Impuls- und Drallsatz.pdf

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  • Prof. Dr. Wandinger 3. Kinetik des starren Krpers Dynamik 2 3.1-1

    1. Impuls- und Drallsatz

    Impulssatz Bewegung des Schwer-

    punkts des Krpers auf-grund vorgegebener Krf-te

    Drallsatz Drehung des Krpers

    aufgrund vorgegebener Momente

  • Prof. Dr. Wandinger 3. Kinetik des starren Krpers Dynamik 2 3.1-2

    1. Impuls- und Drallsatz

    1.1 Bezeichnungen1.2 Impulssatz1.3 Drallsatz

  • Prof. Dr. Wandinger 3. Kinetik des starren Krpers Dynamik 2 3.1-3

    1.1 Bezeichnungen

    P

    B

    O

    rB

    rBPrP

    Sr

    S

    rBS

    rS

    rSP

    Krper K

    K

  • Prof. Dr. Wandinger 3. Kinetik des starren Krpers Dynamik 2 3.1-4

    1.1 Bezeichnungen

    Punkt O ist der Ursprung des ortsfesten Bezugssystems. Punkt B ist ein krperfester Punkt, der als Ursprung eines

    krperfesten Bezugssystems dient. Punkt S ist der Schwerpunkt des Krpers. Punkt P ist ein allgemeiner Punkt des Krpers.

  • Prof. Dr. Wandinger 3. Kinetik des starren Krpers Dynamik 2 3.1-5

    1.1 Bezeichnungen

    Vektor rBP

    ist der Ortsvektor des Punktes P im krperfes-ten Bezugssystem.

    Vektor rBS

    ist der Ortsvektor des Schwerpunktes S im kr-perfesten Bezugssystem.

    Vektor rSP

    ist der Vektor vom Schwerpunkt S zum Punkt P.

    Da der Krper starr ist, ndern sich die Vektoren rBP

    , rBS

    und r

    SP fr einen krperfesten Beobachter nicht.

  • Prof. Dr. Wandinger 3. Kinetik des starren Krpers Dynamik 2 3.1-6

    1.1 Bezeichnungen

    Geschwindigkeit des Punktes P: Fr einen krperfesten Beobachter ist Punkt P in Ruhe:

    Fr einen Beobachter im ortsfesten Bezugssystem hat

    Punkt P die Geschwindigkeit

    vPB =0

    vP=vBr BP

  • Prof. Dr. Wandinger 3. Kinetik des starren Krpers Dynamik 2 3.1-7

    1.1 Bezeichnungen

    Schwerpunkt S : Im ortsfesten Bezugssystem gilt laut Definition

    Daraus folgt fr den Vektor :

    Aus

    folgt weiter:

    rSP=r PrS

    KrSP dm=

    KrP dm

    Kr Sdm=m rSr Sm=0

    rBS=rBPrSP

    m r BS=Kr BP dm

    m rS=Kr Pdm

  • Prof. Dr. Wandinger 3. Kinetik des starren Krpers Dynamik 2 3.1-8

    1.2 Impulssatz

    P

    O

    rP

    dF

    dFi

    dm

    Krfte am freige-schnittenen Massen-element dm : uere Krfte dF innere Krfte dF

    i

    Die inneren Krfte sind die Krfte, die die be-nachbarten Massen-elemente auf das be-trachtete Massenelement ausben.

  • Prof. Dr. Wandinger 3. Kinetik des starren Krpers Dynamik 2 3.1-9

    1.2 Impulssatz

    Der Impulssatz fr das Massenelement lautet:

    Integration ber den Kr-per ergibt

    Wegen Actio = Reactio verschwindet das Integral der inneren Krfte:

    r P dm=d Fd F i

    Kr P dm=

    Kd F

    Kd F i

    Kd F i=0

    Das Integral ber die ueren Krfte ergibt die resultierende Kraft:

    Aus der Definition des Schwerpunkts folgt:

    Kd F=F

    m r S=Kr P dm

    m rS=Kr P dm

  • Prof. Dr. Wandinger 3. Kinetik des starren Krpers Dynamik 2 3.1-10

    1.2 Impulssatz

    Damit lautet der Impulssatz fr den Krper:

    Der Schwerpunkt eines starren Krpers bewegt sich so, als ob alle Krfte an ihm angriffen und die gesamte Masse in ihm vereinigt wre.

    m rS=F

  • Prof. Dr. Wandinger 3. Kinetik des starren Krpers Dynamik 2 3.1-11

    1.3 Drallsatz

    Aus dem Impulssatz fr das Massenelement,

    folgt mit :

    Integration ber den Krper ergibt:

    Die Beitrge der inneren Krfte heben sich wegen Actio = Reactio auf:

    r Pdm=d Fd F ir BP vPdm=r BPd Fr BPd F ivP= rP

    Kr BP vP dm=

    Kr BPd F

    Kr BPd F i

    Kr BPd F i=0

  • Prof. Dr. Wandinger 3. Kinetik des starren Krpers Dynamik 2 3.1-12

    1.3 Drallsatz

    Die Beitrge der ueren Krfte summieren sich zu dem resultierenden Moment der ueren Krfte um den Punkt B:

    Damit bleibt:

    Kr BPd F=M B

    Kr BP vP dm=M B

  • Prof. Dr. Wandinger 3. Kinetik des starren Krpers Dynamik 2 3.1-13

    1.3 Drallsatz

    Das Integral lsst sich weiter umformen:

    Zunchst gilt:

    Wegen gilt auerdem:

    Damit folgt:

    rBPvP=ddt r BPvP rBPvP

    vPB =0

    rBP=rBP und vP=vBr BP

    rBPvP=r BP vBrBP =r BP vB

  • Prof. Dr. Wandinger 3. Kinetik des starren Krpers Dynamik 2 3.1-14

    1.3 Drallsatz

    Fr das Integral gilt also:

    Definition: Die Gre

    wird als Drall oder Drehimpuls bezglich des Punktes B bezeichnet.

    KrBPvPdm=

    K

    ddt rBPvP dmK r BP dmvB

    = ddtK rBPvP dmm rBS vB

    LB=K

    r BPvP dm

  • Prof. Dr. Wandinger 3. Kinetik des starren Krpers Dynamik 2 3.1-15

    1.3 Drallsatz

    Damit lautet der Drallsatz in allgemeiner Form:

    Der Drallsatz wird auch als Drehimpulssatz oder Momentensatz bezeichnet.

    LBm r BS vB=M B

  • Prof. Dr. Wandinger 3. Kinetik des starren Krpers Dynamik 2 3.1-16

    1.3 Drallsatz

    Speziell: Schwerpunkt als Bezugspunkt Wird der Bezugspunkt B in den Schwerpunkt S gelegt, so

    gilt rBS

    = 0. Damit vereinfacht sich der Drallsatz zu

    Die nderung des Dralls bezglich des Schwerpunkts ist gleich dem Moment der ueren Krfte.

    Speziell: Bezugspunkt B ist ortsfest Fr einen ortsfesten Bezugspunkt B gilt v

    B = 0.

    Der Drallsatz vereinfacht sich ebenfalls zu .

    LS=M S

    LB=M B

  • Prof. Dr. Wandinger 3. Kinetik des starren Krpers Dynamik 2 3.1-17

    1.3 Drallsatz

    Beispiel: Drall der rollenden Scheibe

    vSS

    A

    Die Scheibe rollt mit der konstanten Schwer-punktsgeschwindigkeit v

    S

    und der konstanten Win-kelgeschwindigkeit .

    Gesucht ist der Drall be-zglich des Schwer-punkts.

  • Prof. Dr. Wandinger 3. Kinetik des starren Krpers Dynamik 2 3.1-18

    1.3 Drallsatz

    Geometrie:

    R

    S

    d S

    Radius R Dicke d Die Mittelebene der Scheibe

    liegt in der -Ebene des kr-perfesten Koordinatensystems.

    Der Ursprung des krperfesten Koordinatensystems ist der Schwerpunkt.

  • Prof. Dr. Wandinger 3. Kinetik des starren Krpers Dynamik 2 3.1-19

    1.3 Drallsatz

    Vektoren: Allgemeiner Ortsvektor:

    Ortsvektor von Punkt A:

    Winkelgeschwindigkeit: P

    A

    Sr

    SAr

    SP

    rSP= b bb

    rSA=R b

    = b

  • Prof. Dr. Wandinger 3. Kinetik des starren Krpers Dynamik 2 3.1-20

    3.1 Drallsatz

    Kinematik:

    Rollbedingung:

    vP=vSrSP

    vP

    P

    A

    Sr

    SA

    rSP

    vS

    vA=vSrSA=0

    vs=rSA=R bb=R b

  • Prof. Dr. Wandinger 3. Kinetik des starren Krpers Dynamik 2 3.1-21

    1.3 Drallsatz

    Drall bezglich Schwerpunkt: Geschwindigkeit:

    Integrand:

    LS=K

    rSPvP dm

    v P=vSrSP=R b b bbb =R b b b= [ R b b ]

    rSPv P= bbb [ R b b ]= [2 b R b R bb ]= [b R bRb22 b ]

  • Prof. Dr. Wandinger 3. Kinetik des starren Krpers Dynamik 2 3.1-22

    1.3 Drallsatz

    Integration: dm=dV=d dA

    Kdm=

    A d /2

    d /2

    ddA=A

    d /2

    d /2

    d dA=

    A[22 ]=d /2

    =d /2

    dA=A[ d 28 d

    2

    8 ]dA=0K R dm=

    A d /2

    d /2

    R ddA=

    A [ R d /2d /2

    d]dA=0KRdm=R

    Kdm=RSm=0

  • Prof. Dr. Wandinger 3. Kinetik des starren Krpers Dynamik 2 3.1-23

    1.3 Drallsatz

    Das einzige Integral, das nicht verschwindet ist

    In Polarkoordinaten gilt:

    K

    22 dm=A [ d /2

    d /2

    22 d]dA=A [ 22 d /2d /2

    d ]dA=d

    A

    22 dA

    =r cos=r sin22=r 2

    dA=r d dr ddr

    r

    rd

  • Prof. Dr. Wandinger 3. Kinetik des starren Krpers Dynamik 2 3.1-24

    1.3 Drallsatz

    Damit folgt:

    Ergebnis:

    A

    22 dA=0

    2 0

    R

    r 3dr d=0

    2

    [ r 44 ]r=0r=R

    d =0

    2 R4

    4d

    =12R4=1

    2R2 A

    LS=d12R2 A b=

    12 R2m b