trotzdem Kraftansatz verwenden !)

Gemeinsamkeit: rückstellende Komponente

Schwingungsart Harmonisch Anharmonisch

Mathematische Beschreibung 1 Sinus bzw. Cosinus beliebig

Bsp: Pendel,

LC - Schwingkreis

Rechteck, Ebbe, Flut

Pulsschlag, EKG

Schwingungsart ungedämpft gedämpft

Annahmen ideal mit Verlusten, z.B. Reibung

Bsp Math. Pendel Luftwiderstand, Federpendel

Schwingungsart frei erzwungen

Merkmal - System bleibt sich selbst überlassen

- abklingende Amplitude

- äußere Energiezufuhr

- Resonanz

Bez.: Oszillator Resonator



3.3 Ungedämpfte Harmonische Schwingungen

3.3.1 Physikalisches Pendel

wie 4.1: Kraftansatz, da Rotation mit Drehmomentansatz M = 0 MRK - MT = 0


Physikalisches Pendel

Def.: Starrer Körper mit Drehpunkt und Schwerpunkt

Mathematisches Pendel mit Drehmomentansatz

1) d’Alembert: M = 0 (da Bewegung auch als Rotation angesehen werden kann, s. o.) 2) Drehmomente bestimmen - Drehmoment JMT

- Satz von Steiner: Ja = Js + mr² (MD - 16) - Distanz Aufhängepunkt – Schwerpunkt: r - singmrFrMRK

Die Formeln gelten ebenso für Starren Körper, da Masse im Schwerpunkt ‘wirkt’

D

r

SWP

FRK

FG

D

SWP

r



3) Einsetzen

analog zu (SW 1-4) :

0.vgl0J

gmr

0gmrJ

2

o

a

a

2o

Eigenfrequenz des Physikalischen Pendels

bei kleinen Auslenkungen

²rmJ

gmr

J

gmr

swpa

2

o

(SW - 9)

Kontrolle für Mathematisches Pendel und Vergleich mit (SW – 7):

Massepunkt: Js = 0 r

go

Technische Bedeutung: Experimentelle Bestimmung von Trägheitsmomenten



Zum Weiterlesen und als Beispiel (mechanische) Schwingungen

„besser“ mit dem Kraftansatz zu rechnen.

3.3.2 Beschreibung des Mathematischen Pendels mit Energieansatz

Ekin + Epot = const ; aus Anfangsbedingung v oder h

1/2 mv² + mgh = const. mit - cos1lh

- klein: cos 1 – 1/2 ² h l ² / 2

- s = l und v = l

Vorteile:

- Vorzeichen von v „uninteressant“, da v2

- Ansatz einfacher

Schwingungsgleichung

des Mathematischen Pendels bei kleinen

Auslenkungen aus Energiesatz

const²sl

g²s

(SW - 10)

Einsetzen der Lösung aus Kraftansatz: s = so cos(wot)

o² so² sin²(ot) + g/l so² cos²(ot) = const

mit o² = g/l

g/l so²[sin²(ot) + cos²(ot)] = g/l so² = const., da sin² + cos² = 1

Vgl. Kraftansatz: 0xl

gx mit (SW-10)

aus (SW – 10) dt

dconst²s

l

g²s 0ss

l

g2ss2 0s

l

gs

Energieansatz - auch möglich, aber komplizierter in Lösung etc.

- nicht üblich

- inkompatibel mit LC-Schwingkreis

h

l

nur Epot

kin potE + E

v = 0

kinnur E

maxv = v



3.3.3 Korrekte Lösung der Harmonischen Schwingungs-

gleichung (hier nur zur Information, Details Mathe 2)

Problem bei Anfangsbedingungen (t = 0)

- Auslenkung (Lageenergie) oder Geschwindigkeit (kinetische Energie)

- Auslenkung (Lageenergie) + Geschwindigkeit (kinetische Energie)

Allgemeine Harmonische


0xx 2

o

(SW - 11)

Lösungsansatz : x(t) = c1 cos(ot+) + c2 sin(ot+)

c1, c2 Konstanten aus den Anfangsbedingungen

„Allgemeine“ Lösung der Allgemeinen Harmonische Schwingungsgleichung

Pendel

tsinv

tcosx)t(x o

o

ooo

(SW - 12)

Mit - xo : Anfangsamplitude

- vo : Anfangsgeschwindigkeit

- o : Eigenfrequenz

- : Phase

- Geschwindigkeit x~v

- Beschleunigung xx~v~a 2

o (ungleichmäßig beschleunigte Bewegung)

In (SW - 12) setzt man die Anfangsbedingungen ein :

- nur Anfangsauslenkung : vo = 0 (sin0 = 0)

- nur Anfangsgeschwindigkeit : xo = 0 (cos0 = 1)

- gemischt : vo und xo 0



Allgemeine Lösung der Harmonischen Schwingungsgleichung (wichtig)

- Gilt „immer“ für ungedämpfte harmonisch schwingende Systeme!

- Ist allgemeiner Fall der „mechanischen“ Lösung SW-12

tBtAtx oo sincos)(

(SW – 12‘)

Mit - A, B : Anfangsamplituden

- o : Eigenfrequenz

- : Phase

Zum Weiterlesen : Komplexe Lösung der Schwingungsgleichung.



3.3.4 Beispiele Harmonischer Schwingungen (Übung + Klausur)

- Federpendel

Feder anfänglich gedehnt

Kraftansatz: F = 0

1) Fb - Ft = 0 FRK - Ft = 0 2) Hooke: FRK = - D x = FF da in -x - Richtung

xmFt

3)

0xm

Dx

2o

Feder anfänglich gestaucht

2) Hooke: FRK = + D x = FF da negatives x

xmFt , da in -x - Richtung

Rest identisch

Probe: - m : a 0

- D 0 : a 0

JAVA Applet: Federpendel

gilt auch für senkrechte Pendel

0

Ft

xRuhelage

F = FFF RK

0

Ft

xRuhelage

F = FFF RK



- Torsionspendel

hier gilt nicht v = r ,da nicht konstant

Hier: o =

Herleitung siehe Übungsaufgabe mit : MRK = - D und MT = J folgt :

0J

D

20

- LC – Schwingkreis siehe E- Technik

0ILC

1I

20

UC ebenfalls periodisch! JAVA Applet: Elektromagnetischer Schwingkreis

- Flüssigkeit in U-Rohr

siehe Übungsaufgabe

d' Alembert: FRK = - mbeschl g = Fb ( '-', da nach unten)

FT = mges z

Flüssigkeit: mFL = A h

mges = A l , l : Gesamtlänge

mbesch = 2 A z (2, da über- & unterhalb z = 0)

0zl

g2z

2o

Vgl. Mathematisches Pendel l

g2

o

D

J

Ruhelage

LC

UC

I

mbeschl

mges

z

0

Ft

FRK



3.3.5 Zusammenfassung Mechanik harmonische Schwingungen

(nur Beträge) Translation Rotation

Ansatz

F = 0

M = 0

Variable

Weg x

Winkel

Rücktreibende Komponente

FRK = cT x

MRK = cR

Trägheitskomponente

FT = m x

MT = J

Eigenfrequenz

m

cT2

o

J

cR2

o

Bem.: - Rücktreibende Komponente Auslenkung

- Frequenz unabhängig von Amplitude



3.4 Gedämpfte Harmonische Schwingungen

Einfluß von Reibung oder anderen Verlusten: Verringerung der Amplitude mit der Zeit

Reibungsphänomene siehe Dynamik

Hier als Einführung (Lösungen DGL siehe Mathe 2),

relevant für Klausur sind die drei Fälle (Skizze, s.u.)

Reibungsarten FR FR proportional Amplitude

Gleitreibung Normalkraft lineare Abnahme, nicht geschlossen lösbar

Viskos xv typ. exponentielle Abnahme (*)

Newton 2v Abnahme, DGL schwer lösbar

(*): viskose Reibung entspricht einem Ohmschen Widerstand in ET!

Bsp: Viskose Reibung

z.B. Luftdämpfung eines Pendels bzw. R in LC-Schwingkreis, d.h. vˆx~FR

d'Alembertscher Ansatz

F = 0

Reibungskraft, siehe Tabelle

Ft + FR + FRK = 0

(SW - 13)

Mechanisches System :

0xxm

bx 2

0

2

mit - b : Reibungskonstante

- m : Masse

Vereinfachung der Lösung mit Abklingkoeffizient : m2

b

0xx2x 2

0



Lösung dieser DGL (exakte Lösung siehe Mathe 2, hier nur zur Info) hat 3 Fälle:

Name der 3 Fälle Bedingung Schwingung Bemerkung

Schwingfall o > ja Häufigster auftretender Fall

Kriechfall o < nein „Kommt selten vor“

Aperiodischer

Grenzfall

o = nein Anzustrebender Fall wenn bei schwing-

ungsfähigem System keine Schwingung

auftreten soll, z.B. Fahrzeugdämpfung

Beispiel: analoges Drehspulinstrument

Diese Skizze ist relevant:

Bemerkung: Die Schwingungsgleichungen haben quasi unabhängig vom physikalisch-technischen

System immer dieselbe mathematische Form (siehe DGLs Mathe 2)

Versuche : - LC-Schwingkreis

- Pohlsches Drehpendel

Welches Schwingungsverhalten sollte ein Stoßdämpder in einem Auto aufweisen? Zum Weiterlesen: anharmonische Schwingungen, Frequenzverdopplung

z.B. Klirrfaktor im Audiobereich



3.5 Erzwungene Schwingungen

Prinzip: Äußere Kraft bzw. Energie wirkt auf schwingungsfähiges System Relevant: „Physikalische Effekte“ wie z.B. Skizzen, nicht Formeln. Versuch: Drehpendel

aus „ergänztem“ Kraftansatz ( F = 0) mit externer Kraft


für erzwungene Schwingungen

x + 2 x + o2 x = Fext

(SW - 17)

Fext : - Äußere Kraft , Fälle siehe s.u.

Fext Zeitverhalten Bsp. Pendel

Kurzzeitig, einmalig

(‚Schlag’)

„Anschub“- Anfangsbedingung

Danach gedämpfte

Schwingungen

z.B. Stimmgabel, Börsencrash

Permanent

Dauernde Auslenkung

Schwingungsdauer T =

z.B. Festklemmen

Periodisch

bzw. „beliebig“

Wichtigster Fall

Anregung mit Eigenfrequenz

das ist Resonanz

Praxis: Mit einem ‚Schlag’ und Messung von Schwingfrequenz und Amplitude erhält man alles

Systeminformationen wie o und

t

Fext

t

Fext

t

Fext



3.5.1 Viskos gedämpfte Schwingungen mit äußerer Anregung Versuch : Drehpendel, LC-Schwingkreis JAVA Applet: Erzwungene Schwingungen (Resonanz) Details siehe Mathe 2 – DGL

Wichtige Kenngröße: Äußere Anregefrequenz und Eigenfrequenz des schwingungsfähigen

Systems. Stimmen beide in etwa überein, steigt die Amplitude der Schwingung stark an.

„Schwingungen mit Anregung - das haben Sie als Kind auf der Schaukel intuitiv geschafft!“

Falls die Dämpfung 0 steigt die Amplitude , dies nennt man 'Resonanzkatastrophe'

Klausurrelevant: Skizze, Beschreibung Resonanz



Resonanzen - vermeiden, da Materialzerstörung (s.u.)

- erwünscht z.B. Funkempfänger (LC-Schwingkreis)

Messtechnik : Bestimmung der Resonanzfrequenz

Beispiel Schiffsantrieb:

Video Tacoma - Bridge

Praktische Anwendung des LC – Schwingkreises



Übungsblatt Schwingungen

1. Weisen Sie nach, dass beim Mathematischen Pendel die Lösung des Kraftansatzes

(vereinfacht s = so sin(wot) ) auch die Lösung des Energieansatzes (s'² + o

² s² = const) ist.

2. Stellen Sie die Harmonische Schwingungsgleichung für ein Torsionspendel (siehe Vorlesung)

auf und geben Sie die Eigenfrequenz an. Welche messtechnische Bedeutung hat ein

Torsionspendel?

3. Stellen Sie die Harmonische Schwingungsgleichung für eine Flüssigkeit in einem U-Rohr

(siehe Vorlesung) auf. Wie groß ist die Eigenfrequenz?

4. Wie groß ist die Schwingungsdauer einer langen Stange (Dicke vernachlässigen), die an einem

Ende aufgehängt ist (harmonisch, ohne Reibung)? Vergleichen Sie dies mit einem

Mathematischen Pendel. Lsg: 2/3 eines gleichlangen M. P.

5. Ein Seil der Länge l und der Masse m liegt so auf einem Tisch, dass der längere Teil

hinunterhängt. Nach dem Loslassen soll das Seil reibungsfrei über die Tischkante gleiten.

Stellen Sie die Bewegungsgleichung und vergleichen Sie diese "einmalige" Bewegung mit

einer Harmonischen Schwingung.

6. Ein waagrecht liegender Harmonischer Federoszillator der Masse 1kg (Masse incl. Feder,

Ansatz: waagrechtes Federpendel) und D = 100N/m befindet sich in seiner Ruhelage. Er wird

von einer Kugel (10g) durchschlagen, die mit 500m/s auftrifft und mit 250m/s austritt.

Berechnen Sie die Schwingungsamplitude nach dem Durchschlag des Geschosses

(reibungsfrei). 25 cm

7. Ein unten mit Blei gefülltes Reagenzglas (Gesamtgewicht m) schwimmt senkrecht im Wasser.

Zeigen Sie, dass das Reagenzglas harmonische Schwingungen (ohne Reibung) durchführt,

wenn es etwas ins Wasser gedrückt und dann losgelassen wird.

8. Ein Federpendel besitzt zum Zeitpunkt t=0 eine Auslenkung von 5cm, die Geschwindigkeit

10cm/s und die Beschleunigung -20cm/s². Wie groß ist die Amplitude und die Kreisfrequenz

der Schwingung? 7,07 cm 2 1/s

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