Martingale in diskreter Zeit || Stoppzeiten und lokale Martingale

Kapitel 2Stoppzeiten und lokale Martingale

Für die Modellierung stochastischer Systeme ist es wesentlich, Prozesse nicht nurfür feste oder „deterministische“ Zeitpunkte n 2 T zu betrachten, sondern für zu-fällige Zeiten. In diesem Kapitel werden wir dies präzisieren.

Seien .˝;F ; P / ein Wahrscheinlichkeitsraum, T D Œ˛; ˇ� \ Z ein Z-Intervallund F D .Fn/n2T eine Filtration in F . Für n 2 T seien Tn WD fj 2 T W j � ngund T n WD fj 2 T W j � ng.

2.1 Stoppzeiten und gestoppte Prozesse

Eine Abbildung � W ˝ ! T [ f˛; 1g heißt Zufallszeit, falls � F -messbar ist.Bei ˛ > �1 gilt natürlich T [ f˛; 1g D T [ f1g. Mit dem Wert C1 berück-sichtigen wir den Fall, dass der durch � beschriebene Zeitpunkt nie eintritt. Falls˛ D �1, erfasst der Wert �1 den (ziemlich uninteressanten) Fall, dass der durch� beschriebene Zeitpunkt immer wieder eintritt, also „das Spiel gar nicht beginnt“.

Bei der durch F gegebenen Informationsstruktur ist es entscheidend, dass auf-grund der Information Fn zur Zeit n bekannt ist, ob � � n wahr ist oder nicht. Fn

ist dabei die �-Algebra der Ereignisse vor n oder der n-Vergangenheit.

Definition 2.1

(a) Eine Abbildung � W ˝ ! T [ f˛; 1g heißt F-Stoppzeit, falls

f� � ng 2 Fn

für alle n 2 T . Eine F-Stoppzeit � heißt einfach, falls �.˝/ eine endlicheTeilmenge von T ist.

(b) Für eine F-Stoppzeit � heißt

F� WD fF 2 Fˇ W F \ f� � ng 2 Fn für alle n 2 T g� -Algebra der �-Vergangenheit.

H. Luschgy, Martingale in diskreter Zeit, Springer-Lehrbuch Masterclass, 35DOI 10.1007/978-3-642-29961-2_2, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013

36 2 Stoppzeiten und lokale Martingale

Das Mengensystem F� ist in der Tat eine �-Algebra, weil aus

F c \ f� � ng D f� � ng n .F \ f� � ng/die Komplementstabilität von F� folgt, und ˝ 2 F� sowie die abzählbare Vereini-gungsstabilität wegen

� 1[j D1

�\ f� � ng D

1[j D1

.Fj \ f� � ng/

gelten. Eine Stoppzeit ist F -messbar und damit eine Zufallszeit.Die Abhängigkeit des Konzepts der Stoppzeit von der Filtration F wird häufig

nicht mehr angegeben. Man beachte ferner die (nicht explizit angegebene) Abhän-gigkeit der �-Algebra F� von der Filtration.

Nützlich sind die folgenden Charakterisierungen. Im Fall ˇ < 1 sei

F1 WD Fˇ :

Lemma 2.2

(a) Eine Abbildung � W ˝ ! T [ f˛; 1g ist genau dann eine Stoppzeit, wenn

f� D ng 2 Fn

für alle n 2 T [ f˛g gilt, und dann gilt auch f� D 1g 2 Fˇ .(b) Für eine Stoppzeit � gilt

F� D fF � ˝ W F \ f� � ng 2 Fn für alle n 2 T [ f1ggD fF � ˝ W F \ f� D ng 2 Fn für alle n 2 T [ f˛; 1ggD fF 2 Fˇ W F \ f� D ng 2 Fn für alle n 2 T [ f˛gg:

Die beiden letzten Gleichungen in (b) verdeutlichen die wahrscheinlichkeitstheo-retische Idee, dass ein Ereignis F vor � oder in der �-Vergangenheit passiert, wennman zur Zeit � weiß, ob F eingetreten ist.

Beweis (a) Ist � eine Stoppzeit, so gilt für n 2 T

f� D ng D f� � ng n f� � n � 1g 2 Fn;

und im Fall ˛ D �1 gilt

f� D �1g D\

f� � j g 2 Fm

für alle m 2 T , also f� D �1g 2 Tm2T Fm D F�1. Es folgt dann auch

f� D 1g D\j 2T

f� > j g D\j 2T

f� � j gc 2 Fˇ :

2.1 Stoppzeiten und gestoppte Prozesse 37

Gilt umgekehrt f� D ng 2 Fn für alle n 2 T [ f˛g, so folgt

f� � ng D[

j 2Tn[f˛gf� D j g 2 Fn

für alle n 2 T , also ist � eine Stoppzeit.(b) Für F 2 F� gilt F \ f� � 1g D F 2 Fˇ und somit F \ f� � ng 2 Fn für

alle n 2 T [ f1g.Für F � ˝ mit F \f� � ng 2 Fn für alle n 2 T [f1g gilt F D F \f� � 1g 2

Fˇ und für n 2 T

F \ f� D ng D .F \ f� � ng/ n .F \ f� � n � 1g/ 2 Fn:

Falls ˛ D �1, gilt

F \ f� D �1g D\

F \ f� � j g 2 Fm

für alle m 2 T , also

F \ f� D �1g 2 F�1:

Damit gilt auch

F \ f� D 1g D F n .F \ f� < 1g/ D F n� [

j 2T [f˛gF \ f� D j g

�2 Fˇ ;

also F \ f� D ng 2 Fn für alle n 2 T [ f˛; 1g.Für F � ˝ mit F \ f� D ng 2 Fn für alle n 2 T [ f˛; 1g gilt

n2T [f˛;1gF \ f� D ng 2 Fˇ :

Für F 2 Fˇ mit F \ f� D ng 2 Fn für alle n 2 T [ f˛g gilt

F \ f� � ng D[

j 2Tn[f˛gF \ f� D j g 2 Fn

für alle n 2 T und damit F 2 F� . utDie beiden folgenden Resultate enthalten die zentralen Eigenschaften von Stopp-

zeiten und den assoziierten �-Algebren.

Satz 2.3 (Stoppzeiten) Seien � , � und �1; �2; : : : Stoppzeiten.

(a) Für m 2 T [ f˛; 1g ist � WD m eine Stoppzeit und F� D Fm.(b) � ist F� -messbar.(c) � ^ � ist eine Stoppzeit und F�^� D F� \F� . Insbesondere gilt F� � F� , falls

� � � überall auf ˝ . Ferner ist infk�1 �k eine Stoppzeit.(d) � _ � ist eine Stoppzeit und F�_� D �.F� [ F� / Ferner ist supk�1 �k eine

Stoppzeit.(e) � C � ist eine Stoppzeit, falls ˛ � 0 und ˇ D 1.(f) Für F 2 F�^� ist �1F C�1F c eine Stoppzeit mit � ^� � �1F C�1F c � � _�

überall auf ˝ .

Beweis (a) Da f� � ng D ; für n < m und f� � ng D ˝ für n � m; n 2 T , ist� eine Stoppzeit, und wegen F \ f� D ng D ; für n 6D m, n 2 T [ f˛; 1g undF \ f� D mg D F gilt mit 2.2 F� D Fm.

(b) Für B � R und n 2 T [ f˛; 1g gilt f� 2 Bg \ f� D ng D f� D ng, fallsn 2 B und f� 2 Bg \ f� D ng D ;, falls n … B , also f� 2 Bg 2 F� nach 2.2. Esfolgt die F� -Messbarkeit von � .

(c) Wegen

f� ^ � � ng D f� � ng [ f� � ng 2 Fn

für alle n 2 T ist � ^ � eine Stoppzeit. Für F 2 F�^� und n 2 T gilt

F \ f� � ng D F \ f� ^ � � ng \ f� � ng 2 Fn;

was F 2 F� impliziert. Durch Rollentausch von � und � folgt auch F 2 F� , alsoF 2 F� \ F� . Umgekehrt gilt für F 2 F� \ F� und n 2 T

F \ f� ^ � � ng D .F \ f� � ng/ [ .F \ f� � ng/ 2 Fn;

also F 2 F�^� .Gilt � � � überall auf ˝ , so folgt

F� D F�^� D F� \ F� � F� :

Ferner ist infk�1 �k eine Stoppzeit wegen

f infk�1

�k � ng D1[

f�k � ng 2 Fn

für alle n 2 T .(d) Wegen

f� _ � � ng D f� � ng \ f� � ng 2 Fn

für alle n 2 T ist � _ � eine Stoppzeit. Nach (c) gilt F� [ F� � F�_� , also�.F� [F� / � F�_� . Andererseits gilt für F 2 F�_� und n 2 T [ f˛; 1g nach 2.2

F \ f� � �g \ f� D ng D F \ f� � ng \ f� D ngD F \ f� _ � D ng \ f� D ng 2 Fn

und durch Rollentausch

F \ f� � �g \ f� D ng 2 Fn:

Es folgt mit 2.2(b), dass F \ f� � �g 2 F� und F \ f� � �g 2 F� , also

F D .F \ f� � �g/ [ .F \ f� � �g/ 2 �.F� [ F� /:

Ferner ist supk�1 �k eine Stoppzeit wegen

fsupk�1

�k � ng D1\

f�k � ng 2 Fn

für alle n 2 T .(e) Wegen der Voraussetzungen an ˛ und ˇ ist .T; C/ eine Halbgruppe. Daher

gilt .� C �/.˝/ � T [ f1g und wegen

f� C � D ng D[

f� D n � j g \ f� D j g 2 Fn

für alle n 2 T ist � C � nach 2.2(a) eine Stoppzeit.(f) Für � WD �1F C �1F c und n 2 T gilt wegen F�^� D F� \ F�

f� � ng D .f� � ng \ F / [ .f� � ng \ F c/ 2 Fn;

also ist � eine Stoppzeit. utFür Unter-�-Algebren G und H von F bedeutet die Relation G � H f.s., dass

für jede Menge G 2 G eine Menge H 2 H mit G D H f.s., also P.G�H/ D 0

existiert.

Lemma 2.4 Seien � und � Stoppzeiten.

(a) f� � �g; f� D �g 2 F�^� , F� \ f� � �g D F�^� \ f� � �g und F� \f� D �g D F� \ f� D �g.

(b) Aus � � � f.s. folgt F� � F� f.s.(c) Für eine quasiintegrierbare Zufallsvariable U W .˝;F/ ! .R;B.R// und n 2

T [ f˛; 1g gelten

E.U jF� / D E.U jFn/ auf f� D ng

E.E.U jF�/jF� / D E.U jF�^�/:

Gilt � � � f.s., so folgt die zweite Gleichung von 2.4(c) wegen (b) und A.12(a),(b) aus der Turmeigenschaft. Es ist bemerkenswert, dass diese Gleichung für belie-bige Stoppzeiten richtig ist. Die erste Gleichung von 2.4(c) bedeutet

E.U jF� / DX

n2T [f˛;1gE.U jFn/1f�Dng:

Sie wird in 2.7 noch verallgemeinert.

Beweis (a) Für F 2 F� und n 2 T [ f˛; 1g gilt

F \ f� � �g \ f� ^ � D ng D F \ f� D ng \ f� � ng 2 Fn

nach 2.2(b). Also gilt F \ f� � �g 2 F�^� wieder nach 2.2(b) und für F D ˝

folgt f� � �g 2 F�^� , also auch f� D �g D f� � �g \ f� � �g 2 F�^� . Damithaben wir F� \ f� � �g � F�^� \ f� � �g gezeigt, und die umgekehrte Inklusionfür die Spur-�-Algebra folgt aus F�^� � F� . Der letzte Teil folgt aus dem zweiten:

F� \ f� D �g D F� \ f� � �g \ f� � �gD F�^� \ f� � �g \ f� � �gD F�^� \ f� D �g

und durch Rollentausch

F� \ f� D �g D F�^� \ f� D �g:(b) Für F 2 F� und A WD f� � �g gilt F D F \ A f.s. wegen P.A/ D 1 und

nach (a) und 2.3(c) gilt F \ A 2 F� . Es folgt F� � F� f.s.(c) Nach (a) und 2.3(a), (c) gelten f� D ng 2 F�^n D F� \ Fn und

F� \ f� D ng D Fn \ f� D ng. Damit folgt die erste Gleichung aus der Lo-kalisierungseigenschaft A.12(c).

Nach (a) und 2.3(c) gelten f� � �g 2 F�^� D F� \ F� und F� \ f� � �g DF�^� \ f� � �g und die Lokalisierungseigenschaft A.12(c) liefert

E.U jF�/ D E.U jF�^�/ auf f� � �g:Damit folgt wieder mit der Lokalisierungseigenschaft

E.E.U jF�/jF� / D E.E.U jF�^�/jF� / D E.U jF�^�/ auf f� � �g:Ferner gilt wegen f� � �g 2 F�^� und F� \ f� � �g D F�^� \ f� � �g mit derLokalisierungseigenschaft und der Turmeigenschaft

E.E.U jF�/jF� / D E.E.U jF� /jF�^�/ D E.U jF�^�/ auf f� � �g: ut

Wichtige Beispiele für Stoppzeiten sind Eintrittszeiten adaptierter Prozesse.

Beispiel 2.5 Seien X ein adaptierter .X ;A/-wertiger Prozess, B 2 A und

�B WD inffn 2 T W Xn 2 Bgmit inf ; WD 1. Dann ist �B wegen

f�B � ng D[

fXj 2 Bg 2 Fn

für alle n 2 T eine Stoppzeit. Diese Stoppzeit heißt erste Eintrittszeit von X

in B . Im Fall ˇ < 1 geht man häufig zu der Stoppzeit �B ^ ˇ über. Wegen

f�B ^ ˇ D ˇg D f�B D 1g [ f�B D ˇg liefert �B ^ ˇ D ˇ allerdings keineInformation darüber, ob das Ereignis fXn 2 Bg erstmals zur Zeit n D ˇ oder garnicht eingetreten ist. Daher ist es manchmal bequemer, den Wert C1 zuzulassen.

Sei nun � eine Stoppzeit und

�B.�/ WD inffn 2 T W n > � und Xn 2 Bg:

f�B.�/ � ng D[

f� < j g \ fXj 2 Bg 2 Fn

für alle n 2 T ist auch �B.�/ eine Stoppzeit. Ist beispielsweise � D �B , dann ist�B.�/ die zweite Eintrittszeit von X in B oder die erste Rückkehrzeit.

Ist X vorhersehbar, so ist

� WD inffn 2 T W n < ˇ und XnC1 2 Bg

eine Stoppzeit. Wegen f� D ˇg D ; im Fall ˇ < 1 bedeutet hier der Übergang zuder Stoppzeit � ^ ˇ keinen Informationsverlust.

Wenn X reell ist und den Kurs einer Aktie beschreibt, betrachte man zur weiterenVerdeutlichung die Strategie, die Aktie beim Minimalstand des Kurses im ZeitraumT D Œ0; ˇ� \ Z; ˇ < 1 zu kaufen, also zum Zeitpunkt

� WD inffn 2 T W Xn D minj 2T

Dann ist � eine Zufallszeit, aber in der Regel keine Stoppzeit, da

f� � ng D fminj 2Tn

Xj D minj 2T

Xj g … Fn

für n < ˇ.

Die Beobachtung von Prozessen an zufälligen Zeiten wird folgendermaßen prä-zisiert.

Definition 2.6 Seien X D .Xn/n2T ein .X ;A/-wertiger Prozess und � eine Zu-fallszeit.

(a) X� W f� 2 T g ! X mit X�.!/ WD X�.!/.!/ heißt Zustand des Prozesses zurZeit �.

(b) X � D .X �n/n2T mit X �

n W f� > �1g ! X ; X �n WD X�^n heißt der zur Zeit �

gestoppte Prozess X .(c) Es wird stets angenommen, dass X� und X � durch .X ;A/-wertige Zufallsva-

riablen X1 und X�1 auf f� D 1g beziehungsweise f� D �1g fortgesetztsind. Ist X adaptiert, werden X˙1 als F˙1-messbar angenommen. Im Fallˇ < 1 sei stets X1 WD Xˇ gewählt.

Es gilt demnach lokal für n 2 T [ f˛; 1gX� D Xn auf f� D ng:

Besondere Spezifikationen von X1 und X�1 werden jeweils explizit angegeben,wobei X�1 bei ˛ > �1 nicht gebraucht wird. Dieses Problem entfällt, wennP.� 2 T / D 1.

Im Fall ˇ < 1 spielt der mögliche Wert � D 1 für das Stoppen von Prozessenkeine Rolle: Es gilt X � D X �^ˇ .

Für reelle Prozesse X gilt X �n ! X� überall auf f� < 1g für n ! ˇ. Im Fall

ˇ < 1 bedeutet diese „rechte Randbedingung“ gestoppter Prozesse X �ˇ

D X� auff� < 1g.

Lemma 2.7 Seien X D .Xn/n2T ein .X ;A/-wertiger Prozess, .Un/n2T [f˛;1geine Folge von .R;B.R//-wertigen Zufallsvariablen und � eine Zufallszeit.

(a) X� ist F -messbar.(b) X� ist F� -messbar und X � ist adaptiert, falls X adaptiert und � eine Stoppzeit

ist.(c) Sind Un für alle n 2 T [ f˛; 1g quasiintegrierbar, � eine Stoppzeit und U�

quasiintegrierbar, so gilt für n 2 T [ f˛; 1gE.U� jF� / D E.UnjFn/ auf f� D ng:

Beweis (a) Für B 2 A gilt

fX� 2 Bg D[

n2T [f˛;1g.fX� 2 Bg \ f� D ng/

n2T [f˛;1g.fXn 2 Bg \ f� D ng/ 2 F :

(b) Mit 2.2(a) gilt für B 2 A und alle n 2 T [ f˛; 1gfX� 2 Bg \ f� D ng D fXn 2 Bg \ f� D ng 2 Fn:

Aus 2.2(b) folgt fX� 2 Bg 2 F� und damit ist X� bezüglich F� messbar. Insbeson-dere ist danach X �

n bezüglich F�^n messbar, und es gilt F�^n � Fn nach 2.3(c).(c) Für n 2 T [ f˛; 1g gilt U� D Un auf f� D ng und ferner nach 2.4(a)

f� D ng 2 F� \ Fn und F� \ f� D ng D Fn \ f� D ng. Daher folgt dieBehauptung aus der Lokalisierungseigenschaft A.12(c). ut

Wir zeigen jetzt, dass die Martingaleigenschaft stopp-stabil ist, und für ˛ > �1sind gestoppte reelle Prozesse X h-Transformierte von X .

Man beachte, dass sich die Zuwächse .�X � /n D X �n �X �

n�1 D X�^n�X�^.n�1/

des gestoppten Prozesses X � von dem gestoppten Prozess der Zuwächse .�X/�n D

.�X/�^n D X�^n � X.�^n/�1 auf f� < ng unterscheiden. Im Folgenden werdennur die Zuwächse gestoppter Prozesse eine Rolle spielen und wir schreiben wieder�X �

n für .�X � /n.

Satz 2.8 Seien X D .Xn/n2T ein adaptierter reeller Prozess und � eine Stoppzeit.

(a) Sei ˛ > �1. Der Prozess H WD .1f��ng/n2T ist vorhersehbar und es gilt

X � D X˛ C H � X:

(b) (Optional stopping) Der gestoppte Prozess X � ist ein Martingal, falls X einMartingal ist und X�11f�D�1g 2 L1. .X � /C ist ein Submartingal, falls X einSubmartingal ist und XC�11f�D�1g 2 L1, und X � ist ein Submartingal (Super-martingal), falls X ein Submartingal (Supermartingal) ist, X�11f�D�1g 2 L1

und X �q 2 L1 für ein q 2 T gilt. Letzteres ist erfüllt, falls infn2T EXn > �1

(supn2T EXn < 1).

Für nach unten beschränkte Stoppzeiten � , also P.� � q/ D 1 für ein q 2 T

gilt X �q D Xq1f��qg 2 L1. Im Allgemeinen ist X � für Submartingale X kein

L1-Prozess und damit kein Submartingal: Seien T D �N0; Xn D n und � eineT -wertige Stoppzeit mit Ej� j D 1. Dann gilt für das gestoppte SubmartingaljX �

n j � j� j, also EjX �n j � Ej� j D 1 für alle n 2 T . (Man wähle etwa � WD �Y ,

wobei Y der ganzzahlige Anteil des Betrages einer Cauchy-verteilten Zufallsvaria-ble ist, und Fn WD F für alle n 2 N0.)

Beweis Nach 2.7(b) ist X � adaptiert. Für n 2 T , n > ˛ gilt X �n � X �

n�1 D 0 auff� � n � 1g und X �

n � X �n�1 D Xn � Xn�1 auf f� � ng, also

�X �n .D .�X � /n/ D 1f��ng�Xn:

Ebenso gilt für die Zuwächse von .X � /C D .XC/�

�.XC/�n D 1f��ng�XC

Insbesondere sind die Prozesse der Zuwächse �X � und �.X � /C L1-Prozesse, fallsX ein L1-Prozess beziehungsweise XC ein L1-Prozess ist.

(a) Sei ˛ > �1. Wegen f� � ng D f� � n � 1gc 2 Fn�1 ist H vorhersehbarund für n 2 T gilt

X �n D X˛ C

nXj D˛C1

�X �j D X˛ C

nXj D˛C1

1f��j g�Xj D X˛ C .H � X/n:

(b) Ist X ein Martingal, so gilt mit Taking out what is known für n 2 T; n > ˛

E.�X �n jFn�1/ D 1f��ngE.�XnjFn�1/ D 0

und falls X ein Submartingal ist, gelten

E.�X �n jFn�1/ � 0 und E.�.X �

n/CjFn�1/ � 0;

da auch XC ein Submartingal ist. Es bleibt zu zeigen, dass X � beziehungsweise.X � /C ein L1-Prozess ist. Für ˛ > �1 folgt dies aus (a). (Dann folgen die Be-hauptungen auch aus 1.9)

Sei ˛ D �1. Es gilt

X �n D Xn1f�>ng C X�1f�1<��ng C X�11f�D�1g:

Ist X ein Martingal, so ist jX j ein Submartingal, und daher für n 2 T

f�1<��ngjX� jdP D

Xj 2Tn

f�Dj gjXj jdP

f�Dj gjXnjdP D

f�1<��ngjXnjdP;

EjX �n j � EjXnj1f�>�1g C EjX�1j1f�D�1g < 1:

Ist X ein Submartingal, so ist XC ein Submartingal, und man zeigt ebenso

E.X �n/C � EXC

n 1f�>�1g C EXC�11f�D�1g < 1:

Ist X ein Submartingal mit X �q 2 L1, so folgt wegen X �

n D �X �n C X �

n�1 und�X �

n 2 L1 für alle n 2 T mit Rückwärts- und Vorwärtsinduktion, dass X einL1-Prozess ist.

Sei nun X ein Submartingal mit infn2T EXn > �1 und Doob-Zerlegung X DM CA. Dann gilt X � D M � CA� mit der Spezifikation M�1 WD X�1. Wie geradegezeigt, sind M � und A� L1-Prozesse, da M ein Martingal und A ein positivesSubmartingal mit A�1 D 0 ist. Also ist X � ein L1-Prozess. ut

Der Wechsel von einem Martingal zu einem anderen an einem zufälligen Treff-zeitpunkt (Kopplungszeit) stört ebenfalls nicht die Martingaleigenschaft.

Satz 2.9 (Optional switching) Seien Y; Z adaptierte reelle Prozesse, � eine Stopp-zeit und für n 2 T

Xn WD Yn1f�>ng C Zn1f��ng:

Dann ist X ein Martingal, falls Y; Z Martingale mit Y� D Z� auf f� 2 T g\f� > ˛gsind. Ferner ist X ein Submartingal (Supermartingal), falls Y; Z Submartingale(Supermartingale) mit Y� � Z� .Y� � Z� / auf f� 2 T g \ f� > ˛g sind.

Beweis Der Prozess X ist offenbar adaptiert. Sind Y und Z Submartingale, so istX wegen EjXnj � EjYnj C EjZnj < 1 ein L1-Prozess und mit Taking out whatis known gilt für n 2 T; n < ˇ

Xn � E.YnC1jFn/1f�>ng C E.ZnC1jFn/1f��ngD E.YnC11f�>ng C ZnC11f��ngjFn/

D E.YnC11f�>nC1g C YnC11f�DnC1g C ZnC11f��ngjFn/:

YnC11f�DnC1g D Y�1f�DnC1g � Z�1f�DnC1g D ZnC11f�DnC1g

Xn � E.XnC1jFn/;

also ist X ein Submartingal. utFür Martingale Y und Z beispielsweise gilt die Gleichung Y� D Z� auf f� 2 T g

für die erste Eintrittszeit

� D inffn 2 T W Yn D Zng D inffn 2 T W 1fYnDZng D 1gebenso wie für die in 2.5 definierten zweiten, dritten etc. Eintrittszeiten der Ereig-nisse fYn D Zng.

Für gestoppte h-Transformierte, die gestoppte Kovariation und den Kompensatorgestoppter Prozesse erhält man die folgenden Gleichungen.

Lemma 2.10 Seien ˛ > �1, H ein vorhersehbarer reeller Prozess, X; Y adap-tierte reelle Prozesse, � eine Stoppzeit und Kn WD 1f��ng für n 2 T .

(a) H � ist vorhersehbar und .H � X/� D HK � X D H � X � D H � � X � .(b) ŒX; Y �� D ŒK � X; Y � D ŒX � ; Y � D ŒX � ; Y � �.(c) hX; Y i� D hK � X; Y i D hX � ; Y i D hX � ; Y � i; falls X; Y L2-Prozesse sind.(d) Ist X ein L1-Prozess und A der Kompensator von X , so ist A� der Kompensator

von X � .

Beweis (a) Wegen H � D H˛ C K � H nach 2.8(a) ist H � vorhersehbar. Wiedernach 2.8(a) gilt

.H � X/� D K � .H � X/ D KH � X

D H � .K � X/ D H � .X � � X˛/ D H � X �

und wegen KH D KH � auch .H � X/� D H � � X � .(b) Für die Kovariation gilt mit 1.19(a)

ŒX; Y �� D K � ŒX; Y � D ŒK � X; Y � D ŒX � � X˛; Y � D ŒX � ; Y �

und wegen K2 D K

ŒX; Y �� D ŒK � X; K � Y � D ŒX � ; Y � �:

(c) Sind X; Y L2-Prozesse, so sind nach 2.8(a) auch X � ; Y � adaptierte L2-Prozesse, und (c) folgt aus 1.19(b) wie (b).

(d) Nach 1.19(c) ist A� D K � A der Kompensator von X � � X˛ D K � X unddamit auch von X � . ut

2.2 Reguläre Stoppzeiten und Optional sampling

Wir untersuchen jetzt die Frage, ob die Martingaleigenschaft E.XnjFm/ D Xn^m

bei Beobachtung in Zufallszeitpunkten erhalten bleibt. Während bei Optimal stop-ping und Optional switching die Martingaleigenschaft nicht gestört wird, ist dieses„Optional sampling“ problematischer. Wir benötigen reguläre Stoppzeiten.

Definition 2.11 Sei X D .Xn/n2T ein L1-Prozess. Eine Zufallszeit � heißt regulärfür X , falls .X �

n/n2T q für ein q 2 T gleichgradig integrierbar ist, wobei T q D fn 2T W n � qg.

Ist � regulär für einen L1-Prozess X , so ist der gestoppte Prozess X � insbeson-dere ein L1-Prozess wegen der Integrierbarkeit der Zuwächse �X �

n D 1f��ng�Xn,und daher ist .X �

n/n2T q gleichgradig integrierbar für alle q 2 T .Da die Existenz geeigneter Spezifikationen X1 und X�1 erst in Kap. 4 zur

Verfügung steht, werden wir hier gewisse Endlichkeitsbedingungen für die Zufalls-zeiten fordern. Ein allgemeines Resultat findet man in 4.28.

Satz 2.12 (Optional sampling, Doob) Seien � und � Stoppzeiten mit � < 1 f.s.und � > �1 f.s.

(a) Ist X ein Martingal und � regulär für X , so gelten EjX� j < 1,

E.X� jF�/ D X�^� und EX� D EX�^� 2 R:

Insbesondere gelten

E.X� jF� / D X� und EX� D EX� ;

falls � � � f.s.(b) Ist X ein Submartingal und � regulär für XC, so gelten EXC

� < 1,

E.X� jF�/ � X�^� und 1 > EX� � EX�^� :

Es gilt EjX� j < 1, falls X �q 2 L1 für ein q 2 T .

(c) Ist X ein Supermartingal und � regulär für X�, so gelten EX�� < 1,

E.X� jF� / � X�^� und � 1 < EX� � EX�^� :

Es gilt EjX� j < 1, falls X �q 2 L1 für ein q 2 T .

Beweis (b) Wegen P.� < 1/ D 1 gilt X �k

D Xk1f�>kg C X�1f��kg ! X� f.s. fürk ! ˇ und daher XC

� 2 L1 wegen der Regularität von � für XC. Lemma 2.4(c)liefert wegen P.� > �1/ D 1

E.X� jF�/ DX

n2T [f1gE.X� jFn/1f�Dng:

Es reicht also

E.X� jFn/ � X�^n

2.2 Reguläre Stoppzeiten und Optional sampling 47

für alle n 2 T [ f1g zu zeigen. Für n D 1 folgt dies aus der F1-Messbarkeitvon X� . Der adaptierte Prozess X � ist nicht notwendigerweise ein L1-Prozess..X � /C ist ein L1-Prozess), verhält sich aber sonst wie ein Submartingal: Fürk 2 T; k < ˇ gilt wegen X �

kC1D X �

kC 1f��kC1g�XkC1 die Submartingalbe-

dingung E.X �kC1

jFk/ � X �k

. Für n 2 T und F 2 Fn folgt wegen der Regularitätvon � für XC mit dem Fatou-Lemma A.5(b)

�1 �Z

X �ndP � lim

X �kdP �

lim supk!ˇ

X �kdP D

X�dP;

was nach den Radon-Nikodym-Ungleichungen X �n � E.X� jFn/ impliziert.

Falls X �q 2 L1, zeigt die Wahl von � als � D q, dass 1 > EX� � EX �

q 2 R,also X� 2 L1.

(c) und (a) folgen aus (b) mit 1.3(a). utNach Teil (a) von 2.12 kann man in einem fairen Spiel keinen Gewinn machen

solange man „regulär“ spielt. Ist etwa ˛ D 0, so gilt für reguläre (f.s. endliche)Stoppzeiten EX� D EX0. Im Fall eines positiven Martingals kann man nach (c)auch „irregulär“ nicht gewinnen, denn dann gilt immer EX� � EX0. Gewinnenkann man also nur, falls X auch negative Werte annimmt, man also (große) Verlustein Kauf nimmt.

Für die Gültigkeit von Optional sampling ist die Regularität der Stoppzeit imWesentlichen auch notwendig. Beispielsweise folgt für Martingale X mit EjX� j <

1 aus Optional sampling E.X� jFn/ D X�^n, also ist X � gleichgradig integrierbarwegen A.15.

Die Regularität von Zufallszeiten lässt sich folgendermaßen charakterisieren.

Lemma 2.13 (Reguläre Zufallszeiten) Sei X D .Xn/n2T ein L1-Prozess. Eine Zu-fallszeit � ist genau dann für X regulär, wenn

(i) EjX� j1f�<1g < 1,(ii) .Xn1f�D1g/n2T q ist für ein q 2 T gleichgradig integrierbar,

(iii) limn!ˇ EjXnj1fn<�<1g D 0,

und diese Bedingungen sind äquivalent zu (i) und

(iv) .Xn1fn<�g/n2T q ist für ein q 2 T gleichgradig integrierbar.

Beweis Die Charakterisierung der Regularität folgt aus der Zerlegung

X �n D Xn1fn<�<1g C Xn1f�D1g C X�1fn��g

für n 2 T . Ist � regulär für X , so gelten (i) und X �n1f�<1g

! X�1f�<1g für n ! ˇ

wegen X �n ! X� überall auf f� < 1g. Es folgt für n ! ˇ

Xn1fn<�<1g D .X� � X �n/1f�<1g

also (iii). Die Bedingung (ii) folgt aus jXnj1f�D1g � jX �n j.

Umgekehrt ist .X�1fn��g/n2T wegen (i) und jX� j1fn��g � jX� j1f�<1g gleich-gradig integrierbar. Wegen (iii) ist .Xn1fn<�<1g/n2T q gleichgradig integrierbar.Zusammen mit (ii) ist damit .X �

n/n2T q gleichgradig integrierbar als Summe drei-er gleichgradig integrierbarer Prozesse.

Wegen Xn1fn<�<1g ! 0 überall auf ˝ für n ! ˇ ist ferner die Bedingung(iii) äquivalent zur gleichgradigen Integrierbarkeit von .Xn1fn<�<1g/n2T q für einq 2 T . Damit ist (iv) eine Konsequenz von (ii) und (iii). Umgekehrt folgen (ii) und(iii) aus (iv) wegen jXnj1f�D1g � jXnj1fn<�g und jXnj1fn<�<1g � jXnj1fn<�g. ut

Falls � < 1 f.s. ist die Bedingung (ii) von 2.13 natürlich erfüllt. Ferner ist �

wegen A.3(d), (e) genau dann für X regulär, wenn � für XC und X� regulär ist.Wir geben noch eine Liste hinreichender Bedingungen für die Regularität von

Zufallszeiten und die L1-Beschränktheit gestoppter Prozesse an.

Lemma 2.14 Seien X D .Xn/n2T ein L1-Prozess und � und � Zufallszeiten

(a) � _ � und � ^ � sind regulär für X , falls � und � regulär für X sind. Ist �

regulär für X und � � � f.s. mit EjX� j1f�<1g < 1, so ist � regulär für X .(b) Ist � beschränkt, also P.q � � � k/ D 1 für q; k 2 T , so ist � regulär für X .(c) Gilt E supn2T [f˛g;n�� jXnj < 1, so ist � regulär für X .(d) Sind X ein Submartingal, XC�11f�D�1g 2 L1 und � eine nach oben beschränk-

te Stoppzeit, also P.� � k/ D 1 für ein k 2 T , so ist � regulär für XC, undfalls infn2T EXn > �1 und X�11f�D�1g 2 L1, ist � regulär für X .

(e) Für jedes q 2 T gelten

EXC� 1f�<1g � sup

E.X �n/C und EjX� j1f�<1g � sup

EjX �n j:

(f) Sind X ein Submartingal und � eine Stoppzeit, so gilt

supn2T

E.X �n/C � sup

EXCn C EXC�11f�D�1g

und falls infn2T EXn > �1 und X�11f�D�1g 2 L1, gilt

supn2T

EjX �n j � 2.sup

EXCn C EXC�11f�D�1g/ � c

mit c WD infn2T EX �n > �1.

Beweis (a) Wegen

jX�_� j1f�_�<1g � jX� j1f�<1g C jX� j1f�<1g

gilt 2.13(i) für � _ � und wegen

jXnj1fn<�_�g � jXnj1fn<�g C jXnj1fn<�g

und A.3(d), (e) gilt 2.13(iv) für � _ � , also ist � _ � regulär für X . Die beidenanderen Behauptungen folgen analog.

(b) Wegen

jX �n j D

kXj Dq

jXj ^nj1f�Dj g �kX

jXj j 2 L1

für n 2 T; n � q istPk

j Dq jXj j eine L1-Majorante von .X �n/n�q und � daher

regulär für X .(c) Hier ist � wegen

jX �n j � sup

jX �j j D sup

j 2T [f˛gj ��

jXj j 2 L1

für alle n 2 T regulär für X .(d) Da Xn1fn<�g D 0 für n > k, ist die Bedingung (iv) von 2.13 offenbar für

� und X erfüllt. Ferner gilt XC� D .X �

k/C 2 L1, da .X � /C nach Optional stop-

ping 2.8(b) ein Submartingal und damit insbesondere ein L1-Prozess ist. Also ist� für XC regulär. Gilt infn2T EXn > �1, so ist wieder nach 2.8(b) auch X � einSubmartingal, also X� D X �

k2 L1. Damit folgt die Regularität für X aus 2.13.

(e) Wegen X �n ! X� überall auf f� < 1g für n ! ˇ folgt (e) aus dem Fatou-

Lemma.(f) Die erste Ungleichung ist schon im Beweis von 2.8(b) enthalten. (Falls

� > �1 f.s. folgt diese Abschätzung auch aus Optional sampling, wonach XC�^n �

E.XCn jF�^n/.)

Sind infn2T EXn > �1; X�11f�D�1g 2 L1 und X D M C A die Doob-Zerlegung von X mit der Spezifikation M�1 WD X�1, so gilt X � D M � C A� �M � auf T . Da M � nach 2.8(b) ein Martingal ist, folgt c > �1. Damit folgt diezweite Ungleichung aus der ersten und

EjX �n j D 2E.X �

n/C � EX �n � 2E.X �

n/C � c: utBeispiel 2.15 Seien X D .Xn/n2T ein adaptierter L1-Prozess und X�1 2 L1. Fürdie Stoppzeit (erste Eintrittszeit)

� WD inffn 2 T W jXnj > agmit inf ; WD 1 und a � 0 gilt

f� D 1g D fsupn2T

jXnj � ag und f� > ng D f supj 2Tn

jXj j � ag:

Wegen jXnj1f�>ng � a1f�>ng � a für alle n 2 T ist die Bedingung (iv) von 2.13für X erfüllt. Ist beispielsweise X ein L1-beschränktes Submartingal, so gilt wegen2.14(e), (f) und 1.22 auch (i) von 2.13, also ist � regulär für X .

Für die Stoppzeit

� WD inffn 2 T W Xn > ag

gilt entsprechend XCn 1f�>ng � a und 2.13(iv) ist für XC erfüllt. Ist X ein Submar-

tingal und XC L1-beschränkt, so folgt wie eben, dass � regulär für XC ist.

Die erwartete Dynamik eines adaptierten L1-Prozesses X mit Doob-ZerlegungX D M C A kann man im Fall ˛ > �1 durch EXn D EX˛ C EAn beschreiben.Wir untersuchen jetzt für Submartingale noch die Frage, ob die Gleichung durchStoppzeiten gestört wird.

Lemma 2.16 Seien ˛ > �1; � eine Stoppzeit mit � < 1 f.s. und X ein posti-ves Submartingal mit Kompensator A. Dann gilt EX� � EX˛ C EA� und fallslimn!ˇ EXn1f�>ng D 0, gilt

EX� D EX˛ C EA� :

Ferner ist � genau dann für X regulär, wenn obige Gleichung und EA� < 1gelten.

Beweis Im Fall ˇ < 1 ist � nach 2.14(b) regulär für X und EX� D EX˛ C EA� .Sei ˇ D 1 und X D M C A die Doob-Zerlegung von X . Nach Optional

stopping ist M � ein Martingal mit M �˛ D X˛ und daher

EX �n D EM �

n C EA�n D EX˛ C EA�

für alle n 2 T . Wegen X �n ! X� f.s. und A�

n " A� f.s. für n ! 1 gilt mit demFatou-Lemma und monotoner Konvergenz

EX� � limn!1 EX �

n D EX˛ C EA� :

Ist EX� D 1, so gilt Gleichheit. Gilt EX� < 1, so ist � unter der zusätzlichenVoraussetzung nach 2.13 regulär für X und somit EX� D limn!1 EX �

n . Es folgtGleichheit in obiger Ungleichung für X� .

Da � genau dann für X regulär ist, wenn EX� D limn!1 EX �n < 1, folgt die

letzte Behauptung. utFür ein positives Martingal X .A D 0/ und � < 1 f.s. ist danach schon EX� D

EX˛ gleichbedeutend mit der Regularität von � für X . Außerdem gilt die Gleichungin 2.16 für wachsende Submartingale wegen monotoner Konvergenz.

Von besonderem Interesse ist das positive Submartingal X2 für ein L2-Martin-gal X . Hier lassen sich die Bedingungen von 2.16 abschwächen.

Satz 2.17 Seien ˛ > �1; X ein L2-Martingal und � eine Stoppzeit mit � < 1 f.s.Dann gilt

EX2� D EX2

˛ C EhXi� D EX2˛ C EŒX�� 2 RC [ f1g;

falls limn!ˇ EjXnj1f�>ng D 0.Ferner ist � genau dann für X2 regulär, wenn EhXi� < 1, und dann gelten

obige Gleichungen für EX2� .

Man beachte, dass die obige Voraussetzung die Regularitätsbedingung 2.13(iii)für X und nicht für X2 ist. Letztere wäre wegen der Monotonie der Lp-Halbnormen(in p) eine stärkere Voraussetzung.

Beweis Zum Nachweis der ersten Gleichung können wir nach 2.16 EX2� < 1

annehmen und außerdem ˇ D 1. Dann gilt auch EjX� j < 1, so dass unter obigerVoraussetzung � wegen 2.13 regulär für das Submartingal jX j ist. Mit Optionalsampling gilt für n 2 T

E.jX� j jFn/ � jX�^njund aus der bedingten Jensen-Ungleichung folgt

E.X2� jFn/ � X2

�^n:

Sei X2 D M C hXi die Doob-Zerlegung von X2. Wegen Optional stopping ist M �

ein Martingal mit Anfangswert M �˛ D M˛ D X2

˛ . Wir erhalten

EX2� D EE.X2

� jFn/ � EX2�^n D EX2

˛ C EhXi�^n:

Damit folgt die erste Gleichung aus 2.16 (angewandt auf das positive Submartin-gal X2).

Weil nach 1.16(a) hXi�ŒX� ein Martingal mit Anfangswert 0 ist, gilt EhXi�^n DEŒX��^n wegen Optional stopping, und mit monotoner Konvergenz folgt

EhXi� D EŒX��

für beliebige Stoppzeiten � . Dies liefert die zweite Gleichung.Ist � regulär für X2, so ist � insbesondere regulär für X , und aus der ersten

Gleichung und EX2� < 1 folgt EhXi� < 1. Gilt andererseits EhXi� < 1, so

folgt für n 2 T

EX2�^n D EX2

˛ C EhXi�^n � EX2˛ C EhXi� < 1:

Daher ist X � L2-beschränkt und somit gleichgradig integrierbar. Damit gilt die ersteGleichung, und die Regularität von � für X2 folgt aus 2.16. ut

In 3.24 werden wir sehen, dass EhXi1=2� < 1 hinreichend für die Regularität

von � für X ist.Satz 2.17 ist eine Martingalversion der sogenannten zweiten Waldschen Glei-

chung.

Beispiel 2.18 (Waldsche Gleichungen, Random walk) Seien T D N0 und Y einF-Random walk, Yn D Pn

j D1 Zj mit Y0 D Z0 D 0 und Z1 2 L1. Wir betrachtendas F-Martingal

Xn WDnX

Zj � nEZ1; n 2 N0;

also den kompensierten F-Random walk Y , und eine Stoppzeit � mit E� < 1. SeiVn WD Pn

j D1 j�Xj j D Pnj D1 jZj � EZ1j und V D M C A die Doob-Zerlegung

des Submartingals V mit An D Pnj D1 E.j�Xj j jFj �1/ D nEjZ1 � EZ1j, M0 D

A0 D 0. Mit monotoner Konvergenz und Optional stopping folgt

EV� D EA� D E�EjZ1 � EZ1j < 1;

so dass � nach 2.16 für V regulär ist. Wegen jX j � V ist dann � auch regulär für X ,und aus Optional sampling folgt

0 D EX0 D EX� D E� �X

Zj � �EZ1

E� �X

�D E�EZ1:

Das ist die erste Waldsche Gleichung. Man zeigt übrigens genauso, dass � für Y

regulär ist.Eine interessante Konsequenz ist E� D 1 für die Stoppzeit

� WD inffn � 1 W Xn > ag

im Fall EZ1 D 0 und a � 0, denn sonst wäre 0 � a < EX� D E�EZ1 D 0.Allerdings ist � fast sicher endlich, falls P.Z1 6D 0/ > 0, denn nach dem Satz vonChung und Fuchs A.21 gilt dann lim supn!1 Xn D 1 f.s. und damit P.� D 1/ DP.supn2T Xn � a/ D 0. Wegen 2.12 (a) und 0 D EX0 < EX� ist � nicht regulärfür X .

Sei nun zusätzlich Z1 2 L2. Dann ist X ein L2-Martingal mit quadratischerCharakteristik hXin D n Var Z1, also

EhXi� D E� Var Z1 < 1:

Wegen 2.17 gilt EX2� D EhXi� und man erhält die zweite Waldsche Gleichung

E� �X

Zj � �EZ1

�2 D E� Var Z1;

wobei die linke Seite nicht die Varianz vonP�

j D1 Zj ist (außer im Fall EZ1 D 0

oder � deterministisch).Dieses Beispiel wird in 3.25 fortgesetzt.

Im nächsten Beispiel werden die Waldschen Gleichungen eine Rolle spielen undStoppzeiten auftauchen, die nicht regulär sind.

Beispiel 2.19 (Glücksspiel) In der Situation von Beispiel 1.10 seien Xn D PniD1 Zi

mit X0 D 0 und p D P.Z1 D C1/ 2 .0; 1/; G D H � X der Gewinnprozess füreine Strategie H , K D K0 C G der Kapitalprozess des Spielers und T D N0.

(a) (Verdopplungsstrategie) Der Spieler setzt in der n-ten Spielrunde 2n�1 Euround beendet das Spiel, wenn er erstmals gewinnt, also zur Zeit

� WD inffn � 1 W Zn D C1g:Die Strategie hat dann die Form Hn WD 2n�11f��ng für n � 1. (Online-Casinosbeschreiben diese Strategie ausführlich unter dem Namen „Martingale System“.)Wegen f� D ng D fZ1 D �1; : : : ; Zn�1 D �1; Zn D C1g gilt P.� D n/ D.1�p/n�1p für n 2 N. Die Stoppzeit � ist also geometrisch verteilt mit E� D 1=p,insbesondere � < 1 f.s. Für den Gewinnprozess gilt auf f� D j g mit 1 � j � n

Gn D Gj DjX

2i�1Zi Dj �1XiD1

2i�1.�1/ C 2j �1.C1/ D 1;

also Gn D 1 auf f� � ng, und auf f� > ng gilt

Gn D �nX

2i�1 D 1 � 2n:

Man erhält

Gn D .1 � 2n/1f�>ng C 1f��ng

für n 2 N und insbesondere

G� D 1 f.s. und K� D K0 C 1 f.s.

Der Spieler scheint mit dieser Strategie auch aus einem ungünstigen Spiel im Fallp < 1=2 ein günstiges zu machen. Allerdings ist dazu unbegrenztes Kapital erfor-derlich und daher von der Strategie abzuraten.

Wegen EG� D 1 > EG0 D 0 ist die Stoppzeit � nach Optional sampling2.12(a), (c) im Martingalfall p D 1=2 und im Supermartingalfall p < 1=2 nichtregulär für G oder K . Nur im (echten) Submartingalfall p > 1=2 ist � nach 2.13regulär für G und K , denn

EjGnj1f�>ng D .2n � 1/P.� > n/ D .2n � 1/p

1Xj DnC1

.1 � p/j �1

D .2n � 1/.1 � p/n ! 0 für n ! 1;

und dies ist im Einklang mit 2.12(b). Dabei haben wir für 0 < x < 1 die Gleichung

1Xj DnC1

xj �1 D 1

� 1Xj D0

xj �nX

1 � x� 1 � xnC1

1 � x

�D xn

1 � x

benutzt. Wegen G� D G bedeutet die Regularität von � für G die gleichgradigeIntegrierbarkeit von G.

(b) (Gewinn oder Ruin?) Mit einem Einsatz von einem Euro pro Spiel und einemAnfangskapital von y D K0 Euro, y 2 N möchte der Spieler einen Gewinn von z

Euro, z 2 N erzielen und dann das Spiel beenden. Wie groß ist die Wahrscheinlich-keit, dass er vorher sein Kapital verspielt hat, also ruiniert ist, und deshalb das Spielbeenden muss?

Mit der Stoppzeit

� WD inffn � 1 W Xn 2 f�y; zggund der Strategie Hn WD 1f��ng für n � 1 ist P.G� D �y/ die gesuchte Ruin-wahrscheinlichkeit, falls � < 1 f.s., wobei nach 2.8(a) G D H � X D X � . DieStoppzeit � ist tatsächlich nicht nur fast sicher endlich, sondern es existieren sogar(von p und y C z abhängende) Konstanten a 2 .0; 1/ und � 2 .0; 1/ mit

P.� > n/ � a�n

für alle n 2 N0. Zum Beweis dieser Abschätzung seien k WD y C z und Uj WDX.j C1/k � Xjk für j 2 N0. Dann gilt für m 2 N

f� > kmg Dkm\iD1

f�y < Xi < zg �m�1\j D0

fUj � k � 1g:

Da U0; U1; U2; : : : unabhängig sind, UjdD Xk für alle j 2 N0 gilt und

P.Xk � k � 1/ � P� k[

fZi D �1g�

D 1 � P� k\

fZi D C1g�

D 1 � pk;

P.� > km/ �m�1Yj D0

P.Uj � k � 1/ D P.Xk � k � 1/m � .1 � pk/m:

Diese Ungleichung gilt natürlich auch für m D 0. Für n 2 N0 wähle man m 2 N0

mit km � n < k.m C 1/. Dann gilt mit a WD .1 � pk/�1 und � WD .1 � pk/1=k

P.� > n/ � P.� > km/ � .1 � pk/m D a�k.mC1/ � a�n:

Insbesondere gilt für r � 1

E�r D r

tr�1P.� > t/dt � r

.n C 1/r�1P.� > n/

� ar

.n C 1/r�1�n < 1:

Wegen EZ1 D 2p � 1; P.G� D z/ D 1 � P.G� D �y/; G� D X � undG� D X� ist � nach 2.18 regulär für G, die erste Waldsche Gleichung 2.18 liefert

E�.2p � 1/ D EG� D zP.G� D z/ � yP.G� D �y/

D z � .y C z/P.G� D �y/;

und wegen Var Z1 D 4p.1 � p/ gilt nach der zweiten Waldschen Gleichung 2.18

E�4p.1 � p/ D E.G� � �.2p � 1//2:

Im Fall p D 1=2 folgt für die Ruinwahrscheinlichkeit

P.G� D �y/ D z

y C z;

was nicht überrascht, und

E� D EG2� D z2P.G� D z/ C y2P.G� D �y/

D z2 y

y C zC y2 z

y C zD yz:

Im Fall p 6D 1=2 ist der für # WD log..1 � p/=p/ durch

Mn WD e#Xn DnY

e#Zi ; M0 WD 1

definierte geometrische F-Random walk (1.7(b)) ein Martingal, denn

Ee#Z1 D pe# C .1 � p/e�# D 1:

M �n D e#X�^n � ej#j.y_z/

für alle n 2 N0 ist � regulär für M , so dass mit Optional sampling folgt

1 D EM0 D EM� D Ee#G�

D e#zP.G� D z/ C e�#yP.G� D �y/

1 � p

.1 � P.G� D �y// C�

1 � p

P.G� D �y/;

P.G� D �y/ D . 1�pp

/z � 1

. 1�pp

/z � . p1�p

Außerdem gilt nach der ersten Waldschen Gleichung

E� D z � .y C z/P.G� D �y/

2p � 1:

Ist beispielsweise y D z D 100 Euro und p D 1=2, so erhält man P.G� D�y/ D 1=2 und E� D 10:000, während für p D 18=37 (Europäisches Roulette,der Spieler setzt auf die Farbe Rot) die Ruinwahrscheinlichkeit P.G� D �y/ D0;9955 : : : und E� � 3666 resultieren, also eine drastische Änderung der Ruin-wahrscheinlichkeit.

(c) (Gewinn?) Wir untersuchen jetzt die Stoppzeit

� WD inffn � 1 W Xn D zgund die Strategie Hn WD 1f��ng für z 2 N. Im für den Spieler günstigen Fallp > 1=2 ist � integrierbar, denn wegen G� D X� gilt mit Optional stoppingE.� ^ n/.2p � 1/ D EG�^n � z und mit monotoner Konvergenz folgt E� Dlimn!1 E.� ^ n/ � z=.2p � 1/ < 1. Daher liefert die erste Waldsche Gleichung2.18 E�.2p � 1/ D EG� D z, also

E� D z

2p � 1:

Nach 2.18 ist � regulär für G.Im Fall p � 1=2 vergleichen wir � mit den Stoppzeiten �y WD inffn � 1 W Xn 2

f�y; zgg für y 2 N. Wegen �1 � �2 � : : : � � und f� < 1g D S1yD1f�y D �g

f.s. folgt mit der Stetigkeit (von unten) von P

P.� < 1/ D limy!1 P.�y D �/ D lim

y!1 P.G�yD z/

D 1 � limy!1 P.G�y

D �y/:

Die Formeln in (b) für die Ruinwahrscheinlichkeiten liefern

P.� < 1/ D(

1; falls p D 1=2;

. p1�p

/z ; falls p < 1=2:

Insbesondere gilt P.� D 1/ > 0 und damit E� D 1, falls p < 1=2, und fürp D 1=2 gilt auch E� D 1 wegen E�y D yz � E� für alle y 2 N. (Der Fallp D 1=2 ist schon in 2.18 enthalten.) Wie im Fall p D 1=2 ist � auch im Fallp < 1=2 nicht regulär für G, weil nach dem starken Gesetz der großen ZahlenXn ! �1 f.s., daher mit Fatous Lemma

1 D 1P.� D 1/ � lim infn!1 EjGnj1f�D1g

und somit 2.13(ii) nicht erfüllt ist.

Im letzten Beispiel wird das Martingal 1.7(d) im Mittelpunkt stehen.

Beispiel 2.20 (Stimmenauszählung) (a) Die Kandidaten A und B stellen sich einerWahl. Dabei können neben A und B eventuell noch andere Kandidaten gewähltwerden. Am Ende der Stimmenauszählung hat A k Stimmen mehr als B , k 2 N.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass A nach Auszählung der ersten n Stimmenvor B liegt für alle n D 1; : : : ; N , wobei N die Gesamtzahl der Wähler bezeichnet?

Zur Modellierung seien An und Bn die Anzahl der Stimmen für A beziehungs-weise B nach n ausgezählten Stimmen. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also

p WD P.Bn < An für alle 1 � n � N jAN D k C BN /:

Definiert man Zi als Votum des i -ten Wählers, wobei Zi D 0, falls Votum fürA; Zi D 2, falls Votum für B; Zi D 1, falls Votum für keinen der beiden ausfällt,und Sn WD Pn

iD1 Zi , so gilt

Sn D n C Bn � An

und damit

�max

1�n�N

ˇ̌ˇ̌SN D N � k

Nimmt man an, dass Z1; : : : ; ZN unabhängig und identisch verteilt sind, folgt ausder Gleichung in (b)

Diese Wahrscheinlichkeit ist erstaunlich klein.(b) Sind Z1; : : : ; ZN unabhängige und identisch verteilte N0-wertige Zufallsva-

riable mit Z1 2 L1; N 2 N und Sn WD PniD1 Zi , so gilt

�max

1�n�N

ˇ̌ˇ̌SN

�1 � SN

Zum Beweis dieser Gleichung sei D WD fmax1�n�N Sn=n < 1g. Nach 1.7(d) wirddurch

Xn WD S�n

�nfür n 2 T WD f�N; : : : ; �1g

ein F-Martingal definiert mit F D FX . Für die Stoppzeit

� WD inffn 2 T W Xn � 1g ^ .�1/

erhält man

X� C 1D D X�N C .1 � X�N /C DW R;

denn auf D D fmaxn2T Xn < 1g gilt R D 1 und ferner � D �1, also X� D X�1 DZ1 < 1 und damit X� D 0. Auf Dc \ f� D ng für n > �N gilt X� D Xn � 1

und Xn�1 < 1, also �n � S�n � S�nC1. Dies impliziert �n D S�n und damitX� D Xn D 1. Da X�N < 1, gilt auch R D 1. Auf Dc \ f� D �N g gilt

X� D X�N � 1 und R D X�N . Da die einfache Stoppzeit � regulär für X ist,liefert nun der Optional sampling Satz wegen F�N D �.X�N /

P.DjSN / D P.DjX�N / D P.DjF�N /

D E.X�N C .1 � X�N /C � X� jF�N /

D X�N C .1 � X�N /C � E.X� jF�N /

D X�N C .1 � X�N /C � X�N

D .1 � X�N /C D�

1 � SN

(Durch Übergang zu Zi ^ N kann man übrigens auf die Voraussetzung Z1 2 L1

verzichten.)

Mit Optional Sampling und 2.14(b) folgt EX� D EX� für jedes Martingal X

und einfache Stoppzeiten � und � . Wir zeigen noch, dass diese Bedingung auchhinreichend ist und somit die folgende Charakterisierung gilt.

Satz 2.21 (Martingaltest) Sei ˙ die Menge der einfachen F-Stoppzeiten. Ein adap-tierter L1-Prozess ist genau dann ein Martingal, wenn .EX�/�2˙ konstant ist. X

ist genau dann ein Submartingal, wenn .EX� /�2˙ monoton wachsend ist (im Sinnevon E.X� / � EX� , falls � � � f.s.).

Beweis Wir beweisen den Submartingalfall. Die Notwendigkeit folgt aus Optio-nal sampling, da einfache Stoppzeiten wegen 2.14(b) regulär für L1-Prozesse sind.Seien andererseits n 2 T; n < ˇ und F 2 Fn. Dann ist

� WD n1F C .n C 1/1F c

nach 2.3(f) eine einfache Stoppzeit mit � � n C 1. Wegen X� D Xn1F C XnC11F c

folgt aus der Monotoniebedingung im Satz

0 � EXnC1 � EX� D E.XnC11F � Xn1F /:

Dies gilt für alle F 2 Fn, was E.XnC1jFn/ � Xn zeigt. utBemerkung 2.22 Im nach 2.21 naheliegendem Konzept des asymptotischen Mar-tingals wird die Konstanz von .EX� /�2˙ durch die Konvergenz in R ersetzt. Etwaim Fall ˛ > �1 und ˇ D 1 ist dabei die Menge ˙ durch die partielle Halbord-nung „� � � f.s.“ nach rechts gerichtet (also für alle �; � 2 ˙ existiert ein � 2 ˙

mit � � � f.s. und � � � f.s., etwa � D � _�). Dann sind auch L1-beschränkte Sub-martingale asymptotische Martingale, denn das Netz .EX� /�2˙ ist nach 2.14(e), (f)in R beschränkt und konvergiert gegen sup�2˙ EX� 2 R.

Diese Verallgemeinerung des Martingalkonzepts entfaltet ihre Schönheit aller-dings erst für Prozesse mit Werten in unendlich dimensionalen Banach-Räumen.

2.3 Lokale Martingale 59

2.3 Lokale Martingale

Die Lokalisierung von Eigenschaften von Prozessen mit Hilfe von Stoppzeiten isteine wichtige Beweismethode. Hier wird die Lokalisierung der Martingaleigen-schaft kurz dargestellt. Sie erlaubt eine elegante Untersuchung von h-Transformier-ten (und findet Anwendung in den Kap. 7 und 8), spielt aber sonst in der Theoriezeitdiskreter stochastischer Prozesse keine große Rolle.

Definition 2.23 Sei ˛ > �1. Ein F-adaptierter reeller Prozess X heißt lokalesF-Martingal, falls es eine fast sicher monoton wachsende Folge .�k/k�1 von F-Stoppzeiten gibt mit P.limk!1 �k D ˇ/ D 1 und der Eigenschaft, dass X �k fürjedes k � 1 ein F-Martingal ist.

Die Folge .�k/k�1 heißt dann lokalisierend. Die einzige Integrierbarkeitsvor-aussetzung für lokale Martingale ist X˛ 2 L1 wegen X

�k˛ D X˛. Martingale sind

lokale Martingale: Man wähle �k D ˇ für alle k oder �k D .k _ ˛/ ^ ˇ. Wir zeigen,dass lokale Martingale unter Integrierbarkeitsvoraussetzungen nur an XC oder X�schon (echte) Martingale sind.

Satz 2.24 (Jacod und Shiryaev) Seien ˛ > �1 und X ein lokales Martingal. Fallsein q 2 T existiert mit X�

n 2 L1 für alle n 2 T q oder mit XCn 2 L1 für alle n 2 T q ,

ist X ein Martingal.

Gilt zusätzlich ˇ < 1, so ist also ein lokales Martingal mit Xˇ � 0 schon ein(echtes) Martingal.

Beweis Wir nehmen zunächst X�n 2 L1 für alle n 2 T q an. Sei .�k/k�1 eine (die

Martingaleigenschaft) lokalisierende Folge von Stoppzeiten für X .1. Es gilt X�

n 2 L1 für alle n 2 T . Dies sieht man durch Rückwärtsinduktion.Für n D q gilt nach Voraussetzung X�

q 2 L1, und falls X�n 2 L1 für ein ˛ < n � q

gilt, folgt wegen der Submartingaleigenschaft von .X �k /� D .X�/�k

EX�n�11f�k�ng D EX�

�k^.n�1/1f�k�ng � EX��k^n1f�k�ng

D EX�n 1f�k�ng � EX�

n < 1:

Wegen 1f�k�ng " 1˝ f.s. für k ! 1 liefert monotone Konvergenz

EX�n�1 D

k!1X�

n�11f�k�ngdP D limk!1

EX�n�11f�k�ng � EX�

n < 1:

2. X ist ein L1-Prozess. Wegen XC�k^n ! XC

n f.s. für k ! 1 und

EXC�k^n D EX�k^n C EX�

�k^n D EX˛ C EX��k^n

D EX˛ C E�n�1X

X�j 1f�kDj g C X�

n 1f�k�ng�

� EX˛ CnX

EX�j

für alle k � 1 folgt mit dem Fatou-Lemma

EXCn � lim inf

k!1EXC

�k^n � EX˛ CnX

EX�j < 1

für alle n 2 T . Zusammen mit 1. erhält man Xn 2 L1 für alle n 2 T .3. X ist ein Martingal. Für n 2 T gilt wegen X

�kn ! Xn f.s. für k ! 1 und

jX �kn j � Pn

j D˛ jXj j 2 L1 mit dominierter Konvergenz X�kn

! Xn für k ! 1.Mit A.13(a) folgt

n�1 D E.X �kn jFn�1/

! E.XnjFn�1/

für n > ˛, und da auch X�k

! Xn�1 gilt, impliziert dies E.XnjFn�1/ D Xn�1.Also ist X ein Martingal.

Unter der Voraussetzung XCn 2 L1 für alle n 2 T q , folgt die Behauptung durch

Übergang zu �X , da auch �X ein lokales Martingal ist. utWichtig für uns ist die Anwendung auf h-Transformierte. Die h-Transformierten

von Martingalen sind lokale Martingale, da vorhersehbare reelle Prozesse (abgese-hen vom Anfangswert) lokale L1-Prozesse sind.

Satz 2.25 Sei ˛ > �1. Sind X ein Martingal, H ein vorhersehbarer reeller Pro-zess und M˛ 2 L1.F˛; P /, so ist

M WD M˛ C H � X

ein lokales Martingal.

Beweis Für k 2 N wird nach 2.3 und 2.5 durch

�k WD inffn 2 T W n < ˇ; jHnC1j > kg ^ ˇ

eine Stoppzeit definiert mit

f�k � ng D f sup˛C1�j �n

jHj j � kg

für n 2 T; n > ˛. Die Folge .�k/k�1 ist offensichtlich monoton wachsend überallauf ˝ und wegen f�k � ng " fsup˛C1�j �n jHj j < 1g D ˝ gilt limk!1 P.�k �n/ D 1 für alle n 2 T , also P.limk!ˇ �k D ˇ/ D 1. Für den gestoppten ProzessM �k gilt mit Kn WD 1f�k�ng wegen 2.10

M �k D M˛ C .H � X/�k D M˛ C HK � X:

Da jHnKnj � k für n � ˛ C 1, ist M �k ein L1-Prozess und damit ist M �k einMartingal wegen 1.9. ut

Symmetrische, nicht notwendig integrierbare Random walks sind lokale Martin-gale bezüglich einer geeigneten Filtration. Ferner ist Verkleinerung der Filtrationbei lokalen Martingalen nicht erlaubt. Dies zeigt das abschließende Beispiel.

Aufgaben 61

Beispiel 2.26 Seien T D N0; .Zn/n�1 eine unabhängige Folge identisch verteilterreeller Zufallsvariablen mit symmetrischer Verteilung P Z1 , also P Z1 D P �Z1 ,und Xn WD Pn

j D1 Zj mit X0 D 0. Ferner seien Yn WD Pnj D1 sign.Zj / mit Y0 D 0

und sign D 1.0;1/ � 1.�1;0/; Hn WD jZnj für n � 1; H0 WD 0 und

Fn WD �.Z1; : : : ; Zn; jZnC1j/mit F0 D �.jZ1j/. Dann ist H F-vorhersehbar und X D H � Y . Wegen

.ZnC1; jZnC1j; Z1; : : : ; Zn/dD .�ZnC1; jZnC1j; Z1; : : : ; Zn/

gilt mit A.12(d) für n 2 N0

E.�YnC1jFn/ D E.sign.ZnC1/jFn/

D E.1.0;1/.ZnC1/jFn/ � E.1.0;1/.�ZnC1/jFn/ D 0:

(Im Fall P.Z1 D 0/ D 0 sind �.sign.ZnC1// und Fn sogar unabhängig und Y istein einfacher symmetrischer F-Random walk auf Z.) Daher ist Y ein F-Martingalund wegen 2.25 ist dann X ein lokales F-Martingal.

Allerdings sind �.ZnC1/ und Fn nicht unabhängig. Sobald für eine FiltrationG � F

X die �-Algebren �.Z1/ und G0 unabhängig sind und Z1 … L1, ist X keinlokales G-Martingal: Für jede G-Stoppzeit � mit P.� D 0/ < 1 gilt

EjX �1 j D E1f��1gjZ1j D P.� � 1/EjZ1j D 1:

Insbesondere ist X kein lokales FX -Martingal, falls Z1 … L1.

Aufgaben

2.1 Seien �1; �2; : : : F-Stoppzeiten. Nach Satz 2.3 sind dann auch � WD infk�1 �k

und � WD supk�1 �k F-Stoppzeiten. Zeigen Sie

F� D1\

F�kund F� D �

� 1[kD1

2.2 Seien �1; : : : ; �m Stoppzeiten und fF1; : : : ; Fmg eine Partition von ˝ mitFi 2 F�i

für alle i . Zeigen Sie, dass

� WDmX

�i1Fi

eine Stoppzeit ist.

2.3 Zeigen Sie, dass jede Stoppzeit erste Eintrittszeit eines adaptierten f0; 1g-wer-tigen Prozesses ist.

2.4 Zeigen Sie in der Situation von Beispiel 2.19(a) für den Gewinnprozess G

EGn D 1 � .2.1 � p//n

und in der Situation von Beispiel 2.19(b)

EGn D .2p � 1/

nXj D1

P.� � j /:

2.5 Seien ˛ > �1 und X ein positives Supermartingal. Zeigen Sie, dass der Zu-stand 0 „absorbierend“ für X ist, das heißt fXn D 0g � fXnC1 D 0g f.s. für allen 2 T; n < ˇ.

Hinweis: Man untersuche die Stoppzeit � WD inffn 2 T W Xn D 0g2.6 (Simulation, von Neumann) Seien .X ;A/ ein messbarer Raum und Q1; Q2

Verteilungen auf A mit -Dichten f1; f2 für ein �-endliches Maß auf A. Wirnehmen an, dass

f1 � cf2 -f.s.

für eine Konstante c 2 .0; 1/. Seien weiter T D N, .Un; Xn/n�1 eine unabhängieFolge identisch verteilter Zufallsvariablen mit

P .U1;X1/ D U.0; 1/ ˝ Q2

� WD inffn � 1 W cUnf2.Xn/ � f1.Xn/g:Zeigen Sie, dass � eine P -fast sicher endliche F.U;X/-Stoppzeit ist mit

P X� D Q1:

Damit lässt sich die Verteilung Q1 simulieren, wenn Q2 simulierbar ist.Hinweis: Für alle A 2 A gilt

E1A.X1/1fcU1f2.X1/�f1.X1/g D Q1.A/

2.7 Seien X ein Martingal und � eine Stoppzeit mit X� 2 L1. Zeigen Sie, dass

.E.X�_njFn//n2T

ein Martingal ist.Hinweis: Optional switching 2.9.

2.8 Seien T D N0 und X ein einfacher symmetrischer F-Random walk auf Z,Xn D Pn

iD0 Zi mit X0 D Z0 D 0 und P.Z1 D C1/ D P.Z1 D �1/ D 1=2.Beweisen Sie, dass

� WD inffn � 0 W Xn > XnC1g:eine fast sicher endliche, für das Martingale X reguläre Zufallszeit ist und EX� D 1

gilt. Insbesondere gilt Optional sampling 2.12 nicht für Zufallszeiten. (Dies zeigtauch die Zufallszeit � WD 1fZ1D1g.)

Aufgaben 63

2.9 Die integrierbare Stoppzeit in Beispiel 2.19(a) erfüllt die Regularitätsbedin-gung (i) von Lemma 2.13, aber nicht (iii). Zeigen Sie die Existenz einer integrier-baren Stoppzeit und eines Martingals derart, dass (iii) von Lemma 2.13 erfüllt ist,aber nicht (i).

Hinweis: Seien T D N; .Zn/n�1 eine unabhängige Folge reeller Zufallsvariablenmit P.Zn D C2n/ D P.Zn D �2n/ D 1=4 und P.Zn D 0/ D 1=2, Xn WDPn

iD1 Zi und F WD FZ D F

X . Wegen EZn D 0 für alle n � 1 ist X ein Martingal.Untersuchen Sie die Stoppzeit

� WD inffn � 1 W Xn 6D 0g D inffn � 1 W Zn 6D 0g:

2.10 Seien ˛ > �1 und X ein L2-Martingal. Zeigen Sie, dass die Stoppzeit

� WD inffn 2 T W n < ˇ; hXinC1 > ag

für a > 0 regulär für X ist.

2.11 Seien ˛ > �1 und X ein L1-beschränktes Submartingal. Zeigen Sie, dassdie Stoppzeit

� WD inffn 2 T W Xn 2 fa; bgg

für a; b 2 R; a < b regulär für X ist.

2.12 (L1-beschränkter Zuwachsprozess) Seien ˛ > �1; � eine integrierbareStoppzeit und X ein adaptierter L1-Prozess mit supn2T j�Xnj � c f.s. für c 2 RC.Zeigen Sie, dass � regulär für X ist.

2.13 Seien T D No und X ein einfacher symmetrischer F-Random walk auf Z,Xn D Pn

iD0 Zi mit X0 D Z0 D 0 und P.Z1 D C1/ D P.Z1 D �1/ D 1=2.Ferner seien � WD inffn � 1 W jXnj D zg mit z 2 N und für 0 < a < =2z

Mn WD .cos a/�n cos.aXn/:

Zeigen Sie, dass M ein Martingal mit Anfangswert M0 D 1 und � regulär für M

2.14 (Optional sampling) Seien X ein Martingal und .�k/k�1 eine Folge von T -wertigen, für X regulären Stoppzeiten mit �1 � �2 � : : : überall auf ˝ . Zeigen Sie,dass .X�k

/k�1 bezüglich der Filtration .F�k/k�1 ein Martingal ist.

2.15 (Das Problem der vollständigen Serie) Aus einer Kollektion von N Objektenwird zufällig jeweils ein Objekt gezogen und wieder zurückgelegt, N 2 N. Nachwievielen Zügen (im Mittel) ist jedes Objekt mindestens einmal gezogen worden?

Zur Modellierung seien .Zn/n�1 eine unabhängige Folge auf f1; : : : ; N g iden-tisch Laplace-verteilter Zufallsvariablen, Xn WD N � jfZ1; : : : ; Zngj mit X0 D N ,

� WD inffn � 0 W Xn D 0g;

F WD FZ mit F0 WD f;; ˝g und f .m/ WD Pn

iD1 1=i mit f .0/ D 0. Zeigen Sie,dass durch

Mn WD f .Xn/ C 1

nXj D1

1fXj �1>0g

für n 2 N0 ein Martingal mit Anfangswert M0 D f .N / definiert wird und � einefast sicher endliche, für M reguläre Stoppzeit ist. Bestätigen Sie damit

E� D Nf .N /:

Hinweis: Für n � 2 gilt

jfZ1; : : : ; Zngj D 1 CnX

1fZi 6DZ1;:::;Zi 6DZi�1g:

2.16 Zeigen Sie in der Situation von Aufgabe 2.15, dass durch

Un WD NXn CnX

Xj �1

für n 2 N0 ein Martingal mit Anfangswert U0 D N 2 definiert wird und � für U

regulär ist. Folgern Sie daraus mit Optional sampling

Xn D N 2:

Hinweis: Aufgabe 2.12.

2.17 (h-Transformierte lokaler Martingale) Seien ˛ > �1, X ein lokales Martin-gal, H ein vorhersehbarer reeller Prozess und M˛ 2 L1.F˛; P /. Zeigen Sie, dass

M WD M˛ C H � X

ein lokales Martingal ist. Dies verallgemeinert Satz 2.25.

2.18 Sei X ein adaptierter reeller Prozess. Zeigen Sie supn2T jXnj < 1 f.s., fallsfX� W � 2 ˙g stochastisch beschränkt ist.

Martingale in diskreter Zeit || Stoppzeiten und lokale Martingale

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