Rontgeninterferenz

auf Basis der Ubergangsstrahlung

Vortrag: Michael Becker

15.01.07

Der komplexe Brechungsindex

Lost man die Maxwell-Gleichungen fur einen quel-lenfreien Raum in einem Medium, so erkennt man,dass die Lichtgeschgwindigkeit nun durch eine vomMedium abhangige Konstante variiert. Diese ergibtsich als:

n =√

εrµr (1)

Dabei bezeichnet man εr als Dielektrizitatskonstan-te, µr als Permeabilitatszahl.Beide Konstanten sind dabei von der Frequenz derelektromagnetischen Welle abhangig. Außerdem istes dabei moglich, dass eine der Konstanten < 0 wer-den und somit wird der Brechungsindex imaginar,wodurch man diesen schreiben kann als:

n(ω) = a(ω) + i · b(ω) (2)

Wir wissen, dass der Brechungsindex dabei nur we-nig von 1 abweicht:

n(ω) = 1− δ(ω)− i · β(ω) (3)

Wie verandert sich durch diesen Brechungsindex ei-ne elektromagnetische Welle? Dazu Betrachten ei-ner eindimensionalen Welle:

A(kn, z0, ω, t) =| A | ei(ωt−knz0) (4)

mit dem Wellenvektor kn im Medium. k1 stellt denWellenvektor im Vakuum dar. Nun einsetzen desBrechungsindex:

kn =ωn

c(5)

k1 =ω

c(6)

⇒ A(kn, z0, ω, t) =| A | ei(ωt−k1z0)eiωz0

c δe−ωz0

c β (7)

Man sieht hier, dass δ, der Term des komplexen Teildes Brechungsindex, eine Phasenverschiebung her-vorruft. Der Term des β verandert nur die Ampli-tude der Welle, es handelt sich hier um die Absorp-tion. Im dem Bild 1 kann man dies erkennen. Nun

Abbildung 1: Der komplexe Brechungsindex

sind Absorption und Dispersion fur jede chemischeVerbindung besonders in der Nahe von Absorp-tionskanten charakteristisch, so dass man durchdie Bestimmung des Brechungsindex die chemischeVerbindung der Probe analysieren kann(Man kannz.Bsp. Graphit und Benzene voneinander unter-scheiden.).

Interferometer

Um nun den Brechungsindex zu bestimmen, mussman Absorption und Dispersion ausmessen:

• Absorption:erhalt man durch Transmissionsexperimente,bei denen die Strahlintensitat des Rontgen-lichtes nach Durchdringen der Probe gemessenwird.

• Phasenverschiebung:

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– Dazu ist es notig die Phasenverschiebungeiner Welle zu bestimmen.

– Dies kann man durch Interferometer rea-lisieren (Bestimmen des Ablenkwinkelsin Prismen, Messung der Reflexionskur-ve von Einkristallen (Bragg)).

Nun wollen wir den Brechungsindex bestimmen beieiner Rontgenenergie von 100 eV bis 40 keV fur na-hezu alle Probematerialen.Bei den meisten Interferometern werden die zweielektromagnetischen Wellen, die man spater zur In-terferenz uberlagern mochte, durch einen Strahltei-ler aus einem Strahl erzeugt, wie man es von demMichelson Interferometer kennt. Da fur Rontgen-strahlung solche Strahlteiler sehr aufwendig undteuer sind, sollen diese bei den folgenden Inter-ferometern nicht benutzt werden, stattdessen sol-len zwei Strahlungsquellen verwendet werden. Die-se mussen dann allerding immer koherant zueinan-der sein.So kann man sich einen Versuchsaufbau theore-tisch uberlegen, wie in Bild 2. Um zwei zuein-

Abbildung 2: Der theoretische Versuchsaufbau

ander koharente Strahlungsquellen zu bauen wirdder Elektronenstrahl des MAMI benutzt. Geht derElektronenstrahl durch die erste Quelle, wird hierdas erste Wellenpaket erzeugt. Dann bewegt sichder Elektronenstrahl weiter zur zweiten Quelle underzeugt hier ein weiteres Wellenpaket. Nun ist da-durch der Abstand der beiden Wellenpakete ∆ festund gegeben aus dem Abstand der beiden Quellenund wie lange der Elektronenstrahl braucht von ei-ner Quelle zur anderen. Da beide Wellenpakete nuneinen festen Abstand haben, sind beide Wellen auchimmer koharent zueinander und konnen interferie-ren. Jedoch handelt es sich hier um Wellenpakete,die noch voneinander getrennt sind. Um eine Inter-ferenz moglich zu machen mussen die Wellen zu ei-

nem langen Wellenzug werden. Hierzu benutzt manein Spektrometer.

Spektrometer

An einem Spektrometer wird nur eine Frequenzder elektromagnetischen Welle durchgelassen, eskommt also zu einer Monochromatisierung. Umnun zu zeigen, was am Monochromator tatsachlichpassiert, benutzen wir die Fourier-Transformation.Zunachst erzeugen die Rontgenquellen Wellenpake-te. Ein solches Wellenpaket ist im Bild 3 zu sehen.Nun kann man dieses Wellenpaket transformieren

Abbildung 3: Ein Wellenpaket

mit Hilfe der Fourier-Transformation in den Fre-quenzraum. Hier erhalt man fur ein Wellenpaketeine Gaußkurve, wie sie in dem Diagramm 4 zusehen ist. In diesem Bild wurde die Darstellung

Abbildung 4: Die Fourier-Transformierte des Wel-lenpakets

der spektralen Leistungsdichte | F (ω) |2 gewahlt.Nun kommt es am Spektrometer zur Monochroma-tisierung und nur eine Frequenz wird durchgelas-sen. Das bedeutet es wird in der spektralen Leis-tungsdichte nur ein schmales Frequenzband durch-gelassen. Das heißt nach der Monochromatisierungerhalt man Abbildung 5. Wenn man diesen Peaknun zuruck transformiert in den Ortsraum erhalt

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Abbildung 5: Nach der Monochromatisierung

man eine einfache cos-Welle, die nun sehr lang ge-worden ist (siehe hierzu Bild 6), so dass nun beideWellenpakete der Quellen ausgedehnt sind, so dasssie sich nun uberlagern und interferieren konnen.

Abbildung 6: Durchfuhren der Rucktransformati-on.

Das erste Experiment

Der experimentelle Aufbau ist in Abbildung 7 dar-gestellt. Als Strahlungsquelle dienen zwei Mini-Undulatoren. Hier durchlaufen die Elektronen des

Abbildung 7: Der Versuchsaufbau mit Undulatoren

Strahls zunachst die zwei Undulatoren im Abstandd und es entstehen zwei zueinander koharente Wel-lenpakete mit dem Abstand ∆. Ohne eingebrachtProbe, also ohne Folie, haben beide Wellen danneine bestimmte Phasenverschiebung zueinander inAbhangigkeit von d. Am Gitter kommt es dann zur

Monochromatisierung der Wellenpakete und nunkonnen die beiden Wellen interferieren. Am Detek-tor wird deswegen die Intensitat zu:

I = | Ar |2︸ ︷︷ ︸1

+ | A0 |2︸ ︷︷ ︸2

+2ArA0 cos (ω

c∆)︸ ︷︷ ︸

3

(8)

1 : Intensitat der Welle r2 : Intensitat der Welle 03 : Interferenz der beiden Wellen mit Phasenver-schiebungIn Abhangigkeit vom Abstand d der Undulatorenkommt es somit zur Interferenz. Das heißt, wenn∆ = nλ ist, kommt es zur konstruktiven Interferenzund wenn ∆ = 2n+1

2 λ entsteht destruktive Interfe-renz. So entstehen also Maxima und Minima. Dieswurde im Bild 8 als roten Verlauf dargestellt.Nun wird die Probe, die Folie, zwischen den Un-

Abbildung 8: Der erwartete Intensitatsverlauf

dulatoren eingebracht. Deswegen andert sich nundie Phasenbeziehung der Wellen und somit das In-terferenzbild. Die Intensitat am Detektor lasst sichdann folgendermaßen beschreiben:

I =| Ar |2 + | A0 |2 e−2 ωc β(ω)t0︸ ︷︷ ︸4

+2ArA0 cos (ω

c∆ + δ(ω)︸︷︷︸

5

) e−ωc β(ω)t0︸ ︷︷ ︸

6

(9)

Hier bedeutet: 4 : Absorption der Welle 0 durch dieProbe5 : Phasenverschiebung aufgrund der Dispersion inder Probe.6 : Absorption der Welle 0 in der Probe.Dadurch wird die am Detektor gemessene Inten-sitat abhangig von der Dispersion, also der Phasen-verschiebung der Probe, wodurch sich δ(ω) bestim-men lasst. Die zu erwartende Intensitat ist auchnoch einmal im Bild 8 dargestellt als blauer Ver-lauf. Hier sieht man auch Absorption (Intensitat ist

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geringer) und Dispersion (Intensitatsmaxima und -minima sind verschoben) noch einmal sehr gut.Nun kann man die Phasendifferenz beider Wellen-pakete verandern durch variieren von d. Da aber diePhasenanderung im Bereich von nm liegt, mussteman auch d in diesem Bereich verandern. Jedoch istes hier von Vorteil, dass der Abstand d im bewegtenSystem kontrahiert:

∆ =d

2γ2(10)

Als Beispiel bei EPh < 2 keV bedeutet es, dassd = 20 cm sich transformiert zu ∆ = 35 nm. Hierwird verstandlich, dass eine große Anderungen vond eine kleine Anderungen der Phasenbeziehung ∆zur Folge hat. Durch Verandern von d kann man al-so nun die Intensitat verandern wie im Diagramm8. Nun konnen solche Messungen wiederholt wer-den fur verschiedene Energie des Rontgenstrahls.So entstehen viele solcher Diagramme aus denendie Phasenverschiebung und Absorption durch dieProbe bestimmt wird. Diese wird in ein Diagrammeingezeichnen, so dass Absorption und Dispersiongegen die Energie der Rontgenstrahlung aufgetra-gen wird. Wird diese Messung fur Kohlenstoff andessen K-Absorptionskante durchgefuhrt, so erhaltman fur unterschiedliche Kohlenstoffverbindungen(Graphit & Kohlenwasserstoff) das Diagramm 9.In diesem Diagramm kann man gut beide chemi-schen Verbindungen voneinander unterscheiden, dadie unterschiedliche Bindungsorbitale des Kohlen-stoffs unterschiedliche Absorptionspeaks hervorru-fen.

Ubergangsstrahlung

Wenn geladene Teilchen durch ein Medium hin-durchfliegen mit einer Geschwindigkeit, die großerals die Lichtgeschwindigkeit in diesem Medium ist,so entstehen in diesem Medium aufgrund der La-dung des Teilchen nicht verschwindende Dipole. Dadiese sich zeitlich verandern, strahlen sie elektro-magnetische Wellen in Form von Licht ab. Willman nun aber in einem Festkorper Rontgenlichterzeugen, so sieht man, dass hier der Brechungs-index n ≺ 1 ist. Das bedeutet dann aber, dassv � c sein musste. Dies ist allerdings nicht zu rea-lisieren. Daher kann man Rontgenlicht nicht in ei-nem Festkorper erzeugen. Schneidet man nun ei-

Abbildung 9: Das Messergebnis

ne dunne Scheibe aus dem Festkorper, so siehtman, dass hier aber die Dipole sich nicht mehr ge-genseitig wegheben. Es enstehen also sich zeitlicheveranderliche Dipole, wie in der Skizze 10. Diese

Abbildung 10: Eine dunne Schicht des Festkorpers

erzeugen wiederum Strahlung die konstruktiv in-terferiert. Reiht man nun mehrere dieser Schichtenaneinander entsteht ein Bild wie in der Skizze 11.Hier erkennt man nun, dass es aber irgendwo wiedereine solche Schicht gibt, an der nun die Strahlungso entsteht, so dass die Wellen beider Schichten de-struktiv interferieren. Da ein Festkorper sehr vie-ler solcher Schichten enthalt, ist es immer so, dasssolche zwei Schichten existieren, deren Wellen gera-de destruktiv interferieren. Es bleibt nur die Strah-lung, die in kleinen, abgeschlossenen Bereichen des

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Abbildung 11: Mehrere dunne Schichten

Festkorpers entsteht. Es kann also nur Rontgen-strahlung am den Ubergangen zwischen Festkorperund Vakuum entstehen. Dies sieht man in Bild 12.Dabei ist Z der Formationsfaktor, der angibt wie

Abbildung 12: Die Ubergangsstrahlung

groß der Bereich ist, indem es zur konstruktivenInterferenz kommt. Die Abstrahlungscharakteristikder Ubergangsstrahlung ist in Abbildung 13 dar-gestellt. Somit hat die Abstrahlung ihr Maximumunter:

θ =1γ

(11)

Außerdem ergibt sich bei der Ubergangsstrahlungein nahezu kontinuierliches Spektrum, das bis zueiner maximalen Energie hω geht, wie in dem Dia-gramm 14 gezeigt. Die Grenzenergie ergibt sichmit der Plasmafrequenz ωp (eine Materialkonstan-te) zu:

hω = γhωp (12)

ωp =√

4πc2r0ne (13)

Das hier gezeigte Diagramm wurde fur die Messun-gen am MAMI erstellt. Hier liegt die Grenzenergie

Abbildung 13: Der Abstrahlwinkel

Abbildung 14: Das Energiespektrum

bei 44 keV.

Versuchsaufbau mit Uber-gangsstrahlung

Nun kann man als Quelle fur die Rontgenstrah-lung auch die Ubergangsstrahlung benutzen. Dasbedeutet als koharente Quellen kann man dunneFolien verwendet, an denen es zur Ubergangsstrah-lung kommt. Nun kann man den Versuch zur Be-stimmung des Brechungsindex auch umsetzen mitdunnen Folien als Strahlungsquellen. Nun handeltes sich bei der Probenfolie auch um eine dunneFolie an der Ubergangsstrahlung entstehen wird.Wodurch nun drei Folien Ubergangsstahlung erzeu-gen. Jedoch werden nur zwei Quellen gebraucht,so dass man eine Quelle nicht benotigt. Es ergibt

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sich somit die Moglichkeit den Versuch zu realisie-ren, wie im Abbildung 15 dargestellt ist. Die von

Abbildung 15: Der Versuchsaufbau

Quelle 2 emittierte Welle durchdringt auf dem Wegzum Detektor die Probefolie an der die Welle en-steht. Beim Durchgang der ersten Welle wird diesevon der Probenfolie geschwacht (Absorption β be-stimmbar) und unterliegt einer Phasenverschiebung(Dispersion δ bestimmbar).Diese Uberlegungen fur ein Interferometer wurdenam MAMI in die Realitat umgesetzt. Der Ver-suchsaufbau ist in Abbildung 16 dargestellt. Als

Abbildung 16: Der Versuchsaufbau am MAMI

Spektrometer muss nun hier wegen der großerenRontgenenergie ein Bragg-Spektrometer, also einSilizium Einkristall verwendet werden. Als Detek-tor wurde hier ein CCD-Kamera-Chip eingesetzt,so dass es moglich ist nicht nur unter einem Re-flexionswinkel und somit nur eine Rontgenenergiezu vermessen, sondern dass man nun gleichzeitig

weitere Rontgenenergien vermessen kann. Wobeidies nur moglich ist, weil nach der Bragg-Reflexiondie erzeugte Rontgenstrahlung unter verschiedenenWinkeln auch verschiede Energie aufweist. Unterdem Winkel von 0◦ hingegen erwarten wir auch kei-ne Strahlung (siehe Diagramm 13). Mit Hilfe derhier gewonnen Messwerte ist es nun moglich, wie-der Absorption und Dispersion zu bestimmen. Hierwurde nun eine Nickelfolie vermessen. Dabei konn-te fur verschiedene Rontgenenergien an der NickelK-Absorptionskante die Dispersion vermessen wer-den, wie man sie in Abbildung 17 sieht. Die mit

Abbildung 17: Messergebnisse an der Nickel K-Absorptionskante

diesem Versuch gewonnen Messwerte sind hier alsschwarze, gefullte Punkte dargestellt. Die durchge-zogene Linie, die man hier sehen kann, entstammtder Kronig-Kramer-Transformation. Dies wieder-um ist eine Berechnung des Verlaufs der Disper-sion, die uber eine Integraltransformation aus derAbsorption die Dispersion bestimmt.

Literaturangaben

• Oliver Kettig, Entwicklung und Test einesRontgeninterferometers auf der Basis vonUbergangsstrahlung, Dissertation, Institut furKernphysik, Mainz, 2000 (Die Bilder wurdenaus dieser Quelle entnommen.)

• Michael Cherry, Gernot Hartmann, Dietrich

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Muller and Thomas Prince, Transition Radia-tion from relativistic electrons in periodic ra-diators, Physical Review D 10 (1974), P. 3594

• Hans Joachim Eichler, Axel Fleischer, JurgenKross, Michael Krystek, Heinwig Lang, HeinzNiedrig, Helmet Rauch, Gunter Schmahl,Heinz Schoenebeck, Erwin Sedlmayr, HorstWeber und Kurt Weber, Optik, Bergmann-Schfer, Band 3, Walter de Gruyter, Berlin andNew York, 1993

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