Fourier-Reihen, Fourier- und Laplace -...

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Mathe 3 / Analysis 3

Blankenbach / WS2011 / 09.09.2011 1

Fourier-Reihen, Fourier- und Laplace - Transformation

Prof. Dr. Karlheinz Blankenbach

Hochschule Pforzheim

Tiefenbronner Str. 65

75175 Pforzheim

Überblick / Anwendungen:

- Fourier: Analyse von Schwingungen bzw. Signalen

- Laplace: Lösen von DGL, Übertragungsfunktion, Regelungstechnik

Empfohlene Literatur:

- Latussek et al. : Lehr- und Übungsbuch Mathematik V, Fachbuchverlag Leipzig-Köln

- Papula : Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 2, Vieweg

- Westermann : Mathematik für Ingenieure mit MAPLE, Band 2, Springer

- Burg et al. : Höhere Mathematik für Ingenieure, Band III, Teubner

- Tilman Butz: Fouriertransformation für Fußgänger, Teubner

- Weber/Ulrich: Laplace-Transformation, Teubner

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1. Fourier – Reihenentwicklung

Fourier-Reihenentwicklung – warum, wozu ?:

- Methode zur Darstellung von Funktionen durch (unendliche) Reihen

„gut“ für Mikrocontroller falls mathematische Funktion nicht im Compiler

implementiert ist oder „eingebaute“ Compilerfunktion zu langsam.

- Anwendungen: Differentiation, Integration, „Spektrum“, …

1.1 Einschub zur Wiederholung: Allgemeines zu Reihen

Anwendungen: - Darstellung von Funktionen mit Reihen Numerik

- Integrierbarkeit von 'unlösbaren' Integralen

- Frequenzanalyse nach FOURIER

- In der Technik sind viele Zusammenhänge als Reihen angenähert

(oft auch, weil keine exakte Formel existiert bzw. experimentell ermittelt)

Bsp: Hooke’sches Gesetz, T-abhängiger Längenausdehnung bzw.

elektrischer Widerstand: X = Xo (1 + T)

Definition: a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = ann

1

(R - 1)

an : n-tes Reihenglied

Reihe ist - konvergent, wenn ann

1

= S (Grenzwert S existiert, S < ) (R - 2)

- divergent: Grenzwert S existiert nicht ann

1

=

Ideal: Unendliche Reihe

Reale Numerik: endliche Reihe ann

N

1

= <sN> (R - 3)

Partialsumme

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Vorgehensweise bei Reihen: 1) existiert S ?

2) wenn ja (konvergent), bestimme S bzw. <sN>

Beispiele: nn

1

= 1 + 2 + 3 + 4 + ... + = → divergent

1 1

1

1

21 nn

... = konvergent ?

Reihendefinitionen:

- geometrisch : an = a qn-1

- alternierend : a1 - a2 + a3 - …

- Potenzreihe : a0 + a1x + a2x² + … (Polynom)

- arithmetisch : an = a + (n-1) d

- harmonisch : an = 1/n

Geometrische Reihen

Def.: 1n

1n

qa

= a + aq + aq² + aq³ + .... (R - 4)

Konvergenzbed.: |q| < 1

Summe: q1

aS

für |q| < 1 (R - 5)

Bsp: ...4

1

2

11

2

1

2

1

1n

1n

1n

→ q = 1/2 also konvergent, a = 1

→ 2

2

11

1S

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Alternierende Reihen

Def.:

1n

n

1na1 = a1 - a2 + a3 - a4 + .... (R - 6)

Leibnitz - Konvergenzkriterium:

1) an > an+1 (R - 7)

2) 0alim nn

alternierende Reihe konvergent, wenn beide Bed. erfüllt

Bsp: ...3

1

2

11

n

11

1n

1n

an = 1/n

Leibnitz: 1) 1 1

1n n

2) limn n

1

0 → Reihe ist konvergent

Potenzreihen

Def.:

0n

n

n xa = ao + a1x + a2x2 + a3x

3 + .... (R - 8)

mit an R

Potenzreihe = Polynom

Konvergenzradius 1n

n

n a

alimr

(R - 9)

- konvergent : |x| < r

- divergent : |x| > r

- keine Aussage : |x| = r

Bsp: ...2

x

1

x1

!n

x 2

0n

n

)1n(lim!n

)!1n(lim

a

alimr

nn1n

n

n

→ Reihe konvergent für alle x R (Fakultät > Potenz)

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Potenzdarstellung von Funktionen

konvergente Potenzreihe stellt eine reelle Zahl dar:

n

0n

n xa)x(fy

(R - 10)

somit gilt auch:

- Differential y f xd

dxa x n a xn

n

n

n

n

n' '( )

0 1

1

- Integral F x f x dx a x dx ax

nCn

n

n

n

n

n

( ) ( )

0 0

1

1

Bsp: ( )

x n

n 0

1 - x + x² - x³ + ...

mit a = 1, q = -x : geometrische Reihe

( )

xx

n

n 0

1

1 für |x|< 1

f(x) = 1 / (1+x) (Summe)

Diff. und Int. Mit obiger Reihendefinition und Summe

Diff: f’(x) = -1/(1+x)² = -1 + 2x - 3x² + ... = ( )

1 1

1

n n

n

n x

(so erhält man auch Summen von ‚neuen’ Reihen)

Int : f x dxdx

xx( ) ln( )

1

1 ‚zu Fuß unmöglich’ – aus Formelsammlung

C...3

³x

2

²xxdx)x(

0n

n

= ln(1+x) !

C aus ln 1 = 0 für x=0 C = 0

ln(1+x) x – x²/2 + x³/3 …

Anwendung: Numerik

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Beispiele von Potenzreihen (aus Papula Formelsammlung)

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Näherungspolynome (aus Papula Formelsammlung)

… liefern (nur) in der Nähe des Nullpunkte brauchbare Ergebnisse !

(Bsp: sinx = x und e-x = 1 - x geht für größere x, z.B. 2 ‚schief’)

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1.2 Fourier – Reihen

Vorteil Fourier im Vergleich zu Taylor- und MacLaurin-Reihe:

- basiert auf periodischen Vorgängen, welche technische

Schwingungen besser als Potenzreihen beschreiben !

- Analyse des Frequenzspektrums (→ Fouriertrafo)

Fourier-Analyse von Musikinstrumenten

Allerdings: Idealisierte Betrachtung (scharfe Peaks) für Reihen.

Bei Messung und Fourier-Transformation verbreitern sich diese Peaks.

rel. Lautstärke

Frequenz

fo

2fo 3fo 4fo 5fo

Trompete rel. Lautstärke

Frequenz

fo

2fo 3fo 4fo 5fo

Horn

rel. Lautstärke

Frequenz

fo

2fo 3fo 4fo 5fo

Oboe rel. Lautstärke

Frequenz

fo

2fo 3fo 4fo 5fo

Clarinette

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1.2.1 Definition der Fourier – Reihe

Ziel: Zerlegung einer periodischen Funktion nach Sinus und Cosinus

Def.:

1k

kko tksinbtkcosaa)t(f

mit den Fourier – Koeffizienten (k reelle ganze Zahlen):

relative

Amplitude

Zeit t

(Periode T mit T = 2/)

Ort ‚x’

a0

(DC-Anteil)

T

0

dt)t(fT

1

2

0

dx)x(f2

1

ak

T

0

dt)tkcos()t(fT

2

2

0

dxkxcos)x(f1

bk

T

0

dt)tksin()t(fT

2

2

0

dxkxsin)x(f1

Bemerkungen

Die Integrationsgrenzen können verschoben werden. Salopp formuliert: Man muß ‚nur’

darauf achten, dass über eine ganze Periode integriert wird:

T

0

TTo

To

dt)t(fT

1dt)t(f

T

1

Man findet auch oft eine Fourier-Reihenentwicklung nach ‚x’.

In der Technik meist zeitabhängige Messwerte etc. deshalb Zeit (Periode T) verwenden !

Vereinfachung für folgende Fälle (Symmetrie):

Funktion Definition alle Bsp.

gerade f(-t) = f(t) bk = 0 cos

ungerade f(-t) = - f(t) ak = 0

(inkl. ao)

sin

d.h. Approximation nur durch Sinus bzw. Cosinus !

1k

kko xksinbxkcosaa)x(f

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Vereinfachung für Rechnung mit Periode T:

Def.:

1k

kko

1k

kko tksinAatksinbtkcosaa)t(f

mit k

kk

2

k

2

kka

btan;baA , Rest siehe oben

Anmerkung: Dirichletsche Bedingungen

Die Entwicklung einer periodischen Funktion in eine Fourier-Reihe ist unter folgenden

Voraussetzungen (sog. Dirichletsche Bedingungen) möglich:

1. Das Periodenintervall lässt sich in endlich viele Teilintervalle zerlegen, in denen die

Funktion stetig und monoton ist

2. In den Unstetigkeitsstellen existiert sowohl der links- als auch rechtsseitige Grenzwert

(es kommen nur Sprungunstetigkeiten mit endlichen Sprüngen in Betracht)

Diese Bedingung ist z.B. nicht für Tangens als periodische Funktion erfüllt!

Beispiele:

zu 1. : Rechteck- bzw. Sägezahnsignal sind stetig und monoton in Teilintervallen

zu 2. : Dreiecksfunktion an der ‚Spitze’ Unstetigkeit mit endlichem Sprung

Hilfreiche Integrale und Definitionen :

-

0kfürT

0kfür0dttkcos

T

0

- kallefür0dttksinT

0

- )(cos)(cos2

1sinsin

- )(cos)(cos2

1coscos

- )(sin)(sin2

1cossin

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Die bk’s ‚fallen’ relativ langsam, da die ‚Spitzen’ des Sägezahnes nachgebildet

werden müssen. b0 = 0 da kein DC-Anteil.

Fourier-Darstellung Sägezahn

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

t

y

Sägezahn (nicht maßstäblich)

bis k=1

bis k=2

bis k=3

Nullstellen-Versatz durch EXCEL-Schrittweite

Fourier - Koeffizienten Sägezahn (Spektrum)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

k

|bk|

Liniendiagramm, da einzelne diskrete 'x-Werte', hier k

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Beispiele für Fourier-Reihen (aus Papula Mathematische Formelsammlung)

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Rechteck-Signal durch Fourier-Reihe approximiert

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Vergleich Fourier- Reihe und Fourier –Transformation

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Fourier – Transformation

Bezeichnung: f(t) F()

komplexe Darstellung (ejt = cost jsint)

Definition der Integrale

Summe Integral Einzelglieder Fourier-Transformierte

diskret kontinuierlich

Fourier-

Reihe

tkj

k

kec)t(f

- für c.c.

dte)t(fT

1C

T

0

tkj

k

Fourier-

Integral

F() ist Fouriertransformierte von f(t) : Spektraldarstellung

im Allgemeinen komplex, d.h. Amplitude + Phase

ACHTUNG: - Nie = 2 / T verwenden wie bei Fourier-Reihe!

- Vereinfachung für reelle gerade bzw. ungerade Funktionen f(t) – siehe 9 !

Aufsplittung von F() in Real- und Imaginärteil e-jt = cost - jsint :

PhaseR

I

BetragIRF

IjRF

dtttfjdtttfdtetfF tj

:)(

)()(

:)²()²()(

)()()(

)sin()()cos()()()(

A() = |F()| : Amplitudenspektrum : Praxis !

ft F e dj t

( ) ( )

1

2

F ft e dtj t

( ) ( )

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Beispiele Rechteck-Signale vs. Optik (Beugung)

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Tabelle Fourier-Transformierte (aus Föllinger, HÜTHIG)

Vergleiche Rechteckimpuls und sinx/x (Si)

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Fourier-Transformierte und Fensterfunktionen

Vorgehensweise: Erfassung (z.B. Oszi) und Multiplikation im Zeitbereich mit Fensterfunktion

Fensterfunktionen dämpfen die Nebenzipfel (Frequenz im Original nicht vorhanden!) zu Lasten der Amplitude des Hauptmaximums

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Fourier-Fenster-Funktion: Rechteck ‘Spaltfunktion’ (Zoom, s.u.)

Verbreiterung des 10 Hz-Peaks

Fouriertransformierte einer zeitlich begrenzten Cosinusschwingung

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

f /Hz

|F|

(Amplitudenspektrum) fo = 10 Hz, Meßdauer 1s : 10 gemessene Schwingungen

Fouriertransformierte einer zeitlich begrenzten Cosinusschwingung

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

f /Hz

|F|

(Amplitudenspektrum) fo = 10 Hz, Meßdauer 10s : 100 gemessene Schwingungen

Nebenzipfeldämpfung durch mehr Perioden, aber Gefahr der Unterabtastung

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Beispiel: Fourier-Transformation eines RLC-Schwingkreis mit schwacher Dämpfung

Gedämpfte Schwingungen

-1

-0,5

0

0,5

1

0 1 2 3 4 5 6

Zeit

Amplitude

schw ach gedämpft

Kriechfall

Aperiodischer Grenzfall

Einhüllende

FT gedämpfte Schwingung

0

2

4

6

8

10

0 0,5 1 1,5 2 2,5

rel. Frequenz (w/ws)

rel. Amplitude

A (d= 0,1)

A (d = 0,25)

A (d = 1)

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Übungsaufgaben Fourier-Reihen und -Transformation

1. Entwickle die Funktion

2,,0t

2t

t0

für

0

a

a

)t(f

mit f(t+2) = f(t) in eine Fourier-Reihe und skizziere das Ergebnis.

Lsg: 1mit...5

t5sin

3

t3sin

1

tsina4)t(f

...,3,1k4

...,4,2k0

k

abk

2. Entwickle die Funktion f tt

tfür

t

t( )

sin

sin

0

0

mit f(t+2) = f(t) in eine Fourier-Reihe (Tipp: k = 2k und skizziere das Ergebnis.

Lsg: 1mit...35

t6sin

15

t4cos

3

t2cos42)t(f

aungerade = 0 ; agerade = 4/(1-k²)

3. Berechne Fouriertransformierte eines Dreieckimpulses und skizziere das Ergebnis

f(t)

t0

A

Tmess/2-

Lösung: FA

TT

mess

mess( )

²cos /

41 2

4. Berechne die FT des doppelten Rechteckpuls und skizziere das Ergebnis

t-3T 3T-T T

1

0

f(t)

Lösung: F T T( ) sin cos

4

2

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2.2.1 Laplace-Transformation und Rechenregeln

f(t)

F(p)

Transformation

f(t) F(p)

j

j

pto

o

dpe)p(Fj2

1)t(f

(*)

0

pt dte)t(f)p(F

Linearität

a1f1(t) + a2f2(t)

a1F1(p) + a2F2(p)

Ähnlichkeitsatz

f(at) mit a > 0

1/a F(p/a)

Verschiebungssatz

f(t-) mit > 0

e-p F(p)

Dämpfungssatz

e-dt f(t)

F(p+d)

Sprungfunktion

_

1/p

Deltafunktion

(t)

1

1. Differentiation

f’(t)

pF(p) - f(+0) (**)

2. Differentiation

f’’(t)

p²F(p) - pf(+0) - f’(+0) (**)

Integrationssatz

t

0

d)(f

1/p F(p)

Faltungssatz

t

0

21 d)t(f)(f

F1(p) F2(p)

(*) : Rücktransformation besser mit Partialbruchzerlegung bzw.

Reihenentwicklung von F(p) und Korrespondenztafel

(**) : t +0

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2.2.4.1 Partialbruchzerlegung (Einschub)

wird zur Laplace-Rücktransformation benötigt, um gebrochen rationale Funktionen zu zurlegen,

um die Korrespondenztafeln anwenden zu können.

Auch hilfreich bei Integration

Beispiel : gebrochen rationale Funktion: 10x3²x

11x5

allgemein: o1

m

o1

n

n

bxb...x

axa...xa

)x(N

)x(Z)x(f

mit n < m ; m, n N ; ai, bi R ; an 0

bm = 1 durch Kürzen

Prinzip (zunächst rückwärts)

10x3²x

11x5

)5x()2x(

)2x(2)5x(3

5x

2

2x

3

<-------------- Partialbruchzerlegung

Ziel: Faktorzerlegung Nenner N(x) = (x - x1)(x - x2)

(bei quadratischem Nenner)

Bem.: Partialbruchzerlegung immer möglich

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Vorgehen: )x(Z

)x(N)x(f

1. Bestimme Nullstellen des Nennerpolynoms N(x)

2. Jeder Nullstelle wird ein Partialbruch zugeordnet

a) x1 einfache reelle Nullstelle )x(bpxx

A

1

b) x1 zweifache reelle Nullstelle )x(bp)²xx(

A

xx

A

1

2

1

1

c) x1 r-fache reelle Nullstelle )x(bp)xx(

A...

)²xx(

A

xx

Ar

1

r

1

2

1

1

d) komplexe Nullstellen relativ kompliziert

Ai unbekannt, sind zu bestimmende Konstanten

3.

N

1i

i )x(bp)x(f mit N : Anzahl der Nullstellen des Nennerpolynoms

4. Bestimmung der Konstanten Ai :

- alle Brüche auf Hauptnenner bringen

- ‘geeignete’ x-Werte ansetzen, z.B. Nennernullstellen,

ergibt Lineares Gleichungssystem

- Lösung des LG mit Gauß oder Koeffizientenvergleich

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a) zweifache Nullstellen f xx

x x

N x

Zx( )

²

( )

( )

5

6 9

1. Bestimme Nullstellen

N(x) = x² - 6x + 9 = 0

x1 2

6 36 36

23

/

x1 = x2 = 3

N(x) = (x - 2) (x + 5)

2. Zuordnung Partialbruch

x1 = x2 = 3 : pb xA

x

A

x( )

( )²

1 2

3 3

3. f x pb xA

x

A

xi

i

( ) ( )( )²

1

2

1 2

3 3

4. Bestimmung der Konstanten

f xA x A

xA x A A x( )

( )

( )²(*)

!

1 2

1 1 2

3

33 5

Methode Koeffizientenvgl. mit (*)

A1 = 1

3 1 - A2 = 5 A2 = -2

f xx

x x x x( )

² ( )²

5

6 9

1

3

2

3

Methode ‘geeignete’ x-Werte

mit (*)

x1 = 3 : 3A1 - 3A1 + A2 = 3 - 5

A2 = -2 s.o.

A1 ? A1x - 3A1 - 2 = x - 5

A1(x - 3) = x - 3

A1 = 1 s.o.

Übung : )²2(

1

)2(

11

1

4

4²3³

526²15

xxxxx

xx

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2.2.5 Anwendung der Laplace-Transformation

Zweck: Leichteres Lösen komplizierter Gleichungen

Anwendungen in- E-Technik, Informationstechnik, Maschinenbau, Regelungstechnik, …:

- Übertragungsfunktion eines Systems (Signalverarbeitung, siehe zugehörige Vorlesung)

- Regelungstechnik (siehe zugehörige Vorlesung)

- Lösen von Differentialgleichungen (hier):

Vorgehensweise:

1. Die DGL yn’ (linear mit konstantem Koeffizienten) wird mit Laplace-Transformation in eine

algebraische Gleichung übergeführt

2. Als Lösung dieser Gleichung erhält man die Bildfunktion Y(p) der gesuchten

Originalfunktion y(t)

3. Die gesuchte Lösung y(t) der DGL erhält man durch Rücktransformation der Bildfunktion

Y(p). (Korrespondenztabellen, Partialbruchzerlegung, Reihenentwicklung, ...)

Vorteil: Rechenoperationen im Bildbereich meist leichter ausführbar!

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Beispiel aus der E-Technik

RLC-Netzwerke : Ohmsches Gesetz im Bildbereich: Z(p) = U(p) / I(p)

Bildspannungen und Symbolische Widerstände

Schaltglied Spannung im

Zeitbereich

Bildspannung Symbolischer Wider-

stand im Bildbereich

Ohmscher

Widerstand R UR(t) = R I(t) UR(p) = R I(p) ZR(p) = R

Kondensator C ( )

∫ ( ) ( )

( ) ( )

Spule L ( ) ( )

) ( ) ( ) ZL(p) = L p

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2.2.6 Übungsaufgaben Laplace - Transformation

1. Berechnen Sie die Laplace-Transformierte von f(t) = t für t0, 0 sonst.

Lsg.: F(p) =1/p²

2. Berechnen Sie die Laplace-Transformierte von f(t) = sint für t0, 0 sonst.

Lsg.: F(p) =/(p²+²)

3. Lösen Sie mit DGL-Methoden und mit Laplace-Trafo: y’ = e-t mit y(0) = 0

Lsg.: y = 1 - e-t

4. Lösen Sie mit DGL-Methoden und mittels Laplace-Transformation y’’ + y = x

mit y(/2) = 0 und y’(/2) = 1.

Lsg.: y = x - (/2)sinx

5. Lösen Sie mit DGL-Methoden und mittels Laplace-Transformation y’’ + 2y’ + y = 0 mit

y(0) = 0 ; y’(0) = 1.

Lsg.: y = x e-x

6. Lösen Sie mit DGL-Methoden und mittels Laplace-Transformation y’’ + y = cos2x erst

allgemein und dann mit y(0) = 1 und y’(0) = 0

Hinweis: Verwenden Sie erweiterte Korrespondenztabellen !

Lsg.: y = yh + yp = (1/3 + y(0))cosx + y’(0)sinx - 1/3 cos2x

= 4/3 cosx - 1/3 cos2x

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