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  • Value at Risk

    Seminararbeit

    vorgelegt am 27. Februar 2018

    ausgeführt am Institut für Finanz- und Versicherungsmathematik der technischen Universität

    Wien

    Name: Sandra Radl Matrikelnummer: 01527137 Betreuer: Ao. Univ. Prof. Dr. Stefan Gerhold

  • Inhaltsverzeichnis

    1 Einleitung 2

    2 Definition 2 2.1 Zeithorizont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    3 Berechnunngsmethoden 3 3.1 Historische Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3.2 Modellbildungsansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    3.2.1 Lineares Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.2.2 Quadratisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2.3 Monte-Carlo-Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    3.3 Vergleich der Ansätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.4 Zusammenfassen von Marktvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    3.4.1 Cahs Flow Mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    4 Stress Testing 19

    5 Back Testing 19

    6 Kritik 20 6.1 Verlust im (100-x)%-Quantil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    6.1.1 Expected Shortfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    7 Zusammenfassung 22

  • 1 Einleitung

    “Some risks that are thought to be unknown, are not unknown. With some foresight and critical thought, some risks that at first glance may seem

    unforeseen, can in fact be foreseen. Armed with the right set of tools, procedures, knowledge and insight, light can be shed on variables that lead to risk, allowing us

    to manage them.” 1

    Ein möglicher Weg um Aufschluss über die Risikosituation zu erhalten ist die Be- rechnung des Value at Risks, womit sich die vorliegende Arbeit beschäftigt. Als Hauptquelle diente das Werk [?]

    ” Optionen, Futures und andere Derivate”, ver-

    fasst von John C. Hull.

    Im zweiten Kapitel soll näher gebracht werden, worum es sich beim Value at Risk handelt und von welchen Parametern er abhängt. Anschließend werden im dritten Kapitel, dem Hauptteil dieser Seminararbeit, die Berechnungsmethoden vorgestellt. Den Anfang macht hierbei die historische Simu- lation, gefolgt von den Modellbildungsansätzen, wobei auf das lineare Modell, das quadratische Modell und die Monte-Carlo-Simulation eingegangen wird. Im Zuge dessen wird auf die zu beobachtende Diversifikation hingewiesen. Nach einem kur- zen Vergleich der verschiedenen Ansätze folgt das Unterkapitel

    ” Zusammenfassen

    von Marktvariablen”, in welchem das Thema Cash Flow Mapping behandelt wird. In weiterer Folge ist eine kompakte Erklärung der Begriffe Stress Testing und Back Testing vorzufinden. Zu guter Letzt wird ein Blick auf einen der Schwachpunkte des Value at Risk, das Nichtbeachten des Verlusts im (100-x)% -Quantil, geworfen.

    2 Definition

    Der V alue at Risk (V aR) ist ein Maß, welches das Gesamtrisiko eines Portfolios von Finanzinstrumenten widerspiegelt. Ziel ist es, eine Aussage der Gestalt

    ” In den nächsten N Tagen werden wir zu x% nicht mehr als V Euro verlieren.”

    treffen zu können, wobei die Variable V für den Value at Risk steht. Man kann schon an der obigen Aussage erkennen, dass der Value at Risk von den Parametern N und x abhängt. Dabei steht N für den Zeithorizont und x für das Konfidenzni- veau. Der Value at Risk gibt also den Verlust an, der in N Tagen nur mit einer Wahr- scheinlichkeit von (100−x)% überschritten wird. Anders ausgedrückt bedeutet das, dass der Value at Risk das (100−x)% -Quantil der Verteilung der Veränderung des Portfoliowertes in den nächsten N Tagen ist (ein Verlust wird hierbei als negative Veränderung, ein Gewinn als positive Veränderung angesehen).[?, S. 556f]

    1Zitat von Daniel Wagner

    2

  • Wenn die erwähnte Portfoliowertänderung annähernd normalverteilt ist, veran- schaulicht Abbildung ?? den Value at Risk zu einem Konvidenzniveau von (100− X)%:

    Abbildung 1: Value at Risk bei normalverteilten Portfoliowertänderungen [?, S. 557]

    2.1 Zeithorizont

    Wie bereits erwähnt wurde, ist der Value at Risk abhängig vom Konfidenzniveau x und vom Zeithorizont N. In der Praxis wird der Value at Risk aber nicht für jedes N berechnet, stattdessen berechnet man nur den Eintages-Value at Risk. Um den Value at Risk für ein beliebiges N zu berechnen, benutzt man die Formel

    N − TagesV aR = Eintages− V aR ∗ √ N.

    Diese Formel ist auch unter dem Namen ” Wurzel − Zeit− Formel” beziehungs-

    weise ” Sqaure root of time”Regel bekannt. [?, S. 558]

    Ein Grund für diese Vorgehensweise ist, dass die direkte Schätzung der Wertänderungen über einen längeren Zeitraum aufgrund von zu wenig vorhandenen Daten in vielen Fällen nicht beziehungsweise nur sehr schwer möglich ist.[?, S. 558]

    Es sei jedoch bemerkt, dass die erwähnte Formel nicht immer exakt ist. Falls die Wertänderungen des Portfolios von aufeinander folgenden Tagen unabhängig voneinander und identisch verteilt sind, ist sie exakt, ansonsten stellt sie nur eine Näherung dar.[?, S. 558]

    3 Berechnunngsmethoden

    3.1 Historische Simulation

    Eine beliebte Methode zur Bestimmung des Value at Risks ist die sogenannte

    ” historische Simulation”. Wie der Name schon vermuten lässt, beruht diese Me-

    thode auf der Verwendung von historischen Daten, um einen Richtwert für die

    3

  • zukünftigen Wertänderungen zu berechnen.

    Angenommen man möchte den Eintages-Value at Risk eines bestimmten Port- folios zu einem Konfidenzniveau von 95 Prozent berechnen und hat Zugang zu den Marktdaten der letzten 501 Tage, dann wird folgendermaßen vorgegangen [?, S. 559]:

    • Zu Beginn müssen jene Marktvariablen (darunter versteht man zum Beispiel Aktienkurse, Wechselkurse, Zinssätze oder Ähnliches) identifiziert werden, welche einen Einfluss auf das Portfolio haben.

    • Im nächsten Schritt untersucht man die Veränderungen der beeinflussenden Variablen in den vergangenen 501 Tagen. Daraus ergeben sich 500 mögliche Szenarien für die Entwicklung der Marktvariablen von heute auf morgen. Im ersten Szenario entspricht die prozentuelle Änderung der Marktvariablen von heute auf morgen der prozentuellen Veränderung der Marktvariablen von Tag 0 auf Tag 1 unserer historischen Daten, Szenario 2 entspricht einer prozentuellen Wertänderung wie von Tag 1 auf Tag 2 usw.

    • Anschließend berechnet man für jedes Szenario die Wertänderung des Port- folios von heute auf morgen. Dadurch erhält man eine Wahrscheinlichkeits- verteilung für die tägliche Portfoliowertänderung.

    • Anhand dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung kann man nun das gewünschte Quantil berechnen. Die fünfundzwanzigschlechteste tägliche Wertänderung gibt bei Verwendung der Daten der 501 letzen Tage das 5 %-Quantil der Verlustverteilungsfunktion, also den gesuchten Value at Risk. Würde man sich für das 1 %-Quantil, also für ein Konfidenzniveau von 99%, interessie- ren, müsste man die fünftschlechteste Wertänderung auswählen usw. Vor- ausgesetzt die Wertänderungen der letzten 501 Tage sind ein gutes Indiz für die Wertänderung von heute auf morgen können wir uns also zu 95 % si- cher sein, dass der Verlust nicht höher als die fünfundzwanzigstschlechteste Wertänderung ist. Diese Annahme trifft in der Praxis jedoch durchaus nicht zu.

    Die Tabellen ?? und ?? sollen die oben beschriebene Methodik anhand eines Bei- spiels veranschaulichen.

    In Tabelle ?? befinden sich die historischen Daten, man kann ihr also die Wer- te jeder Marktvariable an jedem der 501 vergangenen Tage entnehmen, wobei die Marktvariablen jeden Tag zu einem bestimmten Zeitpunkt, meistens zu Handels- schluss, beobachtet werden [?, S. 559]. Tag 0 ist der erste Tag, von welchem wir Daten besitzen, Tag 1 der zweite usw. Tag 500 ist der heutige Tag, Tag 501 steht für morgen.

    4

  • Tag Marktvariable 1 Marktvariable 2 . . . Marktvariable N 0 15,66 1,03 . . . 90,51 1 15,85 1,07 . . . 94,02 2 16,12 1,04 . . . 93,58 3 15,93 1,09 . . . 93,27 ...

    ... ...

    ... ...

    498 17,75 1,45 . . . 89,73 499 17,98 1,51 . . . 90,01 500 18,32 1,48 . . . 89,76

    Tabelle 1: Historische Daten der letzten 501 Tage

    Tabelle ?? enthält die Marktvariablenwerte und Portfoliowerte für morgen für jedes mögliche Szenario bzw. die zugehörige Portfoliowertänderung von heute auf morgen. Sei v(n,i) der Wert der n-ten Marktvariable an Tag i, dann lässt sich der morgige Wert der Marktvariable n im i-ten Szenario mithilfe der Formel

    v(n,501) = v(n,500) ∗ v(n,i) v(n,i−1)

    berechnen [?, S. 559]. Der morgige Wert der ersten Marktvariablen im ersten Sze- nario ist also

    v(1,501) = v(1,500) ∗ v(1,1) v(1,0)

    = 18, 32 ∗ 15, 85 15, 66

    = 18, 54.

    Analog berechnet man die anderen Werte der Tabelle ??. Mit den gegebenen Marktvariablen kann man nun den Portfoliowert für die einzelnen Szenarien be- rechnen. In diesem Beispiel gehen wir davon aus, dass unser Portfolio heute, al- so an Tag 500, einen Wert von 50,32 Mio. Euro hat, damit lässt sich auch die Wertänderung bestimmen.

    Szenario Markt- Markt- . . . Markt- Portfolio- Wert- variable 1 variable 2 variable N wert änderung

    in Mio. e in Mio. e 1 18,54 1,53 . . . 93,24 36,61 -13,71 2 18,63 1,44 . . . 89,34 55,72 +5,40 3 18,10 1,55 . . . 89,46 50,64 +0,32 ...

    ... ...

    ... ...

    ... ...

    499 18,55 1,