Post on 16-Aug-2019
9. Periodische Bewegungen
9. Periodische Bewegungen
9.1 Schwingungen9.1.1 Harmonische Schwingung9.1.2 Schwingungsenergie9.1.3 Gedämpfte Schwingung9.1.4 Erzwungene Schwingung
8.1 Schwingungen
Inhalt
9. Periodische Bewegungen
9. Periodische Bewegungen
SchwingungZustand y wiederholt sich in bestimmten ZeitabständenMit Schwingungsdauer (Periode, Periodendauer) T
WelleSchwingung breitet sich im Raum ausZustand y wiederholt sich in Raum und Zeit
Raumperiode = Wellenlänge λZeitperiode = Schwingungsdauer T
9.1 Schwingungen
9.1 Schwingungen
Ebene Welle
9. Periodische Bewegungen
BeispieleSchwingung eines PendelsSchwingung eines QuarzkristallsSchwingung elektrischer LadungenSchallwellen (Schwingung von Luftmolekülen)Elektromagnetische Wellen (Schwingung elektromagnetischer Felder)
9.1 Schwingungen
Man unterscheidet:
Harmonische Schwingung (z.B. freie Schwingung)
Gedämpfte Schwingung (z.B. durch Reibung)Erzwungene Schwingung (durch äußere Kraft)
9.1 Schwingungen
9.1.1 Harmonische Schwingung
9. Periodische Bewegungen
9.1.1 Harmonische Schwingung
Es gilt:- Jedes Objekt ist schwingungsfähig.- Harmonische Schwingung bei Auslenkung aus
stabilem Gleichgewicht
1. Es wirkt Kraft immer in Richtung Gleichgewichtslage= Rückstellkraft
2. Es wirkt Trägheitdes Systems.
Harmonische Schwingung ist bestimmt durch zwei Größen:
9.1.1 Harmonische Schwingung
9.1.1 Harmonische Schwingung
9. Periodische Bewegungen
9.1.1 Harmonische Schwingung
9.1.1 Harmonische Schwingung
Man definiert: (Eigen-)Frequenz f = Schwingungen pro s
Schwingungsdauer T = zeitliche PeriodeMan definiert:
Man definiert: Amplitude A = maximale Auslenkung/Wert von x(t)
Amplitude
x(t) = A cos (ωt + δ)Mögliche Beschreibung:
9. Periodische Bewegungen
Beispiel Federschwingung
Kraft der Feder: F = - kx k: FederkonstanteEs gilt: - Kraft ist proportional zur Auslenkung (Elongation).- Kraft ruft nach Newton II Beschleunigung hervor:
9.1.1 Harmonische Schwingung
9.1.1 Harmonische Schwingung
Lösung der Dgl:
Es gilt allgemein: Jede harmonische Schwingung lässt sich durch Dgl. beschreiben:
9. Periodische Bewegungen
Frage: Welche Bedeutung hat ω (Eigenfrequenz)?Antwort: ω = Kreisfrequenz Ja was denn
nun ?????
Es gilt: Zusammenhang mit Schwingungsdauer T
Ach so!!!
Beweis: Es gilt:
Man definiert: Frequenz f
9.1.1 Harmonische Schwingung
9.1.1 Harmonische Schwingung
ω = 2 πf
9. Periodische Bewegungen
Allgemein gilt:
Mit (1) und (2) gilt:
Für Amplitude gilt: Ja ?
9.1.1 Harmonische Schwingung
9.1.1 Harmonische Schwingung
(1)
Amplitude A und Phasenverschiebung δ werden durch Anfangsbedingungen gegeben:
(2)
9. Periodische Bewegungen
Beispiel Mathematisches Pendel (masseloser Faden mit Punktmasse)
Es wirkt Kraft F auf Masse m
Nach 2. Newtonschen Gesetz gilt:
a = f(θ) = ?
θ (t) = ?a (t) = ?
9.1.1 Harmonische Schwingung
9.1.1 Harmonische Schwingung
9. Periodische Bewegungen
Aufgabe: a = f(θ) = ...???
9.1.1 Harmonische Schwingung
9.1.1 Harmonische Schwingung
9. Periodische Bewegungen
Frage: Beschreibt harmonische Schwingung ?
Der Vergleich mit liefert
Eigenfrequenz des Oszillators Oder Schwingungs-
dauer
Somit lautet Lösungder Schwingungs-gleichung
Nein !!! Aber für kleine Winkel θ gilt:
9.1.1 Harmonische Schwingung
9.1.1 Harmonische Schwingung
9. Periodische Bewegungen
Fragen:
Ist
Ist T unabhängig vom Bezugssystem?
allgemeine Lösung von ?
Ist T unabhängig vom Koordinatensystem?
Ist T unabhängig von der Temperatur?
9.1.2 Schwingungsenergie
9.1.1 Harmonische Schwingung
Ist T unabhängig von Amplitude?
9. Periodische Bewegungen
9.1.2 Schwingungsenergie (harmonisch)
Beispiel: Federschwingung
Für harmonische Schwingung gilt:
Für kinetische Energie gilt:
Für potentielle Energie gilt:
Für Gesamtenergie gilt:
9.1.2 Schwingungsenergie
9.1.3 Gedämpfte Schwingung
9. Periodische Bewegungen
9.1.3 Gedämpfte Schwingung
Es gilt:
r: Reibungskoeffizient
k: Federkonstante
Bewegungsgleichung
allgemein
9.1.3 Gedämpfte Schwingung
9.1.3 Gedämpfte Schwingung
9. Periodische Bewegungen
Lösung der Bewegungsgleichung:
Man unterscheidet 3 Fälle:
3. Aperiodischer Grenzfall
1. Schwingfall (schwache Dämpfung)
0
2. Kriechfall (starke Dämpfung)
0 0
9.1.3 Gedämpfte Schwingung
9.1.3 Gedämpfte Schwingung