Annette Eicker APMG 1

1

11.04.23

Annette Eicker01.12.2011

Energieerhaltung

Annette Eicker APMG 1

2

11.04.23

GRACE

Aufgabe:Die beiden Satelliten sollen die Plätze tauschen

Aufgabe:Die beiden Satelliten sollen die Plätze tauschen

Welche Düse muss zum Überholen gezündet werden?

imaginäre Steuerdüsen (Rückstoß)

3

4

12

5

Annette Eicker APMG 1

3

Wiederholung: Umrechnungen

11.04.23

KeplerelementeKeplerelemente

a e

i

Orts- und Geschwindigkeitsvektor

Orts- und Geschwindigkeitsvektor

r r

Annette Eicker APMG 1

4

11.04.23

Wiederholung: Position und Geschwindigkeit

Exzentrische AnomalieExzentrische AnomalieMEeE sin

Wahre AnomalieWahre Anomalie

Ee

Ee

Ee

eE

cos1

sin1sin

cos1

coscos

2

Position und GeschwindigkeitPosition und Geschwindigkeit

QPr sincos rr

QPr )(cossin ep

GM

p

GM

AbstandAbstand

cos1 e

pr

KeplerelementeKeplerelemente a e i

Mittlere AnomalieMittlere Anomalie

ta

GMM 3

)1( 2eap

BahnsystemBahnsystem

i

i

i

sinsin

cossincoscossin

cossinsincoscos

P

i

i

i

sincos

coscoscossinsin

coscossinsincos

Q

Annette Eicker APMG 1

5

Wiederholung: Umrechnungen

11.04.23

KeplerelementeKeplerelemente

a e

i

Orts- und Geschwindigkeitsvektor

Orts- und Geschwindigkeitsvektor

r r

Annette Eicker APMG 1

6

11.04.23

Wiederholung: Keplerelemente

Gegeben: zum Zeitpunkt tGegeben: zum Zeitpunkt t

GM

Cp

2

rr ,

Große HalbachseGroße Halbachse122

GMr

ar

ExzentrizitätExzentrizität

a

pae

i

i

i

cos

sincos

sinsin

0CCrr

,i

Wahre AnomalieWahre Anomalie

er

rp cos

GMre

C rr sin

Exzentrische AnomalieExzentrische Anomalie

ea

rE cos

cos

21

sinsin

ea

rE

PerigäumsdurchgangszeitPerigäumsdurchgangszeit

GM

aMt

3

Mittlere AnomalieMittlere Anomalie

EeEM sin

BahnsystemBahnsystem

r

r

Q

P

C

r

p

C

r

p

e

cossin

sincos

Arg. des PerigäumsArg. des Perigäums

QK

PK

sin

cos

KnotenlinieKnotenlinieyx eeK sincos

Annette Eicker APMG 1

7

11.04.23

EnergieerhaltungEnergieerhaltung

Annette Eicker APMG 1

8

11.04.23

1. Es existiert eine Potentialfunktion1. Es existiert eine Potentialfunktion

Wiederholung: Konservatives Kraftfeld

Ein Kraftfeld

ist konservativ, wenn folgende Bedingungen gelten:

Ein Kraftfeld

ist konservativ, wenn folgende Bedingungen gelten:

rrK Vm

rK

3. Das Feld ist wirbelfrei3. Das Feld ist wirbelfrei

0rK

2. Das Schleifenintegral verschwindet

Die Arbeit ist wegunabhängig:

2. Das Schleifenintegral verschwindet

Die Arbeit ist wegunabhängig:

0 rrK d

)()( AE mVmVdE

A

rrrrKr

r

Die Bedingungen sind gleichwertig:

=> Aus einer Bed. folgen die anderen

Die Bedingungen sind gleichwertig:

=> Aus einer Bed. folgen die anderen

Annette Eicker APMG 1

9

Wiederholung: Potential

11.04.23

Potential Höhe

Feldstärke Steigung

rrK Vm

große Höhe, kaum Steigung

große Höhe, kaum Steigung

schnelle Höhenänderung, starke Steigung

schnelle Höhenänderung, starke Steigung

kleine Höhe, kaum Steigung

kleine Höhe, kaum Steigung

Annette Eicker APMG 1

10

11.04.23

Wiederholung: Energieerhaltung

BewegungsgleichungBewegungsgleichung

Kr m m r r K r 2

2

d m

dt r K r

T (Kinetische Energie)

2 2

1 1

t t

t t

dTdt dt

dt K r

2

1

2 1( ) ( ) ( )T t T t d r

r

K r r

d dtr r

(nur vom Ort abh.)

(entlang der Bahn)2 1( ) ( )mV mV r r

ArbeitArbeit 2

1

1 2( , , ) ( )A C dr

r

r r K r r

(längs der Kurve C) 2 1( ) ( )mV mV r r

Ab jetzt: Sonderfall konservatives Kraftfeld( )K r

Annette Eicker APMG 1

11

11.04.23

Energieerhaltung

BewegungsgleichungBewegungsgleichung

Kr m m r r K r 2

2

d m

dt r K r

T (Kinetische Energie)

2 2

1 1

t t

t t

dTdt dt

dt K r

2

1

2 1( ) ( ) ( )T t T t d r

r

K r r

d dtr r

(nur vom Ort abh.)

(entlang der Bahn)2 1( ) ( )mV mV r r

ArbeitArbeit 2

1

1 2( , , ) ( )A C dr

r

r r K r r

(längs der Kurve C) 2 1( ) ( )mV mV r r

2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )T t T t mV mV r r

2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )T t mV T t mV r r

Annette Eicker APMG 1

12

11.04.23

2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )T t mV T t mV r rˆ( ) ( )V mVr r

Potentielle Energie Potential

potentielle Energie

ˆE T V

Gesamtenergie2 2 1 1ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )T t V T t V r r

1 2( ) ( ) .E t E t const

Die Gesamtenergie der Teilchen ist bei Einwirkung konservativer Kräfte zeitlich konstant

Annette Eicker APMG 1

13

11.04.23

Energie bei der Keplerbahn

BewegungsgleichungBewegungsgleichung mit der Gravitationskraftmit der Gravitationskraft

rK 3r

GMmKr m

Aus einer Potentialfunktion

mit

Aus einer Potentialfunktion

mit

r

GMV

VmK

Gravitations-potential

nächste Folie

Annette Eicker APMG 1

14

11.04.23

GMrxGM

GM rVr y

GMrz

2 2 2

GM GM

x r x x y z

32 2 2 2 2 22

2

GM GMx

x x y z x y z

32 2 2

32 2 2

32 2 2

GMx

x y z

GMV y

x y z

GMz

x y z

3

GMV

r r

Annette Eicker APMG 1

15

11.04.23

Energie bei der Keplerbahn

Die Bahnenergie bleibt erhaltenDie Bahnenergie bleibt erhalten

21

2mr

BewegungsgleichungBewegungsgleichung mit der Gravitationskraftmit der Gravitationskraft

rK 3r

GMm

Aus einer Potentialfunktion

mit

Aus einer Potentialfunktion

mit

r

GMV

VmKKr m

arGM

122r

Die Gesamtenergie hängt nur von der großen Halbachse ab

Die Gesamtenergie hängt nur von der großen Halbachse ab

a

GMmE2

EnergieerhaltungEnergieerhaltung

constEVT ~Potentielle EnergiePotentielle Energie

r

GMmmVV ~

GMm

r E const

Annette Eicker APMG 1

16

11.04.23

Anwendung:Fluchtgeschwindigkeit

Anwendung:Fluchtgeschwindigkeit

Annette Eicker APMG 1

17

11.04.23

Fluchtgeschwindigkeit

BahnenergieBahnenergie

a

GMm

r

GMmm

22

1 2 r

Einflussbereich der Erde verlassenEinflussbereich der Erde verlassena

Daraus folgt für die BahnenergieDaraus folgt für die Bahnenergie

02

1 2 r

GMr

FluchtgeschwindigkeitFluchtgeschwindigkeit

r

GM2r

Fluchtgeschwindigkeit von der Erdoberfläche (R=6378km)

Fluchtgeschwindigkeit von der Erdoberfläche (R=6378km)

11.200 / 40.320 / 11.2 /m s km h km s r

(2. kosmische Geschwindigkgeit)

Fluchtgeschwindigkeit aus dem Sonnensystem von der Erdoberfläche aus

Fluchtgeschwindigkeit aus dem Sonnensystem von der Erdoberfläche aus

42.1 /km sr

(3. kosmische Geschwindigkgeit)

1. kosmische Geschwindigkgeit

2. kosmische Geschwindigkgeit

Annette Eicker APMG 1

18

11.04.23

Anwendung:Veränderung der Bahn von Satelliten

Anwendung:Veränderung der Bahn von Satelliten

Annette Eicker APMG 1

19

11.04.23

GRACE

Aufgabe:Die beiden Satelliten sollen die Plätze tauschen

Aufgabe:Die beiden Satelliten sollen die Plätze tauschen

Welche Düse muss zum Überholen gezündet werden?

imaginäre Steuerdüsen (Rückstoß)

3

4

12

5

Annette Eicker APMG 1

20

11.04.23

BahnenergieBahnenergie

Satellitenparadoxon

Änderung der GeschwindigkeitÄnderung der Geschwindigkeit

a

GMm

r

GMmmE

22

1 2 r

Satellitenparadoxon:

Eine Erhöhung der Geschwindigkeit führt zu einer größeren Umlaufzeit.

Satellitenparadoxon:

Eine Erhöhung der Geschwindigkeit führt zu einer größeren Umlaufzeit.

21

2 2

GM GMm m m

r a r

Erhöhung der Geschwindigkeit führt zu Vergrößerung der Halbachse.

Erhöhung der Geschwindigkeit führt zu Vergrößerung der Halbachse.

UmlaufzeitUmlaufzeit

GM

aT

3

2 (3. Keplersches Gesetz)

Annette Eicker APMG 1

21

11.04.23

Anwendung:Gravitationsfeldbestimmung

Anwendung:Gravitationsfeldbestimmung

Annette Eicker APMG 1

22

11.04.23

CHAMP

Launch:

• 15 Juli 2000 von Plesetsk, Russland

Orbit:

• Kreisbahn

• Inklination: 87°

• Höhe: 450 km

Aktueller Status:

• Zeit: >3000 Tage

• Umläufe: ca. 47.300

Launch:

• 15 Juli 2000 von Plesetsk, Russland

Orbit:

• Kreisbahn

• Inklination: 87°

• Höhe: 450 km

Aktueller Status:

• Zeit: >3000 Tage

• Umläufe: ca. 47.300

Annette Eicker APMG 1

23

11.04.23

Bahnbestimmung

GPS-AntenneGPS-Antenne

Annette Eicker APMG 1

24

11.04.23

Bahnenergie CHAMP

Stunden

m²/s²

r

GMmE 2

2

1/ rVerlauf der Bahnenergie

Annette Eicker APMG 1

25

11.04.23

CHAMP

Energieverlust durch AtmossphärenreibungEnergieverlust durch Atmossphärenreibung

Annette Eicker APMG 1

26

Energieverlust durch AtmossphärenreibungEnergieverlust durch Atmossphärenreibung

CHAMP

11.04.23

Annette Eicker APMG 1

27

Energieverlust durch AtmossphärenreibungEnergieverlust durch Atmossphärenreibung

CHAMP

11.04.23

Beschleunigungsmesser (Akzelerometer)Beschleunigungsmesser (Akzelerometer)

Annette Eicker APMG 1

28

11.04.23

Bahnenergie CHAMP

m²/s²

r

GMmE 2

2

1/ rVerlauf der Bahnenergie

Stunden

Die abgeplattete ErdeDie abgeplattete Erde

Annette Eicker APMG 1

29

11.04.23

Bahnenergie CHAMP

m²/s²

r

GMmE 2

2

1/ rVerlauf der Bahnenergie

Stunden

Annette Eicker APMG 1

30

11.04.23

Bahnenergie CHAMP

m²/s²

r

GMmE 2

2

1/ rVerlauf der Bahnenergie

reduziert um Trendund periodischen Anteil (2 Zyklen pro Umlauf)

Stunden

Annette Eicker APMG 1

31

11.04.23

Energie

Annette Eicker APMG 1

32

11.04.23

Gravitationspotential

Annette Eicker APMG 1

33

11.04.23

Erinnerung: Feldstärke aus Dichteverteilung

3

P QP Q

P Q

Gm

r rg r

r r

Feldstärke (Punktmasse):

)()(3 QQ

QP

QPP dG rr

rr

rrrg

Feldstärke (aus Dichteverteilung):

)()(3 QQP dl

G rrl

rg

oder

mit

3 3

P Q

P Ql

r r l

r r

Annette Eicker APMG 1

34

11.04.23

Potential aus Dichteverteilung

3

P QP Q

P Q

Gm

r rg r

r r

Feldstärke (Punktmasse):

)()(3 QQ

QP

QPP dG rr

rr

rrrg

Feldstärke (aus Dichteverteilung):

)()(3 QQP dl

G rrl

rg

oder

mit

3 3

P Q

P Ql

r r l

r r

3

GM

rg r

r

GMV

Feldstärke Potential(Erde als Punktmasse)

Feldstärke Potential

1( ) ( )P Q QV G d

l

r r r

Potential (aus Dichteverteilung):

Annette Eicker APMG 1

35

11.04.23

Potential aus Dichteverteilung?

Annette Eicker APMG 1

36

11.04.23

Gravitationspotential

Annette Eicker APMG 1

37

11.04.23

Gravitationspotential

BahnenergieBahnenergie

EmVT

Kraftfeld ist nur konservativ, wenn essich zeitlich nicht ändert

=> Transformation in ein (mitrotierendes) erdfestes System

Kraftfeld ist nur konservativ, wenn essich zeitlich nicht ändert

=> Transformation in ein (mitrotierendes) erdfestes System