Blockseminar Optimierung unter unvollst¤ndiger Information ... ganzzahliges Programm zu...

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BlockseminarOptimierung unter unvollstndiger Information

Thema: Die Sample Average Approximation Methode frstochastische Programme mit Integer Recourse

von Maria Gundermann

18. bis 20. Januar 2008

Maria Gundermann () Sample Average Approximation Methode Blockseminar OuuI 1 / 34

Gliederung

1 ProblemstellungDas ProblemAnwendungsbeispieleSchwierigkeiten beim Lsen

2 Die Sample Average Approximation MethodeDie SAA-MethodeFragen

3 Konvergenz-Analyse

4 Lsen des SAA-ProblemsVorbereitungDBB-AlgorithmusEigenschaften des Algorithmus

5 Bewertung der LsungStatistische Grenzen

Maria Gundermann () Sample Average Approximation Methode Blockseminar OuuI 2 / 34

Gliederung

1 ProblemstellungDas ProblemAnwendungsbeispieleSchwierigkeiten beim Lsen

2 Die Sample Average Approximation MethodeDie SAA-MethodeFragen

3 Konvergenz-Analyse

4 Lsen des SAA-ProblemsVorbereitungDBB-AlgorithmusEigenschaften des Algorithmus

5 Bewertung der LsungStatistische Grenzen

Maria Gundermann () Sample Average Approximation Methode Blockseminar OuuI 2 / 34

Gliederung

1 ProblemstellungDas ProblemAnwendungsbeispieleSchwierigkeiten beim Lsen

2 Die Sample Average Approximation MethodeDie SAA-MethodeFragen

3 Konvergenz-Analyse

4 Lsen des SAA-ProblemsVorbereitungDBB-AlgorithmusEigenschaften des Algorithmus

5 Bewertung der LsungStatistische Grenzen

Maria Gundermann () Sample Average Approximation Methode Blockseminar OuuI 2 / 34

Gliederung

1 ProblemstellungDas ProblemAnwendungsbeispieleSchwierigkeiten beim Lsen

2 Die Sample Average Approximation MethodeDie SAA-MethodeFragen

3 Konvergenz-Analyse

4 Lsen des SAA-ProblemsVorbereitungDBB-AlgorithmusEigenschaften des Algorithmus

5 Bewertung der LsungStatistische Grenzen

Maria Gundermann () Sample Average Approximation Methode Blockseminar OuuI 2 / 34

Gliederung

1 ProblemstellungDas ProblemAnwendungsbeispieleSchwierigkeiten beim Lsen

2 Die Sample Average Approximation MethodeDie SAA-MethodeFragen

3 Konvergenz-Analyse

4 Lsen des SAA-ProblemsVorbereitungDBB-AlgorithmusEigenschaften des Algorithmus

5 Bewertung der LsungStatistische Grenzen

Maria Gundermann () Sample Average Approximation Methode Blockseminar OuuI 2 / 34

Problemstellung

Problemstellung

Problemstellung

Maria Gundermann () Sample Average Approximation Methode Blockseminar OuuI 3 / 34

Problemstellung Das Problem

Stochastisches Problem mit Integer Recourse

Ausgangsproblem

minxX

g(x) := cT x + E(Q(x , ())) (1)

mit

Q(x , ) := infyY

{qT y : Wy h Tx

}(2)

(1) Erste Phase mit x X Rn1

(2) Zweite/Recourse-Phase mit y Y Zn2 (Integer Recourse) = (q,T ,W ,h) wobei W konstant, aber q(),T (),h()

Maria Gundermann () Sample Average Approximation Methode Blockseminar OuuI 4 / 34

Problemstellung Das Problem

Stochastisches Problem mit Integer Recourse

Ausgangsproblem

minxX

g(x) := cT x + E(Q(x , ())) (1)

mit

Q(x , ) := infyY

{qT y : Wy h Tx

}(2)

(1) Erste Phase mit x X Rn1

(2) Zweite/Recourse-Phase mit y Y Zn2 (Integer Recourse) = (q,T ,W ,h) wobei W konstant, aber q(),T (),h()

Maria Gundermann () Sample Average Approximation Methode Blockseminar OuuI 4 / 34

Problemstellung Das Problem

Stochastisches Problem mit Integer Recourse

Ausgangsproblem

minxX

g(x) := cT x + E(Q(x , ())) (1)

mit

Q(x , ) := infyY

{qT y : Wy h Tx

}(2)

(1) Erste Phase mit x X Rn1

(2) Zweite/Recourse-Phase mit y Y Zn2 (Integer Recourse) = (q,T ,W ,h) wobei W konstant, aber q(),T (),h()

Maria Gundermann () Sample Average Approximation Methode Blockseminar OuuI 4 / 34

Problemstellung Das Problem

Stochastisches Problem mit Integer Recourse

Ausgangsproblem

minxX

g(x) := cT x + E(Q(x , ())) (1)

mit

Q(x , ) := infyY

{qT y : Wy h Tx

}(2)

(1) Erste Phase mit x X Rn1

(2) Zweite/Recourse-Phase mit y Y Zn2 (Integer Recourse) = (q,T ,W ,h) wobei W konstant, aber q(),T (),h()

Maria Gundermann () Sample Average Approximation Methode Blockseminar OuuI 4 / 34

Problemstellung Anwendungsbeispiele

Anwendungsbeispiele

ProduktionsplanungZeitplanungElektrizittsproduktionRoutenplanung

Maria Gundermann () Sample Average Approximation Methode Blockseminar OuuI 5 / 34

Problemstellung Anwendungsbeispiele

Anwendungsbeispiele

Produktionsplanung

ZeitplanungElektrizittsproduktionRoutenplanung

Maria Gundermann () Sample Average Approximation Methode Blockseminar OuuI 5 / 34

Problemstellung Anwendungsbeispiele

Anwendungsbeispiele

ProduktionsplanungZeitplanung

ElektrizittsproduktionRoutenplanung

Maria Gundermann () Sample Average Approximation Methode Blockseminar OuuI 5 / 34

Problemstellung Anwendungsbeispiele

Anwendungsbeispiele

ProduktionsplanungZeitplanungElektrizittsproduktion

Routenplanung

Maria Gundermann () Sample Average Approximation Methode Blockseminar OuuI 5 / 34

Problemstellung Anwendungsbeispiele

Anwendungsbeispiele

ProduktionsplanungZeitplanungElektrizittsproduktionRoutenplanung

Maria Gundermann () Sample Average Approximation Methode Blockseminar OuuI 5 / 34

Problemstellung Schwierigkeiten beim Lsen

Schwierigkeiten beim Lsen von SP mit IntegerRecourse

1 Exakte Berechnung der erwarteten Recourse-Kosten: pro Szenario einganzzahliges Programm zu lsen

2 Optimierung der erwarteten Recourse-Kosten ber den Entscheidungender ersten Phase

Maria Gundermann () Sample Average Approximation Methode Blockseminar OuuI 6 / 34

Problemstellung Schwierigkeiten beim Lsen

Schwierigkeiten beim Lsen von SP mit IntegerRecourse

1 Exakte Berechnung der erwarteten Recourse-Kosten: pro Szenario einganzzahliges Programm zu lsen

2 Optimierung der erwarteten Recourse-Kosten ber den Entscheidungender ersten Phase

Maria Gundermann () Sample Average Approximation Methode Blockseminar OuuI 6 / 34

Problemstellung Schwierigkeiten beim Lsen

Schwierigkeiten beim Lsen von SP mit IntegerRecourse

1 Exakte Berechnung der erwarteten Recourse-Kosten: pro Szenario einganzzahliges Programm zu lsen

2 Optimierung der erwarteten Recourse-Kosten ber den Entscheidungender ersten Phase

Maria Gundermann () Sample Average Approximation Methode Blockseminar OuuI 6 / 34

Die Sample Average Approximation Methode

Die Sample Average Approximation Methode

Die Sample AverageApproximation Methode

Maria Gundermann () Sample Average Approximation Methode Blockseminar OuuI 7 / 34

Die Sample Average Approximation Methode Die SAA-Methode

Die SAA-Methode

Idee:Nutze iid Sample 1,..., N von N Szenarien anstelle des Zufallsvektors ()

SAA-Problem:

minxX

g(x) := cT x +1N

Nn=1

Q(x , n) (3)

mit

Q(x , ) := infyY

{qT y : Wy h Tx

}(3) kann nun mit einem deterministischen Algorithmus gelst werden.

Maria Gundermann () Sample Average Approximation Methode Blockseminar OuuI 8 / 34

Die Sample Average Approximation Methode Die SAA-Methode

Die SAA-Methode

Idee:Nutze iid Sample 1,..., N von N Szenarien anstelle des Zufallsvektors ()

SAA-Problem:

minxX

g(x) := cT x +1N

Nn=1

Q(x , n) (3)

mit

Q(x , ) := infyY

{qT y : Wy h Tx

}(3) kann nun mit einem deterministischen Algorithmus gelst werden.

Maria Gundermann () Sample Average Approximation Methode Blockseminar OuuI 8 / 34

Die Sample Average Approximation Methode Die SAA-Methode

Die SAA-Methode

Idee:Nutze iid Sample 1,..., N von N Szenarien anstelle des Zufallsvektors ()

SAA-Problem:

minxX

g(x) := cT x +1N

Nn=1

Q(x , n) (3)

mit

Q(x , ) := infyY

{qT y : Wy h Tx

}(3) kann nun mit einem deterministischen Algorithmus gelst werden.

Maria Gundermann () Sample Average Approximation Methode Blockseminar OuuI 8 / 34

Die Sample Average Approximation Methode Fragen

Fragen

SAA-Problem (3): Optimalwert vN , Optimallsung xNAusgangsproblem (1): Optimalwert v, Optimallsung x

1 vN v und xN x, wenn N ?2 Wenn Konvergenz auftritt: Ist Gre von N abschtzbar, die fr

Optimallsung notwendig ist?3 Gibt es einen effizienten Optimierungsansatz, der das SAA-Problem mit

der notwendigen Sample-Gre N lst?4 Welche Informationen bezglich der Qualitt einer Lsung xN des

SAA-Problems fr das Ausgangsproblem gibt es?

Maria Gundermann () Sample Average Approximation Methode Blockseminar OuuI 9 / 34

Die Sample Average Approximation Methode Fragen

Fragen

SAA-Problem (3): Optimalwert vN , Optimallsung xNAusgangsproblem (1): Optimalwert v, Optimallsung x

1 vN v und xN x, wenn N ?2 Wenn Konvergenz auftritt: Ist Gre von N abschtzbar, die fr

Optimallsung notwendig ist?3 Gibt es einen effizienten Optimierungsansatz, der das SAA-Problem mit

der notwendigen Sample-Gre N lst?4 Welche Informationen bezglich der Qualitt einer Lsung xN des

SAA-Problems fr das Ausgangsproblem gibt es?

Maria Gundermann () Sample Average Approximation Methode Blockseminar OuuI 9 / 34

Die Sample Average Approximati