Post on 15-Feb-2021
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.4-1
4. Ebene Tragwerke
● In diesem Kapitel wird untersucht, wie sich Kräfte in Lagern und Gelenken ebener Tragwerke ermitteln lassen.
● Lager und Gelenke schränken die Bewegungsmöglichkeit eines Bauteils ein.– Um eine Verschiebung zu unterdrücken, muss das Lager
eine Kraft auf das Bauteil ausüben.– Um eine Verdrehung zu unterdrücken, muss das Lager ein
Moment auf das Bauteil ausüben.– Die Kräfte in den Gelenken zwischen einzelnen Bauteilen
sorgen dafür, dass die Bauteile zusammen bleiben.
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4. Ebene Tragwerke
1. Einfache ebene Tragwerke2. Mehrteilige ebene Tragwerke
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4.1 Einfache ebene Tragwerke
● Beispiel:– Gegeben:
● Gewicht G = 5000N● Höhe h = 3m● Abstand a = 2,5m
– Gesucht:● Reaktionskräfte in den
Lagern A und B
G
A
Ba
h
Loslager
Festlager
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4.1 Einfache ebene Tragwerke
– Freischneiden:● Die Lager werden ent-
fernt.● Die Kräfte, die die Lager
auf das Bauteil ausüben, werden eingezeichnet.
● Die Pfeilrichtung legt die positive Richtung fest.
● Ergibt die Rechnung einen negativen Zah-lenwert, so wirkt die Kraft entgegen der Pfeil-richtung.
G
A
B
x
y
a
h
Ax
Bx
Ay
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4.1 Einfache ebene Tragwerke
– Gleichgewichtsbedingungen:● Zur Bestimmung der 3 unbekannten Kräfte A
x, A
y und B
x
stehen die 3 Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung.
∑ F y=0 :
Ax−Bx=0
A y−G=0
∑ F x=0 :
∑M A=0 : h Bx−aG=0
A y=G
Bx=ahG
Ax=B x
Ax=B x=2,53⋅5000N=4167N A y=5000N
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4.1 Einfache ebene Tragwerke
● Statisch bestimmte Lagerung:– Eine Lagerung heißt statisch bestimmt, wenn sich die
Lagerreaktionen aus den Gleichgewichtsbedingungen be-stimmen lassen.
– Wenn die Gleichgewichtsbedingungen nicht zur Bestim-mung der Lagerreaktionen ausreichen, heißt die Lagerung statisch unbestimmt.
– Bei ebenen Tragwerken gilt:● Treten 3 Lagerreaktionen auf, so ist das Tragwerk statisch
bestimmt.● Treten mehr als 3 Lagerreaktionen auf, so ist das Tragwerk
statisch unbestimmt.
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4.1 Einfache ebene Tragwerke
– Beispiel:
3 Lagerreaktionen:statisch bestimmt
4 Lagerreaktionen:statisch unbestimmt
Freigeschnitten:
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4.1 Einfache ebene Tragwerke
● Wertigkeit:– Die Wertigkeit eines Lagers gibt an, wie viele Bewegungs-
möglichkeiten das Lager unterdrückt:● Ein 1-wertiges Lager unterdrückt eine Bewegungsmöglichkeit.
Es tritt eine Reaktionslast auf.● Ein 2-wertiges Lager unterdrückt zwei Bewegungsmöglichkei-
ten. Es treten zwei Reaktionslasten auf.● Ein 3-wertiges Lager unterdrückt drei Bewegungsmöglichkei-
ten. Es treten drei Reaktionslasten auf.
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4.1 Einfache ebene Tragwerke
Festlager:
Feste Einspannung:
Loslager:
Glatte Wand:
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4.2 Mehrteilige ebene Tragwerke
● Beispiel:– Gegeben:
● Kraft F = 10kN● Abmessungen a = 2m,
b = 3m, c = 5m, h = 1m– Gesucht:
● Reaktionskräfte in den Lagern A und B
● Kräfte im Gelenk C
Fa
b
c
h
A
B
C
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4.2 Mehrteilige ebene Tragwerke
– Freischneiden:● 4 unbekannte Lagerkräfte● 3 Gleichgewichtsbe-
dingungen● zusätzliche Bedingung: Ge-
lenk überträgt kein Moment
Fa
b
c
h
A
B
CAx
Ay
Bx
By
x
y
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4.2 Mehrteilige ebene Tragwerke
– Freischneiden der einzelnen Bauteile:
Fa
b
A CAx
Ay
x
y
Cy
Cx
Träger AC:
c - b
hB
C
Bx
By
x
y
Cy
Cx
Träger BC:
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4.2 Mehrteilige ebene Tragwerke
– Mit den Gelenkkräften Cx und C
y treten 2 weitere Unbekann-
te auf. Diese Kräfte werden als Zwischenreaktionen be-zeichnet.
– Damit sind insgesamt 6 Unbekannte zu bestimmen– Für jeden der beiden Träger müssen 3 Gleichgewichtsbe-
dingungen erfüllt sein.– Damit stehen 6 Gleichungen zur Verfügung.
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4.2 Mehrteilige ebene Tragwerke
– Gleichgewicht am Träger BC:
c – b
hB
C
Bx
Byx
y Cy
Cx
φ∑ F x=0 : C x−Bx=0 C x=Bx
∑ F y=0 : −C yB y=0 C y=B y
∑ M C =0 : c−b B y−h B x=0
B yBx
= hc−b
= tan
c - b
h B Bx
By
φ
ByBx
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4.2 Mehrteilige ebene Tragwerke
– Pendelstütze:● Die Richtung der im Punkt B am Träger BC angreifenden
Kraft stimmt mit der Richtung des Trägers überein.● Ein Träger, der in zwei Punkten gelenkig gelagert ist und auf
den keine äußeren Kräfte wirken, kann nur Kräfte übertragen, deren Wirkungslinie durch die beiden Gelenke verläuft.
● Ein solcher Träger wird als Pendelstütze bezeichnet.F
FF
F
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4.2 Mehrteilige ebene Tragwerke
– Gleichgewicht am Träger AC:Fa
b
A CAx
Ay
x
yB
y
Bx∑ F x=0 : Ax−Bx=0 Ax=B x
∑ F y=0 : A yB y−F=0∑M A=0 : −a Fb B y=0
B y=ab F
B yBx
= hc−b
Bx=c−bhB y=
c−bhabF
A y=F−B y=b−abF
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4.2 Mehrteilige ebene Tragwerke
– Zahlenwerte:
B y=2m3m⋅10kN=6,67kN
Bx=5m−3m1m
2m3m
⋅10kN=13,33kN
C y=6,67kN
C x=13,33 kN
Ax=13,33 kN
A y=3m−2m3m
⋅10kN=3,33kN
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4.2 Mehrteilige ebene Tragwerke
● Statisch bestimmte Tragwerke:– Ein aus starren Körpern zusammengesetztes Tragwerk
heißt statisch bestimmt, wenn sich alle Lagerreaktionen und Zwischenreaktionen aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmen lassen.
– Regel:● Ein ebenes Tragwerk aus N starren Körpern mit L Lagerre-
aktionen und Z Zwischenreaktionen ist statisch bestimmt, wenn gilt:
L + Z = 3N
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4.2 Mehrteilige ebene Tragwerke
● Beispiel: Hebebühne
a
a
a a 2a
a
2a
A
B
C
D E
H
F
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4.2 Mehrteilige ebene Tragwerke
– Überprüfung auf statische Bestimmtheit:● In den Punkten A und H liegen Festlager vor.● Die Lagerung besteht aus zwei 2-wertigen Lagern. Damit
liegen 4 unbekannte Lagerreaktionen vor: L = 4● In den 4 Gelenken B, C, D und E treten je 2 unbekannte
Zwischenreaktionen auf: Z = 4 ∙ 2 = 8● Das Tragwerk besteht aus 4 starren Körpern: N = 4● Die Beziehung L + Z = 3N ist erfüllt. Das Tragwerk ist statisch
bestimmt.– Identifikation von Pendelstützen:
● Die Träger CD und EH sind Pendelstützen.
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4.2 Mehrteilige ebene Tragwerke
– Gleichgewicht am Gesamtsystem:● Es wird ausgenutzt, dass der Träger EH eine Pendelstütze
ist.
a
a
a a 2a
a
2a
A
B
C
D E
H
F
x
y
Ay
Ax
H
45°
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.4-22
4.2 Mehrteilige ebene Tragwerke
∑ F x=0 : Ax−22 H=0 Ax=22 H
∑ F y=0 : A y22 H−F=0 A y=F−22H
∑ M A=0 : −a F4a 22 H=0 H=F22
H=24 F
Ax=14F
A y=34F
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.4-23
4.2 Mehrteilige ebene Tragwerke
– Gleichgewicht am Träger BE:● Es wird ausgenutzt, dass der Träger CD eine Pendelstütze
ist.
4a2a
B D EF
x
y
3a
HDBy
Bx
H
H
E
H
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.4-24
4.2 Mehrteilige ebene Tragwerke
∑ M B=0 : 2a 22 D−3a F4a22 H=0
D= 32F−2H=3 22 −22 F
∑ F x=0 : Bx22 D−22H=0
Bx=22
H−D =−22⋅3 24F
D=2F
Bx=−34F
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4.2 Mehrteilige ebene Tragwerke
∑ F y=0 : B y 22 D−F22H=0
B y=F−22
HD =F− 22 24 2F=1−22 ⋅54 2F
B y=−14F
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.4-26
4.2 Mehrteilige ebene Tragwerke
– Probe am Träger AB:
a
a
a a
A
B
C
x
y
Ay
Ax
C
D
D
D
ByB
x
∑ F x=−BxAx−22 D
= 3414−1F=0∑ F y=−B y−22 DA y
= 14−1 34 F=0
∑MC=a BxB yAxA y =a−34−141434 F=0