1 Einleitung - tu-chemnitz.de · he hnisc ec T ersit Univ at Chemnitz ungsb h h ereic Sonderforsc...
32
Transcript of 1 Einleitung - tu-chemnitz.de · he hnisc ec T ersit Univ at Chemnitz ungsb h h ereic Sonderforsc...
Te hnis he Universit
�
at Chemnitz
Sonderfors hungsberei h 393
Numeris he Simulation auf massiv parallelen Re hnern
U.-J. G
�
orke A. Bu her R. Krei�ig
Ein Beitrag zur
Materialparameteridenti�kation
bei �niten elastis h-plastis hen
Verzerrungen dur h Analyse
inhomogener Vers hiebungsfelder
mit Hilfe der FEM
Preprint SFB393/01-03
Zusammenfassung
The identi� ation of material parameters for elasto-plasti deformation laws ana-
lyzing inhomogeneous displa ement �elds in the ase of �nite deformations has be-
en arried out using a nonlinear deterministi optimization approa h (Levenberg-
Marquardt method) for a least squares type obje tive fun tion. The numeri al values
for the nodal displa ements are obtained by the Finite Element Method.
Based on the multipli ative split of the deformation gradient into an elasti and
a plasti part as well as some physi ally and mathemati ally useful assumptions, a
thermodynami ally onsistent deformation law for �nite elasto-plasti deformations
is formulated. The deformation law represents a system of di�erential and algebrai
equations whi h is numeri ally solved using a generalized one-step time integration
method.
A semianalyti al method has been developed to obtain the gradient of the obje -
tive fun tion. This method is based on the dis retization of the prin iple of virtual
work with respe t to the material parameters. The required derivatives of integration
point based quantities with respe t to the material parameters are determined solving
a system of nonlinear algebrai equations whi h is given as the result of an impli it
di�erentiation of the dis retized deformation law. The presented integration method
for the deformation law allows a simple and eÆ ient omputation of the onsistent
material matrix as well as a reliable sensitivity analysis.
The presented algorithms are implemented into the experimental FE- ode PMHP
running on parallel omputers.
Key words: Finite Plasti ity; Constitutive Equations; Finite Element Method; Prin-
iple of Virtual Work; Impli it Integration; Optimization; Sensitivity Analysis
MSC odes: 73B05; 75E05; 73G20; 73V05
Preprint-Reihe des Chemnitzer SFB 393
SFB393/01-03 Februar 2001
Inhaltsverzei hnis
1 Einleitung 1
2 Kinematik �niter elastis h-plastis her Verzerrungen 1
3 Ein thermodynamis h konsistentes Deformationsgesetz 2
4 Numeris he Simulation 6
5 Verfahren zur Materialparameteridenti�kation 9
6 Optimierungsmodell 13
7 Semianalytis he Sensitivit
�
atsanalyse 16
8 Zusammenfassung und Ausbli k 24
Author's addresses:
Uwe-Jens G
�
orke
Anke Bu her
Reiner Krei�ig
TU Chemnitz
Institut f
�
ur Me hanik
D-09107 Chemnitz
e-mail: uj.goerke�mb1.tu- hemnitz.de
e-mail: anke.bu her�mb1.tu- hemnitz.de
e-mail: r.kreissig�mb1.tu- hemnitz.de
http://www.tu- hemnitz.de/sfb393/
1 Einleitung
In der vorliegenden Arbeit werden die theoretis hen Grundlagen f
�
ur die Materialpara-
meteridenti�kation bei �niten elastis h-plastis hen Verzerrungen, basierend auf der nu-
meris hen Analyse experimentell ermittelter inhomogener Vers hiebungsfelder, dargelegt.
F
�
ur die L
�
osung des Feldproblems in den Optimierungss hritten wird die Finite-Elemente-
Methode (FEM) genutzt.
Es erfolgt ein
�
Uberbli k
�
uber die Herleitung eines thermodynamis h konsistenten Deforma-
tionsgesetzes der Elasto-Plastizit
�
at �niter Verzerrungen, das zur L
�
osung des eingebetteten
Anfangswertproblems numeris h integriert wird. Ans hlie�end werden die grundlegenden
Beziehungen zur semianalytis hen Sensitivit
�
atsanalyse bei �niten elastis h-plastis hen Ver-
zerrungen vorgestellt, die auf den globalen Glei hgewi htsbedingungen (Prinzip der virtu-
ellen Arbeit) und dem lokal ausiterierten Deformationsgesetz beruhen. Die Sensitivit
�
ats-
analyse bildet die Grundlage zur Bere hnung der f
�
ur die Anwendung deterministis her Op-
timierungsverfahren erforderli hen Gradienten (Ableitung der Vers hiebungskomponenten
na h den Materialparametern).
2 Kinematik �niter elastis h-plastis her Verzerrungen
Den Ausgangspunkt der kinematis hen Betra htungen zur Herleitung eines allgemeinen
Sto�gesetzes f
�
ur gro�e elastis h-plastis he Verformungen stellt der Deformationsgradient
F mit
F = F
i
I
g
i
G
i
=
�x
i
�X
I
g
i
G
i
(1)
dar [16℄. Er bildet ein materielles, in�nitesimales Linienelement dX von der Ausgangs-
kon�guration in die Momentankon�guration ab und bes hreibt damit die Stre kungen und
Drehungen, die dieses Linienelement w
�
ahrend der Bewegung erf
�
ahrt.
Bei elastis h-plastis her Deformation kann eine sogenannte Zwis henkon�guration de�niert
werden, indem lokal eine �ktive elastis he Entlastung der materiellen Teil hen vorgenom-
men wird [7℄. Mit Hilfe dieser Kon�guration ist es m
�
ogli h, eine konsequente Trennung von
elastis hen und plastis hen Gr
�
o�en im Deformationsgesetz zu errei hen.
Dazu wird die multiplikative Zerlegung des Deformationsgradienten in einen elastis hen
Anteil F
e
und in einen plastis hen Anteil F
p
genutzt. Aus der angegebenen De�nition der
Zwis henkon�guration wird deutli h, dass sie in der Regel ni ht kompatibel ist.
1
Zwis henkon�guration
~
B
~
G
1
~
X
1
~
G
2
~
X
2
~
G
3
~
X
3
�
�Æ
�
�1
X
XXy
-
6
�
�
�
e
1
Z
1
e
2
Z
2
e
3
Z
3
-
6
�
�
A
A
A
A
A
A
A
A
A
AK
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�*
R
r
Ausgangskon�guration
t = t
o
B
o
G
1
X
1
G
2
X
2
G
3
X
3
�
��
�
�:
�
��
Momentankon�guration
t
B
g
1
x
1
g
2
x
2
g
3
x
3
C
CO
X
Xz
H
HY
-
F
p
6
F
e
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
'
t
: X 7! x = '
t
(X )
F := F
t
= r'
t
Abbildung 1: Ausgangs-, Zwis hen- und Momentankon�guration
3 Ein thermodynamis h konsistentes Deformations-
gesetz
Den Ausgangspunkt zur Herleitung des Deformationsgesetzes f
�
ur �nite elastis h-plastis he
Verzerrungen bildet die Clausius-Duhem-Unglei hung f
�
ur den isothermen Fall in der Aus-
gangskon�guration:
�%
0
_
+
1
2
T ��
_
C � 0 : (2)
Mit dem Re hts-Cau hy-Green-Tensor C , dem kovarianten, zweistu�gen Tensor C
p
zur
Charakterisierung der plastis hen Verzerrungen in der Ausgangskon�guration und einer
internen VariablenA
1
vom Verzerrungstyp soll f
�
ur die freie Energiedi hte deren additive
2
Aufspaltung in einen elastis hen und einen plastis hen Anteil gelten:
=
�
e
�
1
2
[C � C
p
℄
�
+
p
(A
1
) =
�
e
(E
e
) +
p
(A
1
) : (3)
Dabei ist zu bea hten, dass der elastis he Anteil der Energiedi htefunktion origin
�
ar als iso-
trope Tensorfunktion der Invarianten des elastis hen Verzerrungstensors
~
E
e
= F
p�T
E
e
F
p�1
in der Zwis henkon�guration zu de�nieren ist
�
e
=
�
e
�
J
1
(
~
E
e
); J
2
(
~
E
e
); J
3
(
~
E
e
)
�
: (4)
Das plastis he \pull-ba k" f
�
uhrt am Beispiel der ersten Grundinvariante J
1
(
~
E
e
) zu folgen-
den
�
aquivalenten Darstellungen:
J
1
(
~
E
e
) =
~
E
e
��
~
G = F
p�T
E
e
F
p�1
�� F
p
B
p
F
pT
= E
e
�� B
p
=
=
1
2
C �� B
p
�
3
2
= J
R1
(C ) �
3
2
=
=
1
2
CB
p
�� I �
3
2
= J
1
(CB
p
) �
3
2
(5)
mit B
p
= C
p�1
. Da analoge Beziehungen au h f
�
ur die Grundinvarianten J
2
(
~
E
e
) und
J
3
(
~
E
e
) gezeigt werden k
�
onnen und einfa he mathematis he Zusammenh
�
ange zwis hen den
Grund- und Hauptinvarianten bestehen, folgt aus (4)
�
e
=
�
e
�
I(
~
E
e
); II(
~
E
e
); III(
~
E
e
)
�
=
e
(I
R
(C ); II
R
(C ); III
R
(C )) =
=
e
(I(CB
p
); II(CB
p
); III(CB
p
)) ; (6)
womit die Energiedi htefunktion (3) au h in der na hstehenden Form ges hrieben werden
kann:
=
e
(CB
p
) +
p
(A
1
) : (7)
Beim Einsetzen der Zeitableitung von (7) in (2) wird folgender Ausdru k erhalten:
�%
0
(
�
e
� (CB
p
)
��
_
B
p
C +
�
e
� (CB
p
)
�� B
p
_
C +
�
p
�A
1
��
_
A
1
)
+
1
2
T ��
_
C � 0 : (8)
Es ist m
�
ogli h, aus der Unglei hung (8) ein hyperelastis hes Teildeformationsgesetz zur
Bere hnung des 2. Piola-Kir hho�s hen Spannungstensors T abzuspalten, f
�
ur das gezeigt
werden kann, dass gilt:
T = 2 %
0
�
e
� (CB
p
)
B
p
= 2 %
0
�
e
�C
= %
0
�
e
�E
e
(9)
Die verbleibenden Terme bilden die plastis he Dissipationsunglei hung:
3
D
p
= � %
0
(
�
e
� (CB
p
)
��
_
B
p
C +
�
p
�A
1
��
_
A
1
)
� 0 : (10)
Mit (9), dem konkreten Ansatz f
�
ur den plastis hen Anteil der freien Energiedi hte
p
= J
2
(A
1
) (11)
und der folgenden konstitutiven Annahme
� = %
0
�
p
�A
1
=
� ( J
2
(A
1
))
�A
1
= GA
1
G (12)
(G stellt den kontravarianten Metriktensor der Ausgangskon�guration dar) kann die Dis-
sipationsunglei hung au h ges hrieben werden als
D
p
= �� ��
_
A
1
�
1
2
T �� C
p
_
B
p
C � 0 : (13)
� sei die zu A
1
arbeitskonjugierte Variable in der Ausgangskon�guration und soll den
R
�
u kspannungstensor darstellen.
Entspre hend dem Prinzip vom Maximum der plastis hen Dissipation wird verlangt, dass
die unbekannten Tensorvariablen so bestimmt werden m
�
ussen, dass D gem
�
a� (10) einen
maximalen Wert annimmt. Vorausgesetzt wird dabei die Erf
�
ullung der Flie�bedingung.
Damit ergibt si h ein Extremwertproblem mit Nebenbedingung in der folgenden Art:
D
p
(�;T ) ! max
� ;T
(14)
F (�;T ) � 0 : (15)
Die notwendigen Voraussetzungen f
�
ur die Existenz eines lokalen Maximums des Optimie-
rungsproblems (14), (15), die sogenannten Kuhn-Tu ker Bedingungen, k
�
onnen mit Hilfe
der Methode der Lagranges hen Multiplikatoren ermittelt werden. Dazu wird folgende
Lagrange-Funktion mit einer skalaren S hlupfvariable y zur Umwandlung der Nebenbedin-
gung (15) in die Glei hheitsbedingung F (�;T ) + y
2
= 0 de�niert:
L = �D
p
(�; T ) + �
h
F (�;T ) + y
2
i
! min (16)
Als Flie�bedingung wird ein f
�
ur gro�e Deformationen modi�zierter Ansatz na h Baltov-
Saw zuk [1℄ verwendet, mit dem es m
�
ogli h ist, sowohl isotrope und kinematis he als au h
Distorsionsverfestigung zu ber
�
u ksi htigen. Die Flie�bedingung wird in der Momentankon-
�guration formuliert und ans hlie�end in die Ausgangskon�guration zur
�
u kgezogen. Der
vierstu�ge Tensor K
4
dient der Bes hreibung von Anfangsanisotropien bzw. einer Distor-
sionsverfestigung.
4
F =
�
�
T � ��
�
�� K
4
��
�
�
T � ��
�
�
2
3
T
2
F
= 0 (17)
mit
�
T = T �
1
3
(T �� C )B und B = (C )
�1
: (18)
Entspre hend den Kuhn-Tu ker Bedingungen f
�
ur das Extremwertproblem (14), (15) werden
die Ableitungen von (16) na h den unbekannten Tensorvariablen T , � und dem Lagran-
ges hen Multiplikator � glei h Null gesetzt. Diese Vorgehensweise in Verbindung mit der
Ges hwindigkeitsformulierung des hyperelastis hen Deformationsgesetzes liefert ein ni ht-
lineares Algebro-Di�erentialglei hungssystem, dessen L
�
osung u.a. die (16) maximierenden
Spannungen und R
�
u kspannungen sind.
_
T = 2
�
2
e
�C �C
��
�
_
C + C
p
_
B
p
C
�
� �T
�F
�T
B � �B
�F
�T
T (19)
_
B
p
= �2�B
�F
�T
B
p
(20)
_
A
1
= ��
�F
��
) _� = G
��
�F
��
!
G (21)
_
E
p
v
= �
s
2
3
B
�F
�T
�� B
�F
�T
(22)
F =
�
�
T � ��
�
�� K
4
��
�
�
T � ��
�
�
2
3
T
2
F
= 0 (23)
Die Glei hung (22)
1
f
�
ur die plastis he Bogenl
�
ange wird dem System hinzugef
�
ugt, da z.B.
die isotrope Verfestigung, harakterisiert dur h die Entwi klung der Flie�spannung, von
E
p
v
abh
�
angt. Deshalb ist eine Entwi klungsglei hung f
�
ur E
p
v
notwendig.
Na h einigen Umstellungen kann das Algebro-Di�erentialglei hungssystem (19-23) wie folgt
_
T + �
D
4
��
� F
� T
�
1
2
D
4
��
_
C + �
T
�F
�T
B + B
�F
�T
T
!
= 0 (24)
_� + �
� F
��
= 0 (25)
_
E
p
v
� �
s
2
3
B
� F
� T
��B
� F
� T
= 0 (26)
F =
�
�
T � ��
�
�� K
4
��
�
�
T � ��
�
�
2
3
T
2
F
(E
p
v
) = 0 (27)
1
(22) entsteht aus
_
E
p
v
=
q
2
3
B
p
_
E
p
�� B
p
_
E
p
unter Ber
�
u ksi htigung von (20).
5
bzw. in der verallgemeinerten Form
_
T + �
D
4
��
� F
� T
�
1
2
D
4
��
_
C + �
T
�F
�T
B + B
�F
�T
T
!
= 0 (28)
_� + Q
1
(T ;�; �) = 0 (29)
_
E
p
v
+ Q
3
(T ;�; �) = 0 (30)
F (T ;�; E
p
v
) = 0 (31)
dargestellt werden.
4 Numeris he Simulation
Einleitend soll erw
�
ahnt werden, dass bei der numeris hen Umsetzung des Deformations-
gesetzes die Koordinaten zweistu�ger Tensoren als Vektoren und vierstu�ger Tensoren als
Matrizen verarbeitet werden.
Das Algebro-Di�erentialglei hungssystem (28)-(31) kann nur mit numeris hen Verfahren
gel
�
ost werden. Zuerst erfolgt die Diskretisierung der Glei hungen (28)-(31) na h der Zeit
unter Nutzung des folgenden numeris hen Integrationsalgorithmus f
�
ur eine gew
�
ohnli he
Di�erentialglei hung:
d y
d t
= _y = f(t; y) (32)
y
n+1
= y
n
+ (� f
n+1
+ (1� �) f
n
) � t (33)
mit
� t = t
n+1
� t
n
(34)
und
� 2 [0; 1℄; � =
8
>
<
>
:
0; 0 : Euler vorw
�
arts
1; 0 : Euler r
�
u kw
�
arts
0; 5 : Crank-Ni olson (Trapezregel)
(35)
Zun
�
a hst wird
_
C
n+1
na h Anwendung der Zeitdiskretisierung (33) dur h
_
C
n+1
=
1
��t
h
�C
n+1
� (1� �)
_
C
n
�t
i
(36)
ersetzt. W
�
ahrend � in den folgenden Iterationen beliebig ist, gilt f
�
ur den 1. S hritt stets
� = 1.
6
Mit (32)-(34) folgt dann aus den Beziehungen (28)-(31) das na hstehende System ni htli-
nearer algebrais her Glei hungen:
T
n+1
� T
n
+
"
��
n+1
D
4
n+1
��
� F
� T
�
�
�
�
�
n+1
+ (1� �)�
n
D
4
n
��
� F
� T
�
�
�
�
�
n
#
�t �
�
�
1
2
(1� �)
�
D
4
n
�D
4
n+1
�
��
_
C
n
�
�t �
1
2
D
4
n+1
���C
n+1
+
+��
n+1
T
n+1
�F
�T
�
�
�
�
�
n+1
B
n+1
+ B
n+1
�F
�T
�
�
�
�
�
n+1
T
n+1
!
�t +
+(1� �)�
n
T
n
�F
�T
�
�
�
�
�
n
B
n
+ B
n
�F
�T
�
�
�
�
�
n
T
n
!
�t = 0 (37)
�
n+1
� �
n
+
h
�Q
1
n+1
+ (1� �)Q
1
n
i
�t = 0 (38)
E
p
v
n+1
� E
p
v
n
+
h
�Q
3
n+1
+ (1� �)Q
3
n
i
�t = 0 (39)
F (T
n+1
;�
n+1
; E
p
v
n+1
) = 0 : (40)
F
�
ur die verk
�
urzte Darstellung der weiteren L
�
osungss hritte wird ein Variablen-Vektor z
eingef
�
uhrt.
z = (T ;�; E
p
v
; �)
T
(41)
Ebenso wird ein Operator G de�niert, der die linke Seite des Glei hungssystems
(37)-(40) repr
�
asentiert.
G
�
z
n
; z
n+1
;�C
n+1
;
_
C
n
�
(42)
Gesu ht wird letztendli h der Variablen-Vektor
z
n+1
=
�
T
n+1
;�
n+1
; E
p
v
n+1
; �
n+1
�
T
(43)
f
�
ur den Lasts hritt n+ 1 als L
�
osung von
G
n+1
= G (z
n+1
) = 0 : (44)
Die Bere hnung von z
n+1
erfolgt mit Hilfe des Newtonverfahrens
z
i+1
n+1
= z
i
n+1
�
�
r
z
i
n+1
G
�
�1
G
i
n+1
; (45)
wobei die Jakobi-Matrix (r
z
G) die Form
7
(r
z
G) =
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
�
M
TT
4
M
T�
4
0 M
T�
�
�Q
1
�T
�t
�
I
4
+ �
�Q
1
��
�t
�
0 �
�Q
1
��
�t
�
�Q
3
�T
�t �
�Q
3
��
�t 1 �
�Q
3
��
�t
�F
�T
�F
��
�F
�E
p
v
0
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
(46)
mit
M
TT
4
= I
4
+ ��D
4
��
�
2
F
�T �T
�t + ��
I
4
�F
�T
B + B
�F
�T
I
4
!
�t +
+ ��
n+1
T
�
2
F
�T �T
B + B
�
2
F
�T �T
T
!
�t (47)
M
T�
4
= ��D
4
��
�
2
F
�T ��
�t + ��
T
�
2
F
�T ��
B + B
�
2
F
�T ��
T
!
�t (48)
M
T�
= �D
4
��
�F
�T
�t + �
T
�F
�T
B + B
�F
�T
T
!
�t (49)
annimmt. Das Newtonverfahren (45) f
�
uhrt mit �z
i+1
n+1
= z
i+1
n+1
� z
i
n+1
auf das lineare
Glei hungssystem
�
r
z
i
n+1
G
�
�z
i+1
n+1
= �G
i
n+1
; (50)
das mittels eines direkten Verfahrens na h Gau� gel
�
ost wird.
8
5 Verfahren zur Materialparameteridenti�kation
Materialparameter sind in der Regel ni ht direkt messbar, sondern k
�
onnen nur
�
uber ih-
re Wirkungen identi�ziert werden. Sie verbinden Spannungen, Verzerrungen und interne
Variable miteinander, die ihrerseits ebenfalls ni ht direkt messbar sind, sondern si h in
Ver
�
anderungen der Vers hiebungen und globaler Gr
�
o�en wie Kr
�
afte und Momente darstel-
len.
Die Materialparameter sind somit unter de�nierten Belastungen \Ursa he" f
�
ur die un-
ters hiedli he Entwi klung von Vers hiebungsfeldern. Das direkte Problem kann mathe-
matis h als Abbildung von Elementen aus dem Werteberei h P der Materialparameter p
auf Elemente aus dem De�nitionsberei h U der Vers hiebungen U dur h den Operator A
de�niert werden:
Ap = U ; p 2 P � R
n
p
; U 2 U � R
m
(i. a. m � n
p
): (51)
Aufgabe der Materialparameteridenti�kation ist die Inversion der Glei hung (51), d. h., aus
der \Wirkung" bekannter Vers hiebungen
�
U soll die \Ursa he", der Parametersatz p, er-
mittelt werden. Diese Aufgabenstellung wird als inverses Problem erster Art bezei hnet [3℄.
F
�
ur ni htlineares Werksto�verhalten ist die Materialparameteridenti�kation in der Re-
gel ein s hle ht gestelltes Problem. Der Operator A harakterisiert neben den allgemein
g
�
ultigen Bilanzglei hungen das spezielle Deformationsgesetz f
�
ur materielle Punkte mit
vers hiedenen Belastungswegen (inhomogene Felder) und die Vers hiebungs-Verzerrungs-
Beziehungen. Er kann ni ht explizit angegeben und damit au h ni ht eindeutig invertiert
werden. Sein mathematis her Ausdru k und seine Eigens haften sind im Detail ni ht be-
kannt. Das inverse Problem der Materialparameteridenti�kation kann folgli h nur im Rah-
men eines Optimierungsmodells gel
�
ost werden. An der TU Chemnitz wurde f
�
ur kleine
elastis h-plastis he Verzerrungen ein entspre hendes Verfahren zur Analyse inhomogener
Vers hiebungsfelder entwi kelt und erfolgrei h eingesetzt [3, 5℄. Ziel der vorliegenden Ar-
beit sind die Herleitung und Darstellung der theoretis hen Grundlagen f
�
ur die Anwendung
dieser Methodik auf die Materialparameteridenti�kation bei �niten elastis h-plastis hen
Verzerrungen.
Eine Zielfunktion, z. B. im Sinne einer ungewi hteten Fehlerquadratsumme, ist so zu mini-
mieren, dass numeris h ermittelte Vers hiebungswerte U (p) den Messwerten
�
U m
�
ogli hst
weit angen
�
ahert werden:
�(p) =
X
�
U (p) �
�
U
�
2
�! min
p2P
: (52)
Die Optimierungsaufgabe (52) erweist si h ni ht notwendig als gut gestelltes Problem.
So ist die Zielfunktion ni ht a priori konvex und deren Hesse-Matrix in einigen F
�
allen
9
s hle ht konditioniert. Beides ers hwert eine eindeutige, stabile L
�
osung der Aufgabe. Die
Ursa he f
�
ur die S hle htgestelltheit ist in der ungenauen Bes hreibung der physikalis hen
Grundlagen und einem Mangel an Informationen f
�
ur die Probleml
�
osung enthalten. Dur h
die konkrete Formulierung des Deformationsgesetzes und die begrenzte Anzahl von Mess-
punkten stellt die Zielfunktion ein deterministis hes Modell dar, das die Realit
�
at in ei-
nem idealisierten Sinn anhand ausgew
�
ahlter Informationen bes hreibt. Das physikalis h-
mathematis he Materialmodell kann inakkurat sein (Verna hl
�
assigung wi htiger E�ek-
te, gegenseitige Abh
�
angigkeiten der Materialparameter). Die Messdaten sind mit Fehlern
(Raus hen, Streuen) behaftet und m
�
ogli herweise unvollst
�
andig (ni ht alle Anwendungs-
berei he des Materialmodells werden erfasst).
Da die Materialparameter elastis h-plastis her Deformationsgesetze ni ht direkt messbar
sind, besteht die Aufgabe, m
�
ogli hst einfa he und robuste Verfahren zur L
�
osung des in-
versen Problems zu entwi keln, deren Ergebnisse eine akzeptable N
�
aherung des realen
Werksto�verhaltens darstellen. Eine in der Ingenieurpraxis weit verbreitete Methode zur
Materialparameteridenti�kation ist die Anwendung der Deformationsgesetze auf homoge-
ne Spannungs- und Deformationszust
�
ande, die dur h spezielle Belastungswege generiert
werden k
�
onnen. Entspre hende Verfahren sind in der Praxis anerkannt und z.T. in In-
dustrienormen standardisiert (Zugversu h, Dru kversu h, Torsionsversu h u. a.). Die Pro-
bek
�
orper werden so gestaltet, dass die
�
au�ere Belastung in jedem materiellen Punkt eines
bestimmten Messberei hes glei he Spannungs- und Deformationswerte erzeugt. Globale Be-
lastungsgr
�
o�en (Vers hiebung, Kraft, Moment) k
�
onnen
�
uber die geometris hen Verh
�
altnisse
imMessberei h der Probe in Spannungen und Dehnungen umgere hnet werden. Somit steht
der direkte Zusammenhang zwis hen den Variablen in den Deformationsgesetzen f
�
ur die
Parameteroptimierung zur Verf
�
ugung. Das inverse Problem wird in der Regel dur h Mini-
mierung einer Fehlerquadratsumme gel
�
ost. Die dabei entstehenden linearen oder ni htlinea-
ren Glei hungssysteme sind mit einem relativ geringen numeris hen Aufwand l
�
osbar. Das
implizit im Optimierungsverfahren enthaltene direkte Problem besteht in der analytis hen
oder numeris hen Integration des Deformationsgesetzes f
�
ur den konkreten Belastungsweg.
Die Verwendung von Proben mit homogenen Deformationen zur Materialparame-
teridenti�kation hat einige Vorteile:
� Viele Deformationsgesetze liegen f
�
ur die speziellen Belastungswege in linearer oder
linearisierbarer Form in bezug auf den Parametervektor p vor. Das f
�
uhrt in der
Auswertung der Fehlerquadratsumme zur L
�
osung linearer Glei hungssysteme.
) in der Regel gut gestellte Probleme, geringer numeris her Aufwand
� Ni htlineare Deformationsgesetze k
�
onnen mit einfa hen und zuverl
�
assigen Verfah-
ren numeris h integriert werden. Der Gesamtaufwand zur Versu hsauswertung und
Parameterbestimmung ist verglei hsweise gering.
Die Auswertung homogener Spannungs- und Deformationszust
�
ande, bis vor wenigen Jahren
no h einzige M
�
ogli hkeit der Materialparameteridenti�kation, birgt in si h ents heidende
10
Na hteile, die diese Methodik an nat
�
urli he Grenzen sto�en lassen:
� Die Erzeugung homogener Spannungs- und Deformationszust
�
ande ist experimentell
oft sehr anspru hsvoll und vielfa h nur in N
�
aherung zu errei hen. Als Beispiel sei
der Dru kversu h mit einer zylinderf
�
ormigen Probe genannt, der nur bei v
�
olliger
Reibungsfreiheit zu einem homogenen Zustand f
�
uhrt.
� Die an Proben mit homogenen Deformationen gewonnenen Ergebnisse sind vielfa h
ungen
�
ugend zur Modellierung komplexer Spannungs- und Deformationszust
�
ande ge-
eignet. Homogene Zust
�
ande sind nur mit einer stark einges hr
�
ankten Anzahl speziel-
ler Belastungswege zu erzeugen und zu vermessen. Das Informationsangebot zur Iden-
ti�kation der Materialparameter ist gering. Spezielle Werksto�eigens haften wie An-
fangsanisotropie, kinematis he oder formative Verfestigungsvorg
�
ange bei
elastis h-plastis hemMaterialverhalten u. a. sind dur h homogene Deformationen nur
einges hr
�
ankt zu erfassen.
� Unters hiedli he Belastungswege werden h
�
au�g an unters hiedli h gestalteten
Probek
�
orpern aufgebra ht (z. B. Zug { S hulterstab, Dru k { Zylinder), die m
�
ogli-
herweise Materialinhomogenit
�
aten aufweisen und mit vers hiedenen Fertigungsver-
fahren hergestellt wurden. Fertigungsprozesse wirken si h jedo h na hweisli h auf die
Materialeigens haften aus. Unters hiedli he homogene Deformationszust
�
ande k
�
onnen
somit zu unters hiedli hen Materialparametern f
�
uhren. In kommerziellen
FEM-Programmen wird oftmals die Dur hf
�
uhrung vers hiedener Experimente mit
homogenen Zust
�
anden und deren glei hzeitige Ber
�
u ksi htigung in einer gewi hteten
Zielfunktion empfohlen. Das f
�
uhrt zu Materialparametern, die jedes dieser Expe-
rimente im Mittel glei h gut (bzw. glei h s hle ht) approximieren. Die Kritik der
einges hr
�
ankten
�
Ubertragbarkeit auf komplexe Zust
�
ande bleibt erhalten.
Diese Na hteile
�
uberwiegen die Vorteile bereits h
�
au�g im Berei h kleiner inelastis her,
aber au h �niter elastis her Verzerrungen und lassen eine Anwendung dieser Verfahren
zur Materialparameteridenti�kation bei �niten elastis h-plastis hen Verzerrungen als ni ht
sinnvoll ers heinen.
Mit der weiteren Entwi klung der Re hente hnik, insbesondere mit dem Einsatz von Par-
allelre hnern, ist die Auswertung inhomogener Vers hiebungsfelder praktikabel geworden.
Gemessene und bere hnete Vers hiebungswerte des gesamten inhomogenen Feldes werden
in der Zielfunktion (52) ber
�
u ksi htigt, die mit numeris hen Optimierungsverfahren im
Raum der Materialparameter minimiert wird. Dabei ist in jedem Optimierungss hritt das
direkte Problem der Bere hnung des Vers hiebungsfeldes mit dem aktuellen Materialpa-
rametersatz als ni htlineares Anfangs-Randwert-Problem zur Simulation des Experiments
zu l
�
osen. Die Finite-Element-Methode (FEM) bietet dazu sehr gute Voraussetzungen.
Gegen
�
uber herk
�
ommli hen Methoden weist die Analyse inhomogener Feldprobleme zur
Materialparameteridenti�kation einige Vorteile auf:
11
� Die Probenherstellung und Versu hsdur hf
�
uhrung sind verglei hsweise einfa h. H
�
ohe-
re Anforderungen sind an die Messdatenerfassung und -auswertung zu stellen. Das
Problem der Messwertaufbereitung liegt besonders in der Bereitstellung der Daten in
den materiellen Punkten, in denen die numeris hen Verglei hswerte ermittelt werden
(z. B. in den Knoten des FE-Netzes).
� Dur h geeignete Auswahl der Experimente (Probenform, Belastung) k
�
onnen ver-
s hiedene lokale Lastges hi hten in einzelnen materiellen Punkten der Probe ber
�
u k-
si htigt werden. Die Materialparameter bilden das Ergebnis einer Mittelung
�
uber
vers hiedene (in der Regel mehrdimensionale) Belastungswege. Das Informationsan-
gebot f
�
ur die L
�
osung des inversen Problems ist sehr gro� und in seiner Quantit
�
at
lei ht beein ussbar.
Die Verwendung von Proben mit inhomogenen Deformationen zur Ermittlung der Materi-
alparameter ist naturgem
�
a� au h mit spezi�s hen Na hteilen verbunden:
� So erfordern die L
�
osung eines vollst
�
andigen Anfangs-Randwert-Problems mit der
FEM und die halbanalytis he Sensitivit
�
atsanalyse zur Ermittlung der Vers hiebungs-
gradienten bez
�
ugli h der Materialparameter in jedem Optimierungss hritt gro�e Res-
sour en an Spei herplatz und Re henzeit. Dieses Problem verliert mit der permanen-
ten Weiterentwi klung der Re hente hnik zunehmend an Bedeutung.
� Dur h die zeitli he und r
�
aumli he Diskretisierung des FE-Problems und die S ha h-
telung mehrerer Iterationsverfahren (ni htlineare Optimierung, Inkrementalisierung
der Lastges hi hte, Glei hgewi htsiterationen im Lastinkrement, numeris he Integra-
tion des Deformationsgesetzes) ist das Verfahren anf
�
allig f
�
ur numeris he Fehler. Diese
k
�
onnen dur h den Einsatz zuverl
�
assiger und eÆzienter numeris her Verfahren in ihrer
Wirkung bes hr
�
ankt werden.
� Die S hle htgestelltheit des Operators, der die zu identi�zierenden Materialparameter
bei vorgegebenem Belastungsweg der Probe auf die Folge der Vers hiebungsfelder ab-
bildet, hat ihre Ursa he in fehlenden oder modellinad
�
aquaten (z. B. grobe Messfehler)
Informationen. Sind die Quantit
�
at und/oder Qualit
�
at der Informationen ni ht aus-
rei hend, kann die L
�
osung des inversen Problems mehrdeutig oder instabil sein, in
Einzelf
�
allen sogar ni ht existent. Da die Informationen immer als endli he, diskrete
Datenmenge vorliegen, ist besonders auf Qualit
�
at der Daten zu a hten (zutre�endes
Materialmodell, vollst
�
andige Messdaten mit geringen Messfehlern).
� S hlie�li h ist die Existenz von L
�
osungen f
�
ur das ni htlineare Optimierungsproblem
als formal mathematis he Aufgabenstellung an bestimmte Voraussetzungen, z. B. f
�
ur
die mathematis he Struktur des Abbildungsoperators, gebunden. Da der Abbildungs-
operator f
�
ur das inverse Problem der Materialparameteridenti�kation ni ht explizit
vorliegt, ist es ni ht m
�
ogli h, die
�
Aquivalenz der Eigens haften des physikalis hen
Modells mit den geforderten mathematis hen Eigens haften des Operators na hzu-
weisen.
12
Trotz der genannten Na hteile werden die Fors hungen zur Materialparameteridenti�kation
auf der Grundlage der Analyse inhomogener Feldprobleme weltweit intensiviert. Insbeson-
dere der Vorteil eines mit relativ geringem Aufwand erfassbaren gro�en Informationsange-
botes f
�
ur das inverse Problem l
�
asst diese Methodik gegenw
�
artig ohne Alternative ers hei-
nen, um den hohen Praxisanforderungen na h verbesserten Strukturanalysen gere ht zu
werden, die haupts
�
a hli h dur h realit
�
atsn
�
ahere Materialmodelle errei ht werden k
�
onnen.
Zudem werden dur h die Weiterentwi klung der Deformationsgesetze und modi�zierte ex-
perimentelle Methoden die Quantit
�
at und Qualit
�
at der Ausgangsinformationen verbessert,
was die Stabilit
�
at des Optimierungsverfahrens erh
�
oht. Demgegen
�
uber sind die Na hteile
der weit verbreiteten Auswertung homogener Zust
�
ande eher prinzipieller Natur und mit
vertretbarem Aufwand kaum zu mildern.
6 Optimierungsmodell
Zur L
�
osung ni htlinearer Optimierungsaufgaben, wie z. B. der Minimierung der Zielfunk-
tion zur Materialparameteridenti�kation (52), sind zwei prinzipiell vers hiedene Verfah-
rensklassen bekannt { gradientenfreie Methoden und Gradientenverfahren.
Bei den gradientenfreien Methoden wird zur Ermittlung des Optimums ledigli h der Wert
der Zielfunktion benutzt, an die mathematis he Struktur des Abbildungsoperators A in
(51) werden somit keine besonderen Anforderungen (Di�erenzierbarkeit u. a.) gestellt. Ne-
ben den rein sto hastis hen Verfahren, wie der Monte-Carlo-Methode, bei der neue Pa-
rameters
�
atze zuf
�
allig ausgew
�
ahlt werden, z
�
ahlen zu den gradientenfreien Optimierungs-
verfahren au h Evolutionsstrategien. Diese Methoden nutzen dem Verhalten biologis her
Systeme
�
ahnelnde Te hniken wie Kombination, Selektion und zuf
�
allige Mutation, um aus
existierenden Parameters
�
atzen neue zu generieren, die zu kleineren Werten der Zielfunkti-
on f
�
uhren.
Gradientenfreie Verfahren haben den Vorteil, dass sie den Weg zu einem lokalen Minimum
wieder verlassen k
�
onnen, wenn bessere Minima existieren. Ihr ents heidender Na hteil liegt
darin, dass eine Vielzahl von Parameters
�
atzen erzeugt werden muss, ehe der geeignetste
ermittelt werden kann. Gr
�
o�enordnungen von 10
5
: : : 10
6
Versu hen sind keine Seltenheit.
Zudem existieren keine aus der mathematis hen Struktur der Verfahren ableitbaren Ab-
bru hkriterien. So wird zumeist die Anzahl der Optimierungsversu he einges hr
�
ankt und
der Parametersatz als optimal angesehen, der bis zu diesem Zeitpunkt den kleinsten Wert
der Zielfunktion erzeugt hat.
F
�
ur die Materialparameteridenti�kation aus inhomogenen Vers hiebungsfeldern sind gra-
dientenfreie Verfahren wegen ihres gro�en zeitli hen Aufwandes ni ht geeignet, da in jedem
Optimierungsversu h ein vollst
�
andiges Anfangs-Randwert-Problem gel
�
ost werden muss. Es
ist au h ni ht akzeptabel, daf
�
ur gr
�
obere FE-Modelle mit weniger Freiheitsgraden zu nut-
13
zen, da in diesem Falle die bere hneten Vers hiebungen mit unzul
�
assig gro�en numeris hen
Fehlern behaftet sind.
Die Gradientenverfahren ben
�
otigen Ableitungen der Zielfunktion, so dass der Operator
A entspre hend mehrfa h stetig di�erenzierbar sein muss. Trotz dieser Anforderungen und
des zus
�
atzli hen numeris hen Aufwandes zur Ermittlung der Ableitungen der Zielfunkti-
on sind diese Verfahren zur Materialparameteridenti�kation bei Auswertung inhomogen
verformter Proben zu favorisieren. Die Anzahl der Optimierungss hritte ist wesentli h ge-
ringer als bei gradientenfreien Verfahren, zudem kann die Konvergenz oder Divergenz des
Optimierungsprozesses in der Regel deutli h verfolgt werden.
Gradientenverfahren f
�
uhren die Zielfunktion immer in das n
�
a hste lokale Minimum, vor-
ausgesetzt, das Verfahren konvergiert und strebt keinem Sattelpunkt zu. Die Zielfunktion
(52) ist eine vieldimensionale Fl
�
a he, bei der ni ht ausges hlossen werden kann, dass sie
�
uber mehrere Minima verf
�
ugt. Grunds
�
atzli h ist es das Ziel einer jeden Optimierung, das
globale Minimum zu ermitteln. Mit Gradientenverfahren ist das ni ht eindeutig m
�
ogli h,
da sie immer einer einmal gefundenen Abstiegsri htung folgen, die in das n
�
a hstgelege-
ne Minimum f
�
uhrt. Zur Ermittlung des globalen Minimums sind vers hiedene Methoden
denkbar:
� Verwendung sto hastis her Verfahren mit einer sehr gro�en Anzahl von Versu hen,
� Nutzung von Gradientenverfahren mit unters hiedli hen Startvektoren zur Ermitt-
lung vers hiedener Minima,
� Verwendung hybrider Verfahren als Kombination sto hastis her und Gradientenver-
fahren.
Mit den genannten Verfahren ist es m
�
ogli h, eine diskrete Menge vers hiedener Minima zu
ermitteln, deren tiefstes als das globale angesehen wird.
Als Verglei hsgr
�
o�en f
�
ur die Materialparameteridenti�kation werden in vers hiedenen Last-
s hritten die Vers hiebungen U
1
, U
2
und U
3
an ausgew
�
ahlten Punkten der Ober
�
a he einer
geeigneten Probe gemessen. Sie bilden die Grundlage f
�
ur die Formulierung folgender Ziel-
funktion:
�(p) =
1
2
n
L
X
i=1
n
T
X
j=1
3
X
K=1
�
fU
K
(p)g
ij
�
n
�
U
K
o
ij
�
2
(53)
mit
U
1
; U
2
U
3
� bere hnete Vers hiebungsfelder
�
U
1
;
�
U
2
�
U
3
� gemessene Vers hiebungsfelder
14
und
p =
�
p
1
; : : : ; p
n
p
�
T
� Materialparameter
n
L
� Anzahl der Lasts hritte
n
T
� Anzahl der Messpunkte :
Parameter p, wel he die Funktion (53) minimieren, gelten als L
�
osung des Optimierungs-
problems. Es ist darauf zu a hten, dass bei Messung und FE-Bere hnung materielle Punkte
in den glei hen Orten, glei he Randbedingungen und glei he Lasts hritte betra htet wer-
den. Die Bere hnung kann aus Gr
�
unden der Konvergenz der FE-L
�
osung au h in kleineren
Lasts hritten erfolgen, ein Verglei h von Vers hiebungen ist jedo h nur auf glei hen Last-
niveaus gestattet.
F
�
ur die Gradientenverfahren ergibt si h folgendes Iterationss hema zur Ermittlung der
Materialparameter p
l+1
aus der vorhergehenden L
�
osung p
l
:
p
l+1
= p
l
+ ! s
l
(54)
mit der Su hri htung s
l
s
l
= �Q
l
�1
r�
l
(55)
und der S hrittweite !. Der Gradient der Zielfunktion (53) hat folgendes Aussehen:
r�
l
=
n
L
X
i=1
n
T
X
j=1
3
X
K=1
�
fU
K
(p
l
)g
ij
�
�
�
U
K
ij
�
d fU
K
g
ij
dp
l
: (56)
Er ist laut (56) dur h die Struktur der Zielfunktion vorgegeben, die Su hri htung wird
somit ma�gebli h dur h die Wahl der Matrix Q
l
beein usst. Ihre konkrete De�nition f
�
uhrt
zu unters hiedli hen Gradientenverfahren. Im Falle kleiner Verzerrungen hat si h beson-
ders das Verfahren na h Levenberg-Marquardt bew
�
ahrt ([2, 3, 5℄). F
�
ur ! = 1 wird die
Su hri htung s
l
so ermittelt, dass das Minimum (52) in einem gewissen Vertrauensberei h
(trust-region)
ks
l
k � Æ (57)
mit einem vorgegebenen Radius Æ gesu ht wird ([8, 13℄). Die Matrix Q
l
ergibt si h aus
Q
l
= H
GN
+ �I : (58)
Hierbei stellt H
GN
eine modi�zierte Hesse-Matrix (Matrix der zweiten Ableitungen der
Zielfunktion na h den Materialparametern) dar, die nur Produkte der ersten partiellen
15
Ableitungen enth
�
alt, und deren Komponenten (H
GN
)
mn
si h f
�
ur das Modell (53) wie folgt
ergeben:
(H
GN
)
mn
=
n
L
X
i=1
n
T
X
j=1
3
X
K=1
� fU
K
(p)g
ij
�p
m
� fU
K
(p)g
ij
�p
n
: (59)
Der Wert � wirkt als D
�
ampfungsparameter und wird so ermittelt, dass die L
�
osung den
vorgegebenen Vertrauensberei h ni ht verletzt
G(�) = s
l
T
s
l
� Æ
2
) �
k+1
= �
k
�
�
G(�
k
) + Æ
2
�
G(�
k
)
G
;�
j
k
Æ
2
(60)
mit
G
;�
= �2s
l
T
Q
l
�1
s
l
und �
o
= 0 : (61)
Fern der L
�
osung ergeben si h gro�e Werte f
�
ur �, so dass der Levenberg-Marquardt-Algo-
rithmus dem Gradientenverfahren (Methode des steilsten Abstiegs)
�
ahnelt und eine s hnelle
globale Konvergenz in den ersten Su hs hritten gew
�
ahrleistet. Im Laufe der Bere hnung
wird � verkleinert, so dass der Iterationsprozess in der N
�
ahe der L
�
osung in das Gau�-
Newton-Verfahren mit seiner quadratis hen Konvergenz
�
ubergeht.
Im folgenden Kapitel soll ein Verfahren zur semianalytis hen Sensitivit
�
atsanalyse vorge-
stellt werden, mit dessen Hilfe die f
�
ur den Gradienten der Zielfunktion ben
�
otigten Ab-
leitungen der Vers hiebungskomponenten na h den Materialparametern bere hnet werden
k
�
onnen. Ohne Bes hr
�
ankung der Allgemeinheit wird dabei von der Existenz nur eines Ma-
terialparameters p ausgegangen. Das vorgestellte Verfahren ist dann na h der L
�
osung des
direkten Problems komplett auf jeden zu identi�zierenden Materialparameter anzuwenden.
7 Semianalytis he Sensitivit
�
atsanalyse
Zur Ermittlung der Ableitungen der Vers hiebungskomponenten na h den Materialpara-
metern stehen vers hiedene Methoden zur Verf
�
ugung:
� Die analytis he Ermittlung dieser Ableitungen ist im vorliegenden Fall ni ht m
�
ogli h,
da kein explizit-analytis her funktioneller Zusammenhang zwis hen den Vers hiebun-
gen und den Materialparametern existiert (U = U [T (p);�(p); E
p
v
(p); �(p)℄).
� Numeris he Verfahren, bei denen die Ableitungen der Vers hiebungen na h den Ma-
terialparametern dur h Di�erenzenquotienten ersetzt werden, erfordern einen gro�en
Re henzeitaufwand und erzielen h
�
au�g keine zufriedenstellende Genauigkeit.
� Das Verfahren der semianalytis hen Sensitivit
�
atsanalyse, das auf der impliziten Dif-
ferentiation des Glei hgewi hts und des ausiterierten Deformationsgesetzes basiert,
wird im Folgenden ausf
�
uhrli her vorgestellt. Es hat den Vorteil, analoge numeris he
16
Strukturen zu nutzen, die bereits bei der L
�
osung des direkten Problems generiert
wurden. Au�erdem besitzen die ben
�
otigten Ableitungen die glei he Genauigkeit wie
die L
�
osung des direkten Problems (Knotenvers hiebungen).
Die Herleitung der Beziehungen f
�
ur die semianalytis he Sensitivit
�
atsanalyse bei �niten
inelastis hen Verzerrungen basiert auf einem Vors hlag von Mahnken ([9, 10, 11℄). Wird
die Erf
�
ullung des Glei hgewi hts zu einem Zeitpunkt t vorausgesetzt, gilt die Darstellung
des Prinzips der virtuellen Arbeit in Koordinatens hreibweise:
Z
V
o
T
IJ
�
U
K
j
J
+ Æ
K
J
�
(ÆU
K
) j
I
dV
o
=
Z
A
o
R
K
ÆU
K
dA
o
+
Z
V
o
%
o
K
K
ÆU
K
dV
o
; (62)
wobeiK die im materiellen Punkt angreifenden Volumenkr
�
afte und R die Randkr
�
afte auf
der Teilober
�
a he ÆV
o1
des K
�
orpers repr
�
asentieren. Die Herleitung und numeris he Realisie-
rung dieser Glei hgewi htsbedingungen im Rahmen der FEM sind in [6℄ im Detail erl
�
autert.
Die Ges hwindigkeitsformulierung des Prinzips der virtuellen Arbeit ist dur h die Bezie-
hung
Z
V
o
h
_
T
IJ
�
U
K
j
J
+ Æ
K
J
�
+ T
IJ
_
U
K
j
J
i �
Æ
_
U
K
�
j
I
dV
o
=
Z
A
o
_
R
K
Æ
_
U
K
dA
o
+
+
Z
V
o
%
o
_
K
K
Æ
_
U
K
dV
o
(63)
gegeben. Analog dazu soll eine implizite Di�erentiation der Glei hgewi htsbedingung na h
einem Materialparameter dur hgef
�
uhrt werden. Da die Ober
�
a hen- und Volumenkr
�
afte
weder explizit no h implizit von den Materialparametern abh
�
angen, f
�
ur den 2. Piola-
Kir hho�s hen Spannungstensor T (E (p);�(p); E
p
v
(p); �(p);p) jedo h keine Eins hr
�
an-
kungen gelten, folgt mit
dT
IJ
dp
=
�T
IJ
�E
MN
dE
MN
dp
+
d
p
T
IJ
dp
(64)
aus (62) die zur materiellen Zeitableitung analoge Parameterableitung des Prinzips der
virtuellen Arbeit:
Z
V
o
"
dT
IJ
dp
�
U
K
j
J
+ Æ
K
J
�
+ T
IJ
dU
K
dp
�
�
�
�
�
J
#
Æ
dU
K
dp
!
�
�
�
�
�
I
dV
o
= 0 : (65)
Dabei wird die Tatsa he, dass bei �xierter Zeit unters hiedli he Materialparameter zu un-
ters hiedli hen Verzerrungs- und Spannungszust
�
anden f
�
uhren, genutzt, Ableitungen, Inkre-
mente bzw. Variationen na h den Materialparametern zu de�nieren, die eine mathematis h
vollkommen analoge Struktur und Bedeutung besitzen wie materielle Zeitableitungen. Mit
d
p
T
IJ
dp
(66)
17
wird der Anteil der vollst
�
andigen Ableitung des Spannungstensors na h den Materialpara-
metern bezei hnet, der m
�
ogli he explizite Abh
�
angigkeiten der Spannungen von diesen Pa-
rametern und deren impliziten Abh
�
angigkeiten ausser jenen
�
uber die Verzerrungen ber
�
u k-
si htigt. Diese Konstruktion soll hier ni ht detaillierter untersu ht werden, da sp
�
ater gezeigt
wird, dass sie in ihrer allgemeinen Struktur aus der impliziten Di�erentiation des ausite-
rierten Deformationsgesetzes na h den Materialparametern ermittelt werden kann.
Analog zur Variation der materiellen Zeitableitung des Verzerrungstensors
2 Æ
_
E
IJ
=
�
Æ
_
U
I
�
j
J
+
�
Æ
_
U
J
�
j
I
+
�
Æ
_
U
M
�
j
I
U
M
j
J
+ U
M
j
I
�
Æ
_
U
M
�
j
J
: (67)
sei au h seine Variation der Ableitung na h einem Materialparameter de�niert:
2 Æ
dE
IJ
dp
!
=
Æ
dU
I
dp
!!
�
�
�
�
�
J
+
Æ
dU
J
dp
!!
�
�
�
�
�
I
+
+
Æ
dU
M
dp
!!
�
�
�
�
�
I
U
M
j
J
+ U
M
j
I
Æ
dU
M
dp
!!
�
�
�
�
�
J
: (68)
Mit (68) sowie unter Ber
�
u ksi htigung von (64) wird aus (65) na h einigen Umformungen
folgende Parameterableitung des Prinzips der virtuellen Arbeit in Koordinatens hreibweise
Z
V
o
"
�T
IJ
�E
MN
dE
MN
dp
Æ
dE
IJ
dp
!
+ T
IJ
dU
K
dp
�
�
�
�
�
J
Æ
dU
K
dp
!!
�
�
�
�
�
I
#
dV
o
=
= �
Z
V
o
d
p
T
IJ
dp
Æ
dE
IJ
dp
!
dV
o
(69)
bzw. in symbolis her Darstellung
Z
V
o
��
dT
dE
��
dE
dp
�
�� Æ
�
dE
dp
�
+ T ��
"
�
GRAD
�
dU
dp
��
T
�GRAD
�
Æ
�
dU
dp
��
#)
dV
o
=
= �
Z
V
o
d
p
T
dp
�� Æ
�
dE
dp
�
dV
o
(70)
de�niert, die eine
�
ahnli he Struktur wie die Ges hwindigkeitsformulierung des Prinzips der
virtuellen Arbeit (63) aufweist. Glei hung (70) stellt die Ableitung der globalen Glei h-
gewi htsbeziehung na h einem Materialparameter dar und kann dur h ein Ortsdiskretisie-
rungsverfahren (z. B. FEM) in ein System ni htlinearer algebrais her Glei hungen
�
uber-
gef
�
uhrt werden.
18
Na h dem
�
Ubergang von der Tensordarstellung in die Matrixdarstellung des FEM-Stei�g-
keitssystems nimmt die Beziehung (70) folgende Form f
�
ur jedes Element des FE-Netzes
an:
Z
V
e
o
2
4
Æ
dE
dp
!!
T
dT
dE
!
dE
dp
!
+
0
�
Æ
dU
dp
!
; X
1
A
T
T
?
dU
dp
!
; X
3
7
5
dV
e
o
=
= �
Z
V
e
o
Æ
dE
dp
!!
T
d
p
T
dp
!
dV
e
o
: (71)
Dabei repr
�
asentieren dT =dE die konsistente Materialmatrix, (:)
; X
Ableitungen na h den
globalen Ortskoordinaten und T
?
die Koordinaten des 2. Piola-Kir hho�s hen Spannungs-
tensors in spezieller Matrixform. Zum Verst
�
andnis weiterer Einzelheiten der hier verwen-
deten und aller folgenden FEM-Beziehungen wird wiederum auf [6℄ verwiesen.
F
�
ur die ortsdiskretisierte Darstellung von (71) werden unter Ber
�
u ksi htigung der Un-
abh
�
angigkeit der Formfunktionen von den Materialparametern folgende Beziehungen zwi-
s hen den Ableitungen der Vers hiebungen na h den Materialparametern in jedem Punkt
des Elementes und den FE-Knoten hergeleitet, die wiederum Analogien zu entspre henden
Zeitableitungen bzw. inkrementellen Formulierungen aufweisen:
dU
dp
= G
d
^
U
dp
(72)
dE
dp
= B
v
d
^
U
dp
(73)
dU
dp
!
; X
=
�
G
d
^
U
dp
(74)
Æ
dU
dp
!
; X
=
�
GÆ
d
^
U
dp
!
(75)
Æ
dE
dp
!
= B
v
Æ
d
^
U
dp
!
: (76)
Hier werden in Anlehnung an die Darstellung in [6℄ mit G die Matrix der Formfunktionen,
�
G deren Ortsableitungen na h den globalen Koordinaten, B
v
die Matrix der Verzerrungs-
Vers hiebungs-Beziehungen und
^
U die Knotenvers hiebungen bezei hnet.
19
Unter Ber
�
u ksi htigung von (72)-(76) ergibt si h aus (71)
Z
V
e
o
2
4
Æ
d
^
U
dp
!!
T
B
T
v
dT
dE
!
B
v
d
^
U
dp
!
+
Æ
d
^
U
dp
!!
T
�
G T
?
�
G
d
^
U
dp
!
3
5
dV
e
o
=
= �
Z
V
e
o
Æ
d
^
U
dp
!!
T
B
T
v
d
p
T
dp
!
dV
e
o
(77)
bzw. na h einigen Umformungen bei Bea htung der Unabh
�
angigkeit knotenbezogener Gr
�
os-
sen von den Elementkoordinaten
Æ
d
^
U
dp
!!
T
8
>
<
>
:
2
6
4
Z
V
e
o
B
T
v
dT
dE
!
B
v
+
�
G T
?
�
G
!
dV
e
o
3
7
5
d
^
U
dp
!
9
>
=
>
;
=
= �
Æ
d
^
U
dp
!!
T
8
>
<
>
:
Z
V
e
o
B
T
v
d
p
T
dp
!
dV
e
o
9
>
=
>
;
: (78)
Die Beziehung (78) gilt f
�
ur beliebige Werte der virtuellen Ableitungen der Knotenvers hie-
bungen na h den Materialparametern. Damit folgen aus (78) Elementstei�gkeitsbeziehungen
der Form
K
e
d
~
U
dp
= �
Z
V
e
o
B
T
v
d
p
T
dp
!
dV
e
o
= P
e
p
(79)
mit der aus der L
�
osung des direkten Problems bekannten Elementstei�gkeitsmatrix
K
e
=
Z
V
e
o
"
B
T
v
dT
dE
!
B
v
+
�
G T
?
�
G
#
dV
e
o
(80)
und der re hten Seite
P
e
p
= �
Z
V
e
o
B
T
v
d
p
T
dp
!
dV
e
o
: (81)
Na h Akkumulation aller Elementmatrizen und -vektoren folgt das FEM-Glei hungssystem
K
dU
dp
= P
p
; (82)
wel hes als L
�
osung die f
�
ur den Gradienten der Zielfunktion ben
�
otigten Ableitungen der
Knotenvers hiebungen na h den Materialparametern ergibt und mit den entspre henden
Beziehungen bei kleinen Verzerrungen identis h ist ([3, 5℄). Dabei kann na h der L
�
osung des
direkten Problems in jedem Lasts hritt dessen Gesamtstei�gkeitsmatrix erneut verwendet
20
werden. Die Randbedingungen f
�
ur das System (82) werden in den Knoten mit vorgegebenen
Vers hiebungen dur h die Beziehungen
dU
dp
= 0 (83)
harakterisiert.
F
�
ur den Aufbau der re hten Seite des Systems (82) sind die Ableitungen (66) der Spannun-
gen na h den Materialparametern zu bilden. Dazu wird das ausiterierte, zeitdiskretisierte
Deformationsgesetz (37)-(40) implizit na h den Materialparametern abgeleitet. Aus der
symbolis hen Darstellung des Deformationsgesetzes
G (z
n
(p); z
n+1
(p);p) = 0 (84)
folgt
d
p
G
n+1
dp
=
�G
n+1
�z
n
d
p
z
n
dp
+
�G
n+1
�z
n+1
d
p
z
n+1
dp
+
�G
n+1
�p
= 0 : (85)
Au h diese Glei hung weist eine direkte Analogie zu den Beziehungen bei kleinen Ver-
zerrungen auf ([3, 5℄), wodur h die Verwendung der dort entwi kelten Methoden au h
f
�
ur �nite inelastis he Verzerrungen m
�
ogli h wird. Mit der Kennzei hnung d
p
(:)=dp f
�
ur die
vollst
�
andige Ableitung des Deformationsgesetzes na h den Materialparametern wird die
Annahme aus der impliziten Di�erentiation des Glei hgewi htszustandes unterstri hen,
dass in diesem Anteil implizite Abh
�
angigkeiten von den Materialparametern
�
uber den Ver-
zerrungszustand ni ht ber
�
u ksi htigt werden. Dies ist au h insofern ni ht notwendig, da
das Verzerrungsinkrement �C
n+1
als L
�
osung des Randwertproblems quasi die Belastung
f
�
ur das Anfangswertproblem und somit keine unabh
�
angige Variable darstellt.
Na h einer geeigneten Umformung von (85)
�G
n+1
�z
n+1
d
p
z
n+1
dp
=
�
r
z
n+1
G
�
d
p
z
n+1
dp
= �
�G
n+1
�z
n
d
p
z
n
dp
�
�G
n+1
�p
(86)
ergeben si h die geforderten Ableitungen der Spannungen na h den Materialparametern
als Teil der L
�
osung eines Systems linearer algebrais her Glei hungen mit der aus dem Pro-
zess der Integration des Deformationsgesetzes bekannten Jakobi-Matrix (46). Dabei ist die
Jakobi-Matrix des letzten, zur Konvergenz von (45) f
�
uhrenden Iterationss hrittes zu ver-
wenden.
In seiner ausf
�
uhrli hen Darstellung erh
�
alt die Beziehung (86) unter Ber
�
u ksi htigung des
21
zeitdiskretisierten Deformationsgesetzes folgende Form:
�
r
z
n+1
G
�
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
�
d
p
T
dp
�
�
�
�
n+1
d
p
�
dp
�
�
�
�
n+1
d
p
E
p
v
dp
�
�
�
�
n+1
d
p
�
dp
�
�
�
�
n+1
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
=
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
�
R
T
�
�G
T
n+1
�p
R
�
�
�G
�
n+1
�p
R
E
p
v
�
�G
E
p
v
n+1
�p
�
�G
�
n+1
�p
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
(87)
mit
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
�
�G
T
n+1
�p
�G
�
n+1
�p
�G
E
p
v
n+1
�p
�G
�
n+1
�p
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
=
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
�
"
��
n+1
D
4
n+1
��
�
2
F
� T �p
�
�
�
�
n+1
+ (1� �)�
n
D
4
n
��
�
2
F
� T �p
�
�
�
�
n
#
�t+
+��
n+1
T
n+1
�
2
F
�T �p
�
�
�
�
n+1
B
n+1
+ B
n+1
�
2
F
�T �p
�
�
�
�
n+1
T
n+1
!
�t+
+(1� �)�
n
�
T
n
�
2
F
�T �p
�
�
�
�
n
B
n
+ B
n
�
2
F
�T �p
�
�
�
�
n
T
n
�
�t
"
�
�Q
1
�p
�
�
�
�
n+1
+ (1� �)
�Q
1
�p
�
�
�
�
n
#
�t
"
�
�Q
3
�p
�
�
�
�
n+1
+ (1� �)
�Q
3
�p
�
�
�
�
n
#
�t
�F
�p
�
�
�
�
n+1
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
(88)
sowie
R
T
=
(
I
4
� (1� �)�
n
�t
"
D
4
n
��
�
2
F
�T �T
�
�
�
�
�
n
+
�
I
4
�F
�T
�
�
�
�
n
B
n
+ B
n
�F
�T
�
�
�
�
n
I
4
�
+
+
T
n
�
2
F
�T �T
�
�
�
�
�
n
B
n
+ B
n
�
2
F
�T �T
�
�
�
�
�
n
T
n
!#)
��
d
p
T
dp
�
�
�
�
n
�
� (1� �)�
n
�t
(
D
4
n
��
�
2
F
�T ��
�
�
�
�
�
n
+
T
n
�
2
F
�T ��
�
�
�
�
�
n
B
n
+ B
n
�
2
F
�T ��
�
�
�
�
�
n
T
n
!)
��
d
p
�
dp
�
�
�
�
n
�
� (1� �)�t
�
D
4
n
��
� F
� T
�
�
�
�
n
+
�
T
n
�F
�T
�
�
�
�
n
B
n
+ B
n
�F
�T
�
�
�
�
n
T
n
��
d
p
�
dp
�
�
�
�
n
(89)
22
R
�
= � (1� �)�t
�Q
1
�T
�
�
�
�
n
��
d
p
T
dp
�
�
�
�
n
+
�
I
4
� (1� �)�t
�Q
1
��
�
�
�
�
n
�
��
d
p
�
dp
�
�
�
�
n
�
� (1� �)�t
�Q
1
��
�
�
�
�
n
d
p
�
dp
�
�
�
�
n
(90)
R
E
p
v
= � (1� �)�t
�Q
3
�T
�
�
�
�
n
��
d
p
T
dp
�
�
�
�
n
� (1� �)�t
�Q
3
��
�
�
�
�
n
��
d
p
�
dp
�
�
�
�
n
+
+
d
p
E
p
v
dp
�
�
�
�
n
� (1� �)�t
�Q
3
��
�
�
�
�
n
d
p
�
dp
�
�
�
�
n
: (91)
Sind mehrere Materialparameter zu identi�zieren, dann ist in den vorgestellten Beziehun-
gen
�
uberall p dur h p
i
mit i = 1; : : : ; nparam zu ersetzen.
F
�
ur ein konkretes Deformationsgesetz ohne Ber
�
u ksi htigung der Substruktur mit einer
modi�zierten quadratis hen Flie�bedingung na h Baltov-Saw zuk seien die wi htigsten
Beziehungen zur Ermittlung der erforderli hen partiellen Ableitungen na h den Materi-
alparametern no hmals zusammengefasst:
F =
�
�
T � ��
�
�� K
4
��
�
�
T � ��
�
�
2
3
T
2
F
= 0 (92)
Q
1
= � �
�F
��
= �2 � K
4
��
�
�
T � ��
�
(93)
Q
3
= ��
s
2
3
B
�F
�T
�� B
℄
�F
�T
(94)
T
F
= T
F
o
+ a [(E
p
v
+ �)
n
� �
n
℄ (95)
p = (p
1
; p
2
; p
3
; p
4
)
T
= (T
F
o
; a; n; )
T
: (96)
Diese Ableitungen ergeben si h damit zu:
�Q
1
� p
=
0
B
B
B
B
B
B
B
�
0
0
0
�2� K
4
��
�
�
T � ��
�
1
C
C
C
C
C
C
C
A
(97)
� Q
3
� p
= 0 ;
�
2
F
� T � p
= 0
3
(98)
23
� F
� p
=
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
�
�
4
3
T
F
�T
F
�T
F
o
�
4
3
T
F
�T
F
�a
�
4
3
T
F
�T
F
�n
�
4
3
T
F
�T
F
�
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
=
0
B
B
B
B
B
B
B
�
�
4
3
T
F
�
4
3
T
F
[(E
p
v
+ �)
n
� �
n
℄
�
4
3
T
F
a [(E
p
v
+ �)
n
ln (E
p
v
+ �)� �
n
ln�℄
0
1
C
C
C
C
C
C
C
A
: (99)
8 Zusammenfassung und Ausbli k
Entspre hend der Aufgabenstellung im Teilprojekt D1 des SFB393 der TU Chemnitz wur-
de die Entwi klung der theoretis hen Grundlagen der Parameteridenti�kation f
�
ur elastis h-
plastis he Deformationsgesetze bei gro�en Verzerrungen auf der Basis der Analyse inhomo-
gener Vers hiebungsfelder dargestellt. Die Identi�kation der Materialparameter wurde mit
Hilfe eines deterministis hen ni htlinearen Optimierungsverfahrens (Levenberg-Marquardt-
Methode) f
�
ur eine Zielfunktion vom least-squares-Typ realisiert. Kernst
�
u k ist dabei die
Bere hnung der numeris hen Verglei hswerte (Knotenvers hiebungskoordinaten) mit Hilfe
der FEM in jedem Optimierungss hritt.
Dazu wurde f
�
ur das experimentelle parallele FEM-Programm PMHP eine Materials hnitt-
stelle entwi kelt, wel he die Ber
�
u ksi htigung von Deformationsgesetzen f
�
ur gro�e elastis h-
plastis he Verzerrungen in einer verallgemeinerten Formulierung erm
�
ogli ht. Bei der Her-
leitung spezieller Materialmodelle wurde eine thermodynamis h konsistente Formulierung
angestrebt. Im plastis hen Teildeformationsgesetz k
�
onnen neben isotroper und kinemati-
s her Verfestigung au h Anfangsanisotropien ber
�
u ksi htigt werden. Der elastis he Anteil
bes hreibt ni htlinear-hyperelastis hes Materialverhalten.
Das Deformationsgesetz wurde als Algebro-Di�erentialglei hungssystem formuliert, dessen
zeitdiskretisierte Form erfolgrei h numeris h umgesetzt wurde. Diese Herangehensweise
erm
�
ogli ht zuglei h die e�ektive Ermittlung der konsistenten Materialmatrix.
Essentiell f
�
ur eine erfolgrei he Nutzung deterministis her Optimierungsverfahren ist die
zuverl
�
assige Bere hnung des Gradienten der Zielfunktion { die Sensitivit
�
atsanalyse. Es
wurde ein Verfahren der semianalytis hen Sensitivit
�
atsanalyse bes hrieben, dessen Grund-
beziehungen aus dem Prinzip der virtuellen Arbeit abgeleitet wurden. Die Ableitungen von
st
�
utzstellenbezogenen Variablen na h den Materialparametern folgen aus der L
�
osung eines
Systems ni htlinearer algebrais her Glei hungen, das si h aus einer impliziten Di�erentia-
tion des Deformationsgesetzes ergibt. Au h hierbei k
�
onnen die analogen Strukturen des
zeitdiskretisierten Materialmodells e�ektiv genutzt werden.
Zuk
�
unftige Aufgaben sind die Untersu hung vers hiedener Ein ussfaktoren auf Ergebnis
und Konvergenzverhalten des Optimierungsprozesses und die Einbeziehung einer unterlie-
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