Post on 16-Aug-2019
1
SchwingungenSchwingungen haben eine zentrale Bedeutung in der Physik.
Der Formalismus wird in sehr vielen Bereichen der Physik verwendet.
A. Freie Schwingungen (Einfachstes Modell einer Anregung in Materie)
Federpendel (ungedämpft): „Harmonischer Oszillator“
Die elastische Kraft einer Feder ist proportional
zur Auslenkung: Hookesches Gesetz (vgl. Abschn. Elastizität)
Kräfte, die an der Masse angreifen:
1. Ruhelage:
Die Auslenkung x0 kompensiert die Gewichtskraft.
m x
xDFrr
−=
Eindimensional00 =−=+ xDgmFF FG
rrrr
D: Federkonstante
228
x0
(m = 0)
2. Auslenkung aus Ruhelage:
Man wählt den Nullpunkt von x bei der Ruhelage und betrachtet
m in der Ruhelage als kräftefrei.
Verbleibende Auslenkungen beschleunigen m.
Versuch, eine Lösung zu finden:
Schwingung ist periodisch, also probieren wir:
m
x
xDma −=
)()( txDtxm −=&&
)()( txmD
tx −=&& Differentialgleichung 2. Ordnung, also 2 Integrationskonstanten.
)sin()( ϕω += tAtx
)cos()( ϕωω += tAtx&
)sin()( 2 ϕωω +−= tAtx&&
0=x
229
2
Einsetzen:
Ergibt Bestimmungsgleichung für den Parameter ω (Kreisfrequenz):
Die Funktion
(A: Amplitude, ϕ: Phase der Schwingung)
ist eine Lösung der Differentialgleichung („harmonische Schwingung“).
Die Frequenz der Schwingung ist durch Federkonstante und Masse festgelegt.
Schwingungsdauer T, Frequenz ν:
Eine volle Schwingung ist durchlaufen, wenn also:
)sin()sin(2 ϕωϕωω +−=+− tAmD
tA
mD
=2ω
),sin()( ϕ+= tAtx mD
,2πω =T
.1
];/[,2,22
Tsrad
Dm
T ==== νπνωπωπ
230
Einheit von ν: 1 s-1
= 1 Hertz (Hz)
Heinrich Hertz, 1857-1894
(„Eigenwert“ der Dgl.)
( ).)sin()( 2 ϕωω +−= tAtx&&;)()(
−= tx
mDtx&&
231
t
Grundbegriffe und Zusammenhänge bei harmonischen Schwingungen
Schwingungsdauer T, Amplitude A und Phase ϕeiner harmonischen Schwingung.
Auslenkung x(t), Geschwindigkeit dx/dt, und Be-schleunigung d2x/dt2 bei einer harmonischen
Schwingung.
Zwei harmonische Schwingungen gleicher Fre-quenz ω mit einer relativen Phasen-
verschiebung ϕ.
3
232
Potentielle und kinetische Energie bei harmonischen Schwingungen
Epot(x) = ∫ ∫ ==
x x
xD
dxxDdxF
0 0
2;2
Ekin = ;2
2vm
( ) ( ) .;cos;sin 0000 vxtxxvtxx ==== ωωωω &
Epot = ( );sin2
220 tx
Dω Ekin = ( ) .cos
2222
0 txm
ωω
Mit :2
mD=ω
Epot + Ekin = ( ) ( )( ) .222
cossin2
220
20
20
1
2220 ωωω ⋅===+ x
mv
mx
Dttx
D4444 34444 21
Wir berechnen die Mittelwerte von Epot und Ekin während einer Periode T: .
( )
( ) .4
cos2
)(1
;4
sin2
)(1
220
0
222
0
0
20
0
22
0
0
ωω
ω
ω
mxdtt
Tmx
dttET
E
DxdttT
DxdttET
E
TT
kinkin
TT
potpot
===
===
∫∫
∫∫
234
Mit ( ) ( )21
cos1
sin1
0
2
0
2 == ∫∫ dttT
dttT
TT
ωω wird:
.21
44
220
20
geskinpot EmxxD
EE ====ω
Im zeitlichen Mittel entfällt auf beide Energiearten der gleiche Anteil an der Gesamtenergie (Gleichverteilungssatz).
Zeitlicher Verlauf von Epot und Ekin:
~Epot
~Ekin
~x(t)
= 2ωmD
4
Drehpendel (ungedämpft):
Feder erzeugt ein Drehmoment (D*: Richtmoment)
proportional zum Drehwinkel
Aktionsprinzip für Drehungen liefert:
Daraus ergibt sich die Differentialgleichung:
Man findet analog zum Federpendel die allgemeine Lösung:
ϕrr
*DM −=
.LMJ &rr&&r ==ϕ
ϕ
.*
ϕϕr&&r
JD
−=
).sin()( * αϕ += tAt JD
235
Fadenpendel (ungedämpft; starrer, masseloser „Faden“):
Aktionsprinzip:
Näherung: Punktförmige Masse m: (mathematisches Pendel)
m
FlMrrr
×=
Fr
ϕ
lr
x
y
z Mr
ωr
)cos,0,sin( ϕϕ lll −=r
),0,0( mgF −=r
)0,sin,0( ϕlmgM =⇒r
),,( xyyxzxxzyzzy FlFlFlFlFlFlFl −−−=×rr
MJr
&r =ω
2lmJ =
ϕϕ sinmglJ =− &&
ϕϕ sinlg
−=&&
)0,,0( ϕω &r−=mit
236
(nur y -Komponente)
Dgl. des mathematischen Pendels
5
Die Dgl. ist nichtlinear:
Eine Lösung dieser Dgl. kann nicht als einfache Funktion hingeschrieben
werden.
Eine Möglichkeit: Differentialgleichung nähern für kleine Auslenkungen:
(Taylorreihe)
Damit ergibt sich:
Ansatz für die Funktionen:
ϕϕ sinlg
−=&&
44 344 21K
ϕ
ϕϕϕϕ kleine für klein
5!5
13!3
1sin −+−=
ϕϕlg
−=&&
)sin()( αϕ +Ω= tAt
)cos()( αϕ +ΩΩ= tAt&
)sin()( 2 αϕ +ΩΩ−= tAt&&237
Einsetzen in Dgl. liefert
Die Bestimmungsgleichung für die Frequenz lautet:
Allgemeine Lösung für kleine Auslenkungen ist also:
Amplitude A und Phase α müssen aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden.
).sin()sin(2 αα +Ω−=+ΩΩ− tAlg
tA
gl
Tlg
π22 =⇒=Ω
)sin()( αϕ += tAt lg
238
Numerische Integration der exak-ten Dgl.:
für die Beschreibung großer Amp-lituden. Anharmonisches Verhalten.
.sinϕϕlg
−=&&
−= ϕϕ
lg&&
6
Schwingungsdauer hängt von der Amplitude ab.
Für kleine Amplituden ϕ0 < 5° ist die linearisierte Dgl. geeignet.
Schwingungsdauer T des Stabpendels als Funktion der Auslenkung:
T bezogen auf T0 = Schwingungsdauer bei Amplitude → 0
Diese Kurve gilt so für jedes Fadenpendel („Stabpendel“)
Singularität (Pol) bei ϕ=180°. Kein Problem: Pendel bleibt aufrecht stehen.
239
Wenn die Schwingungsdauer von der Auslenkung abhängt, ergeben
sich Bewegungen, die nicht sinusförmig sind.
→ Anharmonische Schwingung
Beispiele:
Mit Laserpulsen Anregung der Elektronen in Festkörpern zu Plasma-
Schwingungen:
schwacher Laserpuls → kleine Amplitude → harmonische Schwingung
starker Laserpuls → große Amplitude → anharmonische Schwingung.
Thermische Ausdehnung in Festkörpern: Bei großen Schwingungs-
amplituden der Atome in Festkörpern und Flüssigkeiten (bei hohen
Temperaturen) vergrößern sich die mittleren Gleichgewichtsabstände
der Atome, weil die Bindungskräfte nichtlinear vom Abstand abhängen:
→ Ausdehnung im makroskopischen Maßstab.
240
7
Berechnung für Fadenpendel mit ausgedehnter Kugel:
(Gleichung gilt für beliebiges J,
„Physikalisches Pendel“)
Trägheitsmoment der Kugel:
Steinerscher Satz liefert:
Es folgt:
Man erhält die Schwingungsdauer:
)()( tmgltJ ϕϕ =− &&
2522 RmlmJ +=
252 RmJ =
)()()( 2522 tmgltRmlm ϕϕ =+− &&
)()()52
1(2
2
tlg
tlR
ϕϕ =+− &&
)(1
1)(
2
2
52
tlg
tlR
ϕϕ+
−=&&
+=
2
2
52
12lR
gl
T π
241
Aufhängung
Schwerpunkt
gmFrr
⋅=ϕ
Versuch: Bestimmung von g mit Fadenpendel:
Aus der Schwingungsdauer
erhält man
Wichtig: kleine Amplituden verwenden
+=
2
2
52
12lR
gl
T π
+= 2
2
22
52
14lR
Tl
g π l = (6.000 ± 0.001) m
R = (0.050 ± 0.001) m
T = (4.918 ± 0.001) s
g = (9.7941 ± 0.005) m/s2
242
8
Mathematische Ergänzung am Beispiel des Federpendels:
Komplexer Ansatz zur Lösung der Dgl.
Bisher: Die Bewegung wird vollständig beschrieben durch die Funktion:
Jetzt: Behandlung der Dgl. des harmonischen Oszillators in der komplexen
(Gaußschen) Zahlenebene:
Komplexe Zahl z = x + i y; x = Re(z), y = Im(z).
Re: Realteil, Im: Imaginärteil.
z* = x – iy : Konjugiert komplexe Zahl.
„Eulersche Formeln“ (1748):
).sin()sin()( ϕωϕ +=+= tAtAtx mD
243
.1;1 2 −=−= ii
)Re(, zx
ϕϕϕ iei ±=± sincos
,2
sin,2
cosieeee iiii ϕϕϕϕ
ϕϕ−− −=+=
(Herleitung beispielsweise über die Entwicklung in Potenzreihen: x ? iϕ)
)Im(, zy
z y
x
ϕ
z* = x - iy
y−
KK ++++++=!!3!2
132
nxxx
xen
x
Komplexe Zahlen:
Addition:
Multiplikation:
Die reellen Zahlen sind in der Menge der komplexen Zahlen (Imaginärteil = 0).
Für physikalische Aussagen ist nur der Realteil einer komplexen Zahl
maßgebend. Vorsicht bei der Multiplikation von zwei als komplexe Zahlen
dargestellten physikalischen Größen!
)()()( ybixaiyxiba +++=+++
)()()( aybxibyaxiyxiba ++−=+⋅+
244
.,;)sin(cos*
22
=+==±=±=
±
xyarctgyxReRiRyix
zz i ϕϕϕ ϕ
.1;;1; 2422
3322
3
2 ==−===−==== ±−±− iiiiiieiieeieieei π
πππ
ππ
( )21212121
ϕϕϕϕ +=⋅ iii errerer
)Im(, zy
z y
x
ϕ
z* = x - iy
y−
( ) ( ).Im2*;Re2* zzzzzz =−=+
9
Wir betrachten die komplexe Funktion
Anwendung auf die Dgl. für das Federpendel:
Lösungsansatz durch komplexe Funktion (? komplex):
Einsetzen liefert: m
x
0=x
⋅−= )()( txmD
tx&&
,)( tetx λ= ,)( tetx λλ=& .)( 2 tetx λλ=&&
tt emD
e λλλ −=2 .ωλ imD
±=−±=⇒245
( ) ( ):sincos])exp([ tittiee
ti
ti
ωωωω
ω
±=±=
−
+Einheitskreis
Der Einheitskreis wird einmal pro Schwingungsdauer T mit konst. ωdurchlaufen. Projektion auf die reelle oder im. Achse: Harm.Schwingung.
Re
Im
1
i
i−
1−
Federpendel mit Dämpfung: Gedämpft durch Stokessche Reibung
Dort sind Gewichtskraft und Auftrieb bereits kompensiert.
Weitere Kräfte:
Bewegungsgleichung aus Aktionsprinzip:
Abkürzung:
m
,xDFF
rr−=
.6 vrFR
rrηπ−=
);(6)()( txrtxDtxm &&& ηπ−−=
.0)()(6
)( =++ txmD
txm
rtx &&& ηπ
.;/3;0)()(2)( 20
20 m
Dmrtxtxtx ===++ ωηπγωγ &&&
Öl, (?)
246
x
r2
10
tAetx λ=)(
Ansatz
λ: komplex; A,ϕ: reelle Amplitude und Phase
teAtx λλ=)(&
teAtx λλ2)( =&&
Einsetzen:
Daraus Bestimmungsgleichung für λ:
Quadratische Gleichung mit den Lösungen:
.02 20
2 =++ ttt eAeAeA λλλ ωλγλ
.02 20
2 =++ ωλγλ
.20
22/1 ωγγλ −±−=
247
(Reduktion der Lösung der Dgl. auf Lösung der algebraischen („charakteristischen“) Gleichung!)
1. Fall: Schwache Dämpfung: γ < ω0
Wurzel wird imaginär. Abkürzung:
Übergang zum Realteil:
Allgemeine Lösung:
Beachte: Schwingungsfrequenz ω ist dämpfungsabhängig!
Sie nimmt mit wachsender Dämpfung ab.
τ = 1 / γ : Abklingzeit der Schwingungsamplitude auf 1/e, (~37 %).
20
22/1 ωγγλ −±−= Radikant ist negativ,
2202/1 mit γωωωγλ −=±−= i
)()( 21 tittit eeAtx ωγωγ −−+− +=
tAe t ωγ cos−=
)cos()cos()( ϕωϕω τγ +=+=−− tAetAetx
tt
248
11
249
)( 1tx
)( 2tx
)( 3tx123 ttt >>
In der Gaußschen Zahlenebene beschreibt der komplexe Radiusvektor x(t) einer ge-dämpften Schwingung eine logarithmische Spirale, die sich asymptotisch dem Ur-sprung nähert.
Gesamtenergie Eges bei einer gedämpften Schwingung:
.22
2/22max.
τt
ges eAD
xD
E−
==
Eges klingt mit der halben Zeitkonstanten, d.h. doppelt so schnell ab wie die Amplitude.
Kennzeichnung der Dämpfung eines Schwingungssystems durch Gütefaktor Q:
Tdt
dE
tE
tZeitzurTPeriodeprolustEnergievertZeitzurSchwingungdergieGesamtener
Q
t
ges
ges
⋅
⋅=⋅=
.
. )(22 ππ
.22
2 τωτπ ⋅=⋅=T
QBeispiele: Drehpendel: Q ˜ 40, Erde (Erdbeben-wellen): Q ˜ 250 – 1 500, Saite eines Musikinstru-mentes : Q ˜ 103, Hohlraumresonator f. Mikrowellen: Q ˜ 104 – 106, Elektronen in Atomen: Q ˜ 106 – 1012.
2. Fall: Starke Dämpfung: γ > ω0
Wurzel bleibt reell, d.h. keine periodische Bewegung. Abkürzung:
Allgemeinster Lösungsansatz:
Anfangsbedingungen, z.B. x(t=0) = 0; dx/dt (t=0) = v0.
Daraus: A = -A* = A; 2αA = v0.
Die Lösung für die spez. Anfangsbedingungen lautet:
.20
22/1 ωγγλ −±−= Radikant ist positiv!
.mit 20
22/1 ωγααγλ −=±−=
.sinh)( 0 tev
tx t αα
γ−=
250
( ) .2
)cosh(,2
sinhxxxx ee
xee
x−− +
=−
=
( )ttt eAeAetx ααγ −− += *)(
(Kriechfall)
12
3. Fall: Aperiodischer Grenzfall: γ = ω0
Beide komplexe Lösungen sind entartet.
Man kann zeigen, daß dann die Lösung
gegeben ist durch:
A und B lassen sich wieder aus den
Anfangsbedingungen bestimmen.
Anwendung in Zeigerinstrumenten,
Fahrzeugfederungen (Stoßdämpfer).
434210
20
22/1
=
−±−= ωγγλ
γλ −=2/1
tetBAtx γ−+= )()(
251
B. Erzwungene Schwingungen
Federpendel: periodisch mit Kreisfrequenz O angeregt.
Es wirke eine äußere Kraft:
Kräftebilanz und Dgl:
Abkürzungen:
Übergang ins Komplexe,
(x ? z):
Die äußere Kraft prägt der Schwingung die Frequenz O auf.
Die Lösung setzt sich aus der allgem. Lösung der homogenen
Gleichung (rechte Seite = 0) plus einer speziellen Lösung der
inhomogenen Gleichung zusammen.
00 :...cos)( ω≠ΩΩ= aitFtFA
.cos)()(6
)( 0 tmF
txmD
txm
rtx Ω=++ &&& ηπ
m
Öl
.cos)()(2)( 20 tKtxtxtx Ω=++ ωγ &&&
252
F0, O
.2 20
tieKzzz Ω=++ ωγ &&&
13
253
Lösungsansatz: ( )( ):exp α+Ω⋅= tiAz .; 2 zzziz Ω−=Ω= &&&
.2 20
tieKzzz Ω=++ ωγ &&& Es wird:
zeKzziz ti :2 20
2 Ω⋅=+Ω+Ω− ωγ
.2 20
2 αα κωγ ii eeAK
i −− ==+Ω+Ω− Multiplikation mit dem konjugiert Komplexen liefert (Betrag)2.
( ) ( ) .2 222220 κγω =Ω+Ω−
κκ ⋅==
mFK
AAAmplitude 0:
Amplitude A der erzwungenen Schwingung:
( ) ( ).
2 22220
0
Ω+Ω−⋅=
γωm
FA
Homogene Lösung: Einschwingvorgang (siehe oben). Inhomogene Lö-sung: Stationärer Zustand, (hier allein behandelt).
Gesucht: A, α.
Re
Im
220 Ω−ω
Ωγ2κα−
( ).2
220 Ω−
Ω−=
ω
γαtg
Phase:
.2 220 γωω −=R
254
( ) ( )22220
0
2 Ω+Ω−⋅=
γωm
FA
A zeigt eine Resonanz für O? ω0! Bei verschwindender Dämpfung (γ? 0) di-
vergiert A, d.h. A? 8 .
Die genaue Resonanzfrequenz ωR erhält man aus dA/dO = 0 zu:
Halbwertsbreite ? ωHW: Breite der Resonanzkurve bei halber Reso-nanzamplitude. Man findet mit der Näherung ωR = ω0:
.32 γ≈Ω∆ HW
Die Halbwertsbreite steigt mit der Dämpfung γ.
Amplitude:
14
255
•Die Amplitude ist um so größer, je dichter O an ω0 (Resonanz) liegt.•Die Resonanz ist umso schmaler, je schwächer die Dämpfung ist.•Die Phase ändert sich von 0 auf -π mit zunehmender Frequenz.•Die stärkste Phasenänderung ist bei ω0.•Der Phasensprung ist um so abrupter, je schwächer die Dämpfung ist.
3. Leistungsaufnahme des Oszillators bei erzwungenen Schwingungen:
Die aus der Anregung aufgenommene momentane Leistung P wird in
„Reibungswärme“ umgesetzt.
Während einer Periode T umgesetzte Arbeit:
);(sin22 2222
2 ϕγγ +ΩΩ==⋅= tAmvmvFP R
rr
.
2/
d)(sin2d 22222 TmA
T
ttAmtPW
Tt
t
Tt
t
Ω=
=
+ΩΩ== ∫∫++
γϕγ
444 3444 21
256
( ).sin,/3;6
ϕηπγ
ηπ
+ΩΩ===
=
tAxvmrvrFR
&
rr
Im zeitlichen Mittel umgesetzte Leistung: .22 Ω== AmTW
P γ
Einsetzen von A liefert:
( ) ( ).
2)(
22220
22
Ω+Ω−
Ω=Ω
γω
γ KmP
15
(Lorentzfunktion)
Die größte Leistung wird bei ω = ω0 umgesetzt.257
;4
)(2
max0 γω
KmPP ===Ω damit: ( )
( ) ( ).
22
)(2222
2
max0 Ω+Ω−
Ω⋅=Ωγω
γPP
Für die Halbwertsbreite findet man: .2γ=∆Ω∆Ω
(Möglichkeit zur experimentellen Bestimmung der Dämpfungs-größe von Materieanregungen!)
Ω
Für kleine Dämpfung (?Ω << Ω) kann man setzen:
( ) ( )( )
( )( ) 22
0
2
max
0
0022
0
:.2
γω
γ
ω
ωωω
+Ω−⋅=Ω
Ω⋅Ω−≈
Ω+⋅Ω−=Ω−
PP
Damit
?Ω
258
Beispiele für Materieanregungen
Realteil (ε ) und Imagi-närteil (ε´ ) der optischen Dielektrizitätskonstantenε(ω) für den polaren Halb-leiter GaP im Bereich deroptischen Gitterschwin-gung im infraroten Spek-tralbereich
Totaler Wirkungsquer-schnitt für den Einfang von Neutronen in 92U für Neu-tronen-Einfangsenergienzwischen 1 eV und 103 eV.
Neutronen bestimmter Ener-gienkönnen in den Kern eindringen mit einer ge-wissenVerweildauer dort, (? Halbwertsbreite).
Resonanzabsorption von π+-Mesonen (Pionen) mit Ener-gienbis zu 0,5 GeV in Proto-nen (Wasserstoff). Das ange-regte „N-Teilchen“ lebt nur für die Dauer der Flugzeit von π+ durch das Proton.
(Meson: Schweres Elektron, instabil, m π+ = 273 m e- ).