Quadratische Funktionenund Gleichungen

Eine Zusammenfassung

und Wiederholung

Fassung: 20. April 2023

„Wir“ erinnern uns?!

Quadratische Beziehungen und Parabeln sind keine Erfindungen von Mathematikern oder Lehrern, sondern …

Köln-ArenaParabolantenne

frei hängende Kette

… kommen im Alltagsleben vor.

springender Ball, aufgenommen mit einer StroboskopkameraSidney - Harbourbridge

Über-sicht

Was macht nun die Mathematik?

Mathematik beobachtet und misst.

Mathematik untersucht.

Mathematik denkt weiter.

Mathematik probiert aus.

Über-sicht

Mathematik beobachtet und misst.

x y-4 4-2 10 02 14 46 9

x y-4-20246

Über-sicht

Wenn man noch folgende Werte messen würde, …

… könnte man zu der Funktionsvorschrift y = 0,25 x² kommen!*

x y-10 25-8 16-6 9-4 42 10 02 14 46 98 16

10 25

Bitte beachten Sie den Konjunktiv (… würde, könnte …)! Denn: Eine Kette hängt nur annähernd, nicht exakt in Parabelform.

Mathematik untersucht.

Bremsweg eines Autos

Über-sicht

… beginnend mit 40 km/h

… beginnend mit 60 km/h

… beginnend mit 80 km/h

Oder anders dargestellt:

Mathematik untersucht.

Bremsweg eines Autos(In der Realität gibt es selbstverständlich Abweichungen, je nach Beschaffenheit der Straße, der Reifengröße, des Reifenzustands u.ä.)

Über-sicht

Geschwindigkeit in km/h

Läng

e de

s B

rem

sweg

s in

m

Mathematik denkt weiter.

Geht man von einer quadratischen Beziehung (Zuordnung) zweier Größen (allgemein x und y) aus, lassen sich folgende Varianten unterscheiden:

Über-sicht

y = x² Normalparabel y = a x² y = a x² + c reinquadratische Funktion y = a x² + b x + c gemischtquadratische Funktion in Normalform y = a (x + d)² + e gemischtquadratische Funktion in Scheitelform

mit S(-d|e)

Für die Variablen a, b, c, d und e gilt es nun Zahlenwerte einzusetzen; anschließend kann man jeweils eine Wertetabelle aufstellen und den entsprechenden Graphen zeichnen. Probieren Sie es aus und beobachten Sie Veränderungen!

Mathematik probiert aus.

gemischt-quadratische Funktion: y = ax² + bx + c (Normalform)(Zur Ausführung dieses Links benötigen Sie Excel auf Ihrem Rechner; Makros müssen aktiviert werden.)

gemischt-quadratische Funktion: y = a (x² + d)² + e (Scheitelform)(Zur Ausführung dieses Links benötigen Sie Excel auf Ihrem Rechner; Makros müssen aktiviert werden.)

Wasserstrahl (Normalform) (Zur Ausführung dieses Links benötigen Sie Excel auf Ihrem Rechner; Makros müssen aktiviert werden.)

Wasserstrahl (Scheitelform)(Zur Ausführung dieses Links benötigen Sie Excel auf Ihrem Rechner; Makros müssen aktiviert werden.)

Über-sicht

Was bringen die Untersuchungen der Mathematik?

Bestimmung minimaler bzw. maximaler Werte bei quadratischen Beziehungen

Lösung quadratischer Gleichungen

Bestimmung der Funktionsgleichung bei gegebenen Punkten einer Parabel

Über-sicht

Was bringen die Untersuchungen der Mathematik?Bestimmung minimaler bzw. maximaler Werte bei quadratischen Beziehungen

zurück

Beispiel:

Bei welchen Seitenmaßen wird die rechteckige Fläche des Kaninchengeheges maximal, wenn für den Zaun 7m zur Verfügung stehen?

Fläche des Geheges: A = x (7-2x) bzw.: A = -2x² + 7x

Somit hat man es mit einer quadratischen Beziehung zu tun.

Betrachtet man A nun als eine von x abhängige Größe, so lässt sich die Beziehung als quadratische Funktion verstehen mit einer Parabel als graphischer Darstellung und dem Scheitelpunkt als Lösung der Problemstellung; seine x-Koordinate gibt das Seitenmaß des Geheges an, für das die Fläche (y-Koordinate) maximal wird.

zeichnerische Lösung rechnerische Lösung

Über-sicht

Kaninchengehege

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-1 0 1 2 3 4

zeichnerische Lösung

Der Scheitelpunkt lässt sich ablesen: S(1,75|6,125)

D.h.: Bei einer Seitenlänge von 1,75 m ergibt sich eine Fläche von 6,125 m²

A = -2x² + 7x

Wertetabelle

x A

0,0 0,0

0,5 3,0

1,0 5,0

1,5 6,0

2,0 6,0

2,5 5,0

3,0 3,0

3,5 0,0zurück

Über-sicht

Rechnerische Bestimmung des Scheitelpunkts der quadratischen Funktion y = ax² + bx +c

zurück

Über-sicht

Es geht auch noch anders! (Vielleicht einfacher?)

Jede Parabel hat bekanntlich eine Spiegelachse; diese verläuft stets parallel zur y-Achse UND durch den Scheitelpunkt. Somit liegt der Scheitelpunkt zugleich genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen der Parabel - und diese Nullstellen lassen sich rechnerisch per pq-Formel bestimmen (vgl. nächster Abschnitt Quadratische Gleichungen).

Klingt nach einfacher Lösung, hat aber wie vieles Einfache einen „Haken“.

Schon entdeckt?

Hinweis: Hat jede Parabel eine/zwei Nullstelle(n)?!

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

Was bringen die Untersuchungen der Mathematik?Lösung quadratischer Gleichungen

zurück

Grundidee: Die Punkte einer Parabel, die den Wert y = 0 haben, bilden die Lösung(en) einer quadratischen Gleichung der Form x² + px +q = 0.

zeichnerisch rechnerisch

Beispiel: x2 + 3x – 1,75 = 0(y)

Mit der sog. p-q-Formel lassen sich sämtliche quadratischen Gleichungen der Form x² + px +q = 0 lösen.

Lösung(en) der Gleichung: x1 = -3,5x2 = 0,5

Herleitung der p-q-Formel(mit quadratischer Ergänzung)

22

3

75,12

3

2

3

2/1

2

2/1

x

x

Anwendung der p-q-Formel

Über-sicht

02 qpxx

022

22

q

ppx

qpp

x

22

22

qpp

x

2

22

qpp

x

2

2/1 22

Was bringen die Untersuchungen der Mathematik?Bestimmung der Funktionsgleichung bei gegebenen Punkten einer Parabel

zurück

Kennt man den Scheitelpunkt sowie einen weiteren Punkt der Parabel, kann man deren Funktionsgleichung bestimmen.

Beispiel: ein Kugelstoß

Abstoßhöhe (bei x = 0 m): 1,80 m

Höchster Punkt der Flugbahn: 2,3 m (bei einem Abstand von 4 m)

Lösungsweg:

• Einsetzen der Scheitelpunkt- sowie der Punktkoordinaten in die allgemeine Scheitelform: 1,8 = a (0 – 4)² + 2,3

• Auflösen der Gleichung nach a: a = -0,03125

• ggf. Bestimmung der Normalform durch Umwandlung der Scheitelform y = -0,03125 (x – 4)² + 2,3 in: y = -0,03125x² + 0,25x + 1,8

Die Weite dieses Kugelstoßversuchs lässt sich jetzt sowohl zeichnerisch als auch rechnerisch (vgl. Lösung quadratischer Gleichungen) bestimmen. (Tipp: Wie groß ist der y-Wert im Punkt des Aufpralls?)

Über-sicht

So behalten Sie den Überblick!

„Wir“ erinnern uns?! Was macht nun die Mathematik

? Mathematik beobachtet und mis

st. Mathematik untersucht. Mathematik denkt weiter, Mathematik probiert aus. Was bringen die Untersuchunge

n der Mathematik?

Lösung quadratischer Gleichungen

Bestimmung der Funktionsgleichung aus gegebenen Punkten

Von der Normalform (y = ax² + bx + c) zur Scheitelform ( y = a (x+d)² +e)

Übersicht quadratische Funktionen

Übersicht quadratische Gleichungen

Ausblick

Ausblick

Über-sicht

Die in diesem Lernprogramm – an dessen Ende Sie jetzt angekommen sind – vorgestellte Methode

von der Beobachtung von Zusammenhängen und Zuordnungen

über Funktionen als mathematische Beschreibung der Realität (Modellbildung)

über die (innermathematische) Weiterentwicklung bis zur (mathematischen) Lösung realer Problem-

stellungen

lässt sich auch auf andere Situationen übertragen.

Mathematische Fortsetzungen sind insbesondere die Exponential-funktionen sowie die Differential- und Integralrechnung – das Abend-gymnasium lässt grüßen!

Übersicht quadratische Funktionen

Über-sicht

Übersicht quadratische Gleichungen

Über-sicht