Post on 06-Apr-2015
a) stabil
b) marginal
c) instabil
d) linear instabil
e) linear stabil
Stabilität von Gleichgewichten
Ausgangspunkt: MHD-Gleichungen
0)v( t
Kontinuitätsgleichung
Bjpt
v)v(vKraftgleichung
):(0v jresistivBE Ohmsches Gesetz
Maxwell-Gleichungen
0,,0
BBjEt
B
Adiabatische Zustandsänderung: 0)(
dt
pd
Und dazu noch:
Nichtlineare Stabilität: numerische Lösung der MHD Gleichungen
Einfacher: Lineare Stabilität:
Betrachte kleine Störungen des GG
Störungsansatz für , v, p, B:
z.B.
000 Bjp
),()(),( 10 trrtr
Stabilitätsuntersuchungen
00 vFür statische Gleichgewichte findet man Gleichungenfür die zeitliche Entwicklung der gestörten Größen 1, v1, p1, B1
10011 vvt
z.B.
Statt v1 anschaulichere Größe (Zeitintegral von v1) verwenden
: Verschiebungsvektor (kleine Verschiebung des GG-Zustandes)
Man findet aus Kraftgleichung (+ Maxwell, Adiabatengesetz):
),((2
2
0 trFt
Lineare Stabilitätsuntersuchungen
Keine Quellen und Senkenin idealer MHD
EW-Problem mit reellem 2
2 > 0: Schwingungen um GG-Lage => Alfvèn-Wellen
2 < 0, Im >0: System ist instabil, exponentielles Wachstum einerAnfangsstörung
Eigenwertproblem in linearer MHD
),((2
2
0 trFt
tiertr )(),(
))(()(20 rFr
011000 )()( BjBjppF
)( 01 BB 011 /)( Bj
Die treibenden Kräfte
Einfachster Fall: homogenes Plasma 0,0 00 jp
Keine Instabilitäten, aber Wellenausbreitung
Zusätzlich zu Schallwellen: Alfvèn-Wellen
Wellen im Gas bzw. im Plasma ohne Magnetfeld:
Schallwellen
Ausbreitungsgeschwindigkeit: p
cs
Scher- Alfvèn-Wellen
Magnetfeld-Energie
Energieaustausch zwischen kinetischer Energie und
00
0
B
vv Aph Charakteristische (Alfvèn-) Geschwindigkeit
Kompressionale Alfvèn-Wellen
Kompressions-Energie
Energieaustausch zwischen kinetischer Energie und
0
0
00
20
pB
vph Charakteristische Geschwindigkeit:
MHD-Instabilitäten
tiertr )(),(
2 < 0, Im >0: System ist instabil, exponentielles Wachstum einerAnfangsstörung
Anschaulicher : Energieprinzip
Ideale MHD: Energieerhaltung, weil keine Dissipation
Stabiles Gleichgewicht: Minimum der potentiellen Energie
))(()(20 rFr
Das Energieprinzip (1)
))(()(20 rFr Kann man umschreiben mit
Betrachte stationäres GG => kin. Energie nur in Störung
),(222
1 22
0
2*
0 Krdrd
Wkin=
rdFK )(2
1),(
2*
2
zu: Wkin=
Energieerhaltung fordert Gleichheit von (Störung der) kinetischenund der potentiellen Energie
),(2
2
KWW kinpot
Das Energieprinzip (2)
),(2
2
KWW kinpot K(,) >0
Wpot < 0 2 < 0 => imaginär => exponentiell anwachsende Störung
Wpot > 0 2 > 0 => reell => oszillierende Störung
tiertr )(),(
Das Energieprinzip (3)
Wpot = WVAC + WOF + WPL
Beitrag durch Ströme auf der Plasmaoberfläche: WOF
stabilisierend: Kompression des Vakuumfeldes erfordert Energie
Vakuumbeitrag: dVB
Wvac
VAC 0
21
22
1
Das Energieprinzip (4)
Wpot = WVAC + WOF + WPL
plasma
PL pBB
dVW
0
2
0
20
0
2
1 22
1
u.U. destabilisierend
Immer stabilisierend
1
0
0*||
*0 ))((2 B
B
Bjp
Das Energieprinzip (4): stabilisierende Beiträge
Wpot = WVAC + WOF + WPL
plasma
PL pBB
dVW
0
2
0
20
0
2
1 22
1
stabilisierend
Energie zum Verbiegen von Feldlinien, „Feldlinienspannung“ (Wpot zu Scher-Alfvèn-Wellen)
Energie zum Komprimieren von Feldlinien (Wpot zu Kompr.-Alfvèn-Wellen)
Energie zum Komprimieren des Plasmas (Wpot zu Schallwellen)
Das Energieprinzip (5): destabilisierende Beiträge
Wpot = WVAC + WOF + WPL
plasma
PL pBB
dVW
0
2
0
20
0
2
1 22
1
1
0
0*||
*0 ))((2 B
B
Bjp
u.U. destabilisierend
immer stabilisierend
Druckgetriebene Instabilitäten
StromgetriebeneInstabilitäten
Das Energieprinzip (5): destabilisierende Beiträge
Wpot = WVAC + WOF + WPL
plasma
PL pBB
dVW
0
2
0
20
0
2
1 22
1
1
0
0*||
*0 ))((2 B
B
Bjp
Anwendungen des Energieprinzips:
Wenn man Testfunktion finden kann, für die Wpot negativ wird, istGleichgewicht instabil!
B
B
R
R
c
c
))((2 *0 pDestabilisierender Term:
Destabilisierend für 0p
günstigeungünstigeKrümmung
Plasma
pp
Austauschinstabilität
Beispiel: Z-Pinch
r
zB
Iz
Zylindersymmetrie => Fourier-Zerlegung des Verschiebungsvektors
)()()( kzmierr
plasma
PL pBB
dVW
0
2
0
20
0
2
1 22
1
1
0
0*||
*0 ))((2 B
B
Bjp
j||=0
r
er
zzrr eer
imBB 01
bei m=0
Störfeld senkrecht zu GG-Feld:
Feldlinienkrümmung:
Beispiel: Z-Pinch (m=0)
Minimierung der potentiellen Energie bzgl. und Einsetzen liefert:
2
2
0 0200
0200
0
'2/
/4
2 rrp
Bp
Bprdr
R
W ra
pl
Stabilitätskriterium: 0'2/
/4
0200
0200
rp
Bp
Bp
i.allg. nicht erfüllt
20
'0
2
0
220
000
22
2 rr
apl
r
pp
rBrdr
R
W
Kompressionsterme stabilisierend, aber ungünstige Krümmung
Beispiel: Z-Pinch (m=0)
Druckgradientdestabilisierend
Beispiel für instabile Profile (Bennet-Profile)
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.5
1
1.5
2
B(r)
p(r)
Iz(r)
r/r0
20
2
0
2)(
rr
rIrB p
20
2
20)(rr
rIrI p
z
20
2
20
2
0
8)(
rr
rIrp p
Stabilität nur für > 2, aber ideale MHD: = 5/3
B1
r
B2
K1
K2
r
z z
“Würstcheninstabilität” (m=0)
2
2
0
20
20
00
'22 r
BmrprdrR
W ra
pl
Stabilitätskriterium:
Beispiel: Z-Pinch (m>0)
Unter Nutzung der GG-Bedingung folgt:
42
1 2'
0
0
2
mr
B
B
r
jr
B
200
=> Z-pinch stabil für m>2!
< 0, wenn j(r) nach außen abfällt
Im Zentrum Stromdichte etwa konstant => instabil für m=1!
Kink-Instabilität (m=1)
x
Z-Pinch: Kink- und Würstchen-Instabilität
Stabilisierung durch Kombination mit Theta-Pinch!
Bisher ideale MHD – Instabilitäten: MF-Topologie nicht geändert
Resistive Instabiliäten
jBE vOhmsches Gesetz
Maxwell-Gleichungen BvjE
t
B
BvBt
B
2
0
1
Endliche Resistivität erlaubt Änderung der MF-Topologie!
Magnetische Inseln
Verringerung der Feldlinienspannung durch Rekonnektionführt zu Zustand geringerer Energie!
Zusammenfassung
MHD-Wellen (auch im homogenen Plasma): Schallwellen, Scher-Alfvèn-Wellen, Kompressionswellen
• Getrieben durch Druck- oder Stromgradienten:Bsp: Austauschinstabilität Würstcheninstabilität Knick-(kink) Instabilität
Lineare Instabilitäten in idealer MHD: • Eigenwertproblem (2<0)• Energieprinzip (Wpot<0)
Resistive Instabilitäten: • wachsen viel langsamer als ideale Instabilitäten• können Magnetfeldtopologie ändern